《动态几何---圆》综合练习(精选.)

动态几何综合测试（二）试卷简介:调用前期讲解的动点问题处理框架及图形运动处理框架，检测学生在复杂背景下对各种知识的调用组合能力，如图形往返，放缩运动下的面积问题、存在性问题，要求在掌握题目本身套路的同时，能够对知识间的组合，模块间的组装有所感触。

一、单选题(共4道，每道25分)1.如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC=50，AD=75，BC=135．点P从点B出发，沿折线段BA-AD-DC以每秒5个单位长度的速度向点C匀速运动；点Q从点C出发，沿线段CB以每秒3个单位长度的速度匀速运动．过点Q向上作射线QK⊥BC，交折线段CD-DA-AB 于点E．点P，Q同时开始运动，当点P与点C重合时停止运动，点Q也随之停止．设点P，Q运动的时间为t秒（）．（1）当点P落在射线QK上时，t的值为( )A. B.C. D.答案：C解题思路：1．解题要点①首先研究基本图形：通过作双高研究梯形，求出高的长，得到两侧三角形的性质；②研究运动状态：通过对动点运动的研究，得到点P，Q的运动状态，如图所示，由线段图可知；③分析目标，当点P与点A重合时，时间为10s，此时点Q恰好在点D的正下方，即射线QK经过点D（点D与点E重合），所以当点P落在射线QK上时，点P在线段AD上；④画出点P落在射线QK上时的大致位置，从动点运动表达起，建立等式进行求解．2．解题过程如图，过点A作AM⊥BC于点M，过点D作DN⊥BC于点N，易得MN=AD=75，BM=CN=30，AM=DN=40，当点P落在射线QK上时，如图所示，由题意得，，∴AD=，解得．∴当点P落在射线QK上时，t的值为．试题难度：三颗星知识点：图形运动处理框架2.（上接第1题）（2）记△PEQ的面积为S，则点P落在射线QK上之前的S与t之间的函数关系式为( )A. B.C. D.答案：D解题思路：1．解题要点①分析引起目标三角形变化的状态转折点，如图所示，要求S的表达式，显然需要分两段，即．②分段画图，设计方案表达面积（公式法）．2．解题过程当时，过点P作PF⊥BC于点F，各点位置如图所示，∵BP=5t，CQ=3t，∴BF=3t，PF=4t，QE=4t．易知四边形PFQE是矩形，∴PE=FQ，∴，∴．当，各点位置如图所示，由题意得，，∴，∴．综上所述，．试题难度：三颗星知识点：图形运动处理框架3.（上接第1，2题）在整个运动过程中，满足△PEQ是直角三角形的时间t的取值范围是( )A. B.C. D.答案：D解题思路：1．解题要点充分利用前两题的分析（运动状态和图形性质），整个运动可分为四段：，在每一段内对目标进行研究．在求出结果时，需要对端点时刻的状态进行验证，判断是否满足题意．2．解题过程①当时，点P在AB上，点E在CD上，如图所示，由第2题的分析可知∠PEQ=90°，△PEQ始终是直角三角形，∴符合题意．②当时，点P，E都在线段AD上，始终满足∠PEQ=90°，△PEQ是直角三角形，∴满足题意．③当时，点E在AD上，点P在CD上，若△PEQ是直角三角形，只能是∠EPQ=90°，所以只需要判断以EQ为直径的圆是否与线段CD有交点．此时，∵，∴，∴以EQ为直径的圆与线段CD无交点，∴不满足题意．④当时，满足题意，如图所示，综上所述，满足题意的t的取值范围是．试题难度：三颗星知识点：图形运动处理框架4.如图1，在△ABC中，∠C=90°，BC=8，AC=6，直角梯形DEFH（HF∥DE，∠HDE=90°）的底边DE落在BC边上，腰DH落在AC边上，且DE=4，∠DEF=∠CBA，AH∶AC=2∶3．固定△ABC，将直角梯形DEFH以每秒1个单位长度的速度沿CB向右移动，当点D与点B重合时停止．设移动的时间为t秒，移动后的直角梯形为（如图2），△ABC与直角梯形重叠部分的面积为S（这里规定点是面积为0的几何图形），则S与t之间的函数关系为( )A. B.C. D.答案：A解题思路：1．解题要点①研究基本图形，各线段长如图所示，EF始终与AB平行．②分析运动状态，如图所示，在找状态转折点时，找边与顶点碰撞的时刻，∴．③分段画图，设计方案求解面积．2．解题过程由题意得，DH=2，DE=4，过点F作FG⊥BC于点G，得到各线段长如下图所示，①当时，重叠部分即为直角梯形，如图所示，∵DE=4，，∴．②当时，如图所示，设与AB交于点M，则重叠部分为直角梯形，∵CE=t+4，BC=8，∴BE=t-4．∵重叠部分的面积S=梯形的面积-平行四边形MBEF的面积，∴．③当时，如图所示，设与AB交于点N，则重叠部分为△BDN，∵CD=t，BC=8，∴BD=8-t．△BDN是三边之比为3:4:5的直角三角形，∴，∴．综上所述，．试题难度：三颗星知识点：图形运动处理框架。

《动态数学问题50例》1．如图，已知⊙O1经过⊙O2的圆心O2，且与⊙O2相交于A、B两点，点C为弧AO2B上的一动点（不运动至A、B），连结AC，并延长交⊙O2于点P，连结BP、PC（1）当点C在运动时，观察图中有哪些角的大小没有变化？（2）请猜想△BCP的形状，并证明你的猜想P2．如图，已知AB是⊙O的直径，直线MN与⊙O相交于点E，F，AD⊥MN，垂足为D。

（1）求证：∠BAE=∠DAF（2）若把直线MN向上平行移动，使之与AB相交，其他条件不变，请把变化后图形画出来，并指出∠BAE=∠DAF是否仍然相等（直接回答，不必证明）- 1 -- 2 -3．如图，课本中曾要我们证明“已知平行四边形ABCD 及形外一直线L ，AA 1⊥L ，BB 1⊥L ，CC 1⊥L ，DD 1⊥L 。

求证：AA 1+CC 1=BB 1+DD 1”。

现将L 向上平移，则以上的结论还成立吗？LD 1C 1B 1A 1DCBA4．如图，AD 是⊙O 的直径，BC 切⊙O 于D ，AB ，AC 交⊙O 于E ，F （1）求证：AE ·AB=AF ·AC （2）如果将直线BC 向上或向下平移（与AD 仍然垂直）且AB ，AC 交⊙O 于E ，F ，则AE ·AB=AF ·AC 还成立吗？AB 。

OEDCF- 3 -5．已知，如图，点C 为线段AB 上一点，△ACM ，△CBN 是等边三角形，则图（1）中存在结论AN=BM（1）现将△ACM 绕C 点按逆时针方向旋转1800，使A 点落在CB 上，请在画出符合题意的图(2).（2）在（2）中所得的图形中，结论“AN=BM ”是否还成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由（3）在（2）得到的图形中，设MA 的延长线与BN 相交于D 点，请你判断△ABD 与四边形MDNC 的形状，并证明你的结论图（1）6．已知，如图，⊙O 1和⊙O 2相交于A 、B ，过点A 的直线CD 与⊙O 1交于C ，与⊙O 2交于D ，过点B 的直线EF 与⊙O 1交于E ，与⊙O 2交于F ，求证：CE ∥DF当上例的图形变为如下几个图时，仍有CE ∥DF 吗？如何证明？A M NC B 。

专题十九 圆与动态几何问题知识聚焦以圆为载体，通过点的运动、直线的运动，探讨点与圆的位置关系、直线与圆的位置关系，这是圆与动态几何的基本表现形式．解这类问题需运用到分类讨论、数形结合、方程与函数等思想方法，关键是动中觅静、以静制动、以动制动． 例题导航【例1】 如图①，直线333+=x y 与x 轴、y 轴分别相交于A 、B 两点，圆心P 的坐标为(1，0)，⊙P 与y 轴相切于点O.若将⊙P 沿x 轴向左移动，则当⊙P 与该直线相交时，横坐标为整数的点P 的个数是( )A ．2B ．3C ．4D ．5点拨：根据直线与坐标轴的交点，得出A 、B 两点的坐标，再利用三角形相似得出圆与直线相切时的坐标，进而得出相交时的坐标.解答：Θ直线333+=x y 与x 轴、y 轴分别相交于A 、B 两点，圆心P的坐标为∴),0,1(点A 的坐标为(-3,0)，点B 的坐标为),3,0(⊙O 的半径为.32.1=∴AB如图②，将()P 沿x 轴向左移动，当⊙P 与该直线相切于点1C 时，,111=C P 根据~11C AP ∆,ABO ∆得.2313211111=∴⋅=∴⋅=AP AP BO C P AB AP ∴点1P 的坐标为(-1，0)．将⊙P 沿x 轴继续向左移动，当⊙P 与该直线相切于点2C 时，,122=C P 根据,~22ABO C AP ∆∆得=∴=32.2222AP BO C P AB AP .2312=∴⋅AP 点2p 的坐标为（-5，0）．从-1到-5，整数点有-2、-3、-4，故当⊙P 与该直线相交时，横坐标为整数的点P 的个数是3．故选B ．点评：此题主要考查了直线与坐标轴交点的求法以及相似三角形的判定，题目综合性较强，注意特殊点的求法是解决问题的关键．【例2】 (2012．聊城)如图①，⊙O 是△ABC 的外接圆，P BC AC AB ,12,10===是上的一个动点，过点P 作BC 的平行线交AB 的延长线于点D.(1)当点P 在什么位置时，DP 是⊙O 的切线？请说明理由； (2)当DP 为⊙O 的切线时，求线段DP 的长．点拨：(1)根据当点P 是的中点时，得出得出PA 是⊙O 的直径，再利用//DP BC ，得出,PA DP ⊥问题得证；(2)利用切线的性质，由勾股定理得出半径长，进而得出~ABE ∆△ADP，即可得出DP 的长． 解答：(1)如图②，当点P 是的中点时，DP 是⊙O 的切线，理由：是⊙O 的直径，又,AC AB =Θ.BC PA ⊥∴又DP PA DP BC DP ∴⊥∴.,//Θ是⊙0的切线．(2)如图②，连接OB ，设PA 交BC 于点E ．由垂径定理，得,621==BC BE 在Rt△ABE 中，由勾股定理，得.86102222=-=-=BE AB AE 设⊙O 的半径为,r 则.8r OE -=在Rt△OB E '中，由勾股定理，得,)8(6222r r -+=解得//425DP r Θ⋅=.,D ABE BC ∠=∠∴又~,11ABE ∆∴∠=∠Θ,.AP EDP BE ADP =∴∆即⋅⨯=425286DP解得⋅=875DP点评：此题主要考查了切线的判定与性质以及勾股定理和相似三角形的判定与性质，根据已知得出ADP ABE ∆∆~是解题关键，【例3】某课题小组进行了如下探索，请逐步思考并解答：(1)如图①，两个大小一样的传送轮连接着一条传送带，两个传送轮中心的距离是,10m 求这条传送带的长；(2)改变图形的数量，如图②，将传动轮增加到3个，每个传动轮的直径是,3m 每两个传动轮中心的距离是,10m 求这条传送带的长；(3)将静态问题升华为动态问题：如图③，一个半径为cm 1的⊙P 沿边长为cm π2的等边三角形ABC 的外沿无滑动地滚动一周，求圆心P 经过的路径长；⊙P 自转了多少周？(4)拓展与应用：如图④，一个半径为cm 1的⊙P 沿半径为cm 3的⊙O 外沿无滑动地滚动一周，则⊙P 自转了多少周？点拨：(1)利用传送带的长等于两个传送轮中心的距离×2+圆的周长即可求出；(2)可仿照(1)进行解答；(3)利用圆心P 经过的路径长为“三角形的周长加一个半径为1 cm 的圆的周长”即可求出；(4)利用⊙P 的圆心P 沿半径为cm 3的⊙O 外沿作无滑动滚动一周的路径长为π2)13(⨯+即可求出，解答：(1)这条传送带的长为=⨯+⨯3102πm )320(π+.)330(323180120310)2(m ππ+=⨯⨯+⨯(3)圆心P 经过的路径长为“三角形的周长加一个半径为cm 1的圆的周长”，∴圆心P 经过的路径长为).(826cm πππ=+⊙p 自转的周数一圆心P 经过的路径长÷⊙p 的周长，∴⊙p 自转的周数为.428=÷ππP )4(的圆心P 沿半径为cm 3的⊙O 外沿无滑动地滚动一周的路径长为=⨯+π2)13(∴),(8cm π⊙P 自转的周数为.428=÷ππ点评：此题主要考查了扇形的弧长公式以及等边三角形的性质等，根据已知条件得出点P 经过的路径是解题的关键．【例4】 （2013．宜昌）半径为cm 2的⊙O 与边长为cm 2的正方形ABCD 在水平直线l 的同侧，⊙O 与l 相切于点-F ，DC 在l 上．(1)过点B 作00的一条切线BE ，E 为切点．①填空：如图①，当点A 在⊙0上时，EBA ∠的度数是 ； ②如图②，当E 、A 、D 三点在同一直线上时，求线段OA 的长；(2)以正方形ABCD 的边AD 与OF 重合的位置为初始位置，向左移动正方形（如图③），当边BC 与OF 重合时结束移动，M 、N 分别是边BC 、AD 与⊙0的公共点，求扇形MON 的面积的范围．点拨：(1)①根据切线的性质以及直角三角形的性质得出EBA ∠的度数；②利用切线的性质以及矩形的性质和相似三角形的判定和性质得出=OE OA ,OBOF进而求出OA 的长；(2)设,︒=∠n MON 得出),(90236022cm n n S MON ππ=⨯=扇形进而利用函数增减性分析：当点N 、1VI 、A 分别与点D 、B 、0重合时，MN 最大；当cm DC MN 2== 时，MN 最小，分别求出即可.解答：(1)①Θ半径为cm 2的⊙O 与边长为2 cm 的正方形ABCD 在水平直线l 的同侧，当点A 在⊙O 上时，,90,2,4o OEB cm FO cm OB =∠=-=EBA ∠∴的度数.30o Θ②直线l 与⊙O 相切于点=∠∴OFD F ,Θο.90在正方形ADCB 中，//,90OF ADC o ∴=∠∴==,2.cm AD OF AD Θ四边形OFDA 为平行四边形，∴=∠,90o OFD Θ平行四边形OFDA 为矩形．Θ.AO DA ⊥∴在正方形ABCD 中，⊥DA ∴,AB 点O 、A 、B 三点在同一条直线上．⊥∴EA =∠=∠OAE OEB OB Θ.,,90BOE EOA o ∠=∠..~2OA OE OBOEOE OA BOE EOA =∴⋅=∴∆∆∴.4)2(.2cm OA cm OA OB =+∴解得±-=1(OA .)15(,0.)5cm OA A O cm -=∴>-Θ (2)如图④，设=⨯=︒=∠2,2360πn S n MON MON 扇形οS cm n ),(902π随n 的增大而增大，MON ∠取最大值时，MON S 扇形最大，当MON ∠取最小值时，OMN S 扇形最小．过点0作MN OK ⊥于点K ，=∠∴MON .2,2NK MN NOK =∠在Rt△ONK 中，=∠NOK sin NOK nNKON NK ∠∴=,2α随NK 的增大而增大．MON ∠∴随MN 的增大而增大，∴当MN 最大时MON ∠最大．当MN 最小时MON ∠最小．①当点N 、M 、A 分别与点D、B、重合时，MN最大，==∠=∠=最大扇形MON S BAD MON BD MN ,90,οcm DC MN cm 2②;2==≡π时，MN 最小，=∴ON .32,60.2cm S NOM OM MN MON π==∠∴=最小扇形ο.32ππ≤≤∴MON S 扇形点评：此题主要考查了圆的综合应用以及相似三角形的判定与性质和函数增减性等知识，得出扇形MON 的面积的最大值与最小值是解题关键， 培优训练能力达标1．如图，⊙1O 的半径为1，正方形ABCD 的边长为6，点2O 为正方形ABCD 的中心，AB O O ⊥21于占.8,21=O O P 若将⊙1O 绕点P 按顺时针方向旋转,360O 在旋转过程中，⊙1O 与正方形ABCD 的边只有一个公共点的情况一共出现( ) A. 3次 B ．5次 C ．6次 D ．7次2．（2012．遵义）如图，AB 是⊙O 的弦，AB 长为8，P 是⊙O上一个动点（不与A 、B 重合），过点0作AP OC ⊥于点C ，PB OD ⊥于点D ，则CD 的长为 .3．（2012．宁波）如图，在△,AI3C 中，,60ο=∠BAC D AB ABC o ,22,45==∠是线段BC 上的一个动点，以AD 为直径画⊙O 分别交AB 、AC 于点E 、F ， 连接EF ，则线段EF 的最小值为 ．4．（2012．镇江）如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线AB 过点A （-4，0）、B(O ，4)，⊙O 的半径为1(0为坐标原点)，点P 在直线AB 上，过点P 作⊙O 的一条切线PQ ，Q 为切点，则切线长PQ 的最小值为 . 5．如图，⊙O 的直径MN=1，点A 在⊙O 上，且B AMN O ,30=∠是的中点，点P 在直径MN 上运动，求AP BP +的最小值．6．（2012．湘潭）如图，在⊙O 上位于直径AB 的异侧有定点C 和动点,21,AB AC P =点P 在半圆弧AB 上运动（不与A 、B 两点重合），过点C 作直线PB 的垂线CD 交PB 于点D ．(1)如图①，求证：;~ABC PCD ∆∆(2)当点P 运动到什么位置时，≅∆PCD ?ABC ∆请在图②中画出△PCD 并说明理由；(3)如图③，当点P 运动到AB CP ⊥时，求BCD ∠的度数．7．（2012．张家界）如图，⊙O 的直径C AB ,4=为圆周上一点，,2=AC 过点C 作的切线DC ，⊙O 点P 为优弧CBA 上一动点（不与A 、C 重合）． (1)求与APC ∠的度数；ACD ∠(2)当点P 移动到的中点时，求证：四边形OBPC 是菱形；(3)点P 移动到什么位置时，△APC 与△ABC 全等？请说明理由．8．（2012．无锡）如图，菱形ABCD 的边长为点P 从点A 出发，以,2cm .60o DAB =∠的速s cm /3度，沿AC 向点C 匀速运动；与此同时，点Q 也从点A 出发，以的速度，沿射线AB 匀速运s cm /1动．当点P 运动到点C 时，P 、Q 都停止运动．设点P 运动的时间为 (1)当点P 异于A 、C 时，请说明.ts(2)以点P 为圆心、PQ 长为半径作圆，请问：在;//BC PQ 整个运动过程中，为怎样的值时，t 与边BC ⊙P 分别有1个公共点和2个公共点？拓展提升9．（2012．兰州）如图，AB 是⊙O 的直径，弦=BC F cm ,2是弦BC 的中点，.60o EC =∠若动点E 以s cm /2的速度从点A 出发沿着A B A →→方向运动，设运动时间为),30(<≤t ts 连接EF ，当△BEF 是直角三角形时，t 的值为 ( )47.A1.B47.C 或147.D 或1或4910.（2012．无锡）如图，以M(-5，0)为圆心、4为半径的圆与x 轴交于A 、B 两点，P 是⊙M 上异于A 、B 的一动点，直线PA 、PB 分别交y 轴于点C 、D ，以CD 为直径的⊙N 与x 轴交于E 、F ，则EF 的长( )A ．等于24B ．等于34C ．等于6D.随点P 位置的变化而变化11．（2013．广州）已知AB 是⊙O 的直径，,4=AB 点C 在线段AB 的延长线上运动，点D 在⊙O 上运动（不与点B 重合），连接CD ，且.OA CD = (1)当22=OC 时（如图），求证：CD 是⊙O 的切线；(2)当22>OC 时，CD 所在直线与⊙O 相交，设另一交点为E ，连接AE ． ①当D 为CE 中点时，求△ACE 的周长； ②连接OD ，是否存在四边形AODE 为梯形？若存在，请说明梯形个数并求此时AE ．ED 的值；若不存在，请说明理由．12.（2013．上海改编）在矩形ABCD 中，P 是AD 边上的动点，连接BP ，线段BP 的垂直平分线交边BC 于点Q ，垂足为点M ，连接QP(如图)．已知,5,13==AB AD 设⋅==y BQ x AP ,(1)求y 关于x 的函数解析式，并写出x 的取值范围；(2)点E 在边CD 上，过点E 作直线QP 的垂线，垂足为F ，如果,4==EC EF 求x 的值．【例】 如图，在边长为8的正方形ABCD 中，点O 为AD 上一动点),84(<<OA 以0为圆心，OA 的长为半径的圆交边CD 于点M ，连接OM ，过点M 作⊙O 的切线交边BD 于点N ．(1)求证：;~MCN ODM ∆∆(2)设,x DM =求OA 的长（用含x 的代数式表示）；(3)在点O 的运动过程中，设△CMN 的周长为P ，试用含x 的代数式表示P ，你能发现怎样的结论？点拨：(1)依题意可得,MNC OMD ∠=∠然后可证得)2(;~(/)MCN DM ∆∆设==OA x DM ,,8,R OA AD OD R OM -=-=-=根据勾股定理求出OA 的长；(3)由(1)知,~MCN ODM ∆∆利用线段比求出MN CN 、的长．然后代入可求出△CMN 的周长．也可利用相似三角形的周长比等于相似比来进行求解．解答：(1)MN Θ切⊙O 于点M ，=∠∴OMN =∠+∠=∠+∠MNC CMN CMN OMD οοΘ90.90οΘ90,.90=∠=∠∠=∠⋅C D MNC OMD O 又.~MON ODM ∆∆∴(2)在Rt△ODM 中，,x DM =设==OM OA .8,R OA AD OD R -=-=∴由勾股定理得-8(=∴=---∴=+OA R R R R x R .x 1664,)222222)80(16642<<+=x x R (3)解法一：,8x DM CD CM -=-=Θ又,166416648822x x R OD -=+-=-=Θ且~ODM ∆.,DM CN OD MC MCN =∴∆代人得到⋅+=816x x CN 同理,OMMN OD MC =代人得到CMN x x MN ∆∴⋅++=8642.的周长为+++-=++=816)8(x x x MN CN CM P .16)8()8(8642=++-=++x x x x 发现：在点0的运动过程中，△CMN 的周长P 始终为16，是一个定值．解法二：在Rt△ODM 中，-=-=88R OD ⋅-=+1664166422x x 设△ODM 的周长++='DM OD P .81646166422+=⋅+++-=x x x x OM 而~MCN ∆,ODM ∆且相似比=-⋅-==2x6416)8(x OD CM k MCN x P ODM P MCN x ∆∴+='∆∆+,816,816的周长的周长Θ的周长为.16816).8(=++=x x P 发现：在点O 的运动过程中，△CMN 的周长P 始终为16，是一个定值．点评：本题考查的是相似三角形的性质和判定、正方形的性质、勾股定理、切线性质等有关知识，思考题如图①，在⊙O 中，点P 在直径AB 上运动，但与A 、B 两点不重合，过点P 作弦,AB CE ⊥在上任取一点D ，直线CD 与直线AB 交于点F ，弦DE 交直线AB 于点M ，连接CM ．(1)如图①，当点P 运动到与点0重合时，求FDM ∠的度数；(2)如图②、③，当点P 运动到与点0不重合时，求证：.MC DF OB FM ⋅=⋅。

动态几何综合训练二1. (2009 内蒙古呼和浩特市) 如图，在直角梯形ABCD 中，9012cm AD BC ABC AB ∠==∥，°，，8cm AD =，22cm BC =，AB 为O ⊙的直径，动点P 从点A 开始沿AD 边向点D 以1cm/s 的速度运动，动点Q 从点C 开始沿CB 边向点B 以2cm/s 的速度运动．P Q 、分别从点A C 、同时出发，当其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，设运动时间为(s)t ． （1）当t 为何值时，四边形PQCD 为平行四边形？（2）当t 为何值时，PQ 与O ⊙相切？2. (2009 江西省) 如图1，在等腰梯形ABCD 中，AD BC ∥，E 是AB 的中点，过点E 作EF BC ∥交CD 于点F ．46AB BC ==，，60B =︒∠. （1）求点E 到BC 的距离；（2）点P 为线段EF 上的一个动点，过P 作PM EF ⊥交BC 于点M ，过M 作MN AB ∥交折线ADC 于点N ，连结PN ，设EP x =.①当点N 在线段AD 上时（如图2），PM N △的形状是否发生改变？若不变，求出PMN △的周长；若改变，请说明理由；②当点N 在线段DC 上时（如图3），是否存在点P ，使PMN △为等腰三角形？若存在，请求出所有满足要求的x 的值；若不存在，请说明理由.CA D E BF C图4（备用）A D E BF C图5（备用）A D E BF C 图1 图2 A D E B F C P N M图3 A D E B F C P NM3. (2009 山东省淄博市)如图，在矩形ABCD 中，BC =20cm ，P ，Q ，M ，N 分别从A ，B ，C ，D 出发沿AD ，BC ，CB ，DA 方向在矩形的边上同时运动，当有一个点先到达所在运动边的另一个端点时，运动即停止．已知在相同时间内，若BQ =x cm （0x ），则AP =2x cm ，CM =3x cm ，DN =x 2cm ．（1）当x 为何值时，以PQ ，MN 为两边，以矩形的边（AD 或BC ）的一部分为第三边构成一个三角形； （2）当x 为何值时，以P ，Q ，M ，N 为顶点的四边形是平行四边形；（3）以P ，Q ，M ，N 为顶点的四边形能否为等腰梯形?如果能，求x 的值；如果不能，请说明理由．4. (2010 广东省佛山市) 如图，是一个匀速旋转(指每分钟旋转的弧长或圆心角相同)的摩天轮的示意图，O 为圆心，AB 为水平地面. 假设摩天轮的直径为80米，最低点C 离地面为6米，旋转一周所用的时间为6分钟. 小明从点C 乘坐摩天轮(身高忽略不计)，请问：（1） 经过2分钟后，小明离开地面的高度大约是多少米？（2） 若小明到了最高点，在视线没有阻挡的情况下能看到周围3公里远的地面景物，则他看到的地面景物有多大面积？(精确到1平方公里)A B DC P Q M NABD5. (2010 广东省广州市) 如图，四边形OABC 是矩形，点A 、C 的坐标分别为（3，0）、（0，1），点D 是线段BC上的动点（与端点B 、C 不重合），过点D 作直线12y x b =-+交折线OAB 于点E. （1）记ODE △的面积为S ，求S 与b 的函数关系式；（2）当点E 在线段OA 上时，若矩形OABC 关于直线DE 的对称图形为四边形1111O A B C ，试探究四边形1111O A B C 与矩形OABC 的重叠部分的面积是否发生变化，若不变，求出该重叠部分的面积；若改变，请说明理由.6. (2010 山东省东营市) 如图，在锐角三角形ABC 中，12=BC ，△ABC 的面积为48，D ，E 分别是边AB ，AC上的两个动点（D 不与A ，B 重合），且保持DE ∥BC ，以DE 为边，在点A 的异侧作正方形DEFG . （1）当正方形DEFG 的边GF 在BC 上时，求正方形DEFG 的边长；（2）设DE = x ，△ABC 与正方形DEFG 重叠部分的面积为y ，试求y 关于x 的函数关系式，写出x 的取值范围，并求出y 的最大值.A D E FGC （备用图（1））A C（备用图（2））AC7. (2010 辽宁省大连市) 如图，在△ABC 中，AB AC ==5，BC =6，动点P 从点A 出发沿AB 向点B 移动，（点P与点A B 、不重合），作PD BC ∥交AC 于点D ，在DC 上取点E ，以DE DP 、为邻边作PFED ，使点F 到PD 的距离16FH PD =，连接BF ，设AP x = （1）△ABC 的面积等于（2）设△PBF 的面积为y ，求y 与x 的函数关系，并求y 的最大值； （3）当BP BF =时，求x 的值. (2010 辽宁省抚顺市) 如图所示，在Rt ∆ABC 中，∠C=90,∠BAC=600，AB=8.半径为3的⊙M 与射线BA 相切，切点为N ，且AN=3.将Rt ∆ABC 顺时针旋转1200后得到Rt ∆ADE ，点B 、C 的对应点分别是点D 、E. (1)画出旋转后的Rt ∆ADE ；(2)求出Rt ∆ADE 的直角边DE 被⊙M 截得的弦PQ 的长度;(3)判断Rt ∆ADE 的斜边AD 所在的直线与⊙M 的位置关系，并说明理由.9. (2010 黑龙江省哈尔滨市) 如图，在平面直角坐标系中，点O 是坐标原点，四边形AOCB 是梯形，AB OC ∥，点A的坐标为(08)，，点C 的坐标为(100)，，OB OC =． （1）求点B 的坐标；（2）点P 从C 点出发，沿线段CO 以5个单位/秒的速度向终点O 匀速运动，过点P 作PH OB ⊥，垂足为H ，设HBP △的面积为(0)S S ≠，点P 的运动时间为t 秒，求S 与t 之间的函数关系式（直接写出自变量t 的取值范围）；（3）在（2）的条件下，过点P 作PM CB ∥交线段AB 于点M ，过点M 作MR OC ⊥，垂足为R ，线段MR 分别交直线PH OB 、于点E G 、，点F 为线段PM 的中点，连接EF ．当t为何值时，EF EG =？ADCP BFHE备用图备用图动态几何综合训练二答案第1题答案.（1）解：∵直角梯形ABCD ，AD BC ∥ PD QC ∴∥∴当PD QC =时，四边形PQCD为平行四边形．由题意可知：2AP t CQ t ==，82t t ∴-=38t = 83t =∴当83t s =时，四边形PQCD 为平行四边形．（2）解：设PQ 与O ⊙相切于点H ， 过点P 作PE BC ⊥，垂足为E 直角梯形ABCD AD BC ，∥PE AB ∴=由题意可知：2AP BE t CQ t ===，222BQ BC CQ t ∴=-=-222223EQ BQ BE t t t =-=--=-AB 为O ⊙的直径，90ABC DAB ∠=∠=° AD BC ∴、为O ⊙的切线AP PH HQ BQ ∴==，22222PQ PH HQ AP BQ t t t ∴=+=+=+-=-在Rt PEQ △中，222PE EQ PQ +=22212(223)(22)t t ∴+-=-即：28881440t t -+=211180t t -+= (2)(9)0t t --=1229t t ∴==，因为P 在AD 边运动的时间为8811AD ==秒 而98t =>9t ∴=（舍去）BQBQE∴当2t =秒时，PQ 与O ⊙相切．第2题答案.（1）如图1，过点E 作EG BC ⊥于点G ．∵E 为AB 的中点， ∴122BE AB ==． 在Rt EBG △中，60B =︒∠， ∴30BEG =︒∠．∴112BG BE EG ====，即点E 到BC（2）①当点N 在线段AD 上运动时，PMN △的形状不发生改变．∵PM EF EG EF ⊥⊥，，∴PM EG ∥． ∵EF BC ∥，∴EP GM =，PM EG == 同理4MN AB ==．如图2，过点P 作PH MN ⊥于H ，∵MN AB ∥， ∴6030NMC B PMH ==︒=︒∠∠，∠． ∴122PH PM ==．∴3cos302MH PM =︒= ．则35422NH MN MH =-=-=．在Rt PNH △中，PN === ∴PMN △的周长=4PM PN MN ++=．②当点N 在线段DC 上运动时，PMN △的形状发生改变，但MNC △恒为等边三角形． 当PM PN =时，如图3，作PR MN ⊥于R ，则MR NR =．类似①，32MR =． ∴23MN MR ==．∵MNC △是等边三角形，∴3MC MN ==．此时，6132x EP GM BC BG MC ===--=--=．当MP MN =时，如图4，这时MC MN MP ===图3A D E BFCPN M图4A D EBF CP MN 图5A D EBF （P ） CMN GGRG图1A D E BFCG图2A D E BF CPNMG H此时，615x EP GM ===-=当NP NM =时，如图5，30NPM PMN ==︒∠∠． 则120PMN =︒∠，又60MNC =︒∠， ∴180PNM MNC +=︒∠∠．因此点P 与F 重合，PMC △为直角三角形．∴tan 301MC PM =︒= ．此时，6114x EP GM ===--=．综上所述，当2x =或4或(5时，PMN △为等腰三角形．第3题答案.解：（1）当点P 与点N 重合或点Q 与点M 重合时，以PQ ，MN 为两边，以矩形的边（AD 或BC ）的一部分为第三边可能构成一个三角形． ①当点P 与点N 重合时，21222011x x x x +===由，得，（舍去）．因为BQ +CM =31)20x x +=<，此时点Q 与点M 不重合．所以1x 符合题意． ②当点Q 与点M 重合时， 320,5x x x +==由得．此时22520DN x ==>，不符合题意．故点Q 与点M 不能重合．所以所求x 1． （2）由（1）知，点Q 只能在点M 的左侧， ①当点P 在点N 的左侧时， 由220(3)20(2)x x x x -+=-+， 解得120()2x x ==舍去，．当x =2时四边形PQMN 是平行四边形． ②当点P 在点N 的右侧时， 由220(3)(2)20x x x x -+=+-， 解得1210()4x x =-=舍去，．当x =4时四边形NQMP 是平行四边形．所以当24x x ==或时，以P ，Q ，M ，N 为顶点的四边形是平行四边形． （3）过点Q ，M 分别作AD 的垂线，垂足分别为点E ，F ． 由于2x >x ，所以点E 一定在点P 的左侧．若以P ，Q ，M ，N 为顶点的四边形是等腰梯形， 则点F 一定在点N 的右侧，且PE =NF ， 即223x x x x -=-．解得120()4x x ==舍去，．由于当x =4时， 以P ，Q ，M ，N 为顶点的四边形是平行四边形， 所以以P ，Q ，M ，N 为顶点的四边形不能为等腰梯形．第4题答案.（1） 从点C 乘坐摩天轮，经过2分钟后到达点E ， 1分则︒=∠120COE 2分延长CO 与圆交于点F ，作EG ⊥OF 于点G . 3分 则︒=∠60GOE ， 4分在Rt EOG △中，2060cos 40=︒=OG 米， 5分∴小明2分钟后离开地面高度66=++=OG CO DC DG 米. 6分 （2） F 即为最高点，他能看到的地面景物面积为26)π28s =≈平方公里. 8分注：若理解为23π28s =≈平方公里不扣分. 不写答句不扣分.第5题答案.解： (1) 当直线12y x b =-+过点C （0,1）时，1b =； 当直线12y x b =-+过点A （3,0）时，32b =；当直线12y x b =-+过点B （3,1）时，52b =.∵点D 不与点C 、点B 重合，∴当312b <≤时, 点E 在线段OA 上（如图1）, 在12y x b =-+中, 令0y =, 得2x b =.∴ 点E 的坐标为()2,0b .∴ 112122S OE OC b b =⋅⋅=⨯⨯=.当3522b <<时, 点E 在线段AB 上（如图2）,在12y x b =-+中, 令3x =, 得32y b =- .∴ 点E 的坐标为33,2b ⎛⎫-⎪⎝⎭. 求△ODE 的面积给出以下两种方法：解法1： 在12y x b =-+中, 令0y =,得2x b =. ∴直线12y x b =-+与x 轴的交点为F ()2,0b .∴ ODF OEF S S S ∆∆=- 1122OF OC OF EA =⋅⋅-⋅⋅ 113212222b b b ⎛⎫=⨯⨯-⨯⨯- ⎪⎝⎭ 252b b =-+. 解法2：在12y x b =-+中, 令1y =, 得22x b =-.∴点D 的坐标为()22,1b -.OCD BDE OAE OABC S S S S S ∆∆∆=---矩形111222OA AB OC CD BD BE OA AE =⋅-⋅⋅-⋅⋅-⋅⋅()11513311(22)52322222b b b b ⎛⎫⎛⎫=⨯-⨯⨯--⨯-⨯--⨯⨯- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭252b b =-+.∴ 当312b <≤时，S b =；当3522b <<时, 252S b b =-+.(2) ∵ 矩形OABC 关于直线DE 的对称图形为四边形111O A B ∴ 四边形1111O A B C 也为矩形, 且11113,1O A OA OC OC ====,11C B 与CB 相交于点D ,11O A 与OA 相交于点E .设11C B 与OA 相交于点F ,11O A 与CB 相交于点G , ∴ 矩形OABC 与矩形1111O A B C 重叠部分为四边形∵ //,//DG FE DF GE ,∴ 四边形DFEG 为平行四边形,且1DFO GEO OGD ∠=∠=∠. 证明平行四边形DFEG 为菱形给出以下两种证法：证法1：过点D 作11DM O A ⊥于点M ,DN OA ⊥于点N （如图11）,在R t DMG ∆和R t DNF ∆中,111DM C O CO DN ====, 90,DNF DMG DFN DGM ︒∠=∠=∠=∠,∴ R t DMG ∆≌ R t DNF ∆. ∴ DF DG =.∴ 平行四边形DFEG 为菱形.证法2：由轴对称的性质知.GDE FDE DEF DEG ∠=∠∠=∠， 又DE=DE ，∴DFE ∆≌ DGE ∆. ∴ DF DG =. ∴ 四边形DFEG 为菱形. 在12y x b =-+中, 令0y =,得2x b =; 令1y =, 得22x b =-. ∴点E 的坐标为()2,0b , 点D 的坐标为()22,1b -.在R t DNE ∆中,()2222,1EN b b DN =--==, ∴DE ==.过点F 作FH DE ⊥于H ,则H 为DE 的中点, 122EH DE ==, ∵DEN FEH ∠=∠,∴R t DNE ∆∽Rt FHE ∆. ∴12DN FH EN EH ==,得124FH EH ==, 455452122122=⨯⨯⨯=⨯⨯⨯=⨯=∆DE FH S S DFE DFEG 菱形.∴菱形DFEG 的面积不变，面积为54.第6题答案.解：（1）当正方形DEFG 的边GF 在BC 上时，如图 （1），过点A 作BC 边上的高AM ，交DE 于N ，垂足为M .∵S △ABC =48，BC =12，∴AM =8.∵DE ∥BC ，△ADE ∽△ABC , ………1分∴AMANBC DE =， 而AN=AM －MN=AM －DE ，∴8812DEDE -=. ……………………2分 解之得8.4=DE .∴当正方形DEFG 的边GF 在BC 上时，正方形DEFG 的边长为4.8.…3分 （2）分两种情况：①当正方形DEFG 在△ABC 的内部时，如图（2），△ABC 与正方形DEFG 重叠部分的面积为正方形DEFG 的面积，∵DE =x ，∴2x y =，此时x 的范围是x <0≤4.8…4分B（ 图（2））A D E FGC（图(1)）ADECN②当正方形DEFG 的一部分在△ABC 的外部时， 如图（2），设DG 与BC 交于点Q ，EF 与BC 交于点P ， △ABC 的高AM 交DE 于N ，∵DE =x ，DE ∥BC ，∴△ADE ∽△ABC , …………5分即AM ANBC DE =，而AN =AM －MN =AM －EP , ∴8812EP x -=，解得x EP 328-=.………6分 所以)328(x x y -=, 即x x y 8322+-=.………7分由题意，x >4.8，x <12,所以128.4<<x .因此△ABC 与正方形DEFG 重叠部分的面积为⎪⎩⎪⎨⎧<<+-=)128.4(83222x x x x y ……………………………………8分 当x <0≤4.8时，△ABC 与正方形DEFG 重叠部分的面积的最大值为4.82=23.04 当128.4<<x 时，因为x x y 8322+-=，所以当6)32(28=-⨯-=x 时，△ABC 与正方形DEFG 重叠部分的面积的最大值为24)32(480)32(42=-⨯-⨯-⨯.因为24>23.04，所以△ABC 与正方形DEFG 重叠部分的面积的最大值为24. …………………10分第7题答案.解：（1）121分（2）作AM BC ⊥于M ，分别交PD FE 、于点N S 、， PD BC PD FE ∥，∥90AMB ANP ASF APD ABC ∴∠=∠=∠=︒，△∽△HF PD ⊥∴四边形HFSN 是矩形2分6PDNS FH ∴==APD ABC △∽△AP PDAB BC∴=，得65x PD =3分 5xNS FH ∴==4分PFED PBCD FBCE y S S S -∴=- 梯形梯形5分=11()()22PD BC NM PD NS FE BC SM +---+··N =1()-2PD BC NS PD NS +··M B（ 图(3)）AD EFGCNP Q(0< x ≤4.8) A DCP BF H EMS=2116133()62255255BC PD NS x x x x ⎛⎫--⨯=-+ ⎪⎝⎭·= 6分23532524y x ⎛⎫∴=--+ ⎪⎝⎭，当52x =时，34y =最大值7分（3）延长HF 交BC 于Q由（2）知四边形HQMN 和四边形FQMS 均为矩形FQ SM AM AN NS QM HN PN PH ∴==--==-，由56AB AC BC AM BC ===⊥，，，得43AM BM ==，由（2）知AP AN PN AB AM BM ==，得4355x xAN PN ==， 414455FQ x x x ∴=--=-8分四边形PFED 是平行四边形133tan tan 5420DPF DEF CFH FH PH x xDPF C ∴∠=∠=∠∴====∠∠·339()3352020BQ BM QM BM PN PH x x x ∴=-=--=-+=-9分在Rt FBQ △中，2222BP BF FQ BQ ==+，即2229(5)(4)320x x x ⎛⎫-=-+- ⎪⎝⎭10分12280081x x ∴==，（舍去） 11分第8题答案.（1）如图Rt ∆ADE 就是要画的(图形正确就得分) .----------------------------------2分 (2) 22--------------------------------------------------------------------------------------------------5分 (3)AD 与⊙M 相切. -------------------------------------------------------------------------------------6分 证法一：过点M 作MH ⊥AD 于H ，连接MN , MA ,则MN ⊥AE 且MN=3在Rt △AMN 中,tan ∠MAN=AN MN =33∴∠MAN=30°---------------------------------------------7分 ∵∠DAE=∠BAC=60° ∴∠MAD=30°∴∠MAN=∠MAD=30°∴MH=MN （由△MHA ≌△MNA 或解Rt △AMH 求得MH =3从而得MH=MN 亦可）------------9分 ∴AD 与⊙M 相切. --------------------------------------------------------------------------------------10分 证法二：连接MA 、ME 、MD ，则S ADE ∆=DME AME AMD S S S ∆∆∆++-----------------------------8分 过M 作MH ⊥AD 于H, MG ⊥DE 于G, 连接MN , 则MN ⊥AE 且MN=3,MG=1∴21AC ·BC =21AD ·MH +21AE ·MN +21DE ·MG 由此可以计算出MH =3 ∴MH=MN ---------------------------------------------------------------9分 ∴AD 与⊙M 相切----------------------------------------------------------------------------------------10分第9题答案.解：（1）如图1 过点B 作BN OC ⊥，垂足为N由题意知 10OB OC == 8B N O A==6ON ∴== ····················································· 1分 (68)B ∴， ················································································· 1分 （2）如图1 90BON POH ONB OHP ∠=∠∠=∠= °BON POH ∴△∽△BO ON BNPO OH PH∴== 5PC t = 1056384O P t O H t P H t∴=-∴=-=- 10(63)34BH OB OH t t ∴=-=--=+ ·········································································· 1分 21(34)(84)6416(02)2S t t t t t ∴=+-=-++<≤ ·························································· 2分 （3）①当点G 在点E 上方时如图2 过点B 作BN OC '⊥，垂足为N '84BN CN CB ''==∴==BM PCBC PM ∥∥∴四边形BMPC 是平行四边形5PM BC BM PC t OC OB∴=====OCB OBC ∴∠=∠PM CB OPD OCB ODPOBC∴∠=∠∠=∠ ∥ OPD ODP ∴∠=∠ 9090O P D R M P O D P D P H ∠+∠=∠+∠= °RMP DPH EM EP ∴∠=∠∴= ······················································································ 1分点F 为PM 的中点 E F P M∴⊥ 90EMF PMR EFM PRM ∠=∠∠=∠= ° MEF MPR ∴△∽△ME MF EF MP MR PR ∴== 其中2PMMF == 84MR PR === ····················································································· 1分 5ME EF ∴==2EF EG =2523E G M G E M E G ∴=∴=-=-= ············································· 1分xyOBPAHN图1xy OBP AHN ' EFDG R C 图2AB OC MBG BON '∴∠=∠ ∥又90GMB ON B '∠=∠= °94MG MB MGB N BO BM N B N O '∴∴=∴=''△∽△ 995420t t ∴=∴= ·············································································································· 1分 ②当点G 在点E 下方时 如图3 同理可得 527MG ME EG =+=+=21215420BM t t ∴==∴= ·············································· 1分∴当920t =或2120时，2EF EG =．x yO B PAH EF DG RC M图3。

动态几何问题---圆的综合11（2014•江苏苏州,第28题9分）如图，已知l1⊥l2，⊙O与l1，l2都相切，⊙O 的半径为2cm，矩形ABCD的边AD、AB分别与l1，l2重合，AB=4cm，AD=4cm，若⊙O与矩形ABCD沿l1同时向右移动，⊙O的移动速度为3cm，矩形ABCD的移动速度为4cm/s，设移动时间为t（s）（1）如图①，连接OA、AC，则∠OAC的度数为105°；（2）如图②，两个图形移动一段时间后，⊙O到达⊙O1的位置，矩形ABCD到达A1B1C1D1的位置，此时点O1，A1，C1恰好在同一直线上，求圆心O移动的距离（即OO1的长）；（3）在移动过程中，圆心O到矩形对角线AC所在直线的距离在不断变化，设该距离为d（cm），当d＜2时，求t的取值范围（解答时可以利用备用图画出相关示意图）．2（2014•江苏徐州,第28题10分）如图，矩形ABCD的边AB=3cm，AD=4cm，点E从点A出发，沿射线AD移动，以CE为直径作圆O，点F为圆O与射线BD的公共点，连接EF、CF，过点E作EG⊥EF，EG与圆O相交于点G，连接CG．（1）试说明四边形EFCG是矩形；（2）当圆O与射线BD相切时，点E停止移动，在点E移动的过程中，①矩形EFCG的面积是否存在最大值或最小值？若存在，求出这个最大值或最小值；若不存在，说明理由；②求点G移动路线的长．3.（2014•江苏苏州,第27题8分）如图，已知⊙O上依次有A、B、C、D四个点，=，连接AB、AD、BD，弦AB不经过圆心O，延长AB到E，使BE=AB，连接EC，F是EC的中点，连接BF．（1）若⊙O的半径为3，∠DAB=120°，求劣弧的长；（2）求证：BF=BD；（3）设G是BD的中点，探索：在⊙O上是否存在点P（不同于点B），使得PG=PF？并说明PB与AE的位置关系．4. （2014•上海，第25题14分）如图1，已知在平行四边形ABCD 中，AB=5，BC=8，cosB=，点P 是边BC 上的动点，以CP 为半径的圆C 与边AD 交于点E 、F （点F 在点E 的右侧），射线CE 与射线BA 交于点G ．（1）当圆C 经过点A 时，求CP 的长；（2）联结AP ，当AP∥CG 时，求弦EF 的长；（3）当△AGE 是等腰三角形时，求圆C 的半径长．45⊙O 第二次相切时，设移动时间为t 2，分别求出即可． 解：（1）∵l 1⊥l 2，⊙O 与l 1，l 2都相切， ∴∠OAD=45°，∵AB=4cm ，AD=4cm ， ∴CD=4cm ，AD=4cm ，∴tan ∠DAC===，∴∠DAC=60°，∴∠OAC 的度数为：∠OAD+∠DAC=105°， 故答案为：105；（2）如图位置二，当O 1，A 1，C 1恰好在同一直线上时，设⊙O 1与l 1的切点为E ，连接O 1E ，可得O 1E=2，O 1E ⊥l 1，在Rt △A 1D 1C 1中，∵A 1D 1=4，C 1D 1=4， ∴tan ∠C 1A 1D 1=，∴∠C 1A 1D 1=60°， 在Rt △A 1O 1E 中，∠O 1A 1E=∠C 1A 1D 1=60°， ∴A 1E==，∴t ﹣2=，∴t=+2，∴OO 1=3t=2+6；（3）①当直线AC 与⊙O 第一次相切时，设移动时间为t 1，如图，此时⊙O 移动到⊙O 2的位置，矩形ABCD 移动到A 2B 2C 2D 2的位置， 设⊙O 2与直线l 1，A 2C 2分别相切于点F ，G ，连接O 2F ，O 2G ，O 2A 2， ∴O 2F ⊥l 1，O 2G ⊥A 2G 2，由（2）得，∠C 2A 2D 2=60°，∴∠GA 2F=120°， ∴∠O 2A 2F=60°，在Rt △A 2O 2F 中，O 2F=2，∴A 2F=，∵OO 2=3t ，AF=AA 2+A 2F=4t 1+， ∴4t 1+﹣3t 1=2，∴t 1=2﹣， ②当直线AC 与⊙O 第二次相切时，设移动时间为t 2，记第一次相切时为位置一，点O 1，A 1，C 1共线时位置二，第二次相切时为位置三，由题意知，从位置一到位置二所用时间与位置二到位置三所用时间相等，∴+2﹣（2﹣）=t 2﹣（+2），解得：t 2=2+2，综上所述，当d ＜2时，t 的取值范围是：2﹣＜t ＜2+2．点评：此题主要考查了切线的性质以及锐角三角函数关系等知识，利用分类讨论2专题：分析： （1）只要证到三个内角等于90°即可． （2）易证点D 在⊙O 上，根据圆周角定理可得∠FCE=∠FDE，从而证到△CFE∽△DAB，根据相似三角形的性质可得到S 矩形ABCD =2S △CFE =．然后只需求出CF 的范围就可求出S 矩形ABCD 的范围．根据圆周角定理和矩形的性质可证到∠GDC=∠FDE=定值，从而得到点G 的移动的解答：解：（1）证明：如图1，∵CE为⊙O的直径，∴∠CFE=∠CGE=90∵EG⊥EF，∴∠FEG=90°．∴∠CFE=∠CGE=∠FEG=90°．∴四边形EFCG是矩形．（2）①存在．连接OD，如图2①，∵四边形ABCD是矩形，∴∠A=∠ADC=90°．∵点O是CE的中点，∴OD=OC．∴点D在⊙O上．∵∠FCE=∠FDE，∠A=∠CFE=90°，∴△CFE∽△DAB．∴=（）2．∵AD=4，AB=3，∴BD=5，S△CFE =（）2•S△DAB=××3×4=．∴S矩形ABCD =2S△CFE=．∵四边形EFCG是矩形，∴FC∥EG．∴∠FCE=∠CEG．∵∠GDC=∠CEG，∠FCE=∠FDE，∴∠GDC=∠FDE．∵∠FDE+∠CDB=90°，∴∠GDC+∠CDB=90°．∴∠GDB=90°Ⅰ．当点E在点A（E′）处时，点F在点B（F′）处，点G在点D （G′处，如图2①所示．此时，CF=CB=4．Ⅱ．当点F在点D（F″）处时，直径F″G″⊥BD，如图2②所示，此时⊙O与射线BD相切，CF=CD=3．Ⅲ．当CF⊥BD时，CF最小，此时点F到达F″′，如图2③所示．S△BCD=BC•CD=BD•CF″′．∴4×3=5×CF″′∴CF″′=．∴≤CF≤4．∵S矩形ABCD =，∴×（）2≤S矩形ABCD≤×42．∴≤S≤12．∴矩形EFCG的面积最大值为12，最小值为．②∵∠GDC=∠FDE=定值，点G的起点为D，终点为G″，∴点G的移动路线是线段DG″．∵∠GDC=∠FDE，∠DCG″=∠A=90°，∴△DCG″∽△DAB．∴=．∴=．∴DG″=．∴点G移动路线的长为．（1）利用圆心角定理进而得出∠BOD=120°，再利用弧长公式求出劣弧的长；（2）利用三角形中位线定理得出BF=AC，再利用圆心角定理得出=，进而得出BF=BD；（3）首先过点B作AE的垂线，与⊙O的交点即为所求的点P，得出BP⊥AE，进而证明△PBG≌△PBF（SAS），求出PG=PF．（1）解：连接OB，OD，∵∠DAB=120°，∴所对圆心角的度数为240°，∵⊙O的半径为3，∴劣弧的长为：×π×3=2π；（2）证明：连接AC，∵AB=BE，∴点B为AE的中点，∵F是EC的中点，∴BF为△EAC的中位线，∴BF=AC，∵=，∴+=+，∴=，∴BD=AC，∴BF=BD；（3）解：过点B作AE的垂线，与⊙O的交点即为所求的点P，∵BF为△EAC的中位线，∴BF∥AC，∴∠FBE=∠CAE，∵=，∴∠CAB=∠DBA，∵由作法可知BP⊥AE，∴∠GBP=∠FBP，∵G为BD的中点，∴BG=BD，∴BG=BF，在△PBG和△PBF中，，∴△PBG≌△PBF（SAS），∴PG=PF．解：（1）如图1，设⊙O的半径为r，当点A在⊙C上时，点E和点A重合，过点A作AH⊥BC于H，∴BH=AB•cosB=4，∴AH=3，CH=4，∴AC==5，∴此时CP=r=5；（2）如图2，若AP∥CE，APCE为平行四边形，∵CE=CP，∴四边形APCE是菱形，连接AC、EP，则AC⊥EP，∴AM=CM=，由（1）知，AB=AC，则∠ACB=∠B，∴CP=CE==，∴EF=2=；（3）如图3：过点C作CN⊥AD于点N，∵cosB=，∴∠B＜45°，∵∠BCG＜90°，∴∠BGC＞45°，∵∠AEG=∠BCG≥∠ACB=∠B，∴当∠AEG=∠B时，A、E、G重合，∴只能∠AGE=∠AEG，∵AD∥BC，∴△GAE∽△GBC，∴=，即=，解得：AE=3，EN=AN﹣AE=1，∴CE===．点评：4 5。

《动态几何---圆》综合练习姓名：1.如图，射线0A丄射线0B,半径r=2cm的动圆M与0B相切于点Q (圆M与0A?没有公共点)，P 是0A上的动点，且PM=3cm，设OP=xcm，OQ=ycm.(1 )求x、y所满足的关系式，并写出x的取值范围.(2)当厶MOP为等腰三角形时，求相应的x的值.O P A2.已知：如图，在Rt△ ABC中，/ A = 90° AB= 3, AC = 4 . O A与O B外切于点D,并分别与BC、A C边交于点E、F .(1)设EC = x, FC = y,求y关于x的函数关系式，并写出定义域;(2)如果O C与O A、O B都相切，求AD : BD .3.在平行四边形ABCD中，AB=2，/ A=60o,以AB为直径的O O过点D，点M是BC 边上一点（点M不与B、C重合），过点M作BC的垂线MN，交CD边于点N .以CN为直径作O P,设BM = x , O P的半径为y .①求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围;②当BM为何值时，O P与O O相切.4.已知菱形ABCD的顶点A,B在x轴上，点-BAD =60，点A的坐标为（-2,0），动点Ar Dr Cr Br A的顺序在菱形的边上匀速运动一周，设运动的时间为何值时，以P点为圆心，1为半径的圆与对角线A在点B的左侧，点D在y轴的正半轴上，P从点A出发，以每秒1个单位的速度，按照t秒，求t为5. （2011年南京）如图，在Rt A ABC 中，/ ACB=90°, AC=6 cm,BC=8 cm, P 为BC 的中点.动点Q从点P出发，沿射线PC方向以2 cm /s的速度运动，以P为圆心，PQ长为半径作圆.设点Q运动的时间为t s.⑴当t=1.2时，判断直线AB与O P的位置关系，并说明理由；⑵已知O OABC的外接圆，若O P与O O相切，求t的值.6.等腰直角厶ABC和O O如图放置，已知AB=BC =1,/ ABC=90 ° ,O O的半径为1,圆心O与直线AB的距离为5 .现△ ABC以每秒2个单位的速度向右移动，同时△ ABC的边长AB、BC又以每秒0.5个单位沿BA、BC方向增大.⑴ 当厶ABC的边（BC边除外）与圆第一次相切时，点B移动了多少距离？⑵ 若在△ ABC移动的同时，O O也以每秒1个单位的速度向右移动，则△ ABC从开始移动，到它的边与圆最后一次相切，一共经过了多少时间？⑶ 在⑵的条件下，是否存在某一时刻，△ ABC与O O的公共部分等于O O的面积？若存在，求出恰好符合条件时两个图形移动了多少时间？若不存在，请说明理由.OABC 的边所在直线相切的t 的值.7. ( 2005南京)如图所示，形如量角器的半圆 O 的直径DE=12cm ，形如三角板的" ABC中，/ ACB=90。

与圆有关的动态问题与圆有关的动态问题是一类综合性的问题。

解题时，既要熟悉圆的有关性质定理，还要注意动静结合，特殊和一般结合，结合图形全面考虑，细心分析，灵活运用有关的性质定理，必要时还需添加恰当的辅助线，加强图形间的内在联系，以便转化，使问题顺利解决。

在与圆有关的动态问题中，最常用到的定理有：1. 切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径。

2. 切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。

说明：在遇到切线时，连接圆心与切点是常见的辅助线，可以构造直角三角形，为解题架设了桥梁。

3. 弧、弦、弦心距、圆心角的关系定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对弦的弦心距也相等。

4. 圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半。

5. 切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角。

例题1如图，已知线段OA交⊙O于点B，且OB＝AB，点P是⊙O上的一个动点，那么∠OAP 的最大值是（）A. 30°B. 45°C. 60°D. 90°解析：本题考查了直线与圆的位置关系；掌握切线的性质与判定是解题的关键。

根据题意找出当OP⊥AP时，∠OAP取得最大值。

所以在Rt△AOP中，利用直角三角形可以求得此时∠OAP的值。

解：根据题意知，当∠OAP的取最大值时，OP⊥AP；在Rt△AOP中，∵OP＝OB，OB＝AB，∴OA ＝2OP，∴∠OA P＝30°。

故选A。

答案：A点拨：在点P的运动过程中，∠OAP取最大值时，AP正好是⊙O的切线。

例题2 （北京中考）如图，点P是以O为圆心，AB为直径的半圆上的动点，AB＝2，设弦AP 的长为x，△APO的面积为y，则下列图象中，能表示y与x的函数关系的图象大致是（）解析：考虑用特殊值验证的方法。

学生做题前请先回答以下问题问题1：动态几何问题的处理框架是什么？问题2：分析运动过程需要关注的四要素是什么？问题3：在分析几何特征、表达时，常见表达线段长的方式有哪些？问题4：想一想，将碰撞点及碰撞时刻标注在线段图上有什么用处？动态几何专项训练（三）一、单选题(共5道，每道20分)1.如图，正方形OABC的边OA，OC在坐标轴上，点B的坐标为（-4，4）．点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿x轴向点O运动；点Q从点O同时出发，以相同的速度沿x 轴的正方向运动，规定点P到达点O时，点Q也停止运动．连接BP，过点P作BP的垂线，与过点Q且平行于y轴的直线相交于点D．BD与y轴交于点E，连接PE．设点P运动的时间为t（s）．（1）∠PBD的度数为__________，点D的坐标为_________（用含t的代数式表示）；（2）当t为何值时，△PBE是等腰三角形？（3）探索△POE的周长是否随时间t的变化而变化，若变化，请说明理由；若不变，试求这个定值．（建议学生打印做题，并在做完之后对比解题思路中的示范照片）1．（1）∠PBD的度数为_______，点D的坐标为______（用含t的代数式表示）．( ) A.60°，(t，t) B.45°，(t，t)C.60°，D.45°，(t，2t)答案：B解题思路：见第2题中解析试题难度：三颗星知识点：全等三角形的判定与性质2.（上接第1题）2．（2）中t的值为( )A.4B.C.4或D.4或答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：等腰三角形的存在性3.如图，在△ABC中，∠C=90°，BC=3，AB=5．点P从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿B→C→A→B的方向运动；点Q从点C同时出发，以每秒2个单位长度的速度沿C→A→B 的方向运动，到达点B后立即原速返回．P，Q两点相遇后同时停止，设运动的时间为t秒．（1）在点P从点B运动到点C的过程中，当t为何值时，△PCQ为等腰三角形？（2）在点Q从点B返回点A的过程中，设△PCQ的面积为S平方单位．①求S与t之间的函数关系式；②当S最大时，过点P作直线交AB于点D，将△ABC沿直线PD折叠，使点A落在直线PC 上，求折叠后的△APD与△PCQ重叠部分的面积．（建议学生打印做题，并在做完之后对比解题思路中的示范照片）1．（1）中t的值为( )A.1B.C.1或D.1或答案：C解题思路：见第5题中解析试题难度：三颗星知识点：等腰三角形的存在性4.（上接第3题）2．（2）①中S与t之间的函数关系式为( )A. B.C. D.答案：A解题思路：见第5题中解析试题难度：三颗星知识点：动点问题5.（上接第3，4题）3．（2）②中重叠部分的面积为( )A. B.C. D.答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：动点问题。

学生做题前请先回答以下问题
问题1：对于动态几何综合问题如何分析运动过程？
问题2：在试题2中，分析运动状态时，需要考虑哪些状态转折点？对应的时刻是什么？
问题3：想一想，将状态转折点及对应时刻标注在线段图上有什么用处？
问题4：以试题2中的第二段为例，说说你是怎么画出符合题意的图形的．
问题5：判断第3题属于什么类型的问题，其处理思路是什么？
问题6：对于几何最值问题，在找不变特征时要向定点，定线段或定图形靠拢，分析时常用的理论依据有哪些？
动态几何综合（四）
一、单选题(共3道，每道30分)
1.如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于点A，B，C为OB的中点，四边形AOCD为矩形．
（1）设直线AB与CD的交点为N，则点N的坐标为( )
A. B.
C. D.
2.（上接第1题）（2）动点P从点C出发，沿线段CD以每秒1个单位长度的速度向终点D 运动；动点M从点A同时出发，沿线段AB以每秒个单位长度的速度向终点B运动．过
点P作于点H，连接MP，MH．设点P运动的时间为t秒，则当△MPH与矩形AOCD重叠部分的面积为1时，t的值为( )
A. B.
C. D.
3.（上接第1，2题）（3）在（2）的条件下，若点Q是点B关于点A的对称点，
则当BP+PH+HQ的值最小时，点P的坐标为( )
A. B.
C. D.。

2023年中考九年级数学高频考点提升练习--圆的综合1．如图，AB是⊙O的直径，点C为⊙O上一点，OE⊥BC于点H，交⊙O于点E，点D为OE的延长线上一点，DC的延长线与BA的延长线交于点F﹐且∠BOD=∠BCD，连结BD、AC、CE.（1）求证：DF为⊙O的切线；（2）过E作EG⊥FD于点G，求证：△CHE≌△CGE；（3）如果AF=1，sin∠FCA=√33，求EG的长.2．如图，在平面直角坐标系中，直线y=−12x+2与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线y=−23x 2+bx+c过点B且与直线相交于另一点C(52,34).（1）求抛物线的解析式；（2）点P是抛物线上的一动点，当∠PAO=∠BAO时，求点P的坐标；（3）点N(n,0) (0<n<52)在x轴的正半轴上，点M(0,m)是y轴正半轴上的一动点，且满足∠MNC=90°.①求m与n之间的函数关系式；②当m在什么范围时，符合条件的N点的个数有2个？3．综合与探究如图，抛物线y=−x2+bx+c经过A(−1,0)，D(3,4)两点，直线AD与y 轴交于点Q．点P(m,n)是直线AD上方抛物线上的一个动点，过点P作PF⊥x轴，垂足为F，并且交直线AD于点E．（1）请直接写出抛物线与直线AD的函数关系表达式；（2）当CP//AD时，求出点P的坐标；（3）是否存在点P，∠CPE=∠QFE？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．4．如图，在梯形ABCD中，AD⊙BC，⊙B=90°，BC=6，AD=3，⊙DCB=30°．点E、F同时从B点出发，沿射线BC向右匀速移动，已知F点移动速度是E点移动速度的2倍，以EF为一边在CB的上方作等边⊙EFG，设E点移动距离为x（x＞0）．（1）⊙EFG的边长是（用含有x的代数式表示），当x=2时，点G的位置在；（2）若⊙EFG与梯形ABCD重叠部分面积是y，求y与x之间的函数关系式；（3）探究（2）中得到的函数y在x取何值时，存在最大值？并求出最大值．5．如图，抛物线y=−34x2+bx+c与x轴交于点A(4，0)，与y轴交于点B(0，3)，点M(m，0)为线段OA上一动点，过点M且垂直于x轴的直线与直线AB及抛物线分别交于点P，N．（1）求抛物线的解析式，并写出此抛物线的对称轴；（2）如果以点P、N、B、O为顶点的四边形为平行四边形，求m的值；（3）若△BPN与△OPM面积相等，直接写出点M的坐标．6．在平面直角坐标系xOy中，⊙C的半径为r(r＞1)，点P是圆内与圆心C不重合的点，⊙C的“完美点”的定义如下：过圆心C的任意直线CP与⊙C交于点A，B，若满足|PA﹣PB|＝2，则称点P为⊙C的“完美点”，如图点P为⊙C的一个“完美点”.（1）当⊙O的半径为2时，﹣12)⊙O的“完①点M( 32，0)⊙O的“完美点”，点(﹣√32美点”；(填“是”或者“不是”)②若⊙O的“完美点”P在直线y＝34x上，求PO的长及点P的坐标；（2）设圆心C的坐标为(s，t)，且在直线y＝﹣2x+1上，⊙C半径为r，若y轴上存在⊙C的“完美点”，求t的取值范围.7．平面直角坐标系xOy中有点P和某一函数图象M，过点P作x轴的垂线，交图象M 于点Q ，设点P ，Q 的纵坐标分别为 y P ， y Q ．如果 y P >y Q ，那么称点P 为图象M 的上位点；如果 y P =y Q ，那么称点P 为图象M 的图上点；如果 y P <y Q ，那么称点P 为图象M 的下位点． （1）已知抛物线 y =x 2−2 .① 在点A (-1，0)，B (0，-2)，C (2，3)中，是抛物线的上位点的是 ；② 如果点D 是直线 y =x 的图上点，且为抛物线的上位点，求点D 的横坐标 x D 的取值范围；（2）将直线 y =x +3 在直线 y =3 下方的部分沿直线 y =3 翻折，直线 y =x +3 的其余部分保持不变，得到一个新的图象，记作图象G ．⊙H 的圆心H 在x 轴上，半径为 1 ．如果在图象G 和⊙H 上分别存在点E 和点F ，使得线段EF 上同时存在图象G 的上位点，图上点和下位点，求圆心H 的横坐标 x H 的取值范围．8．在平面直角坐标系xOy 中，⊙O 的半径为1，点A 在⊙O 上，点P 在⊙O 内，给出如下定义：连接AP 并延长交⊙O 于点B ，若AP =kAB ，则称点P 是点A 关于⊙O 的k 倍特征点．（1）如图，点A 的坐标为(1，0)．①若点P 的坐标为(−12，0)，则点P 是点A 关于⊙O 的 ▲倍特征点；②在C 1(0，12)，C 2(12，0)，C 3(12，−12)这三个点中，点 ▲是点A 关于⊙O 的12倍特征点； ③直线l 经过点A ，与y 轴交于点D ，∠DAO =60°.点E 在直线l 上，且点E 是点A 关于⊙O 的12倍特征点，求点E 的坐标；（2）若当k取某个值时，对于函数y=−x+1(0<x<1)的图象上任意一点M，在⊙O上都存在点N，使得点M是点N关于⊙O的k倍特征点，直接写出k的最大值和最小值．9．如图，已知抛物线y=x2+bx-3c经过点A(1,0)和点B(0,-3)，与x 轴交于另一点C ．（1）求抛物线的解析式；（2）若点P 是抛物线上的动点，点Q 是抛物线对称轴上的动点，是否存在这样的点P ，使以点A、C、P、Q 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．10．如图，在⊙ABC中，⊙ACB =90°，AB=10，AC=8，CD是边AB的中线．动点P 从点C出发，以每秒5个单位长度的速度沿折线CD-DB向终点B运动．过点P作PQ⊙AC于点Q，以PQ为边作矩形PQMN，使点C、N始终在PQ的异侧，且PN= 2．设矩形PQMN与⊙ACD重叠部分图形的面积是S，点P的运动时间为t(s)3PQ（t>0）．（1）当点P在边CD上时，用含t的代数式表示PQ的长．（2）当点N落在边AD上时，求t的值．（3）当点P在CD上时，求S与t之间的函数关系式．（4）连结DQ，当直线DQ将矩形PQMN分成面积比为1：2的两部分时，直接写出t的值．11．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y= √36x2﹣114x+3 √3与x轴交于点A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，过点C作CD⊙x轴，且交抛物线于点D，连接AD，交y轴于点E，连接AC．（1）求S⊙ABD的值；（2）如图2，若点P是直线AD下方抛物线上一动点，过点P作PF⊙y轴交直线AD于点F，作PG⊙AC交直线AD于点G，当⊙PGF的周长最大时，在线段DE上取一点Q，当PQ+ 35QE的值最小时，求此时PQ+35QE的值；（3）如图3，M是BC的中点，以CM为斜边作直角⊙CMN，使CN⊙x轴，MN⊙y 轴，将⊙CMN沿射线CB平移，记平移后的三角形为⊙C′M′N′，当点N′落在x轴上即停止运动，将此时的⊙C′M′N′绕点C′逆时针旋转（旋转度数不超过180°），旋转过程中直线M′N′与直线CA交于点S，与y轴交于点T，与x轴交于点W，请问⊙CST是否能为等腰三角形？若能，请求出所有符合条件的WN′的长度；若不能，请说明理由．12．在平面直角坐标系xOy中，把与x轴交点相同的二次函数图象称为“共根抛物线”．如图，抛物线L1：y=12x2−32x−2的顶点为D，交x轴于点A、B（点A在点B左侧），交y轴于点C．抛物线L2与L1是“共根抛物线”，其顶点为P．（1）若抛物线L2经过点（2，﹣12），求L2对应的函数表达式；（2）当BP﹣CP的值最大时，求点P的坐标；（3）设点Q是抛物线L1上的一个动点，且位于其对称轴的右侧．若⊙DPQ与⊙ABC相似，求其“共根抛物线”L2的顶点P的坐标．13．如图，已知抛物线与x轴交于A(−1，0)、B(3，0)两点，与y轴交于点C(0，3)．（1）求抛物线的解析式；（2）点D是第一象限内抛物线上的一个动点（与点C、B不重合），过点D作DF⊥x 轴于点F，交BC于点E，过点D作DM⊥BC，垂足为M．求线段DM的最大值；（3）已知P为抛物线对称轴上一动点，若△PBC是直角三角形，求出点P的坐标．14．如图，D是⊙ABC的BC边上一点，连接AD，作⊙ABD的外接圆，将⊙ADC沿直线AD折叠，点C的对应点E落在⊙O上.（1）求证：AE＝AB.（2）填空：①当⊙CAB＝90°，cos⊙ADB＝13，BE＝2时，边BC的长为.②当⊙BAE＝时，四边形AOED是菱形.15．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点A（0，4），点B是x轴正半轴上一点，连结AB，过点A作AC⊙AB，交x轴于点C，点D是点C关于点A的对称点，连结BD，以AD为直径作⊙Q交BD于点E，连结AE并延长交x轴于点F，连结DF.（1）求线段AE的长；（2）若AB﹣BO＝2，求tan⊙AFC的值；（3）若⊙DEF与⊙AEB相似，求BEDE的值.16．如图，已知AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，BG与⊙O相切于点B，交AC的延长线于点D（点D在线段BG上），AC = 8，tan⊙BDC = 4 3（1）求⊙O的直径；（2）当DG= 52时，过G作GE//AD，交BA的延长线于点E，说明EG与⊙O相切.答案解析部分1．【答案】（1）证明：如图，连结OC ，∵OE⊙BC ， ∴⊙OHB=90°， ∴⊙OBH+⊙BOD=90°， ∵OB=OC ， ∴⊙OBH=⊙OCB ， ∵⊙BOD=⊙BCD ， ∴⊙BCD+⊙OCB=90°， ∴OC⊙CD ，∵点C 为⊙O 上一点， ∴DF 为⊙O 的切线（2）证明：∵⊙OCD=90°， ∴⊙ECG+⊙OCE=90°， ∵OC=OE ， ∴⊙OCE=⊙OEC ， ∴⊙ECG+⊙OEC=90°， ∵⊙OEC+⊙HCE=90°， ∴⊙ECG=⊙HCE ， 在⊙CHE 和⊙CGE 中， {∠CHE ＝∠CGE ＝90°∠ECG ＝∠HCE CE ＝CE，∴⊙CHE⊙⊙CGE （AAS ） （3）解：∵AB 是⊙O 的直径，∴⊙ACB=90°， ∴⊙ABC+⊙BAC=90°， ∵DF 为⊙O 的切线， ∴⊙OCA+⊙FCA=90°， ∵OA=OC ， ∴⊙OAC=⊙OCA ， ∴⊙FCA=⊙ABC ，∴sin∠ABC =sin∠FCA =√33，设AC= √3a ，则AB=3a ，∴BC =√AB 2−AC 2=√(3a)2−(√3a)2=√6a ， ∵⊙FCA=⊙ABC ，⊙AFC=⊙CFB ， ∴⊙ACF⊙⊙CFB ，∴AF CF =CF BF =AC BC =1√2，∵AF=1， ∴CF= √2 ， ∴BF =(√2)21=2 ，∴BF-AF=AB=1，∴OC =12,BC =√63，∵OE⊙BC ，∴CH =12BC =√66，∴OH =√OC 2−CH 2=(12)2−(√66)2=√36，∴HE=OE-OH= 12−√36，∵⊙CHE⊙⊙CGE ，∴EG=HE= 12−√36.2．【答案】（1）解：∵直线 y =−12x +2 与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，令x=0，则y=2，令y=0，则x=4， ∴A （4，0），B （0，2），∵抛物线 y =−23x 2+bx +c 经过B （0，2）， C(52,34) ，∴{2=c 34=−23×254+52b +c ，解得： {b =76c =2 ， ∴抛物线的表达式为： y =−23x 2+76x +2 ； （2）解：当点P 在x 轴上方时，点P 与点C 重合，满足 ∠PAO =∠BAO ， ∵C(52,34) ，∴P(52,34) ，当点P 在x 轴下方时，如图，AP 与y 轴交于点Q ，∵∠PAO =∠BAO ，∴B ，Q 关于x 轴对称，∴Q （0，-2），又A （4，0），设直线AQ 的表达式为y=px+q ，代入，{−2=q0=4p +q ，解得： {p =12q =−2 ，∴直线AQ 的表达式为： y =12x −2 ，联立得：{y =12x −2y =−23x 2+76x +2，解得：x=3或-2，∴点P 的坐标为（3， −12 ）或（-2，-3），综上，当 ∠PAO =∠BAO 时，点P 的坐标为： (52,34) 或（3，−12 ）或（-2，-3）； （3）解：①如图，⊙MNC=90°，过点C 作CD⊙x 轴于点D ，∴⊙MNO+⊙CND=90°，∵⊙OMN+⊙MNO=90°，∴⊙CND=⊙OMN,又⊙MON=⊙CDN=90°，∴⊙MNO⊙⊙NCD ，∴MO ND =NO CD ，即 m 52−n =n 34 ， 整理得： m =−43n 2+103n ； ②如图，∵⊙MNC=90°，以MC 为直径画圆E ，∵N(n,0) (0<n <52) ， ∴点N 在线段OD 上（不含O 和D ），即圆E 与线段OD 有两个交点（不含O 和D ）， ∵点M 在y 轴正半轴，当圆E 与线段OD 相切时，有NE= 12 MC ，即NE 2= 14MC 2， ∵M （0，m ）， C(52,34) ， ∴E （ 54， 38+m 2 ）， ∴(38+m 2)2 = 14[(52)2+(m −34)2] ， 解得：m= 2512， 当点M 与点O 重合时，如图，此时圆E 与线段OD （不含O 和D ）有一个交点，∴当0＜m ＜ 2512时，圆E 与线段OD 有两个交点， 故m 的取值范围是：0＜m ＜ 2512. 3．【答案】（1）解：∵抛物线 y =−x 2+bx +c 经过 A(−1,0) ， D(3,4) 两点，∴{−(−1)2+b ×(−1)+c =0−32+b ×3+c =4，解之得： {b =3c =4 ∴抛物线的函数关系表达式为 y =−x 2+3x +4 ，设直线 AD 的函数关系表达式为 y =kx +b ，∵直线 AD 经过 A(−1,0) ， D(3,4) 两点，∴{k ×(−1)+b =0k ×3+b =4，解之得： {k =1b =1 ∴直线 AD 的函数关系表达式为 y =x +1 ．（2）解：把 x =0 代入 y =−x 2+3x +4 ，得 y =4 ．∴点 C 坐标是（0，4），∵CP//AD∴k CP =k AD =1 ，设直线 CP 的函数关系表达式为 y =x +b ，∵将点 C （0，4），代入 y =x +b 得： b =4 ，∴直线 CP 的函数关系表达式为 y =x +4 ，∵直线 CP 与抛物线 y =−x 2+3x +4 相交于 P ，则有： x +4=−x 2+3x +4 ，解之得： x 1=0 ， x 2=2 ，把 x =2 代入 y =x +4 ，得 y =6 ，∴点P 的坐标是（2，6）．（3）解：存在点 P ，使得 ∠CPE =∠QFE ．过点 C 作 CG ⊥PF ，垂足为 G ．过点 Q 作 QH ⊥PF ，垂足为 H ．则四边形CGHQ为矩形．∴CG=QH，∠CGP=∠QHF=90°．∴当PG=HF时，△CGP≌△QHF，这时∠CPG=∠QFH，即∠CPE=∠QFE．设P(m,−m2+3m+4)，则PG=−m2+3m+4−4=−m2+3m．∵HF=QO=1．∴−m2+3m=1，解得m=3+√52或m=3−√52．4．【答案】（1）x；D（2）解：①当0＜x≤2时，⊙EFG在梯形ABCD内部，所以y= √34x2；②分两种情况：⊙．当2＜x＜3时，如图1，点E、点F在线段BC上，⊙EFG与梯形ABCD重叠部分为四边形EFNM，∵⊙FNC=⊙FCN=30°，∴FN=FC=6﹣2x．∴GN=3x﹣6．∵在Rt⊙NMG中，⊙G=60°，GN=3x﹣6，∴GM= 12（3x﹣6），由勾股定理得：MN= √32（3x﹣6），∴S⊙GMN= 12×GM×MN= 12× 12（3x﹣6）× √32（3x﹣6）= √38（3x﹣6）2，所以，此时y= √34x2﹣√38（3x﹣6）2=﹣7√38x2+9√32x−9√32；⊙．当3≤x≤6时，如图2，点E在线段BC上，点F在射线CH上，⊙EFG与梯形ABCD重叠部分为⊙ECP，∵EC=6﹣x，∴y= √38（6﹣x）2= √38x2﹣3√32x+ 9√32，⊙．当x＞6时，点E，F都在线段BC的延长线上，没公共部分，∴y=0（3）解：当0＜x≤2时，∵y= √34x2，在x＞0时，y随x增大而增大，∴x=2时，y最大= √3；当2＜x＜3时，∵y=﹣9√37x 2+9√32x−9√32在x= 187时，y最大= 9√37；当3≤x≤6时，∵y= √38x−3√32x+9√32，在x＜6时，y随x增大而减小，∴x=3时，y最大= 9√38．综上所述：当x= 187时，y最大=9√37．5．【答案】（1）解：∵抛物线y=−34x2+bx+c与x轴交于点A(4，0)，与y轴交于点B(0，3)，∴{−34×16+4 b+c=0c=3，解得{b=94c=3，∴抛物线y=−34x 2+94x+3=−34(x−32)2+7516；∴抛物线的对称轴为直线x=32（2）解：设直线A(4，0)，B(0，3)的解析式为y=ax+d，∴{4a+d=0d=3，解得{a=−34 d=3，∴直线AB的表达式为：y=−34x+3；∵点M(m，0)为线段OA上一动点，过点M且垂直于x轴的直线与直线AB及抛物线分别交于点P，N，∴PN//y轴，即PN//OB，且点N在点P上方，若以点P、N、B、O为顶点的四边形为平行四边形，则只需要PN=OB，∴−34m2+94m+3−(−34m+3)=3，解得m=2；即当m=2时，以点P、N、B、O为顶点的四边形为平行四边形．（3）解：M（1，0）6．【答案】（1）不是；是；解：如图1，根据题意，|PA−PB|＝2，∴|OP+2−(2−OP)|＝2，∴OP＝1. 若点P在第一象限内，作PQ⊙x轴于点Q，∵点P在直线y＝34x上，OP＝1，∴OQ=45,PQ=3 5 .∴P( 45,35). 若点P在第三象限内，根据对称性可知其坐标为(﹣45，﹣35). 综上所述，PO的长为1，点P的坐标为( 45,35)或（−45,−35）).（2）解：对于⊙C的任意一个“完美点”P都有|PA﹣PB|＝2，∴|CP+r﹣(r﹣CP)|＝2.∴CP＝1.∴对于任意的点P，满足CP＝1，都有|CP+r﹣(r﹣CP)|＝2，∴|PA﹣PB|＝2，故此时点P为⊙C的“完美点”.因此，⊙C的“完美点”是以点C为圆心，1为半径的圆.设直线y＝﹣2x+1与y轴交于点D，如图2，当⊙C 移动到与y 轴相切且切点在点D 的上方时，t 的值最大.设切点为E ，连接CE ，∵⊙C 的圆心在直线y ＝﹣2x+1上，∴此直线和y 轴，x 轴的交点D(0，1)，F( 12，0)， ∴OF ＝ 12，OD ＝1， ∵CE⊙OF ，∴⊙DOF⊙⊙DEC ，∴OD DE =OF CE， ∴1DE =12， ∴DE ＝2，∴OE ＝3，t 的最大值为3，当⊙C 移动到与y 轴相切且切点在点D 的下方时，t 的值最小.同理可得t 的最小值为﹣1.综上所述，t 的取值范围为﹣1≤t≤3.7．【答案】（1）解：① A ，C ②∵点D 是直线 y =x 的图上点，∴点D 在 y =x 上. 又∵点D 是 y =x 2−2 的上位点， ∴点D 在 y =x 与y =x 2−2 的交点R ，S 之间运动. ∵{y =x 2−2,y =x.∴{x 1=−1,y 1=−1. {x 2=2,y 2=2.∴点R( −1 ， −1 )，S( 2 ， 2 ). ∴−1<x D <2 .（2）解：如图，当圆与两条直线的反向延长线相切时，为临界点，临界点的两边都满足要求.将y=x+3沿直线y=3翻折后的直线的解析式为y=−x+3当y=x+3=0时，x=−3，∴A(-3,0),OA=3当x=0时，y=x+3=3∴C(0,3),OC=3∴OA=OC∵∠AOC=90°∴∠CAO=45°∴AH1=rsin45°=1√22=√2∵A(-3,0)∴x H1=−3+√2同理可得x H2=3−√2∴线段EF上同时存在图象G的上位点，图上点和下位点，圆心H的横坐标x H的取值范围为x H>3−√2或x H<−3+√2.8．【答案】（1）解：①34②C3③如图所示，设直线AD交圆O于B，连接OE，过点E作EF⊙x轴于F，∵点E 是点A 关于⊙O 的12倍的特征点， ∴AE AB =12， ∴E 是AB 的中点，∴OE⊙AB ，∵⊙EAO=60°，∴⊙EOA=30°，∴AE =12OA =12，EF =12OE ， ∴OE =√OA 2−AE 2=√32， ∴EF =√34， ∴OF =√OE 2−EF 2=34， ∴点E 的坐标为（34，√34）； （2）k 的最小值为2−√24，k 有最大值为2+√249．【答案】（1）解：把A （1，0），B （0，-3）代入 y=x 2+bx-3c ，得 {1+b −3c =0−3c =−3解得 {b =2c =1∴抛物线的解析式为y=x 2+2x-3；（2）解：对于y=x 2+2x-3，∵x =−b 2a=−1 ，A(1，0)∴C 点坐标为（-3,0），AC=4，Q点的横坐标为-1.如图所示：若以点A、C、P、Q 为顶点的平行四边形以AC为边，则PQ=AC=4.①当P点的横坐标为x1=-1-4=-5时，y1=x2+2x−3=25−10−3=12，即P1(-5,12）②当P点的横坐标为x2=-1+4=3时，y2=x2+2x−3=9+6−3=12，即P2(3,12）；若以点A、C、P、Q为顶点的平行四边形以AC为对角线，则设P3的横坐标为x3，则有x3−12=−3+12，解得x3=-1，y3=x2+2x−3=1−2−3=−4，即P3(-1，-4)。

BAODCE动态几何习题精选（至《四边形》止）1、（2008福建福州）如图，已知△ABC 是边长为6cm 的等边三角形，动点P 、Q 同时从A 、B 两点出发，分别沿AB 、BC 匀速运动，其中点P 运动的速度是1cm/s ，点Q 运动的速度是2cm/s ，当点Q 到达点C 时，P 、Q 两点都停止运动，设运动时间为t （s ），解答下列问题：（1）当t ＝2时，判断△BPQ 的形状，并说明理由； （2）设△BPQ 的面积为S （cm 2），求S 与t 的函数关系式；（3）作QR //BA 交AC 于点R ，连结PR ，当t 为何值时，△APR ∽△PRQ ？2、 (2008年·东莞市)（1）如左图，点O 是线段AD 的中点，分别以AO 和DO 为边在线段AD 的同侧作等边三角形OAB 和等边三角形OCD ，连结AC 和BD ，相交于点E ，连结BC ． 求∠AEB 的大小；（2）如右图，ΔOAB 固定不动，保持ΔOCD 的形状和大小不变，将ΔOCD 绕着点O 旋转（ΔOAB 和ΔOCD 不能重叠），求∠AEB 的大小.3、(08年宁夏回族自治区)如图，在边长为4的正方形ABCD 中，点P 在AB 上从A 向B 运动，连接DP 交AC 于点Q 。

（1）试证明：无论点P 运动到AB 上何处时，都有△ADQ ≌△ABQ ；（2）当点P 在AB 上运动到什么位置时，△ADQ 的面积是正方形ABCD 面积的61； （3）若点P 从点A 运动到点B ，再继续在BC 上运动到点C ，在整个运动过程中，当点P 运动到什么位置时，△ADQ 恰为等腰三角形。

CBO D AE4、（2008年广东省中山市）将两块大小一样含30°角的直角三角板，叠放在一起，使得它们的斜边AB 重合，直角边不重合，已知AB=8，BC=AD=4，AC 与BD 相交于点E ，连结CD ．(1)填空：如图9，AC= ，BD= ；四边形ABCD 是 梯形. (2)请写出图9中所有的相似三角形（不含全等三角形）. (3)如图10，若以AB 所在直线为x 轴，过点A 垂直于AB 的直线为y 轴建立如图10的平面直角坐标系，保持ΔABD 不动，将ΔABC 向x 轴的正方向平移到ΔFGH 的位置，FH 与BD 相交于点P ，设AF=t ，ΔFBP 面积为S ，求S 与t 之间的函数关系式，并写出t 的取值值范围.5、（2008年湖北省咸宁市）如图①，正方形 ABCD 中，点A 、B 的坐标分别为（0，10），（8，4），点C 在第一象限．动点P 在正方形 ABCD 的边上，从点A 出发沿A →B →C →D 匀速运动，同时动点Q 以相同速度在x 轴上运动，当P 点到D 点时，两点同时停止运动，设运动的时间为t 秒． (1) 当P 点在边AB 上运动时，点Q 的横坐标x （长度单位）关于运动时间t （秒）的函数图象如图②所示，请写出点Q 开始运动时的坐标及点P 运动速度； (2) 求正方形边长及顶点C 的坐标；(3) 在(1)中当t 为何值时，△OPQ 的面积最大，并求此时P 点的坐标．（4）如果点P 、Q 保持原速度速度不变，当点P 沿A →B →C →D 匀速运动时，OP 与PQ 能否相等，若能，写出所有符合条件的t 的值；若不能，请说明理由．D CAE图9图10 106、如图，直线434+-=x y 和x 轴、y 轴的交点分别为B 、C ，点A 的坐标是（-2，0）．（1）试说明△ABC 是等腰三角形；（2）动点M 从A 出发沿x 轴向点B 运动，同时动点N 从点B 出发沿线段BC 向点C 运动，运动的速度均为每秒1个单位长度．当其中一个动点到达终点时，他们都停止运动．设M 运动t 秒时，△MON 的面积为S ． ① 求S 与t 的函数关系式；②设点M 在线段OB 上运动时，是否存在S =4的情形？若存在，求出对应的t 值；若不存在请说明理由；③在运动过程中，当△MON 为直角三角形时，求t 的值． 7、（2008年龙岩市）如图，等腰梯形ABCD 中，AB =4，CD =9，∠C =60°，动点P 从点C 出发沿CD 方向向点D 运动，动点Q 同时以相同速度从点D 出发沿DA 方向向终点A 运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动. （1）求AD 的长；（2）设CP =x ，问当x 为何值时△PD Q 的面积达到最大，并求出最大值； （3）探究：在BC 边上是否存在点M 使得四边形PD Q M 是菱形？若存在，请找出点M ，并求出BM 的长；不存在，请说明理由.8、（2008年南昌市）如图，已知点F 的坐标为（3，0），点A B ，分别是某函数图象与x 轴、y 轴的交点，点P 是此图象上的一动点．设点P 的横坐标为x ，PF 的长为d ，且d与x 之间满足关系：355d x=-（05x ≤≤），给出以下四个结论：①2AF =；②5BF =；③5OA =；④3OB =．其中正确结论的序号是_ ．9、（2008年南昌市）如图1，正方形ABCD 和正三角形EFG 的边长都为1，点E F ，分别在线段AB AD ，上滑动，设点G 到CD 的距离为x ，到BC 的距离为y ，记HEF ∠为α（当点E F ，分别与B A ，重合时，记0α=）．（1）当0α=时（如图2所示），求x y ，的值（结果保留根号）； （2）当α为何值时，点G 落在对角形AC 上？请说出你的理由，并求出此时x y ，的值（结果保留根号）；10、（2008年义乌市）如图1所示，直角梯形OABC 的顶点A 、C 分别在y 轴正半轴与x 轴负半轴上.过点B 、C 作直线l ．将直线l 平移，平移后的直线l 与x 轴交于点D ，与y 轴交于点E ． （1）将直线l 向右平移，设平移距离CD 为t (t ≥0)，直角梯形OABC 被直线l 扫过的面积（图中阴影部份）为s ，s 关于t 的函数图象如图2所示， OM 为线段，MN 为抛物线的一部分，NQ 为射线，N 点横坐标为4． ①求梯形上底AB 的长及直角梯形OABC 的面积； ②当42<<t 时，求S 关于t 的函数解析式；（2）在第（1）题的条件下，当直线l 向左或向右平移时（包括l 与直线BC 重合），在直线．．AB ．．上是否存在点P ，使PDE ∆为等腰直角三角形?若存在，请直接写出所有满足条件的点P 的坐标;若不存在，请说明理由．（第8题）11、（2008年义乌市）如图，直角梯形纸片ABCD ，AD ⊥AB ，AB =8，AD =CD =4，点E 、F 分别在线段AB 、AD 上，将△AEF 沿EF 翻折，点 A 的落点记为P ．（1）当AE =5，P 落在线段CD 上时，PD = ▲ ；（2）当P 落在直角梯形ABCD 内部时，PD 的最小值等于 ▲ ． 12、（2008年义乌市）如图1，四边形ABCD 是正方形，G 是CD 边上的一个动点(点G 与C 、D 不重合)，以CG 为一边在正方形ABCD 外作正方形CEFG ，连结BG ，DE ．我们探究下列图中线段BG 、线段DE 的长度关系及所在直线的位置关系：（1）①猜想如图1中线段BG 、线段DE 的长度关系及所在直线的位置关系；②将图1中的正方形CEFG 绕着点C 按顺时针(或逆时针)方向旋转任意角度α，得到如图2、如图3情形．请你通过观察、测量等方法判断①中得到的结论是否仍然成立,并选取图2证明你的判断． （2）将原题中正方形改为矩形（如图4—6），且AB=a ，BC=b ，CE=ka ， CG=kb (a ≠b ，k >0)，第(1)题①中得到的结论哪些成立，哪些不成立？若成立，以图5为例简要说明理由． （3）在第(2)题图5中，连结DG 、BE ，且a =3，b =2，k =12，求22BE DG +的值．13、已知：如图，在直角梯形COAB 中，OC ∥AB ，以O 为原点建立平面直角坐标系，A ，B ，C 三点的坐标分别为A(8，0)，B(8，10)，C(0，4)，点D 为线段BC 的中点，动点P 从点O 出发，以每秒1个单位的速度，沿折线OABD 的路线移动，移动的时间为t 秒． （1）求直线BC 的解析式；（2）若动点P 在线段OA 上移动，当t 为何值时，四边形OPDC 的面积是梯形COAB 面积的27？ （3）动点P 从点O 出发，沿折线OABD 的路线移动过程中，设△OPD 的面积为S ，请直接写出S 与t 的函数关系式，并指出自变量t 的取值范围；（4）当动点P 在线段AB 上移动时，能否在线段OA 上找到一点Q ，使四边形CQPD 为矩形？若能，请求出此时动点P 的坐标；若不能，请说明理由． 14、（2008苏州）如图，在等腰梯形ABCD 中，AD BC ∥，5AB DC ==，6AD =，12BC =．动点P 从D 点出发沿DC 以每秒1个单位的速度向终点C 运动，动点Q 从C 点出发沿CB 以每秒2个单位的速度向B 点运动．两点同时出发，当P 点到达C 点时，Q 点随之停止运动．（1）梯形ABCD 的面积等于 ；（2）当PQ AB ∥时，P 点离开D 点的时间等于 秒； （3）当P Q C ，，三点构成直角三角形时，P 点离开D 点多少时间？15、（2008苏州）课堂上，老师将图①中AOB △绕O 点逆时针旋转，在旋转中发现图形的形状和大小不变，但位置发生了变化．当AOB △旋转90时，得到11AOB ∠．已知(42)A ，，(30)B ，． （1）11AOB △的面积是 ； 1A 点的坐标为（ ， ）；1B 点的坐标为（ ， ）； （2）继续进行探究，将图②中AOB △绕AO 的中点(21)C ，逆时针旋转90得到A O B '''△，设O B ''交OA 于D ，O A ''交x 轴于E ．此时A '，O '和B '的坐标分别为(13)，，(31)-，和(32)，，且O B ''经过B 点．在刚才的旋转过程中，小玲和小惠发现旋转中的三角形与AOB △重叠部分的面积不断变小，旋转到90时重叠部分的面积（即四边形CEBD 的面积）最小，求四边形CEBD 的面积．16、2008盐城）如图甲，在△ABC 中，∠ACB 为锐角．点D 为射线BC 上一动点，连接AD ，以AD 为一边且在AD 的右侧作正方形ADEF ．解答下列问题： （1）如果AB=AC ，∠BAC=90º． ①当点D 在线段BC 上时（与点B 不重合），如图乙，线段CF 、BD 之间的位置关系为 ，数量关系为 ． ②当点D 在线段BC 的延长线上时，如图丙，①中的结论是否仍然成立，为什么？ （2）如果AB ≠AC ，∠BAC ≠90º，点D 在线段BC 上运动．试探究：当△ABC满足一个什么条件时，CF ⊥BC （点C 、F 重合除外）？画出相应图形，并说明理由．（画图不写作法） （3）若AC＝BC=3，在（2）的条件下，设正方形ADEF 的边DE 与线段CF 相交于点P ，求线段CP 长的最大值．A B C D EF第16题图 图甲 图乙 F EB A F E DC B A 图丙17、两个全等的直角三角形ABC和DEF重叠在一起，其中∠A=60°，AC=1.固定△ABC不动，将△DEF进行如下操作：(1) 如图11(1)，△DEF沿线段AB向右平移(即D点在线段AB内移动)，连结DC、CF、FB，四边形CDBF的形状在不断的变化，但它的面积不变化，请求出其面积.(2)如图11(2)，当D点移到AB的中点时，请你猜想四边形CDBF的形状，并说明理由.18、（2008年湖北省宜昌市）如图，在Rt△ABC中，AB=AC，P是边AB（含端点）上的动点，过P 作BC的垂线PR，R为垂足，∠PRB的平分线与AB相交于点S，在线段RS上存在一点T，若以线段PT为一边作正方形PTEF，其顶点E、F恰好分别在边BC、AC上.（1）△ABC与△SBR是否相似？说明理由；（2）请你探索线段TS与PA的长度之间的关系；（3）设边AB=1，当P在边AB（含端点）上运动时，请你探索正方形PTEF的面积y的最小值和最大值.。

专题六： 动态几何问题(圆)[典型例题]例1：如图2-4-37，在直角坐标系中,O 是原点,A 、B 、C 三点的坐标分别为A （18，0）、B （18，6）、C （8，6），四边形OABC 是梯形．点P 、Q 同时从原点出发，分别作匀速运动，其中点P 沿OA 向终点A 运动，速度为每秒1个单位，点Q 沿OC 、CB 向终点B 运动，当这两点有一点到达自己的终点时，另一点也停止运动．（1）求出直线OC 的解析式．（2）设从出发起运动了t 秒，如果点Q 的速度为每秒2个单位，试写出点Q 的坐标，并写出此时t 的取值范围．（3）设从出发起运动了t 秒，当P 、Q 两点运动的路程之和恰好等于梯形OABC 的周长的一半时，直线PQ 能否把梯形的面积也分成相等的两部分？如有可能，请求出t 的值；如不可能，请说明理由．分析与解答 （1）设OC 的解析式为y kx =，将C （8，6）代入，得34k =，∴34yx =．（2）当Q 在OC 上运动时，设3(,)4Q m m ，依题意有2223()(2)4m m t +=，∴85mt=．故86(,)(05)55Q t t t ≤≤．当Q 在CB 上运动时，Q 点所走过的路程为2t ． ∵CO=10，∴210C Q t =-． ∴Q 点的横坐标为28102-=+-t t∴(22,6)(510)Q t t -<≤．（3）易得梯形的周长为44．①如图2-4-38，当Q 点在OC 上时，P 运动的路程为t ，则Q 运动的路程为(22)t -． 过Q 作QM ⊥OA 于M ，则3(22)5Q M t =-⨯．∴13(22)25OPQS t t ∆=-⨯，1(1810)6842S =+⨯=四边形．假设存在t 值，使得P 、Q 两点同时平分梯形的周长和面积， 则有131(22)84252t t =⨯=⨯，即2221400t t -+=．∵22241400∆=-⨯<，∴这样的t 不存在．②如图2-4-39，当Q 点在BC 上时，Q 走过的路程为(22)t -， 故CQ 的长为：221012t t --=-． ∴1()2OCQPS CQ OP =+梯形．11(12)6368422AB t t =⨯-+⨯=≠⨯，图2-4-37图2-4-38图2-4-39∴这样的t 也不存在．综上所述，不存在这样的t 值，使得P 、Q 两点同时平分梯形的周长和面积．例2： 如图2-5-40，在Rt △PMN 中，∠P=900，PM=PN ，MN=8㎝，矩形ABCD 的长和宽分别为8㎝和2㎝，C 点和M 点重合，BC 和MN 在一条直线上．令Rt △PMN 不动，矩形ABCD 沿MN 所在直线向右以每秒1㎝的速度移动（图2-4-41），直到C 点与N 点重合为止．设移动x 秒后，矩形ABCD 与△PMN 重叠部分的面积为y ㎝2．求y 与x 之间的函数关系式．N(M )C B图2-4-40N图2-4-41分析与解答 在Rt △PMN 中，∵PM=PN ，∠P=900，∴∠PMN=∠PNM=450． 延长AD 分别交PM 、PN 于点G 、H ．过G 作GF ⊥MN 于F ，过H 作HT ⊥MN 于T （图2-4-42）． ∵DC=2㎝．∴MF=GF=2㎝， ∵MT=6㎝．因此矩形ABCD 以每秒1㎝的速度由开始向右移动到停止，和Rt △PMN 重叠部分的形状可分为下列三种情况：（1）当C 点由M 点运动到F 点的过程中（0≤x ≤2）．如图2-4-42所示，设CD 与PM 交于点E ，则重叠部分图形是Rt △MCE ，且MC=EC=x ．∴211(02)22yM C EC x x ==≤≤ ．（2）当C 点由F 点运动到T 点的过程中(26)x <≤， 如图2-4-43所示，重叠部分图形是直角梯形MCDG ． ∵,2M C x M F ==，∴FC=DG=x -2，且DC=2． ∴1()22(06)2yM C GD DC x x =+=-<≤T M图2-4-44图2-4-43MT（3）当C 点由T 点运动到N 点的过程中(68)x <≤， 如图2-4-44所示，设CD 与PN 交于点Q ，则重叠部分图形是五边形MCQHG ．∵MC x=，∴CN=CQ=8-x ，且DC=2．∴2111()(8)12(68)222yM N GH DC CN CQ x x =+-=--+<≤ ．F T N图2-4-42[精选习题]填空：1．如图，矩形ABCD 中，AB ＝8，AD ＝6，将矩形ABCD 在直线l 上按顺时针方向不滑动．．．的每秒转动90°，转动3秒后停止，则顶点A 经过的路线长为 ．2．如图，已知⊙O 半径为5，弦AB 长为8，点P 为弦 AB 上一动点，连结OP ，则线段OP 的最小长度是 .3．如图，将边长为1的正三角形OAP 沿x 轴正方向连续翻转2008次，点P 依次落在点P 1，P 2，P 3，…，P 2008的位臵，则点P 2008的横坐标为 ．4．如图，在梯形ABCD 中，AD //BC ，E 是BC 的中点，AD =5，BC =12，CD =24，∠C =45°，点P 是BC 边上一动点，设PB 的长为x ．（1）当x 的值为____________时，以点P 、A 、D 、E 为顶点的四边形为直角梯形； （2）当x 的值为____________时，以点P 、A 、D 、E 为顶点的四边形为平行四边形；；P EABCD5. 如图所示，小正六边形沿着大正六边形的边缘顺时针滚动，小正方形的边长是大正六边形边长的一半，当小正六边形由图①位臵滚动到图②位臵时，线段OA 绕点O 顺时针转过的角度为_______度．6. 如图，经过⊙O 圆心的直线l 与⊙O 交于A 、B 两点，点C 在⊙O 上∠AOC=30°,点P 是直线l 上的一个动点（与O 不重合），直线CP 与⊙O 相交于Q 。

高考物理一轮复习专项训练—动态圆（含解析）1.(多选)如图所示，在Ⅰ、Ⅱ两个区域内存在磁感应强度大小均为B 的匀强磁场，磁场方向分别垂直于纸面向外和向里，AD 、AC 边界的夹角∠DAC ＝30°，边界AC 与边界MN 平行，Ⅱ区域宽度为d .质量为m 、电荷量为＋q 的粒子可在边界AD 上的不同点射入，入射速度垂直AD 且垂直磁场，若入射速度大小为qBdm，不计粒子重力，则()A ．粒子在磁场中运动的半径为d 2B ．粒子在距A 点0.5d 处射入，不会进入Ⅱ区域C ．粒子在距A 点1.5d 处射入，在Ⅰ区域内运动的时间为πm qB D ．能够进入Ⅱ区域的粒子，在Ⅱ区域内运动的最短时间为πm 3qB2.如图，虚线所示的圆形区域内存在一垂直于纸面的匀强磁场，P 为磁场边界上的一点，大量相同的带电粒子以相同的速率经过P 点，在纸面内沿不同的方向射入磁场，若粒子射入速率为v 1，这些粒子在磁场边界的出射点分布在六分之一圆周上；若粒子射入速率为v 2，相应的出射点分布在三分之一圆周上．不计重力及带电粒子之间的相互作用，则v 2∶v 1为()A.3∶2B.2∶1C.3∶1D ．3∶23.(多选)如图所示，纸面内有宽为L 、水平向右飞行的带电粒子流，粒子质量为m 、电荷量为－q (q >0)、速率为v 0，不考虑粒子的重力及粒子间的相互作用，要使粒子都会聚到一点，可以在粒子流的右侧虚线框内设计一匀强磁场区域，则磁场区域的形状及对应的磁感应强度可以是下列选项中的(其中B 0＝m v 0qL ，A 、C 、D 选项中曲线均为半径为L 的14圆弧，B 选项中曲线为半径为L2的圆)()4.如图所示，在x 轴的上方(y ≥0)存在着垂直于纸面向里的匀强磁场(未画出)，磁感应强度大小为B .在原点O 有一个离子源向x 轴上方的各个方向发射出质量为m 、带电荷量为q 的正离子，速率都为v .对那些在xOy 平面内运动的离子，在磁场中可能到达的位置中离x 轴及y 轴最远距离分别为()A.2m v qB 2m v qBB.m v qB 2m v qB C.2m v qBm v qBD.m v qBm v qB5.(多选)如图所示，平行线MN 、PQ 间有垂直纸面向外的匀强磁场，磁场的磁感应强度大小为B ，MN 、PQ 间的距离为L .在MN 上的a 点有一粒子源，可以沿垂直于磁场的各个方向射入质量为m 、电荷量为q 的带负电的粒子，且这些粒子的速度大小相等．这些粒子经磁场偏转后，穿过PQ 边界线的最低点为b 点．已知c 是PQ 上的一点，ac 垂直于PQ ，c 、b 间的距离为12L ，则下列说法正确的是()A ．粒子在磁场中做圆周运动的半径为12LB ．粒子在磁场中运动的速度大小为5qBL8m C ．粒子从PQ 边射出的区域长为LD ．沿斜向下与MN 夹角为30°方向射入的粒子恰好从c 点射出磁场6．(2020·全国卷Ⅰ·18)一匀强磁场的磁感应强度大小为B ，方向垂直于纸面向外，其边界如图中虚线所示，ab ︵为半圆，ac 、bd 与直径ab 共线，ac 间的距离等于半圆的半径．一束质量为m 、电荷量为q (q >0)的粒子，在纸面内从c 点垂直于ac 射入磁场，这些粒子具有各种速率．不计粒子之间的相互作用．在磁场中运动时间最长的粒子，其运动时间为()A.7πm 6qBB.5πm 4qB C.4πm 3qBD.3πm 2qB7．如图所示，真空中垂直于纸面向里的匀强磁场只在两个同心圆所夹的环状区域存在(含边界)，两圆的半径分别为R 、3R ，圆心为O .一重力不计的带正电粒子从大圆边缘的P 点沿PO 方向以速度v 1射入磁场，其运动轨迹如图，轨迹所对的圆心角为120°.当将该带电粒子从P 点射入的速度大小变为v 2时，不论其入射方向如何，都不可能进入小圆内部区域，则v 1∶v 2至少为()A.233B.3C.433D ．238．(2023·广东佛山市模拟)如图所示，宽为d 的混合粒子束由速率为3v 、4v 、5v 的三种带正电的离子组成．所有离子的电荷量均为q 、质量均为m ，当三种速率的离子水平向右进入匀强磁场，磁场方向垂直纸面向外．在入口处，紧靠粒子束的下边缘竖直放置一个长度为2d 的薄吞噬板MN .忽略离子重力及离子间相互作用，若使这些离子都能打到吞噬板MN 上，则磁感应强度大小的取值范围是()A.5m v qd <B <10m vqdB.6m v qd <B <8m v qdC.5m v qd <B <6m v qd D.8m v qd <B <10m v qd9．(多选)(2023·湖南省模拟)在电子技术中，科研人员经常通过在适当的区域施加磁场控制带电粒子的运动．如图所示，圆心为O、半径为R的圆形区域内存在垂直纸面的匀强磁场(图中未画出)，PQ、EF是两条相互垂直的直径，圆形区域左侧有一平行EF、关于PQ对称放置的线状粒子源，可以沿平行于PQ的方向发射质量为m、电荷量为q、速率均为v0的带正电的粒子，粒子源的长度为3R，从粒子源上边缘发射的粒子经磁场偏转后从F点射出磁场．不计粒子重力及粒子间的相互作用．下列说法正确的是()A．匀强磁场的方向垂直纸面向里B．粒子源发射的粒子均从F点射出磁场C．匀强磁场的磁感应强度大小为23m v03qRD．粒子在磁场中运动的最短时间为πR6v010.如图所示，正方形区域abcd内(含边界)有垂直纸面向里的匀强磁场，ab＝l，Oa＝0.4l，大量带正电的粒子从O点沿与ab边成37°角的方向以不同的初速度v0射入磁场，不计粒子重力和粒子间的相互作用，已知带电粒子的质量为m、电荷量为q，磁场的磁感应强度大小为B，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8.(1)求带电粒子在磁场中运动的最长时间；(2)若带电粒子从ad边离开磁场，求v0的取值范围．11.(2023·湖北省襄阳五中模拟)如图所示，在竖直边界MN左侧有磁感应强度大小为B、方向垂直纸面向里的匀强磁场，竖直边界O处有一小孔，大量带正电的相同粒子从各种不同方向沿纸面以相同速率从小孔射入磁场．紧贴小孔的下方有一可绕O转动的足够长挡板OA(忽略小孔的大小，认为小孔与转动轴在同一位置)，射入磁场的带电粒子能全部打在挡板上．不计粒子重力及其相互作用，当挡板和边界MN的夹角θ由0增大到180°的过程中，从小孔射入的带电粒子击中挡板区域的长度将()A．不断增大B．先增大，后减小，其长度变化情况先后对称C．先增大，后减小，其长度变化情况先后不对称D．先增大，后不变1．CD[带电粒子在磁场中的运动半径r ＝m vqB＝d ，选项A 错误；设从某处E 进入磁场的粒子，其轨迹恰好与AC 相切(如图所示)，则E 点与A 点的距离为AO －EO ＝2d －d ＝d ，粒子在距A 点0.5d 处射入，会进入Ⅱ区域，选项B 错误；粒子在距A 点1.5d 处射入，不会进入Ⅱ区域，在Ⅰ区域内的轨迹为半圆，运动的时间为t ＝T 2＝πmqB ，选项C 正确；进入Ⅱ区域的粒子，弦长最短时的运动时间最短，且最短弦长为d ，与半径相同，故对应圆心角为60°，最短时间为t min ＝T 6＝πm3qB，选项D 正确．]2．C[根据作图分析可知，当粒子在磁场中运动半个圆周时，打到圆形磁场边界的位置距P点最远，则粒子射入的速率为v 1，轨迹如图甲所示，设圆形磁场半径为R ，由几何知识可知，粒子运动的轨迹半径为r 1＝R cos 60°＝12R ；若粒子射入的速率为v 2，轨迹如图乙所示，由几何知识可知，粒子运动的轨迹半径为r 2＝R cos 30°＝32R ；根据轨迹半径公式r ＝m v qB可知，v 2∶v 1＝r 2∶r 1＝3∶1，故选项C 正确．]甲乙3．AB 4．A[若让沿x 轴正方向射出的离子的轨迹圆绕O 点缓慢转动(如图所示)，不难得出离y 轴最远为|x |＝2r ＝2m v qB ，离x 轴最远为y ＝2r ＝2m vqB，所以A 项正确．]5．BC[作出一些粒子的运动轨迹如图所示，根据几何关系有R 2＝(L －R )2＋(L 2)2，求得R ＝58L ，A 项错误；由q vB ＝mv 2R得粒子做圆周运动的速度大小v ＝qBR m ＝5qBL8m ，B 项正确；设粒子从PQ 射出区域的上端d 点到c 点的距离为s ，根据几何关系有R 2＝(L －R )2＋s 2，求得s ＝L2，因此bd ＝L ，C 项正确；从c 点射出磁场的粒子，在a 点时速度与MN 的夹角θ满足2R cos θ＝L ，可得cos θ＝0.8，则θ≠30°，D 项错误．]6．C[粒子在磁场中运动的时间与速度大小无关，由在磁场中的运动轨迹对应的圆心角决定．设轨迹交半圆ab ︵于e 点，ce 中垂线交bc 于O 点，则O 点为轨迹圆的圆心，如图所示．圆心角θ＝π＋2β，当β最大时，θ有最大值，由几何知识分析可知，当ce 与ab ︵相切时，β最大，此时β＝30°，可得θ＝43π，则t ＝θ2πT ＝4πm3qB，故选C.]7．B[粒子在磁场中做匀速圆周运动，由几何知识得r 1＝3Rtan 60°＝3R ，洛伦兹力提供向心力，由牛顿第二定律得q v 1B ＝m v 12r 1，解得v 1＝3qBRm ，粒子竖直向上射入磁场，恰好不能进入小圆区域时粒子的轨迹半径r 2＝R ，洛伦兹力提供向心力，由牛顿第二定律得q v 2B ＝m v 22r 2，解得v 2＝qBRm，则v 1∶v 2＝3，B 项正确．]8．C[由分析可知，粒子束上边缘进入速率为v 1＝3v 的离子到达吞噬板上边缘时，半径最小，磁感应强度最大，根据q v 1B 1＝m v 12R 1，由几何关系得R 1＝d2，可得B 1＝6m v qd ；粒子束下边缘进入速率为v 2＝5v 的离子到达吞噬板下边缘时，半径最大，磁感应强度最小，此时q v 2B 2＝m v 22R 2，R 2＝d ，得B 2＝5m v qd ，所以磁感应强度大小的取值范围为5m v qd <B <6m vqd ，故C 正确，A 、B 、D 错误．]9．BD[带正电的粒子向下偏转，根据左手定则可知匀强磁场的方向垂直纸面向外，故A 错误；如图甲所示，设粒子的运动半径为r ，根据几何关系可得CF ＝R2，R －32R ＋(R2)2＝r 2，解得r ＝R ，根据洛伦兹力提供向心力，有q v 0B ＝m v 02r ，解得B ＝m v 0qR，故C 错误；所有粒子在磁场中运动半径都相等，运动的圆弧越短，在磁场中运动的时间越短，如图乙所示，由几何关系可得sin ∠HO 2F ＝12，解得∠HO 2F ＝30°，粒子在磁场中运动的周期T ＝2πrv 0，则粒子在磁场中运动的最短时间t min ＝30°360°T ＝πR6v 0，故D 正确；任意一点射入磁场，粒子的运动半径等于R ，如图丙所示，由几何关系可知四边形OIJF 恒为一个菱形，OF ∥IJ ，所以所有的粒子都从F 点射出，故B 正确．]10．(1)143πm 90qB(2)qBl 4m <v 0≤5qBl 9m解析(1)粒子从ab 边离开磁场时，在磁场中运动的时间最长，如图甲所示，有qB v 0＝m v 02R ，又T ＝2πRv 0，解得T ＝2πmBq；又由几何关系得θ＝74°，则粒子在磁场中运动的最长时间t ＝360°－74°360°T ＝143πm 90qB (2)当粒子轨迹与ad 边相切时，如图乙所示，设此时初速度为v 01，轨道半径为R 1，由几何关系可得R 1＋R 1sin 37°＝0.4l又qB v01＝m v012R1，解得v01＝qBl4m当粒子运动轨迹与cd边相切时，如图丙所示，设此时初速度为v02，轨道半径为R2，由几何关系可得R2＋R2cos37°＝l，又qB v02＝m v022R2，解得v02＝5qBl9m综上可得qBl4m<v0≤5qBl9m.11．D[由题意知带正电的粒子进入磁场后，由左手定则得轨迹如图，则当挡板和边界MN 的夹角θ由0增大到180°的过程中，在位置1时，粒子打在板上长度比直径小，从位置2开始粒子打在板上区域的长度等于直径，此后维持不变，直到增大到180°，故选D.]。

《动态几何---圆》综合练习姓名：1.如图，射线0A丄射线OB,半径r=2cm的动圆M与0B相切于点Q (圆M与OA?没有公共点)，P是0A上的动点，且PM=3cm，设0P=xcm, OQ=ycm.(1 )求X、y所满足的关系式，并写出x的取值范围.(2)当^ MOP为等腰三角形时，求相应的X的值.2.已知：如图，在Rt△ ABC中，/ A = 90° AB= 3, AC = 4 .O A与O B外切于点分别D,并与BC、A C边交于点E、F .(1)设EC = x, FC = y,求y关于x的函数关系式，并写出定义域；(2)如果O C与O A、O B都相切，求AD : BD .C3.在平行四边形ABCD中，AB=2, / A=60o,以AB为直径的O O过点D，点M是BC边上一点（点M 不与B、C重合），过点M作BC的垂线MN，交CD边于点N .以CN为直径作O P,设BM =X, O P 的半径为y .①求y关于X的函数关系式，并写出X的取值范围；②当BM为何值时，O P与O O相切.r^MA O J B4.已知菱形ABCD的顶点A,B在x轴上，点N BAD =60*，点A的坐标为（一2,0），动点A T D T C T B T A的顺序在菱形的边上匀速运动一周，设运动的时间为何值时，以P点为圆心，1为半径的圆与对角线A在点B的左侧，点D在y轴的正半轴上，P从点A出发，以每秒1个单位的速度，按照t秒，求t为径作圆.设点 Q 运动的时间为t S.⑴当t=1.2时，判断直线 AB 与O P 的位置关系，并说明理由; ⑵已知O O 为^ ABC 的外接圆，若O P 与O O 相切，求t 的值.6.等腰直角^ ABC 和O O 如图放置，已知 AB=BC =1,/ ABC =90心0与直线AB 的距离为5 .现△ ABC 以每秒2个单位的速度向右移动，同时△ ABC 的边长AB 、BC 又以每秒0.5个单位沿BA 、BC 方向增大.⑴ 当^ ABC 的边（BC 边除外）与圆第一次相切时，点 B 移动了多少距离？ ⑵ 若在△ ABC 移动的同时，O O 也以每秒1个单位的速度向右移动，则△ ABC 从开始移动，到它的边与圆最后一次相切，一共经过了多少时间?⑶ 在⑵的条件下，是否存在某一时刻，△ ABC 与O O 的公共部分等于O O 的面积？若存在,求出恰好符合条件时两个图形移动了多少时间？若不存在，请说明理由.5. （ 2011 年南京）如图，在 Rt A ABC 中，/ ACB=90°, AC=6 cm, BC=8 cm, P 为BC 的 中点.动点Q 从点P 出发，沿射线PC 方向以2 cm /s 的速度运动，以 P 为圆心, PQ 长为半O,O O 的半径为1，圆OABC 的边所在直线相切的t 的值.7. （ 2005南京）如图所示，形如量角器的半圆 O 的直径DE=12cm ，形如三角板的" ABC中，/ ACB=90°，/ ABC=30°, BC=12cm 。

【解析】(1)连AD, ZBAC= 2ZDAE= 2ZCBE •
(2)连 AD. Z.BAC= 2ZDAC= 2ZCBE.
C
【解析】 (1) ZAEF+ZBAF=90°；(2)
ZAEF-ZBAF=90°
图1
C
B
【解析】(1)在AE上截取AF = RP，连接AC、BC、FC、PC.
VZA = ZB f /.ACAF^ACBP. :.CF=CP. YCD丄AP，:.FE=FE. :.AE=PE+PB B
专题圆中的动态问題(一)(不含切线)
一、锐角一铺角
1.如图：AABC：中，AB=AC,以AB为直径的©O交BC于D,交直线AC于£、连BE.
(1)试判断ZBAC与ZCBE的关系，并证明.
(2)若ZRAC为钝角，其余条件不变，则ZBAC与ZCBE：之间又有何关系？试画图并证明•
二、点在圆内—点在圆外
2.已知AJ5为0O的直径，弦所在的直线与直线交于点M.
(1)如图1，若M在©0内，写岀与的数量关系，并证明;
(2)如图2,若M在©O外，写出ZAEF与的数量关系，并证明;
三、.点在劣弧上—点在优弧上、
3.(2009 •武汉•元月调考压轴题改)
镛
(1)如图1，PB，PA是©O的两条弦，C是劣弧^的中点，弦CD丄PA于点E，则请证明你的结论；
(2)如图2,PA、是©O的两条弦，若C是优弧AB的中点，弦CD丄PA于点E，则AE、JPE与PB之间
存在怎样的数量关系？写出并证明你的结论.
(2) AE=PE-PB.。

专题13 几何动态综合题一、运动型问题的类型按运动类型分：(1)点的运动(单点运动、双点运动)，(2)线的运动(线段或直线的运动)，(3)形的运动(三角形运动、四边形运动、圆的运动等)．按几何图形存在型分：(1)等腰三角形存在型，(2)直角三角形存在型，(3)等腰直角三角形存在型，(4)平行四边形存在型，(5)矩形、菱形、正方形存在型，(6)平分周长型，(7)平分面积型，(8)面积重叠型，(9)直线与圆相切型，(10)函数图象点的运动型．二、动态几何解决方法1.解决点动型问题一是要搞清在点运动变化的过程中，哪些图形(如线段、三角形等)随之运动变化，并在点运动相对静止的瞬间，寻找变量的关系；二是要运用好相应的几何知识；三是要结合具体问题，建立函数模型，达到解题目的．2.解决线动型问题线动实质就是点动，即点动带动线动，进而还会产生面动，因而线动型几何问题可以通过转化成点动型问题来求解．解决线动类问题的关键是要把握图形运动与变化的全过程，抓住其中的等量关系和变量关系，从运动变化中得到图形的特殊位置，进而探索出一般的结论或者从中获得解题启示．3.解决形动类问题一是要抓住几何图形在运动过程中形状和大小都不改变这一特性，充分利用不变量来解决问题；二是要运用从特殊到一般的关系，探究图形运动变化过程中的不同阶段；三是要运用类比转化的方法探究相同运动状态下的共同性质，这种方法能够使得问题解决的过程更加简捷，结论更加准确．核心考点几何动态综合题几何动态综合题是广东省中考的热点，一般分布在第24题或第25题，属于压轴题，是中考试题中主要考查的一类题型．【经典示例】如图，在同一平面上，两块斜边相等的直角三角板Rt△ABC和Rt△ADC拼在一起，使斜边AC完全重合，且顶点B，D分别在AC的两旁，∠ABC=∠ADC=90°，∠CAD=30°，AB=BC=4 cm．（1）填空：AD=（cm），DC=（cm）；（2）点M，N分别从A点，C点同时以每秒1 cm的速度等速出发，且分别在AD，CB上沿A→D，C→B 方向运动，当N点运动到B点时，M、N两点同时停止运动，连接MN，求当M、N点运动了x秒时，点N到AD的距离（用含x的式子表示）；（3）在（2）的条件下，取DC中点P，连接MP，NP，设△PMN的面积为y（cm2），在整个运动过程中，△PMN的面积y存在最大值，请求出y的最大值．（参考数据：sin75°，sin15°答题模板第一步，要搞清在点运动变化的过程中，哪些图形(如线段、三角形等)随之运动变化，并在点运动的相对静止的瞬间，寻找变量的关系．第二步，要运用好相应的几何知识，相似三角形的性质，等腰三角形性质，直角三角形性质，特殊平行四边形的性质．第三步，要结合具体几何问题，建立函数模型．【满分答案】（1）∵∠ABC =90°，AB =BC =4 cm ，∴AC ， ∵∠ADC =90°，∠CAD =30°，∴DC =12AC∴AD ；故答案为：，（2）过点N 作NE ⊥AD 于E ，作NF ⊥DC ，交DC 的延长线于F ，如图所示：则NE =DF ．∵∠ABC =∠ADC =90°，AB =BC ，∠CAD =30°， ∴∠ACB =45°，∠ACD =60°，∴∠NCF =180°﹣45°﹣60°=75°，∠FNC =15°， ∵sin ∠FNC =FCNC，NC =x ，∴FC ，∴NE =DF∴点N 到AD （3）∵sin ∠NCF =FCNC，∴FN x ， ∵P 为DC 的中点，∴PD =CP∴PF ， ∴△PMN 的面积y =梯形MDFN 的面积﹣△PMD 的面积﹣△PNF 的面积=12（x﹣x）﹣12（﹣x）12x）x2即y是x的二次函数，0，∴y有最大值，当x=y【解题技巧】本题通过点的运动考查了相似、勾股定理、三角函数、三角形面积的计算、二次函数的最值、等腰直角三角形的性质等知识.在解题过程中要注意结合点的运动，通过作辅助线运用三角函数和二次函数才能快速准确地得出结果．模拟训练1．把Rt△ABC和Rt△DEF按如图①摆放(点C与E重合)，点B、C(E)、F在同一条直线上．已知∠ACB＝∠EDF＝90°，∠DEF＝45°，AC＝8，BC＝6，EF＝10．如图②，△DEF从图①的位置出发，以每秒1个单位的速度沿CB向△ABC匀速移动，在△DEF移动的同时，点P从△ABC的顶点A出发，以每秒1个单位的速度沿AB向点B匀速移动；当点P移动到点B时，点P停止移动，△DEF也随之停止移动．DE 与AC交于点Q，连接PQ，设移动时间为t(s)．（1）△DEF在平移的过程中，AP＝CE＝(用含t的代数式表示)；当点D落在Rt△ABC的边AC 上时，求t的值．（2）在移动过程中，当0＜t≤5时，连接PE，①设四边形APEQ的面积为y，求y与t之间的函数关系式并试探究y的最大值；②是否存在△PQE为直角三角形？若存在，请直接写出t的值；若不存在，请说明理由．1．（2018·深圳）如图，△ABC内接于⊙O，BC＝2，AB＝AC，点D为AC上的动点，且cos∠ABC ．（1）求AB的长度；（2）在点D的运动过程中，弦AD的延长线交BC延长线于点E，问AD·AE的值是否变化？若不变，请求出AD·AE的值；若变化，请说明理由；（3）在点D的运动过程中，过A点作AH⊥BD，求证：BH＝CD+DH．2．（2018·广州）如图，在四边形ABCD中，∠B＝60°，∠D＝30°，AB＝BC．（1）求∠A+∠C的度数；（2）连接BD，探究AD，BD，CD三者之间的数量关系，并说明理由；（3）若AB＝1，点E在四边形ABCD内部运动，且满足AE2＝BE2+CE2，求点E运动路径的长度．3．（2017·广东）如图，在平面直角坐标系中，O 为原点，四边形ABCO 是矩形，点A ，C 的坐标分别是A （0，2）和C （0），点D 是对角线AC 上一动点（不与A ，C 重合），连接BD ，作DE ⊥DB ，交x 轴于点E ，以线段DE ，DB 为邻边作矩形BDEF ． （1）填空：点B 的坐标为 ；（2）是否存在这样的点D ，使得△DEC 是等腰三角形？若存在，请求出AD 的长度；若不存在，请说明理由；（3）①求证：DE DB②设AD =x ，矩形BDEF 的面积为y ，求y 关于x 的函数关系式（可利用①的结论），并求出y 的最小值．4．已知：Rt△EFP和矩形ABCD如图①摆放（点P与点B重合），点F，B（P），C在同一条直线上，AB ＝EF＝6 cm，BC＝FP＝8 cm，∠EFP＝90°。