江西师大附中2020年10月高二数学月考试题【文】(试题)

江西师大附中2015届高三年级数学（文）月考试卷【试卷综析】本次试卷考查的范围是必修一的全部内容以及必修四第一章三角函数.高考试卷形式相同。

试卷的题型着眼于考查现阶段学生的基础知识及基本技能掌握情况.整份试卷难易适中，没有偏、难、怪题，保护了学生的学习信心并激励学生继续学习的热情；在选题和确定测试重点上都认真贯彻了“注重基础，突出知识体系中的重点，培养能力”的命题原则，重视对学生运用所学的基础知识和技能分析问题、解决问题能力的考查.一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 【题文】1．若全集{}{}{}1,2,3,4,5,6,2,3,1,4U M N ===，则{}5,6等于（ ）A ．M N UB ．M N IC ．()()U U C M C N UD ．()()U U C M C NI【知识点】交集及其运算. A1【答案解析】D 解析：∵全集U={1，2，3，4，5，6}，M={2，3}，N={1，4}， ∴M ∪N={1，2，3，4}，则（∁UM ）∩（∁UN ）=∁U （M ∪N ）={5，6}．故选：D ． 【思路点拨】根据M ，N ，以及全集U ，确定出所求集合即可． 【题文】2．命题:P 若,a b R ∈，则1a b +>是1a b +>的充分而不必要条件：命题:q 函数12y x =--的定义域是(][),13,-∞-+∞U ，则（ ）A ．“p 或q ”为假B ．p 假q 真C ．p 真q 假D ．“p 且q ”为真 【知识点】复合命题的真假．A3【答案解析】B 解析：∵|a+b|≤|a|+|b|，若|a|+|b|＞1，不能推出|a+b|＞1，而|a+b|＞1，一定有|a|+|b|＞1，故命题p 为假． 又由函数y=的定义域为|x ﹣1|﹣2≥0，即|x ﹣1|≥2，即x ﹣1≥2或x ﹣1≤﹣2．故有x ∈（﹣∞，﹣1]∪[3，+∞）．∴q 为真命题．故选B ．【思路点拨】若|a|+|b|＞1，不能推出|a+b|＞1，而|a+b|＞1，一定有|a|+|b|＞1，故命题p 为假．又由函数y=的定义域为x ∈（﹣∞，﹣1]∪[3，+∞），q 为真命题．【题文】3．下列函数中，既是偶函数又在0，+∞）单调递增的函数是（ ）A ．3y x =B ．||1y x =+C ．21y x =-+D ．||2x y -=【知识点】函数单调性的判断与证明；函数奇偶性的判断． B3 B4【答案解析】B 解析：因为y=x3是奇函数，y=|x|+1、y=﹣x2+1、y=2﹣|x|均为偶函数， 所以选项A 错误；又因为y=﹣x2+1、y=2﹣|x|=12x⎛⎫ ⎪⎝⎭在（0，+∞）上均为减函数，只有y=|x|+1在（0，+∞）上为增函数，所以选项C 、D 错误，只有选项B 正确．故选B ．【思路点拨】首先由函数的奇偶性排除选项A ，然后根据区间（0，+∞）上y=|x|+1=x+1、y=﹣x2+1、y=2﹣|x|=的单调性易于选出正确答案．【题文】4．已知函数2()1,()43,x f x e g x x x =-=-+-若有()()f a g b =，则b 的取值范围为（ ） A ．[22,22]-+B ．(22,22)-+C ．[1,3]D ．(1,3)【知识点】函数的零点与方程根的关系． B9【答案解析】B 解析：∵f （a ）=g （b ），∴ea ﹣1=﹣b2+4b ﹣3，∴﹣b2+4b ﹣2=ea ＞0 即b2﹣4b+2＜0，求得2﹣＜b ＜2+，故选B【思路点拨】利用f （a ）=g （b ），整理等式，利用指数函数的性质建立不等式求解即可． 【题文】5．若0.53,ln 2,log sin 12a b c ππ===，则（ ） A ．b a c >>B ．a b c >>C ．c a b >>D ．b c a >>【知识点】数值大小的比较． E1【答案解析】B 解析：∵a=30.5＞30=1，0＜ln1＜b=ln2＜lne=1，c=logπsin ＜logπ1=0，∴a ＞b ＞c ．故选：B ．【思路点拨】利用对数函数和指数函数的单调性比较大小．【题文】6．若0,0a b >>，函数32()422f x x ax bx =--+在1x =处有极值，则ab 的最大值为（ ）A ．2B ．3C ．6D ．9 【知识点】函数在某点取得极值的条件；基本不等式． B12 E6【答案解析】D 解析：∵f′（x ）=12x2﹣2ax ﹣2b ，又因为在x=1处有极值，∴a+b=6∵a ＞0，b ＞0∴，当且仅当a=b=3时取等号所以ab 的最大值等于9，故选D.【思路点拨】求出导函数，利用函数在极值点处的导数值为0得到a ，b 满足的条件；利用基本不等式求出ab 的最值；注意利用基本不等式求最值需注意：一正、二定、三相等． 【题文】7．若,a b r r 为两个单位向量，且•（+）=，记,a b r r 的夹角为θ，则函数y=sin（θ•x+）的最小正周期为（ ）A ．8B ．6C ．4D ．2 【知识点】平面向量数量积的运算；三角函数的周期性及其求法．F3 C4 【答案解析】B 解析：∵，为两个单位向量，且•（+）=， ∴==1+cosθ，∴cosθ=．∴．∴函数y=sin （θ•x+）=的最小正周期T==6．故选：B ．【思路点拨】利用数量积运算性质、三角函数的周期性即可得出． 【题文】8．已知O 为坐标原点，(1,2)A ,点(,P x y ）满足约束条件，则•的最大值为（ ） A ．2-B ．1-C ．1D ．2【知识点】平面向量数量积的运算．F3【答案解析】D 解析：由于点P （x ，y ）满足约束条件，画出可行域．设P （x ，y ）．则Z=•=x+2y ，化为y=﹣x+，当此直线经过点M （0，1）时，Z 取得最大值=0+1×2=2． ∴Z=•的最大值为2．故选：D ．【思路点拨】由于点P （x ，y ）满足约束条件，画出可行域．设P （x ，y ）．可得Z=•=x+2y ，化为y=﹣x+，当此直线经过点M （0，1）时，Z 取得最大值．【题文】9．函数f （x ）=Asin （ωx+φ）（其中A ＞0，ω＞0，|φ|＜）图象如图所示，为了得到()cos2g x x =的图象，则只要将()f x 的图象（ ） A ．向右平移个单位长度B ．向右平移个单位长度C ．向左平移个单位长度D ．向左平移个单位长度【知识点】函数y=Asin （ωx+φ）的图象变换．C4 【答案解析】D 解析：由图象可知A=1，T=π，∴ω==2∴f（x）=sin（2x+φ），又因为f（）=sin（+φ）=﹣1∴+φ=+2kπ，φ=（k∈Z）∵|φ|，∴φ=∴f（x）=sin（2x+）=sin（+2x﹣）=cos（2x﹣）∴将函数f（x）向左平移可得到cos[2（x+）﹣]=cos2x=y故选D．【思路点拨】先根据图象确定A和T的值，进而根据三角函数最小正周期的求法求ω的值，再将特殊点代入求出φ值从而可确定函数f（x）的解析式，然后根据诱导公式将函数化为余弦函数，再平移即可．【题文】10．设定义在R上的函数若关于x的方程2()()0++=有5个不同的实数根，则a的取值范围为（）f x af x bA．(0,1)B．（﹣∞，﹣1） C．（1，+∞）D．（﹣∞，﹣2）∪（﹣2，﹣1）【知识点】函数与方程的综合运用；根的存在性及根的个数判断． B9【答案解析】D 解析：∵题中原方程f2（x）+af（x）+b=0有且只有5个不同实数解，∴即要求对应于f（x）等于某个常数有3个不同实数解，∴故先根据题意作出f（x）的简图：由图可知，只有当f（x）=1时，它有三个根．故关于x的方程f2（x）+af（x）+b=0中，有：1+a+b=0，b=﹣1﹣a，且当f（x）=k，k＞0且k≠1时，关于x的方程f2（x）+af（x）+b=0有5个不同实数解，∴k2+ak﹣1﹣a=0，a=﹣1﹣k，∵k＞0且k≠1，∴a∈（﹣∞，﹣2）∪（﹣2，﹣1）故选D．【思路点拨】题中原方程f2（x）+af（x）+b=0有且只有5个不同实数解，即要求对应于f （x）=某个常数有3个不同实数解，故先根据题意作出f（x）的简图，由图可知，只有当f （x）=1时，它有三个根．且当f（x）=k，k＞0且k≠1时，关于x的方程f2（x）+af（x）+b=0有5个不同实数解，据此即可求得实数a的取值范围．二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分.请把答案填在题中横线上）【题文】11．已知函数32()'(1)f x x f x x=+-，则函数()f x的图象在点(1,(1))f处的切线方程是【知识点】利用导数研究曲线上某点切线方程；导数的运算．B11 B12【答案解析】2x+y=0 解析：∵函数f（x）=x3+f′（1）x2﹣x∴f′（x）=3x2+2f′（1）x﹣1，∴f′（1）=3+2f′（1）﹣1，∴f′（1）=﹣2．∴f（x）=x3﹣2x2﹣x，∴f（1）=1﹣2﹣1=﹣2，∴函数f（x）的图象在点（1，f（1））处的切线方程是y﹣（﹣2）=﹣2（x﹣1）故答案为：2x+y=0．【思路点拨】求导函数，确定切点处的斜率与切点的坐标，即可求得函数f（x）的图象在点（1，f（1））处的切线方程．【题文】12．若sin（π﹣a）=，a∈（0，），则sin2a﹣cos2的值等于= 【知识点】二倍角的余弦；二倍角的正弦．C6【答案解析】解析：∵，∴sina=．又∵，∴cosa==（舍负）因此，sin2a﹣cos2=2sinacosa﹣（1+cosa）=2××﹣（1+）=﹣= .故答案为： .【思路点拨】由正弦的诱导公式，得sina=，再根据同角三角函数的关系算出cosa==（舍负）．化简sin2a﹣cos2得到关于sina、cosa的式子，将前面算出的数据代入即可得到所求的值．【题文】13．已知偶函数()f x 满足(2)()f x f x +=，当x∈（0，1）时，()2xf x =，则5()2f -=【知识点】函数奇偶性的性质．B4【答案解析】 解析：∵偶函数f （x ）满足f （x+2）=f （x ），∴f （﹣）==．∵当x∈（0，1）时，f （x ）=2x ，∴==．∴=．故答案为：．【思路点拨】利用函数的奇偶性与周期性即可得出． 【题文】14．正项等比数列{}n a 满足24331,13,log n n a a S b a ===，则数列{}n b 的前10项和为【知识点】等比数列的前n 项和．D3【答案解析】-25 解析：∵正项等比数列{an}满足a2a4=1，S3=13，bn=log3an ， ∴a32=a2a4 =1，解得 a3=1．由a1+a2+a3=13，可得 a1+a2=12．设公比为q ，则有a1 q2=1，a1+a1q=12，解得 q=，a1=9．故 an =9×（ ）n ﹣1=33﹣n ．故bn=log3an=3﹣n ，则数列{bn}是等差数列，它的前10项和是 =﹣25，故答案为：﹣25． 【思路点拨】由题意可得a32=a2a4 =1，解得 a3=1，由S3=13 可得 a1+a2=12，则有a1 q2=1，a1+a1q=12，解得 q 和a1的值，由此得到an 的解析式，从而得到bn 的解析式，由等差数列的求和公式求出它的前10项和． 【题文】15．设()sin 2cos2,f x a x b x =+其中a ，b∈R，ab≠0．若对一切x∈R 恒成立，则: ①；②；③()f x 既不是奇函数也不是偶函数； ④f（x ）的单调递增区间是；⑤存在经过点(,)a b 的直线与函数()f x 的图像不相交.以上结论正确的是 （写出所有正确结论的编号） 【知识点】两角和与差的正弦函数；正弦函数的单调性．C5 C3 【答案解析】①③ 解析：∵f （x ）=asin2x+bcos2x=sin （2x+θ） 且，∴2×+θ=kπ+，∴θ=kπ+ ∴f（x ）═sin （2x+kπ+）=±sin （2x+）对于①=±sin （2×+）=0，故①对； 对于②，=sin （3π），|f （）|=sin （1330π），∴7125f f ππ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故②不正确； 对于③，f （x ）不是奇函数也不是偶函数，故③对；对于④，由于f （x ）的解析式中有±，故单调性分情况讨论，故④不对；对于⑤∵要使经过点（a ，b ）的直线与函数f （x ）的图象不相交，则此直线须与横轴平行， 且|b|＞，此时平方得b2＞a2+b2这不可能，矛盾，∴不存在经过点（a ，b ）的直线于函数f （x ）的图象不相交故⑤错. 故答案为：①③．【思路点拨】先化简f （x ）的解析式，利用已知条件中的不等式恒成立，得到是三角函数的最大值，得到x=是三角函数的对称轴，将其代入整体角令整体角等于kπ+求出辅助角θ，再通过整体处理的思想研究函数的性质．三、解答题（本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 【题文】16．（本小题12分） 已知函数f （x ）=sinx （2cos2﹣1）+cosx•sinθ（0＜θ＜π）在x=π处取最小值．（1）求θ的值；（2）若f （2x ﹣）=，且x∈（π，π），求sin2x 的值． 【知识点】三角函数中的恒等变换应用；二倍角的正弦．C6 C7【答案解析】(1) ；（2）解析：（1）Q f （x ）=sinxcosθ+cosx•sinθ=sin（x+θ）在x π=处取最小值， ∴，∴（2）Q ∴由∴∴===【思路点拨】（1）化简得f （x ）=sin （x+θ）从而可求θ的值； （2）若f （2x ﹣）=，且x∈（π，π），可先求，从而可求sin2x 的值．【题文】17．（本小题12分） 在数列{}n a 中，111,n n a a a c +==+（c 为常数，n∈N*），且125,,a a a 成公比不等于1的等比数列（1）求c 的值；（2）设11n n n b a a +=，求数列{}n b 的前n 项和n S【知识点】数列的求和；等比数列的性质．D3 D4【答案解析】（1）2；（2）21nn . 解析： （1）∵an+1=an+c ，∴an+1﹣an=c∴数列{an}是以a1=1为首项，以c 为公差的等差数列， ∴a2=1+c ，a5=1+4c又a1，a2，a5成公比不为1的等比数列， ∴（1+c ）2=1+4c解得c=2或c=0（舍）. （2）由（1）知，an=2n ﹣1∴∴=【思路点拨】（1）利用递推关系判断出数列{an}为等差数列，将a1，a2，a5用公差表示，据此三项成等比数列列出方程，求出c ．（2）写出bn ，据其特点，利用裂项的方法求出数列{bn}的前n 项和Sn ．【题文】18．（本小题12分） 如图，在棱长均为4的三棱柱111ABC A B C -中，D 、1D 分别是BC 、11B C 的中点(1)求证:11//A D 平面1AB D ；(2) 若平面ABC⊥平面BCC1B1，∠B1BC=60°，求三棱锥1B ABC -的体积. 【知识点】直线与平面平行的判定；棱柱、棱锥、棱台的体积．G4 G1 【答案解析】（1）证明：略；（2）8. 解析：（1）证明：连接DD1，在三棱柱ABC ﹣A1B1C1中，∵D、D1分别是BC 和B1C1的中点．∴B1D1∥BD，且B1D1=BD∴四边形B1BDD1为平行四边形 ∴BB1∥DD1，且BB1=DD1 又因AA1∥BB1，AA1=BB1 所以AA1∥DD1，AA1=DD1所以四边形AA1D1D 为平行四边形，所以A1D1∥AD 又A1D1⊄平面AB1D ，AD ⊂平面AB1D 故A1D1∥平面AB1D ；（2）在△ABC 中，棱长均为4，则AB=AC ，D 为BC 的中点，所以AD⊥BC 因为平面ABC⊥平面B1C1CB ，交线为BC ，AD ⊂平面ABC 所以AD⊥平面B1C1CB ，即AD 是三棱锥A ﹣B1BC 的高 在△ABC 中，AB=AC=BC=4得AD=2在△B1BC 中，B1B=BC=4，∠B1BC=60° 所以△B1BC 的面积为4∴三棱锥B1﹣ABC 的体积即为三棱锥A ﹣B1BC 的体积V=××=8 【思路点拨】（1）欲证A1D1∥平面AB1D ，根据直线与平面平行的判定定理可知只需证A1D1与平面AB1D 内一直线平行，连接DD1，根据中位线定理可知B1D1∥BD，且B1D1=BD ，则四边形B1BDD1为平行四边形，同理可证四边形AA1D1D 为平行四边形，则A1D1∥AD 又A1D1⊄平面AB1D ，AD ⊂平面AB1D ，满足定理所需条件；（2）根据面面垂直的性质定理可知AD⊥平面B1C1CB ，即AD 是三棱锥A ﹣B1BC 的高，求出三棱锥A ﹣B1BC 的体积，从而求出三棱锥B1﹣ABC 的体积． 【题文】19．（本小题12分） 在ABC D 中，A 、B 、C 对边分别是a 、b 、c ， 且满足(2)cos cos a c B b C -=（1）求B 的大小；（2）设(sin ,cos 2),(4,1)(1)m A A n k k ==>u r r ，且m n ⋅u r r 的最大值是5，求k 的值. 【知识点】正弦定理的应用；平面向量的坐标运算．C8 F2【答案解析】（1） ；（2） 解析：（1）∵（2a ﹣c ）cosB=bcosC ， ∴（2sinA ﹣sinC ）cosB=sinBcosC即2sinAcosB=sinBcosC+sinCcosB=sin （B+C ）∵A+B+C=π，∴2sinAcosB=sinA∵0＜A ＜π，∴sinA≠0． ∴cosB=∵0＜B ＜π，∴B=．（2）=4ksinA+cos2A=﹣2sin2A+4ksinA+1，A∈（0，）设sinA=t ，则t∈（0，1]．则=﹣2t2+4kt+1=﹣2（t ﹣k ）2+1+2k2，t∈（0，1]∵k＞1，∴t=1时，取最大值．依题意得，﹣2+4k+1=5，∴k=． 【思路点拨】（1）先根据正弦定理将边的关系转化为正弦值的关系，再由两角和与差的正弦公式和诱导公式求出cosB 的值，最后确定角B 的值． （2）先根据向量数量积的运算表示出，再运用余弦函数的二倍角公式将2A 化为A 的关系，最后令t=sinA ，转化为一个一元二次函数求最值的问题． 【题文】20. （本小题13分）数列{}n a 的前n 项和为n S ,点(,)n n P s a 在直线(3)230m x my m -+--=（m∈N+，m≠3）上 （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n a 的公比()q f m =，数列{}n b 满足13b =，13()2n nb f b -=（n∈N+，n≥2），求证：1{}n b 为等差数列，并求通项n b ；（3）若1,nn n a m C b ==,n T 为数列{}n C 的前n 项和，求n T 的最小值 .【知识点】数列与解析几何的综合． D5 【答案解析】(1)()123n m n N m -+⎛⎫∈ ⎪+⎝⎭；（2）证明：略；3n b n =；（3）13.解析：（1）∴{an}等比且令n=1得（3﹣m）S1+2ma1﹣m﹣3=0，∴（3+m）a1=m+3⇒a1=1∴（2）由∴等差且（3）当m=1时，∴∴令由差错位相减法可得∴由Tn+1﹣Tn＞0⇒{Tn}递增∴．【思路点拨】（1）由题设，（3﹣m）Sn+2man﹣m﹣3=0，所以（3﹣m）a1+2ma1﹣m﹣3=0⇒a1==1，故（3﹣m）Sn﹣1+2man﹣1﹣m﹣3=0，由此能求出an．（2）由q=，b1=3，a1=1，由，得，由此能得到{}为等差数列，并能求出bn．（3），利用错位相减法求和即可得出Tn的最小值．【题文】21. （本小题14分）已知函数()ln(1)(1)1f x x k x =---+（k∈R），（备注：1[ln(1)]')1x x -=-（1）求函数()f x 的单调区间；（2）若()0f x ≤恒成立，试确定实数k 的取值范围. （3）证明：ln 2ln3(1)(3414lnn n n N N n +-+++<∈+L 且2)n ≥【知识点】利用导数研究函数的单调性．B12【答案解析】(1) 当k≤0时，函数f （x ）在（1，+∞）为增函数，当k ＞0时，函数f （x ）在（1，）为减函数，在（，+∞）为增函数．；(2) k≥1；（3）证明：略.解析：(1)∵f（x ）=ln （x ﹣1）﹣k （x ﹣1）+1，（x ＞1）∴f′（x ）=﹣k ，当k≤0时，f′（x ）＞0恒成立，故函数在（1，+∞）为增函数， 当k ＞0时，令f′（x ）=0，得x=当f′（x ）＜0，即1＜x ＜时，函数为减函数，当f′（x ）＞0，即x ＞时，函数为增函数，综上所述，当k≤0时，函数f （x ）在（1，+∞）为增函数， 当k ＞0时，函数f （x ）在（1，）为减函数，在（，+∞）为增函数． （2）由（Ⅰ）知，当k≤0时，f′（x ）＞0函数f （x ）在定义域内单调递增，f （x ）≤0不恒成立，当k ＞0时，函数f （x ）在（1，）为减函数，在（，+∞）为增函数． 当x=时，f （x ）取最大值，f （）=ln ≤0∴k≥1，即实数k 的取值范围为[1，+∞）（3）由（Ⅱ）知k=1时，f （x ）≤0恒成立，即ln （x ﹣1）＜x ﹣2∴＜1﹣，取x=3，4，5…n，n+1累加得，∵==＜=∴+…+＜+++…+ = ，（n∈N，n＞1）．【思路点拨】（Ⅰ）先求导，再分类讨论，根据导数即可得出函数的单调区间．（Ⅱ）利用导数研究函数的单调性，求出函数的最大值，使最大值小于等于0，可求出k的取值范围；（Ⅲ）由（1）可知，若k=1，当x∈（1，+∞）时有f（x）≤0，由此得到lnx＜x﹣2（x ＞1），依次取x的值为2，3，…，n，累加后利用放缩法可证不等式成立．。

江西师大附中2020-2021学年上学期高二数学（文）10月月考数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．直线20x y -+=的倾斜角为 A ．30B ．45︒C ．60︒D ．135︒2．圆心为(2,3)，半径为5的圆的标准方程为( ) A ．22(2)(3)5x y ++-= B ．22(2)(3)25x y ++-= C ．22(2)(3)5x y -+-=D ．22(2)(3)25x y -+-=3．经过两点P(1，4)，Q(m ，5)的直线的斜率是12，则实数m 的值是( ) A ．0B ．1C ．3D ．44．过点(2，1)且与直线2x -3y +1=0平行的直线方程为( ) A ．2310x y --= B ．3240x y -+= C ．3210x y +-=D ．2310x y -+=5．已知椭圆221167x y +=上一点P 到椭圆的一个焦点距离为2，则点P 到另一个焦点的距离是( ) A ．1B ．3C ．4D ．66．设直线ax －y +3=0与圆(x －1)2+(y －2)2=4相交于A 、B两点，且弦长为a 的值是( ) A ．2BC ．0D ．-17．以点(2,1)P -为中点且被椭圆22184x y +=所截得的弦所在的直线方程是( )A ．2x =B ．3y x =-C ．1y x =-+D ．3y x =--8．若点(,)P x y 满足不等式111y x y x y ≥-+⎧⎪≥-⎨⎪≤⎩，则22x y +的最小值是 ( )AB ．2C ．12D ．149．若圆222(3)(5)-++=x y r 上至少有两个点到直线4320x y --=距离等于1，则半径r 的取值范围是( )A ．[4+)∞，B ．(4)+∞，C ．(6)+∞，D ．[6)，+∞ 10．如图，椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为12,F F ，P 是C 上的点，满足212PF F F ⊥，1230PF F ∠=，则C 的离心率为( )A ．6B C 1 D11．动圆M 与圆221:(1)1C x y ++=外切，与圆222:(1)25C x y -+=内切，则动圆圆心M 的轨迹方程是( )A ．22189x y +=B ．22198x yC ．2219x y +=D ．2219y x +=12．若圆22:2440C x y x y 关于直线260ax by ++=对称，则由点(),a b 向圆所作的切线长的最小值为（ ） A ．2 B ．3C ．4D ．6二、填空题13．已知椭圆的方程为2212516x y +=，则此椭圆的长轴长等于__________.14．已知直线320ax y a -+=与直线(21)0a x ay a -++=互相垂直，则a =_______.15．若两圆2224480(0)x y x y a a ++-+-=>和22(2)(5)25x y -+-=相交，则实数a 的取值范围是______________.16．已知A 、B 两点分别在两条互相垂直的直线210x y --=和+20x ay +=上，且线段AB 的中点为10(0)P a，，则线段AB 的长为__________.三、解答题17．如图，在平面直角坐标系xoy 中，ABC ∆各顶点的坐标分别为(3,0)(0,4)(2,1)A B C -、、.（1）求点C 到直线AB 的距离； （2）求AB 边上的高所在的直线方程.18．已知圆C 过点A (2，1)，与y 轴相切，且圆心在直线y =x 上. （1）求圆C 的标准方程；（2）求经过点A 且与圆C 相切的直线l 的方程.19．如图，已知椭圆C 的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，其中左焦点为()F ，点12B ⎫⎪⎭在椭圆C 上. （1）求椭圆C 的方程；（2）直线:1l y x =-与椭圆C 交于不同两点P Q 、，求弦长|PQ |.20．如图，已知圆()2223x y -+=的圆心为C ，此圆和直线10x ay ++=在x 轴上方有两个不同交点A 、B ，（1）求a 的取值范围； （2）求ABC ∆面积的最大值及此时a 的值.21．已知曲线22:260C x y x y m +---=.（1）当m 为何值时，曲线C 表示圆；（2）若曲线C 与直线280x y +-=交于M 、N 两点，且OM ON ⊥ (O 为坐标原点)，求m 的值.22．如图，已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左右顶点分别为A B 、，右焦点为F ，焦距为2，点P 是椭圆C 上异于A B 、两点的动点，PAB ∆的面积最大值为（1）求椭圆C 的方程；（2）若直线AP 与直线2x =交于点D ，试判断以BD 为直径的圆与直线PF 的位置关系，并作出证明.参考答案1．B 【解析】直线20x y -+=的斜率为1 所以倾斜角为45︒ 故选B 2．D 【解析】圆心为()2,3，半径为5的圆的标准方程为()()222235x y -+-=,即()()222325x y -+-=，选D.3．C 【解析】 由题意得541312m m -=∴=- ，选C. 4．A 【解析】与直线2x -3y +1=0平行的直线方程设为230x y m -+= ，因为过点(2，1)，所以430,1m m -+==- ，因此直线方程为2310x y --=，选A.5．D 【解析】由椭圆定义得22246PF PF a PF PF ''+=∴+='⨯∴= ，选D. 6．C 【解析】圆心(1,2)，由弦长为0a == ，选C. 7．B 【解析】设弦端点坐标为1122(,),(,)x y x y ，由点差法得2222112212121212()()()()1,10848484x y x y x x x x y y y y -+-++=+=⇒+= 4(2)0112,384k k y x y x -⇒+=⇒=∴+=-=- ，选B. 点睛：弦中点问题解法一般为设而不求，关键是求出弦AB 所在直线方程的斜率k,方法一利用点差法，列出有关弦AB 的中点及弦斜率之间关系求解；方法二是直接设出斜率k ，利用根与系数的关系及中点坐标公式求得直线方程. 8．C 【解析】可行域如图，所以22x y +的最小值是原点到直线10x y +-=距离的平方，即212=，选C.点睛：线性规划问题，首先明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域、分界线是实线还是虚线，其次确定目标函数的几何意义，是求直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、还是点到直线的距离等等，最后结合图形确定目标函数最值取法、值域范围. 9．B 【解析】因为圆心(3,5)- 到直线4320x y --=距离为4335255⨯+⨯-=，所以要使圆()()22235x y r -++=上至少有两个点到直线4320x y --=距离等于1，则半径r满足154r r +>⇒> ，选B.10．B 【解析】设2PF m = ,则11212122,23,2PF m F F a PF PF m c F F ==∴=+===因此C的离心率为12123F F c a PF PF ==+，选B. 点睛：解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于,,a b c 的方程或不等式，再根据,,a b c 的关系消掉b 得到,a c 的关系式，而建立关于,,a b c 的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等. 11．B 【解析】设动圆M 半径为r ，则1212121,56|MC r MC r MC MC C C =+=-∴+= 因此动圆圆心M 的轨迹是以为12,C C 焦点的椭圆，所以22226,18,198x y a c b ==∴=∴+= ，选B.点睛：求与圆有关的轨迹问题时，根据题设条件的不同常采用以下方法： ①直接法：直接根据题目提供的条件列出方程． ②定义法：根据圆、直线等定义列方程． ③几何法：利用圆的几何性质列方程．④代入法：找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式等． 12．B 【解析】由题意得直线260ax by ++=过圆心C(-1，2),所以3a b -= ，由点(),a b 向圆所作的切3==≥，所以选B.点睛：直线与圆综合问题的常见类型及解题策略(1)处理直线与圆的弦长问题时多用几何法，即弦长的一半、弦心距、半径构成直角三角形．代数方法：运用根与系数的关系及弦长公式：12|||AB x x =-= (2)圆的切线问题的处理要抓住圆心到直线的距离等于半径，从而建立关系解决问题． 13．10 【解析】椭圆的长轴长等于22510a14．0或2 【解析】由题意得(21)3002a a a a a 或--=⇒== 15．(0,10) 【解析】设圆1:C 2224480x y x y a ++-+-=22211(2)(2),(2,2),x y a C r a ⇒++-=-=圆2:C ()()222525x y -+-=，22(2,5),5C r =由题意得121221||55010r r C C r r a a a -<<+⇒-<<+∴<<16．12 【解析】由题意得20,2a a -== 所以()05P ，，由210x y --=和220x y ++=得交点Q (0,1)-，由直角三角形性质得 ：线段AB 的长为2|PQ|=12 17．（1）175（2）34100x y +-= 【解析】试题分析：（1）先根据两点式写出直线AB 方程，再根据点到直线距离公式求点C 到直线AB 的距离（2）先根据斜率公式求AB 斜率，再根据垂直关系得高所在直线斜率，最后根据点斜式求AB 边上的高所在的直线方程. 试题解析： (1)4:43AB y x =+ 83121755d -+∴== (2)高所在直线方程：34100x y +-=18．（1）22(1)(1)1x y -+-=或22(5)(5)25x y -+-=（2）2x =或34100x y +-=【解析】试题分析：（1）设圆C 的标准方程：222()()(0)x a y b r r -+-=> 根据条件列三个方程：222,,(2)(1)a b r a a b r ==-+-=，解方程组得,,a b r 值（2）先根据斜率公式求AC 斜率，再根据切线与AC 垂直得切线斜率，最后根据点斜式写切线方程，注意斜率不存在的直线是存在的.试题解析：(1)设圆的方程()()222x a y a a -+-=，将A(2，1)代入，得()()22221a a a -+-=即2650a a -+=，解得1a =或5a =∴圆C 的标准方程是()()22111x y -+-=或()()225525x y -+-=(2)切线方程为2x =或34100x y +-= 点睛：确定圆的方程方法(1)直接法：根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程． (2)待定系数法①若已知条件与圆心(,)a b 和半径r 有关，则设圆的标准方程依据已知条件列出关于,,a b r 的方程组，从而求出,,a b r 的值；②若已知条件没有明确给出圆心或半径，则选择圆的一般方程，依据已知条件列出关于D 、E 、F 的方程组，进而求出D 、E 、F 的值．19．（1）2214x y +=（2）5PQ =【解析】试题分析：（1）先设椭圆标准方程,再由题意列方程组:223114a b +=， c =解方程组可得2,1a b ==（2）由直线方程与椭圆方程联立方程组解得交点坐标,再根据两点之间距离公式求弦长|PQ |.试题解析：(1)设2222:1(0)x y C a b a b+=>>，将B 代入得223114a b +=，又c =用通径212b a =或利用定义求a 也可以），2,1a b ∴== 2214x y ∴+=为所求.(2)将1y x =-与椭圆C 的方程联立，得2580x x -=，解得0x =或85x =，PQ ∴=20．（1）(,-∞（2）a =32【解析】试题分析：（1）由圆心到直线距离与半径关系确定交点个数,再根据直线斜率得交点位置,求交集得a 的取值范围；（2）由垂径定理得AB =再根据三角形面积公式以及基本不等式求最值试题解析：(1)由d r <<a <a >0a <,a ∴<即a 的取值范围是(,-∞(2)22133222d d S d +-=⋅≤=,当且仅当d =2=即a =时取得最大值32.(或()2223S d d =-利用二次函数的最值也可以) 21．（1）10m >-（2）165m =【解析】试题分析：（1）根据圆一般式限制条件得22(2)(6)4()0m -+---> ,解得m 取值范围（2）由OM ON ⊥得12120x x y y +=,联立直线方程与圆方程,结合韦达定理得12y y ,12x x ,代入化简可得m 的值.试题解析：(1) 曲线C 可化为()()221310x y m -+-=+，依题意10m >-.(2)方法一：设()()1122,,,M x y N x y ，将曲线C 与直线联立，得25y 34480y m -+-=，∴ 12485my y -=， 又()()()()12121212488282641645m x x y y y y y y +=--=-++=-由OM ON ⊥得()12124848055m mx x y y +-+=-+=解得165m =符合0∆>.方法二：MN 中垂线为210x y -+=与MN 方程联立得617,55x y ==，即MN 中点617,55P ⎛⎫ ⎪⎝⎭ 圆心C 到MN 的距离MN ∴=165m =. 方法三：设经过M 、N 的圆系：()2226280x y x y m x y λ+---++-=,将O 点代入得8m λ=- 故其圆心坐标2,32λλ-⎛⎫- ⎪⎝⎭代入直线MN 方程得25λ=-，从而165m =. 22．（1）22143x y +=（2）以BD 为直径的圆与直线PF 相切. 【解析】试题分析：（1）因为PAB ∆的面积最大值为1·2?2a b ,所以可列方程组11·2?22c a b a ==解得 2,?a b ==2）直线与圆位置关系的判断,一般利用圆心到直线距离与半径大小进行判断, 设()00,P x y ，则可得直线PF 方程,可得D 点坐标,进而可得圆心,即BD 中点坐标,再根据点到直线距离公式可得圆心到PF 距离,最后与半径(BD 一半)比较大小即可试题解析：（1）由题意得，2221·2?212a b a b c c a ⎧=⎪⎪=+⎨⎪⎪=⎩，解得：21a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩，所以，椭圆方程为：22143x y +=. （2）以BD 为直径的圆与直线PF 相切.证明：设直线AP ：()()20y k x k =+≠，则：()2,4D k ，BD 的中点为M 为()2,2k 联立()221432x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，消去y 整理得：()2222341616120k x k x k +++-= 设()00,P x y ，由韦达定理得：2021612234k x k--=+， 解得：2026834k x k -=+，故有：()00212234k y k x k =+=+又()1,0F ，所以当12k =±时，31,2P ⎛⎫± ⎪⎝⎭，()2,2D ±，此时PF x ⊥轴， 以BD 为直径的圆()()22211x y -+±=与直线PF 相切. 当12k ≠±时，0204=114PF y k k x k =--， 所以直线PF ： ()24114k y x k =--，即：224401414k k x y k k--=--， 所以点E 到直线PF的距离2d k ==而=4BD k ，即知：12d BD =，所以以BD 为直径的圆与直线PF 相切. 点睛：判断直线与圆的位置关系的常见方法(1)几何法：利用d 与r 的关系．(2)代数法：联立方程之后利用Δ判断．(3)点与圆的位置关系法：若直线恒过定点且定点在圆内，可判断直线与圆相交． 上述方法中最常用的是几何法，点与圆的位置关系法适用于动直线问题．。

江西省师范大学附属中学2020届高三数学10月月考试题文（含解析）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.集合，，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】解：A={x|x＜0，或x＞2}，B={x|﹣3＜x＜3}；∴A∩B={x|﹣3＜x＜0，或2＜x＜3}，A∪B=R；∵A∩B≠A，且A∩B≠B，∴B⊈A，A⊈B；即B正确．故选：B．2.已知命题,；命题若，则，下列命题为真命题的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】解：命题p：∀x＞0，ln（x+1）＞0，则命题p为真命题，则￢p为假命题；取a=﹣1，b=﹣2，a＞b，但a2＜b2，则命题q是假命题，则￢q是真命题．∴p∧q是假命题，p∧￢q是真命题，￢p∧q是假命题，￢p∧￢q是假命题．故选B．3.已知向量若与垂直，则的值为（）A. B. C. D. 1【答案】C【解析】解∵∴向量（1﹣4，3+2m）=（﹣3，3+2m）又∵向量与互相垂直，∴1×（﹣3）+3（3+2m）=0∴﹣3+9+6m=0⇒m=﹣1故选C4.若，则（）A. B. C. D. 2【答案】A【解析】由题知，则．故本题答案选．5.已知锐角△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,23cos2A+cos 2A=0,a=7,c=6,则b等于( )A. 10B. 9C. 8D. 5【答案】D【解析】由题意知,23cos2A+2cos2A-1=0,即cos2A=,又因△ABC为锐角三角形,所以cosA=.△ABC中由余弦定理知72=b2+62-2b×6×,即b2-b-13=0,即b=5或b=- (舍去),故选D.6.在四个函数，，，中，最小正周期为的所有函数个数为（）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】B【解析】解：函数y=sin|2x|不是周期函数，不满足条件；令y=f（x）=|sinx|，则f（x+π）=|sin（x+π）|=|﹣sinx|=|sinx|=f（x），∴函数y=|sinx|是最小正周期为π的函数，满足条件；又函数y=sin（2x+）的最小正周期为T==π，满足条件；函数y=tan（2x﹣）的最小正周期为T=，不满足条件．综上，以上4个函数中，最小正周期为π有2个．故选：B．7.已知中，满足的三角形有两解，则边长的取值范围是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】解：由三角形有两解，则满足，即，解得：2＜＜，所以边长的取值范围（2，），故选C．8.函数的部分图象大致为（）A. B.C. D.【答案】A【解析】去掉B,D; 舍C，选A.9.函数的部分图象如图所示，则的单调递增区间为（）A. B.C. D.【答案】D【解析】解：函数的周期T=2×=2π，即，得ω=1，则f（x）=cos（x+），则当时，函数取得最小值，则π+ =π+2kπ，即=+2kπ，即f（x）=cos（x+），由2kπ+π＜x+＜2kπ+2π，k∈Z，即2k+＜x＜2k+，k∈Z，即函数的单调递增区间为为（2k+，2k+），故选：D10.设, ,分别为三边, ,的中点，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】∵分别为的三边的中点，∴．选D．11.若函数在单调递增，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】解：函数f（x）=x﹣2sin x cos x+acosx那么：f′（x）=1﹣2cos2x﹣a sin x∵f（x）在[，]单调递增，即f′（x）=1﹣2cos2x﹣a sin x≥0，sin x在[，]上恒大于0，可得：a≤令y==,令可得：y=，（t∈[]）∴当t=时，y取得最小值为：2故得故选D点睛：将问题转化为不等式恒成立问题是解决本题的关键，用分离参数法解决恒成立问题时要注意参数系数正负号的讨论.12.已知函数，若存在唯一的零点，且，则实数的取值范围为（）A. B.C. D.【答案】D【解析】解：由题意可得f（x）=0，即为ax3﹣2x2+1=0，令g（x）=，g′（x）=可得x＜，x＞时，g（x）递减；当＜x＜0，0＜x＜时，g（x）递增．作出g（x）的图象，可得g（x）的极大值为g（）=，由题意可得当a＞时，f（x）存在唯一的零点x0，且x0＜0，故选：D．点睛:将函数零点问题转化为方程a=解问题后，再进一步转化为两函数y=a，的交点问题是解决本题的关键.通过讨论的单调性，作出其大致图像后，作图讨论两函数的交点个数问题即可得出实数的取值范围.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。