数学（理科）试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合要求的.1.P 的极坐标为72,4π⎛⎫ ⎪⎝⎭，则点P 的直角坐标为（ ）A.B.C. (2,2)D.(【答案】B 【解析】 【分析】根据公式cos sin x y ρθρθ==，可得选项.【详解】由cos sin x y ρθρθ==，得772cos 2sin 44x y ππ=⨯==⨯=P 的直角坐标为， 故选：B.【点睛】本题考查极坐标化为直角坐标，属于基础题.2.3个班分别从5个风景点中选择一处游览，不同的选法有（ ） A. 243 B. 125C. 128D. 264【答案】B 【解析】 【分析】由分步计数原理直接得结论.【详解】解：因为第1个班有5种选法，第2个班有5种选法，第3个班有5种选法， 所以由分步计数原理可得，不同的选法有555125⨯⨯=种， 故选：B【点睛】此题主要考查分步计数原理的运用，属于基础题. 3.已知ξ的分布列为设25ηξ=-，则()E η=（ ） A.12B.13C.23D.32【答案】C 【解析】 【分析】由条件算出m ，然后算出()E ξ，然后可算出答案.【详解】由分布列的性质可得：1111663m +++=，解得13m =所以()111117123466336E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=因为25ηξ=-，所以()()172252563E E ηξ=-=⨯-= 故选：C【点睛】本题考查的是分布列的性质和期望的性质，考查了学生对基础知识的掌握情况，较简单.4.随机变量ξ服从二项分布(),B n p ξ~，且300,200E D ξξ==，则p 等于（ ） A.23B.13C. 1D. 0【答案】B 【解析】因为(),B n p ξ~,所以()()()3001200E np D np p ξξ⎧==⎪⎨=-=⎪⎩,解得90013n p =⎧⎪⎨=⎪⎩.即p 等于13.故选B.5.将两颗骰子各掷一次，设事件A =“两个点数不相同”， B =“至少出现一个6点”，则概率()|P A B 等于（ ） A.1011B.511C.518D.536【答案】A 【解析】解：由题意事件A={两个点数都不相同}，包含的基本事件数是36-6=30至少出现一个6点的情况分二类，给两个骰子编号，1号与2号，若1号是出现6点，2号没有6点共五种2号是6点，一号不是6点有五种，若1号是出现6点，2号也是6点，有1种，故至少出现一个6点的情况是11种∴=10116.记函数2()6f x x x =+-的定义域为D .在区间[]4,5-上随机取一个数x ，则x D ∈的概率是（ ） A.59B.49C.45D.15【答案】A 【解析】 【分析】求出函数的定义域，结合几何概型的概率公式进行计算即可．【详解】由260x x +-≥得260x x --≤，得23x -≤≤， 则函数()f x 的定义域D 为[]2,3-， 则在区间[]4,5-上随机取一个数x ，则x D ∈的概率()()325549P --==--． 故选：A ．【点睛】本题主要考查几何概型的概率公式的计算，结合函数的定义域求出D ，以及利用几何概型的概率公式是解决本题的关键．7.已知随机变量X 服从正态分布()5,4N ，且()()4P X k P X k >=<-，则k 的值为( ) A. 6 B. 7C. 8D. 9【答案】B 【解析】由题意得，随机变量X 服从正态分布(5,4)N ，所以图象关于5x =对称， 又因为()()4P X k P X k >=<-，所以452k k +-=，解得7k =，故选B . 8.已知平面上两定点A ，B ，且()1,0A -，()10B ,，动点P 与两定点连线的斜率之积为-1，则动点P 的轨迹是（ ）A. 直线B. 圆的一部分C. 椭圆的一部分D. 双曲线的一部分 【答案】B 【解析】 【分析】设动点 P 的坐标为( x ， y )，由两点的斜率公式可得选项.【详解】设动点 P 的坐标为( x ， y )，则由题意可得， · 1PA PB k k =-，即() · 11 1? 1?y yx x x =-≠±+-，所以()2211x y x +=≠±. 故选：B.【点睛】本题考查平面中点的轨迹问题，求解时注意去掉不满足的点，属于基础题. 9.在一次试验中，测得(),x y 的四组值分别是()1,2A ，()2,3B ，()3,4C ，()4,5D ，则y 与x 之间的线性回归方程为( ) A. ˆ1yx =- B. 2y x =+C. 21y x =+D. 1y x =+【答案】D 【解析】 【分析】根据所给的这组数据，取出这组数据的样本中心点，把样本中心点代入所给的四个选项中验证，若能够成立的只有一个，这一个就是线性回归方程． 【详解】123423452.5,3.5444x y ++++++=＝＝＝， ∴这组数据的样本中心点是2.53.5（，）把样本中心点代入四个选项中，只有ˆ1yx =+成立， 故选D ．【点睛】本题考查求线性回归方程，一般情况下是一个运算量比较大的问题，解题时注意平均数的运算不要出错，注意系数的求法，运算时要细心，但是对于一个选择题，还有它特殊的加法．10.中国古代中的“礼、乐、射、御、书、数”合称“六艺”.“礼”，主要指德育；“乐”，主要指美育；“射”和“御”，就是体育和劳动；“书”，指各种历史文化知识；“数”，指数学.某校国学社团开展“六艺”课程讲座活动，每艺安排一节，连排六节，一天课程讲座排课有如下要求：“数”必须排在第三节，且“射”和“御”两门课程相邻排课，则“六艺”课程讲座不同的排课顺序共有（ ） A. 12种 B. 24种 C. 36种 D. 48种【答案】C 【解析】 【分析】根据“数”排在第三节，则“射”和“御”两门课程相邻有3类排法，再考虑两者的顺序，有222A =种，剩余的3门全排列，即可求解.【详解】由题意，“数”排在第三节，则“射”和“御”两门课程相邻时，可排在第1节和第2节或第4节和第5节或第5节和第6节，有3种，再考虑两者的顺序，有222A =种， 剩余的3门全排列，安排在剩下的3个位置，有336A =种，所以“六艺”课程讲座不同的排课顺序共有32636⨯⨯=种不同的排法. 故选：C.【点睛】本题主要考查了排列、组合的应用，其中解答中认真审题，根据题设条件，先排列有限制条件的元素是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题. 11.设01a <<，则随机变量X 的分布列是：则当a 在()0,1内增大时（ ） A. ()D X 增大B. ()D X 减小C. ()D X 先增大后减小D. ()D X 先减小后增大【答案】D 【解析】 【分析】研究方差随a 变化的增大或减小规律，常用方法就是将方差用参数a 表示，应用函数知识求解.本题根据方差与期望的关系，将方差表示为a 的二次函数，二次函数的图象和性质解题.题目有一定综合性，注重重要知识、基础知识、运算求解能力的考查. 【详解】方法1：由分布列得1()3aE X +=，则 2222111111211()01333333926a a a D X a a +++⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-⨯+-⨯+-⨯=-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则当a 在(0,1)内增大时，()D X 先减小后增大.方法2：则()222221(1)222213()()03399924a a a a D X E X E X a ⎡⎤+-+⎛⎫=-=++-==-+⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦故选D.【点睛】易出现的错误有，一是数学期望、方差以及二者之间的关系掌握不熟，无从着手；二是计算能力差，不能正确得到二次函数表达式.12.从0,1,2,3,4,5这六个数字中任取两个奇数和两个偶数，组成没有重复数字的四位数的个数为( ) A. 300 B. 216 C. 180 D. 162【答案】C 【解析】分两类:一、当偶数取2,4时，则有243472C A =；二、当偶数取0,2或0,4时，考虑首位，只有三个数可排，故有233323108C A ⨯⨯=，因此共有72108180+=.所以应选C.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.伸缩变换的坐标表达式为4x x y y=⎧⎨=''⎩，曲线C 在此变换下变为椭圆22116y x ''+=，则曲线C的方程为________. 【答案】221x y += 【解析】 【分析】直接根据变换公式进行求解，即可得到答案；【详解】伸缩变换公式为4x x y y=⎧⎨=''⎩，曲线C 在此变换下变为椭圆22116y x ''+=，∴2216116y x +=，∴曲线C 的方程为221x y +=，故答案为：221x y +=.【点睛】本题考查变换公式的应用，考查运算求解能力，属于基础题.14.某车队有7辆车，现要调出4辆按一定顺序出去执行任务．要求甲、乙两车必须参加，且甲车要先于乙车开出有_______种不同的调度方法（填数字）． 【答案】120 【解析】 【分析】先根据题意，选出满足题意的四辆车，确定对应的组合数，再根据题意进行排列，即可得出结果.【详解】从某车队调出4辆车，甲、乙两车必须参加，则有2510C =种选法；将选出的4辆车，按照“甲车要先于乙车开出”的要求进行排序，则有442212A A =种排法；因此，满足题意的，调度方法有：1012120⨯=种. 故答案为：120.【点睛】本题主要考查排列组合的应用，属于常考题型.15.61x ⎫-⎪⎭展开式中，二项式系数最大的项是_________． 【答案】220x - 【解析】 【分析】根据题意，由二项式系数的性质，得到第4项的二项式系数最大，求出第4项即可.【详解】在61x ⎫⎪⎭的展开式中，由二次项系数的性质可得：展开式中第4项的二项式系数最大，因此，该项为：333462120x T C x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭=-.故答案为：220x-. 【点睛】本题主要考查求二项式系数的最大项，熟记二项式定理即可，属于基础题型. 16.有8件产品，其中4件是次品，从中取3件，若X 表示取得次品的件数，则(2)P X ≤=________.【答案】1314【解析】 【分析】利用对立事件的概率计算，古典概型及其概率的计算公式，结合组合数的公式，即可求求解. 【详解】由8件产品，其中4件是次品，从中取3件，若X 表示取得次品的件数，则3438113(2)1(3)111414C P X P X C ≤=-==-=-=. 故答案为：1314. 【点睛】本题主要考查了概率的求法，其中解答中熟练应用对立事件概念，以及古典概型及其概率的计算公式，结合组合数的公式进行求解是解答的关键，着重考查运算与求解能力.三、解答题：共70分17.同一平面直角坐标系中，经过伸缩变换1213x x y y ⎧=⎪⎪⎨=''⎪⎪⎩后，曲线22:36C x y +=变为何种曲线.【答案】22194x y ''+=【解析】 【分析】若设圆2236x y +=上任一点为(,)P x y ，伸缩变换后对应的点的坐标为(,)P x y '''，由1213x x y y⎧=⎪⎪⎨=''⎪⎪⎩可得23x x y y =⎧⎨=''⎩，从而得到点''(2,3)P x y ，代入圆方程中可得结果. 【详解】解：设圆2236x y +=上任一点为(,)P x y ，伸缩变换后对应的点的坐标为(,)P x y '''，则由题意得23x x y y =⎧⎨=''⎩，所以''(2,3)P x y ，因为点''(2,3)P x y 在圆2236x y +=上所以224936x y '+'=，即22194x y ''+=.所以曲线C 在伸缩变换后得椭圆22194x y ''+=.【点睛】考查了圆锥曲线的伸缩变换，考查计算能力，属于基础题. 18.（1）求5(12)(1)x x +-的展开式中3x 的系数.（2）求5(12)(1)x x +-展开式中各项系数的和.【答案】（1）10；（2）0. 【解析】 【分析】（1）5(12)(1)x x +-的展开式中3x 的系数等于5(1)x -展开式中3x 的系数与2x 的系数的2倍的和；（2）令1x =，所得的值就是5(12)(1)x x +-展开式中各项系数的和.【详解】解：（1）因为5(1)x -的通项公式为155()(1)r r r r r r T C x C x +=-=-，所以5(12)(1)x x +-的展开式中3x 的系数为3255210C C -+=; （2）令1x =，则55(12)(11(12))()01x x =+-+=-， 所以5(12)(1)x x +-展开式中各项系数的和为0，【点睛】此题考查二项式定理，求指定项的系数，各项系数和，属于基础题.19.在极坐标系中，已知两点3,,42A B ππ⎛⎫⎫ ⎪⎪⎝⎭⎭，直线l 的方程为sin 34ρθπ⎛⎫+= ⎪⎝⎭. （1）求A ，B 两点间的距离； （2）求点B 到直线l 的距离. 【答案】（1（2）2. 【解析】【分析】(1)由题意，在OAB 中，利用余弦定理求解AB 的长度即可；(2)首先确定直线的倾斜角和直线所过的点的极坐标，然后结合点B 的坐标结合几何性质可得点B 到直线l 的距离.【详解】（1）设极点为O .在△OAB 中，A （3，4π），B ，2π），由余弦定理，得AB =. （2）因为直线l 的方程为sin()34ρθπ+=，则直线l 过点)2π，倾斜角为34π． 又)2B π，所以点B 到直线l 的距离为3sin()242ππ⨯-=. 【点睛】本题主要考查曲线的极坐标方程等基础知识，考查运算求解能力．20.“微信运动”是手机APP 推出的多款健康运动软件中的一款，某学校140名老师均在微信好友群中参与了“微信运动”，对运动10000步或以上的老师授予“运动达人”称号，低于10000步称为“参与者”，为了解老师们运动情况，选取了老师们在4月28日的运动数据进行分析，统计结果如下：（Ⅰ）根据上表说明，能否在犯错误概率不超过0.05的前提下认为获得“运动达人”称号与性别有关？（Ⅱ）从具有“运动达人”称号的教师中，采用按性别分层抽样的方法选取10人参加全国第四届“万步有约”全国健走激励大赛某赛区的活动，若从选取的10人中随机抽取3人作为代表参加开幕式，设抽取的3人中女教师人数为X，写出X的分布列并求出数学期望()E X.参考公式：22()()()()()n ad bcKa b c d a c b d-=++++，其中n a b c d=+++.参考数据：【答案】（1）不能在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为获得“运动达人”称号与性别有关；（2）见解析.【解析】【分析】（1）计算2,K比较3.841即可得到答案；（2）计算出男教师和女教师人数，X的所有可能取值有0,1,2,3，分别计算概率可得分布列，于是可求出数学期望.【详解】（1）根据列联表数据得：22140(60204020)1.167 3.841806010040K⨯⨯-⨯=≈<⨯⨯⨯∴不能在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为获得“运动达人”称号与性别有关（2）根据分层抽样方法得：男教师有60106100⨯=人，女教师有40104100⨯=人 由题意可知，X 的所有可能取值有0,1,2,3则()36310106C P X C ===；()2164310112C C P X C ===；()12643103210C C P X C ===；()343101330C P X C ===X ∴的分布列为：()1131601236210305E X ∴=⨯+⨯+⨯+⨯=【点睛】本题主要考查独立性检验统计思想，超几何分布的分布列与数学期望，意在考查学生的分析能力，计算能力.21.设甲、乙两位同学上学期间，每天7：30之前到校的概率均为23.假定甲、乙两位同学到校情况互不影响，且任一同学每天到校情况相互独立.（1）用X 表示甲同学上学期间的三天中7：30之前到校的天数，求随机变量X 的分布列、数学期望和方差；（2）设M 为事件“上学期间的三天中，甲同学在7：30之前到校的天数比乙同学在7：30之前到校的天数恰好多2”，求事件M 发生的概率. 【答案】（1）分布列见解析，()2E X =，2()3D X =；（2）20243. 【解析】 【分析】（1）根据题意，得到随机变量2~3,3X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，结合独立重复试验的公式，求得相应的概率，得出随机变量的分布列，以及数学期望和分差；（2）设乙同学三天到校的天数2~3,3Y B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，且{}{}3,12,0M X Y X Y =====，结合互斥事件和独立事件的概率计算公式，即可求解.【详解】（1）由甲同学上学期间的三天中到校情况相互独立，且每天7:30之前到校的概率均为23， 故2~3,3X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，从而3321()(0,1,2,3)33k kkP X k C k -⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以，随机变量X 的分布列为：随机变量X 的数学期望2()323E X =⨯=，2()3D X =. （2）设乙同学上学期间的三天中7:30之前到校的天数为Y ， 则2~3,3Y B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，且{}{}3,12,0M X Y X Y =====，由题意知事件{}3,1X Y ==与{}2,0X Y ==互斥，且事件{}3X =与{}1Y =，事件{}2X =与{}0Y =均相互独立， 从而由（1）知：{}{}()()3,12,0P M P X Y X Y =====(3,1)(2,0)P X Y P X Y ===+==(3)(1)(2)(0)P X P Y P X P Y ===+==824120279927243=⨯+⨯=. 【点睛】本题主要考查了离散型随机变量分布列及期望与方差的计算，以及互斥事件和相互独立事件的概率计算公式的应用，注重考查分析问题和解答问题的能力，以及运算能力. 22.某超市在节日期间进行有奖促销，凡在该超市购物满200元的顾客，将获得一次摸奖机会，规则如下：一个袋子装有5只形状和大小均相同的玻璃球，其中两只是红色，三只是绿色，顾客从袋子中一次摸出两只球，若两只球都是红色，则奖励20元；共两只球都是绿色，则奖励10元；若两只球颜色不同，则不奖励．（1）求一名顾客在一次摸奖活动中获得20元的概率；（2）记X 为两名顾客参与该摸奖活动获得的奖励总数额，求随机变量X 的分布列和数学期望． 【答案】（1）110；（2）见解析 【解析】 【分析】（1）根据古典概型概率计算公式可求得结果；（2）分别求出一名顾客摸球中奖10元和不中奖的概率；确定X 所有可能的取值为：0，10，20，30，40，分别计算每个取值对应的概率，从而得到分布列；利用数学期望计算公式求解期望即可. 【详解】（1）记一名顾客摸球中奖20元为事件A从袋中摸出两只球共有：25C 种取法；摸出的两只球均是红球共有：22C 种取法()2225110C P A C ∴==（2）记一名顾客摸球中奖10元为事件B ，不中奖为事件C则：()2325310C P B C ==，()()()631105P C P A P B =--== 由题意可知，X 所有可能的取值为：0，10，20，30，40则()()()9025P X P C P C ==⋅=；()()()910225P X P B P C ==⋅=； ()()()()()21202100P X P A P C P B P B ==⋅+⋅=；()()()330250P X P A P B ==⋅=；()()()140100P X P A P A ==⋅=∴随机变量X 的分布列为：()99213101020304010252510050100E X ∴=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯= 【点睛】本题考查古典概型概率问题求解、离散型随机变量的分布列和数学期望的求解，关键是能够根据通过积事件的概率公式求解出每个随机变量的取值所对应的概率，从而可得分布列.。
