不定积分的求解方法毕业论文开题报告

毕业论文开题报告论文题目:《论不定积分与定积分的求解方法及应用》系别：数学系专业：数学与应用数学年级：06.4学号：20姓名：王婷婷导师：李金洋一选题意义（一）理论意义积分包括定积分和不定积分。

它的出现不仅是数学史上也是人类历史上的一个伟大创举.它的产生是由于社会经济的发展和生产技术的进步的需要而促成的,也是自古以来许多数学家长期辛勤发展起来的一连串数学思想的结晶。

因此它在数学和其他许多学科中有着广泛的应用。

学习定积分和不定积分，要重在提高自已逻辑思维能力、科学分析能力、运用数学语言能力、联想与运算能力及应用能力。

求解定积分和不定积分的过程对于学生的科学思维和文化素质的培养，所起的作用极为明显，随着社会进入信息时代，积分的语言已渗透到各个领域，数学成了语言所能达到的最高境界。

数学与不同学科的结合所形成的新兴学科，都充分体现了量化方法已成为研究经济学、社会科学的重要方法。

掌握了它，会使我们在以后的工作和研究中占有绝对明显的个人优势。

（二）实践意义定积分与不定积分不仅与自然科学有密切关系，几乎所有基础科学都深深依赖着它们，就是社会科学的各个领域中，也与其有着密切关系，例如：（1）社会学家们通过积分计算给出人口增长的精确规律和准确预测（2）可以利用定积分求几何图形的面积、体积等（3）可以利用定积分求位移、速度、功、势能、压力、冲量电量等物理量（4）积分作为数学的一个分支，在经济科学、管理科学中也有着广泛的应用可以说，积分是人类认识客观世界、探索宇宙奥秘乃至人类自身的各种问题的重要理论和方法。

二论文综述（一）理论渊源及演进过程从微积分成为一门学科来说，是在十七世纪，但是，微分和积分的思想在古代就已经产生了。

公元前三世纪，古希腊的阿基米德在研究解决抛物弓形的面积、球和球冠面积、螺线下面积和旋转双曲体的体积的问题中，就隐含着近代积分学的思想。

到了十七世纪，有许多科学问题需要解决，这些问题也就成了促使微积分产生的因素。

不定积分求解方法不定积分是微积分中的一个重要概念，它是定积分的反运算。

在实际问题中，我们常常需要对某些函数进行不定积分求解，以便得到函数的原函数表达式。

下面，我将介绍几种常见的不定积分求解方法，希望能够对大家有所帮助。

一、换元法。

换元法是不定积分中常用的一种方法。

当被积函数中含有复杂的函数形式时，可以通过引入新的变量来简化积分。

具体步骤如下：1. 选择合适的代换变量，通常选择被积函数中的一部分作为代换变量。

2. 对代换变量进行求导，得到微分形式。

3. 将原函数中的变量用代换变量表示，并将被积函数中的原函数用代换变量表示。

4. 进行变量代换，将原不定积分转化为新的不定积分。

5. 求解新的不定积分，得到结果后，将代换变量重新换回原来的变量。

二、分部积分法。

分部积分法是求解不定积分中常用的另一种方法。

当被积函数为两个函数的乘积形式时，可以通过分部积分法将原不定积分转化为另一个不定积分，从而简化求解过程。

具体步骤如下：1. 选择一个函数作为u，选择另一个函数的导数作为dv。

2. 对u进行求导，得到du；对dv进行不定积分，得到v。

3. 将原函数中的乘积形式表示为uv的形式。

4. 使用分部积分公式进行求解，得到结果。

三、有理函数的不定积分。

对于有理函数的不定积分求解，可以通过分解成部分分式的形式，将原函数表示为几个简单函数的和的形式，从而进行逐个求解。

具体步骤如下：1. 对有理函数进行因式分解，将其表示为几个一次或二次多项式的和的形式。

2. 对每一个简单函数进行不定积分求解，得到结果。

3. 将每个简单函数的不定积分结果相加，得到原有理函数的不定积分结果。

四、倒代换法。

倒代换法是一种特殊的不定积分求解方法，适用于一些特殊形式的不定积分。

具体步骤如下：1. 选择合适的代换变量，通常选择被积函数中的一部分作为代换变量。

2. 对代换变量进行求导，得到微分形式。

3. 将原函数中的变量用代换变量表示，并将被积函数中的原函数用代换变量表示。

毕业论文开题报告题目不定积分的求解办法与技巧学生姓名学号所在院(系) 数学与计算机科学学院专业班级数学与应用数学专业(师范类)10级1班指导教师20 14 年 3 月 10 日下面是三个励志小故事，不需要的朋友可以下载后编辑删除!!!谢谢！！！你可以哭泣，但不要忘了奔跑2012年，我背着大包小包踏上了去往北京的火车，开启了北漂生涯。

彼时，天气阴沉，不知何时会掉下雨滴，就像我未知的前方一样，让人担忧。

去北京的决定是突然而果决的，我在宿舍纠结了一天，然后在太阳逃离窗口的时候打电话告诉父母，我要到首都闯一闯。

消息发出去之后，并没有预料之中的强烈反对，父亲只给我回了一个字：好。

就这样看似毫无忧虑的我，欣喜地踏上了北上的路。

有些事情只有真正迈出第一步的时候，才会迎来恐惧。

当我踏上北上的列车时，才惊觉对于北京，除了天安门、央视大楼这些着名建筑，我知之甚少。

俗话说无知者无畏，可于我而言，这句话并不适用，因为在坐上火车那一刻，我就开始对未来胆战心惊，毫无底气。

火车开动之后，我的心情变得更加复杂而紧张，甚至一度心生退意。

人类果然是一个无解的方程式，看似无畏的勇气背后不知藏下了多少怯懦和犹豫。

旁座的姐姐见我一人，开始和我有一搭没一搭地聊起了天。

几分钟后，我们竟如同许久未见的好友一般，开始聊起了各自的生活。

我说出了自己的恐惧与未见，期冀从她那里得到些许安慰和鼓励。

出乎意料地，她并没有说一些心灵鸡汤般的哲理语句，反而给我讲了一个故事，一个让我在很长一段时间都印象深刻，每次想起便会荷尔蒙再度升高的故事，一个她自己的故事。

那是一段并不愉快的经历，整段经历是蜿蜒前行的。

高考中，她因为做错了三道大题，成为家里的罪人。

朋友极尽嘲笑，亲戚们也开始暴露自己毒舌的属性，父母当时并没有过多指责，因为他们正在跟自己的兄弟姐妹们为了祖母的遗产争得死去活来。

那被人类歌颂的血缘、亲情，在所有的利益面前瞬间分崩离析。

那时的她，像极了一个被遗弃的孩子。

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- 1 -不定积分计算的各种方法广东石油化工学院高州师范学院312数学（2）班 蓝俊杰 【摘要】 本文简单介绍不定积分的性质，分析常见不定积分各种求解方法：直接积分法（公式法）、第一换元积分法、第二换元积分法（三角代换、倒代换、去根号法）、分部积分法，并且结合实例加以讨论分析，寻找快捷简便的解题方法。

【关键词】 不定积分 换元法 三角代换 倒代换 去根号法 分部积分法不定积分是《数学分析》中的一个重要内容，它是学习定积分、广义积分、重积分、曲线积分及各种有关积分函数的基础，因此，掌握不定积分的计算是非常重要的，但是求不定积分没有固定的方法，要根据题型的特点采取不同的方法，同一道题会有不同的解法，是数学分析学习是的一个难点。

本文对不定积分的求解方法进行了总结。

一、不定积分的定义与性质定义1：设()f x ， x I ∈，若存在函数()F x ，使得对任意x I ∈均有()()F x f x '=或()()dF x f x dx =，则称()F x 为()f x 的一个原函数。

显然，若f(x)存在原函数，则它的原函数有无穷多个，不同的原函数只相差一个常数。

定义2：()f x 的全部原函数称为()f x 在区间I 上的不定积分，记为()()f x dx F x C =+⎰由[1]，若f(x)在区间I 上连续，则f(x)必定存在原函数。

2.不定积分的运算性质- 2 -[]1.()()()()f x g x dx f x dx g x dx αβαβ+=+⎰⎰⎰2.()();()()f x dx f x d x dx f x dx '⎡⎤==⎣⎦⎰⎰ 3.'()),()F x dx F x c dF x F x c =+=+⎰⎰（（）二、直接积分法（公式法）利用不定积分运算性质、代数公式、三角函数公式及基本公式从而直接求出不定积分，这种方法就是直接积分法（另称公式法）本积分公式如下：10dx c =⎰（）．； 7kdx kx C =+⎰（）；112,11uu x dx x u u +=≠-+⎰（）； 8ln dx x C x=+⎰（）; 3sin cos xdx x c =-+⎰（）；9cos sin dx x c =+⎰（）； 214arctan 1dx x C x =++⎰（）；(10)arcsin ;x C =+ 215tan cos dx x C x =+⎰（）； 21(11)cot ;sin dx x C x=-+⎰ 6x x xe d e C =+⎰（）； 下面具体举例加以讨论：例：2.1.1求不定积分 32(4253)x x x dx -++⎰解：原式=34x dx ⎰-22x dx ⎰+5xdx ⎰+3dx ⎰=43x dx ⎰-22x dx ⎰+5xdx ⎰+3dx ⎰=.43225332x x x x c -+++注：计算多项式的不定积分时，可用不定积分运算性质［1］[]()()()()f x g x dx f x dx g x dx αβαβ+=+⎰⎰⎰进行计算。

浅谈不定积分的解题方法本科学生毕业论文浅谈不定积分的解题方法摘要本文介绍求不定积分的若干方法：直接积分法，换元积分法，分部积分法和有理函数积分法等，结合实例讨论了这些方法在不定积分求解中的可行性.关键词：不定积分;直接积分法;还原积分发;分部积分法;有理函数积分法ABSTRACTThere are three solution of indefinite integration in this paper: direct integration, exchangeable integration, parcel integration. It discussed the feasibility which these ways in the solution of indefinite integration, combine with real examples.Key words: Indefinite integral; Direct integral method, Change yean integral method and the division of integral method1 引论微积分是高等院校的一门重要基础课程，当代著名数学家柯朗[1]曾指出微积分和数学分析是人类思维的伟大成果之一，它处于自然科学与人文科学之间的地位，使它成为高等数学的一种特别有效的工具. 不定积分是数学分析的基本内容和主要内容，不定积分也是微分学和积分学的联系纽带. 不定积分的一个重要内容，不定积分的解法不像徽分法有一定的方法可循.求不定积分思维方灵活多样，它要根据不同题型特点采取不同的解法，不定积分运算是微分运算的逆运算. 下面把常用的不定积分的解法分类归纳，以便学生更好地掌握，求解不定积分的常规方法有：直接积分法，换元积分法，分部积分法和特殊积分法. 而实际运用中使用较多的是换元积分法和分部积分法，分部积分法是学生学习的一个难点, 掌握不定积分的解法比较困难，但是求导相对容易，因为只要熟记了基本初等函数的导数公式、掌握了导数的四则运算法则以及复合函数的求导法则，就可以求出任何函数的导数.可是不定积分就没有这么容易，第一是没有适用于一切初等函数不定积分的方法，第二是许多初等函数的原函数本身就不是初等函数, 而出现不定积分存在但是求不出来的情况.2 不定积分2.1不定积分的定义不定积分的定义[2]若在某以区间上()()'F x f x =则在这个区间上函数F(x)叫函数()f x 的原函数. 我们把函数()f x 的原函数的一般表达式称为()f x 的不定积分.记为()f x dx ⎰，亦即()()f x dx F x C =+⎰,其中()F x 是()f x 的一个原函数，C 为任意常熟，又称()f x 是被积函数，x 为积分变量，C 为积分常数，记号:为积分号.例1 求多项式的积分()2321x x dx -+⎰解 利用积分的运算法则,有原式23232x dx xdx dx x x x C =-+=-++⎰⎰⎰.3 直接积分法直接积分法[3]就是利用积分公式和积分的基本性质求不定积分的方法，直接积分法的关键是把被积函数通过代数或三角恒等变形，变为代数和，再逐项积分.直接积分法的关键[4]是： 熟练的掌握积分的基本公式和运算法则是关键,也是学习不定积分的基本要求，由于求不定积分和求导数互为逆运算，因此基本积分公式是与基本微分公式对应的积分公式 在基本微分公式较熟悉的前提下，基本积分公式是不难记住的 .例2 求2cot xdx ⎰分析：基本关系中没有关于2cot x 的积分，但是由于他相关的2csc x 积分,于是，把2cot x 来表示，然后代入公式：解 ()22cot csc 1cot xdx x dx x x C =-=--+⎰⎰.例3 求421x dx x +⎰ 解 原式()4232211111arctan 113x dx x dx dx x x x C x x +-==-+=-++++⎰⎰⎰. 例4 求2cos x xdx *⎰解 21cos 21cos 21sin 2cos 22224x x x x xdx dx dx dx x C +*==+=++⎰⎰⎰⎰. 例5 求cos 2cos sin x dx x x-⎰ 解 被积函数有不同三角函数sin ,cos x x 和cos 2x 可利用倍角公式为()22cos 2cos sin cos sin sin cos cos sin cos sin x x x dx x x dx x x C x x x x -==+=-+--⎰⎰⎰ .4 换元积分法换元积分法，就是通过适当的变量代换，把积分转化为积分表中的类型或容易积分的形式，换元积分法包括第一换元积分法及第二换元积分法.4.1 第一换元积分法第一换积分法[5]（又称凑微分法)在求积分()g x dx ⎰，如果它可()[]'()f h x h x dx ⎰的形式时，可作变量代换u=h(x)则()du h x dx =，此时[()]'()()f h x h x dx f u du =⎰⎰而()f u du ⎰又可直接积分得()F u C +，最后再将u 换回()h x 即可运算形式下:()[()]'()g x dx f h x h x =⎰⎰[()](())f h x d h x ⎰()F u C +()[()]F h x dh x C +第一换元积分法的关键[4]是将被积表达()g x dx 化[()]'()f h x h x dx ()[()]f h x dh x ⎰ 再选择变量代换()u h x =.第一换元积分法的关键[4]是:将被积表达式凑成两部分，一部分为复合函数，其中外函数为基本公式的一个函数类，另一部分为内数的微分，这里要注意系数的调整 .例6 求345dx x- 分析 ()()()123345454510a x d x x C --=--+⎰其中外函数为幂函数，内函数为45x -.解 原式()()2133134545(45)510x d x x C =--=--+. 凑微分法[6]可概述为：凑微分——()()u x dv x ；可积出，则积出；积不出，则分部——()()u x dv x 之不定积分等于()u x 与()v x 之积减去()u x 和()v x 交换位置的不定积分.注意：1 可积出（a ）x 幂函数与指数函数，对数函数，正弦函数，余弦函数之积的不定积分只须取x 的幂函数作即可积出.（b ） x 幂函数与反三角函数的积的不定积分只须取反三角函数作()u x 即可积出.(c) 指数函数同正弦正数、余弦函数之积的不定积分则可以任取一种函数()u x 即可积出.2 积不出多项式与指数函数,对数函数,正(余)弦函数,反三角函数的乘积的不定积分.例7 求()2351cos 4x x xdx ++⎰解 根据不定积分的运算性质,得()()()222sin 4351cos 43cos 45cos 4cos 4840532cos 425.16x x x xdx x xdx x xdx xdx x x x x C ++=++=+++++⎰⎰⎰⎰ 4.1.2 常用的凑微公式常用的凑微公式主要有：()1dx ax b a=+； ()1ln dx d x x=； ()x x e dx d e =；()cos sin xdx d x =；221csc sin dx xdx x=； 21arctan 1dx d x x ⋅=+.例8 21I dx x x =-⎰ 解 令sec x t =,则22sec tan ,1sec 1tan dx t tdt x t t =-=-=11arccos sec tan I c t tdt x==+⎰. 4.2 第二换元积分法一般地，如果在积分()f x dx ⎰中,令()x h t =，且可导()(),'0h x h x ≠, 则有()()()'f x dx f h t h t dt =⎡⎤⎣⎦⎰⎰若该式右端易求出原函数， 则得第二类换元法[7]积分公式()()()1f x dx h h x C -⎡⎤=+⎣⎦⎰其中()()1h x -为()x h t =的反函数,()()1t h x -= .第二类换元法关键：是要引入适当的新的积分变量，将原来的不定积分转化成为对新的积分变量的积分 然而,如何引入新的积分变量一般没有什么规律可循,只有一条大原则,就是引入新的积分变量后,要使新的不定积分比原来的不定积分较易求出 这样,问题也就比灵活,也比较困难 在教学时,我将这个问题作了一些归纳总结,如何引入新的积分变量可大致归结为下列三种方法.4.2.1根式代换法根式代换法[4]的原则是将被积函数中含有的某个根式作为一个新的积分变量,即将被积函数中含有的某个根式用一个新的积分变量代换后,使其在新的被积函数中不再含有根式.例9 求331dx x + 解 根据上述原则，须引进一个新的积分变量使其在新的被积表达式中不再含有根式，显然，只须引入变量331t x =+,令331t x =+()3211,3x t dx t dt =-= ()()(()2222233111113523115531t dx t dt t t C x x C t x -+==++=+++⎰.4.2.2 三角代换三角代换法[8]的原则是通过引入适当的三角代换把被积表达式中之根号去掉,转化成为三角有理函数之积分 被积函数中若含有根式)220a x a ->)220a x a +>)220x a a ->都可用三角代换法解决 三角代换法的一般方法如下:被积式含有的根式 三角代换()220a x a -> sin 22x a t t ππ⎛⎫=-≤≤ ⎪⎝⎭ ()220a x a +>22x atgt t ππ⎛⎫=-<< ⎪⎝⎭ ()220x a a -> sec 0,22x a t t t πππ⎛⎫=<<<< ⎪⎝⎭s例10 求()220a x dx a ->解 令sin ,,22x a t t ππ⎡⎤=∈-⎢⎥⎣⎦,则cos dx a tdt =,于是()()22222222222222sin cos cos 1cos 22arcsin arcsin .22a a x dx a a t a tdt a tdt t dta x x a x a x x C a x C a a a -=-==+⎛-=+=+- ⎝⎭⎰⎰ 4.2.2 倒代换所谓倒数代换法[7]就是将积分变量用一个新的变量的倒数去代换，将其被积表达式化简 一般地，形如()220dx a xx a >±； ()2220dx a x x a >±；2dx x ax bx c ++； 22dx x ax bx c++；2ax bx cdx ++； 等积分均可作倒数代换x t =.例11 求()()()111nx n N x x +>∈+⎰解 令211,x dx dt t t==-原式()1211ln 11111n nnn t t dt dt t C t n t t --==-=-+++⎛⎫+ ⎪⎝⎭⎰⎰ 得 ()111ln 11n nC n x x x ⎛⎫=-++ ⎪+⎝⎭⎰. 5 分部积分法5.1分部积分法分部积分法[9]主要用于解决被积函数的两种初等函数的乘积或单一个函数(对数函数，反三角函数，初等函数)的不定积分的分部积分公式:()()()()()()u x dv x u x v x v x du x =-⎰⎰.5.2积分的关键选取哪个因子当作是键，选择不当不仅不会使积分由复杂到简单，反而更复杂 选要按以下顺序进行口(顺序在前者先选)对数函数、反三角函数、幂函数、指数函数、三角函数.例12 求ln x xdx ⎰分析 被积函数是幂函数与对数函数的乘积，由()u x 的选取顺序,()ln u x x =.解 原式2222211111ln ln ln ln 22224xdx x x x d x x x x C ==-=-+⎰⎰. 例13 求2xtg xdx ⎰分析 被积函数是幂函数与三角函数的乘积，由，的选取顺序，令解 原式()22211sec 1sec 2x x dx x xdx xdx xdtgx x C =-=-=-+⎰⎰⎰⎰222111cos 2cos 2xtgx tgxdx x C xtgx d x x C x =--+=+-+⎰⎰2211ln cos ln cos 22xtgx x x C atgx x x C =+-+=+-+ (12C C C =+).6 有理函数6.1有理函数有理函数[2]设P(x)和Q(x)是两个多项式，则成形如()()P x Q x 的函数为有理函数 如：222413221,,115x x x x x x x x -+++-+-等都是有理函数 下面为我们讨论有理函数的积分方法的一般方法. 6.2 分式有理函数把真分式分解为简单分实质和的方法归结起来，主要由以下两点：若Q(x)有一个k 重实根a ，则分解时必含有分式()()122kkA A A x a x a x a +++--- ,其中A 1,A ,2A k 为待定系数；(ii) 若Q(x)有一对k 重共轭复根和，这时Q(x)必有因子()2kx px q ++,其中()()22,40,x px q x x p q αβ++=---<则分解师比含有分式()()11222222x x kx kkB C B C B C x px q x px q xpx q ++++++++++++,其中1212,,,,,,,k k B B B C C C 都是待定系数 .由此可见，任何一个真分式都可以分解成若干个简单的部分分式之和，而这些简单分式不外乎以下四种类型：(1) Ax a-； (2)()()1,2,3,nAn x a =-；(3) 2Bx Cx px q +++；(4)()()21,2,3nBx Cn xpx q +=++.其中,,,,,A B C a p q 都是常数，并设二次三项式2x px q ++没有实根，即240p q -<于是，求任何一个真分式的不定积分问题也就化成以上四种类型的积分，现在，分别求出如下：(1)Adx x a-⎰这个积分早已会求，它是()ln Adx A x a C x a =-+-⎰(2 ()()1,2,3nAdx n x a =-⎰这个积分早已会求，它是()()()111,2,31nn AA dx C N n x a x a -=-+=---⎰(3)2Bx Cdx x px q+++⎰由2x px q ++分出完全平方项，从而有22224p p x px q x q ⎛⎫⎛⎫++=++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，最后一个括号中的表达式为一正数，不妨记为 现在作代换,2px t dx dt +==, 于是()2222212ln arctan '22bp Bx C Bx C B Bp t dx dt t a C C x px q t a a a ⎛⎫+- ⎪+⎛⎫⎝⎭==++-+ ⎪+++⎝⎭⎰⎰, 其中为常数，代回变量x ，就有()2222ln arctan '244Bx C B dx x px q C x px q q p q p+=+++++--⎰. 例14 求()()222211x dx x x+-+⎰解 利用部分分时，即可求得 ()()()222222211211111x x x dx dx dx dx x x x x x ++=---+-++⎰⎰⎰⎰ ()()2211ln 1ln 1arctan 21x x x C x =--+-++.例15 求32231x x x dx x --+-⎰ 解 这是被积函数的次数高于分母的次数，因此首先用除法写成即可求得322223211ln 1121x x x x x dx x dx x C x x x --+-⎛⎫⎛⎫=-+=-++ ⎪ ⎪--+⎝⎭⎝⎭⎰⎰. 结论 上面所介绍的不定积分的解题方法都是常用的方法，根据被积函数的结构特点采取上述所给出的方法去解题，同时要学会用一些技巧把所求的复杂的题目变成我们所熟悉的，简单的方法解题 因此，需要我们去多做些练习来增长我们的做题技巧和方法，能在做题时顺心应手，面对各种求不定积分计算问题都能迎刃而解.参考文献[1] 范梅.不定积分的分部积分法探究[J] 江苏,西安航空学院学报2015,1(33)66.[2] 欧阳光中，朱学炎,金福临,陈传璋.数学分析[M],第三版,上册北京:高等教育出版社，2007.[3] 辛春元.浅析不定积分的解题方法[J].辽宁:辽宁对外经贸学院，2008:8（15）143-145.[4] 高超.浅谈不定积分基本解题方法[J].贵州:林区学报,2011,12(20):268-269.[5] 何挺.不定积分三种基本解题方法归类[J].安顺师范学报,2004,4(6):78-80.[6] 郞开禄.谈谈求不定积分两种解题方法[J].楚雄师范学报,1986,3(8):69-71.[7] 王晗宁.浅谈不定积分的解法[J].中国商报,2010,2(5):15-16.[8] 马文素.浅谈不定积分积分方法[J].青海:青海师专学报,2006,5(18):45-47.[9] 华东师范大学数系，数学分析[M].北京:高等教育出版社,1991.致谢词非常感谢老师在我大学的最后阶段——毕业论文写作给予指导，通过老师的细心点拨，使我在对这次论文的写作有了明确的方向，从资料收集，到写作，修改，到论文定稿，她给了我耐心的指导和无私的帮助，是我在写作过程中的问题与不足都被老师一一发现并进行指正如今，伴随着这篇毕业论文的最终成稿，复杂的心情烟消云散，自己甚至还有一点成就感同时，感谢所有任课老师和所有同学在这几年里给我的指导和帮助，是他们教会了我专业知识，教会了我如何学习，教会了我如何做人正是由于他们，我才能在各方面取得显著的进步，在此向他们表示由衷的感谢。

不定积分的积分方法论文不定积分的积分方法论文不定积分的积分方法论文【1】摘要：在高职高专院校高等数学的不定积分章节的学习中，有三种积分方法，分别是第一类换元积分法，第二类换元积分法和分部积分法.部分学生在积分运算中，对积分方法的选择不知如何着手.针对这种现象，本文对三种积分方法加以总结，以便学生对积分方法能更好地掌握.关键词：不定积分换元积分法分部积分法一、第一类换元积分法定理1(第一类换元积分法)设f(u)具有原函数，u=φ(x)可导，则有换元积分公式f[φ(x)]φ′(x)dx=[f(u)du].第一类换元积分公式实质上就是：f[φ(x)]φ′(x)dx=f[φ(x)]d[φ(x)].第一类换元积分公式在运用过程中，应用的关键是确定新的积分变量φ(x)，那么如何确定φ(x)?方法有如下两种.1.通过对所求不定积分中被积函数的观察，发现函数中既含有φ(x)又含有φ′(x)，则我们就可以猜测出新的积分变量为φ(x).例如：求dx分析：所求不定积分的被积函数为，因为(lnx)′=，所以我们可以把看做lnx，则新的积分变量φ(x)=lnx.解：dx=[lnx]dx=lnxd[lnx]=lnx+C2.通过对所求不定积分的观察，猜测出所要运用的基本积分公式，基于这个公式确定新的积分变量φ(x).例如：求sin3xdx分析：所求不定积分为sin3xdx，观察后发现我们所用的基本积分公式为sinxdx=-cosx+C，但是所求积分的被积函数不是sinx而是sin3x，我们可以把3x看做一个整体，就是新的积分变量φ(x)，即φ(x)=3x.解：sin3xdx=[sin3x]3dx=[sin3x]d[3x]=[sin3x]d[3x]=-cos3x+C二、第二类换元积分法定理2(第二类换元积分法)设函数x=φ(t)单调，可导，且φ′(t)≠0，f[φ(t)]φ′(t)的原函数存在，则有换元积分公式f(x)dx=[f[φ(t)]φ′(t)dt]，其中t=ψ(x)是x=φ(t)的反函数.第二类换元积分公式在何时运用?我认为：重点是解决被积函数中含有“根号”的积分问题.那么在学习中遇到的常见的含有根号的情形有几种呢?我总结了一下共有四种，分别是：;;;.如何消除被积表达式中的根号?做适当变量替换即可，针对以上四种情形具体替换如下：① 对，设t=;② 对，设x=asint;③ 对，设x=atant;④ 对，设x=asect.原来关于x的不定积分转化为关于t的不定积分，在求得关于t的不定积分后，必须代回原变量.在进行三角函数换元时，可由三角函数边与角的关系，作三角形，以便于回代.在使用第二类换元法的同时，应注意根据需要，随时与被积函数的恒等变形、不定积分性质、第一类换元法等结合使用.例如：求dx分析：所求不定积分的被积函数中含有根号，符合上述情形中的第三种，由此我们做替换x=2tant即可.解：dx=•2sectdt=sectdt=ln(sect+tant)+C=ln++C=ln(+x)+C三、分部积分法分部积分公式：udv=uv-vdu或uv′dx=uv-u′vdx(其中u=u(x)与v=v(x)都具有连续导数)分部积分法主要是解决被积函数是两类不同类型函数乘积的不定积分问题.这里我们所说的函数类型指的是反三角函数、对数函数、幂函数、三角函数、指数函数五种基本初等函数.当然在具体应用时被积函数未必是这五种类型，有可能是相似的类型，我们在应用公式前，只需要将所求的不定积分运用其他的积分方法适当变形转化为这五种函数即可.应用分部积分公式的关键是确定公式中的u和v′，如何确定它们?可按照反三角函数、对数函数、幂函数、三角函数、指数函数的顺序(即“反、对、幂、三、指”的顺序)，把排在前面的那类函数选作u，而把排在后面的那类函数选作v′.例如：求xsinxdx分析：不定积分中的被积函数xsinx为两类不同类型的函数乘积，所以我们就要应用分部积分法，其中u为x，v′为sinx，则u′=1，v=-cosx把上述四项代入公式即可.解：xsinxdx=-xcosx--cosxdx=-xcosx+sinx+C小结：我们学习以上三种积分方法的目的就是要把我们所计算的不定积分问题转化为我们所熟悉的基本积分公式来处理，当然，这些积分方法在运用时往往不是单独使用，大多数情形下都是混合使用，甚至要多次使用.参考文献：[1]同济大学，天津大学，浙江大学，重庆大学编.高等数学.高等教育出版社，2004.6，第2版.[2]周金玉.高等数学.北京理工大学出版社，2009.8，第1版.[3]陈传樟等.数学分析.高等教育出版社，1983.7，第2版.不定积分计算方法的思考【2】摘要：本文通过分析不定积分计算教与学中的困难，提出老师和学生要注意的问题，并对几种常用方法作了分析。

不定积分计算的各种方法广东石油化工学院高州师范学院312数学（1）班梁多彬【摘要】本论文将要介绍常见的不定积分的各种计算方法以及某些特殊不定积分的求解方法，如：直接积分法（公式法）、分部积分法、换元积分法（第一换元积分法和第二换元积分法）、以及一些特殊函数的积分技巧与方法（有理函数的不定积分以及简单无理函数与三角函数的不定积分），并将结合例题探讨快捷方便的解题方法。

【关键词】不定积分直接积分法分部积分法换元积分法有理函数不定积分简单无理函数与三角函数有理式的不定积分一、引言不定积分是《数学分析》中的一个重要内容，它是定积分、广义积分，瑕积分、重积分、曲线积分以及各种有关积分的基础，掌握不定积分的计算方法对于学习这些后续内容具有重要意义。

不定积分的解法不像微分运算有一定的法则，它需要根据不同的题型特点采用不同的解法，因此积分运算比起微分运算来，方法更多样，技巧性更强。

下面将不定积分的各种计算方法分类归纳，以便于更好的掌握、运用。

二、不定积分的概念定义：函数f(x)在区间I的所有的原函数()()RF∈xCC+称为函数f(x)的不∀定积分，表为⎰+=C x F dxx f )()( （)()('x f x F =，C 为积分常数）,其中∫称为积分符号，x 称为积分变量，f(x)称为被积函数，f(x)dx 称为被积表达式，C 称为积分常数。

在这里要特别注意：一个函数的不定积分既不是一个数，也不是一个函数，而是一个函数族。

列如：at at =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛'221，而⎰+=C at atdt 221； ()x x cos sin '=,而⎰+=C x xdx sin cos ；2'331x x =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛，而⎰+=C x dx x 3231. 这也就是说：()⎰)(dx f dx和⎰dx x f )('是不相等的，即前者的结果是一个函数，而后者是无穷多个函数，所以，在书写计算结果时一定不能忘记积分常数。