《圆》章节知识点总结

圆章节知识点总结圆是数学中的一个重要概念，它在几何学、代数学、物理学等领域都有广泛的应用。

下面是关于圆的一些主要知识点的总结：一、基本定义1.圆是一个平面上一点固定到另一点距离恒定的图形，这个恒定距离被称为圆的半径。

2.圆上的所有点到圆心的距离都相等。

二、圆的性质1.圆心角：圆内的任意两条弧所对应的圆心角相等。

2.弧长：弧与半径相交的弧所对应的圆心角的度数即为弧长的度数。

3.弧度：弧长与半径的比值即为弧度。

4.周长：圆的周长等于半径的长度乘以2π。

5.面积：圆的面积等于半径的平方乘以π。

三、与圆相关的角度和弧度1.圆心角的度数等于弧长的度数。

2.180度等于π弧度。

3.角的弧度=角的度数×π/180。

四、圆心角和弧度的换算1.假设圆的半径为r，则圆心角θ的弧度数为：θ=弧长/r。

2.弧长为l的弧所对应的圆心角θ的度数为：θ=(l/r)×(180/π)。

3.圆心角θ的弧度数为r的弧长为：l=r×θ。

五、与圆相关的直线和线段1.弦：圆内两点之间的线段被称为弦。

2.直径：通过圆心的弦被称为直径。

3.弦长：弦的长度。

4.弦长は直径的两倍，即：l=2r。

5.垂直弦：通过圆心的弦被称为垂直弦，其垂直于该弦的直径被称为垂直直径。

六、与圆相关的角度1.切线：与圆形只有一个交点的直线被称为切线。

2.切点：切线与圆的交点被称为切点。

3.切线与半径的关系：切线和半径的夹角等于切点处的弧所对应的圆心角的一半。

七、与圆相关的角度关系1.同弧度弧所对应的圆心角相等。

2.夹脚定理：夹脚所对应的弧所对应的圆心角相等。

3.顶角定理：顶角所对应的弧所对应的圆心角相等。

八、与圆相关的定理和公式1.弧度制：角度制和弧度制的换算公式为：度数×π/180=弧度。

2.半径、弦和切线之间的关系：根据幂定理，切线与切点的弦的乘积等于切点到圆心的距离的平方。

3.弧长角的关系：根据圆心角、圆周角和弧长之间的关系，可以用以下公式计算弧长：弧长=角度/360×2πr。

九年级_圆_全章知识点总结1、圆的定义：在同一平面内，线段OP 绕它固定的一个端点O ，另一端点P 所经过的 叫做圆，定点O 叫做 ，线段OP 叫做圆的 ，以点O 为圆心的圆记作 ，读作圆O 。

2、弦和直径：连接圆上任意 叫做弦，其中经过圆心的弦叫做 ， 是圆中最长的弦。

3、弧：圆上任意 叫做圆弧，简称弧。

圆的任意一条直径的两个端点把圆分成的两条弧，每一条弧都叫做 。

小于半圆的弧叫做 ，用弧两端的字母上加上“⌒”就可表示出来，大于半圆的弧叫做 ，用弧两端的字母和中间的字母，再加上“⌒”就可表示出来。

4、等圆：半径相等的两个圆叫做等圆；也可以说能够完全重合的两个圆叫做等圆。

5、点与圆的三种位置关系：若点P 到圆心O 的距离为d ，⊙O 的半径为R ，则：点P 在⊙O 外；点P 在⊙O 上；点P 在⊙O 内。

6、线段垂直平分线上的点 距离相等；到线段两端点距离相等的点在 上 7、过一点可作 个圆。

过两点可作 个圆，以这两点之间的线段的 上任意一点为圆心即可。

8、过 的三点确定一个圆。

9、经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的 ，外接圆的圆心叫做三角形的 ，这个三角形叫做圆的 。

三角形的外心是三角形三条边的 例1、有下列七个命题：① 直径是弦；② 经过三个点一定可以作圆；③ 三角形的外心到三角形各顶点的距离都相等；④ 半径相等的两个半圆是等弧；⑤三角形的三个顶点在同一个圆上；⑥ 三角形的外心在三角形的内部；⑦过圆心的线段叫做圆的直径。

其中正确的有 （填序号）。

例2、⊙O 的半径为5，圆心O 在坐标原点上，点P 的坐标为（4，2），则点P 与⊙O 的位置关系是（ ） A ．点P 在⊙O 内 B ．点P 在⊙O 上 C ．点P 在⊙O 外 例3、已知矩形ABCD 的边AB=3cm ，AD=4cm ，若以A 点为圆心作⊙A ，使B 、C 、D 三点中至少有一个点在圆内且至少有一个点在圆外，则⊙A 的半径r 的取值范围是 . 例4、如果⊙O 所在平面内一点P 到⊙O 上的点的最大距离为7，最小距离为1，那么此圆的半径为 1、圆是轴对称图形， 都是它的对称轴2、垂径定理：垂直于弦的直径 ，并且平分3、垂径定理的推论：平分弦（ ）的直径垂直于弦，并且平分 例5、如图1，直径CE 垂直于弦AB ，CD=1，且AB+CD=CE ，求圆的半径。

认识圆及圆周长1、圆的定义：圆是由曲线围成的一种平面图形。

2、圆心：将一张圆形纸片对折两次，折痕相交于圆中心的一点，这一点叫做圆心。

如下图中，中心的一点O 。

一般用字母O 表示。

它到圆上任意一点的距离都相等．（画圆切忌别忘记标圆心0）3、半径：连接圆心到圆上任意一点的线段叫做半径。

一般用字母r 表示。

如下图红色线。

把圆规两脚分开，两脚之间的距离就是圆的半径。

4、直径：通过圆心并且两端都在圆上的线段叫做直径。

一般用字母d 表示。

如下图蓝色线。

直径是一个圆内最长的线段。

85、圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小。

如果已知的是直径，我们要把直径除以2换成半径,确定圆心，然后才开始画圆。

（画圆给出半径标半径r=?，给出直径标直径d=?）要比较两圆的大小，就是比较两个圆的直径或半径。

6、在同圆或等圆内，有无数条半径，有无数条直径。

同圆中所有的半径、直径都相等。

7．在同圆或等圆内，直径的长度是半径的2倍，半径的长度是直径的21。

用字母表示为：d = 2r 或r = 2d 或r=d ÷2 8、轴对称图形：如果一个图形沿着一条直线对折，两侧的图形能够完全重合，这个图形是轴对称图形。

折痕所在的这条直线叫做对称轴。

9、长方形、正方形和圆都是对称图形，都有对称轴。

这些图形都是轴对称图形。

10、常见图形的对称轴:只有1一条对称轴的图形有： 角、等腰三角形、等腰梯形、扇形、半圆。

只有2条对称轴的图形是：长方形 只有3条对称轴的图形是：等边三角形只有4条对称轴的图形是：正方形;有无数条对称轴的图形是：圆、圆环。

圆是轴对称图形，有无数条对称轴，对称轴就是直径所在的直线。

11、正方形里最大的圆。

两者联系：边长＝直径；圆的面积=78.5%正方形的面积??画法：（1）画出正方形的两条对角线；（2）以对角线交点为圆心，以边长为直径画圆。

12、长方形里最大的圆。

两者联系：宽＝直径??画法：（1）画出长方形的两条对角线；（2）以对角线交点为圆心，以宽为直径画圆。

圆的章节知识点总结第一章：圆的定义和性质1.1 圆的定义圆是平面上到定点的距离等于定长的点的集合。

1.2 圆的要素圆包括圆心、半径和圆周。

1.3 圆的性质（1）圆的半径相等（2）圆的直径是两倍半径（3）直径垂直于半径（4）同一圆周上的弧所对的圆心角相等（5）圆周角相等的弧相等（6）圆内切角等于所对的弧的一半（7）弧长与圆心角的关系1.4 圆的常见定理（1）切线与半径垂直（2）切线的长度相等（3）弦长与半径的关系（4）在同一圆中，小弦所对的圆心角小于大弦所对的圆心角第二章：圆的相关公式2.1 圆的周长和面积圆的周长=2πr圆的面积=πr²2.2 弧长和扇形面积弧长=S=rθ扇形面积=0.5r²θ2.3 圆内接四边形面积圆内接四边形面积=1/2×d×R其中，d为对角线，R为半径第三章：圆的相关问题3.1 圆的位置关系（1）内切圆与外接圆（2）相切圆与内切圆（3）相切圆与外切圆3.2 圆和直线的交点问题（1）相离（2）相切（3）相交3.3 圆和三角形的关系（1）圆内接三角形（2）圆外接三角形（3）圆似圆三角形3.4 圆锥雏形问题通过顶点与圆周点的关系判断棱柱、棱锥和圆锥第四章：圆的应用4.1 圆的建模在建模中，圆的应用非常广泛。

例如，轮子、钟表、饼干等都是圆形的。

4.2 圆的测量圆的周长和面积在日常生活中用得非常多，测量圆的周长和面积可以帮助我们计算物体的大小、量取圆形面积等。

4.3 圆的运动圆的运动在机械学、物理学等学科中有着重要的应用，例如圆周运动、匀速圆周运动等。

4.4 圆的工程应用在工程中，圆也有很多应用，例如圆形水箱、圆形路口等。

总结圆是数学中的一个基本概念，它在日常生活和学科中都有着重要的应用。

通过学习圆的定义、性质、公式和相关问题，我们可以更好地理解和运用圆的知识，为我们的生活和学习带来便利。

希望通过本章知识点的总结，能够帮助大家更好地理解和掌握圆的相关知识，为未来的学习和工作打下坚实的基础。

六年级《圆》知识点总结一、认识圆1、圆的定义：圆是由曲线围成的一种平面图形。

2、圆心：将一张圆形纸片对折两次，折痕相交于圆中心的一点，这一点叫做圆心。

一般用字母O表示。

它到圆上任意一点的距离都相等。

3、半径：连接圆心到圆上任意一点的线段叫做半径。

一般用字母r表示。

把圆规两脚分开，两脚之间的距离就是圆的半径。

4、直径：通过圆心并且两端都在圆上的线段叫做直径。

一般用字母d表示。

直径是一个圆内最长的线段。

5、圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小。

6、在同圆或等圆内，有无数条半径，有无数条直径。

所有的半径都相等，所有的直径都相等。

7.在同圆或等圆内，直径的长度是半径的2倍，半径的长度是直径的。

用字母表示为：(d=2r）8、轴对称图形：如果一个图形沿着一条直线对折，两侧的图形能够完全重合，这个图形是轴对称图形。

折痕所在的这条直线叫做对称轴。

(经过圆心的任意一条直线或直径所在的直线)9、长方形、正方形和圆都是对称图形，都有对称轴。

这些图形都是轴对称图形。

10、只有1条对称轴的图形有：角、等腰三角形、等腰梯形、扇形、半圆。

只有2条对称轴的图形是：长方形只有3条对称轴的图形是：等边三角形只有4条对称轴的图形是：正方形；二、圆的周长1.圆的周长：围成圆的曲线的长度，叫做圆的周长，一般用字母C表示。

2.圆周率：圆的周长与它的直径的比值叫做圆周率，一般用字母π表示。

π是一个无限不循环小数，π≈3.14. ①π=3.1415926…②π=3.14(×)π=3.14159>6(×)应该是≈②π是一个定值.永远不改变3.圆的周长的计算公式: C=πd 或C=2πr d=c÷π r=C÷2π4.周长的变化的规律：半径扩大多少倍直径也扩大多少倍，周长扩大的倍数与半径、直径扩大的倍数相同。

半径扩大a倍→直径扩大a倍→周长扩大a倍→面积扩大a²倍半径增加a厘米→周长增加2πa厘米直径增加b厘米→周长增加πb厘米C半圆=1/2πd+d5.半圆的周长：半圆的周长=圆周长的一半加上一条直径的长度或两条半径的长度，即或C半圆=πr+2r三、圆的特征(1)一个圆里有无数条半径和无数条直径。

人教版九年级数学第二十四章《圆》单元知识点总结1.弦弦：连结圆上任意两点的线段叫做弦. 直径：经过圆心的弦叫做直径.弦心距：圆心到弦的距离叫做弦心距.2.弧:圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧.以A、B为端点的弧记作，读作“圆弧AB”或“弧AB”.①半圆：圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆；②优弧：大于半圆的弧叫做优弧；③劣弧：小于半圆的弧叫做劣弧.3.同心圆与等圆圆心相同，半径不等的两个圆叫做同心圆.圆心不同，半径相等的两个圆叫做等圆.同圆或等圆的半径相等.4.等弧在同圆或等圆中，能够完全重合的弧叫做等弧.5、弧、弦、圆心角的关系(1)圆心角定义如图所示，∠AOB的顶点在圆心，像这样顶点在圆心的角叫做圆心角．(2)定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．推论：在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦也相等．在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弧也相等．6、圆周角（1）圆周角定义：像图中∠AEB、∠ADB、∠ACB这样的角，它们的顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角．（2）.圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．（3）.圆周角定理的推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．要点诠释：(1)圆周角必须满足两个条件：①顶点在圆上；②角的两边都和圆相交.(2)圆周角定理成立的前提条件是在同圆或等圆中.7.圆内接四边形：（1）定义: 圆内接四边形：顶点都在圆上的四边形，叫圆内接四边形．（2）性质：圆内接四边形对角互补，外角等于内对角（即它的一个外角等于它相邻内角的对角）．8.弦、弧、圆心角、弦心距的关系：在同圆或等圆中，弦，弧，圆心角，弦心距等几何量之间是相互关联的，即它们中间只要有一组量相等，(例如圆心角相等)，那么其它各组量也分别相等(即相对应的弦、弦心距以及弦所对的弧也分别相等)。

《圆》章节知识点总结一、圆的概念集合形式的概念：1、圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合；2、圆的外部：可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合；3、圆的内部：可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合轨迹形式的概念：1、圆：到定点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆心，定长为半径的圆；（补充）2、垂直平分线：到线段两端距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线（也叫中垂线）；3、角的平分线：到角两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线；4、到直线的距离相等的点的轨迹是：平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两条直线；5、到两条平行线距离相等的点的轨迹是：平行于这两条平行线且到两条直线距离都相等的一条直线。

二、垂径定理（重点）垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧。

推论1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧以上共4个定理，简称知2推3定理：此定理中共5个结论中，只要知道其中2个即可推出其它3个结论，即：①AB 是直径 ②AB CD ⊥ ③CE DE = ④ 弧BC =弧BD ⑤ 弧AC =弧AD中任意2个条件推出其他3个结论。

几何表示法： 推论1：（1）在⊙O 中，∵AB 是直径 AB CD ⊥∴CE DE = 弧BC =弧BD 弧AC =弧AD（2）：在⊙O 中，∵AB CD ⊥ CE DE = ∴AB 是直径 弧BC =弧BD 弧AC =弧AD（3）：在⊙O 中，∵AB 是直径 弧BC =弧BD （或弧AC =弧AD ）∴AB CD ⊥ CE DE = 弧AC =弧AD （或弧BC =弧BD ）三、圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系圆心角定理：同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，所对的弧相等，弦心距相等。

此定理也称知1推3定理，即上述四个结论中，只要知道其中的1个相等，则可以推出其它的3个结论，①AOB DOE ∠=∠；②AB DE =；③OC OF =；④ 弧BA =弧BD 几何表示法：在⊙O 中，∵AOB DOE ∠=∠∴AB DE = OC OF = 弧BA =弧BDB（重点）圆心角定理和推论可概括为：同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两条弦、两条弦心距中有一组量相等，它们所对的其余各组量也相等。

《圆》重难点整理圆这一章是常考章节，其中包括以下知识点：圆的认识，圆的周长推导及计算，圆的面积推导及计算，已知圆的直径或半径求周长或面积。

圆的认识：圆是平面上封闭的曲线图形，它有无数条对称轴，直径所在的直线就是它的对称轴。

圆无数条直径和半径。

在同一个圆中，直径都相等，半径也都相等，且直径是半径的两倍。

画圆时，（圆心）决定圆的位置，（半径）决定圆的大小。

圆的半径扩大3倍，直径扩大（）倍，周长扩大（）倍；面积扩大（）倍。

1、圆的周长推导：滚圈法和绕线法。

通过实验发现，圆的周长除以直径的值都是3倍多一些。

我们将这个固定的值（不会随圆的大小而改变）叫圆周率，用字母∏表示。

由此，我们可以说圆的周长是直径的∏倍，或3倍多一些，或大约是3.14倍。

2、已知直径或半径求周长：C=∏d或C=2∏r。

①、一辆自行车轮胎外直径50厘米，如果自行车每分钟转120周，这辆自行车每小时能行多少千米？（得数保留整千米）②、杂技演员表演独轮车走钢丝，车轮直径50厘米。

要骑过94.2米长的钢丝，车轮要滚动多少周？③、一只挂钟的分针长1.5米，经过45分钟后，分针针尖走过的路程是多少？（3/4圈）④、一段长628米长的绳子刚好绕树干十圈，求树干的横截面的周长？3、圆的面积推导：将圆平均分成8份，然后拼成一个近似的长方形或平行四边形（分的份数越多，越接近于长方形和平行四边形）。

长方形的长（平行四边形的底）相当于圆周长的一半，长方形的宽（平行四边形的高）相当于圆的半径。

长方形的面积=长* 宽，即=圆周长的一半* 圆的半径，S=∏r*r=∏r2。

4、已知直径或半径求面积：S=∏r2。

①、用圆规画一个周长50.24厘米的圆，圆规两脚之间的距离是（）厘米，所画的圆的面积是（）平方厘米。

②、学校圆形大钟的分针长90厘米，它的针尖一昼夜扫过的面积是多少平方米？（转24圈）③、学校圆形大钟的时针长80厘米，它的针尖一昼夜扫过的面积是多少平方米？（转2圈）④、一根长3米的绳子系着一只羊，栓在草地中央的树桩上，羊吃草的面积最多是多少平方米？⑤、一种压路机的前轮直径1.5米，宽2米。

人教版九年级数学第二十四章《圆》单元知识点总结1.弦弦：连结圆上任意两点的线段叫做弦. 直径：经过圆心的弦叫做直径.弦心距：圆心到弦的距离叫做弦心距.2.弧:圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧.以A、B为端点的弧记作，读作“圆弧AB”或“弧AB”.①半圆：圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆；②优弧：大于半圆的弧叫做优弧；③劣弧：小于半圆的弧叫做劣弧.3.同心圆与等圆圆心相同，半径不等的两个圆叫做同心圆.圆心不同，半径相等的两个圆叫做等圆.同圆或等圆的半径相等.4.等弧在同圆或等圆中，能够完全重合的弧叫做等弧.5、弧、弦、圆心角的关系(1)圆心角定义如图所示，∠AOB的顶点在圆心，像这样顶点在圆心的角叫做圆心角．(2)定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．推论：在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦也相等．在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弧也相等．6、圆周角（1）圆周角定义：像图中∠AEB、∠ADB、∠ACB这样的角，它们的顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角．（2）.圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．（3）.圆周角定理的推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．要点诠释：(1)圆周角必须满足两个条件：①顶点在圆上；②角的两边都和圆相交.(2)圆周角定理成立的前提条件是在同圆或等圆中.7.圆内接四边形：（1）定义: 圆内接四边形：顶点都在圆上的四边形，叫圆内接四边形．（2）性质：圆内接四边形对角互补，外角等于内对角（即它的一个外角等于它相邻内角的对角）．8.弦、弧、圆心角、弦心距的关系：在同圆或等圆中，弦，弧，圆心角，弦心距等几何量之间是相互关联的，即它们中间只要有一组量相等，(例如圆心角相等)，那么其它各组量也分别相等(即相对应的弦、弦心距以及弦所对的弧也分别相等)。

第四单元圆一、基本概念1、圆心一个圆最中心的那一点，用大写字母O 表示(1) 圆心决定圆的位置。

(2) 圆心到圆上任意一点的距离都相等。

(3) 一张圆形纸片至少对折两次，就能找到圆心。

2、半径圆心到圆上任意一点的线段，用小写字母r 表示(1) 半径决定圆的大小。

(2) 在同一个圆里面，半径都相等。

(3) 在同一个圆里面，半径有无数条。

(4) 半径是直径的一半，即d 21r =3、直径通过圆心并且两端都在圆上的线段，用小写字母d 表示(1) 在同一个圆里面，直径都相等。

(2) 在同一个圆里面，直径有无数条。

(3) 直径是半径的两倍，即r 2d =(4) 在一个正方形内画最大的圆，圆的直径等于正方形的边长(5) 在一个长方形内画最大的圆，圆的直径等于长方形的宽二、使用圆规的步骤1、先确定圆心的位置和半径。

(1) 轴对称图形中，两条对称轴的交点就是中心点(2) 如果知道直径，那么直径的一半就是半径2、用直尺量出两脚之间的距离为半径。

(1) 量好后不能再改变两脚之间的距离3、把针尖放在圆心位置，保持针尖不动，旋转另一只脚一周，即可画出指定的圆。

(1)如果旋转圆规一周不顺手，可以保持圆规不动，旋转纸一周。

(2)如果旋转一周画出来的线条不清晰，可以多旋转几周加深线条。

三、轴对称图形1、轴对称图形沿对称轴对折之后，两边可以完全重合。

2、常见的轴对称图形以及它们的对称轴条数：(1)只有一条对称轴的图形：角、等腰三角形、等腰梯形、扇形、半圆(2)有2条对称轴的图形：长方形(3)有3条对称轴的图形：等边三角形(4)有4条对称轴的图形：正方形(5)有无数条对称轴的图形：圆、圆环【圆的对称轴就是直径】四、周长与面积1、圆周率ππ是一个无限不循环小数，一般取 3.14π≈。

我国数学家祖冲之是第一个把圆周率算出来的人。

2、圆的周长(1)圆的周长用大写字母C 表示，计算公式是πd πr 2C ==即圆的周长等于两倍的π乘以半径，也等于π乘以直径(2) 半圆的周长半圆的周长等于半个圆的周长加上直径，即r 2πr +3、圆的面积圆的面积用大写字母S 表示，计算公式是2πr S =4、周长与面积的关系(1) 在同一个圆中，半径扩大或缩小几倍，直径和周长就扩大或缩小几倍，而面积扩大或者缩小这个倍数的平方倍，例如：在同一个圆内，如果半径扩大3倍，那么直径和周长就扩大3倍，面积扩大9倍。