圆与方程知识点总结
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圆与方程知识点总结-标准化文件发布号:(9556-EUATWK-MWUB-WUNN-INNUL-DDQTY-KII
圆梦教育中心 圆与方程知识点总结
1. 圆的标准方程:以点),(b a C 为圆心,r 为半径的圆的标准方程是222)()(r b y a x =-+-. 特例:圆心在坐标原点,半径为r 的圆的方程是:222r y x =+.
2. 点与圆的位置关系:
(1). 设点到圆心的距离为d ,圆半径为r :
a.点在圆内 d <r ;
b.点在圆上 d=r ;
c.点在圆外 d >r
(2). 给定点),(00y x M 及圆222)()(:r b y a x C =-+-.
①M 在圆C 内22020)()(r b y a x <-+-⇔
②M 在圆C 上22020)()r b y a x =-+-⇔
( ③M 在圆C 外22020)()(r b y a x >-+-⇔
(3)涉及最值:
① 圆外一点B ,圆上一动点P ,讨论PB 的最值 min PB BN BC r ==- max PB BM BC r ==+ ② 圆内一点A ,圆上一动点P ,讨论PA 的最值
min PA AN r AC ==-
max PA AM r AC ==+
思考:过此A 点作最短的弦(
此弦垂直AC )
3. 圆的一般方程:022=++++F Ey Dx y x .
(1) 当0422>-+F E D 时,方程表示一个圆,其中圆心⎪⎭⎫ ⎝⎛--2,2E D C ,半径2
422F E D r -+=. (2) 当0422=-+F E D 时,方程表示一个点⎪⎭⎫ ⎝⎛--2,2
E D . (3) 当0422<-+
F E D 时,方程不表示任何图形.
注:方程022=+++++F Ey Dx Cy Bxy Ax 表示圆的充要条件是:0=B 且0≠=C A 且0422 AF E D -+.
4. 直线与圆的位置关系:
直线0=++C By Ax 与圆222)()(r b y a x =-+-
圆心到直线的距离22B A C Bb Aa d +++=
1)无交点直线与圆相离⇔⇔>r d ;
2)只有一个交点直线与圆相切⇔⇔=r d ;
3)有两个交点直线与圆相交⇔⇔ d r d=r r d 还可以利用直线方程与圆的方程联立方程组⎩⎨⎧=++++=++00 22F Ey Dx y x C By Ax 求解,通过解的个数来判断: (1)当0>∆时,直线与圆有2个交点,,直线与圆相交; (2)当0=∆时,直线与圆只有1个交点,直线与圆相切; (3)当0<∆时,直线与圆没有交点,直线与圆相离; 5. 两圆的位置关系 (1)设两圆2121211)()(:r b y a x C =-+-与圆2 222222)()(:r b y a x C =-+-, 圆心距2 21221)()(b b a a d -+-= ① 条公切线外离421⇔⇔+>r r d ; ② 条公切线外切321⇔⇔+=r r d ; ③ 条公切线相交22121⇔⇔+<<-r r d r r ; ④ 条公切线内切121⇔⇔-=r r d ; ⑤ 无公切线内含⇔⇔-<<210r r d ; 外离 外切 相交 内切 (2)两圆公共弦所在直线方程 圆1C :221110x y D x E y F ++++=, 圆2C :222220x y D x E y F ++++=, 则()()()1212120D D x E E y F F -+-+-=为两相交圆公共弦方程. 补充说明: ① 若1C 与2C 相切,则表示其中一条公切线方程; ② 若1C 与2C 相离,则表示连心线的中垂线方程. (3)圆系问题 过两圆1C :221110x y D x E y F ++++=和2C :222220x y D x E y F ++++=交点的圆系方程为 ()22221112220x y D x E y F x y D x E y F λ+++++++++=(1λ≠-) 补充: ① 上述圆系不包括2C ; ② 2)当1λ=-时,表示过两圆交点的直线方程(公共弦) ③ 过直线0Ax By C ++=与圆220x y Dx Ey F ++++=交点的圆系方程为 ()220x y Dx Ey F Ax By C λ+++++++= 6. 过一点作圆的切线的方程: (1) 过圆外一点的切线: ①k 不存在,验证是否成立 ②k 存在,设点斜式方程,用圆心到该直线距离=半径,即 ⎪⎩ ⎪⎨⎧+---=-=-1)()(2110101R x a k y b R x x k y y 求解k ,得到切线方程【一定两解】 例1. 经过点P(1,—2)点作圆(x+1)2+(y —2)2 =4的切线,则切线方程为 。 (2) 过圆上一点的切线方程:圆(x —a )2+(y —b )2=r 2 ,圆上一点为(x 0,y 0), 则过此点的切线方程为(x 0—a )(x —a )+(y 0—b )(y —b )= r 2 特别地,过圆222r y x =+上一点),(00y x P 的切线方程为200r y y x x =+. 例2.经过点P(—4,—8)点作圆(x+7)2+(y+8)2 =9的切线,则切线方程为 。