几种参数识别的方法
A 基于时域的参数识别方法推导
A1 Ibrahim 时域方法
Irrahim 时域识别方法是需要测量自由响应信号或者脉冲信号。系统为二阶线性系统，被测自由响应信号为x(t)，二阶线性系统为复指数之和。
)()(~)(t n t p t x +⋅ψ= (A-1)
[]***ψψψψψψ=ψN
N ,,,,,,,2121 (A-2) {}
t t t t t t N N e e e e e e t p ***=λλλλλλ,,,,,,,)(~2121 (A-3) 其中n(t)为输出噪音信号，N 是振动模态数，它由被测的二阶系统和通过模拟低通滤波截断频率所共同决定，Ψi 和λi 为二阶系统的本征矢量和特征值，m 为测量点数，其中m=1。
通常认为m 等于N ，N 为振动模态数量，为求出)(~
t p ，它为2N*1矩阵，必须在时域上扩展响应信号矢量，例如，在t+T3时刻，响应信号可表示为：
)()(~),()(333131t n t p e e diag T t x T T +⋅⋅ψ=+⋅⋅*λλ (A-4)
其中n3（t ）为在t+T3时刻的噪音矢量，联合公式1和4可得出：
)()(~~)(t N t p t u +⋅ψ= (A-5)
其中：
⎭⎬⎫⎩
⎨⎧+=)()()(3T t x t x t u (A-6) ⎥⎦
⎤⎢⎣⎡⋅ψψ=ψ⋅⋅*),(~3131T T e e diag λλ (A-7) 或者, []
***ψψψψψψ=ψN N ~,,~,~,~,,~,~~2121 ⎭
⎬⎫⎩⎨⎧=)()()(3t n t n t N (A-8) 同样的，可以很容易地得出以下公式：
)()(~),(~)(113131t N t p e e diag T t u T T +⋅⋅ψ=+λλ (A-9)
看公式5，假设复指数是线性独立的，我们可以得到：
)(~)(~)(~11t N t u t p ⋅ψ-⋅ψ=-- (A-10)
将公式10代到9中，我么和可以得到：
)()(~),(~)(~),(~)(111131313131t N t N e e diag t u e e diag T t u T T T T +⋅ψ⋅⋅ψ-⋅ψ⋅⋅ψ=+-⋅⋅-⋅⋅**λλλλ
(A-11)
忽略噪音，可得：
)()(1t u A T t u ⋅=+ (A-12)
其中 1~),(~1111-⋅⋅ψ⋅⋅ψ=*T T e e diag A λλ (A-13)
),,2,1(,1111N i e e T T =⋅⋅*λλ是矩阵A 的特征值，测试项目的特征值可以通过解决ψ~（它由矩阵A 的特征值组成）来得到。
为了得到A ，做如下假设：
t i t ∆⋅= (A-14)
t N T ∆⋅=11 (A-15)
t N T ∆⋅=33 (A-16)
然后，矩阵A 可以通过以下公式计算出来：
)0()(1U A N U ⋅= (A-17)
其中，
[])1(,),1(),()(-++=M j u j u j u j U ， j=0，N 1 (A-18)
如果M 大于等于2*N ，而且复指数是线性独立的，矩阵A 可通过以下公式得出。 如果M=2*N,
11)0()(-⋅=U N U A (A-19)
如果M>:2*N ，
11))0()0(()0()(-⋅⋅⋅=T T U U U N U A (A-20)
或者
111111))()0(()()(2
1))0()0(()0()(21--⋅⋅⋅+⋅⋅⋅=T T T T N U U N U N U U U U N U A (A-21)
公式21也叫做DLS （double least square ）.据说DLS 具有更精确的振动模态估计。
Ibrahim 的时域方法有一个限制，即需要已知测试点或测试位置的数量值m 。通常，在测量振动信号时，测试点的数量值小于模态数量。通过将假测量引入到响应矢量x(t)中可部分解决上述问题，即令：
⎭
⎬⎫⎩⎨⎧+=⎭⎬⎫⎩⎨⎧+=)()()()()(~22N i x i x T t x t x t x (A-22) )()(22N i x N i x l l +=+⨯ (A-23)
其中)(,,2N i x m l N l m l l +≤=+⨯是大小减小的响应矢量，U(t)由)(~
t x 构造出来，如果
2
N m <，并且假测量的原则可以用来扩展)(~
t x 的大小，其中一个条件是 23N i N ⋅≠ (A-24)
为了使U(0)和U(N1)为最大的一列。
用假测量来减小噪声的影响，在限定的时间范围内，任何时间相关函数可以使用泰勒展开或者一些复指数来估计得到，即：
∑=⋅*⋅*
⋅+⋅=DN i t g i t g i i i e q e q t N 1)()( (A-25)
DN 是噪声模态的大小，它由使用公式25所表示的噪声的精度来决定的。也就是泰勒展开的基本函数。由于这些随机自然噪声，噪声模态能够很容易被改变或者不稳定。为了数出这
些噪声模态，假测量可以被用来增大)(~
t x 。噪声可以通过感觉或者物理阐述本征矢量或者特征值来检测到。
噪声模态还可以通过MCF （模态的置信因数或者OAMCF （总体的模态置信因数）来检测到，MCF 定义如下：
)
(~)(~)(3
1k N e k MCF i T i k +ψ⋅ψ=⋅λ (A-26) 其中i ψ~在公式7中有定义，OAMCF 定义如下： N
P OAMCF 0= (A-27) 其中P 0为（MCF ）k 的数量，（MCF ）k 接近于幅值为1，相位角度为0。如果OAMCF 接近于1，则相应的模型可以被归纳为系统模型或者测试项目的振动模型。假-测量隐含的条件是减少噪声对评估的影响。
A2 复指数方法
复指数方法，或称为波朗尼方法，实际上是AR 模型的基本方法，被测信号必须是脉冲响应或者至少是自由响应信号。在复指数方法中的AR 模型与ARMA 模型并不接近，它有如下表示方法：
脉冲响应矢量或者自由响应矢量有如下定义：
∑∑⋅ψ=⋅ψ==∆⋅⋅)()()(21k i i N
i T k i Z e k h i λ (A-28)
其中△t 是采样时间，
T i i e Z ∆⋅=λ， (A-29)
而h(k)和i ψ都是M*1的矩阵。假设
)())(()(221202N N i i i N z z z z z z z a
---=⋅∑-- (A-30)
