二阶系统阻尼比公式
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二阶欠阻尼系统的阻尼振荡频率
二阶欠阻尼系统的阻尼振荡频率引言：欠阻尼系统是一种常见的动力学系统，其在许多工程领域中都有广泛的应用。
其中，二阶欠阻尼系统是一类重要的系统，其振荡频率是研究和分析的重点之一。
本文将介绍二阶欠阻尼系统的阻尼振荡频率及其相关概念。
一、什么是二阶欠阻尼系统？二阶欠阻尼系统是指具有两个自由度的系统，其中包含质量、弹簧和阻尼器。
该系统的动力学行为可以通过二阶常微分方程来描述。
在实际应用中，二阶欠阻尼系统常用于模拟各种振动系统，如机械振动、电路振动等。
二、阻尼振荡频率的定义阻尼振荡频率是指二阶欠阻尼系统在振荡过程中的频率。
在阻尼比小于1的情况下，二阶欠阻尼系统会产生振荡。
阻尼振荡频率与系统的质量、刚度和阻尼系数相关。
三、阻尼振荡频率的计算阻尼振荡频率可以通过二阶常微分方程的特征方程来计算。
特征方程的解决方法有多种，其中一种常用的方法是使用特征根法。
特征根法是通过求解特征方程的根来确定阻尼振荡频率。
对于二阶欠阻尼系统，特征方程的一般形式为：s^2 + 2ζω_ns + ω_n^2 = 0其中，s为特征方程的根，ζ为阻尼比，ω_n为自然频率。
解特征方程可以得到两个特征根：s_1和s_2。
根据特征根的实部和虚部，可以确定阻尼振荡频率的类型。
当特征根为实数时，阻尼振荡频率为零，即系统不会振荡。
当特征根为复数时，阻尼振荡频率为非零，即系统会产生振荡。
此时，阻尼振荡频率的计算公式为：f_d = (1 - ζ^2)^0.5 * ω_n / 2π其中，f_d为阻尼振荡频率，ζ为阻尼比，ω_n为自然频率。
四、阻尼振荡频率的影响因素阻尼振荡频率受到多个因素的影响，主要包括系统的质量、刚度和阻尼系数。
较大的质量和刚度会导致阻尼振荡频率减小，而较大的阻尼系数则会导致阻尼振荡频率增大。
阻尼振荡频率还受到外部扰动的影响。
外部扰动包括强制振动和非线性振动等。
这些扰动会改变阻尼振荡频率的大小和形态，使其产生偏移。
五、实际应用阻尼振荡频率在实际应用中有着广泛的应用。
自动控制原理 二阶系统的响应
欢迎光临
1
3-3 二阶系统的响应
一、二阶系统的数学摸型
典型二阶系统是由一惯性环节与积分环 节串联构成的闭环系统，其标准形式为：
+
− R(S )
ω
2 n
S 2 + 2ζ ω nS
C (S )
G(S) = C(S) =
ωn2
R(S ) S 2 + 2ζωnS + ωn2
2
ζ--阻尼系数
ωn--无阻尼自然振荡频率
19
即峰值时间t p为阻尼振荡周期的一半。
3、超调量σ %
最大超调量发生在峰值时间t p ，故有
− ζπ
σ% = ⎡⎣c(tp) −1⎤⎦×100% = e 1−ζ2 ×100% 20
系统超调量仅与ζ 有关，ζ 越小，超调
量越大。超调量的数值直接说明了系 统的相对稳定性。
21
4、调整时间 ts
=
1 ，故
S
9
C(S)
=
1 S
⋅
(S
ωn2 + ωn )2
= 1 − ωn − ωn S (S + ωn )2 S + ωn
∴
c(t)
=1
jω
−
e−ωnt
(1 +
c(t)
ωnt)
t
≥
0
S1,2 = −ω××n σ
1
0
t
10
系统响应是单调上升，无超调、无振荡的 过渡过程。
3、过阻尼情况 (ζ > 1)
R(S) S2 +(KKh +1)S + K S2 +2ζωnS +ωn2
27
∴ K = ωn2 = 3.532 = 12.5(rad 2 / S 2 )
1
3-3 二阶系统的响应
一、二阶系统的数学摸型
典型二阶系统是由一惯性环节与积分环 节串联构成的闭环系统，其标准形式为：
+
− R(S )
ω
2 n
S 2 + 2ζ ω nS
C (S )
G(S) = C(S) =
ωn2
R(S ) S 2 + 2ζωnS + ωn2
2
ζ--阻尼系数
ωn--无阻尼自然振荡频率
19
即峰值时间t p为阻尼振荡周期的一半。
3、超调量σ %
最大超调量发生在峰值时间t p ，故有
− ζπ
σ% = ⎡⎣c(tp) −1⎤⎦×100% = e 1−ζ2 ×100% 20
系统超调量仅与ζ 有关，ζ 越小，超调
量越大。超调量的数值直接说明了系 统的相对稳定性。
21
4、调整时间 ts
=
1 ，故
S
9
C(S)
=
1 S
⋅
(S
ωn2 + ωn )2
= 1 − ωn − ωn S (S + ωn )2 S + ωn
∴
c(t)
=1
jω
−
e−ωnt
(1 +
c(t)
ωnt)
t
≥
0
S1,2 = −ω××n σ
1
0
t
10
系统响应是单调上升，无超调、无振荡的 过渡过程。
3、过阻尼情况 (ζ > 1)
R(S) S2 +(KKh +1)S + K S2 +2ζωnS +ωn2
27
∴ K = ωn2 = 3.532 = 12.5(rad 2 / S 2 )
自动控制理论_08一、二阶系统的与计算.详解
n t
(cosd t +
1 2
sin d t ) +
[d e
n t
( sin d t +
1 2
cosd t )]
h(t ) = ne n t cosd t +
2 n
1 2
e n t sin d t
+ n 1 2 e n t sin d t
d tr + = n (n = 0,1,2,)
由定义知：tr为输出响应第一次到达稳态值所需 时间，所以应取n=1。
所以：
tr = d
②峰值时间 t p ：
h(t ) = 1
h(t ) = 1 e
e nt 1
2
sin( d t + )
(1)
nt
1
振荡角频率为： d = n 1 2
结论：ξ越大，ωd越小，幅值也越小，响应的振荡倾向 nt 1 越弱，超调越小，平稳性越好。反之， ξ 越小， ωd 越大， h(t ) = 1 e sin(d t + ) 2 1 振荡越严重，平稳性越差。
从上式可看出，瞬态分量随时间t的增长衰减到零， 当 ξ ＝ 0 时，为零阻尼响应，具有频率为 ω 的不衰减 n 而稳态分量等于1，因此，上述欠阻尼二阶系统的 （等幅）振荡。 单位阶跃响应稳态误差为零。
演示
欠阻尼二阶系统单位阶跃响应性能指标
①上升时间 t r ：令 h(tr ) = 1 ，则
1
1 1
e
2
e
nt
sin(d t + ) = 1
n t r 2
1
自然频率和阻尼比计算
自然频率和阻尼比计算
自然频率和阻尼比是振动系统中的重要参数，它们可以通过一些公式进行计算。
自然频率是指在没有外部干扰的情况下，系统的固有振荡频率。
对于二阶系统，其自然频率可以通过以下公式进行计算：
ωn=√(k/m)
其中，ωn表示自然频率，k表示系统的刚度，m表示系统的质量。
这个公式反映了系统的固有特性与其刚度和质量的关系，可以帮助工程师和科学家分析系统的振动行为。
阻尼比则是衡量系统阻尼效果的参数，它反映了系统在受到外部激励后振动的衰减形式。
阻尼比的计算公式为：
ξ=c/(2√(km))
其中，ξ表示阻尼比，c表示系统振动系统的阻尼系数，k表示系统内部弹簧的弹性系数，m表示系统的质量。
需要注意的是，在计算自然频率和阻尼比时，需要准确地测量系统的参数，包括刚度、质量、阻尼系数等。
此外，还需要考虑系统的非线性特性，因为在实际应用中，许多系统都存在非线性特性，这会对计算结果产生影响。
总之，自然频率和阻尼比是振动系统中的重要参数，它们可以通过公式进行计算，对于工程师和科学家来说，了解这些参数有助于更好地分析系统的振动行为并设计出更加有效的控制系统。
二阶欠阻尼系统上升时间公式
一、介绍二阶欠阻尼系统是指在控制工程中常见的一种系统结构，其特点是系统动态响应存在振荡现象。
上升时间是评价系统动态性能的重要指标之一，它描述了系统从初始状态到稳定状态所需的时间。
对于二阶欠阻尼系统来说，上升时间的计算是非常重要的，可以帮助工程师们对系统的性能有一个清晰的认识。
二、二阶欠阻尼系统的数学模型二阶欠阻尼系统的数学模型可以表示为：\[ H(s) = \frac{\omega_n^2}{s^2 + 2\zeta\omega_n s +\omega_n^2} \]其中，\[ \omega_n \]是系统的自然频率，\[ \zeta \]是系统的阻尼比。
当\[ \zeta < 1 \]时，系统为欠阻尼系统。
三、二阶欠阻尼系统上升时间的定义上升时间指的是系统从零输出到其最终稳定值的时间。
对于二阶欠阻尼系统，上升时间可以用\[ t_r \]来表示。
四、二阶欠阻尼系统上升时间的计算工程师们通常使用一种基于系统自然频率和阻尼比的公式来计算二阶欠阻尼系统的上升时间。
这个公式通常表示为：\[ t_r = \frac{\pi - \arctan(\sqrt{1-\zeta^2}/\zeta)}{\omega_n} \]五、二阶欠阻尼系统上升时间公式的推导上升时间公式的推导过程比较复杂，这里不再赘述。
推导过程涉及到拉普拉斯变换、特征方程求解、正弦函数与指数函数的关系等数学知识。
六、二阶欠阻尼系统上升时间公式的意义上升时间公式可以帮助工程师们快速、准确地计算二阶欠阻尼系统的上升时间，从而评估系统的动态性能。
通过上升时间的计算，工程师们可以对系统进行合理的调节，以满足设计要求。
七、二阶欠阻尼系统上升时间公式的应用上升时间公式广泛应用于控制工程、电子工程等领域。
在系统设计和调试过程中，工程师们可以利用该公式快速评估系统的性能，并对系统参数进行调整。
在教学和科研中，该公式也为相关领域的研究者们提供了重要的工具。
3.3二阶系统的动态性能(上)解析
s 2n 1 s [( s n ) jd )][( s n ) jd ]
s 2n 1 s 2n 1 s ( s n )2 ( jd )2 s ( s n )2 d 2
at
s n n 1 s (s n )2 d 2 (s n )2 d 2 n 1 2 1 s n 1 2 2 s ( s n ) d ( s n )2 d 2
5.84 n ts 4.75 n
4、稳态误差为0，说明典型二阶系统跟踪阶跃输入信号时，无稳态误差， 系统为无静差系统。
4.过阻尼（ζ>1）状态
闭环特征方程
特征根
2 s 2 2n s n 0
s1 n n 2 1
s2 n n 2 1
nt
d
L[e at cos t ]
上式取拉氏反变换，得
y(t ) 1 e
1 1
cos d t
1
2
sa ( s a)2 2 L[e at sin t ] ( s a)2 2
ent sin d t
e nt 1 2 e
Δ 2 Δ 5
4T1 1.25 ts 3T 1
Δ 2 Δ 5
1.34
3、稳态误差为0，说明典型二阶系统跟踪阶跃输入信号时，无稳态误 Y(t) 差，系统为无静差系统。
2
4、需要说明的是，对于临界阻尼和过阻 尼的二阶系统，其单位阶跃响应都没有 振荡和超调，系统的调节时间随ζ的增加 而变大，在所有无超调的二阶系统中， 临界阻尼时，响应速度最快。
2 n 1 1 s Y ( s ) ( s ) R( s ) 2 2 2 s n s s s 2 n
自动控制原理习题解答
第三章3－3 已知各系统的脉冲响应，试求系统的闭环传递函数()s Φ：()()1.25(1)()0.0125;(2)()510sin 445;(3)()0.11t t k t e k t t t k t e --==++=-解答： （1） []0.0125()() 1.25s L k t s Φ==+（2）[])222223222()()5sin 4cos 454441511616116s L k t L t t t s s s s s s s s ⎡⎤Φ==++⎢⎥⎣⎦⎫=++⎪++⎭⎛⎫+++ ⎪⎝⎭=⎛⎫+ ⎪⎝⎭（3）[]()111()()0.1110313s L k t s s s s ⎡⎤⎢⎥Φ==-=⎢⎥+⎢⎥+⎣⎦ 3-4 已知二阶系统的单位阶跃响应为)6.1sin(5.1210)(1.532.1︒-+-=t t h et试求系统的超调量σ%，峰值时间tp和调节时间ts.解答：因为0<ξ<1，所以系统是欠阻尼状态。
阻尼比ξ=cos(1.53︒)=0.6，自然频率26.0/2.1==w n， 阻尼振荡频率wd=6.16.01212=-⨯=-=ξw w n d 1． 峰值时间tp的计算96.16.1===ππwt dp2． 调节时间ts的计算9.226.05.35.3=⨯==w t ns ξ3． 超调量σ%的计算%48.9%1006.0%100%221/6.01/=⨯=⨯=-⨯---eeππξξσ3-5设单位反馈系统的开环传递函数为)6.0(14.0)(++=s s s s G ，试求系统在单位阶跃输入下的动态性能。
解答：方法一：根据比例-微分一节推导出的公式)135(6.014.0)12/()1()(+⨯⨯+=++=s s s s s s K s G w T n d ξ1)5.2(4.0114.0)6.0(14.01)6.0(14.0)2()(1)()(22222+++=+++=+++++=+++=+=s s s s s s s s s s s zs z S G s G s s s w w s w nn dn ξφ)1()](1[12)1sin(1)(222222ξξξξξξξπψξddnd dndnn ddn tarctg z arctg z r t w r t h w ww w zw e n d -+--+-=-+-=ψ+-+=-把z=1/Td=2.5,1=wn,5.0=ξd代入可得)3.8323sin(5.005.11)7.9623sin(5.005.11)( ---=--+=t e t t e t t h峰值时间的计算0472.1)1(2=-=ξξβdddarctg ，-1.6877=ψ158.312=--=ξβψdndpwt超调量得计算%65.21%10011%22=⨯--=-ξξξσddetrpd调节时间得计算29.6)ln(21ln )2ln(2131222=--+-+=-ww w z t ndn n d sd z ξξξ方法二：根据基本定义来求解闭环传递函数为114.0)6.0(14.01)6.0(14.0)(1)()(2+++=+++++=+=s s s s s s s s S G s G s s φ当输入为单位阶跃函数时)232()21(21.0)232()21(2)21(116.01)1(14.0)(22++-++++-+=++--+=+++=s s s s s s s s s s s C s s 得单位阶跃响应)23sin(1.0)23cos(1)(2121t t t h e et --⨯--=)3.8423sin(121 +-=-t et )0(≥t 1． 峰值时间tp的计算 对h(t)求导并令其等于零得-0.5023)23cos()23sin(3.843.842121=⨯+-+︒-︒-t e t epp t t p p 3)23tan(3.84=+︒t p t p =2.9 2. 超调量σ%的计算 %100)()()(%⨯∞∞-=h h h t p σ=17.49%3. 调节时间ts得计算05.0)84.523sin(21≤-⨯-t est s5.33=t s3-6.已知控制系统的单位阶跃响应为6010()10.2 1.2t t h t e e --=+- ，试确定系统的阻尼比ζ和自然频率n ω。
二阶方程的固有频率和阻尼比
固有频率和阻尼比是描述振荡系统特性的两个重要参数。
对于
一个二阶线性常微分方程，它的一般形式是：
m*d²x/dt²+ c*dx/dt + k*x = 0
其中，m 是质量，c 是阻尼系数，k 是刚度系数。
1. **固有频率ω**: 固有频率是描述系统振动特性的一个参数，它与系统的质量和刚度有关，而与阻尼无关。
对于上述的二阶方程，固有频率ω可以通过以下公式计算：
ω= sqrt(k/m)
其中，sqrt表示平方根函数。
2. **阻尼比ξ**: 阻尼比是描述系统阻尼特性的一个参数，它
与系统的阻尼系数和质量有关。
对于上述的二阶方程，阻尼比ξ可以通过以下公式计算：
ξ= c/2*sqrt(m*k)
需要注意的是，当阻尼比ξ的值在0和1之间时，系统的阻尼
是有效的；当ξ=0时，系统无阻尼；当ξ>1时，系统可能会发生共振。
因此，要得到二阶方程的固有频率和阻尼比，首先需要知道系
统的质量m、刚度系数k和阻尼系数c。
然后通过上述的公式进行计算即可。
二阶系统的时域分析二阶系统的数学模型
二阶系统的时域分析
二阶系统的数学模型
动态结构图
开环传递函数
R(s)
-
G(s)
C(s)
G(s)
n2
s(s 2n )
闭环传递函数
(s)
s2
n2 2ns
n2
ζ为系统的阻尼比；ωn为无阻尼振荡频率，简 称固有频率（也称自然振荡频率）
二阶系统的时域分析
二阶系统的闭环特征方程闭环极点
s2 2ns n2 0 s1,2 n n 2 1
阻尼比对系统的影响
0 2
0.1 1.8 0.2 1.6
1.4
0.3 1.2
0.4 1
Step Response
0.5 0.6 0.7 0.8
Amplitude
0.8
0.6
1.0
0.4
1.5
0.2
2.5
0
0
2
4
6
8
10
12
14
Time (sec)
二阶系统的时域分析
h' (t) ne nt (cosdt
1
2
sin dt)
d e nt ( sin dt
1
2
cos d t )
二阶系统的时域分析
欠阻尼二阶系统阶跃响应的性能指标
2.峰值时间tp 代入：d n 1 2
h'
(th)
' (t)ne(
n
1
2tcons 2
d tn
12n
1 2
2e)e ntnst isnindt d
曲线的不连续性，是由于ζ值的微小变化可引起调节 时间显著变化而造成的。
近似计算时，常用阻尼正弦振荡的包络线衰减到误差
二阶系统的数学模型
动态结构图
开环传递函数
R(s)
-
G(s)
C(s)
G(s)
n2
s(s 2n )
闭环传递函数
(s)
s2
n2 2ns
n2
ζ为系统的阻尼比；ωn为无阻尼振荡频率，简 称固有频率（也称自然振荡频率）
二阶系统的时域分析
二阶系统的闭环特征方程闭环极点
s2 2ns n2 0 s1,2 n n 2 1
阻尼比对系统的影响
0 2
0.1 1.8 0.2 1.6
1.4
0.3 1.2
0.4 1
Step Response
0.5 0.6 0.7 0.8
Amplitude
0.8
0.6
1.0
0.4
1.5
0.2
2.5
0
0
2
4
6
8
10
12
14
Time (sec)
二阶系统的时域分析
h' (t) ne nt (cosdt
1
2
sin dt)
d e nt ( sin dt
1
2
cos d t )
二阶系统的时域分析
欠阻尼二阶系统阶跃响应的性能指标
2.峰值时间tp 代入：d n 1 2
h'
(th)
' (t)ne(
n
1
2tcons 2
d tn
12n
1 2
2e)e ntnst isnindt d
曲线的不连续性，是由于ζ值的微小变化可引起调节 时间显著变化而造成的。
近似计算时，常用阻尼正弦振荡的包络线衰减到误差
二阶系统 阻尼比0.707 超调量
二阶系统是指具有两个自由度的动力系统，通常用于描述机械系统或者控制系统中的动态特性。
在工程和物理学中，二阶系统的阻尼比和超调量是描述系统动态响应的重要参数。
本文将从阻尼比和超调量两个方面对二阶系统进行深入分析。
一、阻尼比1. 定义：阻尼比是指二阶系统中阻尼元件的阻尼效果相对于临界阻尼的大小。
阻尼比的定义公式为ζ = c / 2√(mk)，其中c为阻尼系数，m为系统的质量，k为系统的刚度。
2. 阻尼比的作用：阻尼比的大小直接影响了二阶系统的动态特性，对系统的稳定性、响应速度和振荡幅度等有着重要影响。
3. 阻尼比的分类：根据阻尼比的大小，可以将二阶系统分为三种类型：超阻尼（ζ > 1）、临界阻尼（ζ = 1）和欠阻尼（ζ < 1）。
4. 超阻尼：当阻尼比大于1时，二阶系统呈现过度衰减的特性，系统的振荡幅度较小，但响应速度较慢。
5. 临界阻尼：当阻尼比等于1时，二阶系统的阻尼效果最佳，系统的响应速度和稳定性达到最优状态。
6. 欠阻尼：当阻尼比小于1时，二阶系统呈现振荡的特性，振荡幅度较大，响应速度较快，但稳定性较差。
二、超调量1. 定义：超调量是指二阶系统在单位阶跃输入下，输出信号超过稳态值的最大幅度与稳态值之比。
2. 超调量的计算公式为Mp = (yss - y0) / y0，其中Mp为超调量，yss为稳态值，y0为初始值。
3. 超调量的作用：超调量是衡量系统动态性能的重要指标，它直接反映了系统的控制质量和稳定性。
4. 超调量的影响：超调量大小的不同会直接影响到系统的稳定性和响应速度，较大的超调量可能导致系统不稳定或者产生过度振荡的现象。
5. 控制超调量：在实际工程中，可以通过调节系统参数或者采取控制策略来限制系统的超调量，以提高系统的动态性能和稳定性。
结论：通过对二阶系统的阻尼比和超调量进行深入分析，可以看出它们对系统的动态特性和稳定性有着重要的影响。
合理选择阻尼比和控制超调量，对于提高系统的响应速度、稳定性和控制质量具有重要意义。
自动控制原理--二阶系统的时域响应
y(t ) L-1[Y (s)]
-n
1 - e-nt (cos d t
1 - 2 sin d t )
s2
1-
e - nt (
1- 2
1 - 2 cos d t sin d t )
j jd
0
1-
e - nt 1 - 2 sin(n
1 - 2 t tg-1
1- 2 )
y(t)
单位阶跃响应（ 0<<1 ）
esst
2
a K
K
0.25
a 0.187
比例微分控制与输出微分反馈的比较
1、增加阻尼的来源不同：两者都增大了系 统阻尼，但来源不同；
2、对于噪声和元件的敏感程度不同； 3、对开环增益和自然振荡角频率的影响不
同； 4、对动态响应的影响不同。
（1）增加阻尼的来源
• 比例微分的阻尼来自误差信号的速度；
1)
阶跃响应：y(t) 1
1
-1t
e T1
1
-1t
e T2
T2 T1 -1
T1 T2 -1
yt
j
1
0
0
t
单位阶跃响应（>1）
无振荡、无超调
2、临界阻尼 =1
j 0
两个相同的负实根
闭环系统的极点为 s1,2 -n
闭环传递函数为
GB
Y (s) R(s)
(s
n2 n )2
阶跃响应： y(t) 1- e-nt (1 nt)
阻尼振荡频率
衰减振荡
d 1- 2n
4、零阻尼 0
阶跃响应y(t)=1-cos nt
n --无阻尼振荡角频率
j 0
一对纯虚根
二阶欠阻尼系统阻尼比和固有频率
二阶欠阻尼系统中的阻尼比和固有频率是控制系统工程中非常重要的概念。
它们在系统动态特性分析中起着至关重要的作用，对系统的稳定性和性能有着决定性的影响。
本文将从简单到复杂，由表面到深入，逐步探讨二阶欠阻尼系统的阻尼比和固有频率，希望能帮助读者更深入地理解这一概念。
1. 什么是二阶欠阻尼系统？在控制系统中，二阶欠阻尼系统是指具有两个自由度的系统，它具有两个特征的物理量，比如位移和速度。
在动态系统中，二阶系统常常出现，比如弹簧振子系统、RLC电路等。
二阶系统的传递函数通常可以表示为一个二次方程。
2. 阻尼比和固有频率的概念阻尼比是描述系统阻尼程度的一个重要参数，它是实际阻尼比与临界阻尼比的比值。
固有频率则是系统自由振荡的频率，在没有受到外界干扰的情况下，系统将以固有频率进行振荡。
3. 阻尼比和固有频率的影响阻尼比和固有频率对于二阶系统的动态特性有着重要的影响。
在阻尼比小于1的情况下，系统呈现欠阻尼振荡的特性；而在阻尼比大于1的情况下，系统则呈现着过阻尼的特性。
固有频率则决定了系统振荡的频率，它越高表示系统越“硬”、振荡的速度越快。
4. 个人观点和理解在控制系统工程中，对于二阶欠阻尼系统的阻尼比和固有频率的理解是非常重要的。
它们直接关系到系统的稳定性和性能，因此在系统设计和分析中必须充分考虑这些因素。
阻尼比和固有频率的合理选取不仅能保证系统的稳定性，还能够提高系统的响应速度和抑制振荡，从而更好地实现控制的目标。
总结与回顾：通过本文的阐述，相信读者对二阶欠阻尼系统的阻尼比和固有频率有了更深入的理解。
在实际控制系统工程中，我们需要根据具体的需求和要求来选择合适的阻尼比和固有频率，从而实现系统的稳定性和性能优化。
希望本文可以为读者对这一主题的理解和应用提供一些帮助。
通过以上的介绍，相信您已经对二阶欠阻尼系统的阻尼比和固有频率有了更深入的理解。
在实际工程中，合理选择阻尼比和固有频率将对系统的控制性能产生重要影响。
自动控制_03b二阶系统计算举例
2 n C ( s) 2 2 s 2 n s n
1
根据 e
t
sin t L [ ] 2 2 对上式取拉氏反变换得： (P )
1. 欠阻尼（0
1 ）时的脉冲过渡函数 n t 2 k (t ) c(t ) e sin 1 t n 1 2
d
( s) R(s) 例3.图: -
2 wn s(s 2 wn )
c(s)
kts
是采用了速度反馈控制的二阶系统。试分 析速度反馈校正对系统性能的影响。 解:系统的开环传递函数为
2 wn 2 s ( s 2wn ) wn G( s) 2 2 wn kt s s ( s 2wn wn kt ) 1 s ( s 2wn )
n 1
3
2
n 1.96(rad / s)
n
0.7809 ( N s 2 / cm)
f 2 n M 18( N s / cm)
五、单位速度函数作用下二阶系统的过渡过程
1 单位速度函数为 r (t ) t ，则有 R ( s ) 2 ，其对应的输出信号的 s 拉氏变换式为：
e( )
2
所以我们又得到减小稳态误差的方法：增大 n 或减 小 ，但减少 会使超调量增大，因此需折中考 虑，确定一个合理的设计方案。图3.3-16示出了不同 放大倍数的系统在速度函数作用下的过渡过程曲线.
n
图3.3-16 二阶系统反应速度函数的过渡过程曲线
例:已知单位反馈系统的传递函数为
在应用速度反馈校正时,应适当增大原系统 的开环增益,以补偿速度反馈引起的开环增 益减小,同时适当选择速度反馈系数kt,使阻 尼比ξ t增至适当数值,以减小系统的超调 量,提高系统的响应速度,使系统满足各项 性能指标的要求。
1
根据 e
t
sin t L [ ] 2 2 对上式取拉氏反变换得： (P )
1. 欠阻尼（0
1 ）时的脉冲过渡函数 n t 2 k (t ) c(t ) e sin 1 t n 1 2
d
( s) R(s) 例3.图: -
2 wn s(s 2 wn )
c(s)
kts
是采用了速度反馈控制的二阶系统。试分 析速度反馈校正对系统性能的影响。 解:系统的开环传递函数为
2 wn 2 s ( s 2wn ) wn G( s) 2 2 wn kt s s ( s 2wn wn kt ) 1 s ( s 2wn )
n 1
3
2
n 1.96(rad / s)
n
0.7809 ( N s 2 / cm)
f 2 n M 18( N s / cm)
五、单位速度函数作用下二阶系统的过渡过程
1 单位速度函数为 r (t ) t ，则有 R ( s ) 2 ，其对应的输出信号的 s 拉氏变换式为：
e( )
2
所以我们又得到减小稳态误差的方法：增大 n 或减 小 ，但减少 会使超调量增大，因此需折中考 虑，确定一个合理的设计方案。图3.3-16示出了不同 放大倍数的系统在速度函数作用下的过渡过程曲线.
n
图3.3-16 二阶系统反应速度函数的过渡过程曲线
例:已知单位反馈系统的传递函数为
在应用速度反馈校正时,应适当增大原系统 的开环增益,以补偿速度反馈引起的开环增 益减小,同时适当选择速度反馈系数kt,使阻 尼比ξ t增至适当数值,以减小系统的超调 量,提高系统的响应速度,使系统满足各项 性能指标的要求。
第三章二阶系统
3.3.2 二阶系统的单位阶跃响应
ωn C ( s) = 2 φ ( s) = R( s ) S + 2ξωn s + ωn 2
2
R(s)
_
ωn
ωn2 S(S+2ξωn)
C(s)
－自然频率（或无阻尼振荡频率） －阻尼比（相对阻尼系数）
图3-8 标准形式的二阶系统方块图
ξ
二阶系统的标准形式，相应的方块图如图3-8所示 二阶系统的动态特性，可以用 ξ 和 ω n 加以描述,二阶系统的特征方程：
(3)过阻尼( ξ > 1 )
S1, 2 = ξω n ± ω n ξ 2 1
ωn 1 C ( s) = = ( S S1 )( S S 2 ) S [ S + ω n (ξ ξ 2 1)][ S + ω n (ξ + ξ 2 1)]S
2
ωn2
A3 A A2 = 1+ + S S + ω n (ξ ξ 2 1) ξ + ω n (ξ + ξ 2 1)
π + (ln ) σ
2
1
= 0.4
2
=
3.14 3 1 0.4
2
= 1.14
R(s)
②闭环传递函数
E(s)
—
K s(Ts + 1)
C(s)
C (s) K = = 2 R ( s ) TS + S + K
K T 1 S2 + S + K T T
ωn
2
K = T
1 T= = = 1.09 2ξω n 2 × 0.4 × 1.14 K = Tω n = 1.09 × 1.14 2 = 1.42
ωn C ( s) = 2 φ ( s) = R( s ) S + 2ξωn s + ωn 2
2
R(s)
_
ωn
ωn2 S(S+2ξωn)
C(s)
－自然频率（或无阻尼振荡频率） －阻尼比（相对阻尼系数）
图3-8 标准形式的二阶系统方块图
ξ
二阶系统的标准形式，相应的方块图如图3-8所示 二阶系统的动态特性，可以用 ξ 和 ω n 加以描述,二阶系统的特征方程：
(3)过阻尼( ξ > 1 )
S1, 2 = ξω n ± ω n ξ 2 1
ωn 1 C ( s) = = ( S S1 )( S S 2 ) S [ S + ω n (ξ ξ 2 1)][ S + ω n (ξ + ξ 2 1)]S
2
ωn2
A3 A A2 = 1+ + S S + ω n (ξ ξ 2 1) ξ + ω n (ξ + ξ 2 1)
π + (ln ) σ
2
1
= 0.4
2
=
3.14 3 1 0.4
2
= 1.14
R(s)
②闭环传递函数
E(s)
—
K s(Ts + 1)
C(s)
C (s) K = = 2 R ( s ) TS + S + K
K T 1 S2 + S + K T T
ωn
2
K = T
1 T= = = 1.09 2ξω n 2 × 0.4 × 1.14 K = Tω n = 1.09 × 1.14 2 = 1.42
阻尼器阻尼比计算公式
阻尼器阻尼比计算公式
阻尼器阻尼比的计算公式可以根据所涉及的物理系统的特定情
况而有所不同。
一般来说，在振动系统中，阻尼比通常表示为ζ
（希腊字母zeta）。
对于简单的单自由度振动系统，阻尼比可以通
过以下公式计算：
阻尼比ζ = c / (2 √(k m))。
其中，c表示系统的阻尼系数，k表示系统的弹簧刚度，m表示
系统的质量。
这个公式适用于线性阻尼器的情况。
对于其他类型的阻尼器，比如非线性阻尼器或者涉及复杂动力
学特性的系统，阻尼比的计算公式可能会更加复杂。
在这种情况下，需要根据具体的系统特性和动力学方程来确定阻尼比的计算方法。
总的来说，阻尼比的计算公式是根据特定系统的物理特性和动
力学方程来确定的。
针对不同的系统，可能需要采用不同的计算方
法来确定阻尼比。
希望这个回答能够帮助到你。
已知二阶系统传递函数,如何求阻尼比
已知二阶系统传递函数,如何求阻尼比阻尼比是描述二阶系统阻尼程度的一个重要参数，它对系统的稳定性和响应特性具有重要影响。
本文将介绍如何求解阻尼比的方法。
我们需要已知二阶系统的传递函数。
二阶系统的传递函数一般可以表示为：G(s) = K / [(s^2) + (2ξω_n)s + ω_n^2]其中，K是系统的增益，ξ是阻尼比，ω_n是系统的自然频率。
要求解阻尼比，我们可以通过观察系统的阶跃响应来进行。
阶跃响应是指当输入信号为阶跃函数时，系统的输出响应。
我们可以将传递函数G(s)进行部分分式拆分，得到形如下式的表达式：G(s) = A / (s + α) + B / (s + β)其中，α和β是传递函数的两个极点。
将阶跃函数作为输入信号，我们可以通过求解极点来得到系统的阶跃响应。
在求解极点时，我们可以根据不同的阻尼比进行分类讨论。
当阻尼比ξ大于1时，系统为过阻尼系统。
过阻尼系统的极点是实数，可以表示为：α = -ξω_n + ω_n√(ξ^2 - 1)β = -ξω_n - ω_n√(ξ^2 - 1)当阻尼比ξ等于1时，系统为临界阻尼系统。
临界阻尼系统的极点是重根，可以表示为：α = β = -ξω_n当阻尼比ξ小于1时，系统为欠阻尼系统。
欠阻尼系统的极点是共轭复数对，可以表示为：α = -ξω_n + jω_n√(1 - ξ^2)β = -ξω_n - jω_n√(1 - ξ^2)通过求解极点，我们可以得到系统的阶跃响应。
根据阶跃响应的形式，我们可以观察系统的响应特性，进而确定阻尼比的大小。
对于过阻尼系统，阶跃响应呈现出类似于一阶系统的形式，即出现一次峰值后迅速趋于稳定。
对于临界阻尼系统，阶跃响应呈现出最快的响应速度，但没有过冲和振荡。
对于欠阻尼系统，阶跃响应呈现出振荡的形式。
振荡的周期和阻尼比有关，阻尼比越小，振荡的周期越大。
通过观察阶跃响应的形式，我们可以大致判断出系统的阻尼比范围。
但要精确求解阻尼比的值，我们可以通过测量阶跃响应的峰值和周期来计算。
系统阻尼比
2
1 2 cos d t sin d t
ent 1 2
sin(d t ) (t 0)
s1
n
β
jω
jn 1 2
arctan(
1
2
arc cos
)
0
σ
在欠阻尼二阶系统单位阶 c(t) 跃响应是衰减的正弦振荡曲线。 衰减速度取决于特征根实部的 绝对值的大小, 振荡角频率是 1 特征根虚部的绝对值，振荡周 2 2 期为
—— 系统阻尼比（阻尼系数） n —— 无阻尼自然振荡角频率 2 闭环系统特征方程为：s2 2n s n 0
闭环系统特征根(闭环极点)为：
s1,2 n n 1 n jn 1
2
2
jd n —— 衰减系数 d n 1 2 —— 阻尼自然振荡角频率
s2
jn 1 2
Td
d
n 1 2
0
t
2 1.8 1.6 1.4 1.2 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 0 2
C(t)
二阶系统的单位阶跃响应曲线
Hale Waihona Puke 0 无阻尼0 1 欠阻尼
jω
h(t ) 1 e
nt
nte
nt
(t 0)
1
s1=s2
c(t)
0 σ
临界阻尼二阶系统的
单位阶跃响应是稳态值为
1的无超调单调上升过程。
0
t
4.0 1时（欠阻尼）
(一对不等的共轭负根)
jω
jn 1 2
2 s j 1 闭环极点为： 1,2 n n s1 n jd
1 2 cos d t sin d t
ent 1 2
sin(d t ) (t 0)
s1
n
β
jω
jn 1 2
arctan(
1
2
arc cos
)
0
σ
在欠阻尼二阶系统单位阶 c(t) 跃响应是衰减的正弦振荡曲线。 衰减速度取决于特征根实部的 绝对值的大小, 振荡角频率是 1 特征根虚部的绝对值，振荡周 2 2 期为
—— 系统阻尼比（阻尼系数） n —— 无阻尼自然振荡角频率 2 闭环系统特征方程为：s2 2n s n 0
闭环系统特征根(闭环极点)为：
s1,2 n n 1 n jn 1
2
2
jd n —— 衰减系数 d n 1 2 —— 阻尼自然振荡角频率
s2
jn 1 2
Td
d
n 1 2
0
t
2 1.8 1.6 1.4 1.2 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 0 2
C(t)
二阶系统的单位阶跃响应曲线
Hale Waihona Puke 0 无阻尼0 1 欠阻尼
jω
h(t ) 1 e
nt
nte
nt
(t 0)
1
s1=s2
c(t)
0 σ
临界阻尼二阶系统的
单位阶跃响应是稳态值为
1的无超调单调上升过程。
0
t
4.0 1时（欠阻尼）
(一对不等的共轭负根)
jω
jn 1 2
2 s j 1 闭环极点为： 1,2 n n s1 n jd
二阶系统的时间响应
3）K = 13.5时
n=8.22rad/s，=2.1 ，系统工作于过阻尼状态，
传递函数可以改写为：
G(s)
s2
67.5 34.5s
67.5
(0.481s
1 1)(0.0308s
1)
即系统可以视为由两个时间常数不同的一阶系统串联组
成，其中 T1=0.481s,T2=0.0308s
对于过阻尼系统，tp，Mp，N已无意义，而调整时间ts间可
K=8.9/0.03=297N/m
又由图b)知：
M p e
1 2 100% 0.0029 100% 9.7% 0.03
解得： = 0.6
又由： t p
n
2 12
代入，可得n=1.96rad/s
根据 n
K , C
M 2 KM
解得 M = 77.3Kg，C = 181.8Nm/s
✓ 例题2
单位脉冲信号输入时，系统的响应为：
xo (t) 7 5e6t
求系统的传递函数。
解：由题意Xi(s)=1，所以：
G(s)
X o (s) Xi (s)
X o (s)
L[xo (t)]
L[7 5e6t ]
7 5 2s 42 s s 6 s(s 6)
➢ 例2
已知系统传递函数：
G(s)
2s 1 (s 1)2
1.5 1 2 , 0.05
则
N ts Td
2
12
,
0.02
N 仅与 有关。与Mp 一样直接说明了系统的阻尼特性。 越大，N越小，系统平稳性越好。
====0000....2468
✓ ▪
结论
0
二阶系统的动态性能由n和决定。
二阶系统欠阻尼范围
二阶系统欠阻尼范围
二阶系统的欠阻尼范围指的是二阶系统的阻尼比小于1时的范围。
具体地，欠阻尼指的是二阶系统的阻尼比小于1的情况。
在这种情况下，系统的振荡会出现衰减不完全、频率也不是恒定的情况。
而阻尼比越小，这种情况就越明显，振荡衰减得更慢，振荡周期变得更长。
对于二阶系统的欠阻尼情况，可以计算得到其阻尼比的范围为：
0 < ζ < 1
其中，ζ表示系统的阻尼比，取值范围为 0 到 1，不包括 0 和 1。
因此，欠阻尼范围可以表示为阻尼比取值在 0 到 1 之间（不包括 0 和 1）的范围。
需要注意的是，欠阻尼范围只适用于具有二阶动力学特性的系统。
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二阶系统:
凡用二阶微分方程描述的系统称为二阶系统。
许多高阶系统在一定的条件下，常常近似地作为二阶系统来研究。
二阶系统控制系统按数学模型分类时的一种形式.是用数学模型可表示为二阶线性常微分方程的系统.二阶系统的解的形式,可由对应传递函数W(s)的分母多项式P(s)来判别和划分.P(s)的一般形式为变换算子s的二次三项代数式,经标准化后可记为
代数方程P(s)=0的根,可能出现四种情况:
1.两个实根的情况,对应于两个串联的一阶系统.如果两个根都是负值,就为非周期性收敛的稳定情况.
2.当a1=0,a2>0,即一对共轭虚根的情况,将引起频率固定的等幅振荡,是系统不稳定的一种表现.
3.当a1<0,a1-4a2<0,即共轭复根有正实部的情况,对应于系统中发生发散型的振荡,也是不稳定的一种表现.
4.当a1>0,a1-4a2<0,即共轭复根有负实部的情况,对应于收敛型振荡,且实部和虚部的数值比例对输出过程有很大的影响.一般以阻尼系数ζ来表征,常取
在0.4~0.8之间为宜.当ζ>0.8后,振荡的作用就不显著,输出的速度也比较慢.而ζ<0.4时,输出量就带有明显的振荡和较大的超调量,衰减也较慢,这也是控制系统中所不希望的.
阻尼比:
阻尼就是使自由振动衰减的各种摩擦和其他阻碍作用。
在土木、机械、航天等领域是结构动力学的一个重要概念，指阻尼系数与临界阻尼系数之比，表达结构体标准化的阻尼大小。
阻尼比是无单位量纲，表示了结构在受激振后振动的衰减形式。
可分为等于1，等于0, 大于1，0~1之间4种，阻尼比=0即不考虑阻尼系统，结构常见的阻尼比都在0~1之间。
ζ<1的单自由度系统自由振动下的位移u(t) = exp(-ζ wn t)*A cos (wd t - Φ )，
其中wn 是结构的固有频率，wd = wn*sqrt(1-ζ^2) ,Φ为相位移.Φ和常数A由初始条件决定。
影响因素:
主要针对土木、机械、航天等领域的阻尼比定义来讲解。
阻尼比用于表达结构阻尼的大小，是结构的动力特性之一，是描述结构在振动过程中某种能量耗散的术语，引起结构能量耗散的因素（或称之为影响结构阻尼比的因素）很多，主要有（1）材料阻尼、这是能量耗散的主要原因。
（2）周围介质对振动的阻尼。
（3）节点、支座联接处的阻尼（4）通过支座基础散失一部分能量。
（5）结构的工艺性对振动的阻尼。