第9讲 镜像法

镜像法原理镜像法，又称镜像原理，是物理学中的一种重要原理，它在光学、电磁学、流体力学等领域都有着广泛的应用。

镜像法的基本原理是通过假想一个镜像，来简化问题的求解，从而使得问题的求解变得更加容易和直观。

镜像法的应用可以大大简化问题的求解过程，提高问题的解决效率。

下面我们将详细介绍镜像法的原理及其在不同领域的应用。

首先，我们来介绍镜像法在光学中的应用。

在光学中，镜像法被广泛应用于光学成像问题的求解。

例如，在平面镜成像问题中，我们可以通过假想一个虚拟的物体，将实际物体和虚拟物体关于镜面的位置进行对称，从而得到虚拟物体的像的位置。

这样一来，我们就可以利用镜像法来简化平面镜成像问题的求解过程，大大提高问题的求解效率。

其次，镜像法在电磁学中也有着重要的应用。

在电磁学中，镜像法被广泛应用于求解导体表面的电场分布问题。

通过假想一个虚拟的镜像电荷，将实际电荷和虚拟电荷关于导体表面进行对称，从而得到虚拟电荷在导体表面的电场分布。

这样一来，我们就可以利用镜像法来简化导体表面的电场分布问题的求解过程，提高问题的解决效率。

此外，镜像法还在流体力学中有着重要的应用。

在流体力学中，镜像法被广泛应用于求解流体与固体边界的流动问题。

通过假想一个虚拟的镜像流体，将实际流体和虚拟流体关于固体边界进行对称，从而得到虚拟流体在固体边界的流动情况。

这样一来，我们就可以利用镜像法来简化流体与固体边界的流动问题的求解过程，提高问题的解决效率。

总的来说，镜像法是一种非常重要的物理原理，它在光学、电磁学、流体力学等领域都有着广泛的应用。

通过假想一个镜像，镜像法可以简化问题的求解过程，提高问题的解决效率。

因此，掌握镜像法的原理及其在不同领域的应用对于物理学和工程学领域的学习和研究都具有着重要的意义。

希望本文的介绍能够帮助大家更好地理解镜像法的原理及其应用。

数学物理方程学院名称：理学院班级：数学101学号：201900134102姓名：李真真2019年12月12日镜像法在特殊角域中的应用摘要镜像法是解静电场边值问题的一种间接方法,它巧妙地应用唯一性定理,使某些看来难解的静电场边值问题较容易地得到解决。

镜像法是在待求场域的区域之外,在适当的位置上人为地设置一些点电荷来等效原边界面上复杂分布的实际电荷对待求域的作用,从而在保持原边界条件不变的情况下,将原边界面移去,这样就把求解有限区域的边值问题转换为无边界的无限大均匀媒质中的求解问题,这些人为设置的等效电荷称为镜像电荷。

镜像法的关键是寻找合适的镜像电荷,确定镜像电荷的理论根据是唯一性定理,即：一是场的解在原区域满足的方程(泊松方程或拉普拉斯方程)不变,亦即要保持待求场区域原有电荷分布不变,故镜像电荷只能设置在待求场域之外,二是镜像电荷个数、位置、大小和符号的确定应以使问题简化,并保持原问题边界条件不变为依据。

关键词：镜像法角域边值问题唯一性定理镜像电荷我们知道，在所考虑的区域内没有自由电荷分布时，可用Laplace's equation求解场分布；在所考虑的区域内有自由电荷分布时，且用Poisson's equation求解场分布。

如果在所考虑的区域内只有一个或者几个点电荷，区域边界是导体或介质界面，这类问题又如何求解？这就是本节主要研究的一个问题。

解决这类问题的一种特殊方法--称为镜象法。

1、镜象法的基本问题在点电荷附近有导体或介质存在时，空间的静电场是由点电荷和导体的感应电荷或介质的束缚电荷共同产生的。

在所求的场空间中，导体的感应电荷或介质的极化电荷对场点而言能否用场空间以外的区域（导体或介质内部）某个或几个假想的电荷来代替呢？当我们把点电荷作为物，把导体或介质界面作为面镜，那么导体的感应电荷或介质的极化电荷就可作为我们所说的象，然后把物和象在场点处的贡献迭加起来，就是我们讨论的结果。

/jp2007/02/wlkc/htm/c_4_p_4.htm§4.4 镜像法镜像法是求解电磁场的一种特殊方法，特别适用于边界面较规则(如平面、球面和柱面等)情况下，点源或线源产生的静态场的计算问题。

例如当一点电荷q 位于一导体附近时，该导体将处于点电荷q产生的静电场中，在导体表面上会产生感应电荷，则空间的电场应为该感应电荷产生的电场和点电荷q产生的电场的叠加。

一般情况下，在空间电场未确定之前，导体表面的感应电荷分布是不知道的，因此直接求解该空间的电场是困难的。

然而，在一定条件下，可以用一个或多个位于待求场域边界以外虚设的等效电荷来代替导体表面上感应电荷的作用，且保持原有边界上边界条件不变，则根据惟一性定理，空间电场可由原来的电荷q和所有等效电荷产生的电场叠加得到。

这些等效电荷称为镜像电荷，这种求解方法称为镜像法。

可见，惟一性定理是镜像法的理论依据。

在镜像法应用中应注意以下几点：(1)镜像电荷位于待求场域边界之外。

(2)将有边界的不均匀空间处理为无限大均匀空间，该均匀空间中媒质特性与待求场域中一致。

(3)实际电荷(或电流)和镜像电荷(或电流)共同作用保持原边界上的边界条件不变。

4.4.1 点电荷对无限大接地导体平面的镜像zqdx设在自由空间有一点电荷位于无限大接地导体平面上方，且与导体平面的距离为d 。

如图4.2(a)所示上半空间的电位分布和电场强度计算可用镜像法解决。

待求场域为0z >空间，边界为0z =的无限大导体平面，边界条件为在边界上电位为零，即(,,)0x y z φ= (4.29)设想将无限大平面导体撤去，整个空间为自由空间。

在原边界之外放置一镜像电荷'q ，当'q q =-，且'q 和q 相对于0z =边界对称时，如图4.2(b)所示。

点电荷q 和镜像电荷'q 在边界上产生的电位满足式(4.29)所示的边界条件。

根据镜像法原理，在0z >空间的电位为点电荷q 和镜像电荷'q 所产生的电位叠加，即1/21/2222222011{}4()()qx y z d x y z d φπε=-⎡⎤⎡⎤++-+++⎣⎦⎣⎦(4.30)上半空间任一点的电场强度为E φ=-∇电场强度E 的三个分量分别为3/23/22222220{}4()()x qxxE x y z d x y z d πε=-⎡⎤⎡⎤++-+++⎣⎦⎣⎦(4.31a)3/23/22222220{}4()()y qyyE x y z d x y z d πε=-⎡⎤⎡⎤++-+++⎣⎦⎣⎦(4.31b)3/23/22222220{}4()()z qz dz dE x y z d x y z d πε-+=-⎡⎤⎡⎤++-+++⎣⎦⎣⎦(4.31c)可见，在导体表面0z =处，0x y E E ==，只有z E 存在，即导体表面上法向电场存在。

1、电磁学的镜像法有平面镜像法和球面镜镜像法。

2、镜像法的核心思想和核心方法是将感应电荷与原电场（原电荷）的作用等效为镜像电荷与原电场（原电荷）的作用。

3、使用镜像法的难点在于确定镜像电荷的电量多少、电荷位置等。

对于平面镜来说，确定起来较为简单，好似平面镜成像。

4、镜像法的使用条件是“镜”电势为零。

如果不为零，就要通过添加或减少电荷使得“镜”电势为零再使用。

详细的情况可以查看普通物理《电磁学》中文名称：镜像法英文名称：method of image 定义：用物体或基本流动(如旋涡、偶极子等)的镜像来代替固体边界或射流边界影响的一种处理方法。

一种计算静电场或稳定电磁场的方法。

W.汤姆孙(即开尔文)于1848年提出,最先用于计算一定形状导体面附近的电荷所产生的静电场，叫做电像法；后来发展到可以计算某些稳定电磁场，现在称做镜像法。

在电荷的附近出现导体面（或介质分界面）时，这些面对电场有影响。

镜像法就是利用已经熟悉的静电学知识，通过在这些面的另一侧适当位置，设置适当量的假想电荷（称为电荷的像或像电荷），等效地代替实际导体上的感应电荷或电介质界面上的极化电荷，以保证场的边界条件得到满足。

根据静电唯一性定理，在求解区域中，源电荷与像电荷产生的电场就是实际存在的电场。

镜像法常常很简便地得到场的解析解，但只有边界面几何形状很简单的情形才可能成功地设置电像，故不是普遍适用的方法。

目前，镜像法已不限于静电学范围，它已应用于计算稳恒磁场，稳恒电流场和天线的辐射场等不少重要的电磁场问题。

现用简单的例子阐明镜像法。

如图1a所示,大地上方h米处有点电荷q,因为地表感应的面电荷密度N未知，所以不能用积分方法求解电场的V和E。

但是，由于已经知道,图1b为相距2h的正负点电荷在无限空间产生的静电场，场中通过电荷联线中点且与联线垂直的无穷平面为一零等势面，对比图1a与图1b,它们上部静电场的边界条件、点电荷q的位置及媒质的介电常数ε都相同，根据唯一性定理,图1 b静电场的上半部即图1c，就是所求大地上方的静电场。

关于镜像法的总结一、理论依据唯一性定理：它指出了静态场边值问题具有唯一解的条件，在边界面S 上的任一点只需给定ϕ或nϕ∂∂的值，而不能同时给定两者的值。

镜像法的求解思想是：所有研究的区域边界是有规则的导体或介质界面、区域内只有一个或几个点电荷或线电荷时，设法不改变所求区域的电荷分布、在区域的边界外一定位置放置一个或几个镜像电荷来代替导体边界上感应电荷或介质边界上的极化电荷对外的作用。

这样，便把求解泊松方程及边界条件的解的问题，转化为求解几个点电荷及镜像电荷在空间产生场的问题。

二、镜像电荷法求导体球壳电场镜像电荷法是指在待求电场区域之外, 用假想电荷来等效原边界面上的感应电荷或极化电荷的作用, 只要保证求解空间内的全部边值条件得到满足,所得到的解就是唯一正确的解. 运用镜像电荷法求解静电场边值问题的关键根据唯一性定理找出电势满足的全部定解条件, 并由这些边值条件来决定像电荷的量值和位置. 对于平面导体附近有点电荷、球面导体附近有点电荷, 求出空间各点的电势及电场强度问题, 可以采用镜像电荷法来处理, 能够省去一些复杂的数学运算, 使问题巧妙地得到解决.比如, 接地空心导体球的内外半径分别为R1 和R2 , 在球内离球心为a( a< R 1 ) 处置一点电荷Q, 求球腔内的电势。

如图1 所示, 由于接地导体球壳的静电屏蔽作用, 可以得知R \R1的区域电势为零, 依据镜像电荷法规则, 假想点电荷Qc 应代替球壳面上感应电荷对空间电场的作用, 且满足球壳上电势U= 0 的边值条件. 由对称性可知, 假想点电荷Qc 必在OQ 连线上.设P 为球壳内表面上任一点, 由边界条件得'0'Q Q r r +=，式中r 为Q 到P 的距离, r ’为Q ’到P 的距离, 则''r Q r Q==常数 (1) 从图中可以看出, 只要选Qc 在合适的位置就可使'O Q P O P Q∆∆ , 则 1'R r r a==常数 (2)图1 设b 为Q ’到球心的距离, 由两三角形相似条件可得R1 / a= b/ R, 即像电荷Q ’的位置为21R b a= (3)由( 1) 和( 2) 式可求出像电荷Qc 的大小为1'R Q Q a=-(4) 则球腔内任一点P 的电势为10011()4'4QR Q r r a ϕπεπε=-= (5)根据电势与电场强度的关系式E ϕ=-∇, 就可以求出电场强度.通过上面的分析运算可以看出, 采用镜像电荷法不仅解题思路清晰, 而且比分离变量法简单且更容易掌握。

镜像法在静电场中，如果在所考虑的区域内没有自由电荷分布时，可用拉普拉斯方程求解场分布；如果在所考虑的区域内有自由电荷分布时，可用泊松方程求解场分布。

如果在所考虑的区域内只有一个或者几个点电荷，区域边界是导体或介质界面时，一般情况下，直接求解这类问题比较困难，通常可采用一种特殊方法—镜象法来求解这类问题。

镜像法是直接建立在唯一性定理基础上的一种求解静电场问题的方法。

适用于解决导体或介质边界前存在点源或线源的一些特殊问题。

镜像法的特点是不直接求解电位函数所满足的泊松或拉普拉斯方程，而是在所求区域外用简单的镜像电荷代替边界面上的感应电荷或极化电荷。

根据唯一性定理，如果引入镜像电荷后，原求解区域所满足的泊松或拉普拉斯方程和边界条件不变，该问题的解就是原问题的解。

下面我们举例说明。

1导体平面的镜像例.1 在无限大的接地导电平面上方h 处有一个点电荷q ，如图3.2.1所示，求导电平板上方空间的电位分布。

解 建立直角坐标系。

此电场问题的待求场区为0z >；场区的源是电量为q 位于(0,0,)P h 点的点电荷，边界为xy 面，由于导电面延伸到无限远，其边界条件为xy 面上电位为零。

导电平板上场区的电位是由点电荷以及导电平面上的感应电荷产生的，但感应电荷是未知的，因此，无法直接利用感应电荷进行计算。

现在考虑另一种情况，空间中有两个点电荷q 和q -，分别位于(0,0,)P h 和点(0,0,)P h '-，使得xy 面的电位为零，如图3.2.2。

这种情况，对于0z >的空间区域，电荷分布与边界条件都与前一种情况相同，根据唯一性定理，这两种情况0z >区域的电位是相同的。

也就是说，可以通过后一种情况中的两个点电荷来计算前种问题的待求场。

对比这两种情况，对0z >区域的场来说，后一种情况位于(0,0,)P h '-点的点电荷与前一种情况导电面上的感应电荷是等效的。

由于这个等效的点电荷与待求场区的点电荷相对于边界面是镜像对称的，所以这个等效的点电荷称为镜像电荷，这种通过场区之内的电荷与其在待求场区域之外的镜像电荷来进行计算电场的方法称为镜像法。

镜像的成像规律在我们的日常生活中，镜子是一个常见的物品。

当我们站在镜子前，会看到一个与自己相似但又左右相反的影像，这就是镜像。

那么，镜像的成像到底遵循着怎样的规律呢？让我们一起来探究一下。

首先，我们要明白镜像的形成是基于光的反射原理。

当光线照射到镜子表面时，会发生反射，这些反射光线进入我们的眼睛，我们就看到了镜子中的像。

在平面镜成像中，有几个重要的规律。

第一，像是虚像。

什么是虚像呢？就是说这个像并不是由实际光线汇聚而成的，而是我们的眼睛“认为”光线是从那个位置射过来的。

你用手去“抓”镜子里的像，肯定是抓不到的，这就说明了像是虚的。

第二，像与物体的大小相等。

不管你离镜子远还是近，镜子里的你看起来和真实的你在大小上是一样的。

想象一下，一个身高 18 米的人站在镜子前，镜子里的像也是 18 米高。

第三，像与物体到平面镜的距离相等。

假如你距离镜子 2 米，那么镜子里的像距离镜子也是 2 米。

这就好像是镜子在中间，把你和你的像对称地分开了。

第四，像与物体的连线与平面镜垂直。

简单来说，就是你和你的像之间的连线，如果延长的话，会和镜子所在的平面成 90 度角。

这些规律在我们的生活中有很多实际的应用。

比如，在服装店里，试衣镜让我们能够看到自己穿上新衣服的效果，就是基于像与物体大小相等、距离相等这些规律。

还有，牙医在检查牙齿时，会使用小平面镜，也是利用了平面镜成像的原理，能够更清楚地看到牙齿的情况。

除了平面镜成像，还有凸面镜和凹面镜成像。

凸面镜能使平行光线发散，因此它所成的像是缩小的虚像。

在道路的拐弯处，我们常常能看到凸面镜，就是为了让司机能够看到更大范围的路况，保证行车安全。

凹面镜则能使平行光线会聚，它可以成实像也可以成虚像。

比如手电筒里的反射面就是凹面镜，能够把灯泡发出的光会聚起来，照得更远更亮。

我们再来深入探讨一下平面镜成像的特点。

当物体在平面镜前移动时，像也会随之移动，而且移动的方向是相反的。

比如，你向左移动，像就会向右移动。

九年级镜像问题
“眼睛是左右长的”，“上下不对称”，“没有上下翻转经验”
这三个回答都行，提示一下，他就明白了，就不用别人多说了。

如果需要多说一点，那就是，首先，弄清楚什么叫做“左右反了”，你站在镜子前面照镜子，镜子里面的像可不仅仅是左右手反了：你举起左手，看看镜子里面的那只手，是一只左手呢？还是一只右手？由于镜像的原因，物体和像是“手性对称”，说白了就是需要颠倒一个坐标轴。

比如果物体坐标
x,
y,
z
三个轴，镜像坐标
x',
y',
z'
三个轴，需要有一个轴正负方向颠倒——这样的像，才和物“手性一致”。

“手性一致”，这里简单地说，就是你可以随便移动、转动像，让它和原物能够重合……
我们对物体上各部位的相互位置关系，和像上相应部位之间的位置关系，就会产生“颠倒”的感觉，校正这种位置感，心理上需要颠倒一个轴，就是“镜像在某某方向上反了”。

但是颠倒哪个好呢？显然上下是最不容易颠倒的，因为我们长期生活在有重力的环境下，心理上、生理上、活动实践上对上下关系都非常明确，颠倒这个方向会对我们造成认知上、实践上的种种困难，不方便，所以，我们先把上下固定下来
理论上我们可以颠倒前后，我们可以认为镜像是左右没动，前后反了，也行。

镜像法的原理
镜像法是一种解决物体光学性质问题的常用方法。

其核心原理是将物体与其像的位置互换，从而简化光路的计算和分析。

具体来说，对于一个光学系统，我们可以将其物体位置和像位置对应起来，然后对于物体的每一点，在其对应的像位置上构造一个虚拟点，这些虚拟点便是镜像点。

如此一来，我们便可以将原问题转化为在镜面上做出影像的问题，从而简化光路的计算。

需要注意的是，镜像法只适用于单一的镜面，对于复杂的光学系统，还需要结合其他的光学原理进行分析。

同时，镜像法也只适用于反射光学，对于折射光学仍需要采用其他的方法。

总之，镜像法作为解决物体光学性质问题的常用方法，可以帮助我们更加简便地理解光学系统的行为和规律。

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