MATLAB在复变函数与积分变换里的应用目录1复数的生成 (1)2 复常数的运算 (1)2.1—2.3 求复数的实部、虚部、模、幅角、共轭复数 (1)2.4—2..8两个复数之间进行乘除法运算、幂运算、指数对数运算及方程求根 (2)2..9MA TLAB极坐标绘图 (6)3 泰勒级数的展开 (3)4 留数计算和有理函数的部分分式展开 (4)4.1 留数计算 (4)4.2 有理函数的部分分式展开 (5)5 Fourier变换及其逆变换 (6)6 Laplace变换及其逆变换由拉普拉斯曲面图观察频域与复频域的关系 (7)参考文献 (10)复变函数与积分变换理论性较强,又是解决实际问题的强有力的工具. 本文利用MATLAB讨论了复变函数与积分变换中的复数运算、泰勒级数的展开、留数、有理函数展开、Fourier 变换、Laplace变换和图形绘制等几个问题.可以使用MATLAB来进行复变函数的各种运算，还可以使用matlab进行Taylor级数展开以及Laplace变换和Fourier变换。
1.复数的生成复数的生成有两种形式。
a: z=a+b*iexample1:>> z=2+3*iz =2.0000 +3.0000ib: z=r*exp(i*theta)example2: >> z=2*exp(i*30)z =0.3085 - 1.9761i2.复数的运算2.1、复数的实部和虚部复数的实部和虚部的提取可由函数real和imag实现。
调用形式real(x)返回复数的实部imag(x)返回复数的虚部example3: >> z=4+5*i;>> real(z)ans =4>> imag(z)ans =52.2、共轭复数复数的共轭可由函数conj 实现。
调用形式conj(x)返回复数的共轭复数example4: >> z=4+5*i;>> conj(z)ans =4.0000 -5.0000i2.3复数的模和辐角复数的模和辐角的求解由功能函数abs 和angle 实现。
调用形式abs(x)复数的模angle(x)复数的辐角example5: >> z=6+8*i;>> abs(z)ans =10>> angle(z)ans =0.9273Example ：求下列复数的实部、虚部、模、幅角、共轭复数. (1) i347+ (2) 3i e π (3) 3737++i i>> clear>> format rat>> X=[7/4+3i,exp(pi*i/3),i^7+i^(3/7)+3]X =7/4 + 3i 1/2 + 1170/1351i5079/1343 - 561/1490i>> RE=real(X)RE =7/4 1/2 5079/1343>> IM=imag(X)IM =3 1170/1351 -561/1490>> AB=abs(X)AB =5102/1469 1 1448/381>> AN=angle(X)AN =659/632 355/339 -632/6369>> CO=conj(X)CO =7/4 - 3i 1/2 - 1170/1351i 5079/1343 + 561/1490i2.4复数的乘除法复数的乘除法运算由“/”和“* ”实现。
example6: >> z1=2+3*i;>> z2=3*exp(pi/4i);>> z12=z1*z2z12 =10.6066 + 2.1213i>> z21=z1/z2z21 =-0.2357 + 1.1785i2.5、复数的平方根复数的平方根运算由函数sprt实现。
调用形式sqrt(x) 返回复数的平方根值example7: >> z=2+3*i;>> sqrt(z)ans =1.6741 + 0.8960i2．6、复数的幂运算复数的幂运算的形式为x^n ，结果返回复数x的n次幂。
example8:>> (-2)^(2/3)ans =-0.7937 + 1.3747i2.7、复数的指数和对数运算复数的指数和对数运算分别由函数exp和log实现。
调用形式exp(x)返回复数x的以e为底的指数值log(x)返回复数x的以e为底的对数值example9: >> z=3+4*i;>> log(z)ans =1.6094 + 0.9273i>> exp(z)ans =-13.1288 -15.2008i2.8、复数方程求根复数方程求根或实方程的复数根求解也由函数solve实现。
example10: >> solve('x^2+9=0')ans =-3*i3*i2..9MA TLAB极坐标绘图polar指令可以将数据以极座标方式加以绘图调用形式：polar(theta,r) (theta,r)分别代表极座标上的角度及半径值Example：>> t=0:0.01:2*pi;r=sin(2*t).*cos(2*t);polar(t,r) title('Polar plot of sin(2t)cos(2t)')3 泰勒级数的展开3.1 定理1 （泰勒展开定理） 设)(x f 在区域D 内解析，D x ∈0,R 为0x 到D 的边界上各点的最短距离⇒当R x x <-0时，∑∞=-=00)()(n n n x x c x f 为)(x f 在0x 处的泰勒级数. 其中：n c =!1n ()f n ()0x n =0，1，2，……… 用函数taylor 来实现泰勒级数的展开，taylortool 可以进行泰勒级数逼近分析.r = taylor(f,n,v)：符号表达式f 以符号标量v 作为自变量，返回f 的n -1阶泰勒展开式。
r = taylor(f,n,v,a)：返回符号表达式f 在v = a 处的n -1阶泰勒展开式。
example11: 求函数f(x)=sin(x)在x=0的泰勒展开式的8次幂多项式和16次幂多项式，并分别进行泰勒级数逼近分析.>> clearsyms x>> f=sin(x)f =sin(x)>> taylor(f,8)ans =- x^7/5040 + x^5/120 - x^3/6 + x>> taylor(f,16)ans =-x^15/1307674368000 + x^13/6227020800 - x^11/39916800 + x^9/362880 - x^7/5040 + x^5/120 - x^3/6 + xtaylortool图例11-1图例11-2example12: 求函数x ex f -=)(在x=0的泰勒展开式的7次幂多项式并进行泰勒级数逼近分析.>> clearsyms x>> f=exp(-x)f =1/exp(x)>> taylor(f,10)ans =- x^9/362880 + x^8/40320 - x^7/5040 + x^6/720 - x^5/120 + x^4/24 - x^3/6 + x^2/2 - x + 1 taylortool图例12-13.2 级数求和函数symsum()来对符号表达式进行求和，其具体用法如下：r = symsum(s,a,b)：求符号表达式s 中默认变量从a 到b 的有限和；r = symsum(s,v,a,b)：求符号表达式s 中变量v 从a 到b 的有限和。
Example13：求下列级数的和（1）13521 (2482)n n -+++++ （2）1111...............31021(21)n n ++++++ （3）2sin sin sin sin ......149x x x x n+++++ >> clearsyms n>> f1=(2*n-1)/2^nf1 =(2*n - 1)/2^n>> f2=1/(n*(2*n+1))f2 =1/(n*(2*n + 1))>> I1=symsum(f1,n,1,inf)I1 =3>> I2=symsum(f2,n,1,inf)I2 =2 - 2*log(2)（1）（2）级数收敛clear>> syms n x>> f3=sin(x)/n^2f3 =sin(x)/n^2>> I3=symsum(f3,n,1,inf)I3 =(pi^2*sin(x))/6该级数是发散的4 留数计算和有理函数的部分分式展开4.1 留数计算定义1 设f(x)在0<x -a <R 解析，即a 是f(x)的孤立奇点，则称积分值i π21⎰cdx x f )(为f(x)关于点a 的留数，记作Res[f(x),a].其中c 为在0<x -a <R 内包含在点a 的任何一条正向简单闭曲线.定理2 设函数f(x)在区域D 内除有限个孤立奇点z 1,z 2,z 3......,z n 处处解析，c 是D 内包围所有奇点的一条正向简单闭曲线，那么⎰c dx x f )(=i π2∑=n k s 1Re [f(x),z k ]residue 函数可以用来求解分子分母均为多项式的函数。
调用格式：[R,P]=residue （A,B ）其中R 是部分分式的系数数组即留数数组，P 是极点数组。
注意，当函数有重极点时，对同一个极点P ，存在几个展开系数R ，这几个R 中只有与相同极点中的第一个对应的R 是1()Z P --的系数即与极点P 对应的留数，其余的不是留数。
参数A 是由复变函数的分子的系数组成的向量，参数B 是由复变函数的分母的系数组成的向量。
Example14：求函数()f z =321310z z z +-在各极点处的留数 >> clear>> format rat>> a=[1];>> b=[1,3,-10,0];>> [R,P]=residue(a,b)R =1/351/14-1/10P =-52Example15：求函数()f z =3211z z z --+在各极点处的留数 >> clear>> format rat>> a=[1];>> b=[1,-1,-1,1];>> [R,P]=residue(a,b)R =-1/41/21/4P =11-14.2有理函数的部分分式展开利用residuez 函数计算F(z)分子多项式和分母多项式[r,p,k]=residuez(num,den)Example16：将F （z ）用部分分式展开，2310)(2+-=z z z Z F >> num=[0,10];>> den=[1,-3,2];>> [R,P,K]=residuez(num,den)R =10-10P =21K =[]5 Fourier 变换及其逆变换定理3 若f(t)在()+∞∞-,上满足：（1）在任何的有限区间上满足Dirichlet 条件；（2）在无限区间()+∞∞-,上绝对可积（即⎰+∞∞-dt t f )(收敛）：则有ωττωωτd d f e e x j i ⎰⎰+∞∞-+∞∞⎥⎦⎤⎢⎣⎡--)(21π=[]⎪⎩⎪⎨⎧-++（在间断点上）在连续点上)0()0(21)()(x f x f x f 定义2 如果函数f(t)满足定理3，由 ⎰⎰+∞∞+∞∞-⎥⎦⎤⎢⎣⎡=--)(21)(ωττωωτd d f x f e e x i i π (1) 设 ⎰+∞∞--=ττωωτd f F e j )()( (2)则 ⎰+∞∞=-)(21)(ωωωd F t f e t j π (3) (2)式称为)(t f 的傅里叶变换，记为[])()(t f F ℘=ω()ωF 称为)(t f 的象函数，并且这样的积分运算称为取)(t f 的Fourier 变换，式(3)称作)(ωF 的傅里叶逆变换式，记为[])()(1ωF t f -℘=Fw = fourier(ft,t,w)：求时域函数ft 的Fourier 变换Fw ；ft = ifourier(Fw,w,t)：求频域函数Fw 的Fourier 反变换。
