2018年全国100所名校高考冲刺卷(理科)(2)数学试卷

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2018年全国100所名校高考冲刺卷（理科）（2）

数学试卷

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．

1．已知A={x|﹣4＜x＜1}，B={x|x2﹣x﹣6＜0}，则A∪B等于（ ）

A．（﹣3，1） B．（﹣2，1） C．（﹣4，2） D．（﹣4，3）

2．已知复数z满足（3﹣i）z=2+i（i为虚数单位），则z的共轭复数是（ ）

A． +i B．﹣ C．﹣+i D．﹣﹣i

3．已知直线l1：mx+3y+3=0，l2：x+（m﹣2）y+1=0，则“m=3”是“l1∥l2”的（ ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

4．一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的表面积为（ ）

A．72 B．66 C．60 D．30

5．已知cos（+α）=，|α|＜，则tanα等于（ ）

A．﹣2 B．2 C．﹣ D．

6．已知函数f（x）是R上的奇函数，当x＞0时，f（x）=ex+x2，则不等式f（3﹣x2）＞f（2x）的解集为（ ）

A．（﹣3，1） B．（﹣1，3） C．（﹣∞，﹣3）∪（1，+∞） D．（﹣∞，﹣，1）∪（3，+∞） 第2页（共24页）

7．十七世纪英国著名数学家、物理学家牛顿创立的求方程近似解的牛顿迭代法，相较于二分法更具优势，如图给出的是利用牛顿迭代法求方程x2=6的正的近似解的程序框图，若输入a=2，ɛ=0.02，则输出的结果为（ ）

A．3 B．2.5 C．2.45 D．2.4495

8．已知实数x，y满足，则的最大值为（ ）

A．1 B． C． D．2

9．若函数f（x）=sin（2x﹣）的图象向左平移个单位后，得到y=g（x）的图象，则下列说法错误的是（ ）

A．y=g（x）的最小正周期为π

B．y=g（x）的图象关于直线x=对称

C．y=g（x）在[﹣，]上单调递增

D．y=g（x）的图象关于点（，0）对称

10．（1﹣）6（1﹣）4的展开式中，x2的系数是（ ） 第3页（共24页）

A．﹣75 B．﹣45 C．45 D．75

11．已知F1、F2是椭圆C1与双曲线C2的公共焦点，点P是C1与C2的公共点，若椭圆C1的离心率e1∈（，]，∠F1PF2=，则双曲线C2的离心率e2的最小值为（ ）

A． B． C． D．

12．已知函数f（x）=，且∃x0∈[2，+∞）使得f（﹣x0）=f（x0），若对任意的x∈R，f（x）＞b恒成立，则实数b的取值范围为（ ）

A．（﹣∞，0） B．（﹣∞，0] C．（﹣∞，a） D．（﹣∞，a]

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分）.

13．已知=（1，2），﹣2=（﹣7，﹣2），则与的夹角的余弦值为 ．

14．一个人把4根细绳紧握在手中，仅露出它们的头和尾，然后另一人每次任取一个绳头和一个绳尾打结，依次进行直到打完4个结，则放开手后4根细绳恰巧构成4个环的概率为 ．

15．已知半径为r的球O与正方体ABCD﹣A1B1C1D1的各棱都相切，记球O与正方体ABCD﹣A1B1C1D1的各面的交线的总长度为f（r），则f（1）= ．

16．在△ABC中，tan=2sinC，若=，则tanB= ．

三、解答题：解答写出文字说明、证明过程或演算过程．

17．已知数列{an}是公差为2的等差数列，数列{bn}满足b1=1，b2=2，且当n∈N*时，anbn+1﹣4bn+1=4nbn．

（1）求数列{bn}的通项公式；

（2）设数列{cn}满足cn=（n∈N*），记数列{cn}的前n项和为Tn，求使Tn＞成立的正整数n的最小值．

18．某早餐店每天制作甲、乙两种口味的糕点共n（n∈N*）份，每份糕点的成本1元，售价2元，如果当天卖不完，剩下的糕点作废品处理，该早餐店发现这第4页（共24页）

两种糕点每天都有剩余，为此整理了过往100天这两种糕点的日销量（单位：份），得到如下统计数据：

甲口味糕点日销量 48 49 50 51

天数 20 40 20 20

乙口味糕点日销量 48 49 50 51

天数 40 30 20 10

以这100天记录的各销量的频率作为各销量的概率，假设这两种糕点的日销量相互独立．

（1）记该店这两种糕点每日的总销量为X份，求X的分布列；

（2）早餐店为了减少浪费，提升利润，决定调整每天制作糕点的份数．

①若产生浪费的概率不超过0.6，求n的最大值；

②以销售这两种糕点的日总利润的期望值为决策依据，在每天所制糕点能全部卖完与n=98之中选其一，应选哪个？

19．如图1，在矩形ABCD中，AB=8，AD=3，点E、F分别为AB、CD的中点，将四边形AEFD沿EF折到A1EFD1的位置，使∠A1EB=120°，如图2所示，点G，H分别在A1B，D1C上，A1G=D1H=，过点G，H的平面α与几何体A1EB﹣D1FC的面相交，交线围成一个正方形．

（1）在图中画出这个正方形（不必说明画法和理由）；

（2）求直线EH与平面α所成角的余弦值．

20．已知点F是抛物线C：x2=2py（p＞0）的焦点，点P（x0，y0）是抛物线C上的动点，抛物线C在点P处的切线为直线l．

（1）若直线l与x轴交于点Q，求证：FQ⊥l； 第5页（共24页）

（2）作平行于l的直线L交抛物线C于M，N两点，记点F到l、L的距离分别为d、D，若D=2d，求线段MN中点的轨迹方程．

21．设函数f（x）=（x﹣a）lnx+b．

（1）当a=0时，讨论函数f（x）在[，+∞）上的零点个数；

（2）当a＞1且函数f（x）在（1，e）上有极小值时，求实数a的取值范围．

[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]

22．在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为，（α为参数），以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，直线l的极坐标方程为．

（1）求曲线C的极坐标方程；

（2）设P为曲线C上一点，Q为直线l上一点，求|PQ|的最小值．

[选修4-5：不等式选讲]

23．已知函数f（x）=|2x﹣4|．

（1）解不等式f（x）+f（1﹣x）≤10；

（2）若a+b=4，证明：f（a2）+f（b2）≥8．

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2018年全国100所名校高考数学冲刺卷（理科）（2）

参考答案与试题解析

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．

1．已知A={x|﹣4＜x＜1}，B={x|x2﹣x﹣6＜0}，则A∪B等于（ ）

A．（﹣3，1） B．（﹣2，1） C．（﹣4，2） D．（﹣4，3）

【考点】1D：并集及其运算．

【分析】先求出集合A，B，由此利用并集的定义能求出A∪B的值．

【解答】解A={x|﹣4＜x＜1}=（﹣4，1），B={x|x2﹣x﹣6＜0}=（﹣2，3）

∴A∪B=（﹣4，3）

故选：D．

2．已知复数z满足（3﹣i）z=2+i（i为虚数单位），则z的共轭复数是（ ）

A． +i B．﹣ C．﹣+i D．﹣﹣i

【考点】A5：复数代数形式的乘除运算．

【分析】直接利用复数的除法运算化简，从而得到复数z的共轭复数

【解答】解：∵（3﹣i）z=2+i，

∴z====+i，

∴=﹣i，

故选：B

3．已知直线l1：mx+3y+3=0，l2：x+（m﹣2）y+1=0，则“m=3”是“l1∥l2”的（ ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【考点】2L：必要条件、充分条件与充要条件的判断．

【分析】根据直线的平行关系求出m的值，再根据充分必要条件的定义判断即可． 第7页（共24页）

【解答】解：若“l1∥l2”，

则m（m﹣2）=3，解得：m=3或m=﹣1，

而m=3时，直线重合，

故m=﹣1，

故“m=3”是“l1∥l2”的既不充分也不必要条件，

故选：D．

4．一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的表面积为（ ）

A．72 B．66 C．60 D．30

【考点】L!：由三视图求面积、体积．

【分析】由三视图判断出该几何体为一个直三棱柱，求出它的高是5，底面为直角边长分别为3和4，斜边长为5的直角三角形，求出各个面得面积和，即所求的表面积．

【解答】解：由所给三视图可知该几何体为一个直三棱柱，且底面为直角三角形，

直角边长分别为3和4，斜边长为5，三棱柱的高为5，

∴表面积为3×4+（3+4+5）×5=72，

故选A．

5．已知cos（+α）=，|α|＜，则tanα等于（ ）

A．﹣2 B．2 C．﹣ D．

【考点】GH：同角三角函数基本关系的运用． 第8页（共24页）

【分析】由已知利用诱导公式可求sinα，进而利用同角三角函数基本关系式可求cosα，tanα的值．

【解答】解：∵cos（+α）=﹣sinα=，|α|＜，

∴sinα=﹣，cosα==，

∴tanα==﹣2．

故选：A．

6．已知函数f（x）是R上的奇函数，当x＞0时，f（x）=ex+x2，则不等式f（3﹣x2）＞f（2x）的解集为（ ）

A．（﹣3，1） B．（﹣1，3） C．（﹣∞，﹣3）∪（1，+∞） D．（﹣∞，﹣，1）∪（3，+∞）

【考点】3N：奇偶性与单调性的综合．

【分析】确定函数的单调性，不等式转化为3﹣x2＞2x，即可得出结论．

【解答】解：∵当x＞0时，f（x）=ex+x2，

∴当x＞0时，函数单调递增，

∵函数f（x）是R上的奇函数，

∴函数f（x）在R上单调递增，

∵f（3﹣x2）＞f（2x），

∴3﹣x2＞2x，

∴（x+3）（x﹣1）＜0，

∴﹣3＜x＜1，

故选A．

7．十七世纪英国著名数学家、物理学家牛顿创立的求方程近似解的牛顿迭代法，相较于二分法更具优势，如图给出的是利用牛顿迭代法求方程x2=6的正的近似解的程序框图，若输入a=2，ɛ=0.02，则输出的结果为（ ）