新华东师大版九年级数学下册《26章 二次函数 26.3 实践与探索》教案_25

华师大版数学九年级下册

第26章 二次函数

§26.3 实践与探索——围成矩形面积最大问题

一、课标依据

1．通过对实际问题情境的分析确定二次函数的表达式，并体会二次函数的意义．

2．会用描点法画出二次函数的图象，能从图象上认识二次函数的性质．

3．会根据公式确定图象的顶点、开口方向和对称轴（公式不要求记忆和推导），并能解决简单的实际问题．

二、教材分析

本节是华师大版《数学》九年级下册第二十六章第三节第2课时，是学习二次函数的解析式、图像、性质后的应用．本节课核心内容是围成矩形面积的最大值问题，是二次函数应用中非常重要的一类问题，解决这类问题，往往要根据题目所提供的信息，把矩形的面积表示成关于矩形一边的二次函数，从而把实际问题转化成数学问题，归结为二次函数模型，再用二次函数的相关知识，使问题得以解决，在这一过程中，把矩形面积表示成矩形一边的二次函数是解决问题的关键，除此之外，把握己知信息，结合自变量的限制条件，数形结合，也是准确求解所必需的．

二次函数的应用要求学生能通过对实际问题的情境分析，确定二次函数的表达式，体会其意义，并能根据图象的性质解决简单的实际问题．本节在有关二次函数实际应用问题的探索和研究中，学生通过掌握求最大值这一类题，体验数学“建模”思想，学会合理解释模型，学会用建模的思想去解决其它和函数有关的应用问题．

三、学情分析

对九年级学生来说，在学习了一次函数和二次函数图象与性质以后，对函数的思想已有初步认识，对分析问题的方法已会初步模仿，能识别图象的增减性和最值，但在变量超过两个的实际问题中，还不能熟练地应用知识解决问题，本节课正是为了弥补这一不足而设计的，目的是进一步培养学生利用所学知识构建数学模型，解决实际问题的能力，这也符合新课标中知识与技能呈螺旋式上升的规律．

四、教学目标

基础知识：

用二次函数的知识解决几何图形的面积的最值问题．

基本技能：

1．能根据具体几何问题中的数量关系，列出二次函数关系式．

2．能应用二次函数的相关性质，构造二次函数模型解决实际几何问题．

基本思想：

经历用二次函数解决几何面积最值问题的过程中，体验数学建模思想和数形结合的等数学思想方法．

基本活动经验：

积累用二次函数解决几何图形面积问题的经验．

数学核心素养：

在应用二次函数解决实际问题的过程中，发展数学建模、数学运算、直观想象、逻辑推理等数学核心素养．

五、教学重点、难点

教学重点：

应用二次函数解决几何图形中有关的最值问题．

教学难点：

发现问题中的数量关系，建立二次函数的模型．

六、教学方法

教师示范、合作探究．

七、教学环境及资源准备

1．教学环境：多媒体环境、智慧课堂、手持移动媒体ipad平板．

2．资源准备：教学课件、移动软件 Explain Everything．

3．教具准备：师生各准备三角板等画图工具．

八、教学过程

1．回顾基础·固化技能

【问题1】已知二次函数24yxx．

（1）用配方法将二次函数24yxx化为2()yaxhk的形式是（ ）

A． 2(2)2yx B．2(2)4yx

C． 2(2)4yx D．2(2)4yx

（2）抛物线24yxx的顶点坐标是( )

A． (0,0) B．(2,2) C． (0,4) D．(2,4)

（3）已知1(1,)Ay、2(1,)By、3(3,)Cy都是抛物线24yxx上的点，则下列判断正确的是（ ）

A． 123yyy B．123yyy

C． 123yyy D．123yyy

（4）当14x时，二次函数24yxx的最小值是 ，最大值是 ．

当 14x时，二次函数24yxx的最小值是 ，最大值是 ．

当 34x时，二次函数24yxx的最小值是 ，最大值是 ．

简析：（1）由1a，可确定抛物线开口向下，通过把解析式化为顶点式2(2)4yx，即可找到抛物线的顶点坐标及最值；（2）一定取值范围内的二次函数的最值问题，主要通过确定抛物线的顶点坐标及两个顶点的坐标，进行综合确定，要重点关注顶点坐标是否在取值范围内．

【师生活动】学生完成问题1，并展示答案；教师展示微视频进行讲解、分析．

【设计意图】通过（1）让学生简单回顾二次函数的相关知识，实现课堂上从简单旧知向新知的过渡，降低学生的认知难度；（2）中的最值是为了提醒学生注意求解函数问题不能脱开自变量取值范围，因为任何实际问题的取值都受现实条件的制约，做完练习后及时让学生总结出了取最值的点的位置往往在顶点和两个端点之间选择，为学习新课做好知识铺垫．

2．探索方法·解决问题

【问题2】园艺工人要用总长为24米的篱笆围成一块矩形的草坪，设草坪的宽AB为x米，面积为S平方米．

（1）如图2-1，当边长AB是 米时，矩形ABCD的面积最大，最大面积是 2米．

（2）如图2-2，若矩形ABCD的其中一边靠在足够长的墙MN上，求当边长AB是多少米时，矩形ABCD的面积最大？

（3）如图2-3，若矩形ABCD的中间还隔有两道垂直于墙的篱笆，且矩形其中一边靠在最大可用长度为8米的墙MN上，求当边长AB是多少米时，围成草坪的面积最大．

简析：（1）通过列函数式关系式：(12)yxx后，把二次函数化为顶点式2(6)36yx后，容易求解，此时可以发现，其实当它为正方形时，面积是最大的；（2）矩形有一边靠墙，但没有限定墙的长度，所以自变量的取值只要保证边长大于0就可以，通过化为顶点式22(6)72yx，即可求得。（3）在限定墙长问题上，通过配方，发现顶点坐标(3,36)不在取值范围46x中，所以要通过端点结合抛物线图象的性质去确定最值。

【师生活动】教师分析题意，学生结合分析进行试解题，教师巡视发现问题，并进行题目讲解．

【设计意图】寻找了学生熟悉的生活背景，围绕同一个背景，使用一题多变，从易及难，在问题设计中从单个知识要求，到多个条件限制，能够更好地让学生理解其异同及解法的不同，从而让学生经历知识的逐渐加深的过程．第（1）题求矩形面积比较容易，从已有的知识积累，部分学生知道这个矩形必是正方形，我们只需用函数的方法加以严格求解就可以得到答案．第（2）（3）通过墙长的变化引发自变量取值范围的变化，从而引起二次函数求最值时的变化，估计大部分学生在求解时还会在顶点处找最值，导致错解，然后由学生错误去引导学生通过画函数的图象辅助观察、理解最值的实际意义，加深对知识的理解，做到数与形的完美结合，既培养了学生思维的严密性，又为今后能灵活地运用知识解决问题奠定了坚实的基础，体会到数学不能脱离生活实际．通过此题的有意训练，学生必然会对自变量取值范围的变化的意义有更加深刻的理解，这样既培养了学生思维的严密性，又为今后能灵活地运用知识解决问题奠定了坚实的基础．

3．应用方法·感知中考

【问题3】（2015年·泉州中考）某校在基地参加社会实践活动中，带队老师考问学生：基地计划新建一个矩形的生物园地，一边靠旧墙(墙足够长)，另外三边用总长69米的不锈钢栅栏围成，与墙平行的一边留一个宽为3米的出入口，如图所示，如何设计才能使园地的面积最大？下面是两位学生争议的情境：

2-2NMABCDDCBAMN2-32-1DCBA

请根据上面的信息，解决问题：

（1）设ABx米（0x），试用含x的代数式表示BC的长．

（2）请你判断谁的说法正确，为什么？

简析：（1）设ABx米（0x），易得722BCx，此处要注意应该加上门的宽度3米；（2）分别通过计算两种方式下的面积，当围成正方形时，面积为5762米；当列出函数式2(722)2(18)648Sxxx，可知当18x时，矩形面积最大为6482米．

【问题4】

（2018年·福建中考·改编）如图，在足够大的空地上有一段长为a米的旧墙MN，某人利用旧墙和木栏围成一个矩形菜园ABCD，其中ADMN．已知矩形菜园的一边靠墙，另三边一共用了100米木栏．

（1）若20a，所围成的矩形菜园的面积为450平方米求所利用旧墙AD的长；

（2）当050a时，求矩形菜园ABCD面积的最大值．

简析：（1）设ABx，则1002BCx，利用矩形的面积公式得到(1002)450xx，解方程得125,45xx，然后确定取值范围，即可得到AD的长；（2）设ADx，利用矩形面积得到211(100)(50)125022Sxxx，讨论：当50a时，根据二次函数的性质得S的最大值为1250；当050a时，则当0xa时，根据二次函数的性质得S的最大值为21502aa．

【师生活动】在学生独立思考后、经历同桌合作探索，分析解题思路，尝试用解决问题，书写解题过程。教师引导学生在解题过程中，要注重分析，检验结果的合理性．

【设计意图】以近年来本地区的中考真题为背景，让学生在平常的学习中就能对中考试题的题型、难度有所了解，通过对中考题的解决，能更有针对性的发现学习的重点，更好进行自我定位．问题3、问题4基本涵盖了二次函数中求面积最大值的基础类型，能否顺利进行解题，可以作为学生对知识掌握的试金石，进一步掌握数形结合的思想，掌握在一定取值范围下求二次函数最值的方法．

4．总结方法·培育素养

（1）数学技能与能力——结合图象求二次函数的最值问题

☆ 先分析问题中数量关系，列出函数关系式，确定自变量的取值范围．

☆ 研究所得的函数，并进行配方变形，或利用公式求它的最大值或最小值．

☆ 检验x的取值是否在自变量的取值范围内，并求相关的值．

☆ 解决提出的实际问题．

★ 实际问题的最值求解与函数图象的顶点、端点都有关系．

★ 特别要注意最值的取得不一定在函数的顶点处．

（2）数学思想与方法——数形结合思想、分类讨论法、类比法、配方法．

（3）数学价值与素养——数学建模、数学运算、直观想象、逻辑推理．

【师生活动】师生互相交流运用二次函数求围成矩形面积最大的解题体会，深入分析本节课所隐含的数学内在本质及数学核心素养．

【设计意图】鼓励学生结合自己本节课的实践体验，谈自己的收获与感想，并与大家交流。锻炼学生组织语言及表达能力，经历与同伴分享成果的快乐过程．

5．巩固方法·提高能力

【A组】必做题——夯实基础，巩固成果

（1）某中学课外活动小组准备围建一个矩形生物苗圃园,其中一边靠墙,另外三边用长为30米的篱笆围成．已知墙长为18米（如图所示）,设这个苗圃园垂直于墙的一边的长为x米．

①若平行于墙的一边长为y米,直接写出y与x的函数关系式及其自变量x的取值范围；

②垂直于墙的一边的长为多少米时,这个苗圃园的面积最大,并求出这个最大值；

③当这个苗圃园的面积不小于882米时,试结合函数图象,直接写出x的取值范围．