转化与化归思想在中学数学中的应用

中学数学化归与转化思想论文

摘 要：在高考中，转化与化归思想占有相当重要的地位，掌握好化归与转化思想的两大特点，学会在解题时注意依据问题本身所提供的信息，利用动态思维，去寻求有利于问题解决的化归与转化的途径和方法，对学好数学是很有帮助的。

世界数学大师波利亚强调：“不断的变换你的问题”“我们必须一再变化它，重新叙述它，变换它，直到最后成功地找到某些有用的东西为止”，他认为解题的过程就是“转化”的过程。因此，“转化”是解数学题的重要思想方法之一。

化归与转化的思想确是指在解决问题时，采用某种手段使之转化，进而使问题得到解决的一种解题策略，是数学学科与其它学科相比，一个特有的数学思想方法，化归与转化思想的核心是把生题转化为熟题。事实上，解题的过程就是一个缩小已知与求解的差异的过程，是求解系统趋近于目标系统的过程，是未知向熟知转化的过程，因此每解一道题，无论是难题还是易题，都离不开化归。下面介绍一些常用的转化方法，及化归与转化思想解题的应用。

一、正与反的转化

有些数学问题，如果直接从正面入手求解难度较大，致使思想受阻，我们可以从反面着手去解决。如函数与反函数的有关问题，对立事件的概率、间接法求解排列组合问题、举不胜举。

由于转化具有多向性、层次性和重复性的特点，为了实施有效的转化，既可以变更问题的条件，也可以变更问题的结论；既可以变换问题的内部结构，又可以变换问题的外部形式，这就是多向性。转化原则既可应用于沟通数学与各分支学科的联系，从宏观上实现学科间的转换，又能调动各种方法与技术，从微观上解决多种具体问题，这是转化的层次性。而解决问题可以多次的使用转化，使问题逐次达到规范化，这就是转化原则应用的重复性。

在高考中，转化与化归思想占有相当重要的地位，掌握好化归与转化思想的两大特点，学会在解题时注意依据问题本身所提供的信息，利用动态思维，去寻求有利于问题解决的化归与转化的途径和方法，对学好数学是很有帮助的。

高中数学中的转化与化归思想

作者：杜胜英

来源：《金色年华·下半月》2011年第05期

某些数学问题，如果直接求解较为困难，可通过观察、分析、类比、联想等思维过程，运用恰当的数学方法进行变换，将问题转化为一个新问题（相对来说较为熟悉的问题），通过新问题的求解，达到解决原问题的目的。这一思想方法我们称之为“转化与化归的思想方法”。转化与化归思想是中学数学最基本的思想方法，堪称数学思想的精髓，数学解题实质就是转化问题，每一个数学问题无不是在不断的转化中获得解决的。

应用转化与化归思想解题的原则应是由难向易、由生向熟、由繁向简，尽量是等价转化。转化与化归思想有以下几种常见形式：陌生问题向熟悉问题的转化，数与形的转化，正面向反面的转化，空间向平面的转化，特殊与一般的转化，多元向一元的转化，命题之间的转化，函数与方程的转化等。

一、陌生向熟悉的转化

例1．求函数y=sinx+cosx+sinxcosx 的最大及最小值。

点评：本题从研究结论的数量特征入手，得一般性结论f(a)+f(1-a)=1，体现了从特殊到一般的解题思路。

六、命题之间的转化

例9:四棱锥的8条棱代表8种不同的化工产品，有公共点的两条棱代表的化工产品放在同一仓库是危险的，没有公共顶点的两条棱多代表的化工产品放在同一仓库是安全的。现打算用编号为①、②、③、④的4个仓库存放这8种化工产品,那么安全存放的不同方法种数为（B）

（A）96 （B）48（C）24 （D）0

点评：结合四棱锥的图形，将实际问题转化为去找不共点的棱的组合（4对异面直线组合的方法数）是解决此题的关键。

以上简单介绍了转化与化归思想的几种常见形式。由于其多样性及其比较灵活，我们要恰当合理地设计好转化的途径和方法，避免直接拿来，另一方面转化分等价转化和非等价转化两种，为了使转化具有等价性，在不等价转化时，应附加限制条件，以保证其等价性，或对所得结论进行必要的验证。

2013-02教学实践

在初中教育阶段最基本的数学思想和方法是什么钥我们认为

是化归思想和方法遥教师应着力使学生形成化归的意识袁培养在化

归思想下的问题解决策略遥

一尧化归思想的内涵与实质袁原则与方法

所谓野化归冶就是将所要解决的问题转化归结为另一个较易问

题或已经解决的问题遥而它较之转化又具有较强的目的性尧方向性

的特点遥它是将一个问题变形袁使其归结为另一已能解决的问题袁

从而求得原问题的解答遥问题解决正是通过化难为易尧化繁为简尧

化生为熟尧化隐为显袁也就是化未知为已知的化归来达到解决问题

的目的遥数学问题的解决袁都可归结为化归思想方法的应用遥不仅

如此袁它还是一般的科学思维方法遥初中教育阶段学生形成了化归

意识袁就为后继学习打下了良好的思维方法基础遥

数学教学活动必须建立在学生的认知发展水平和已有的知识

经验基础之上遥根据学生的认知规律和年龄特点及数学学科自身

的特点袁无论从数学课程内容的展开袁还是数学问题的编拟与构造

都为化归思想方法的培养提供了丰富的材料遥打开数学教科书袁任

意一节具体的数学内容袁都是在前而内容的基础上来定义新概念尧

扩展延伸旧知识的袁即是由熟引生尧由易到难尧由简至繁袁从已知

到未知的过程袁而学生新知识的学习无不化归到已有的知识基

础上获得遥

化归的原则院渊1冤熟悉原则袁如果能将有待解决的陌生问题化

归为一个比较熟悉的问题袁就可以充分调动已知的知识和经验用

于解决新问题袁从而有利于新问题的解决遥渊2冤简单原则院若能将一

个复杂的问题化归为比较简单的问题袁则复杂问题会更容易得到解

决袁通过分类尧割补尧特殊化尧换元等具体方法可使问题变得更简

单袁中学阶段常见的化归方法有院待定系数法尧配方法尧换元法尧恒

等变形尧因式分解尧添辅助元素以及以动为静尧由抽象到具体等遥

例如袁在代数中院减法运算可转化为加法运算尧除法运算可转

化为乘法运算尧高次方程可转化为低次方程尧多元方程可转化为一

元方程尧分式方程可转化为整式方程尧无理方程可转化为有理方程

等遥在几何中院四边形问题转化为三角形问题尧多边形问题转化为

第３卷（２００９年１　第１９期第１２５—１２６页　中学课程辅导・教学ｒ，４ｔ－究　Ｓｅｃｏｎｄａｒｙ　Ｓｃｈｏｏｌ　Ｃｕｒｒｉｃｕｌｕｍ　Ｃｏａｃｈｉｎｇ・Ｔｅａｃｈｉｎｇ　Ｒｅｓｅａｒｃｈ　Ｖｏｌ　３．（２００９）　Ｎｏ．１９　Ｐ１２５－Ｐ１２６　数学解题中转换思想的应用　周根旺　摘要：转化与化归思想是解决问题的一种基本思想方法。本文对中学数学中常用的转化与化归基本形式　进行分析，得出一些在中学数学中常用的化归１方法。　关键词：化归；方法；转化思想　中图分类号：Ｇ６３３．６　文献标识码：Ａ　文章编号：１９９２—７７１１（２００９）１９－０１２５－０２　转化与化归就是通过问题的转化来解决问题的一　种方法。因此，转化与化归思想应遵循三个基本原则：熟　悉化原则，即将陌生的问题转化为熟悉的问题；简单化　原则，即将复杂的问题转化为简单的问题；直观化原则，　即将抽象的问题转化为具体的问题。化归是中学数学中　广泛采用的最有思维特色的方法，已成为多种数学方法　的指导思想和原则，在数学解题中有十分广泛的应用。下　面就对中学数学中常用的化归（转化）方法作一浅析：　一、一般与特殊的转化　在运用化归原则时，视问题所给的条件。既可实现　由一般向特殊的转化，通过问题特殊形式的求解而求得　一般问题的解．也可将待解问题作为特殊问题实现由特　殊向一般的转化，通过解决一般的问题来求得所给问题　的解。　例１：△ＡＢＣ中，曰、Ｃ为定点，Ａ为动点，　Ａ，　Ｂ都　不是钝角，高ＡＤ＝ＢＣ，Ｍ为ＢＣ的中点，　为垂点，求证：　ＭＨ＋ＤＨ为定值。　图１　分析：首先寻求定值为多少，可将问题化归为特殊　情形：　ＡＡＢＣ为等腰三角形，ＡＢ＝ＡＣ，此时，Ｄ、Ｍ重合，则　ＭＨ＋ＤＨ＝２ＤＨｏ　联系已知条件，有△ＢＤＨｖ，ａＡＤＣ．进一步推得ＤＨ＝　，故ＭＨ＋ＤＨ＝ＣＤ：　（定值）。　通过上述向特殊化的转化，除寻求到定值外，还启　发我们找到证题的关键——△肋　△　ＤＣ。从而为一　般情形下的证明创造了条件。　证明：由ａＢＤＨ　ａＡＤＣ，有ＢＤ・ＣＤ＝ＡＤ・ＤＨ。　作者简介：周根旺，任教于甘肃省兰州市兰炼第三中学。　’　ＢＭ＝ＭＣ＝－￣－ＢＣ．ＡＤ＝ＢＣ　Ｚ　．‘．（ＭＣ＋ＭＤ）（ＭＣ－ＭＤ）＝２ＭＣ・ＤＨ，　ＭＣｌ—Ｍ　Ｉ　：２ＭＣ・ＤＨ　ＭＤＺ＝＿ＭＣ２－２ＭＣ・ＤＨ．　又‘．‘Ｍ　＋ＭＤｌ乙Ｍ壬｜２．　．Ｍ　－２Ｍ　・ＤＨ＋Ｄ｝　Ｍ　．　。’．（ＭＣ－ＤＨ）２＝删　，　‘　ＭＣ＞ＤＨ．　１　．ＭＣ—ＤＨ：ＭＨ。即ＭＨ＋ＤＨ：ＭＣ：４－ＢＣ，　经常采用的“赋值解法”，也可视为特殊化方法的一种。　二、整体与局部的转化　为实现整体与局部的转化。常采用分解与组合的方　法。当一个较复杂的问题可以分解为几个较简单的子问　题时，可以采取分解的方式来实现化归，然后再将子问　题的解组合成原问题的解。有时，也可通过组合，把需要　解决的问题与其它问题关联在一起作综合考查，通过更　广泛的问题的求解来求得该问题的解。　在面积＼体积计算中，我们常将不熟悉、不规范的图　形分割成熟悉的、规范的图形，如弓形面积可以化归为　扇形与三角形的面积之差，圆台的面积体积可以化归为　两个圆锥体积之差等。　例２：如图２，在三棱锥Ｐ＿　ＢＣ中，ＰＡ上ＢＣ且ＰＡ＝　ＢＣ＝ｌ，ＰＡ、ＢＣ的公垂线段肋＝　。求证：　日ｃ＝÷　。　Ｃ　Ｂ　图２　分析：直接求出　嬲比较困难，注意到　上ＢＣ，　ＥＤ￣ＢＣ，则ＢＣ￣平面ＡＰＤ，可将原棱锥分割为Ｂ－ＡＰＤ，　Ｃ－ＡＰＤ，问题得证。　国Ｉ　２００９　．１９