复变函数试题库

《复变函数论》试题库

梅一A111

《复变函数》考试试题（一）

1、 1||00)(zznzzdz__________.（n为自然数）

2.zz22cossin _________.

3.函数zsin的周期为___________.

4.设11)(2zzf，则)(zf的孤立奇点有__________.

0nnnz的收敛半径为__________.

6.若函数f(z)在整个平面上处处解析，则称它是__________.

nnzlim，则nzzznn...lim21______________.

8.)0,(Renzzes________，其中n为自然数.

9. zzsin的孤立奇点为________ . 0z是)(zf的极点，则___)(lim0zfzz.

题（40分）：

1. 设)2)(1(1)(zzzf，求)(zf在}1||0:{zzD内的罗朗展式.

2. .cos11||zdzz

3. 设Cdzzf173)(2，其中}3|:|{zzC，试求).1('if

4. 求复数11zzw的实部与虚部.

四. 证明题.(20分)

1. 函数)(zf在区域D内解析. 证明：如果|)(|zf在D内为常数，那么它在D内为常数.

2. 试证: ()(1)fzzz在割去线段0Re1z的z平面内能分出两个单值解析分支, 并求出支割线0Re1z上岸取正值的那支在1z的值. 《复变函数》考试试题（二）

二. 填空题. (20分)

1. 设iz，则____,arg__,||zzz

Ciyxzyxixyxzf),sin(1()2()(222，则)(lim1zfiz________.

3. 1||00)(zznzzdz_________.（n为自然数）

4. 幂级数0nnnz的收敛半径为__________ .

5. 若z0是f(z)的m阶零点且m>0，则z0是)('zf的_____零点.

6. 函数ez的周期为__________.

7. 方程083235zzz在单位圆内的零点个数为________.

8. 设211)(zzf，则)(zf的孤立奇点有_________.

9. 函数||)(zzf的不解析点之集为________.

10. ____)1,1(Res4zz. 三. 计算题. (40分)

1. 求函数)2sin(3z的幂级数展开式.

2. 在复平面上取上半虚轴作割线. 试在所得的区域内取定函数z在正实轴取正实值的一个解析分支，并求它在上半虚轴左沿的点及右沿的点iz处的值.

3. 计算积分：iizzId||，积分路径为（1）单位圆（1||z）的右半圆.

4. 求 dzzzz22)2(sin.

四. 证明题. (20分)

1. 设函数f(z)在区域D内解析，试证：f(z)在D内为常数的充要条件是)(zf在D内解析.

2. 试用儒歇定理证明代数基本定理.

《复变函数》考试试题（三）

二. 填空题. (20分)

1. 设11)(2zzf，则f(z)的定义域为___________.

2. 函数ez的周期为_________. 3. 若nnninnz)11(12，则nznlim__________.

4. zz22cossin___________.

5. 1||00)(zznzzdz_________.（n为自然数）

6. 幂级数0nnnx的收敛半径为__________.

7. 设11)(2zzf，则f(z)的孤立奇点有__________.

8. 设1ze，则___z.

9. 若0z是)(zf的极点，则___)(lim0zfzz.

10. ____)0,(Resnzze.

三. 计算题. (40分)

1. 将函数12()zfzze在圆环域0z内展为Laurent级数. 2. 试求幂级数nnnznn!的收敛半径.

3. 算下列积分：Czzzze)9(d22，其中C是1||z.

4. 求0282269zzzz在|z|<1内根的个数.

四. 证明题. (20分)

1. 函数)(zf在区域D内解析. 证明：如果|)(|zf在D内为常数，那么它在D内为常数.

2. 设)(zf是一整函数，并且假定存在着一个正整数n，以及两个正数R及M，使得当Rz||时

nzMzf|||)(|，

证明)(zf是一个至多n次的多项式或一常数。

《复变函数》考试试题（四） 二. 填空题. (20分)

1. 设iz11，则___Im__,Rezz.

2. 若nnzlim，则nzzznn...lim21______________.

3. 函数ez的周期为__________.

4. 函数211)(zzf的幂级数展开式为__________

5. 若函数f(z)在复平面上处处解析，则称它是___________.

6. 若函数f(z)在区域D内除去有限个极点之外处处解析，则称它是D内的_____________.

7. 设1|:|zC，则___)1(Cdzz.

8. zzsin的孤立奇点为________.

9. 若0z是)(zf的极点，则___)(lim0zfzz.

10. )0,(Resnzze_____________.

三. 计算题. (40分)

1. 解方程013z.

2. 设1)(2zezfz，求).),((Rezfs

3. .))(9(2||2zdzizzz .

4. 函数()fzzez111有哪些奇点？各属何类型（若是极点，指明它的阶数）.

四. 证明题. (20分)

1. 证明：若函数)(zf在上半平面解析，则函数)(zf在下半平面解析.

2. 证明0364zz方程在2||1z内仅有3个根.

《复变函数》考试试题（五）

二. 填空题.（20分）

1. 设iz31，则____,arg__,||zzz. 2. 当___z时，ze为实数.

3. 设1ze，则___z.

4. ze的周期为___.

5. 设1|:|zC，则___)1(Cdzz.

6. ____)0,1(Reszez.

7. 若函数f(z)在区域D内除去有限个极点之外处处解析，则称它是D内的_____________。

8. 函数211)(zzf的幂级数展开式为_________.

9. zzsin的孤立奇点为________.

10. 设C是以为a心，r为半径的圆周，则___)(1Cndzaz.（n为自然数）

三. 计算题. (40分) 1. 求复数11zz的实部与虚部.

2. 计算积分：

zzILdRe，

在这里L表示连接原点到1i的直线段.

3. 求积分：I202cos21aad，其中0

4. 应用儒歇定理求方程)(zz，在|z|<1内根的个数，在这里)(z在1||z上解析，并且1|)(|z.

四. 证明题. (20分)

1. 证明函数2||)(zzf除去在0z外，处处不可微.

2. 设)(zf是一整函数，并且假定存在着一个正整数n，以及两个数R及M，使得当Rz||时

nzMzf|||)(|， 证明:)(zf是一个至多n次的多项式或一常数.

《复变函数》考试试题（六）

1.

一、填空题（20分）

1. 若21(1)1nnnzinn，则limnz___________.

2. 设21()1fzz，则()fz的定义域为____________________________.

3. 函数sinz的周期为_______________________.

4. 22sincoszz_______________________.

5. 幂级数0nnnz的收敛半径为________________.

6. 若0z是()fz的m阶零点且1m，则0z是()fz的____________零点.

7. 若函数()fz在整个复平面处处解析，则称它是______________.

8. 函数()fzz的不解析点之集为__________.

9. 方程532380zzz在单位圆内的零点个数为___________. 10. 公式cossinixexix称为_____________________.

二、计算题（30分）

1、2lim6nni.

2、设2371()Cfzdz，其中:3Czz，试求(1)fi.

3、设2()1zefzz，求Re((),)sfzi.

4、求函数36sinzz在0z内的罗朗展式.

5、求复数11zwz的实部与虚部.

6、求3ie的值.

三、证明题（20分）

1、 方程7639610zzz在单位圆内的根的个数为6.

2、 若函数()(,)(,)fzuxyivxy在区域D内解析，(,)vxy等于常数，则()fz在D恒等于常数. 3、 若0z是()fz的m阶零点，则0z是1()fz的m阶极点.

６．计算下列积分．（８分）

(1)

22sin()2zzdzz； (2) 2242(3)zzdzzz．

７．计算积分2053cosd．（６分）

８．求下列幂级数的收敛半径．（６分）

(1)

1(1)nnniz； (2) 21(!)nnnnzn．

９．设3232()()fzmynxyixlxy为复平面上的解析函数，试确定l，m，n的值．（６分）

三、证明题．

１．设函数()fz在区域D内解析，()fz在区域D内也解析，证明()fz必为常数．（５分）

２．试证明0azazb的轨迹是一直线，其中a为复常数，b为实常数．（５分） 试卷一至十四参考答案

《复变函数》考试试题（一）参考答案

二．填空题

1. 2101inn ； 2. 1； 3. 2k，()kz； 4. zi； 5.

1

6. 整函数； 7. ； 8. 1(1)!n； 9. 0；

10. .

三．计算题.

1. 解 因为01,z 所以01z

111()(1)(2)12(1)2fzzzzz001()22nnnnzz.

2. 解 因为

22212Re()limlim1cossinzzzzsfzzz,