2019-2020学年人教A版数学选修4-4课件：第2讲 1 第1课时 参数方程的概念 圆的参数方程

高中数学 [课时作业]

[A组 基础巩固]

1．曲线C： x＝cos θ－1，y＝sin θ＋1(θ为参数)的普通方程为( )

A．(x－1)2＋(y＋1)2＝1

B．(x＋1)2＋(y＋1)2＝1

C．(x＋1)2＋(y－1)2＝1

D．(x－1)2＋(y－1)2＝1

解析：由已知条件可得 cos θ＝x＋1，sin θ＝y－1，两式平方再相加，可得(x＋1)2＋(y－1)2＝1，故选C.

答案：C

2．参数方程 x＝3cos φ＋4sin φ，y＝4cos φ－3sin φ表示的图形是( )

A．直线 B．点

C．圆 D．椭圆

解析：将参数方程化为普通方程为x2＋y2＝25，表示的图形是以原点为圆心，以5为半径的圆．

答案：C

3．若直线3x＋4y＋m＝0与圆 x＝1＋cos θ，y＝－2＋sin θ(θ为参数)相切，则实数m的值是( )

A．0 B．10

C．0或10 D．无解

解析：由题意，知圆心(1，－2)，半径r＝1.由直线与圆相切，可知圆心到直线的距离等于半径，所以d＝|m－5|5＝1，解得m＝0或m＝10.

答案：C

4．P (x，y)是曲线 x＝2＋cos α，y＝sin α(α为参数)上任意一点，则(x－5)2＋(y＋4)2的最大值为( )

A．36 B．6

C．26 D．25

解析：设P(2＋cos α，sin α)，代入得：

(2＋cos α－5)2＋(sin α＋4)2

高中数学 ＝25＋sin2α＋cos2α－6cos α＋8sin α

＝26＋10sin(α－φ)．∴最大值为36.

答案：A

5．若直线l：y＝kx与曲线C： x＝2＋cos θ，y＝sin θ(θ为参数)有唯一的公共点，则斜率k＝( )

A.33 B．－33

C．±33 D.3

解析：曲线C： x＝2＋cos θ，y＝sin θ(θ为参数)的普通方程为(x－2)2＋y2＝1，所以曲线C是一个圆心为(2,0)、半径为1的圆．因为圆C与直线l有唯一的公共点，即圆C与直线l相切，则圆心(2,0)到直线l的距离d＝|2k－0|k2＋－12＝1，解得k＝±33.

二 圆锥曲线的参数方程

1．理解椭圆的参数方程及其应用．(重点)

2．了解双曲线、抛物线的参数方程．

3．能够利用圆锥曲线的参数方程解决最值、有关点的轨迹问题．(难点、易错点)

[基础·初探]

教材整理1 椭圆的参数方程

阅读教材P27～P29“思考”及以上部分，完成下列问题．

普通方程 参数方程

x2a2＋y2b2＝1(a>b>0) 

x＝acos φy＝bsin φ(φ为参数)

y2a2＋x2b2＝1(a>b>0)  x＝bcos φy＝asin φ(φ为参数)

椭圆 x＝4cos φy＝5sin φ(φ为参数)的离心率为( )

A.45 B.35

C.34 D.15

【解析】 由椭圆方程知a＝5，b＝4，∴c2＝9，c＝3，e＝35.

【答案】 B

教材整理2 双曲线的参数方程

阅读教材P29～P32，完成下列问题.

普通方程 参数方程 x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)  x＝asec φy＝btan φ(φ为参数)

下列双曲线中，与双曲线 x＝3sec θ，y＝tan θ(θ为参数)的离心率和渐近线都相同的是( )

A.y23－x29＝1 B.y23－x29＝－1

C.y23－x2＝1 D.y23－x2＝－1

【解析】 由x＝3sec θ得，

x2＝3cos2θ＝3sin2θ＋cos2θcos2θ＝3tan2θ＋3，

又∵y＝tan θ，

∴x2＝3y2＋3，即x23－y2＝1.

经验证可知，选项B合适．

【答案】 B

教材整理3 抛物线的参数方程

阅读教材P33～P34“习题”以上部分，完成下列问题．

1．抛物线y2＝2px的参数方程是 x＝2pt2y＝2pt(t为参数)．

2．参数t表示抛物线上除顶点外的任意一点与原点连线的斜率的倒数．

若点P(3，m)在以点F为焦点的抛物线 x＝4t2y＝4t(t为参数)上，则|PF|＝________.

四 渐开线与摆线

1．渐开线的产生过程

把一条没有弹性的细绳绕在一个圆盘上，在绳的外端系上一支铅笔，将绳子拉紧，保持绳子与圆相切而逐渐展开，那么铅笔画出的曲线就是圆的渐开线，相应的定圆叫做基圆．

2．摆线的概念及产生过程

一个圆沿着一条定直线无滑动地滚动时，圆周上一个定点的轨迹，叫做平摆线，简称摆线，又叫旋轮线．

3．圆的渐开线和摆线的参数方程

(1)圆的渐开线方程： x＝rcos φ＋φsin φ，y＝rsin φ－φcos φ(φ为参数)．

(2)摆线的参数方程： x＝rφ－sin φ，y＝r1－cos φ(φ为参数)．

求圆的渐开线的参数方程

求半径为4的圆的渐开线的参数方程．

关键根据渐开线的生成过程，归结到向量知识和三角的有关知识建立等式关系．

以圆心为原点O，绳端点的初始位置为M0，向量OM0―→的方向为x轴正方向，建立坐标系．设渐开线上的任意点M(x，y)，绳拉直时和圆的切点为A，故OA⊥AM.按渐开线定义，弧AM0的长和线段AM的长相等，记OA―→和x轴正向所夹的角为θ(以弧度为单位)，则|AM|＝AM0＝4θ.

作AB垂直于x轴，过M点作AB的垂线，由三角函数和向量知识，得OA―→＝(4cos θ，4sin θ)．

由几何知识知∠MAB＝θ，AM―→＝(4θsin θ，－4θcos θ)，

得OM―→＝OA―→＋AM―→ ＝(4cos θ＋4θsin θ，4sin θ－4θcos θ)

＝(4(cos θ＋θsin θ)，4(sin θ－θcos θ))．

又OM―→＝(x，y)，因此有 x＝4cos θ＋θsin θ，y＝4sin θ－θcos θ(θ是参数)．

这就是所求圆的渐开线的参数方程．

用向量方法建立运动轨迹曲线的参数方程的过程和步骤

(1)建立合适的坐标系，设轨迹曲线上的动点为M(x，y)．

word 1 / 10 第2课时 双曲线、抛物线的参数方程

[核心必知]

1．双曲线的参数方程

(1)中心在原点，焦点在x轴上的双曲线x2a2－y2b2＝1的参数方程是x＝asecφ，y＝btan φ，规定参数φ的取值X围为φ∈[0，2π)且φ≠π2，φ≠3π2．

(2)中心在原点，焦点在y轴上的双曲线y2a2－x2b2＝1的参数方程是x＝btan φ，y＝asecφ．

2．抛物线的参数方程

(1)抛物线y2＝2px的参数方程为x＝2pt2，y＝2pt，t∈R．

(2)参数t的几何意义是抛物线上除顶点外的任意一点与原点连线的斜率的倒数．

[问题思考]

1．在双曲线的参数方程中，φ的几何意义是什么？

提示：参数φ是点M所对应的圆的半径OA的旋转角(称为点M的离心角)，而不是OM的旋转角．

2．如何由双曲线的参数方程判断焦点的位置？

提示：如果x对应的参数形式是asecφ，那么焦点在x轴上；

如果y对应的参数形式是asecφ，那么焦点在y轴上． word

2 / 10 3．假设抛物线的参数方程表示为x＝2ptan2α，y＝2ptan α.那么参数α的几何意义是什么？

提示：参数α表示抛物线上除顶点外的任意一点M，以射线OM为终边的角．

在双曲线x2－y2＝1上求一点P，使P到直线y＝x的距离为2.

[精讲详析] 此题考查双曲线的参数方程的应用，解答此题需要先求出双曲线的参数方程，设出P点的坐标，建立方程求解．

设P的坐标为(secφ，tan φ)，由P到直线x－y＝0的距离为2得|secφ－tan φ|2＝2

得|1cos φ－sin φcos φ|＝2，|1－sin φ|＝2|cos φ|

平方得1－2sin φ＋sin 2φ＝4(1－sin 2φ)，

即5sin 2φ－2sin φ－3＝0.

解得sin φ＝1或sin φ＝－35.

sin φ＝1时，cos φ＝0(舍去)．