2.1.2.圆的参数方程 课件(人教A选修4-4)

曲线的参数方程

教学目标

1．通过圆及弹道曲线的参数方程的建立，使学生理解参数方程的概念，初步掌握求曲线的参数方程的思路．

2．通过弹道曲线的参数方程的建立及选取不同参数建立圆的参数方程，培养学生探索发现能力以及解决实际问题的能力．

3．从弹道曲线的方程的建立,对学生进行数学的返璞归真教育,使学生体会数学来源于实践的真谛,帮助学生树立空间和时间是运动物体的形式这一辩证唯物主义观点．

教学重点与难点

曲线参数方程的探求及其有关概念是本节课的重点;难点是弹道曲线参数方程的建立．

教学过程

师:满足什么条件时,一个方程才能称作曲线的方程,而这条曲线才能够称作方程的曲线?

生:1.必须同时满足两个条件：（１）曲线上任一点的坐标都是这个方程的解；（２）同时以这个方程的第一组解作为坐标的点都在曲线上．那么，这个方程就称作曲线的方程，而这条曲线就称作这个方程的曲线．

师：请写出圆心在原点，半径为r的圆Ｏ的方程，并说明求解方法．

(师板书——⊙O:)

师：求圆的方程事实上是探求圆上任一点Ｍ（x,y）的横、纵坐标之间的关系式.能用别的方法来探x、y之间的关系吗？

生：……

师：（诱导一下）不用刚才的方法给我们直接求x、y的关系带来了困难，能否考虑用间接的方法来求？即在x、y之间是否能建立一座桥梁，使之联系起来？

（计算机演示动画，如图３－１）

师：驱使Ｍ运动的因素是什么？

生：旋转角θ.

师：当我们把x轴作为θ角始边，并使ＯＭ绕Ｏ点逆时针旋转，请考虑θ在什么范围内取值就可以形成整个圆了？

生：

师：至此x、y之间的关系已通过θ联系起来了，谁能具体地说说它们之间的关系？

生3： （c∈[0,2π],θ为变量，r为常数）

（生３叙述，师板书）

师：①式是⊙Ｏ的方程吗？

生４：①式是⊙Ｏ的方程.

师：请说明理由.

生４：（生４叙述，师板书）（１）任取⊙Ｏ上一点，总存在 ，由三角函数定义知

，显然满足方程①；

（２）任取,

2.1.2圆的参数方程班级： 姓名： 小组：

学习目标 理解圆的参数方程，能选取适当的参数建立参数方程，通过观察、探索、发现的创造性过程，培养创新意识

学习重点

难点 重点：能选取适当的参数，求圆的参数方程

难点：能进行圆的一般方程和圆的参数方程的互化。

学法指导 通过课前自主预习，启发诱导发现学习。

课前预习 1.参数方程的定义：一般地，在取定的直角坐标系中，如果曲线上任意一点P的坐标x,y都是某个变数t的函数： 并且对于t的每一个允许值，由方程组所确定的点M（x,y）都在这条曲线上，那么方程组被叫做这条曲线的参数方程，联系x,y之间关系的变数t叫做参变量，简称参数。

2.圆的标准方程为 ，圆心为 ，圆的半径为 。

圆的一般方程为 ，圆心为 ，圆的半径为 。

3.圆x2+y2=r2的参数方程： x = ；y= （0≤θ＜2π）

预习评价 （学生独立完成，教师通过批改了解掌握情况）

1.已知圆的参数方程2sin512cos52yx，将它化为普通方程.

2.已知圆的标准方程为422yx，则其参数方程为？

课堂学习研讨、合作交流（备注：重、难点的探究问题）

教学过程：

一、探究新知

（一）圆的参数方程探求

如图：设圆O 的半径是r，点M从初始位置M0（时的位置）出发.

结论：（1）当圆心为（0,0）时，半径为r，则圆的参数方程为：

sincosryrx （0≤θ＜2π）

(2)当圆心为（a，b）时，半径为r，则圆的参数方程为：

- 1 -

2．1.2 圆的参数方程及参数方程与普通方程的互化

►知识梳理

1.圆的参数方程．

点P的横坐标x、纵坐标y都是t的函数：x＝rcos t，y＝rsin t(t为参数)．

我们把这个方程叫作以圆心为原点，半径为r的圆的参数方程．

圆的圆心为O1(a，b)，半径为r的圆的参数方程为：

x＝a＋rcos t，y＝b＋rsin t(t为参数)．

►预习思考

1．圆x2＋y2＝16的参数方程为：____________．

2．圆(x－6)2＋y2＝4的参数方程为：______________．,

一层练习

1．圆(x－1)2＋y2＝4上的点可以表示为( )

A．(－1＋cos θ，sin θ) B．(1＋sin θ，cos θ)

C．(－1＋2cos θ，2sin θ) D．(1＋2cos θ，2sin θ)

2．P(x，y)是曲线x＝－2＋cos θ，y＝sin θ(0≤θ＜π，θ是参数)上的动点，则yx的取值范围是( )

A.－33，0 B.－33，33 C.0，33 D.－∞，－33 - 2 -

3．曲线C：x＝cos θ，y＝－1＋sin θ(θ为参数)的普通方程为________．如果曲线C与直线x＋y＋a＝0有公共点，那么a的取值范围是________．

4．直线x＝tcos θ，y＝tsin θ(t为参数，0＜θ＜π)与圆x＝4＋2cos α，y＝2sin α

(α为参数)相切，则θ＝________．

5．指出下列参数方程表示什么曲线：

(1)x＝3cos θ，y＝3sin θθ为参数，0＜θ＜π2；

(2)x＝2cos t，y＝2sin t(t为参数，π≤t≤2π)；

(3)x＝3＋15cos θ，y＝2＋15sin θ(θ为参数，0≤θ＜2π)．

课题：圆锥曲线的参数方程

一、教学目标：

知识与技能：了解圆锥曲线的参数方程及参数的意义

过程与方法：能选取适当的参数，求简单曲线的参数方程

情感、态度与价值观：通过观察、探索、发现的创造性过程，培养创新意识。

二、重难点：教学重点：圆锥曲线参数方程的定义及方法

教学难点：选择适当的参数写出曲线的参数方程.

三、教学方法：启发、诱导发现教学.

四、教学过程：

（一）、复习引入：

1．写出圆方程的标准式和对应的参数方程。

(1)圆222ryx参数方程sincosryrx （为参数）

（2）圆22020)\()(ryyxx参数方程为：sincos00ryyrxx （为参数）

2．写出椭圆、双曲线和抛物线的标准方程。

3．能模仿圆参数方程的推导，写出圆锥曲线的参数方程吗？

（二）、讲解新课：

1.椭圆的参数方程推导：椭圆12222byax参数方程 sincosbyax （为参数）,参数的几何意义是以a为半径所作圆上一点和椭圆中心的连线与X轴正半轴的夹角。

2.双曲线的参数方程的推导：双曲线12222byax参数方程 tansecbyax （为参数）

参数几何意义为以a为半径所作圆上一点和椭圆中心的连线与X轴正半轴的夹角。

3.抛物线的参数方程：抛物线Pxy22参数方程PtyPtx222 （t为参数）,t为以抛物线上一点（X,Y）与其顶点连线斜率的倒数。

（1）、关于参数几点说明：

A.参数方程中参数可以是有物理意义，几何意义，也可以没有明显意义。

B.同一曲线选取的参数不同，曲线的参数方程形式也不一样

C.在实际问题中要确定参数的取值范围

(2)、参数方程的意义：

参数方程是曲线点的位置的另一种表示形式，它借助于中间变量把曲线上的动点的两个坐标间接地联系起来，参数方程与变通方程同等地描述，了解曲线，参数方程实际上是一个方程组，其中x，y分别为曲线上点M的横坐标和纵坐标。