当前位置：文档之家 › 2016年全国初中数学联赛试题

2016年全国初中数学联赛试题

  • 格式：pdf
  • 大小：636.92 KB
  • 文档页数：13

2016年全国初中数学联合竞赛试题

第一试

一、选择题(本题满分42分，每小题7分)

1.

用

x表示不超过x

的最大整数，把

xx−称为x的小数部分．已知123t=−，a是t的小数部分，b是t−的小数部分，则11

2ba−= ( )

A．1

2 B．3

2 C．1 D．3

2. 三种图书的单价分别为10元、15元和20元，某学校计划恰好用500元购买上述图书

30本，那么不同的购书方案有 ( )

A．9种 B． 10种 C．11种 D．12种

3. (A)． 如果一个正整数可以表示为两个连续奇数的立方差，则称这个正整数为“和谐

数”．如：333321(1)2631=−−=− ，，2和26均为“和谐数”．那么，不超过2016的正

整数中，所有的“和谐数”之和为( )

A．6858 B．6860 C．9260 D．9262

3. (B)．已知二次函数21(0)yaxbxa=++的图象的顶点在第二象限，且过点(1,0)．当

ab−为整数时，ab= ( )

A．0

B．1

4 C．3

4− D．2−

4. 已知O的半径OD垂直于弦AB，交AB于点C，连接AO并延长交O于点E，若

82ABCD==，，则BCE△的面积为 ( )

A．12

B．15

C． 16

D．18

5. 如图，在四边形ABCD中，090BACBDC==，5ABAC==，1CD=，对角线

的交点为M，则DM=( )

A．3

2 B． 5

3

C．2

2 D．1

2

6. 设实数xyz，，满足1,xyz++=

则23Mxyyzxz=++的最大值为( )

A． 1

2 B． 2

3 C． 3

4 D．1

二、填空题(本题满分28分，每小题7分)

(本题共有4个小题，要求直接将答案写在横线上．)

7. 【7(A)、8(B)】已知ABC△的顶点A、C

在反比例函数3

y

x= (0x )的图象上，

90ACB=，30ABC=，ABx⊥轴，点B在点A的上方，且6AB=，则点C的坐

标为 ．

(B)．已知ABC△的最大边BC上的高线AD和中线AM恰好把BAC三等分，

3AD=，则AM= ．

8. (A)．在四边形ABCD中，BCAD∥，CA平分BCD，O为对角线的交点，CDAO=，

BCDO=，则ABC= ．

9. 【9(A)、10(B)】 有位学生忘记写两个三位数间的乘号，得到一个六位数，这个六位数

恰好为原来两个三位数的乘积的3倍，这个六位数是 ．

(B)．若质数p

、q

满足：340111qppq−−=+，，则pq

的最大值为 ．

10. (A)．将5个1、5个2、5个3、5个4、5个5共25个数填入一个5行5列的表格内

(每格填入一个数)，使得同一列中任何两数之差的绝对值不超过2．考虑每列中各数之

和，设这5个和的最小值为M

，则M

的最大值为 ．

第二试

一、(本题满分20分)

已知ab，为正整数，求22324Maabb=−−−能取到的最小正整数值．

二、(本题满分25分)

(A)．如图，点C在以AB为直径的O上，CDAB⊥于点D，点E在BD上，AEAC=，

四边形DEFM是正方形，AM的延长线与O交于点N．证明:FNDE=．

(B)．已知：5abc++=，22215abc++=，33347abc++=

求222222()()()aabbbbccccaa++++++的值．

三、(本题满分25分)

(A)．已知正实数xyz，，满足：1xyyzzx++ ，且

222222(1)(1)(1)(1)(1)(1)

4xyyzzx

xyyzzx−−−−−−

++=．

(1) 求111

xyyzzx++的值．

(2) 证明:9()()()8()xyyzzxxyzxyyzzx+++++．

(B)．如图，在等腰ABC△

中，5ABAC==，D为BC边上异于中点的点，点C关于直线AD

的对称点为点E，EB

的延长线与AD的延长线交于点F，求ADAF的值．

2016年全国初中数学联合竞赛试题及详解

第一试

(3月20日上午8:30 - 9:30)

一、选择题(本题满分42分，每小题7分)

(本题共有6个小题，每题均给出了代号为A，B，C，D的四个答案，其中有且仅有一个是正

确的．将你所选择的答案的代号填在题后的括号内． 每小题选对得7分；不选、选错或选出

的代号字母超过一个(不论是否写在括号内)，一律得0分．)

1．用

x

表示不超过x

的最大整数，把

xx−

称为x的小数部分．已知1

23t=

−，a

是t

的小数部分，b

是t−的小数部分，则11

2ba−=

( )

.A 1

2 .B 3

2 .C

1

.D

3

【答案】A

．

【解析】123,132,

2

3t==+

−3234,+

即34,t

331.

at=−

=−

又23,231,

t−=−−−−−4233,−−−− (4)23,bt=−−−=−111123311

,

22222(23)31ba++

−=−=−=

−−故选A．

2．三种图书的单价分别为10元、15元和20元，某学校计划恰好用500元购买上述图书30

本，那么不同的购书方案有 ( )

.A

9

种 .B

10

种 .C11

种 .D12

种

【答案】C．

【解析】设购买三种图书的数量分别为,,,xyz

则30

101520500xyz

xyz++=

++=

，

即30

341002yzx

yzx+=−

+=−

，解得202

10yx

zx=−

=+

 依题意得，,,xyz

为自然数(非负整数)，

故010,xx

有11

种可能的取值(分别为0,1,2,,9,10)

，对于每一个x

值，y

和z

都有唯一

的值(自然数)相对应． 即不同的购书方案共有11种，故选C．

3(A)． 如果一个正整数可以表示为两个连续奇数的立方差，则称这个正整数为“和谐数”．如：

3333

21(1),2631,=−−=−

2

和26

均为“和谐数”．那么，不超过2016

的正整数中，所有的“和

谐数”之和为 ( )

.A6858

.B6860

.C9260

.D9262

【答案】B．

【解析】

3322

(21)(21)(21)(21)(21)(21)(21)(21)kkkkkkkk+−−=+−−+++−+−



2

2(121)k=+

(其中k

为非负整数)，由2

2(121)2016k+

得，9k

0,1,2,,8,9k=

，即得所有不超过2016的“和谐数”，它们的和为

33333333333

1(1)(31)(53)(1715)(1917)1916860.−−+−+−++−+−=+=

故选B．

3(B)．已知二次函数2

1(0)yaxbxa=++

的图象的顶点在第二象限，且过点(1,0)

．当

ab−

为整数时，ab=

( )

.A0

.B14 .C3

4−

.D2−

【答案】B．

【解析】依题意知0,0,10,

2b

aab

a−++=

故0,b

且1ba=−−

，

(1)21abaaa−=−−−=+

，于是10,a−

1211a−+

又ab−

为整数，210,a+=

故1

,

2ab=−=1

4ab=

，故选B．

4．已知O

的半径OD

垂直于弦AB

，交AB

于点C

，连接AO

并延长交O

于点E

，若

8,AB=2CD=

，则BCE

的面积为( )

.A12

.B15

.C

16

.D18

【解析】设,OCx=

则2,OAODx==+

ODAB⊥

于,C1

4,

2ACCBAB===

在RtOAC

中，222

,OCACOA+=

即222

4(2),xx+=+

解得3x=

，即3OC=

(第4题答案图)

OC

为ABE

的中位线，26.BEOC==

AE

是O

的直径，90,B=

11

4612.

22BCESCBBE

===

故选A．

5．如图，在四边形ABCD

中，0

90BACBDC==

，5ABAC==

，1CD=

，对角线的

交点为M

，则DM=

( )

.A3

2 .B

5

3

合集下载

2014年全国初中数学联赛试题

2014年全国初中数学联赛试题

2014年全国初中数学联赛决赛试题

一、选择题：（本题满分42分，每小题7分）

1. 已知xy，为整数，且满足

22441111211

()()()

3xyxyxy++=−−，则xy，可能的值有

( )

A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个

2. 已知非负实数xyz，，满足1xyz++=，则22txyyzzx=++的最大值为( )

A．4

7 B．5

9 C．9

16 D．12

25

3. 在ABC△中，ABAC=，D为BC的中点，BEAC⊥于E，交AD于P，已知

3BP=，1PE=，则AE= ( )

A．6

2 B

．2 C

．3 D

．6

4. 6张不同的卡片上分别写有数字2，2，4，4，6，6，从中取出3张，则这3张卡

片上所写的数字可以作为三角形的三边长的概率是( )

A．1

2 B．2

5 C．2

3 D．3

4

5. 设[]t表示不超过实数t的最大整数，令{}[]ttt=−.已知实数x满足3

31

18x

x+=，则1

{}{}x

x+=( )

A．1

2 B

．35− C

．1

(35)

2− D．1

6. 在ABC△中，90C=，60A=，1AC=，D在BC上，E在AB上，使得

ADE△为等腰直角三角形， 90ADE=，则BE的长为( )

A

．423− B

．23− C

．1

(31)

2− D

．31−

二、填空题：（本题满分28分，每小题7分）

7. 已知实数abc，，满足1abc++=，111

1

abcbcacab++=

+−+−+−，则

abc=

．

8. 使得不等式98

1715n

nk

+对唯一的整数k成立的最大正整数n为

．

9. 已知P为等腰ABC△内一点，ABBC=，108BPC=，D为AC的中点，BD与

PC交于点E，如果点P为ABE△的内心，则PAC=

．

10. 已知正整数,,abc满足:1abc，111abc++=，2bac=，则b=

．

三、（本题满分20分）设实数,ab满足22(1)(2)40abbba+++=，(1)8abb++=，求

2018年全国初中数学联赛试题A

2018年全国初中数学联赛试题A

试卷编号：1936

2018年全国初中数学联赛试题A

班级：＿＿＿＿＿学号：＿＿＿＿＿姓名：＿＿＿＿＿成绩：＿＿＿＿＿

一、选择题共6小题。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

1.设二次函数y=x2+2ax+a22的图象的顶点为A,与x轴的交点为B,C.当△ABC为等边

三角形时,其边长为( )

(A)√6(B)2√2(C)2√3(D)3√2

2.如图,在矩形ABCD中,∠BAD的平分线交BD于点E,

AB=1,∠CAE=15◦,则BE=( )

(A)√33(B)√22(C)√2−1(D)√3−1

3.设p,q均为大于3的素数,则使p2+5pq+4q2为完全平方数的素数对(p,q)的个数

为( )

(A)1(B)2(C)3(D)4

4.若实数a,b满足a−b=2,(1−a)2b−(1+b)2a=4,则a5−b5=( )

(A)46(B)64(C)82(D)128

5.对任意的整数x,y,定义x@y=x+y−xy,则使得(x@y)@z+(y@z)@x+(z@x)@y=0的

整数组(x,y,z)的个数为( )

(A)1(B)2(C)3(D)4

6.设M=12018+12019+12020+···+12050,则1M的整数部分是( )

(A)60(B)61(C)62(D)63

二、填空题共4小题。

7.如图,在平行四边形ABCD中,BC=2AB,CE⊥AB于E,

F为AD的中点,若∠AEF=48◦,则∠B=＿＿＿＿＿.

2018年全国初中数学联赛试题A　第1页（共2页）8.若实数x,y满足x3+y3+14(x+y)=152,则x+y的最大值为＿＿＿＿＿.

9.没有重复数字且不为5的倍数的五位数的个数为＿＿＿＿＿.

10.已知实数a,b,c满足a+b+c=0,a2+b2+c2=1,则a5+b5+

c5abc=＿＿＿＿＿.

三、解答题共3小题。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。

11.设a,b,c,d为四个不同的实数,若a,b为方程x2−10cx−11d=0的根,c,d为方程

2016年初二真题全国初中数学联赛决赛试题

2016年初二真题全国初中数学联赛决赛试题

激发兴趣 培养习惯 塑造品格 学而思联赛团队 2016全国初中数学联合竞赛试题（初二组）

第一试

一、选择题（本题满分42分，每小题7分） 1．用x表示不超过x的最大整数，把xx称为x的小数部分.已知123t，a是t的

小数部分，b是t的小数部分，则112ba （ ）

.A 12 .B 32 .C 1 .D 3

2．三种图书的单价分别为10元、15元和20元，某学校计划恰好用500元购买上述图书30本，那么不同的购书方案有 （ ） .A 9种 .B 10种 .C11种 .D12种

3．如图，P为ABC内一点，070,BAC0120,BPCBD是ABP的平分线，CE是

ACP的平分线，BD与CE交于F,则BFC ( )

.A085 .B090 .C095 .D0100

4．记222222111111111,1223(1)nSnn 则20162016S（ ）

.A20162017 .B20172016 .C20172018 .D20182017

5．点D、E、F分别在ABC的三边BC、AB、AC上，且AD、BF、CE相交于一

点M,若5,ABACBECF 则AMMD ( )

.A72 .B3 .C52 .D2

6．设,,,abcd都是正整数，且5234,,319,abcdac 则2bcad ( )

.A15 .B 17 .C18 .D20

二、填空题（本题满分28分，每小题7分） 1．如图，已知四边形ABCD的对角互补，且,15

BACDACAB,12.AD 过顶点CFDE

CBA

P 激发兴趣 培养习惯 塑造品格 学而思联赛团队 作CEAB于,E则AEBE .

2．已知整数,,abc满足不等式22222112820,abcabbc则abc ____．

3．若质数p、q满足：340,111,qppq则pq的最大值为 ． 4．将5个1、5个2、5个3、5个4、5个5共25个数填入一个5行5列的表格内（每格填入一个数），使得同一列中任何两数之差的绝对值不超过2.考虑每列中各数之和，设这5个和的最小值为M,则M的最大值为 .

2018年全国初中数学联赛试题

2018年全国初中数学联赛试题

2018年初中数学联赛试题

说明：评阅试卷时，请依据本评分标准．第一试，选择题和填空题只设7分和0分两档；第

二试各题，请按照本评分标准规定的评分档次给分．如果考生的解答方法和本解答

不同，只要思路合理，步骤正确，在评卷时请参照本评分标准划分的档次，给予相

应的分数．

第一试(A)

一、选择题：(本题满分42分，每小题7分)

1. 设二次函数2222ayxax的图象的顶点为A，与x轴的交点为B，C．当ABC△为等边三角形时，其边长为( )

A．6

B．22

C．23 D．32

2. 如图，在矩形ABCD中，BAD的平分线交BD于点E，115ABCAE，，则BE( )

A．33 B．22 C．21 D．31

3. 设pq，均为大于3的素数，则使2254ppqq为完全平方数的素数对(p，q)的个数为( )

A．1 B．2 C．3 D．4

4. 若实数a，b满足2ab， 22114abba，则55ab( )

A．46 B．64 C．82 D．128 5. 对任意的整数x，y，定义@xyxyxy，则使得@@@@xyzyzx@@0zxy的整数组(x，y，z)的个数为( )

A．1 B．2 C．3 D．4

6. 设11112018201920202050M，则1M的整数部分是( )