2016年全国初中数学联赛试题及参考答案_第一试_

2012年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准

说明：评阅试卷时，请依据本评分标准.第一试，选择题和填空题只设7分和0分两档；第二试各题，

请按照本评分标准规定的评分档次给分.如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理，步骤正确，在

评卷时请参照本评分标准划分的档次，给予相应的分数.

第一试

一、选择题：（本题满分42分，每小题7分）

1．已知，，，那么的大小关系是 （ ） 21a32b62c,,abc

A. B. C. D. abcacbbacbca

【答】C.

因为，，所以，故.又 1

21

a1

32

b11

0

abba(62)(21)6ca

，而，所以，故.因此. (21)22

(6)(21)3220621cabac

2．方程的整数解的组数为 （ ） 22

2334xxyy(,)xy

A．3. B．4. C．5. D．6.

【答】B.

方程即，显然必须是偶数，所以可设，则原方程变为，22

()234xyyxy2xyt22

217ty

它的整数解为从而可求得原方程的整数解为＝，，，，共42,

3,t

y







(,)xy(7,3)(1,3)(7,3)(1,3)

组.

3．已知正方形ABCD的边长为1，E为BC边的延长线上一点，CE＝1，连接AE，与CD交于点F，连接

BF并延长与线段DE交于点G，则BG的长为 （ ）

A． B． C． D． 6

35

326

325

3

【答】D.

过点C作CP//BG，交DE于点P.因为BC＝CE＝1，所以CP是

△BEG的中位线，所以P为EG的中点.

又因为AD＝CE＝1，AD//CE，所以△ADF≌△ECF，所以CF＝

DF，又CP//FG，所以FG是△DCP的中位线，所以G为DP的中点.

因此DG＝GP＝PE＝DE＝. 1

32

3

连接BD，易知∠BDC＝∠EDC＝45°，所以∠BDE＝90°.

2001年全国初中数学联赛试卷参考答案与试题解析

一、选择题（共6小题，每小题7分，满分42分）

1．（7分）a，b，c为有理数，且等式成立，则2a+999b+1001c的值是（ ）

A． 1999 B． 2000 C． 2001 D． 不能确定

解答： 解：∵==，

∴a+b+c=，

∴a=0，b=1，c=1，

2a+999b+1001c=2000．

故选B．

2．（7分）若ab≠1，且有5a2+2002a+9=0及9b2+2002b+5=0，则的值是（ ）

A． B． C． ﹣ D． ﹣

解答： 解：∵5a2+2002a+9=0，

则5++=0，

∴9（）2+2002（）+5=0，

又9b2+2002b+5=0，

而≠b，

故，b为方程9x2+2002x+5=0的两根，

故两根之积==．

∴=

故选A．

3．（7分）如图，在△ABC中．∠ACB=90°，∠ABC=15°，BC=1，则AC=（ ）

A． B． C． 0.3 D．

解答： 解：过A作AD交BC于D，使∠BAD=15°，

∵△ABC中．∠ACB=90°，∠ABC=15°，

∴∠BAC=75°，

∴∠DAC=∠BAC﹣∠BAD=75°﹣15°=60°，

∴∠ADC=90°﹣∠DAC=90°﹣60°=30°， ∴AC=AD，

又∵∠ABC=∠BAD=15°

∴BD=AD，

∵BC=1，

∴AD+DC=1，

设CD=x，则AD=1﹣x，AC=（1﹣x），

∴AD2=AC2+CD2，即（1﹣x）2=（1﹣x）2+x2，

解得：x=﹣3+2，

∴AC=（4﹣2）

=2﹣

故选B．

4．（7分）如图，在△ABC中，D是边AC上一点，下面四种情况中，△ABD∽△ACB一定成立的情况是（ ）

A． AD•BC=AB•BD B． AB2=AD•AC C． ∠ABD=∠CBD D． AB•BC=AC•BD

解答： 解：A、因为AD•BC=AB•BD的夹角非∠A，所以不能判定两三角形相似，故本选项错误；

2016年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准

说明：评阅试卷时，请依据本评分标准.第一试，选择题和填空题只设7分和0分两档；第二试各题，

请按照本评分标准规定的评分档次给分.如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理，步骤正确，在

评卷时请参照本评分标准划分的档次，给予相应的分数.

第一试(A)

一、选择题：（本题满分42分，每小题7分）

1．用[]x

表示不超过x

的最大整数，把[]xx

称为x

的小数部分.已知1

23t

，a

是t

的小数部分，

b

是t的小数部分，则11

2ba

（ ） A.1

2．

B.3

2． C.1

．

D.3

．

【答】A.

∵1

23

23t



，而3234

，∴331at

.

又∵23t

，而4233

，∴(4)23bt. ∴111123311

22222(23)31ba



.

2．三种图书的单价分别为10元、15元和20元，某学校计划恰好用500元购买上述图书30本，那么

不同的购书方案共有 （ ）

A．9种． B．10种． C．11种． D．12种．

【答】C.

设购买三种图书的数量分别为,,abc

，则30abc

，101520500abc

，易得202ba

，

10ca

，于是a

有11种可能的取值（分别为0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，10）.对于每一个a

值，

对应地可求出唯一的b

和c

， 所以，不同的购书方案共有11种.

3．如果一个正整数可以表示为两个连续奇数的立方差，则称这个正整数为“和谐数”。如:

33

21(1)

，33

2631

，2和26均为“和谐数”.那么，不超过2016的正整数中，所有的“和谐数”

之和为 （ ）

A．6858． B．6860． C．9260． D．9262．

【答】B.

注意到332

(21)(21)2(121)kkk

，由2

2(121)2016k

得||10k

2017年全国初中数学联合竞赛试题（初二）

第一试

一、选择题（本题满分 42 分，每小题 7 分）

1.已知实数,,abc满足213390abc，3972abc，则32bcab的值为（ ）

A.2 B. 1 C. 0 D.1

2.已知实数,,abc满足1abc，1110135abc，则222135abc的值为（ ）

A. 125 B. 120 C. 100 D. 81

3.若正整数,,abc满足abc且2abcabc，则称,,abc为好数组.那么好数组的个数为（ ）

A. 4 B. 3 C. 2 D. 1

4.已知正整数,,abc满足26390abc，260abc，则222abc的值为（ ）

A.424 B. 430 C. 441 D. 460

5.梯形ABCD中，AD∥BC，3AB，4BC，2CD，1AD，则梯形的面积为（ ）

A.1023 B.1033 C.32 D.33

6.如图，梯形ABCD中，AD∥BC，90A，点E在AB上，若42AE，28BE，70BC，

45DCE，则DE的值为（ ）

A. 56 B. 58 C. 60 D. 62

二、填空题：（本题满分 28 分，每小题 7 分）

7.使得等式311aa成立的实数a的值为________.

8.已知ABC的三个内角满足100ABC.用表示100,,CCBBA中的最小者，则的最大值为________. BCADE9.设,ab是两个互质的正整数，且38abpab为质数.则p的值为________.