2018高考复习数学第一轮 第32讲 反三角函数与三角方程(知识点、例题、讲解、练习、拓展、答案)

第三章⎪⎪⎪ 三角函数、解三角形第一节 任意角和弧度制及任意角的三角函数1．角的概念的推广(1)定义：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形．(2)分类⎩⎪⎨⎪⎧按旋转方向不同分为正角、负角、零角.按终边位置不同分为象限角和轴线角.(3)终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S ＝{β|β＝α＋k ·360°，k ∈Z}．2．弧度制的定义和公式(1)定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度记作rad.(2)公式1．若sin α＜0且tan α＞0，则α是( )A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角答案：C2．(教材习题改编)3 900°是第________象限角，－1 000°是第________象限角．答案：四 一3．(教材习题改编)已知半径为120 mm 的圆上，有一条弧的长是144 mm ，则该弧所对的圆心角的弧度数为________．答案：1.21．注意易混概念的区别：象限角、锐角、小于90°的角是概念不同的三类角．第一类是象限角，第二、第三类是区间角．2．角度制与弧度制可利用180°＝π rad 进行互化，在同一个式子中，采用的度量制度必须一致，不可混用．3．已知三角函数值的符号确定角的终边位置不要遗漏终边在坐标轴上的情况．4．三角函数的定义中，当P (x ，y )是单位圆上的点时有sin α＝y ，cos α＝x ，tan α＝y x ，但若不是单位圆时，如圆的半径为r ，则sin α＝y r ，cos α ＝x r ，tan α＝y x.[小题纠偏]1．下列说法正确的是( )A ．三角形的内角必是第一、二象限角B ．第一象限角必是锐角C ．不相等的角终边一定不相同D ．若β＝α＋k ·360°(k ∈Z)，则α和β终边相同答案：D2．若角α终边上有一点P (x,5)，且cos α＝x13(x ≠0)，则sin α＝________.答案：513考点一 角的集合表示及象限角的判定基础送分型考点——自主练透[题组练透]1．给出下列四个命题：①－3π4是第二象限角；②4π3是第三角限角；③－400°是第四象限角；④－315°是第一象限角．其中正确的命题有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个解析：选C －3π4是第三象限角，故①错误；4π3＝π＋π3，从而4π3是第三象限角，故②正确；－400°＝－360°－40°，从而③正确；－315°＝－360°＋45°，从而④正确．2．(易错题)若角α是第二象限角，则α2是( )A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第一或第三象限角D ．第二或第四象限角解析：选C ∵α是第二象限角，∴π2＋2k π＜α＜π＋2k π，k ∈Z ，∴π4＋k π＜α2＜π2＋k π，k ∈Z. 当k 为偶数时，α2是第一象限角；当k 为奇数时，α2是第三象限角．3．设集合M ＝⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x ＝k2·180°＋45°，k ∈Z ，N ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＝k4·180°＋45°，k ∈Z，那么( )A ．M ＝NB ．M ⊆NC ．N ⊆MD ．M ∩N ＝∅解析：选B 法一：由于M ＝⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x ＝k 2·180°＋45°，k ∈Z ＝{…，－45°，45°，135°，225°，…}，N ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＝k4·180°＋45°，k ∈Z＝{…，－45°，0°，45°，90°，135°，180°，225°，…}，显然有M ⊆N .法二：由于M 中，x ＝k2·180°＋45°＝k ·90°＋45°＝45°·(2k ＋1)，2k ＋1是奇数；而N 中，x ＝k4·180°＋45°＝k ·45°＋45°＝(k ＋1)·45°，k ＋1是整数，因此必有M ⊆N .4．在－720°～0°范围内所有与45°终边相同的角为________．解析：所有与45°有相同终边的角可表示为：β＝45°＋k ×360°(k ∈Z)，则令－720°≤45°＋k ×360°<0°，得－765°≤k ×360°<－45°，解得－765360≤k <－45360，从而k ＝－2或k ＝－1，代入得β＝－675°或β＝－315°.答案：－675°或－315°[谨记通法]1．终边在某直线上角的求法4步骤(1)数形结合，在平面直角坐标系中画出该直线；(2)按逆时针方向写出[0,2π)内的角；(3)再由终边相同角的表示方法写出满足条件角的集合；(4)求并集化简集合．2．确定k α，αk(k ∈N *)的终边位置3步骤(1)用终边相同角的形式表示出角α的范围；(2)再写出k α或αk的范围；(3)然后根据k 的可能取值讨论确定k α或αk的终边所在位置，如“题组练透”第2题易错．考点二 扇形的弧长及面积公式基础送分型考点——自主练透[题组练透]1．已知扇形的周长是6，面积是2，则扇形的圆心角的弧度数是( )A ．1B ．4C ．1或4D ．2或4解析：选C 设此扇形的半径为r ，弧长为l ，则⎩⎪⎨⎪⎧2r ＋l ＝6，12rl ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧r ＝1，l ＝4或⎩⎪⎨⎪⎧r ＝2，l ＝2.从而α＝l r ＝41＝4或α＝l r ＝22＝1.2．(易错题)若扇形的圆心角是α＝120°，弦长AB ＝12 cm ，则弧长l ＝________cm.解析：设扇形的半径为r cm ，如图．由sin 60°＝6r，得r ＝4 3 cm ，∴l ＝|α|·r ＝2π3×43＝833π cm.答案：833π3．已知扇形周长为40，当它的半径和圆心角分别取何值时，扇形的面积最大？解：设圆心角是θ，半径是r ，则2r ＋r θ＝40.又S ＝12θr 2＝12r (40－2r )＝r (20－r )＝－(r －10)2＋100≤100.当且仅当r ＝10时，S max ＝100，此时2×10＋10θ＝40，θ＝2.所以当r ＝10，θ＝2时，扇形的面积最大．[谨记通法]弧度制下有关弧长、扇形面积问题的解题策略(1)明确弧度制下弧长公式l ＝αr ，扇形的面积公式是S ＝12lr ＝12αr 2(其中l 是扇形的弧长，α是扇形的圆心角)．(2)求扇形面积的关键是求得扇形的圆心角、半径、弧长三个量中的任意两个量，如“题组练透”第2题．考点三 三角函数的定义常考常新型考点——多角探明[命题分析]任意角的三角函数(正弦、余弦、正切)的定义属于理解内容．在高考中多以选择题、填空题的形式出现．常见的命题角度有：(1)三角函数值的符号判定；(2)由角的终边上一点的P 的坐标求三角函数值；(3)由角的终边所在的直线方程求三角函数值．[题点全练]角度一： 三角函数值的符号判定1．若sin αtan α＜0，且cos αtan α＜0，则角α是( )A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角解析：选C 由sin αtan α＜0可知sin α，tan α异号，则α为第二或第三象限角．由cos αtan α＜0可知cos α，tan α异号，则α为第三或第四象限角．综上可知，α为第三象限角．角度二：由角的终边上一点P 的坐标求三角函数值2．如图所示，在平面直角坐标系xOy 中，角α的终边与单位圆交于点A ，点A 的纵坐标为45，则cos α＝________.解析：因为A 点纵坐标y A ＝45，且A 点在第二象限，又因为圆O 为单位圆，所以A 点横坐标x A ＝－35，由三角函数的定义可得cos α＝－35.答案：－353．已知角α的终边上一点P (－3，m )(m ≠0)，且sin α＝2m 4，则m ＝________.解析：由题设知x ＝－3，y ＝m ，∴r 2＝|OP |2＝(－3)2＋m 2(O 为原点)，r ＝3＋m 2.∴sin α＝m r＝2m 4＝m 22，∴r ＝3＋m 2＝22，即3＋m 2＝8，解得m ＝± 5.答案：±5角度三：由角的终边所在的直线方程求三角函数值4．已知角α的终边在直线3x ＋4y ＝0上，求sin α，cos α，tan α的值．解：设α终边上任一点为P (－4a,3a )，当a ＞0时，r ＝5a ，sin α＝35，cos α＝－45，tan α＝－34；当a ＜0时，r ＝－5a ，sin α＝－35，cos α＝45，tan α＝－34.[方法归纳]应用三角函数定义的3种求法(1)已知角α终边上一点P 的坐标，可求角α的三角函数值．先求P 到原点的距离，再用三角函数的定义求解．(2)已知角α的某三角函数值，可求角α终边上一点P 的坐标中的参数值，可根据定义中的两个量列方程求参数值．(3)已知角α的终边所在的直线方程或角α的大小，根据三角函数的定义可求角α终边上某特定点的坐标．一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．若一扇形的圆心角为72°，半径为20 cm ，则扇形的面积为( )A ．40π cm 2B ．80π cm 2C ．40 cm 2D ．80 cm2解析：选B ∵72°＝2π5，∴S 扇形＝12αr 2＝12×2π5×202＝80π(cm 2)．2．已知点P (tan α，cos α)在第三象限，则角α的终边在( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限解析：选B 因为点P 在第三象限，所以⎩⎪⎨⎪⎧tan α＜0，cos α＜0，所以角α的终边在第二象限．3．如图，在直角坐标系xOy 中，射线OP 交单位圆O 于点P ，若∠AOP ＝θ，则点P 的坐标是( )A ．(cos θ，sin θ)B ．(－cos θ，sin θ)C ．(sin θ，cos θ)D ．(－sin θ，cos θ)解析：选A 由三角函数定义知，点P 的横坐标x ＝cos θ，纵坐标y ＝sin θ.4．(2019·江西六校联考)点A (sin 2 015°，cos 2 015°)位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限解析：选C 因为sin 2 015°＝sin(11×180°＋35°)＝－sin 35°＜0，cos 2 015°＝cos(11×180°＋35°)＝－cos 35°＜0，所以点A (sin 2 015°，cos 2 015°)位于第三象限．5．(2019·福州一模)设α是第二象限角，P (x,4)为其终边上的一点，且cos α＝15x ，则tan α＝( )A.43B.34C ．－34D ．－43解析：选D 因为α是第二象限角，所以cos α＝15x ＜0，即x ＜0.又cos α＝15x ＝xx 2＋16.解得x ＝－3，所以tan α＝4x ＝－43.二保高考，全练题型做到高考达标1．将表的分针拨快10分钟，则分针旋转过程中形成的角的弧度数是( )A.π3B.π6C ．－π3D ．－π6解析：选C 将表的分针拨快应按顺时针方向旋转，为负角．故A ，B 不正确，又因为拨快10分钟，故应转过的角为圆周的16.即为－16×2π＝－π3.2．(2019·南昌二中模拟)已知角α终边上一点P 的坐标是(2sin 2，－2cos 2)，则sin α等于( )A ．sin 2B ．－sin 2C ．cos 2D ．－cos 2解析：选D 因为r ＝2＋－2＝2，由任意三角函数的定义，得sin α＝y r＝－cos 2.3．若一圆弧长等于其所在圆的内接正三角形的边长，则其圆心角α∈(0，π)的弧度数为( )A.π3B.π2C. 3 D ．2解析：选C 设圆半径为r ，则其内接正三角形的边长为3r ，所以3r ＝αr ，∴α＝ 3.4．(2019·潍坊二模)集合⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫α⎪⎪⎪k π＋π4≤α≤k π＋π2，k ∈Z 中的角所表示的范围(阴影部分)是( )解析：选C 当k ＝2n (n ∈Z)时，2n π＋π4≤α≤2n π＋π2，此时α表示的范围与π4≤α≤π2表示的范围一样；当k ＝2n ＋1(n ∈Z)时，2n π＋π＋π4≤α≤2n π＋π＋π2，此时α表示的范围与π＋π4≤α≤π＋π2表示的范围一样．5．已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边在直线y ＝2x 上，则cos 2θ＝( )A ．－45B ．－35C.35D.45解析：选B 取终边上一点(a,2a )(a ≠0)，根据任意角的三角函数定义，可得cos θ＝±55，故 cos 2θ＝2cos 2θ－1＝－35.6．已知α是第二象限的角，则180°－α是第________象限的角．解析：由α是第二象限的角可得90°＋k ·360°＜α＜180°＋k ·360°(k ∈Z)，则180°－(180°＋k ·360°)＜180°－α＜180°－(90°＋k ·360°)，即－k ·360°＜180°－α＜90°－k ·360°(k ∈Z)，所以180°－α是第一象限的角．答案：一7．在直角坐标系中，O 是原点，A (3，1)，将点A 绕O 逆时针旋转90°到B 点，则B 点坐标为__________．解析：依题意知OA ＝OB ＝2，∠AOx ＝30°，∠BOx ＝120°，设点B 坐标为(x ，y )，所以x ＝2cos 120°＝－1，y ＝2sin 120°＝3，即B (－1，3)．答案：(－1，3)8．已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x 轴的非负半轴，若P (4，y )是角θ终边上一点，且sin θ＝－255，则y ＝________.解析：因为sin θ＝y42＋y2＝－255，所以y ＜0，且y 2＝64，所以y ＝－8.答案：－89．在(0,2π)内，使sin x >cos x 成立的x 的取值范围为____________________．解析：如图所示，找出在(0,2π)内，使sin x ＝cos x 的x 值，sin π4＝cos π4＝22，sin 5π4＝cos 5π4＝－22.根据三角函数线的变化规律标出满足题中条件的角x ∈⎝⎛⎭⎪⎫π4，5π4.答案：⎝⎛⎭⎪⎫π4，5π410．已知扇形AOB 的周长为8.(1)若这个扇形的面积为3，求圆心角的大小；(2)求这个扇形的面积取得最大值时圆心角的大小和弦长AB .解：设扇形AOB 的半径为r ，弧长为l ，圆心角为α，(1)由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧2r ＋l ＝8，12lr ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧r ＝3，l ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧r ＝1，l ＝6，∴α＝l r ＝23或α＝lr＝6.(2)法一：∵2r ＋l ＝8，∴S 扇＝12lr ＝14l ·2r≤14⎝ ⎛⎭⎪⎫l ＋2r 22＝14×⎝ ⎛⎭⎪⎫822＝4，当且仅当2r ＝l ，即α＝l r＝2时，扇形面积取得最大值4.∴圆心角α＝2，弦长AB ＝2sin 1×2＝4sin 1.法二：∵2r ＋l ＝8，∴S 扇＝12lr ＝12r (8－2r )＝r (4－r )＝－(r －2)2＋4≤4，当且仅当r ＝2，即α＝lr＝2时，扇形面积取得最大值4.∴弦长AB ＝2sin 1×2＝4sin 1.三上台阶，自主选做志在冲刺名校1．若α是第三象限角，则下列各式中不成立的是( )A ．sin α＋cos α＜0B ．tan α－sin α＜0C ．cos α－tan α＜0D ．tan αsin α＜0解析：选B ∵α是第三象限角，∴sin α＜0，cos α＜0，tan α＞0，则可排除A ，C ，D.2．已知角α＝2k π－π5(k ∈Z)，若角θ与角α的终边相同，则y ＝sin θ|sin θ|＋cos θ|cos θ|＋tan θ|tan θ|的值为( )A ．1B ．－1C ．3D ．－3解析：选B 由α＝2k π－π5(k ∈Z)及终边相同的概念知，角α的终边在第四象限，又角θ与角α的终边相同，所以角θ是第四象限角，所以sin θ＜0，cos θ＞0，tan θ＜0.所以y ＝－1＋1－1＝－1.3．已知sin α＜0，tan α＞0.(1)求α角的集合；(2)求α2终边所在的象限；(3)试判断 tan α2sin α2cos α2的符号．解：(1)由sin α＜0，知α在第三、四象限或y 轴的负半轴上；由tan α＞0, 知α在第一、三象限，故α角在第三象限，其集合为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫α⎪⎪⎪2k π＋π＜α＜2k π＋3π2，k ∈Z .(2)由2k π＋π＜α＜2k π＋3π2，k ∈Z ，得k π＋π2＜α2＜k π＋3π4，k ∈Z ，故α2终边在第二、四象限．(3)当α2在第二象限时，tan α2＜0，sin α2＞0, cos α2＜0，所以tan α2 sin α2 cos α2取正号；当α2在第四象限时， tan α2＜0，sin α2＜0, cos α2＞0，所以 tan α2sin α2cos α2也取正号．因此，tan α2sin α2cos α2取正号．第二节 同角三角函数的基本关系与诱导公式_1．同角三角函数的基本关系式(1)平方关系sin 2α＋cos 2α＝1；(2)商数关系tan α＝sin αcos α.2．诱导公式1．已知sin ⎝⎛⎭⎪⎫5π2＋α＝15，那么cos α＝( )A ．－25B ．－15C.15D.25解析：选C ∵sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π2＋α＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫π2＋α＝cos α，∴cos α＝15.2．若sin θcos θ＝12，则tan θ＋cos θsin θ的值是( )A ．－2B ．22解析：选B tan θ＋cos θsin θ＝sin θcos θ＋cos θsin θ＝1cos θsin θ＝2.3．(教材习题改编)(1)sin ⎝⎛⎭⎪⎫－31π4＝________，(2)tan ⎝⎛⎭⎪⎫－26π3＝________.答案：(1)22(2)31．利用诱导公式进行化简求值时，先利用公式化任意角的三角函数为锐角三角函数，其步骤：去负—脱周—化锐．特别注意函数名称和符号的确定．2．在利用同角三角函数的平方关系时，若开方，要特别注意判断符号．3．注意求值与化简后的结果一般要尽可能有理化、整式化．[小题纠偏]1．(2019·福建高考)若sin α＝－513，且α为第四象限角，则tan α的值等于( )A.125 B ．－125C.512 D ．－512解析：选D 因为α为第四象限的角，故cos α＝1－sin 2α＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－5132＝1213，所以tan α＝sin αcos α＝－5131213＝－512.2．若sin(3π＋θ)＝13，则sin θ＝________.答案：－13考点一 三角函数的诱导公式基础送分型考点——自主练透[题组练透]1．sin 210°cos 120°的值为( )A.14B ．－3424解析：选A sin 210°cos 120°＝－sin 30°(－cos 60°)＝12×12＝14.2．已知A ＝k π＋αsin α＋k π＋αcos α(k ∈Z)，则A 的值构成的集合是( )A ．{1，－1,2，－2}B ．{－1,1}C ．{2，－2}D ．{1，－1,0,2，－2}解析：选C 当k 为偶数时，A ＝sin αsin α＋cos αcos α＝2；k 为奇数时，A ＝－sin αsin α－cos αcos α＝－2.3．已知tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝33，则tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6＋α＝________.解析：tan ⎝⎛⎭⎪⎫5π6＋α＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π－π6＋α＝tan ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π－⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝－tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝－33.答案：－334．(易错题)设f (α)＝π＋απ－α－π＋α1＋sin 2α＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2＋α－sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α⎝ ⎛⎭⎪⎫sin α≠－12，则f ⎝⎛⎭⎪⎫－23π6＝________.解析：∵f (α)＝－2sin α－cos α＋cos α1＋sin 2α＋sin α－cos 2α＝2sin αcos α＋cos α2sin 2α＋sin α ＝cos α＋2sin αsin α＋2sin α＝1tan α，∴f ⎝⎛⎭⎪⎫－23π6＝1tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－23π6＝1tan ⎝⎛⎭⎪⎫－4π＋π6＝1tan π6＝ 3.答案：3[谨记通法]1．利用诱导公式把任意角的三角函数转化为锐角三角函数的步骤也就是：“负化正，大化小，化到锐角就好了．”2．利用诱导公式化简三角函数的要求(1)化简过程是恒等变形；(2)结果要求项数尽可能少，次数尽可能低，结构尽可能简单，能求值的要求出值，如“题组练透”第4题．考点二 同角三角函数的基本关系题点多变型考点——纵引横联[典型母题]已知α是三角形的内角，且sin α＋cos α＝15.求tan α的值．[解] 法一： 联立方程⎩⎪⎨⎪⎧sin α＋cos α＝15，sin 2α＋cos 2α＝1，①②由①得cos α＝15－sin α，将其代入②，整理得 25sin 2α－5sin α－12＝0. ∵α是三角形的内角， ∴⎩⎪⎨⎪⎧sin α＝45，cos α＝－35，∴tan α＝－43.法二：∵sin α＋cos α＝15，∴(sin α＋cos α)2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫152，即1＋2sin αcos α＝125，∴2sin αcos α＝－2425，∴(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α＝1＋2425＝4925.∵sin αcos α＝－1225＜0且0＜α＜π，∴sin α＞0，cos α＜0，同角三角函数基本关系式的应用技巧[变式一] 保持母题条件不变，求：(1)sin α－4cos α5sin α＋2cos α；(2)sin 2α＋2sin αcos α的值．解：由母题可知：tan α＝－43.(1)sin α－4cos α5sin α＋2cos α＝tan α－45tan α＋2＝－43－45×⎝ ⎛⎭⎪⎫－43＋2＝87.(2)sin 2α＋2sin αcos α＝sin 2α＋2sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝tan 2α＋2tan α1＋tan 2α＝169－831＋169＝－825.[变式二] 若母题条件变为“sin α＋3cos α3cos α－sin α＝5”， 求tan α的值．解：法一：由sin α＋3cos α3cos α－sin α＝5, 得tan α＋33－tan α＝5，即tan α＝2.法二：由sin α＋3cos α3cos α－sin α＝5，得sin α＋3cos α＝15cos α－5sin α，∴6sin α＝12cos α，即tan α＝2.[变式三] 若母题中的条件和结论互换：已知α是三角形的内角，且tan α＝－13， 求sin α＋cos α的值．解：由tan α＝－13，得sin α＝ －13cos α，将其代入 sin 2α＋cos 2α＝1，得109cos 2α＝1，∴cos 2α＝910，易知cos α＜0，∴cos α＝－31010， sin α＝1010，故 sin α＋cos α＝－105.1．三角形中求值问题，首先明确角的范围，才能求出角的值或三角函数值．2．三角形中常用的角的变形有：A ＋B ＝π－C,2A ＋2B ＝2π－2C ，A 2＋B 2＋C 2＝π2等，于是可得sin(A ＋B )＝sin C ，cos ⎝⎛⎭⎪⎫A ＋B 2＝sin C 2等．一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．若α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，sin α＝－35，则cos(－α)＝( )A ．－45B.45C.35D ．－35解析：选B 因为α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，sin α＝－35，所以cos α＝45，即cos(－α)＝45.[破译玄机]2．已知sin(π＋θ)＝－3cos(2π－θ)，|θ|＜π2，则θ等于( )A ．－π6B ．－π3C.π6 D.π3解析：选D ∵sin(π＋θ)＝－3cos(2π－θ)，∴－sin θ＝－3cos θ，∴tan θ＝ 3.∵|θ|＜π2，∴θ＝π3.3．已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝13，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝( )A.223B ．－223C.13D ．－13解析：选D ∵cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝－sin ⎝⎛⎭⎪⎫α－π4＝－13.4．已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，sin α＝45，则tan α＝________.解析：∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，∴cos α＝－1－sin 2α＝－35，∴tan α＝sin αcos α＝－43.答案：－435．如果sin(π＋A )＝12，那么cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－A 的值是________．解析：∵sin(π＋A )＝12，∴－sin A ＝12.∴cos ⎝⎛⎭⎪⎫3π2－A ＝－sin A ＝12.答案：12二保高考，全练题型做到高考达标1．已知sin(θ＋π)<0，cos(θ－π)>0，则下列不等关系中必定成立的是( )A ．sin θ<0，cos θ>0B ．sin θ>0，cos θ<0C ．sin θ>0，cos θ>0D ．sin θ<0，cos θ<0解析：选B ∵sin(θ＋π)<0，∴－sin θ<0，sin θ>0.∵cos(θ－π)>0，∴－cos θ>0，cos θ<0.2．若sin(π－α)＝－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α，则sin α·cos α的值等于( )A ．－25B ．－15C.25或－25D.25解析：选A 由sin(π－α)＝－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α，可得sin α＝－2cos α，则tan α＝－2，sin α·cos α＝tan α1＋tan 2α＝－25.3．(2019·江西五校联考)cos 350°－2sin 160°－＝( )A ．－ 3B ．－32C.32D.3解析：选D 原式＝－－－－＋＝cos 10°－－－－＝cos 10°－2⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos 10°－32sin 10°sin 10°＝ 3.4．已知f (α)＝π－απ－α－π－αα，则f ⎝⎛⎭⎪⎫－31π3的值为( )A.12 B ．－13C ．－12D.13解析：选C ∵f (α)＝sin α·cos α－cos αtan α＝－cos α，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－31π3＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－31π3＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫10π＋π3＝－cos π3＝－12.5．已知sin αcos α＝18，且5π4<α<3π2，则cos α－sin α的值为( )A ．－32 B.32C ．－34D.34解析：选B ∵5π4<α<3π2，∴cos α<0，sin α<0且|cos α|<|sin α|，∴cos α－sin α>0.又(cos α－sin α)2＝1－2sin αcos α＝1－2×18＝34，∴cos α－sin α＝32.6．化简：sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－απ＋α＋π－α⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋απ＋α＝________.解析：原式＝cos α·sin α－cos α＋sin α－sin α－sin α＝－sin α＋sin α＝0.答案：07．sin 4π3·cos 5π6·tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－4π3的值是________．解析：原式＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π＋π3·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π－π6·tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π－π3＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－sin π3·⎝ ⎛⎭⎪⎫－cos π6·⎝ ⎛⎭⎪⎫－tan π3 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－32×⎝ ⎛⎭⎪⎫－32×(－3)＝－334.答案：－3348．已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－θ＝a (|a |≤1)，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6＋θ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－θ的值是________．解析：由题意知，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6＋θ＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π－⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－θ＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－θ＝－a .sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－θ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－θ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－θ＝a ，∴cos ⎝⎛⎭⎪⎫5π6＋θ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－θ＝0.答案：09．求值：sin(－1 200°)·cos 1 290°＋cos(－1 020°)·sin(－1 050°)＋tan 945°.解：原式＝－sin 1 200°·cos 1 290°＋cos 1 020°·(－sin 1 050°)＋tan 945°＝－sin 120°·cos 210°＋cos 300°·(－sin 330°)＋tan 225°＝(－sin 60°)·(－cos 30°)＋cos 60°·sin 30°＋tan 45°＝32×32＋12×12＋1＝2. 10．已知sin(3π＋α)＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2＋α，求下列各式的值：(1)sin α－4cos α5sin α＋2cos α；(2)sin 2α＋sin 2α.解：由已知得sin α＝2cos α.(1)原式＝2cos α－4cos α5×2cos α＋2cos α＝－16.(2)原式＝sin 2α＋2sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝sin 2α＋sin 2αsin 2α＋14sin 2α＝85.三上台阶，自主选做志在冲刺名校1．sin 21°＋sin 22°＋…＋sin 290°＝________.解析：sin 21°＋sin 22°＋…＋sin 290°＝sin 21°＋sin 22°＋…＋sin 244°＋sin 245°＋cos 244°＋cos 243°＋…＋cos 21°＋sin 290°＝(sin 21°＋cos 21°)＋(sin 22°＋cos 22°)＋…＋(sin 244°＋cos 244°)＋sin 245°＋sin 290°＝44＋12＋1＝912.答案：9122．已知f (x )＝cos2n π＋x2n π－xcos2n ＋π－x ](n ∈Z)．(1)化简f (x )的表达式；(2)求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2 014＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫503π1 007的值．解：(1)当n 为偶数，即n ＝2k (k ∈Z)时， f (x )＝cos 2k π＋x2k π－x cos2k ＋π－x ]＝cos 2x ·sin 2－xcos 2π－x ＝cos 2x－sin x2－cos x2＝sin 2x ；当n 为奇数，即n ＝2k ＋1(k ∈Z)时，f (x )＝cos 2k ＋π＋x ]·sin 2k ＋π－x ]cos2k ＋＋1]π－x }＝cos 2[2k π＋π＋x 2[2k π＋π－x cos 2k ＋π＋π－x＝cos2π＋x2π－xcos 2π－x＝－cos x 2sin 2x －cos x 2＝sin 2x ，综上得f (x )＝sin 2x .(2)由(1)得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2 014＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫503π1 007＝sin 2π2 014＋sin 21 006π2 014＝sin 2π2 014＋sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－π2 014＝sin2π2 014＋cos 2π2 014＝1.第三节 三角函数的图象与性质1．用五点法作正弦函数和余弦函数的简图正弦函数y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的图象上，五个关键点是：(0,0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，1，(π，0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，－1，(2π，0)．余弦函数y ＝cos x ，x ∈[0,2π]的图象上，五个关键点是：(0,1)，⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，0，(π，－1)，⎝⎛⎭⎪⎫3π2，0，(2π，1)．2．正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中k ∈Z).1．下列函数中，最小正周期为π的奇函数是( ) A ．y ＝cos 2x B ．y ＝sin 2xC ．y ＝tan 2xD ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π2答案：B2．(教材习题改编)函数y ＝4sin x ，x ∈[－π，π]的单调性是( )A ．在[－π，0]上是增函数，在[0，π]上是减函数B ．在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2上是增函数，在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π，－π2和⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π上都是减函数C ．在[0，π]上是增函数，在[－π，0]上是减函数D ．在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π和⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π，－π2上是增函数，在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2上是减函数 答案：B3．(教材习题改编)函数y ＝－tan ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6＋2的定义域为________________．答案：⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≠k π＋π3，k ∈Z1．闭区间上最值或值域问题，首先要在定义域基础上分析单调性，含参数的最值问题，要讨论参数对最值的影响．2．要注意求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的单调区间时ω的符号，尽量化成ω>0时的情况．3．三角函数存在多个单调区间时易错用“∪”联结．[小题纠偏]1．函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最小值为( )A ．－1B ．－22C.22D ．0解析：选B 由已知x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，得2x －π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，3π4，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－22，1，故函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4上的最小值为－22.2．函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫π4－2x 的单调减区间为____________．解析：由y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－2x ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4得2k π≤2x －π4≤2k π＋π(k ∈Z)，解得k π＋π8≤x ≤k π＋5π8(k ∈Z)．所以函数的单调减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π8，k π＋5π8(k ∈Z)．答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π8，k π＋5π8(k ∈Z)考点一 三角函数的定义域与值域基础送分型考点——自主练透[题组练透]1．函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫πx 6－π3(0≤x ≤9)的最大值与最小值之和为( )A ．2－ 3B ．0C ．－1D ．－1－3解析：选A ∵0≤x ≤9，∴－π3≤π6x －π3≤7π6，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6x －π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，1.∴y ∈[－3，2]，∴y max ＋y min ＝2－ 3.2．(易错题)函数y ＝1tan x －1的定义域为__________________．解析：要使函数有意义，必须有⎩⎪⎨⎪⎧tan x －1≠0，x ≠π2＋kx ，k ∈Z ，即⎩⎪⎨⎪⎧x ≠π4＋k π，k ∈Z ，x ≠π2＋k π，k ∈Z.故函数的定义域为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≠π4＋k π且x ≠π2＋k π，k ∈Z .答案：⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x ≠π4＋k π且x ≠π2＋k π，k ∈Z3．函数y ＝lg(sin 2x )＋9－x 2的定义域为______________．解析：由⎩⎪⎨⎪⎧sin 2x >0，9－x 2≥0，得⎩⎪⎨⎪⎧k π<x <k π＋π2，k ∈Z ，－3≤x ≤3.∴－3≤x <－π2或0<x <π2.∴函数y ＝lg(sin 2x )＋9－x 2的定义域为⎣⎢⎡⎭⎪⎫－3，－π2∪⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2.答案：⎣⎢⎡⎭⎪⎫－3，－π2∪⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2 4．(易错题)求函数y ＝cos 2x ＋sin x ⎝⎛⎭⎪⎫|x |≤π4的最大值与最小值．解：令t ＝sin x ，∵|x |≤π4，∴t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－22，22.∴y ＝－t 2＋t ＋1＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫t －122＋54，∴当t ＝12时，y max ＝54，当t ＝－22时，y min ＝1－22.∴函数y ＝cos 2x ＋sin x ⎝⎛⎭⎪⎫|x |≤π4的最大值为54，最小值为1－22.[谨记通法]1．三角函数定义域的2种求法(1)应用正切函数y ＝tan x 的定义域求函数y ＝A tan(ωx ＋φ)的定义域，如“题组练透”第2题易忽视．(2)转化为求解简单的三角不等式求复杂函数的定义域．2．三角函数最值或值域的3种求法(1)直接法：直接利用sin x 和cos x 的值域求解．(2)化一法：把所给三角函数化为y ＝A sin(ωx ＋φ)＋k 的形式，由正弦函数单调性写出函数的值域．(3)换元法：把sin x 、cos x 、sin x cos x 或sin x ±cos x 换成t ，转化为二次函数，如“题组练透”第4题．考点二 三角函数的单调性重点保分型考点——师生共研[典例引领]写出下列函数的单调区间：(1)f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4，x ∈[0，π]；(2)f (x )＝|tan x |；(3)f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2.解：(1)由－π2＋2k π≤x ＋π4≤π2＋2k π，k ∈Z ，得－3π4＋2k π≤x ≤π4＋2k π，k ∈Z.又x ∈[0，π]，所以f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4，递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π.(2)观察图象可知，y ＝|tan x |的增区间是⎣⎢⎡⎭⎪⎫k π，k π＋π2，k ∈Z ，减区间是⎝ ⎛⎦⎥⎤k π－π2，k π，k ∈Z.(3)当2k π－π≤2x －π6≤2k π(k ∈Z)，即k π－5π12≤x ≤k π＋π12，k ∈Z ，函数f (x )是增函数．因此函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2上的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5π12，π12，递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，－5π12，⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12，π2.[由题悟法]求三角函数单调区间的2种方法(1)代换法：就是将比较复杂的三角函数含自变量的代数式整体当作一个角u (或t )，利用基本三角函数的单调性列不等式求解．(2)图象法：画出三角函数的正、余弦曲线，结合图象求它的单调区间．[提醒] 求解三角函数的单调区间时若x 的系数为负应先化为正，同时切莫漏掉考虑函数自身的定义域．[即时应用]1．函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫－2x ＋π3的单调减区间为______．解析：由已知函数为y ＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3，欲求函数的单调减区间，只需求y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的单调增区间即可．由2k π－π2≤2x －π3≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－π12≤x ≤k π＋5π12，k ∈Z.故所给函数的单调减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π12，k π＋5π12(k ∈Z)．答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π12，k π＋5π12(k ∈Z)2．若函数f (x )＝sin ωx (ω>0)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3上单调递增，在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π2上单调递减，则ω＝________.解析：∵f (x )＝sin ωx (ω>0)过原点，∴当0≤ωx ≤π2，即0≤x ≤π2ω时，y ＝sin ωx 是增函数；当π2≤ωx ≤3π2，即π2ω≤x ≤3π2ω时，y ＝sin ωx 是减函数．由f (x )＝sin ωx (ω>0)在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3上单调递增，在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π2上单调递减知，π2ω＝π3，∴ω＝32.答案：32考点三 三角函数的奇偶性、周期性及对称性常考常新型考点——多角探明[命题分析]正、余弦函数的图象既是中心对称图形，又是轴对称图形．正切函数的图象只是中心对称图形，应把三角函数的对称性与奇偶性结合，体会二者的统一．常见的命题角度有：(1)三角函数的周期；(2)求三角函数的对称轴或对称中心；(3)三角函数对称性的应用．[题点全练]角度一：三角函数的周期1．函数y ＝1－2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －3π4是( )A ．最小正周期为π的奇函数B ．最小正周期为π的偶函数C ．最小正周期为π2的奇函数D ．最小正周期为π2的偶函数解析：选A y ＝1－2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －3π4＝cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －3π4＝－sin 2x ，所以f (x )是最小正周期为π的奇函数．2．(2019·长沙一模)若函数f (x )＝2tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫kx ＋π3的最小正周期T 满足1＜T ＜2，则自然数k 的值为________．解析：由题意知，1＜πk＜2，即k ＜π＜2k .又k ∈N ，所以k ＝2或k ＝3.答案：2或3角度二：求三角函数的对称轴或对称中心3．(2019·太原模拟)已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4(ω>0)的最小正周期为π，则函数f (x )的图象( )A ．关于直线x ＝π4对称B ．关于直线x ＝π8对称C ．关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，0对称D ．关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π8，0对称解析：选B ∵f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4的最小正周期为π，∴2πω＝π，ω＝2，∴f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4.当x ＝π4时，2x ＋π4＝3π4，∴A ，C 错误；当x ＝π8时，2x ＋π4＝π2，∴B 正确，D 错误．角度三：三角函数对称性的应用4．(2019·西安八校联考)若函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6(ω∈N *)图象的一个对称中心是⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，0，则ω的最小值为( )A ．1B ．2C ．4D ．8解析：选Bπω6＋π6＝k π＋π2(k ∈Z)⇒ω＝6k ＋2(k ∈Z)⇒ωmin ＝2.5.设偶函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0,0<φ<π)的部分图象如图所示，△KLM为等腰直角三角形，∠KML ＝90°，KL ＝1，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫16的值为( )A ．－34B ．－14C ．－12 D.34解析：选D 由题意知，点M 到x 轴的距离是12，根据题意可设f (x )＝12cos ωx ，又由题图知12·2πω＝1，所以ω＝π，所以f (x )＝12cos πx ，故f ⎝ ⎛⎭⎪⎫16＝12cos π6＝34.[方法归纳]函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)的奇偶性、周期性和对称性(1)若f (x )＝A sin(ωx ＋φ)为偶函数，则当x ＝0时，f (x )取得最大或最小值；若f (x )＝A sin(ωx ＋φ)为奇函数，则当x ＝0时，f (x )＝0.(2)对于函数y ＝A sin(ωx ＋φ)，其对称轴一定经过图象的最高点或最低点，对称中心一定是函数的零点，因此在判断直线x ＝x 0或点(x 0,0)是否是函数的对称轴或对称中心时，可通过检验f (x 0)的值进行判断．一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．函数y ＝cos x －32的定义域为( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π6B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π6，k π＋π6(k ∈Z) C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π6，2k π＋π6(k ∈Z)D ．R解析：选C ∵cos x －32≥0，得cos x ≥32，∴2k π－π6≤x ≤2k π＋π6，k ∈Z.2．已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4(ω>0)的最小正周期为π，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8＝( )A ．1 B.12C ．－1D ．－12解析：选 A 由题设知2πω＝π，所以ω＝2，f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4，所以 f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2×π8＋π4＝sin π2＝1.3．(2019·石家庄一模)函数f (x )＝tan ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3的单调递增区间是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π2－π12，k π2＋5π12(k ∈Z)B.⎝⎛⎭⎪⎫k π2－π12，k π2＋5π12(k ∈Z) C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π12，k π＋5π12(k ∈Z)D.⎝⎛⎭⎪⎫k π＋π6，k π＋2π3(k ∈Z)解析：选B 由k π－π2＜2x －π3＜k π＋π2(k ∈Z)得，k π2－π12＜x ＜k π2＋5π12(k ∈Z)，所以函数f (x )＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2－π12，k π2＋5π12(k ∈Z)．4．函数f (x )＝sin(－2x )的单调增区间是____________．解析：由f (x )＝sin(－2x )＝－sin 2x ，2k π＋π2≤2x ≤2k π＋3π2得k π＋π4≤x ≤k π＋3π4(k ∈Z)．答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π4，k π＋3π4(k ∈Z)5．函数y ＝3－2cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4的最大值为______，此时x ＝______.解析：函数y ＝3－2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4的最大值为3＋2＝5，此时x ＋π4＝π＋2k π，即x ＝3π4＋2k π(k ∈Z)．答案：53π4＋2k π(k ∈Z)二保高考，全练题型做到高考达标1．若函数f (x )＝－cos 2x ，则f (x )的一个递增区间为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4，0 B.⎝⎛⎭⎪⎫0，π2 C.⎝⎛⎭⎪⎫π2，3π4D.⎝⎛⎭⎪⎫3π4，π解析：选B 由f (x )＝－cos 2x 知递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π，k π＋π2，k ∈Z ，故只有B 项满足．2．(2019·河北五校联考)下列函数最小正周期为π且图象关于直线x ＝π3对称的函数是( )A ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3B ．y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6C ．y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π3 D ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3解析：选B 由函数的最小正周期为π，可排除C.由函数图象关于直线x ＝π3对称知，该直线过函数图象的最高点或最低点，对于A ，因为sin ⎝⎛⎭⎪⎫2×π3＋π3＝sin π＝0，所以选项A 不正确．对于D ，sin ⎝⎛⎭⎪⎫2×π3－π3＝sin π3＝32，所以选项D 不正确．对于B ，sin ⎝⎛⎭⎪⎫2×π3－π6＝sin π2＝1，所以选项B 正确．3．已知函数f (x )＝－2sin(2x ＋φ)(|φ|<π), 若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8＝－2，则f (x )的一个单调递增区间可以是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π8，3π8B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π8，9π8C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3π8，π8 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π8，5π8解析：选D ∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8＝－2，∴－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋φ＝－2，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋φ＝1.又∵|φ|<π，∴φ＝π4，∴f (x )＝－2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4，由2k π＋π2≤2x ＋π4≤2k π＋3π2，k ∈Z ，得k π＋π8≤x ≤k π＋5π8，k ∈Z.当k ＝0时，得π8≤x ≤5π8.4．若函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6(ω>0)的图象的相邻两条对称轴之间的距离为π2，且该函数图象关于点(x 0,0)成中心对称，x 0∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，则x 0＝( )A.5π12 B.π4 C.π3D.π6解析：选A 由题意得T 2＝π2，T ＝π，ω＝2.又2x 0＋π6＝k π(k ∈Z)，x 0＝k π2－π12(k∈Z)，而x 0∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，所以x 0＝5π12.5．若函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω＞0，且|φ|＜π2在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，2π3上是单调减函数，且函数值从1减少到－1，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝( )A.12B.22C.32D ．1解析：选C 由题意得函数f (x )的周期T ＝2⎝⎛⎭⎪⎫2π3－π6＝π，所以ω＝2，此时f (x )＝sin(2x ＋φ)，将点⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，1代入上式得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋φ＝1⎝ ⎛⎭⎪⎫|φ|＜π2，所以φ＝π6，所以f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，于是f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋π6＝cos π6＝32.6．已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)，对于任意x 都有f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋x＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－x ，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6的值为________．解析：∵f ⎝⎛⎭⎪⎫π6＋x ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－x ，∴x ＝π6是函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)的一条对称轴．∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝±2.答案：2或－27．函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4的图象与x 轴交点的坐标是________________．解析：由2x ＋π4＝k π(k ∈Z)得，x ＝k π2－π8(k ∈Z)．∴函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4的图象与x 轴交点的坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2－π8，0，k ∈Z.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2－π8，0，k ∈Z 8．已知x ∈(0，π]，关于x 的方程2 sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3＝a 有两个不同的实数解，则实数a的取值范围为________．解析：令y 1＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3，x ∈(0，π]，y 2＝a ，作出y 1的图象如图所示．若2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3＝a 在(0，π]上有两个不同的实数解，则y 1与y 2应有两个不同的交点，所以3<a <2.答案：(3，2)9．已知f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4.(1)求函数f (x )图象的对称轴方程；(2)求f (x )的单调增区间；(3)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，3π4时，求函数f (x )的最大值和最小值．解：(1)f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4，令2x ＋π4＝k π＋π2，k ∈Z ，则x ＝k π2＋π8，k ∈Z.∴函数f (x )图象的对称轴方程是x ＝k π2＋π8，k ∈Z.(2)令2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π2，k ∈Z ，则k π－3π8≤x ≤k π＋π8，k ∈Z.故f (x )的单调增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－3π8，k π＋π8，k ∈Z.(3)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，3π4时，3π4≤2x ＋π4≤7π4，∴－1≤sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4≤22，∴－2≤f (x )≤1，∴当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，3π4时，函数f (x )的最大值为1，最小值为－ 2.10．已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫0<φ<2π3的最小正周期为π.(1)求当f (x )为偶函数时φ的值；(2)若f (x )的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，32，求f (x )的单调递增区间．解：∵f (x )的最小正周期为π，则T ＝2πω＝π，∴ω＝2.∴f (x )＝sin(2x ＋φ)．(1)当f (x )为偶函数时，f (－x )＝f (x )．∴sin(2x ＋φ)＝sin(－2x ＋φ)，将上式展开整理得sin 2x cos φ＝0，由已知上式对∀x ∈R 都成立，。

《反三角函数知识点总结》一、引言三角函数是数学中一个重要的分支，在几何学、物理学、工程学等领域都有广泛的应用。

而反三角函数则是三角函数的反函数，它们为解决一些特定类型的问题提供了有力的工具。

本文将对反三角函数的知识点进行全面总结，帮助读者更好地理解和掌握这一重要概念。

二、反三角函数的定义1. 反正弦函数- 定义：对于任意实数\(x\)，如果\(\sin y = x\)，且\(-\frac{\pi}{2}\leq y\leq\frac{\pi}{2}\)，那么\(y=\arcsin x\)，反正弦函数\(\arcsin x\)的定义域是\([-1,1]\)，值域是\([-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}]\)。

- 图像：反正弦函数的图像是一段在\([-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}]\)区间内的曲线，关于原点对称。

2. 反余弦函数- 定义：对于任意实数\(x\)，如果\(\cos y = x\)，且\(0\leq y\leq\pi\)，那么\(y=\arccos x\)，反余弦函数\(\arccos x\)的定义域是\([-1,1]\)，值域是\([0,\pi]\)。

- 图像：反余弦函数的图像是一段在\([0,\pi]\)区间内的曲线，关于\(y\)轴对称。

3. 反正切函数- 定义：对于任意实数\(x\)，如果\(\tan y = x\)，且\(-\frac{\pi}{2}\lt y\lt\frac{\pi}{2}\)，那么\(y=\arctan x\)，反正切函数\(\arctan x\)的定义域是\(R\)，值域是\((-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2})\)。

- 图像：反正切函数的图像是一条在\((-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2})\)区间内的曲线，关于原点对称。

三、反三角函数的性质1. 定义域和值域- 反正弦函数、反余弦函数和反正切函数的定义域都是有一定限制的，分别是\([-1,1]\)、\([-1,1]\)和\(R\)。

第32课 三角函数综合问题一、考纲要求1.能灵活运用三角公式进行化简、求值、求范围；2.能综合应用代数中的函数、方程、不等式等知识与方法解决与三角相关的问题。

二、知识梳理1．在ABC ∆中，= ，=，且2||=a ，3||=b ，3-=⋅，则C cos = ，AB = ．【教学建议】本题是课本习题的改编，考查三角函数与向量简单的综合应用。

教学时先让学生回忆向量的数量积公式，强调向量夹角必须共起点，求出C cos 后，利用余弦定理求出AB 长。

2．函数)12(cos )(2π+=x x f ，x x g 2sin 211)(+=.若0x x =是函数)(x f y =图像的一条对称轴，则)(0x g 的值为 ．【教学建议】本题主要考查三角函数的图像与性质，及三角恒等变形。

教学时，先让学生求出)(x f 的对称轴，带入)(x g 表达式，转化为三角求值题，此题要注意分类讨论，不能漏解。

三、诊断练习1、教学处理：课前由学生自主完成4道小题，并要求将解题过程扼要地写在学习笔记栏。

上课前抽查批阅部分同学的解答，了解学生的思路及主要错误。

2、结合课件点评。

必要时可借助实物投影，有针对性地投影几位学生的解答过程。

题1：函数2()(sin cos )f x x x =-的最大值为___________.【点评】解析式有何特点？平方展开后出现一个定值，另一个表达式怎么处理？，有没有定义域的范围限制？题2：设(),0,αβπ∈，且()51sin ,tan 1322βαβ+==，则cos α= ．答案为：1665-. 【点评】本题主要考察基本关系式、和角公式与角的代换，角范围的界定。

问题1：求cos α的基本思路是什么？ 交流：由1tancos ,sin 22βββ=⇒，再由cos cos[()]ααββ=+-展开求解. 问题2：因为(),0,αβπ∈，1tan 22β=我们知道0,2πβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， 而由()()512sin cos 1313αβαβ+=⇒+=±，符号如何确定？还是二者均可以？题3：已知角,,αβγ构成公差为3π的等差数列，若2cos 3β=-，则cos cos αγ+= .答案为：23-.问题：探求cos cos αγ+的基本思路是什么？ 题4：设函数)(x f =θθθtan 2cos 33sin 23++x x ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈125,0πθ，则导数)1('f 的取值范围是 .【点评】指导学生认真读题，并将题中条件作初步的转化：求导数，确定)1('f 的函数解析式，进而转化为以θ自变量的三角函数)1('f =θθθcos 3sin )(+=g ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈125,0πθ的值域问题。

三角函数 1. 特殊锐角（0°，30°，45°，60°，90°）的三角函数值2.角度制与弧度制设扇形的弧长为l ，圆心角为a （rad ）,半径为R ，面积为S 角a 的弧度数公式 2π×(a /360°)角度与弧度的换算①360°=2π rad ②1°=π/180rad③1 rad=180°/π=57° 18′≈57.3°弧长公式 l a R =扇形的面积公式 12s lR =3.诱导公式：（奇变偶不变，符号看象限）所谓奇偶指是整数k 的奇偶性（k ·π/2+a ）所谓符号看象限是看原函数的象限（将a 看做锐角，k ·π/2+a 之和所在象限） 注：①：诱导公式应用原则：负化正、大化小，化到锐角为终了4. 三角函数的图像和性质：（其中z k ∈）①：三角函数x y sin = x y cos =x y tan = cot y x=函 数 图 象定义域 R R 2x k ππ≠+x k π≠值域 [-1,1][-1,1]RR周期 2π2πππ奇偶性 奇偶奇非奇非偶单 调 性 2,222k k ππππ⎡⎤-+↑⎢⎥⎣⎦2,222k k ππππ⎡⎤-+↑⎢⎥⎣⎦[]2,2k k πππ-↑ []2,2k k πππ+↓,22k k ππππ⎡⎤-+↑⎢⎥⎣⎦[],k k πππ+↓对 称 性 :2x k ππ=+对称轴对称中心:(,0)k π:x k π=对称轴:对称中心(+,0)2k ππ:对称中心(,0)2k π零值点 πk x =2ππ+=k xπk x =2ππ+=k x最 值 点2ππ+=k x ,1max=y2ππ-=k x ,1min-=yπk x 2=，1max =y ；2y k ππ=+，1min -=y②：函数)sin(ϕω+=x A y 的图像与性质：（1） 函数)sin(ϕω+=x A y 和)cos(ϕω+=x A y 的周期都是ωπ2=T（2） 函数)tan(ϕω+=x A y 和)cot(ϕω+=x A y 的周期都是ωπ=T5.三角函数尺度变换sin y x =经过变换变为sin y x ϖϕ=+A （）的步骤（先平移后伸缩）： 1sin sin sin sin y x y x y x y x ϖϕϖϖϖϕϖϕ=−−−−−−−→=−−−−−→=+−−−−−−−→=+横坐标变为原来的倍向左或向右纵坐标不变平移个单位纵坐标变为原来的A 倍横坐标不变（）A （）6.三角函数的对称变换：① )()(x f y x f y -=→=) 将)(x f y =图像绕y 轴翻折180°（整体翻折） （对三角函数来说：图像关于x 轴对称）② )()(x f y x f y -=→=将)(x f y =图像绕x 轴翻折180°（整体翻折） （对三角函数来说：图像关于y 轴对称）③ )()(x f y x f y =→= 将)(x f y =图像在y 轴右侧保留，并把右侧图像绕y 轴翻折到左侧（偶函数局部翻折）④ )()(x f y x f y =→=保留)(x f y =在x 轴上方图像，x 轴下方图像绕x 轴翻折上去（局部翻动）7.反三角函数的图像与性质：名称y=arsinx y=arccosx y=arctanx y=arccotx定义y=sinx((,))22xππ∈-的反函数，叫做反正弦函数y=cosx((0,))xπ∈的反函数，叫做反余弦函数y=tanx((,))22xππ∈-的反函数，叫做反正切函数y=cotx((0,))xπ∈的反函数，叫做反余切函数性质图像定义域［-1，1］［-1，1］(-∞，+∞)(-∞，+∞)值域［-2π，2π］［0，π］(-2π，2π) (0，π)单调性[]1,1-增函数[]1,1-减函数(),-∞+∞增函数(),-∞+∞减函数奇偶性arcsin()arcsinθθ-=-arccos()arccosθπθ-=-arctan()arctanθθ-=-arccot()arccotθπθ-=-周期性非周期函数非周期函数非周期函数非周期函数7.三角函数公式：（1）倒数关系： （2）平方关系：tan cot 1sin csc 1cos sec 1αααααα⋅=⋅=⋅= 222222sin cos 11tan sec 1cot csc αααααα+=+=+=（3）三角和与差公式：sin()sin cos cos sin cos()cos cos sin sin tan tan tan()1tan tan αβαβαβαβαβαβαβαβαβ+=++=-++=- sin()sin cos cos sin cos()cos cos sin sin tan tan tan()1tan tan αβαβαβαβαβαβαβαβαβ-=--=+--=+（4）二倍角公式：()22222sin 22sin cos cos 2cos sin 2cos 112sin 2tan tan 21tan ααααααααααα==-=-=-=-升幂公式 22221cos 2sin 1cos 22sin 2(1cos 21cos 22cos cos 2αααααααα-⎫=⎪⎧-=⎪⎪⇒⎬⎨++=⎪⎩⎪=⎪⎭降幂公式） （5）三角函数的和差化积公式 （6）三角函数的积化和差公式sin sin 2sin cos22sin sin 2cos sin22cos cos 2cos cos22cos cos 2sin sin22αβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβ+-+=⋅+--=⋅+-+=⋅+--=-⋅ [][][][]1sin cos sin()sin()21cos sin sin()sin()21cos cos cos()cos()21sin sin cos()cos()2αβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβ⋅=++-⋅=+--⋅=++-⋅=-+-- 六边形记忆法：图形结构“上弦中切下割，左正右余中间1”；记忆方法“对角线上两个函数的积为1；阴影三角形上两顶点的三角函数值的平方和等于下顶点的三角函数值的平方；任意一顶点的三角函数值等于相邻两个顶点的三角函数值的乘积。

备战高考数学复习考点知识与题型讲解 第32讲 三角函数的图象和性质考向预测核心素养 以考查三角函数的性质为主，题目涉及单调性、周期性、最值、零点．考查三角函数性质时，常与三角恒等变换相结合，中档难度. 直观想象、 逻辑推理一、知识梳理1．用五点法作正弦函数和余弦函数的简图(1)在正弦函数y ＝sin x ，x ∈[0，2π]的图象中，五个关键点是：(0，0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，1，(π，0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，－1，(2π，0)． (2)在余弦函数y ＝cos x ，x ∈[0，2π]的图象中，五个关键点是：(0，1)，⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，0，(π，－1)，⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，0，(2π，1)． 2．正弦、余弦、正切函数的图象与性质 函数y ＝sin x y ＝cos x y ＝tan x图象定义域 R R⎩⎪⎨⎪⎧x ⎪⎪⎪x ≠k π＋π2，}k ∈Z值域[－1，1][－1，1]R奇偶性奇函数偶函数奇函数函数的最值最大值1，当且仅当x＝2kπ＋π2，k∈Z时取得；最小值－1，当且仅当x＝2kπ－π2，k∈Z时取得最大值1，当且仅当x＝2kπ，k∈Z时取得；最小值－1，当且仅当x＝2kπ－π，k∈Z时取得无最大值和最小值单调性增区间：[2kπ－π2，2kπ＋π2](k∈Z)；减区间：[2kπ＋π2，2kπ＋3π2](k∈Z)增区间：[2kπ－π，2kπ](k∈Z)；减区间：[2kπ，2kπ＋π](k∈Z)增区间(kπ－π2，kπ＋π2)(k∈Z)周期性周期为2kπ，k≠0，k∈Z，最小正周期为2π周期为2kπ，k≠0，k∈Z，最小正周期为2π周期为kπ，k≠0，k∈Z，最小正周期为π对称性对称中心(kπ，0)，k∈Z⎝⎛⎭⎪⎫kπ＋π2，0，k∈Z⎝⎛⎭⎪⎫kπ2，0，k∈Z 对称轴x＝kπ＋π2，k∈Z x＝kπ，k∈Z无对称轴零点kπ，k∈Z kπ＋π2，k∈Z kπ，k∈Z常用结论1．函数y＝sin x与y＝cos x的对称轴分别是经过其图象的最高点或最低点且垂直于x轴的直线．2．正弦曲线、余弦曲线相邻的两个对称中心、相邻的两条对称轴之间的距离是半个周期，相邻的对称中心与对称轴之间的距离是14个周期．正切曲线相邻两个对称中心之间的距离是半个周期．3．三角函数中奇函数一般可化为y ＝A sin ωx 或y ＝A tan ωx 的形式，偶函数一般可化为y ＝A cos ωx ＋b 的形式．4．对于y ＝tan x 不能认为其在定义域上为增函数，而是在每个开区间⎝⎛⎭⎪⎫k π－π2，k π＋π2(k ∈Z )内为增函数．二、教材衍化1．(人A 必修第一册P 206例5改编)函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3(x ∈[－π，0])的单调递增区间是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π，－5π6B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5π6，－π6 C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，0 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，0 解析：选D.令－π2＋2k π≤x －π3≤π2＋2k π，k ∈Z ，则－π6＋2k π≤x ≤5π6＋2k π，k ∈Z .由于x ∈[－π，0]，所以所求的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，0.2．(人A 必修第一册P 207练习T 2(2)改编)函数y ＝3－2cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4的最大值为________，此时x ＝________．答案：53π4＋2k π(k ∈Z ) 3．(人A 必修第一册P 212例6改编)函数y ＝－tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －3π4的单调递减区间为________________．解析：由－π2＋k π＜2x －3π4＜π2＋k π(k ∈Z )，得π8＋k π2＜x ＜5π8＋k π2(k ∈Z )， 所以y ＝－tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －3π4的单调递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫π8＋k π2，5π8＋k π2(k ∈Z )．答案：⎝⎛⎭⎪⎫π8＋k π2，5π8＋k π2(k ∈Z )一、思考辨析判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)y ＝cos x 在第一、二象限内单调递减．( ) (2)若y ＝k sin x ＋1，x ∈R ，则y 的最大值是k ＋1.( )(3)若非零实数T 是函数f (x )的周期，则kT (k 是非零整数)也是函数f (x )的周期．( )(4)函数y ＝sin x 图象的对称轴方程为x ＝2k π＋π2(k ∈Z )．( ) (5)函数y ＝tan x 在整个定义域上是增函数．( ) 答案：(1)× (2)× (3)√ (4)× (5)× 二、易错纠偏1．(奇偶性概念不清致误)下列函数中，是奇函数的是( ) A ．y ＝|cos x ＋1| B.y ＝1－sin x C ．y ＝－3sin(2x ＋π)D.y ＝1－tan x解析：选C.选项A 中的函数是偶函数，选项B ，D 中的函数既不是奇函数，也不是偶函数；因为y ＝－3sin(2x ＋π)＝3sin 2x ，所以是奇函数，故选C.2．(多选)(三角函数性质理解不透致误)已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π2(x ∈R )，则下列结论正确的是( )A ．函数f (x )的最小正周期为2πB ．函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上单调递增C ．函数f (x )的图象关于直线x ＝0对称D ．函数f (x )是奇函数解析：选ABC.由题意，可得f (x )＝－cos x ， 对于选项A ，T ＝2π1＝2π，所以选项A 正确；对于选项B ，y ＝cos x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上单调递减，所以函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上单调递增，所以选项B 正确；对于选项C ，f (－x )＝－cos(－x )＝－cos x ＝f (x )，所以函数是偶函数，所以其图象关于直线x ＝0对称，所以选项C 正确；选项D 错误．故选ABC.3．(忽视取最值的条件致误)函数f (x )＝sin 2x ＋3cos x －34⎝ ⎛⎭⎪⎫x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2的最大值是________．解析：f (x )＝sin 2x ＋3cos x －34＝1－cos 2x ＋3cos x －34＝－⎝⎛⎭⎪⎫cos x －322＋1，cos x ∈[0，1]，当cos x ＝32时，f (x )取得最大值1.答案：1考点一 三角函数的定义域(自主练透)复习指导：求三角函数定义域实际上是构造简单的三角不等式(组)，常借助三角函数线或三角函数图象来求解．1．函数f (x )＝－2tan ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的定义域是( )A.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≠π6B.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≠－π12C.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≠k π＋π6（k ∈Z ） D.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≠k π2＋π6（k ∈Z ） 解析：选D.由2x ＋π6≠k π＋π2，得x ≠k π2＋π6(k ∈Z )． 2．函数y ＝lg sin x ＋cos x －12的定义域为________．解析：要使函数有意义，则有⎩⎨⎧sin x >0，cos x －12≥0， 即⎩⎨⎧sin x >0，cos x ≥12，解得⎩⎨⎧2k π<x <π＋2k π，－π3＋2k π≤x ≤π3＋2k π(k ∈Z )， 所以2k π<x ≤π3＋2k π，k ∈Z .所以函数y 的定义域为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪2k π<x ≤π3＋2k π，k ∈Z .答案：⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x⎪⎪⎪2k π<x ≤π3＋2k π，k ∈Z 3．函数y ＝sin x －cos x 的定义域为________．解析：要使函数有意义，必须使sin x －cos x ≥0.利用图象，在同一平面直角坐标系中画出[0，2π]上y ＝sin x 和y ＝cos x 的图象，如图所示．在[0，2π]内，满足sin x ＝cos x 的x 为π4，5π4，再结合正弦、余弦函数的周期是2π，所以原函数的定义域为{x |2k π＋π4≤x ≤2k π＋5π4，k ∈Z }． 答案：{x |2k π＋π4≤x ≤2k π＋5π4，k ∈Z }三角函数的定义域的求法(1)以正切函数为例，应用正切函数y ＝tan x 的定义域求函数y ＝A tan(ωx ＋φ)的定义域．(2)转化为求解简单的三角不等式来求复杂函数的定义域．考点二 三角函数的单调性(多维探究)复习指导：借助图象理解正弦函数、余弦函数在[0，2π]，正切函数在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2上的单调性．角度1 求三角函数的单调区间(1)(2022·广东省七校联考)函数f (x )＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－π6的单调递增区间是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－2π3，2k π＋4π3，k ∈Z B.⎝⎛⎭⎪⎫2k π－2π3，2k π＋4π3，k ∈Z C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤4k π－2π3，4k π＋4π3，k ∈Z D.⎝⎛⎭⎪⎫4k π－2π3，4k π＋4π3，k ∈Z (2)函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－2x 的单调递减区间为________．【解析】 (1)由－π2＋k π＜x 2－π6＜π2＋k π，k ∈Z ，得2k π－2π3＜x ＜2k π＋4π3，k ∈Z ，所以函数f (x )＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－π6的单调递增区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫2k π－2π3，2k π＋4π3，k ∈Z ，故选B.(2)f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－2x 的单调递减区间是f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的单调递增区间．由2k π－π2≤2x －π3≤2k π＋π2，k ∈Z ， 得k π－π12≤x ≤k π＋5π12，k ∈Z . 故所求函数的单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π12，k π＋5π12，k ∈Z .【答案】 (1)B (2)⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π12，k π＋5π12，k ∈Z1．若本例(2)f (x )变为：f (x )＝－cos ⎝⎛⎭⎪⎫－2x ＋π3，求f (x )的单调递增区间．解：f (x )＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2x ＋π3＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3，欲求函数f (x )的单调递增区间， 只需求y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的单调递减区间．由2k π≤2x －π3≤2k π＋π，k ∈Z ， 得k π＋π6≤x ≤k π＋2π3，k ∈Z . 故函数f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π6，k π＋2π3(k ∈Z )．2．本例(2)f (x )变为：f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3，试讨论f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4上的单调性．解：令z ＝2x －π3，易知函数y ＝sin z 的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2＋2k π，π2＋2k π，k ∈Z .由－π2＋2k π≤2x －π3≤π2＋2k π，得－π12＋k π≤x ≤5π12＋k π，k ∈Z .设A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4，B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x |－π12＋k π≤x ≤5π12＋k π，k ∈Z ，易知A ∩B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π12，π4.所以当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4时，f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π12，π4上单调递增，又因为π4－⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4＝π2<T ，所以f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，－π12上单调递减．求三角函数单调区间的方法求形如y ＝A sin(ωx ＋φ)或y ＝A cos(ωx ＋φ)(其中ω＞0)的单调区间时，要视“ωx ＋φ”为一个整体，通过解不等式求解．但如果ω＜0，可借助诱导公式将ω化为正数，防止把单调性弄错．角度2 已知三角函数的单调性求参数(1)(一题多解)(2022·湖南师大附中月考)若函数f (x )＝23sin ωx cos ωx＋2sin 2ωx ＋cos 2ωx 在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3π2，3π2上单调递增，则正数ω的最大值为( ) A.18 B.16 C.14D.13(2)定义在[0，π]上的函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π6(ω＞0)有零点，且值域M ⊆⎣⎢⎡⎭⎪⎫－12，＋∞，则ω的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，43 B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤43，2 C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤16，43 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤16，2 【解析】 (1)方法一：因为f (x )＝23sin ωx cos ωx ＋2sin 2ωx ＋cos 2ωx ＝3sin 2ωx ＋1在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3π2，3π2上单调递增， 所以⎩⎪⎨⎪⎧－3ωπ≥－π2，3ωπ≤π2.解得ω≤16，所以正数ω的最大值是16.方法二：易知f (x )＝3sin 2ωx ＋1，可得f (x )的最小正周期T ＝πω，所以⎩⎪⎨⎪⎧－π4ω≤－3π2，π4ω≥3π2，解得ω≤16.所以正数ω的最大值是16. (2)由0≤x ≤π，得－π6≤ωx －π6≤ωπ－π6，当x ＝0时，y ＝－12.因为函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx －π6在[0，π]上有零点，所以ωπ－π6≥0，ω≥16.因为值域M ⊆⎣⎢⎡⎭⎪⎫－12，＋∞，所以ωπ－π6≤π＋π6，ω≤43，从而16≤ω≤43. 【答案】 (1)B(2)C已知函数单调性求参数(1)明确一个不同：“函数f (x )在区间M 上单调”与“函数f (x )的单调区间为N ”两者的含义不同，显然M 是N 的子集．(2)抓住两种方法：一是利用已知区间与单调区间的子集关系建立参数所满足的关系式求解；二是利用导数，转化为导函数在区间M 上的保号性，由此列不等式求解．|跟踪训练|1．函数y ＝－2＋tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋π3的单调递增区间是( )A.⎝⎛⎭⎪⎫2k π－5π3，2k π＋π3，k ∈Z B.⎝⎛⎭⎪⎫2k π－π3，2k π＋5π3，k ∈ZC.⎝⎛⎭⎪⎫k π－5π3，k π＋π3，k ∈Z D.⎝⎛⎭⎪⎫k π－π3，k π＋5π3，k ∈Z 解析：选A.由题意，令－π2＋k π<12x ＋π3<π2＋k π，k ∈Z ，解得2k π－5π3<x <2k π＋π3，k ∈Z ，所以函数y ＝－2＋tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋π3的单调递增区间为(2k π－5π3，2k π＋π3)，k ∈Z .2．若函数f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π10－2在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，a 上单调，则实数a 的最大值是________．解析：因为π2≤x ≤a ，所以π2＋π10≤x ＋π10≤a ＋π10，而f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，a 上单调，所以a ＋π10≤3π2，即a ≤7π5， 所以a 的最大值为7π5. 答案：7π53．(2022·重庆市高三质量检测)函数f (x )＝3sin(ωx ＋φ)，|φ|＜π2的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫0，32，且在⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π3上单调递增，则ω的最大值为________．解析：依题意f (0)＝3sin φ＝32，sin φ＝12，由于|φ|＜π2，所以φ＝π6. 所以f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6.令ω＞0，由2k π－π2≤ωx ＋π6≤2k π＋π2，化简得2k π－2π3ω≤x ≤2k π＋π3ω，由于f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π3上单调递增，所以⎩⎪⎨⎪⎧2k π－2π3ω≤π4，2k π＋π3ω≥π3，解得8k －83≤ω≤6k ＋1，k ∈Z ，要使ω有解，则8k －83≤6k＋1，解得k ≤116，由于k ∈Z ，故k max ＝1，故k ＝1时，163≤ω≤7，ω的最大值为7. 答案：7考点三 三角函数的最值(值域)(综合研析)(1)(2022·衡水调研)已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6，其中x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，a ，若f (x )的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1，则实数a 的取值范围是________．(2)函数y ＝sin x －cos x ＋sin x cos x 的值域为________． 【解析】 (1)因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，a ，所以x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，a ＋π6，因为当x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π2时，f (x )的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1，所以由函数的图象(图略)知，π2≤a ＋π6≤7π6，所以π3≤a ≤π. (2)设t ＝sin x －cos x ，则t 2＝sin 2x ＋cos 2x －2sin x ·cos x ，sin x cos x ＝1－t22，且－2≤t ≤ 2.所以y ＝－t 22＋t ＋12＝－12(t －1)2＋1，t ∈[－2， 2 ]．当t ＝1时，y max ＝1；当t ＝－2时，y min ＝－1＋222. 所以函数的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1＋222，1.【答案】 (1)⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π (2)⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1＋222，1三角函数值域的求法(1)利用y ＝sin x 和y ＝cos x 的值域直接求．(2)把所给的三角函数式变换成y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b (或y ＝A cos(ωx ＋φ)＋b )的形式求值域．(3)把sin x 或cos x 看作一个整体，将原函数转换成二次函数求值域． (4)利用sin x ±cos x 和sin x cos x 的关系将原函数转换成二次函数求值域．|跟踪训练|1．函数f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的值域为( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，32 B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，3C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－332，332 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－332，3解析：选B.当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，2x －π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，5π6，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1，故3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，3，此时函数f (x )的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，3.2．已知函数f (x )＝－10sin 2x －10sin x －12，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，m 的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，2，则实数m 的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，0 B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，0 C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π6 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π3 解析：选B.记t ＝sin x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，m ，则函数f (x )可转化为g (t )＝－10t 2－10t－12＝－10⎝⎛⎭⎪⎫t ＋122＋2.因为函数的最大值为2，显然此时t ＝－12.令g (t )＝－12，得t ＝－1或t ＝0，由题意知x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，m ，当x ＝－π2时，t ＝－1，g (－1)＝－12，结合g (t )的图象及函数的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，2，可得－12≤sin m ≤0，解得－π6≤m ≤0.故选B.3．(2020·高考北京卷)若函数f (x )＝sin(x ＋φ)＋cos x 的最大值为2，则常数φ的一个取值为________．解析：因为f (x )＝cos φsin x ＋(sin φ＋1)cos x ＝cos 2φ＋（sin φ＋1）2sin(x＋θ)⎝ ⎛⎭⎪⎫其中tan θ＝1＋sin φcos φ， 因为sin(x ＋θ)≤1，所以cos 2φ＋（sin φ＋1）2＝2，解得sin φ＝1.则φ＝π2＋2k π，k ∈Z ，故常数φ的一个取值为π2.答案：π2⎝ ⎛⎭⎪⎫符合2k π＋π2，k ∈Z 均可，答案不唯一[A 基础达标]1．(2021·新高考卷Ⅰ)下列区间中，函数f (x )＝7sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6单调递增的区间是( )A.⎝⎛⎭⎪⎫0，π2B.⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π C.⎝⎛⎭⎪⎫π，3π2D.⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，2π 解析：选A.令－π2＋2k π≤x －π6≤π2＋2k π，k ∈Z ，得－π3＋2k π≤x ≤2π3＋2k π，k ∈Z .取k ＝0，则－π3≤x ≤2π3.因为⎝⎛⎭⎪⎫0，π2⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，2π3，所以区间⎝⎛⎭⎪⎫0，π2是函数f (x )的单调递增区间．2．函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最小值为( )A ．－1 B.－22C.22D.0解析：选B.由已知x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，得2x －π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，3π4，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－22，1，故函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最小值为－22.3．(2022·山西省实验中学期中)若tan 2＝a ，tan 3＝b ，tan 5＝c ，则( ) A ．a ＜b ＜c B.b ＜c ＜a C ．c ＜b ＜aD.c ＜a ＜b解析：选D.因为tan 5＝tan(5－π)，π2＜5－π＜2＜3＜π，且函数y ＝tan x 在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π上单调递增，所以tan(5－π)＜tan 2＜tan 3，所以tan 5＜tan 2＜tan 3，即c ＜a ＜b .4．(2022·福州检测)已知函数f (x )＝sin 2x ＋2sin 2x －1在[0，m ]上单调递增，则m 的最大值是( )A.π4B.π2C.3π8D.π解析：选 C.由题意得，f (x )＝sin 2x －cos 2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4，由－π2＋2k π≤2x －π4≤π2＋2k π(k ∈Z )，解得－π8＋k π≤x ≤3π8＋k π(k ∈Z )，当k ＝0时，－π8≤x≤3π8，即函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π8，3π8上单调递增．因为函数f (x )在[0，m ]上单调递增，所以0＜m ≤3π8，即m 的最大值为3π8，故选C. 5．(多选)函数f (x )＝sin x cos x 的单调递减区间可以是( ) A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－3π4，k π－π4(k ∈Z )B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π4，k π＋3π4(k ∈Z )C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π＋π4，2k π＋π2(k ∈Z )D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π4，k π＋π2(k ∈Z )解析：选AB.f (x )＝sin x cos x ＝12sin 2x ，由π2＋2k π≤2x ≤2k π＋3π2，k ∈Z ， 得π4＋k π≤x ≤k π＋3π4，k ∈Z ， 所以函数f (x )＝sin x cos x 的单调递减区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π4，k π＋3π4(k ∈Z )，故B正确，因为函数的周期是k π(k ≠0)，故A 也正确． 故选AB.6．已知函数f (x )＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3，x ∈[－π，0]，则f (x )的单调递增区间是________．解析：由－π2＋2k π≤2x －π3≤π2＋2k π(k ∈Z )，得－π12＋k π≤x ≤5π12＋k π(k ∈Z )，又因为x ∈[－π，0]，所以f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π，－7π12和⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π12，0.答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π，－7π12和⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π12，07．(2022·上海市进才中学期中)已知定义在[－a ，a ]上的函数f (x )＝cos x －sin x 是减函数，其中a >0，则当a 取最大值时，f (x )的值域是________．解析：f (x )＝cos x －sin x ＝－2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π4， 令2k π－π2≤x －π4≤2k π＋π2，k ∈Z ，则2k π－π4≤x ≤2k π＋3π4，k ∈Z ， 故f (x )的减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π4，2k π＋3π4，k ∈Z ，由题设可得[－a ，a ]为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π4，2k π＋3π4，k ∈Z 的子集，故k ＝0且⎩⎪⎨⎪⎧－a ≥－π4，a ≤3π4，a >0，故0<a ≤π4，故a max ＝π4， 当－π4≤x ≤π4时，－π2≤x －π4≤0，故0≤－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4≤2，故f (x )的值域为[]0，2. 答案：[0， 2 ]8．已知f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4.(1)求f (x )的单调递增区间；(2)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，3π4时，求函数f (x )的最大值和最小值．解：(1)令2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π2，k ∈Z ，则k π－3π8≤x ≤k π＋π8，k ∈Z .故f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－3π8，k π＋π8，k ∈Z . (2)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，3π4时，3π4≤2x ＋π4≤7π4，所以－1≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4≤22，所以－2≤f (x )≤1，所以当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，3π4时，函数f (x )的最大值为1，最小值为－ 2.9．已知函数f (x )＝a (2cos 2x2＋sin x )＋b . (1)若a ＝－1，求函数f (x )的单调递增区间；(2)当x ∈[0，π]时，函数f (x )的值域是[5，8]，求a ，b 的值． 解：函数f (x )＝a (1＋cos x ＋sin x )＋b＝2a sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4＋a ＋b .(1)当a ＝－1时，f (x )＝－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＋b －1，由2k π＋π2≤x ＋π4≤2k π＋3π2(k ∈Z )，得2k π＋π4≤x ≤2k π＋5π4(k ∈Z )，所以f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π＋π4，2k π＋5π4(k ∈Z )．(2)因为0≤x ≤π，所以π4≤x ＋π4≤5π4，所以－22≤sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4≤1，依题意知a ≠0.①当a ＞0时，得⎩⎨⎧2a ＋a ＋b ＝8，b ＝5，解得a ＝32－3，b ＝5.②当a ＜0时，得⎩⎨⎧b ＝8，2a ＋a ＋b ＝5，解得a ＝3－32，b ＝8.综上所述，a ＝32－3，b ＝5或a ＝3－32，b ＝8.[B 综合应用]10．(2022·河南省名校联盟模拟)若函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3与g (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4都在区间(a ，b )(0＜a ＜b ＜π)上单调递减，则b －a 的最大值为( )A.π6 B.π3 C.π2D.5π12解析：选B.函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，5π12上单调递增，在⎝⎛⎭⎪⎫5π12，11π12上单调递减，在⎝⎛⎭⎪⎫11π12，π上单调递增，函数g (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫0，3π4上单调递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4，π上单调递增，所以这两个函数在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12，3π4上单调递减，故b －a ＝3π4－5π12＝π3，即所求的最大值．故选B. 11．(多选)(2022·江西10月大联考)在数学史上，为了三角计算的简便并追求计算的精确性，曾经出现过下列两种三角函数：定义1－cos θ为角θ的正矢，记作versinθ；定义1－sin θ为角θ的余矢，记作coversin θ.则下列说法正确的是( )A ．versin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－θ＝coversin(θ＋π) B ．若coversin x －1versin x －1＝－3，则coversin 2x －versin 2x ＝15C ．函数y ＝coversin x －versin x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤3π4，π上单调递增 D ．函数f (x )＝coversin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋π8＋versin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x －3π8的最小值为2－ 2解析：选AC.对于A ，versin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－θ＝1－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－θ＝1＋sin θ， coversin (π＋θ)＝1－sin (π＋θ)＝1＋sin θ，故A 选项正确； 对于B ，由coversin x －1versin x －1＝－3，得tan x ＝－3，因为coversin 2x －versin 2x ＝cos 2x －sin 2x ＝cos 2x －sin 2x －2sin x cos x cos 2x ＋sin 2x ＝1－tan 2x －2tan x 1＋tan 2x ＝－15，故B 选项错误；对于C ，y ＝coversin x －versin x ＝cos x －sin x ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4，则π＋2k π≤x ＋π4≤2π＋2k π，k ∈Z ，得3π4＋2k π≤x ≤7π4＋2k π，k ∈Z ， 所以在⎣⎢⎡⎦⎥⎤3π4，π上单调递增，故C 选项正确； 对于D ，因为f (x )＝2－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋π8－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x －3π8＝2－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋π8，所以最小值为0，故D 选项错误．12．(2022·日喀则市南木林高中期末)已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3(ω＞0)，若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，且f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，π2内有最大值，无最小值，则ω＝________．解析：因为f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，π2内有最大值，无最小值，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，所以当x ＝π3时，f (x )取得最大值，即π3ω＋π3＝2k π＋π2(k ∈Z )， 解得ω＝6k ＋12(k ∈Z )，又π2－π6＝π3＜T ，即2πω＞π3，所以ω＜6，又ω＞0，所以ω＝12. 答案：1213．(2022·江赣十四校联考)如果圆x 2＋(y －1)2＝m 2至少覆盖函数f (x )＝2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫πm x ＋5π12－3cos ⎝⎛⎭⎪⎫2πm x ＋π3(m >0)的一个最大值点和一个最小值点，则m 的取值范围是________．解析：化简f (x )＝2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫πm x ＋5π12－3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2πmx ＋π3得f (x )＝2sin 2πx m ＋1，所以函数f (x )的图象靠近圆心(0，1)的最大值点为⎝ ⎛⎭⎪⎫m 4，3，最小值点为⎝ ⎛⎭⎪⎫－m 4，－1，所以只需⎩⎨⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫m 42＋（3－1）2≤m 2，⎝ ⎛⎭⎪⎫－m 42＋（－1－1）2≤m 2，解得m ≥81515. 答案：⎣⎢⎡⎭⎪⎫81515，＋∞[C 素养提升]14．设函数f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π6(ω>0)．若f (x )≤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4对任意的实数x 都成立，则ω的最小值为________．解析：由题意得，当x ＝π4时，函数f (x )有最大值，故f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝1，πω4－π6＝2k π(k ∈Z )，所以ω＝8k ＋23(k ∈Z )，又ω>0，所以ωmin ＝23.答案：2321 / 21 15．已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x sin x －3cos 2x ＋32. (1)求f (x )的最大值及取得最大值时x 的值；(2)若方程f (x )＝23在(0，π)上的解为x 1，x 2，求cos(x 1－x 2)的值． 解：(1)f (x )＝cos x sin x －32(2cos 2x －1) ＝12sin 2x －32cos 2x ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3. 当2x －π3＝π2＋2k π(k ∈Z )，即x ＝512π＋k π(k ∈Z )时，函数f (x )取最大值，且最大值为1.(2)由(1)知，函数f (x )图象的对称轴为x ＝512π＋k 2π(k ∈Z )， 所以当x ∈(0，π)时，对称轴为x ＝512π和x ＝1112π. 又由(1)知当x ＝512π时，f (x )取得最大值1，且f (x 1)＝f (x 2)＝23＞0，所以x 1，x 2关于x ＝512π对称， 所以x 1＋x 2＝56π，则x 1＝56π－x 2， 所以cos(x 1－x 2)＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫56π－2x 2＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x 2－π3， 又f (x 2)＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x 2－π3＝23， 故cos(x 1－x 2)＝23.。

反三角函数及最简三角方程.docx标准实用反三角函数及最简三角方程一、知识回顾：1、反三角函数：概念：把正弦函数y sin x ， x,时的反函数，成为反正弦函数，记作22y arcsin x .y sin x( x R) ，不存在反函数.含义： arcsin x 表示一个角；角,；sin x .22反余弦、反正切函数同理，性质如下表.名称函数式定义域值域奇偶性单调性反正弦函数y arcsin x1,1 增,2奇函数增函数2y arccosx arccos( x)arccosx反余弦函数1,1 减0,减函数非奇非偶反正切函数y arctanx R增,2奇函数增函数2y arc cot x arc cot( x)arc cot x反余切函数R减0,减函数非奇非偶其中：（）．符号arcsin x 可以理解为－，]上的一个角弧度，也可以理解为1[2() 2区间[－，]上的一个实数；同样符号arccosx 可以理解为[0，π 上的一个角2]2(弧度 )，也可以理解为区间 [0 ，π]上的一个实数；（2）． y ＝arcsin x 等价于 sin y＝x, y∈ [－，], y＝ arccos x 等价于 cos y22＝x, x ∈[0, π], 这两个等价关系是解反三角函数问题的主要依据；（3）．恒等式 sin(arcsin x)＝x, x∈ [－ 1, 1] , cos(arccos x)＝x, x∈ [－1, 1], tan(arctanx)=x,x ∈ Rarcsin(sin x) ＝x, x ∈ [ －，], arccos(cos x) ＝x, x ∈ [0,22π],arctan(tanx)=x, x∈（－，）的运用的条件；22（4）．恒等式 arcsin x＋arccos x＝, arctan x＋arccot x＝的应用。

222、最简单的三角方程方程方程的解集a1x | x2k arcsin a, k Zsin x aa1x | x k 1 k arcsin a, k Za1x | x2k arccos a, k Zcos x aa1x | x2k arccos a, k Ztan x a x | x k arctana, k Zcot x a x | x k arc cot a, k Z其中：（1 ）．含有未知数的三角函数的方程叫做三角方程。