在极坐标系中椭圆、双曲线、抛物线方程的统一探析

<一>圆的方程(x-a)^2+(y-b)^2=r^2，圆心O（a，b），半径r。

（1）圆的一般式方程：x^2+y^2+Dx+Ey+F=0此方程可用于解决两圆的位置关系：配方化为标准方程：（x+D/2）^2.+(y+E/2)^2=(D^2+E^2-4F)/4其圆心坐标：（-D/2,-E/2）半径为r=√[（D^2+E^2-4F）]/2此方程满足为圆的方程的条件是:D^2+E^2-4F>0若不满足,则不可表示为圆的方程（2）点与圆的位置关系点P（X1,Y1) 与圆(x－a)^2+(y－b) ^2=r^2的位置关系：⑴当(x1－a)^2+(y1－b) ^2>r^2时，则点P在圆外。

⑵当(x1－a)^2+(y1－b) ^2=r^2时，则点P在圆上。

⑶当(x1－a)^2+(y1－b) ^2<r^2时，则点P在圆内。

圆与直线的位置关系判断平面内，直线Ax+By+C=0与圆x^2+y^2+Dx+Ey+F=0的位置关系判断一般方法是：1.由Ax+By+C=0，可得y=(-C-Ax)/B，（其中B不等于0），代入x^2+y^2+Dx+Ey+F=0，即成为一个关于x的一元二次方程f（x）=0。

利用判别式b^2-4ac的符号可确定圆与直线的位置关系如下：如果b^2-4ac>0，则圆与直线有2交点，即圆与直线相交。

如果b^2-4ac=0，则圆与直线有1交点，即圆与直线相切。

如果b^2-4ac<0，则圆与直线有0交点，即圆与直线相离。

2.如果B=0即直线为Ax+C=0，即x=-C/A，它平行于y轴（或垂直于x 轴），将x^2+y^2+Dx+Ey+F=0化为 (x－a)^2+(y－b) ^2=r^2。

令y=b，求出此时的两个x值x1、x2，并且规定x1<x2，那么：当x=-C/A<x1或x=-C/A>x2时，直线与圆相离；当x1<x=-C/A<x2时，直线与圆相交；半径r，直径d在直角坐标系中，圆的解析式为：(x-a)^2+(y-b)^2=r^2;x^2+y^2+Dx+Ey+F=0=> (x+D/2)^2+(y+E/2)^2=(D^2+E^2-4F)/4=> 圆心坐标为(-D/2,-E/2)其实只要保证X方Y方前系数都是1就可以直接判断出圆心坐标为(-D/2,-E/2)这可以作为一个结论运用的且r=根号（圆心坐标的平方和-F）<二>椭圆的标准方程椭圆的标准方程分两种情况：当焦点在x轴时,椭圆的标准方程是：x^2/a^2+y^2/b^2=1，(a>b>0)；当焦点在y轴时,椭圆的标准方程是：y^2/a^2+x^2/b^2=1，(a>b>0)；其中a>0，b>0。

圆锥曲线的统一性zhaoqingmu椭圆、双曲线和抛物线都是可以由平面截圆锥面得到的截线，故而将这三种曲线统称为圆锥曲线。

以圆锥曲线的统一性为题从以下几个方面作了研究。

一、方程形式的统一：在几何上，椭圆、抛物线和双曲线是外形极不相似的三种曲线，很难看出它们之间有什么内在的联系。

可是从代数上说，它们的方程有统一的形式：⑴在平面直角坐标系中，圆锥曲线都可以用二元二次方程)0,0(02222≠+≠=+++++C A B F Ey Dx Cy Bxy Ax 来表示①当02<-AC B 时，它表示椭圆； ②当02=-AC B 时，它表示抛物线 ③当02>-AC B 时，它表示双曲线。

代数式AC B -2值的变化超过某一界限会引起曲线类型的改变；而这些曲线在代数上的区别只在于方程系数AC B -2的正负正负号！这一结论在天体物理方面是有具体应用的：① 当人造卫星的初速度等于第二宇宙速度时，卫星的轨道是抛物线；② 当人造卫星的初速度小于第二宇宙速度时，轨道变成椭圆；③ 当人造卫星的初速度大于第二宇宙速度时，轨道就成了双曲线的一支。

另外，圆锥曲线还可用二次曲线：)0,0(02)1(2222>>=+-+-e p p px y x e 表示。

⑵在极坐标系中，圆锥曲线也有统一的方程：θρcos 1e ep-=① 当10<<e 时，该方程表示椭圆； ② 当1=e 时，该方程表示抛物线； ③ 当1>e 时，该方程表示双曲线。

利用该方程往往可使本来复杂的问题变简单。

（参看第二部分的“性质 2”）二、轨迹的统一：从点的集合或轨迹的观点看，圆锥曲线都是与定点和定直线距离的比是常数e 的点的集合或轨迹，这个定点是它们的焦点，定直线是它们的准线，只是由于离心率e 取植范围的不同，而分为椭圆、双曲线和抛物线三种曲线。

三、性质的统一：由于方程形式上的统一，圆锥曲线必然会有性质上的统一，即具有相似的性质。

椭圆的定义、性质及标准方程1. 椭圆的定义：⑴第一定义：平面内与两个定点12F F 、的距离之和等于常数（大于12F F ）的点的轨迹叫做椭圆。

这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距。

⑵第二定义：动点M 到定点F 的距离和它到定直线l 的距离之比等于常数)10(<<e e ，则动点M 的轨迹叫做椭圆。

定点F 是椭圆的焦点，定直线l 叫做椭圆的准线，常数e 叫做椭圆的离心率。

说明：①若常数2a 等于2c ，则动点轨迹是线段12F F 。

②若常数2a 小于2c ，则动点轨迹不存在。

2.3. 椭圆上的任一点和焦点连结的线段长称为焦半径。

焦半径公式：椭圆焦点在x 轴上时，设12F F 、分别是椭圆的左、右焦点，()00P x y ，是椭圆上任一点，则10PF a ex =+，20PF a ex =-。

推导过程：由第二定义得11PF e d =（1d 为点P 到左准线的距离）， 则211000a PF ed e x ex a a ex c ⎛⎫==+=+=+ ⎪⎝⎭；同理得20PF a ex =-。

简记为：左“＋”右“－”。

由此可见，过焦点的弦的弦长是一个仅与它的中点的横坐标有关的数。

22221x y a b +=；若焦点在y 轴上，则为22221y x a b+=。

有时为了运算方便，设),0(122n m m ny mx ≠>=+。

双曲线的定义、方程和性质1． 定义（1）第一定义：平面内到两定点F 1、F 2的距离之差的绝对值等于定长2a （小于|F 1F 2|）的点的轨迹叫双曲线。

说明：①||PF 1|-|PF 2||=2a （2a <|F 1F 2|）是双曲线；若2a=|F 1F 2|，轨迹是以F 1、F 2为端点的射线；2a >|F 1F 2|时无轨迹。

②设M 是双曲线上任意一点，若M 点在双曲线右边一支上，则|MF 1|>|MF 2|，|MF 1|-|MF 2|=2a ；若M 在双曲线的左支上，则|MF 1|<|MF 2|，|MF 1|-|MF 2|=-2a ，故|MF 1|-|MF 2|=±2a ，这是与椭圆不同的地方。

椭圆方程、双曲线方程、抛物线方程是平面解析几何中常见的曲线方程类型，它们在数学、物理、工程等领域都有着重要的应用。

通过联立这些方程，不仅可以深入理解曲线的特性，还可以解决一些实际问题。

本文将分别介绍椭圆方程、双曲线方程、抛物线方程的基本定义和性质，以及它们的联立解法，帮助读者更好地理解和应用这些数学知识。

一、椭圆方程的定义和性质椭圆是平面上到两个定点F1和F2的距离之和等于常数2a的点P的轨迹。

椭圆方程的一般形式为：(x-h)²/a² + (y-k)²/b² = 1其中(h, k)为椭圆的中心坐标，a和b分别为椭圆的长半轴和短半轴。

椭圆有许多重要性质，如对称性、焦点、直径等，这些性质都可以通过椭圆方程的分析得到。

二、双曲线方程的定义和性质双曲线是平面上到两个定点F1和F2的距离之差等于常数2a的点P 的轨迹。

双曲线方程的一般形式为：(x-h)²/a² - (y-k)²/b² = 1类似椭圆，双曲线也有许多重要性质，如渐近线、焦点、枝等。

通过双曲线方程的分析，可以深入理解这些性质。

三、抛物线方程的定义和性质抛物线是平面上到一个定点F的距离等于到某条直线L的距离的点P 的轨迹。

抛物线方程的一般形式为：y² = 2px其中p为焦点到抛物线顶点的距离，也是抛物线的焦距。

抛物线也有许多重要性质，如焦点、直径、对称轴等，通过抛物线方程的分析可以得到这些性质。

四、联立椭圆、双曲线和抛物线方程的解法在一些实际问题中，我们需要联立椭圆、双曲线和抛物线方程进行求解。

以二元二次方程组为例，我们可以通过联立椭圆、双曲线和抛物线方程进行求解，得到曲线的交点、切点、共焦点等。

这对于一些物理、工程等领域的问题具有重要意义。

结论：椭圆方程、双曲线方程、抛物线方程是平面解析几何中常见的曲线方程类型，通过对它们的定义、性质和联立解法的深入理解，可以帮助我们更好地应用这些数学知识解决实际问题。

问题34 椭圆、双曲线、抛物线与圆相结合问题一、考情分析通过近几年各地高考试题可以发现,对圆的考查在逐渐加深,并与圆锥曲线相结合在一起命题,成为一个新的动向.与圆相关几何性质、最值问题、轨迹问题等都能与椭圆、双曲线和抛物线想结合可以呈现别具一格的新颖试题. 二、经验分享1.对于圆与圆锥曲线的相交问题，设出交点，由交点(或韦达定理)结合条件解决问题，在求解过程中、数形结合是常用的打开思路的方式、形是引路、数是依据、二者联手，解决问题就易如反掌、设面不求、灵活消参是常用的策略。

2. 垂直问题的呈现有多种形式，处理重直问题最好的方法是应用向量的坐标形式转化，常规的思路是:联立方程组消去 成y,得到一个二次方程，设交点，韦达定理 代人垂直的数量积坐标公式整理求解。

3.涉及弦长要注意圆的几何性质的应用。

三、知识拓展以MN 为直径的圆经过点P ，则PM PN ⊥，可转化为0PM PN ⋅=u u u u r u u u r四、题型分析(一) 圆与椭圆的结合点 1.1圆的几何性质与椭圆相联系【例1】【2017届湖南师大附中高三上学期月考四】已知椭圆C 的中心在原点,离心率为22,其右焦点是圆E ：22(1)1x y -+=的圆心．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）如图,过椭圆C 上且位于y 轴左侧的一点P 作圆E 的两条切线,分别交y 轴于点M 、N ．试推断是否存在点P ,使14||3MN =？若存在,求出点P 的坐标；若不存在,请说明理由． 【分析】(1)由已知条件分别求出,a c 的值,而222b a c =-,代入求出椭圆的方程；(2)假设存在点P 满足题意,设点00(,)P x y （00x <）,(0,)M m ,(0,)N n ,利用条件求出直线PM 方程,根据圆心(1,0)E 到直线PM 的距离为1,求出m 与点P 坐标之间的关系,同理求出n 与点P 坐标之间的关系,利用韦达定理求出,m n mn +的表达式,算出MN ,求出P 点坐标.【解析】（1）设椭圆方程22221(0)x y a b a b+=>>,半焦距为c ,因为椭圆的右焦点是圆E 的圆心,则1c =, 因为椭圆的离心率为2,则2c a =,即22a c ==,从而2221b a c =-=,故椭圆C 的方程为2212x y +=． （2）设点00(,)P x y （00x <）,(0,)M m ,(0,)N n , 则直线PM 的方程为00y my x m x -=+,即000()0y m x x y mx --+=, 因为圆心(1,0)E 到直线PM 的距离为1, 0022001()y m x =-+,即22200000()()2()y m x y m x m y m -+=-+-220x m +,即2000(2)20x m y m x -+-=, 同理2000(2)20x n y n x -+-=．由此可知,m ,n 为方程2000(2)20x x y x x -+-=的两个实根, 所以0022y m n x +=--,002x mn x =--, 2||||()4MN m n m n mn =-=+-20020044(2)2y x x x =+--220002044(2)x y x x +-=-因为点00(,)P x y 在椭圆C 上,则220012x y +=,即220012x y =-, 则2200022002842(2)4||(2)(2)x x x MN x x -+--==--2042(2)x =--, 204142(2)3x -=-, 则20(2)9x -=,因为00x <,则01x =-,220012x y =-12=,即022y =±,故存在点2(1,P -满足题设条件． 【点评】(1)处理直线与圆的弦长问题时多用几何法,即弦长的一半、弦心距、半径构成直角三角形． (2)圆的切线问题的处理要抓住圆心到直线的距离等于半径,从而建立关系解决问题．【小试牛刀】已知椭圆()2222:10x y W a b a b+=>>3,其左顶点A 在圆22:16O x y +=上.（Ⅰ）求椭圆W 的方程；（Ⅱ）若点P 为椭圆W 上不同于点A 的点,直线AP 与圆O 的另一个交点为Q ,是否存在点P ,使得3PQAP=？若存在,求出点P 的坐标；若不存在,说明理由. 【答案】（I ）221164x y +=；（II ）不存在,理由见解析. 【解析】（I ）因为椭圆W 的左顶点A 在圆22:16O x y +=上,令0y =,得4x =±,所以4a =.又离心率为3,所以3c e a ==,所以23c =,所以2224b a c =-=. 所以W 的方程为221164x y +=. （II ）设点()11,P x y ,()22,Q x y ,设直线AP 的方程为()4y k x =+,与椭圆方程联立得()2241164y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩,化简得到()2222143264160k x k x k +++-=,因为-4为方程的一个根,所以()21232414k x k -+-=+,所以21241614k x k-=+ 所以281k AP +=因为圆心到直线AP 的距离为2414kd k=+, 所以22216216211AQ d k k=-==++. 因为1PQ AQ AP AQAP AP AP-==-, 代入得到222222221433111311181PQk k k AP k k kk ++=-=-==-++++, 显然23331k -≠+,所以不存在直线AP,使得3PQ AP=.1.2 利用椭圆的性质判断直线与圆的位置关系【例2】已知椭圆C ：2224x y +=.（1）求椭圆C 的离心率；（2）设O 为原点,若点A 在椭圆C 上,点B 在直线2y =上,且OA OB ⊥,试判断直线AB 与圆222x y +=的位置关系,并证明你的结论.【分析】（1）把椭圆C ：2224x y +=化为标准方程,确定2a ,2b ,利用ace =求得离心率；（2）设点),(00y x A ,)2,(t B ,其中00≠x ,由OB OA ⊥,即0=•OB OA ,用0x 、0y 表示t ,当t x =0或t x ≠0分别根据点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离,与圆的半径比较,从而判断直线AB 与圆222x y +=的位置关系.【解析】（1）由题意椭圆C 的标准方程为12422=+y x ,所以42=a ,22=b ,从而224222=-=-=b a c , 所以22==a c e . （2）直线AB 与圆222=+y x 相切,证明如下：设点),(00y x A ,)2,(t B ,其中00≠x ,因为OB OA ⊥,所以0=•,即0200=+y tx ,解得02x y t -=, 当t x =0时,220t y -=,代入椭圆C 的方程得2±=t ,此时直线AB 与圆222=+y x 相切.当t x ≠0时,直线AB 的方程为)(2200t x tx y y ---=-,即02)()2(0000=-+---ty x y t x x y , 圆心到直线AB 的距离为202000)()2(|2|t x y ty x d -+--=,又422020=+y x ,02x y t -=, 故22168|4|4|22|20204002020202020020=+++=++-=x x x x x x y y x x y x d .故此直线AB 与圆222=+y x 相切.【小试牛刀】已知椭圆()2222:10x y E a b a b+=>>过点(2,且离心率2e =．(1)求椭圆E 的方程；(2)设直线():1l x my m =-∈R 交椭圆E 于A ,B 两点,判断点94G ⎛⎫- ⎪⎝⎭,0与以线段AB 为直径的圆的位置关系,并说明理由．【解析】解法一：（1）由已知得222222b ca abc ⎧=⎪⎪=⎨⎪⎪=+⎩,解得222a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩所以椭圆E 的方程为22142x y +=． （2）设点()11,A x y ,()22,B x y ,AB 的中点为()00,H x y ．由221142x my x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩,得()222230m y my +--=,所以12222m y y m +=+,12232y y m =-+, 从而022my m =+, 所以()222222200000095525144216GH x y my y m y my ⎛⎫⎛⎫=++=++=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,24AB =()()()()2222121212144m y y x x y y +--+-==()()221212144m y y y y ⎡⎤++-⎣⎦=()()220121m y y y +-,故()22201252514216AB GH my m y y -=+++=()()()22222231525172021622162m m m m m m ++-+=>+++,所以2AB GH >． 故点9,04G ⎛⎫-⎪⎝⎭在以AB 为直径的圆外． 解法二：（1）同解法一．（2）设点()11,A x y ,()22,B x y ,则119,4GA x y ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭u u u r ,229,4GB x y ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭u u u r ．由221142x my x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩,得()222230m y my +--=,所以12222m y y m +=+,12232y y m =-+, 从而12129944GA GB x x y y ⎛⎫⎛⎫=+++= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭u u u r u u u r g12125544my my y y ⎛⎫⎛⎫+++= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭()()212125251416m y y m y y ++++=()22225312522216mm m m -+++=++()221720162m m +>+,所以cos ,0GA GB >u u u r u u u r．又GA u u u r ,GB uuu r 不共线,所以AGB ∠为锐角．故点9,04G ⎛⎫-⎪⎝⎭在以AB 为直径的圆外． (二) 圆与双曲线的结合点2.1 利用圆的性质解决双曲线的相关问题由于双曲线具有渐近线,故渐近线与圆的位置关系便成为命题的常考点.圆本身所具有的几何性质在探索等量关系也经常考查,进而求解双曲线的几何性质,如离心率的求解. 【例3】【黑龙江省齐齐哈尔市2019届高三第一次模拟】已知半圆：，、分别为半圆与轴的左、右交点，直线过点且与轴垂直，点在直线上，纵坐标为，若在半圆上存在点使，则的取值范围是（ ）A ．B ．C．D．【答案】A【分析】根据题意，设PQ与x轴交于点T，分析可得在Rt△PBT中，|BT||PB||t|，分p在x轴上方、下方和x轴上三种情况讨论，分析|BT|的最值，即可得t的范围，综合可得答案．【解析】根据题意，设PQ与x轴交于点T，则|PB|＝|t|，由于BP与x轴垂直，且∠BPQ，则在Rt△PBT中，|BT||PB||t|，当P在x轴上方时，PT与半圆有公共点Q，PT与半圆相切时，|BT|有最大值3，此时t有最大值，当P在x轴下方时，当Q与A重合时，|BT|有最大值2，|t|有最大值，则t取得最小值，t＝0时，P与B重合，不符合题意，则t的取值范围为[，0）]；故选：A．【小试牛刀】【福建省厦门市2019届高中毕业班第一次（3月)质量检查】已知双曲线的一个焦点为，点是的一条渐近线上关于原点对称的两点，以为直径的圆过且交的左支于两点，若，的面积为8，则的渐近线方程为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】设双曲线的另一个焦点为，由双曲线的对称性，四边形是矩形，所以，即，由，得：，所以，所以，所以，，所以，的渐近线方程为.故选B2.2 圆的切线与双曲线相联系【例4】已知双曲线12222=-by a x 的左右焦点分别为12F F 、,O 为双曲线的中心,P 是双曲线右支上的点,21F PF ∆的内切圆的圆心为I ,且圆I 与x 轴相切于点A ,过2F 作直线PI 的垂线,垂足为B ,若e 为双曲线的离心率,则( )A. ||||OA e OB =B. ||||OB e OA =C. ||||OA OB =D. ||OA 与||OB 关系不确定 【答案】C【解析】设内切圆在1PF 上的切点为N ,2PF 上的切点为M ,12F F 上的切点为A ,A 的坐标为(m,0), ∴12112(DM MF)AF m (c m)2a PF PF PN NF AF c -=+-+=-=+--=,即OA a =,延长2BF 交1PF 于S ,∵PB 是角平分线和垂线,∴B 是2SF 的中点,O 是12F F 的中点,BO 是中位线,11211(PF PF )a 22BO F S ==-=,∴OA OB a ==,∴||||OA OB =. 【小试牛刀】已知点1F 、2F 为双曲线C ：()01222>=-b by x 的左、右焦点,过2F 作垂直于x 轴的直线,在x轴上方交双曲线C 于点M ,且︒=∠3021F MF ．圆O 的方程是222b y x =+． （1）求双曲线C 的方程；（2）过双曲线C 上任意一点P 作该双曲线两条渐近线的垂线,垂足分别为1P 、2P ,求21PP PP ⋅的值； （3）过圆O 上任意一点()00y ,x Q 作圆O 的切线l 交双曲线C 于A 、B 两点,AB 中点为M ,求证：2AB OM =u u u r u u u u r ．【解析】（1）设2,F M 的坐标分别为220(1,0),(1,)b b y ++因为点M 在双曲线C 上,所以220211y b b+-=,即20y b =±,所以22MF b =在21Rt MF F ∆中,01230MF F ∠=,22MF b =,所以212MF b =由双曲线的定义可知：2122MF MF b -==故双曲线C 的方程为：2212y x -= （2）由条件可知：两条渐近线分别为1220;20l x y l x y -=+= 设双曲线C 上的点00(,)Q x y ,设两渐近线的夹角为θ,则则点Q 到两条渐近线的距离分别为00001222|||33x y x y PP PP -+==因为00(,)Q x y 在双曲线C ：2212y x -=上,所以220022x y -= 又1cos 3θ=,所以220000002221233933x y x y x y θ-+-==⋅=（3）由题意,即证：OA OB ⊥.设1122(,),(,)A x y B x y ,切线l 的方程为：002x x y y += ①当00y ≠时,切线l 的方程代入双曲线C 中,化简得：22220000(2)4(24)0y x x x x y -+-+=所以：2001212222200004(24),(2)(2)x y x x x x y x y x ++=-=--- 又22010201201201222200000(2)(2)82142()2x x x x x y y x x x x x x y y y y x ---⎡⎤=⋅=-++=⎣⎦- 所以②当00y =时,易知上述结论也成立． 所以综上,OA OB ⊥,所以．(三) 圆与抛物线的结合点 3.1圆的性质与抛物线相结合【例5】一个酒杯的轴截面是开口向上的抛物线的一段弧,它的口宽是的4 10,杯深20,在杯内放一玻璃球,当玻璃球的半径r 最大取 时,才能使玻璃球触及杯底． 【答案】1【解析】建立如图所示的直角坐标系,酒杯所在抛物线的方程设为22(0)x py p =>,因为过点(210,20),所以2(210)220,1p p =⨯=,即22(020)x y y =≤≤.玻璃球触及杯底,就是小球的截面圆222()x y r r +-=与抛物线22x y =有且仅有一个交点,即原点.由222()x y r r +-=与22x y =消去x 得：0y =或2 2.y r =-因为有且仅有一个交点,即原点,所以220,1,r r -≤≤即半径r 最大取1.【小试牛刀】【广东省2019届天河区普通高中毕业班综合测试（二)】已知抛物线C ：的焦点为F ，准线l 与x 轴的交点为A ，M 是抛物线C 上的点，且轴，若以AF 为直径的圆截直线AM 所得的弦长为2，则( )A ．2B ．C ．4D ．【答案】B 【解析】把代入可得，不妨设M 在第一象限，则，又，直线AM 的方程为，即，原点O 到直线AP 的距离，以AF 为直径的圆截直线AM 所得的弦长为2，，解得．故选：B ．3.2 抛物线的性质与圆的相联系【例6】已知椭圆()2212210x y C a b a b+=>>：离心率为6,焦距为22,抛物线()22:20C x py p =>的焦点F 是椭圆1C 的顶点. （Ⅰ）求1C 与2C 的标准方程；（Ⅱ）设过点F 的直线l 交2C 于,P Q 两点,若1C 的右顶点A 在以PQ 为直径的圆内,求直线l 的斜率的取值范围.【分析】（Ⅰ）椭圆1C 的焦距为222=c ,36=a c ,得椭圆的标准方程,得到抛物线焦点,可得抛物线方程；（Ⅱ）联立直线与抛物线的方程结合韦达定理得k x x 421=+,421-=⋅x x ,A 在以PQ 为直径的圆内⇔0<⋅AQ AP ,得结果.【解析】（Ⅰ）设椭圆1C 的焦距为2c ,依题意有222c =,63c a =,解得3a =,1b =,故椭圆1C 的标准方程为22131x y +=,又抛物线()22:20C x py p =>开口向上,故F 是椭圆的1C 上顶点,()0,1F ∴,,2p =∴故抛物线2C 的标准方程为24x y =.（Ⅱ）由题意可设直线的方程为：1y kx =+,设点()11,P x y ,()22,Q x y ,联立214y kx x y =+⎧⎨=⎩得2440x kx --=,由韦达定理得124x x k +=,124x x =-.A 在以PQ 为直径的圆内)1212120330AP AQ x x x x y y ⇔<⇔+++<u u u r u u u rg)2212121216163480x x x x x x ⇔-+++<641634481600k k --++<⇒>.【小试牛刀】已知抛物线C ：22(0)y px p =>的焦点为F ,直线4y =与y 轴的交点为P ,与C 的交点为Q ,且5||||4QF PQ =. （I ）求C 的方程；（II ）过F 的直线l 与C 相交于A ,B 两点,若AB 的垂直平分线l '与C 相较于M ,N 两点,且A ,M ,B ,N 四点在同一圆上,求l 的方程.【解析】（I ）设()0,4Q x ,代入22y px =,得00888,,.22p p x PQ QF x p p p=\==+=+．由题设得85824p p p+=?,解得2p =-（舍去）或2p =,∴C 的方程为24y x =；（II ）由题设知l 与坐标轴不垂直,故可设l 的方程为()10x my m =+?,代入24y x =得2440y my --=．设()()1122,,,,A x y B x y 则124,y y m += 124y y =-．故AB 的中点为()()2221221,2,141D m m AB m y y m +=+-=+．又l ¢的斜率为,m l ¢-\的方程为2123x y m m =-++．将上式代入24y x =,并整理得()2244230y y m m+-+=．设()()3344,,,,M x y B x y 则()234344,423y y y y m m+=-=-+．故MN 的中点为()22234222412122123,,1m m E m MN y y m m m m ++骣÷ç++-=+-=÷ç÷ç桫． 由于MN 垂直平分线AB ,故,,,A M B N 四点在同一圆上等价于12AE BE MN ==,从而22211,44AB DE MN +=即()()()2222222244121224122m m m m m m m++骣骣鼢珑+++++=鼢珑鼢珑桫桫,化简得210m -=,解得1m =或1m =-．所求直线l 的方程为10x y --=或10x y +-=．四、迁移运用1．【江西省南昌市2019届高三第一次模拟】过双曲线的左焦点作圆的切线交双曲线的右支于点，且切点为，已知为坐标原点，为线段的中点（点在切点的右侧），若的周长为，则双曲线的渐近线的方程为( ) A ．B ．C ．D ．【答案】B 【解析】解：连OT，则OT⊥F1T，在直角三角形OTF1中，|F1T|b．连PF2，M为线段F1P的中点，O为坐标原点∴OM PF2，∴|MO|﹣|MT|PF2﹣（PF1﹣F1T）（PF2﹣PF1）+bb﹣a．又|MO|+|MT|+|TO|=，即|MO|+|MT|=3a故|MO|=, |MT|=,由勾股定理可得：，即∴渐近线方程为：故选：B2．【山东省淄博市2018-2019学年度高三3月模拟】已知直线与双曲线交于两点，以为直径的圆恰好经过双曲线的右焦点，若的面积为，则双曲线的离心率为A． B． C．2 D．【答案】D【解析】由题意可得图像如下图所示：为双曲线的左焦点为圆的直径根据双曲线、圆的对称性可知：四边形为矩形又，可得：本题正确选项：3．【河南省濮阳市2019届高三下学期摸底】双曲线的两顶点为，，虚轴两端点为，，两焦点为，，若以为直径的圆内切于菱形，则双曲线的离心率是（）A． B． C． D．【答案】C【解析】由题意可得，，，，，，且，菱形的边长为，由以为直径的圆内切于菱形，切点分别为A，B，C，D．由面积相等，可得，即为，即有，由，可得，解得，可得，或(舍去)故选：C．4．【广东省潮州市2019届高三上学期期末】已知双曲线C：的左、右焦点分别为、，且双曲线C与圆在第一象限相交于点A，且，则双曲线C的离心率是A． B． C． D．【答案】A【解析】双曲线C与圆在第一象限相交于点A，可得，由，可得，，由，可得，即为，即有，即有．故选：A．5.【安徽省合肥一中、马鞍山二中等六校教育研究会2019届高三第二次联考】已知抛物线上一点到焦点的距离为，分别为抛物线与圆上的动点，则的最小值为（）A． B． C． D．【答案】D【解析】由抛物线焦点在轴上，准线方程，则点到焦点的距离为，则，所以抛物线方程：，设，圆，圆心为，半径为1，则，当时，取得最小值，最小值为，故选D.6．【辽宁省沈阳市郊联体2019届高三上学期期末】已知椭圆的右焦点为，离心率为e，过原点斜率为k的直线与椭圆交于A、B两点，M、N分别为线段AF、BF的中点，以MN为直径的圆过原点O，若，则e的取值范围是A． B． C． D．【答案】D【解析】记线段MN与x轴交点为C．的中点为M，BF的中点为N，，，、B为椭圆上关于原点对称的两点，．原点O在以线段MN为直径的圆上，．．，，．设，，易得．由，可得得，．直线AB斜率为，，，由于，离心率e的取值范围为故选：D．7．【山东省临沂市2019届高三2月教学质量检测】是双曲线的左、右焦点，直线l为双曲线C的一条渐近线，关于直线l的对称点为，且点在以F2为圆心、以半虚轴长b为半径的圆上，则双曲线C的离心率为A． B． C．2 D．【答案】B【解析】因为直线l为双曲线C的一条渐近线，则直线因为是双曲线的左、右焦点所以（-c，0），（c，0）因为关于直线l的对称点为，设为（x，y）则解得所以为（）因为是以为圆心，以半虚轴长b 为半径的圆，则圆的方程为将以的（）代入圆的方程得化简整理得 ，所以所以选B8．【河南省中原名校（即豫南九校)2018届高三第六次质量考评】已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，过点F 且斜率为1的直线与抛物线C 交于点,A B ，以线段AB 为直径的圆E 上存在点,P Q ，使得以PQ 为直径的圆过点()2,D t -，则实数t 的取值范围为（ ） A ．(][),13,-∞-⋃+∞ B ．[]1,3-C ．(),2727,⎡-∞⋃+∞⎣D ．27,27⎡⎣【答案】D【解析】由题得直线AB 的方程为01y x -=-即y=x-1,设A ()()1122,,,x y B x y ， 联立2121221{610614y x x x x x x x y x=-∴-+=∴+=⋅==所以1212121132222x x y y x x ++-+-===，2364118-+= 所以AB 为直径的圆E 的圆心为（3,2），半径为4. 所以该圆E 的方程为()()223216x y -+-=.所以点D 恒在圆E 外，圆E 上存在点P,Q ，使得以PQ 为直径的圆过点D(-2,t)，即圆E 上存在点P,Q ，使得DP ⊥DQ ，显然当DP,DQ 与圆E 相切时，∠PDQ 最大，此时应满足 ∠PDQ 2π≥，所以()()2222322EP DEt =≥++-2430t t --≤.解之得 2727t ≤≤+，故选D.9．【河北省石家庄市2018届高三下学期一模】已知1F ， 2F 分别为双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左焦点和右焦点，过2F 的直线l 与双曲线的右支交于A ， B 两点， 12AF F ∆的内切圆半径为1r ， 12BF F ∆的内切圆半径为2r ，若122rr =，则直线l 的斜率为（ ） A. 1 B. 2 C. 2 D. 22 【答案】D【解析】设12AF F ∆的内切圆圆心为1,I ， 12BF F ∆的内切圆圆心为2,I ，边1212AF AF F F 、、 上的切点分别为M N E 、、， 易见1I E 、 横坐标相等，则1122AM AN F M F E F N F E ===，，，由122AF AF a -=，即122AM MF AN NF a +-+=（）， 得122MF NF a -=， 即122F E F E a -= ，记1I 的横坐标为0x ，则00E x （，） ，于是002x c c x a +--=（） ，得0x a =， 同理内心2I 的横坐标也为a ，则有12I I x ⊥轴，设直线的倾斜角为θ，则22129022OF I I F O θθ∠=∠=︒-，， 则211212221tan,tan tan 90222tan 2r r I F O r r F E F E θθθ⎛⎫=∠=︒-=== ⎪⎝⎭Q ，222tan122tan ,tan .tan 2 2.2221tan 2θθθθθ∴==∴==-故选D. 10．【河南省郑州市2018届高三毕业年级第二次质量预测】如图，已知抛物线1C 的顶点在坐标原点，焦点在x 轴上，且过点()24，，圆222:430C x y x +-+=,过圆心2C 的直线l 与抛物线和圆分别交于,,,P Q M N ,则4PN QM +的最小值为( )A. 23B. 42C. 12D. 52 【答案】A【解析】由题意抛物线过定点（2，4），得抛物线方程28y x =，焦点为F(2,0).圆的标准方程为()2221x y -+=，所以圆心为（2，0），半径r=1.由于直线过焦点，所以有1121F 2PF Q P +==，又4PN QM+()()14445PF QF PF QF =+++=++=()11245F PF QF PF Q ⎛⎫+++ ⎪⎝⎭425523QF PF PF QF ⎛⎫=+++≥ ⎪⎝⎭，当且仅当2PF QF =时等号成立。

双曲线经典知识点总结双曲线是解析几何中的一种重要曲线，是一对非重叠又对称的曲线组成，它有着丰富的性质和应用。

在数学、物理和工程等领域都有广泛的应用。

本文将通过对双曲线的定义、性质、参数方程、极坐标方程以及相关的应用等方面进行详细的总结和解释。

一、双曲线的定义和基本性质1. 双曲线的定义双曲线定义是平面直角坐标系中满足以下方程的点的轨迹:\[\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1\]其中a和b是正实数且a≠b。

当a>b时，曲线称为右双曲线；当a<b时，曲线称为左双曲线。

2. 双曲线的基本性质（1）对称性：关于x轴、y轴和原点对称。

（2）渐近线：右双曲线的渐近线为y=±\frac{b}{a}x，左双曲线的渐近线为y=±\frac{a}{b}x。

（3）焦点和准线：右双曲线的焦点为F_{1}、F_{2}(c,0)，准线方程为x=c；左双曲线的焦点为F_{1}、F_{2}(0,c)，准线方程为y=c。

（4）离心率：离心率ε定义为，ε=\frac{\sqrt{a^2+b^2}}{a}。

二、双曲线的参数方程和极坐标方程1. 双曲线的参数方程（1）右双曲线的参数方程：\[\begin{cases}x=a\text{sec}t \\y=b\tan t\end{cases}\]其中t为参数。

（2）左双曲线的参数方程：\[\begin{cases}x=a\text{csc}t \\y=b\cot t\end{cases}\]其中t为参数。

2. 双曲线的极坐标方程（1）右双曲线的极坐标方程：\[r=\frac{b}{\sin\theta}\]（2）左双曲线的极坐标方程：\[r=\frac{a}{\cos\theta}\]三、双曲线的相关应用1. 数学方面双曲线广泛应用于解析几何、微积分、微分方程等数学领域。

在微积分中，双曲线的导数和积分形式复杂，常作为综合练习的一部分。

解析几何：椭圆、双曲线、抛物线几何学中的曲线是研究图形的重要部分，而椭圆、双曲线和抛物线是其中三种常见的曲线形式。

它们在数学、物理学和工程学等领域都有重要的应用。

本文将对椭圆、双曲线和抛物线进行解析，探索它们的定义、性质和在实际应用中的意义。

一、椭圆椭圆是解析几何中常见的曲线，由平面上到两个固定点的距离之和等于常数的点构成。

这两个点称为焦点，连接焦点的线段称为主轴。

椭圆的形状由其半长轴和半短轴的长度决定。

椭圆的方程通常表示为(x/a)²+(y/b)²=1，其中a和b分别代表椭圆半长轴和半短轴的长度。

通过这个方程可以推导出椭圆的其他性质，如离心率、焦距等。

椭圆在现实生活中有着广泛的应用。

例如，椭圆的运动轨迹可以用来描述行星绕太阳的轨道，也可以用于工程设计中的椭圆形物体的制造等。

二、双曲线双曲线是另一种常见的解析几何曲线，其定义是到两个固定点的距离之差等于常数的点构成。

这两个点同样称为焦点，连接焦点的线段称为虚轴。

与椭圆不同的是，双曲线有两个不相交的分支。

双曲线的方程通常表示为(x/a)²-(y/b)²=1，其中a和b分别代表双曲线的半轴长度。

通过这个方程可以得到双曲线的其他性质，如离心率、焦距等。

双曲线在科学研究和工程领域中有广泛的应用。

例如，双曲线经常用于描述粒子在电磁场中的运动轨迹，也可以用于地质勘探中的地层结构分析。

三、抛物线抛物线是常见的曲线形式之一，由平面上到与一条直线的距离相等的点构成。

该直线称为准线，垂直于准线通过准线焦点的线段称为主轴。

抛物线的方程通常表示为y=ax²+bx+c，其中a、b、c为常数，a代表抛物线的开口方向和形状。

抛物线同样在现实中有广泛的应用。

例如，抛物线的运动轨迹可以用于描述抛射物的运动，也可以在抛物面反射的情况下用于天线的设计。

综上所述，椭圆、双曲线和抛物线是解析几何中常见的曲线形式。

它们分别由不同的几何条件定义，具有不同的性质和应用。

圆锥曲线统一的极坐标方程圆锥曲线是高中数学中的重要知识点之一，统一的极坐标方程可以更好地理解和应用圆锥曲线。

下面就来详细讲解一下围绕“圆锥曲线统一的极坐标方程”的相关知识。

第一步，了解圆锥曲线的种类。

圆锥曲线包括椭圆、双曲线和抛物线三种基本形态。

这三种形态的特征可以通过其焦点和准线进行描述。

椭圆和双曲线有两个焦点和两条准线，而抛物线只有一个焦点和一条准线。

在圆锥曲线中，焦点和准线的位置、形状和数量决定了其种类。

第二步，了解极坐标系的基本知识。

极坐标系是一种二维坐标系，它用极径和极角两个参数来确定一个点的位置。

极径表示点到极点的距离，极角表示从极轴到极径的角度。

对于圆锥曲线来说，极坐标系的使用可以更好地描述其对称性和对称轴。

第三步，推导椭圆的极坐标方程。

椭圆的极坐标方程为：r = (a*b)/√((b*cosθ)^2+(a*sinθ)^2)其中，a代表椭圆长轴的长度，b代表椭圆短轴的长度。

第四步，推导双曲线的极坐标方程。

双曲线的极坐标方程为：r = (a*b)/√((b*cosθ)^2-(a*s inθ)^2)其中，a代表双曲线的顶点与焦点之间的距离，b代表双曲线的顶点与准线之间的距离。

第五步，推导抛物线的极坐标方程。

抛物线的极坐标方程为：r = 2p/(1-cosθ)其中，p代表抛物线焦点到准线的距离，θ代表极角。

综上所述，围绕“圆锥曲线统一的极坐标方程”，我们需要了解圆锥曲线的种类、极坐标系的基本知识，以及推导椭圆、双曲线和抛物线的极坐标方程。

这些知识点的掌握可以帮助我们更好地理解和应用圆锥曲线。

椭圆的定义、性质及标准方程1. 椭圆的定义：⑴第一定义：平面内与两个定点12F F 、的距离之和等于常数（大于12F F ）的点的轨迹叫做椭圆。

这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距。

⑵第二定义：动点M 到定点F 的距离和它到定直线l 的距离之比等于常数)10(<<e e ，则动点M 的轨迹叫做椭圆。

定点F 是椭圆的焦点，定直线l 叫做椭圆的准线，常数e 叫做椭圆的离心率。

说明：①若常数2a 等于2c ，则动点轨迹是线段12F F 。

②若常数2a 小于2c ，则动点轨迹不存在。

2. 椭圆的标准方程、图形及几何性质：标准方程)0(12222>>=+b a by a x 中心在原点，焦点在x 轴上)0(12222>>=+b a b x a y 中心在原点，焦点在y 轴上图形范围 x a y b ≤≤，x b y a ≤≤，顶点()()()()12120000A a A a B b B b --，、，，、，()()()()12120000A a A a B b B b --，、，，、，对称轴 x 轴、y 轴；长轴长2a ，短轴长2b ；焦点在长轴上x 轴、y 轴；长轴长2a ，短轴长2b ；焦点在长轴上焦点 ()()1200F c F c -，、， ()()1200F c F c -，、， 焦距 )0(221>=c c F F)0(221>=c c F F离心率 )10(<<=e ace )10(<<=e ace 准线2a x c=±2a y c=±参数方程与普通方程22221x y a b +=的参数方程为 ()cos sin x a y b θθθ=⎧⎨=⎩为参数 22221y x a b +=的参数方程为 ()cos sin y a x b θθθ=⎧⎨=⎩为参数3. 焦半径公式：椭圆上的任一点和焦点连结的线段长称为焦半径。

圆锥曲线的极坐标方程与直角坐标方程的转换方法剖析在数学领域中，圆锥曲线是一类经典的曲线，包括圆、椭圆、双曲线和抛物线。

它们可以通过极坐标方程和直角坐标方程相互转换。

本文将对圆锥曲线的极坐标方程与直角坐标方程之间的转换方法进行剖析。

一、圆锥曲线的极坐标方程在极坐标系中，一个点的位置是由其到极点的距离r和与极轴正方向的夹角θ所确定。

对于圆锥曲线，其极坐标方程可以表示为：1. 圆的极坐标方程：r = a其中a为圆的半径，表示从极点到圆心的距离。

2. 椭圆的极坐标方程：r = a(1−ε²)/(1−εcosθ)其中a为椭圆的半径，ε为偏心率，取值范围是0<ε<1，表示离心率。

该方程描述了极坐标系中椭圆的形状。

3. 双曲线的极坐标方程：r = a(1+εcosθ)其中a为双曲线的半径，ε为偏心率，取值范围是ε>1，描述了极坐标系中双曲线的形状。

4. 抛物线的极坐标方程：r = a/(1+cosθ)其中a为抛物线的焦距，描述了极坐标系中抛物线的形状。

通过以上极坐标方程，可以在极坐标系下方便地描述圆锥曲线的形状。

二、圆锥曲线的直角坐标方程直角坐标系是我们日常常用的坐标系，其中一个点的位置是由其在x轴和y轴上的坐标确定。

圆锥曲线的直角坐标方程可以表示为：1. 圆的直角坐标方程：(x−h)²+(y−k)² = a²其中(h, k)为圆心的坐标，a为半径。

2. 椭圆的直角坐标方程：(x−h)²/a²+(y−k)²/b² = 1其中(h, k)为椭圆的中心坐标，a和b分别为x轴和y轴的半长轴。

3. 双曲线的直角坐标方程：(x−h)²/a²−(y−k)²/b² = 1其中(h, k)为双曲线的中心坐标，a和b分别为实轴和虚轴的半长轴。

4. 抛物线的直角坐标方程：(x−h)² = 4a(y−k)其中(h, k)为抛物线的焦点坐标，a为焦距的一半。

也谈在极坐标系中椭圆、双曲线、抛物线方程的统一作者：周金兰来源：《数学教学通讯·中等教育》2013年第12期摘要：椭圆、双曲线和抛物线方程一直是高考的热点，本文就如何在极坐标系中使椭圆、双曲线、抛物线方程达到统一，提出自己的观点.关键词：极坐标；椭圆；双曲线；抛物线方程；统一《数学教学通讯》（中等教育）2013年4期发表的郭新祝老师的论文《在极坐标系中椭圆、双曲线、抛物线方程的统一》中探究的教材（苏教版选修4-4）中，给出的圆锥曲线极坐标方程仅仅是极点建立在椭圆的左焦点（双曲线的右焦点）情况下的方程，而对于另外三种形态，即极点分别建立在椭圆的右、上、下焦点的情况，则没有探究，下面笔者就带领大家一起去进一步探讨挖掘！（一）如图1，当极点建立在椭圆的右焦点（双曲线的左焦点）时，ρ=■（Ⅱ）当0当e=1时，方程（Ⅱ）表示开口向左的抛物线，定点F是该抛物线的焦点，定直线l是该抛物线的准线；此时，ρ=■，抛物线焦点极坐标为（0，0），顶点极坐标为■，0；抛物线准线方程为ρcosθ=p.当e>1时，方程（Ⅱ）表示双曲线，定点F是该双曲线的左焦点，定直线l是该双曲线的左准线. 与方程（Ⅰ）情形相同，对于双曲线中的a，b，c结果也不变，即a=■，b=■，c=■，即双曲线的实轴长为■，虚轴长为■，焦距为■，此时，双曲线中心极坐标为■，0；双曲线的左焦点极坐标为（0，0），右焦点极坐标为■，0；双曲线的左顶点极坐标为■，0，双曲线右顶点极坐标为■，0；双曲线的左准线方程为ρcosθ=p，右准线方程为ρcosθ=■；综上所述，对于方程ρ=■，当e≠1即方程不表示抛物线时，有结论（ⅰ）a=■，c=■，b=■；？摇？摇？摇（ⅱ）椭圆或双曲线的中心极坐标为■，0；？摇？摇？摇（ⅲ）椭圆的左（双曲线的右）焦点极坐标为■，0，椭圆的右（双曲线的左）焦点极坐标为（0，0）；（ⅳ）椭圆的左（双曲线的右）顶点极坐标为■，0，椭圆的右（双曲线的左）顶点极坐标为■，0；（ⅴ）椭圆的左（双曲线的右）准线方程为ρcosθ=■，椭圆的右（双曲线的左）准线方程为ρcosθ=p.（二）如图2，当极点建立在椭圆的上焦点（双曲线的下焦点）时，如图3，ρ=■（Ⅲ）■图2当0当e=1时，方程（Ⅲ）表示开口向下的抛物线，定点F是该抛物线的焦点，定直线l是该抛物线的准线；此时，ρ=■，抛物线焦点极坐标为（0，0），顶点极坐标为■，■；抛物线准线方程为ρsinθ=p.当e>1时，方程（Ⅲ）表示双曲线，定点F是该双曲线的下焦点，定直线l是该双曲线的下准线，此时，a=■，b=■，c=■；双曲线的实轴长为■，虚轴长为■，焦距为■；此时，双曲线中心极坐标为■，■；双曲线的上焦点极坐标为■，■，下焦点极坐标为（0，0）；双曲线的上顶点极坐标为■，■，双曲线下顶点极坐标为■，■；双曲线的上准线方程为ρsinθ=■，下准线方程为ρsinθ=p；综上所述，对于方程ρ=■，当e≠1即方程不表示抛物线时，有结论（ⅰ）a=■，c=■，b=■；？摇？摇？摇（ⅱ）椭圆或双曲线的中心极坐标为■，■；（ⅲ）椭圆的上（双曲线的下）焦点极坐标为（0，0），椭圆的下（双曲线的上）焦点极坐标为■，■；（ⅳ）椭圆的上（双曲线的下）顶点极坐标为■，■，椭圆的下（双曲线的上）顶点极坐标为■，■；（ⅴ）椭圆的上（双曲线的下）准线方程为ρsinθ=p，椭圆的下（双曲线的上）准线方程为ρsinθ=■.（三）如图3，当极点建立在椭圆的下焦点（双曲线的上焦点）时，？摇ρ=■（Ⅳ）当0当e=1时，方程（Ⅳ）表示开口向上的抛物线，定点F是该抛物线的焦点，定直线l是该抛物线的准线；此时，ρ=■；抛物线焦点极坐标为（0，0），顶点极坐标为■，■；抛物线准线方程为ρsinθ=-p.当e>1时，方程（Ⅳ）表示双曲线，定点F是该双曲线的上焦点，定直线l是该双曲线的上准线. 此时，a=■，b=■，c=■，双曲线的实轴长为■，虚轴长为■，焦距为■，此时，双曲线中心极坐标为■，■或■，■，双曲线的上焦点极坐标为（0，0），下焦点极坐标为■，■或■，■，双曲线的上顶点极坐标为■，■，双曲线下顶点极坐标为■，■或■，■；双曲线的上准线方程为ρsinθ=-p，下准线方程为ρsinθ=■；综上所述，对于方程ρ=■，当e≠1即方程不表示抛物线时，有结论（ⅰ）a=■，c=■，b=■；（ⅱ）椭圆或双曲线的中心极坐标为■，■；（ⅲ）椭圆的上（双曲线的下）焦点极坐标为■，■，椭圆的下（双曲线的上）焦点极坐标为（0，0）；（ⅳ）椭圆的上（双曲线的下）顶点极坐标为■，■，椭圆的下（双曲线的上）顶点极坐标为■，■；（ⅴ）椭圆的上（双曲线的下）准线方程为ρsinθ=■，椭圆的下（双曲线的上）准线方程为ρsinθ=-p.。

椭圆的极坐标方程-双曲线焦点坐标圆锥曲线的极坐标方程、焦半径公式、焦点弦公式圆锥曲线的极坐标方程、焦半径公式、焦点弦公式湖北省天门中学薛德斌一、圆锥曲线的极坐标方程椭圆、双曲线、抛物线可以统一定义为：与一个定点(焦点)的距离和一条定直线(准线)的距离的比等于常数e的点的轨迹．以椭圆的左焦点(双曲线的右焦点、抛物线的焦点)为极点，过点F作相应准线的垂线，垂足为K，以FK的反向延长线为极轴建立极坐标系．ep椭圆、双曲线、抛物线统一的极坐标方程为：. 1ecos其中p是定点F到定直线的距离，p＞0 ．当0＜e＜1时，方程表示椭圆；当e＞1时，方程表示双曲线，若ρ＞0，方程只表示双曲线右支，若允许ρ＜0，方程就表示整个双曲线；当e=1时，方程表示开口向右的抛物线.二、圆锥曲线的焦半径公式设F为椭圆的左焦点(双曲线的右焦点、抛物线的焦点)，P为椭圆(双曲线的右支、抛物线)上任一点，则∵PF e，∴PF e(PFcos p)，其中p FH，〈x轴，FP〉∴焦半径PF ep．1ecosep. 1ecos当P在双曲线的左支上时，PF推论：若圆锥曲线的弦MN经过焦点F，则有112. MFNFep三、圆锥曲线的焦点弦长若圆锥曲线的弦MN经过焦点F，epep2ab2a2b2c1、椭圆中，p，MN222.cc1ecos1ecos()a ccos2、双曲线中，epep2ab2若M、N在双曲线同一支上，MN；1ecos1ecos()a2c2co s2epep2ab2若M、N在双曲线不同支上，MN.1ecos1ecos c2cos2a23、抛物线中，MN pp2p. 21cos1cos()sin四、直角坐标系中的焦半径公式设P是圆锥曲线上的点，1、若F1、F2分别是椭圆的左、右焦点，则PF1a exPF2a ex；2、若F1、F2分别是双曲线的左、右焦点，当点P在双曲线右支上时，PF1ex a，PF2ex a；当点P在双曲线左支上时，PF1a ex，PF2a ex；3、若F是抛物线的焦点，PF xp. 2坐标曲线题题型研究题型一坐标曲线题热点题型精讲坐标曲线类试题一般结合数学中的平面直角坐标系考查，用横纵坐标代表不同的化学量，主要与氧气的制取、金属与酸和盐的反应、酸碱盐之间的反应、溶质质量分数和pH等知识相结合考查。

从统一方程看抛物线,椭圆和双曲线的关系当今社会，人们对数学的研究越来越重要，有关数学的知识以及抽象概念也正在日益深入的受到关注。

其中，一类最重要的研究课题就是研究几何图形的规律，其中包括一般抛物线、椭圆和双曲线等。

本文的目的就是从统一的方程的角度，通过深入研究，来解释抛物线、椭圆和双曲线之间的关系。

一、抛物线的本质抛物线，又称为二次曲线，是一类具有特殊特性的几何图形，在经典曲线中，它有自己独特的定义：抛物线是以某一点为焦点以及以此点为中心的一种几何图形，其函数关系式由其方程定义，可以用如下的普通二次方程来表示：y=ax2+bx+c，其中a, b, c是常数，他们表示了抛物线的拟合程度。

二、椭圆的本质椭圆是一种类似于圆形的几何图形，其形状类似于一个橄榄果，其方程用如下的标准形式表示：x2/a2+y2/b2=1，其中a, b常数，他们决定了椭圆的大小和形状。

三、双曲线的本质双曲线也可以被称为一种弯曲的抛物线，其形状类似于一个弓形，其方程的标准形式如下：y2/a2-x2/b2=1，其中a, b 也是常数，他们决定了双曲线的形状。

四、抛物线、椭圆与双曲线之间的关系从上面的介绍可以看出，抛物线、椭圆和双曲线都是一类几何图形，他们都可以用统一的二次方程来表示。

但是，他们之间也有一定的关系。

首先，抛物线和椭圆之间是一种“平行关系”，也就是说，抛物线和椭圆是是有相似的结构，但它们之间也存在着本质的差异，抛物线是一个以某一点为焦点的图形，而椭圆则是一个以y轴为中心的图形。

其次，抛物线、椭圆和双曲线之间有着共通的变量，它们都可以用同一类二次方程表示，只不过它们的变量参数不同，抛物线使用的是x，椭圆使用的是a，双曲线则是使用b。

最后，根据上面所说的，抛物线、椭圆和双曲线之间的关系也可以从另一个角度去分析，即它们都是一类几何图形，它们的关系可以用三个坐标轴的三个角度来表示，从而表明其之间有一定的关联。

五、总结本文以统一方程为例，研究了抛物线、椭圆和双曲线之间的关系。

<一>圆的方程(x-a)^2+(y-b)^2=r^2，圆心O（a，b），半径r。

（1）圆的一般式方程：x^2+y^2+Dx+Ey+F=0此方程可用于解决两圆的位置关系：配方化为标准方程：（x+D/2）^2.+(y+E/2)^2=(D^2+E^2-4F)/4其圆心坐标：（-D/2,-E/2）半径为r=√[（D^2+E^2-4F）]/2此方程满足为圆的方程的条件是:D^2+E^2-4F>0若不满足,则不可表示为圆的方程（2）点与圆的位置关系点P（X1,Y1) 与圆(x－a)^2+(y－b) ^2=r^2的位置关系：⑴当(x1－a)^2+(y1－b) ^2>r^2时，则点P在圆外。

⑵当(x1－a)^2+(y1－b) ^2=r^2时，则点P在圆上。

⑶当(x1－a)^2+(y1－b) ^2<r^2时，则点P在圆内。

圆与直线的位置关系判断平面内，直线Ax+By+C=0与圆x^2+y^2+Dx+Ey+F=0的位置关系判断一般方法是：1.由Ax+By+C=0，可得y=(-C-Ax)/B，（其中B不等于0），代入x^2+y^2+Dx+Ey+F=0，即成为一个关于x的一元二次方程f（x）=0。

利用判别式b^2-4ac的符号可确定圆与直线的位置关系如下：如果b^2-4ac>0，则圆与直线有2交点，即圆与直线相交。

如果b^2-4ac=0，则圆与直线有1交点，即圆与直线相切。

如果b^2-4ac<0，则圆与直线有0交点，即圆与直线相离。

2.如果B=0即直线为Ax+C=0，即x=-C/A，它平行于y轴（或垂直于x 轴），将x^2+y^2+Dx+Ey+F=0化为 (x－a)^2+(y－b) ^2=r^2。

令y=b，求出此时的两个x值x1、x2，并且规定x1<x2，那么：当x=-C/A<x1或x=-C/A>x2时，直线与圆相离；当x1<x=-C/A<x2时，直线与圆相交；半径r，直径d在直角坐标系中，圆的解析式为：(x-a)^2+(y-b)^2=r^2;x^2+y^2+Dx+Ey+F=0=> (x+D/2)^2+(y+E/2)^2=(D^2+E^2-4F)/4=> 圆心坐标为(-D/2,-E/2)其实只要保证X方Y方前系数都是1就可以直接判断出圆心坐标为(-D/2,-E/2)这可以作为一个结论运用的且r=根号（圆心坐标的平方和-F）<二>椭圆的标准方程椭圆的标准方程分两种情况：当焦点在x轴时,椭圆的标准方程是：x^2/a^2+y^2/b^2=1，(a>b>0)；当焦点在y轴时,椭圆的标准方程是：y^2/a^2+x^2/b^2=1，(a>b>0)；其中a>0，b>0。

椭圆与双曲线的统一性r——基于几何画板软件的轨迹探究周健;章媚媚【摘要】从椭圆和双曲线的立体属性出发,借助几何画板软件,实现圆锥曲线的定义的统一.同时,以轨迹特征为契合点进一步探究归纳,形成较为完整的体系,从而体会圆锥曲线中"数"与"形"的相附相依.【期刊名称】《中国数学教育（高中版）》【年(卷),期】2018(000)006【总页数】4页(P61-64)【关键词】几何画板软件;圆锥曲线;轨迹探究;定义统一【作者】周健;章媚媚【作者单位】浙江省杭州市余杭中学;浙江省杭州市余杭中学【正文语种】中文圆锥曲线是解析几何中的重要内容，但是大多数人对圆锥曲线的认识却只停留在“运算”层面，缺乏直观想象.本文希望借助几何画板软件，从定义的角度研究椭圆和双曲线的几何属性，并进一步在概念上实现“数”与“形”的统一.一、始于空间，切割成线圆锥曲线，又称为圆锥截痕、圆锥截面.在数学中，圆锥曲线是通过平面切圆锥得到的一些曲线.它源于古希腊，柏拉图和阿波罗尼斯在该领域都有重要的贡献.人教A版《普通高中课程标准实验教科书·数学（选修2—1）》（以下统称“教材”）中“圆锥曲线与方程”一章的章头便指出：用一个垂直于圆锥的轴的平面截圆锥，截口曲线（截面与圆锥侧面的交线）是一个圆……用一个不垂直于圆锥的轴的平面截圆锥，当截面与圆锥的轴夹角不同时，可以得到不同的截口曲线，它们分别是椭圆、抛物线、双曲线.我们通常把圆、椭圆、抛物线、双曲线统称为圆锥曲线.可见，圆锥曲线在立体几何中早已实现了统一.这也是圆锥曲线的名字的由来.例1 如图1，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，两点M，N分别是直线CD，AB上的动点，P是△A1C1D内的动点（不包括边界），记直线D1P与MN所成的角为θ，若θ的最小值为则点P的轨迹是什么曲线？图1解析：根据线面角最小，可知直线D1P与平面ABCD所成的角为，从而可知点P 在以DD为轴的1圆锥面上.所以点P的轨迹即为平面A1C1D截圆锥所得的曲线.该题本质上是圆锥曲线的切割问题，如图2所示.图2二、追溯教材，“数”“形”相依教材中指出：我们把平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数（大于|F1F2|）的点的轨迹叫做椭圆.而将概念中的“和”改为“差的绝对值”，将“大于”改为“小于”，即可得到双曲线的概念.然而，将定义的代数描述转化为几何描述之后，学生很难求解点的轨迹，只是单纯地记忆概念，而无法从“形”的角度落实概念. 例2 如图3，⊙F1的半径为r，F2是⊙F1内一个定点，P是圆上任意一点，线段F2P的垂直平分线l和半径F1P相交于点Q，当点P在圆上运动时，点Q的轨迹是什么？图3变式1：如图4，将题中的F2移至圆外，“半径F1P”改为“F1P所在直线”，其余条件不变，则点Q的轨迹是双曲线.例2源于教材，是对概念的几何阐述，关键在于抓住中垂线的几何特征.由此，借助圆的性质和中垂线的辅助，教材中将椭圆和双曲线的定义在圆中实现了统一.而例2中的中垂线恰好是切线.反过来，椭圆或双曲线的两条垂直切线的交点的轨迹是圆.其实，在拖动点F2的过程中，可以感受到双曲线好像是被拼命撕扯过后的椭圆.就好像是两块磁石，原本是异极相吸，却被强力拉成了同极相斥；又好像宇宙的雏形在不断膨胀后化为无穷，是数学中“有界”到“无界”的一种转化.另外，教材中的“信息技术应用”部分指出：点F是定点，直线l是不经过点F的定直线，动点M到定点F的距离与它到直线l的距离的比为e.当0＜e＜1时，该轨迹为椭圆；当e=1时，该轨迹为抛物线；当e＞1时，该轨迹为双曲线.在例2中，借助圆的性质和中垂线的性质实现了椭圆和双曲线的几何性质的统一.例3则利用角平分线的性质来实现这个统一性.例3 如图5，若点F是定点，直线l是不经过点F的定直线，在直线l上任取一点A，连接AF，并过点A作直线l′，使l′⊥l.以线段AF上的任意一点E为圆心，以点E到直线l′的距离为半径得到⊙E.过点F作⊙E的切线，求这个切线与直线l′的交点的轨迹.图5解析：因为PA，PF分别与⊙E相切，所以PE是∠APF的平分线.从而有其中，|PA|为点P到直线l的距离，记作d，而为定值，故可以得到其中当点E在线段AF上运动时，即e发生了变化，就可以得到不同的曲线形状，如图6所示.借助圆的切线性质和角平分线的性质，实现了圆锥曲线的第二定义在几何上的统一，展现了离心率的几何性.例4 如图7，过双曲线C：上的一点P(x0，y0)(y0≠0)的直线l：与直线AF相交于点M，与直线相交于点N，其中点F为右焦点，且AF⊥Ox.证明：当点P在C上移动时，恒为定值，并求此定值.图7解析1：代数法.求出|MF|和|NF|的值，从而得到解析2：几何法.根据双曲线的切线的性质：若双曲线上任意一点（异于顶点）处的切线交准线于一点，则该交点与此准线相应焦点的连线垂直于切点处相应的焦半径，则该题中可以得到NF⊥PF.在△NFM中，由正弦定理，得分别记∠MNF=α，∠NMF=β.过点P作PP′垂直于准线，并交准线于点P′，则在△NP′P中，有（其中d为点P到准线的距离）.在△NFP中，有从而有推广：将题中的“双曲线”改为“椭圆”，同样用切线与过焦点F的垂线与准线相交得到的交点M，N，的结果仍然为定值e.题中直线l为双曲线的切线，直线即为双曲线的准线，而所得的定值即为离心率e.关键在于抓住第二定义所反映的几何特征.在圆锥曲线中，离心率作为衡量曲线弯曲程度的一个量，不仅承载定义，也推导了性质.三、根在轨迹，万变不离曲线，从本质上讲就是空间中质点的运动轨迹.高中教材中的诸多曲线方程都是以轨迹的形式给出的，而椭圆和双曲线的定义及其性质也可以从点的角度进行阐述.例5 平面内与两个定点A1(-a，0)，A2(a，0)的连线的斜率之积等于非零常数m，a＞0，求点P的轨迹C.轨迹C的形状与m的关系：设点P(x，y)，则有具体见下表.x≠±a曲线的方程x2-ma2=1 x2+y2=a2 y2 a2+曲线的形状椭圆圆椭圆离心率e=m的取值范围m＜-1 m=-1-1＜m＜0 m+1 m——e=x2a2+-ma2=1 y21+m双曲线m＞0 a2-e=x2 ma2=1 y2 1+m由此，可以将圆、椭圆和双曲线通过两条直线的交点的轨迹进行统一，从而进行有效对应.例6 如图8，设点P为椭圆上的动点，F1，F2为椭圆C的焦点，I为△PF1F2的内心，则直线IF1和直线IF2的斜率之积是否为定值？图8解析：根据角平分线的定义，得过点I分别作IF1′∥PF1，IF2′∥PF2，则有根据椭圆的定义，可得直线IF1和直线IF2的斜率之积为定值.反过来，利用旁切圆的性质可以得到从而有所以点I的轨迹为椭圆，如图9所示.图9推广：将题中的“内心”改为“重心”，则结论依然成立；将“椭圆”改为“双曲线”，将“内心”改为“重心”，则轨迹为双曲线.另外，在一个圆中，若点P是圆上的一点，并且有PN⊥AB，则由射影定理可以得到PN2=NA·NB，如图10所示.图10图11推广：若则点P的轨迹为双曲线或椭圆或圆，如图11所示.解析：设P(x，y)，A(-a，0)，B(a，0)，则容易得到y2=t(x-a)(x+a).从而有从形式上，可以发现该问题与两条直线的交点的轨迹方程相一致.由此，更可以得到t即为两条直线PA，PB的斜率之积.例7 如图12，在平面直角坐标系xOy中，椭圆的左、右焦点分别为F1(-c，0)，F2(c，0).设点A，B是椭圆上的两点，且直线AF1与直线BF2平行，直线AF2与直线BF1交于点P.求证：PF1+PF2是定值.图12解析：由△APF1∽△F2PB，得设直线AF1：x+c=my，联立，得解方程组可以得y1，y2.利用进一步求出从而有PF+1为定值.变式：将题中的“椭圆”改为“双曲线”，同样可以得到PF1+PF2是定值这一结论，如图13所示.借助几何画板软件计算、作图，可以发现PF1+PF2仍为定值，只是点P的轨迹不再是完整的椭圆，而只是其中的一部分，这和双曲线和椭圆图形本身的开放性和封闭性有着很大的关系.图13四、教学启迪从考查要求来看，圆锥曲线分布在选择题、填空题和解答题之中，从二次方程的角度体现了数学运算的重要，而从几何曲线的角度则更深刻地揭示了直观想象的能力.另一方面，圆锥曲线问题作为解析几何中的重点、难点，通过有效地归纳和化归，可以将椭圆和双曲线的一般性质进行推广，从而更好地理解该曲线的特性，在解题时得到事半功倍的效果.从研究曲线的角度来讲，圆锥曲线是从立体切割到平面的曲线，也是点的运动轨迹的曲线，是几何中的一类重要问题.探究圆锥曲线的统一性，实质上也是对其本质的进一步阐述和探索.【相关文献】［1］张福俭.焦点三角形内（旁）切圆的两个性质及其应用［J］.中学数学杂志，2006（3）：26-29.［2］彭震春.二次曲线切线的几何性质［J］.湖南工业大学学报（社会科学版），2003，8（2）：26-28.［3］崔宝法.双曲线切线的几个典型性质及其证明［J］.中学数学月刊，2007（1）：24-26.。