18版高中数学第一章集合与函数概念习题课集合及其运算学案新人教A版必修1

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第2课时补集及综合应用1．了解全集的含义及其符号表示．（易混点）2．理解给定集合中一个子集的补集的含义，并会求给定子集的补集．(重点、难点）3．会用Venn图、数轴进行集合的运算．(重点)[基础·初探]教材整理补集阅读教材P10补集以下部分，完成下列问题．1．全集(1）定义：如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集．（2)记法:全集通常记作U。

2．补集文字语言对于一个集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集，记作∁U A符号语言∁U A＝｛x|x∈U，且x∉A}图形语言3∁U U＝∅,∁U∅＝U，∁U（∁U A）＝A.1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”）(1)只有实数R才可以做为全集U.（）(2）一个集合的补集一定含有元素．( ）(3）集合∁Z N与集合∁Z N＊相等．（)【解析】（1）×.由全集的定义可知，所有的集合都可以做为全集．(2)×。

∵∁U U＝∅,∴（2）错．(3）×.∵0∉∁Z N,而0∈∁Z N＊，∴(3）错．【答案】（1)×（2)×（3）×2．已知全集U＝{x｜|x｜<5,x∈Z｝，A＝{0,1，2｝，则∁U A＝________。

第一章 集合与函数概念§1.1集合第一课时 集合的含义与表示一、课前准备1．课时目标：了解集合的含义，掌握常用数集的概念和记法，理解集合中元素的三大属性，并能用图形和集合语言（列举法和描述法）表示集合的含义。

2．基础预探(1) 元素与集合有 两种关系，其中数学符号为“∈”和“∉”，它们是表示元素与集合间的关系的专用符号，只能用在元素与集合之间，表示元素与集合的从属关系.(2) 集合的基本性质：① ，② ，③ .(3) 集合按元素个数可分为： ；按元素特征可分为数集和点集等.(4) 集合的两种表示方法：① ，如A={0，1，2，3}；② ，如B={|3,x x m =m ∈*N }.二、基本知识习题化1. 用列举法表示下列集合：（1）6|,2A x Z x Z x ⎧⎫=∈∈⎨⎬-⎩⎭； （2）6|2B Z x Z x ⎧⎫=∈∈⎨⎬-⎩⎭； （3）{}2|6,,C y y x x N y N ==-+∈∈； （4）{}2(,)|6,,D x y y x x N y N ==-+∈∈。

2. 描述法表示集合应注意集合的代表元素，如(){}2,|32x y y x x =++，{}2|32x y x x =++，{}2|32y y x x =++是表示不同的集合，第一个表示 ，第二个表示 ， 第三个表示 .三、学习引领1．对集合中元素的三大属性的解读确定性：从集合的定义，可以看出，作为一个集合的元素，必须是确定的。

也就是说不确定的对象不能构成集合。

对于给定的集合来说，某元素要么属于这个集合，要么不属于这个集合。

例如，“所有的等边三角形”构成一个集合，因为等边三角形是三条边都相等的三角形，它的性质是确定的；而“清华大学的高才生”就不能构成一个集合，因为组成它的对象是不确定的。

互异性：对于一个给定的集合，集合中的元素一定是不同的（或说是互异的），这就是说集合中的任何两个元素都是不同的对象，相同的元素归入同一个集合时只能算作一个集合的元素。

第一章 集合与函数概念与性质诊疗一．集合 1. 精要总结集合的有关概念是解决集合问题的基础，也是学习其他数学知识的语言工具，试题多以选择题或填空题的形式出现，主要应用集合的基本概念和元素的特征进行分析和检验. 集合中元素的“三性”是指集合中元素的确定性、元素的互异性和元素的无序性，抓住的集合中元素这三个特性就等于抓住了集合的本质特征，也就抓住了解决问题的理论依据 确定性：设A 是一个给定的集合，x 是某一个具体对象，则或者是A 的元素，或者不是A 的元素，两种情况必有一种且只有一种成立；互异性：一个给定集合中的元素，指属于这个集合的互不相同的个体（对象），因此，同一集合中不应重复出现同一元素；无序性：集合中不同的元素之间没有地位差异，集合不同于元素的排列顺序无关； 集合与集合之间的关系问题，是我们解答数学问题过程中经常遇到，并且必须解决的问题，因此要予以重视.反映集合与集合关系的一系列概念，都是用元素与集合的关系来定义的。

因此，在证明（判断）两集合的关系时，应回到元素与集合的关系中去.当集合为有限集时，一般有列举法，当集合为无限集时，不宜采用列举法，这时，宜用描述法或图示法.对于同一集合，有时既可用列举法又可用描述法，这时应择优选用.集合中的参数问题，是指集合{|p p 适合的条件}中“p 适合的条件”里面含有参数的问题，解答这类问题类似于其他含有参数的问题，灵活性强，难度也较大.因此，解决此为问题要注意思维的严谨性. 2. 错例辨析例1:已知集合{|25}A x x =-≤≤，{|121}B x m x m =+≤≤-，若A B A ⋃=，求实数m 的取值范围.误解：∵A B A ⋃=，∴B A ⊆，得21215m m -≤+⎧⎨-≤⎩,得33m -≤≤.分析：忽视了空集的特性.A A ∅=.正解：⑴若B =∅，则m+1>2m-1，即2m <此时A B A ⋃= ⑵若B ≠∅，则2m ≥∵B A ⊆，∴21215m m -≤+⎧⎨-≤⎩，得33m -≤≤，则23m ≤≤由⑴⑵可知：m 的取值范围是(,3]-∞ 针对练习1已知集合{}260A x x x =+-=，{}10B x mx =+=，若B A Ü，求实数m 的值．例2已知集合{2,,}M a b =，2{2,2,}N a b =且有,M N M N M N ⋃=⋃=求a 、b 的值. 误解：因为,M N M N M N ⋃=⋃=,所以M=N⑴由题意可知：a+2=1或2(1)1a +=或2331a a ++=，解得：a=-1或a=-2或a=0.⑵由题意得：21a a b =⎧⎨=⎩或22a b b a ⎧=⎨=⎩，解得01a b =⎧⎨=⎩或00a b =⎧⎨=⎩或1412a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩分析：集合中的元素具有三个特性：确定性、互异性、无序性.上述解法中忽视了元素的互异性原则.正解：⑴据元素的互异性可排除-1和2，∴a=0 ⑵据元素的互异性得01a b =⎧⎨=⎩或00a b =⎧⎨=⎩针对练习2若{}322427A a a a =--+，，， 223211122(38)372B a a a a a a a a ⎧⎫=+-+---+++⎨⎬⎩⎭，，，，，且{}25A B =，，试求实数a ．例3已知集合M={y|y=x 2+1，x ∈R}，N={y|y=x+1，x ∈R}，求M ∩N误解：由方程组211y x y x ⎧=+⎨=+⎩得抛物线和直线的交点为(0,0),(1,2).所以M ∩N={(0,0),(1,2)}分析：在集合运算之前，首先要认清集合中元素的特征，集合M={y|y=x 2+1，x ∈R}是数集，此集合与集合{（x ，y ）|y=x 2+1，x ∈R}是有本质差异的，后者是点集，属于图形范畴. 正解：M={y|y=x 2+1，x ∈R}={y|y ≥1}，N={y|y=x+1，x ∈R}={y|y ∈R} ∴ M ∩N=M={y|y ≥1} 针对练习3已知{}243A y y x x x ==-+∈R ，，{}222B y y x x x ==--+∈R ，，求A B ．二.函数概念与性质 1.精要总结函数是中学数学中最重要的一个基础概念，定义域、值域、对应法则是它的三个要素．函数实质上是表达定义域到值域的元素之间的一种对应关系，这种对应关系可以是一个元素对应一个元素，也可以是多个元素对应一个元素．函数定义中所涉及的两个集合必须是非空的实数集．由函数定义知，由于函数的值域由函数的定义域和对应关系完全确定，于是确定一个函数就只需两个要素：定义域和对应关系．因此，只有当两个函数的定义域和对应关系都分别相同时，才是同一函数．符号)(x f y =是“y 是x 的函数”的数学表示，应理解为：x 是自变量，它是对应关系f 所施加的对象；f 是对应关系，它可以是一个或几个解析式，也可以是图象或表格，还可以用文字描述；y 是自变量对应的函数值，当x 为允许的某一具体值时，相应的y 值为与该自变量对应的函数值．对函数奇偶性的学习注意以下几点:①要正确理解奇函数和偶函数的定义.定义是判断或讨论函数的奇偶性的依据，由定义知，若x 是定义域中的一个数值，则x -也必然在定义域中，因此，函数()y f x =是奇函数或偶函数的一个必不可少的条件是：定义域在数轴上所示的区间关于原点对称.换而言之，所给函数的定义域若不关于原点对称，则这个函数必不具有奇偶性.②奇偶性是函数在定义域上的对称性质.单调性反映函数在某一区间函数值的变化趋势. 函数的奇偶性与单调性是函数的两个重要性质，在解答数学问题时，要善于应用函数的观点，挖掘函数的奇偶性和单调性，并注意奇偶性与单调性的相关关系.③奇函数在0x =有定义，则(0)0f =.事实上(0)(0)f f -=-，所以(0)0f = 对函数单调性的学习注意以下几点:①函数的单调性是针对函数定义域内的某个子区间而言的．有些函数在整个定义域内可能是单调的，如一次函数；有些函数在定义域内的部分区间上是增函数，而在另一部分区间上可能是减函数，如二次函数.②函数单调性定义中的21,x x ，有三个特征：一是任意性，即“任意取21,x x ”，“任意”二字不能随便丢掉．证明单调性时更不可随意以两个特殊值替换；二是21,x x 之间有大小，通常规定21,x x ；三是同属一个单调区间．三者缺一不可．③若函数)(x f 在其定义域内的两个区间B A ,上都是增（减）函数，一般不能简单认为)(x f 在B A 上是增（减）函数．如xx f 1)(=在()0,∞-上是减函数，在()+∞,0上也是减函数，但不能说它在定义域()()+∞∞-,00, 上是减函数． 函数单调性的判断及单调区间的确定的常用方法有：①定义法：它是判断函数的单调性及确定函数单调区间的常用方法，一般地函数的单调性证明都是利用定义来完成的．②复合函数法：对于复合函数[])(x g f y =，若)(x g u =,)(x f y =在所讨论的区间上都是增函数或都是减函数，则[])(x g f y =为增函数；若)(x g u =,)(x f y =在所讨论的区间上一个增函数，另一个是减函数，则y=[])(x g f y =是减函数．③利用课本习题的结论：在公共定义域上两个增函数的和仍然是增函数，两个减函数的和仍然是减函数. 2. 错例辨析例4:已知函数()f x 的定义域为，求函数(1)f x +的定义域 误解：由于函数()f x 的定义域为，即01x ≤≤，112x ∴≤+≤ ∴(1)f x +的定义域是分析：对函数定义域理解不透，不明白()f x 与(())f u x 定义域之间的区别与联系，其实在这里只要明白：()f x 中x 取值的范围与(())f u x 中式子()u x 的取值范围一致就好了. 正解：由于函数()f x 的定义域为，即01x ≤≤∴(1)f x +满足011x ∴≤+≤10x -≤≤，∴(1)f x +的定义域是针对练习4设函数)(x f 的定义域为]1,0[，求函数)0)(()()(>-++=m m x f m x f x g 的定义域. 例5:已知：*,x N ∈5(6)()(2)(6)x x f x f x x -≥⎧=⎨+<⎩，求(3)f .误解：∵ 5(6)()(2)(6)x x f x f x x -≥⎧=⎨+<⎩，∴(2)(2)53f x x x +=+-=-故5(6)()3(6)x x f x x x -≥⎧=⎨-<⎩，∴(3)f ＝3－3＝0.分析：没有理解分段函数的意义，(3)f 的自变量是3，应代入(2)f x +中去，而不是代入x －5中，只有将自变量化为不小于6的数才能代入解析式求解. 正解：∵ 5(6)()(2)(6)x x f x f x x -≥⎧=⎨+<⎩，针对练习5函数()f x 对于任意实数x 满足条件()()12f x f x +=，若()15,f =-求))5((f . 例6：求函数2()46y f x x x ==-+，[1,5)x ∈的值域. 误解：22(1)14163,(5)545611f f =-⨯+==-⨯+=又[1,5)x ∈，()f x ∴的值域是[)311，分析:对函数定义中，输入定义域中每一个x 值都有唯一的y 值与之对应，错误地理解为x 的两端点时函数值就是y 的取值范围了.正解：配方，得22()46(2)2y f x x x x ==-+=-+∵[1,5)x ∈，对称轴是2x =∴当2x =时，函数取最小值为(2)f =2，()(5)11f x f <= ()f x ∴的值域是[)211，针对练习6求函数242(14)y x x x =-+-≤≤的值域.例7: 函数y=245x x --的单调增区间是_________.误解：因为函数2()54g x x x =--的对称轴是2x =-，图像是抛物线，开口向下，由图可知2()54g x x x =--在(,2]-∞-上是增函数，所以y=245x x --的增区间是(,2]-∞-误解分析：在求单调性的过程中注意到了复合函数的单调性研究方法，但没有考虑到函数的单调性只能在函数的定义域内来讨论，从而忽视了函数的定义域，导致了解题的错误. 正解：y=245x x --的定义域是[5,1]-，又2()54g x x x =--在区间[5,2]--上增函数，在区间[2,1]-是减函数，所以y=245x x --的增区间是[5,2]-- 针对练习7 求函数62-+=x x y 的单调区间.例8: 判断函数()(1f x x =+的奇偶性.误解：∵()(1f x x =+=∴()()f x f x -===， ∴()(1f x x =+ 分析：对函数奇偶性定义实质理解不全面.对定义域内任意一个x ，都有f(-x)=f(x)，f(-x)=-f(x)的实质是：函数的定义域关于原点对称.这是函数具备奇偶性的必要条件.正解：()(1f x x =+有意义时必须满足10111x x x -≥⇒-<≤+ 即函数的定义域是｛x ｜11x -<≤｝，由于定义域不关于原点对称，所以该函数既不是奇函数也不是偶函数 针对练习8判断函数()f x ＝（x 答案及解析本章诊疗 针对练习:1. 由已知，易得 {}32A =-，，B A ∵Ü，{}3B =-∴或{}2或∅．若{}3B =-，由(3)10m -+=，得13m =； 若{}2B =，由210m +=，得12m =-； 若B =∅，由10mx +=无解，得0m =．13m =∴或12m =-或0m =． 2∵A ∩B=｛2，5｝，∴由32275a a a --+=， 解得 2a =或1a =±．当a=1时，2221a a -+=与元素的互异性矛盾，故舍去1a =； 当1a =-时，{}10524B =，，，，，此时{}245AB =，，，这与{}25A B =，矛盾，故又舍去1a =-；当2a =时，{}245A =，，，{}132525B =，，，，，此时{}25AB =，满足题意，故2a =为所求．3. 2243(2)11y x x x =-+=---∵≥，2222(1)33y x x x =--+=-++≤，{}1A y y =-∴≥，{}3B y y =≤， {}13AB y y =-∴≤≤．4. 由题意，得⎩⎨⎧≤-≤≤+≤,10,10m x m x 即⎩⎨⎧+≤≤-≤≤-,1,1m x m m x m ，解此不等式组，需讨论1-m 与m 的大小.（1）当m m <-1，即21>m 时，不等式组无解，此时函数关系不存在； （2）当m m =-1，即21=m 时，21==m x ； （3）当01>>-m m ，即210<<m 时，m ≤x ≤m -1综上，当0＜m ≤21时，函数)(x g 的定义域为{|x m ≤x ≤m -1}. 5．由()()12f x f x +=得()()14()2f x f x f x +==+， 所以(5)(1)5f f ==-，则()()115(5)(1)(12)5f f f f f =-=-==--+6．2(2)2y x =--+∵ 14x ≤≤，∴ 当2x =时，max 2y =，当4x =时，min 2y =- ∴ 所给函数的值域为[2,2]-．7. )(x f 的定义域为),2[]3,(+∞--∞ ，而62-+=x x y .可由u y =和62-+=x x u 复合而成，而u y =单调递增，42521622-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=-+=x x x u∴u 在]21,(--∞上是减函数，在),21[+∞-上是增函数， ∴所求的单调递增区间为),2[+∞，单调递减区间为]3,(--∞.8.由⎩⎨⎧>-≥+0101x x 或⎩⎨⎧<-≤+0101x x 得[)1,1-∈x ,定义域不关于原点对称,故)(x f 不是奇函数也不是偶函数.。

§ 函数及其表示函数的概念学习目标 .理解函数的概念(重点、难点).了解构成函数的三要素(重点).正确使用函数、区间符号(易错点)．预习教材－，完成下面问题：知识点函数的概念()函数的概念如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，我们就称这两个函数相等． 【预习评价】 (正确的打“√”，错误的打“×”) ()函数的定义域和值域一定是无限集合．( )()根据函数的定义，定义域中的任何一个可以对应着值域中不同的.( ) ()在函数的定义中，集合是函数的值域．( )提示 ()×函数的定义域和值域也可能是有限集，如()＝；()×根据函数的定义，对于定义域中的任何一个，在值域中都有唯一确定的与之对应； ()×在函数的定义中，函数的值域是集合的子集． 知识点区间及有关概念 ()一般区间的表示． 设，∈，且<，规定如下：()已知全集＝，＝{<≤}，则∁用区间表示为．解析∁＝{≤或>}，用区间可表示为(－∞，]∪(，＋∞)．答案(－∞，]∪(，＋∞)题型一函数关系的判定【例】()下列图形中，不能确定是的函数的是( )()下列各题的对应关系是否给出了实数集上的一个函数？为什么？①：把对应到＋；②：把对应到＋；③：把对应到；④：把对应到. ()解析任作一条垂直于轴的直线＝，移动直线，根据函数的定义可知，此直线与函数图象至多有一个交点．结合选项可知不满足要求，因此不表示函数关系．答案()解①是实数集上的一个函数．它的对应关系是：把乘再加，对于任意∈＋都有唯一确定的值与之对应，如当＝－时，有＋＝－与之对应．同理，②也是实数集上的一个函数．③不是实数集上的函数．因为当＝时，的值不存在．④不是实数集上的函数．因为当<时，的值不存在．规律方法.根据图形判断对应是否为函数的方法()任取一条垂直于轴的直线；()在定义域内平行移动直线；()若与图形有且只有一个交点，则是函数；若在定义域内没有交点或有两个或两个以上的。

习题课 函数的概念与性质学习目标 1.进一步理解函数的概念及其表示方法(重点).2.能够综合应用函数的性质解决相关问题(重点、难点)．1．若函数y ＝x 2－3x 的定义域为{－1,0,2,3}，则其值域为( ) A ．{－2,0,4}B ．{－2,0,2,4}C ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫y|y ≤－94D ．{y |0≤y ≤3}解析 依题意，当x ＝－1时，y ＝4；当x ＝0时，y ＝0；当x ＝2时，y ＝－2；当x ＝3时，y ＝0.所以函数y ＝x 2－3x 的值域为{－2,0,4}．答案 A2．下列函数中，既是偶函数，又是在区间(0，＋∞)上单调递减的函数为( ) A ．y ＝1x 2 B ．y ＝1xC ．y ＝x 2D ．y ＝x 3解析 函数y ＝1x与y ＝x 3都是奇函数，y ＝x 2在(0，＋∞)上是增函数，故选A ．答案 A3．若函数f (x )是定义在[－6,6]上的偶函数，且在[－6,0]上单调递减，则( ) A ．f (3)＋f (4)>0 B ．f (－3)＋f (－2)<0 C ．f (－2)＋f (－5)<0D ．f (4)－f (－1)>0解析 因为f (x )是偶函数，所以f (4)＝f (－4)，又f (x )在[－6,0]上单调递减，所以f (－4)>f (－1)，即f (4)－f (－1)>0.答案 D4．设f (x )是定义在R 上的函数，且f (x ＋2)＝f (x )，当x ∈[－1,1)时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－4x 2＋2，－1≤x <0，x ，0≤x <1，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝________.解析 f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋2＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－4×⎝ ⎛⎭⎪⎫－122＋2＝1.答案 1类型一 求函数的定义域和解析式 【例1】 (1)函数f (x )＝x ＋2＋1x －1的定义域为________． (2)已知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x＋1＝x 2＋2x －3，则f (x )＝________.解析 (1)由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2≥0，x －1≠0，解得x ≥－2且x ≠1，故f (x )的定义域为{x |x ≥－2且x ≠1}．(2)令t ＝2x ＋1(t ≠1)，则x ＝2t －1，所以f (t )＝4t －2＋4t －1－3，即f (x )＝4x －2＋4x －1－3(x ≠1)． 答案 (1){x |x ≥－2且x ≠1} (2)4x －2＋4x －1－3(x ≠1) 规律方法 1.求函数的定义域的方法求已知函数的定义域时要根据函数的解析式构建不等式(组)，然后解不等式(组)可得，同时注意把定义域写成集合的形式．2．求函数解析式的方法有：(1)待定系数法；(2)换元法；(3)配凑法；(4)消去法． 【训练1】 (1)函数f (x )＝(x －1)0＋2x ＋1的定义域为________． (2)已知f (x )是二次函数，且f (1－x )＝f (1＋x )，f (2)＝1，f (1)＝3，则f (x )＝________.解析 (1)由⎩⎪⎨⎪⎧x －1≠0，2x ＋1≥0，得x >－1且x ≠1，故f (x )的定义域为{x |x >－1且x ≠1}．(2)由f (1－x )＝f (1＋x )且f (1)＝3，可设f (x )＝a (x －1)2＋3(a ≠0)，又f (2)＝a (2－1)2＋3＝1，故a ＝－2，所以f (x )＝－2x 2＋4x ＋1.答案 (1){x |x >－1且x ≠1} (2)－2x 2＋4x ＋1 类型二 函数的单调性与最值 【例2】 已知f (x )＝axx 2－1(a ≠0)，x ∈(－1,1)．(1)讨论f (x )的单调性；(2)若a ＝1，求f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，12上的最大值和最小值．解 (1)设－1<x 1<x 2<1，则f (x 1)－f (x 2)＝ax 1x 21－1－ax 2x 22－1＝ax 1x 22－ax 1－ax 2x 21＋ax 2x 21－x 22－＝a x 2－x 1x 1x 2＋x 21－x 22－，∵－1<x 1<x 2<1，∴x 2－x 1>0，x 1x 2＋1>0，(x 21－1)(x 22－1)>0，∴当a >0时，f (x 1)－f (x 2)>0，即f (x 1)>f (x 2)，f (x )在(－1,1)上是减函数；当a <0时，f (x 1)－f (x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2)，f (x )在(－1,1)上是增函数． (2)当a ＝1时，f (x )＝xx 2－1，由(1)知f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，12上是减函数，故f (x )的最大值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝23，最小值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝－23.规律方法 函数单调性的证明及应用(1)利用定义法证明函数单调性的步骤为：取值、作差或作商、变形、定号、下结论，如本例中若含有字母，则一般需分类讨论．(2)利用函数单调性求最值的步骤：①确定函数的单调性；②借助最值与单调性的关系写出函数的最值．【训练2】 若f (x )＝－x 2＋2ax 与g (x )＝ax ＋1在区间[1,2]上都是减函数，则a 的取值范围是( )A ．(－1,0)∪(0,1)B ．(－1,0)∪(0,1]C ．(0,1)D ．(0,1]解析 由f (x )＝－x 2＋2ax 在[1,2]上是减函数可得[1,2]⊆[a ，＋∞)，∴a ≤1. ∵y ＝1x ＋1在(－1，＋∞)上为减函数， ∴由g (x )＝ax ＋1在[1,2]上是减函数可得a >0，故0<a ≤1. 答案 D方向1 【例3－1】 设偶函数f (x )的定义域为R ，当x ∈[0，＋∞)时，f (x )是增函数，则f (－2)，f (π)，f (－3)的大小关系是________．解析 因为f (x )是偶函数，则f (－2)＝f (2)，f (－3)＝f (3)，又当x ≥0时，f (x )是增函数，所以f (2)<f (3)<f (π)，即f (－2)<f (－3)<f (π)．答案 f (－2)<f (－3)<f (π)方向2 利用函数的单调性与奇偶性解不等式【例3－2】 设定义在[－3,3]上的奇函数f (x )在区间[0,3]上是减函数，若f (1－m )<f (m )，求实数m 的取值范围．解 因为f (x )是奇函数且f (x )在[0,3]上是减函数， 所以f (x )在[－3,3]上是减函数．所以不等式f (1－m )<f (m )等价于⎩⎪⎨⎪⎧1－m >m ，－3≤m ≤3，－3≤1－m ≤3，解得－2≤m <12.规律方法 1.利用函数的奇偶性和单调性比较大小的方法对于偶函数，如果两个自变量的取值在关于原点对称的两个不同的单调区间上，即正负不统一，应利用图象的对称性将两个值转化到同一个单调区间上，然后再根据单调性判断．2．利用函数奇偶性和单调性解不等式解决此类问题时一定要充分利用已知的条件，把已知不等式转化成f (x 1)>f (x 2)或f (x 1)<f (x 2)的形式，再根据奇函数的对称区间上的单调性相同，偶函数在对称区间上的单调性相反，列出不等式(组)，同时不能漏掉函数自身定义域对参数的影响．【训练3】 若奇函数f (x )在[－6，－2]上是减函数，且最小值是1，则它在[2,6]上是( )A ．增函数且最小值是－1B ．增函数且最大值是－1C ．减函数且最大值是－1D ．减函数且最小值是－1解析 ∵奇函数f (x )在[－6，－2]上是减函数，且最小值是1，∴函数f (x )在[2,6]上是减函数且最大值是－1.答案 C1．利用定义证明函数单调性的步骤：①取值；②作差；③定号；④判断． 2．判断函数单调性的常用方法有：定义法、图象法． 3．利用函数的单调性、奇偶性可以解决以下问题：(1)比较函数值的大小，根据已知条件，利用奇偶性把自变量转化到已知单调性的区间上，再根据函数的单调性比较大小；(2)解不等式，根据函数的奇偶性转化自变量的范围、然后根据函数的单调性脱掉“f ”号，使其转化为具体的不等式后求解．。

第2课时补集及集合运算的综合应用[学习目标] 1.了解全集的意义和它的记法.理解补集的概念，能正确运用补集的符号和表示形式，会用图形表示一个集合及其子集的补集.2.会求一个给定集合在全集中的补集，并能解答简单的应用题.知识点一全集(1)定义：如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集.(2)记法：全集通常记作U.思考全集一定是实数集R吗？答全集是一个相对概念，因研究问题的不同而变化，如在实数范围内解不等式，全集为实数集R，而在整数范围内解不等式，则全集为整数集Z.知识点二补集思考设集合A＝{1,2}，那么相对于集合M＝{0,1,2,3}和N＝{1,2,3}，∁M A和∁N A相等吗？由此说说你对全集与补集的认识.答∁M A＝{0,3}，∁N A＝{3}，∁M A≠∁N A.由此可见补集是一个相对的概念，研究补集必须在全集的条件下研究，而全集因研究问题不同而异，同一个集合相对于不同的全集，其补集也就不同.知识点三补集的性质①A∪(∁U A)＝U；②A∩(∁U A)＝∅；③∁U U＝∅，∁U∅＝U，∁U(∁U A)＝A；④(∁U A)∩(∁U B)＝∁U(A∪B)；⑤(∁U A)∪(∁U B)＝∁U(A∩B).题型一简单的补集运算例1(1)设全集U＝{1,2,3,4,5}，集合A＝{1,2}，则∁U A等于()A.{1,2}B.{3,4,5}C.{1,2,3,4,5}D.∅(2)若全集U＝R，集合A＝{x|x≥1}，则∁U A＝________.答案(1)B(2){x|x＜1}解析(1)∵U＝{1,2,3,4,5}，A＝{1,2}，∴∁U A＝{3,4,5}.(2)由补集的定义，结合数轴可得∁U A＝{x|x＜1}.反思与感悟 1.根据补集定义，当集合中元素离散时，可借助Venn图；当集合中元素连续时，可借助数轴，利用数轴分析法求解.2.解题时要注意使用补集的几个性质：∁U U＝∅，∁U∅＝U，A∪(∁U A)＝U.跟踪训练1已知全集U＝{x|x≥－3}，集合A＝{x|－3＜x≤4}，则∁U A＝________.答案{x|x＝－3，或x＞4}解析借助数轴得∁U A＝{x|x＝－3，或x＞4}.题型二补集的应用例2设全集U＝{2,3，a2＋2a－3}，A＝{|2a－1|,2}，∁U A＝{5}，求实数a的值.解∵∁U A＝{5}，∴5∈U，且5∉A.∴a2＋2a－3＝5，解得a＝2，或a＝－4.当a＝2时，|2a－1|＝3≠5，此时A＝{3,2}，U＝{2,3,5}符合题意.当a＝－4时，|2a－1|＝9，此时A＝{9,2}，U＝{2,3,5}，A⊈U，故a＝－4舍去.综上知a＝2.反思与感悟 1.由∁U A＝{5}可知5∈U且5∉A，A⊆U.2.由∁U A＝{5}求得a后需验证是否符合隐含条件A⊆U，否则会把a＝－4误认为是本题的答案.3.解决此类问题的关键在于合理运用补集的性质，必要时对参数进行分类讨论，同时应注意检验.跟踪训练2若全集U＝{2,4，a2－a＋1}，A＝{a＋4,4}，∁U A＝{7}，则实数a＝________.答案－2解析因为∁U A＝{7}，所以7∈U且7∉A，所以a2－a＋1＝7，解得a＝－2或a＝3.当a＝3时，A＝{4,7}与7∉A矛盾，a＝－2满足题意，所以a＝－2.题型三并集、交集、补集的综合运算例3已知全集U＝{x|－5≤x≤3}，A＝{x|－5≤x<－1}，B＝{x|－1≤x<1}，求∁U A，∁U B，(∁U A)∩(∁U B).解将集合U，A，B分别表示在数轴上，如图所示，则∁U A＝{x|－1≤x≤3}；∁U B＝{x|－5≤x<－1，或1≤x≤3}；方法一(∁U A)∩(∁U B)＝{x|1≤x≤3}.方法二∵A∪B＝{x|－5≤x<1}，∴(∁U A)∩(∁U B)＝∁U(A∪B)＝{x|1≤x≤3}.反思与感悟求解不等式表示的数集间的运算时，一般要借助于数轴求解，此方法的特点是简单直观，同时要注意各个端点的画法及取到与否.跟踪训练3设全集为R，A＝{x|3≤x＜7}，B＝{x|2＜x＜10}，求∁R(A∪B)及(∁R A)∩B.解把全集R和集合A、B在数轴上表示如下：由图知，A∪B＝{x|2＜x＜10}，∴∁R(A∪B)＝{x|x≤2，或x≥10}.∵∁R A＝{x|x＜3，或x≥7}，∴(∁R A)∩B＝{x|2＜x＜3，或7≤x＜10}.题型四利用Venn图解题例4设全集U＝{不大于20的质数}，A∩∁U B＝{3,5}，(∁U A)∩B＝{7,11}，(∁U A)∩(∁U B)＝{2,17}，求集合A，B.解U＝{2,3,5,7,11,13,17,19}，A∩(∁U B)＝{3,5}，∴3∈A,5∈A，且3∉B,5∉B，又(∁U A)∩B＝{7,11}，∴7∈B,11∈B且7∉A,11∉A.∵(∁U A)∩(∁U B)＝{2,17}，∴∁U(A∪B)＝{2,17}.∴A＝{3,5,13,19}，B＝{7,11,13,19}.反思与感悟解决此类问题的关键是利用Venn图确定哪些元素在A中，哪些元素在B中，哪些元素在A∩B中，哪些元素既不在A中也不在B中.跟踪训练4全集U＝{x|x<10，x∈N*}，A⊆U，B⊆U，(∁U B)∩A＝{1,9}，A∩B＝{3}，(∁A)∩(∁U B)＝{4,6,7}，求集合A，B.U解方法一根据题意作出Venn图如图所示.由图可知A ＝{1,3,9}，B ＝{2,3,5,8}. 方法二 ∵(∁U B )∩A ＝{1,9}， (∁U A )∩(∁U B )＝{4,6,7}， ∴∁U B ＝{1,4,6,7,9}.又∵U ＝{1,2,3,4,5,6,7,8,9}，∴B ＝{2,3,5,8}. ∵(∁U B )∩A ＝{1,9}，A ∩B ＝{3}，∴A ＝{1,3,9}.补集思想的应用例5 已知集合A ＝{x |x 2＋ax ＋1＝0}，B ＝{x |x 2＋2x －a ＝0}，C ＝{x |x 2＋2ax ＋2＝0}.若三个集合至少有一个集合不是空集，求实数a 的取值范围. 解 假设三个方程均无实根，则有 ⎩⎪⎨⎪⎧Δ1＝a 2－4<0，Δ2＝4＋4a <0，Δ3＝4a 2－8<0，即⎩⎪⎨⎪⎧－2<a <2，a <－1，－2<a < 2.解得－2<a <－1，∴当a ≤－2或a ≥－1时，三个方程至少有一个方程有实根. 即a 的取值范围为{a |a ≤－2或a ≥－1}.反思与感悟 对于一些比较复杂、比较抽象、条件和结论之间关系不明确、难于从正面入手的数学问题，在解题时，调整思路，从问题的反面入手，探求已知和未知的关系，这时能化难为易，化隐为显，从而将问题解决.这就是“正难则反”的解题策略，也是处理问题的间接化原则的体现.跟踪训练5 已知集合A ＝{x |x 2－4ax ＋2a ＋6＝0}，B ＝{x |x <0}，若A ∩B ≠∅，求a 的取值范围.解 因为A ∩B ≠∅，所以A ≠∅， 即方程x 2－4ax ＋2a ＋6＝0有实数根， 所以Δ＝(－4a )2－4(2a ＋6)≥0， 即(a ＋1)(2a －3)≥0，所以⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋1≥0，2a －3≥0或⎩⎪⎨⎪⎧a ＋1≤0，2a －3≤0，解得a ≥32或a ≤－1.①又B ＝{x |x <0}，所以方程x 2－4ax ＋2a ＋6＝0至少有一个负根. 若方程x 2－4ax ＋2a ＋6＝0有根，但没有负根， 则需有⎩⎪⎨⎪⎧Δ≥0，x 1＋x 2＝4a ≥0，x 1x 2＝2a ＋6≥0，解得a ≥32.所以方程至少有一负根时有a <32.②由①②取公共部分得a ≤－1.即当A ∩B ≠∅时，a 的取值范围为{a |a ≤－1}.1.设全集U ＝{1,2,3,4,5}，集合M ＝{1,2,4}，则集合∁U M 等于( ) A.{1,2,4} B.{3,4,5} C.{2,5} D.{3,5}答案 D2.已知全集U ＝R ，集合A ＝{x |1≤2x ＋1<9}，则∁U A 等于( ) A.{x |x <0或x >4} B.{x |x ≤0或x >4} C.{x |x ≤0或x ≥4} D.{x |x <0或x ≥4}答案 D解析 因为U ＝R ，A ＝{x |0≤x <4}， 所以∁U A ＝{x |x <0或x ≥4}.3.已知全集U ＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，集合A ＝{2,3,5,6}，集合B ＝{1,3,4,6,7}，则集合A ∩(∁U B )等于( ) A.{2,5} B.{3,6} C.{2,5,6} D.{2,3,5,6,8}答案 A解析 由题意知，∁U B ＝{2,5,8}， 则A ∩(∁U B )＝{2,5}，选A.4.已知全集U ＝Z ，集合A ＝{0,1}，B ＝{－1,0,1,2}，则图中阴影部分所表示的集合为( ) A.{－1,2} B.{－1,0} C.{0,1} D.{1,2}答案 A解析 图中阴影部分表示的集合为(∁U A )∩B ，因为A ＝{0,1}，B ＝{－1,0,1,2}，所以(∁U A )∩B ＝{－1,2}.5.已知全集U ＝{2,0,3－a 2}，P ＝{2，a 2－a －2}，且∁U P ＝{－1}，求实数a 的值. 解 ∵∁U P ＝{－1}，∴－1∈U ，且－1∉P ,0∈P . ∴⎩⎪⎨⎪⎧3－a 2＝－1，a 2－a －2≠－1，a 2－a －2＝0，解得a ＝2.经检验，a ＝2符合题意，故实数a 的值为2.1.补集定义的理解(1)补集是相对于全集而存在的，研究一个集合的补集之前一定要明确其所对应的全集.比如，当研究数的运算性质时，我们常常将实数集R 当做全集.(2)补集既是集合之间的一种关系，同时也是集合之间的一种运算，还是一种数学思想. (3)从符号角度来看，若x ∈U ，A U ，则x ∈A 和x ∈∁U A 二者必居其一.求两个集合的并集与交集时，先化简集合，若是用列举法表示的数集，可以根据交集、并集的定义直观观察或用Venn 图表示出集合运算的结果；若是用描述法表示的数集，可借助数轴分析写出结果，此时要注意当端点不在集合中时，应用“空心点”表示.2.与集合的交、并、补运算有关的求参数问题一般利用数轴求解，涉及集合间关系时不要忘掉空集的情形.3.不等式中的等号在补集中能否取到，要引起重视，还要注意补集是全集的子集.一、选择题1.已知全集U ＝{1,2,3,4}，集合A ＝{1,2}，B ＝{2,3}，则∁U (A ∪B )等于( ) A.{1,3,4} B.{3,4} C.{3} D.{4} 答案 D解析 ∵A ＝{1,2}，B ＝{2,3}，∴A ∪B ＝{1,2,3}， ∴∁U (A ∪B )＝{4}.2.已知全集U ＝{1,2,3,4,5,6,7}，A ＝{3,4,5}，B ＝{1,3,6}，则A ∩(∁U B )等于( ) A.{4,5} B.{2,4,5,7} C.{1,6} D.{3}答案 A解析 ∁U B ＝{2,4,5,7}，所以A ∩(∁U B )＝{4,5}.故选A.3.设全集U＝{a，b，c，d，e}，集合M＝{a，c，d}，N＝{b，d，e}，那么(∁U M)∩(∁U N)等于()A.∅B.{d}C.{a，c}D.{b，e}答案A解析∵M∪N＝U，∴(∁U M)∩(∁U N)＝∁U(M∪N)＝∅.4.已知集合A＝{x|x<a}，B＝{x|1<x<2}，且A∪(∁R B)＝R，则实数a的取值范围是()A.{a|a≤1}B.{a|a<1}C.{a|a≥2}D.{a|a>2}答案C解析由于A∪(∁R B)＝R，则B⊆A，可知a≥2.故选C.5.设全集是实数集R，M＝{x|－2≤x≤2}，N＝{x|x<1}，则(∁R M)∩N等于()A.{x|x<－2}B.{x|－2<x<1}C.{x|x<1}D.{x|－2≤x<1}答案A解析由题意可知∁R M＝{x|x<－2或x>2}，故(∁R M)∩N＝{x|x<－2}.6.设全集U是实数集R，M＝{x|x＜－2，或x＞2}，N＝{x|1≤x≤3}.如图所示，则阴影部分所表示的集合为()A.{x|－2≤x＜1}B.{x|－2≤x≤3}C.{x|x≤2，或x＞3}D.{x|－2≤x≤2}答案A解析阴影部分所表示的集合为∁U(M∪N)＝(∁U M)∩(∁U N)＝{x|－2≤x≤2}∩{x|x＜1或x＞3}＝{x|－2≤x＜1}.故选A.二、填空题7.已知全集U＝{－1,0,1,2,3}，集合M＝{x|x为不大于3的自然数}，则∁U M＝_______.答案{－1}解析∵M＝{0,1,2,3}，∴∁U M＝{－1}.8.已知集合A＝{x|－2≤x<3}，B＝{x|x<－1}，则A∩(∁R B)＝_______.答案{x|－1≤x<3}解析 因为B ＝{x |x <－1}，则∁R B ＝{x |x ≥－1}，所以A ∩(∁R B )＝{x |－2≤x <3}∩{x |x ≥－1}＝{x |－1≤x <3}.9.设U ＝{1,2,3,4,5,6,7,8,9}，(∁U A )∩B ＝{3,7}，(∁U B )∩A ＝{2,8}，(∁U A )∩(∁U B )＝{1,5,6}，则集合A ＝________，B ＝________. 答案 {2,4,8,9} {3,4,7,9}解析 (∁U A )∩(∁U B )＝∁U (A ∪B )＝{1,5,6}， 所以A ∪B ＝{2,3,4,7,8,9}，又(∁U A )∩B ＝{3,7}，(∁U B )∩A ＝{2,8}，所以A ∩B ＝{4,9}，所以A ＝{2,4,8,9}，B ＝{3,4,7,9}. 10.已知集合A ＝{x |－4≤x ≤－2}，集合B ＝{x |x －a ≥0}，若全集U ＝R ，且A ⊆∁U B ，则a 的取值范围为________. 答案 {a |a >－2}解析 ∁U B ＝{x |x <a }，如图所示.因为A ⊆∁U B ，所以a >－2. 三、解答题11.已知全集U ＝R ，A ＝{x ||3x －1|≤3}，B ＝{x |⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋2>0，x －2<0}，求∁U (A ∩B ).解 由|3x －1|≤3，则－3≤3x －1≤3，得－23≤x ≤43.所以A ＝{x |－23≤x ≤43}.由⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋2>0，x －2<0，得－23<x <2.所以B ＝{x |－23<x <2}，A ∩B ＝{x |－23<x ≤43}，所以∁U (A ∩B )＝{x |x ≤－23或x >43}.12.已知集合A ＝{x |3≤x <6}，B ＝{x |2<x <9}. (1)分别求∁R (A ∩B )，(∁R B )∪A ；(2)已知C ＝{x |a <x <a ＋1}，若C ⊆B ，求实数a 的取值范围. 解 (1)∵A ∩B ＝{x |3≤x <6}，B ＝{x |2<x <9}， ∴∁R (A ∩B )＝{x |x <3，或x ≥6}. ∁R B ＝{x |x ≤2，或x ≥9}，又A ＝{x |3≤x <6}，∴(∁R B )∪A ＝{x |x ≤2，或3≤x <6，或x ≥9}.(2)∵C ⊆B ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ≥2，a ＋1≤9，解得2≤a ≤8.故实数a 的取值范围为{a |2≤a ≤8}.13.已知A ＝{x |－1＜x ≤3}，B ＝{x |m ≤x ＜1＋3m }. (1)当m ＝1时，求A ∪B ；(2)若B ⊆∁R A ，求实数m 的取值范围. 解 (1)m ＝1，B ＝{x |1≤x ＜4}， A ∪B ＝{x |－1＜x ＜4}. (2)∁R A ＝{x |x ≤－1，或x ＞3}.当B ＝∅时，即m ≥1＋3m ，得m ≤－12，满足B ⊆∁R A ，当B ≠∅时，要使B ⊆∁R A 成立，则⎩⎪⎨⎪⎧ m ＜1＋3m ，1＋3m ≤－1或⎩⎪⎨⎪⎧m ＜1＋3m ，m ＞3，解得m ＞3. 综上可知，实数m 的取值范围是 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫m |m ＞3，或m ≤－12.。

1.1.2 集合间的基本关系A级：基础巩固练一、选择题1．下列关系式不正确的是( )A．{1}⊆{1,2} B．{0}⊆{1,2}C．{2}⊆{1,2} D．1∈{1,2}答案 B解析∵0∉{1,2}，∴{0}⊆{1,2}不正确；根据子集的概念可知A，C正确；D显然正确．2．下列四个集合中，是空集的是( )A．{0} B．{x|x>8且x<5}C．{x∈N|x2－1＝0} D．{x|x>4}答案 B解析选项A，C，D都含有元素，而选项B中无元素，故选B.3．设集合A＝{x|1<x<2}，B＝{x|x<a}，若A B，则实数a的取值范围为( )A．{a|a≥2} B．{a|a≤1}C．{a|a≥1} D．{a|a≤2}答案 A解析在数轴上表示出两个集合(图略)，因为A B，所以a≥2.4．若集合A满足A⊆B，A⊆C，B＝{0,1,2,3}，C＝{0,2,4,8}，则满足上述条件的集合A的个数为( )A．0 B．1 C．2 D．4答案 D解析∵A⊆B，A⊆C，∴A中最多能含有0,2两个元素，∴A＝∅，{0}，{2}，{0,2}共4个．5．若集合M ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＝m ＋16，m ∈Z，N ＝{x |x ＝n 2－13，n ∈Z }，P ＝⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫p 2＋16，p ∈Z ，则M ，N ，P 的关系是( )A ．M ＝N PB ．M N ＝PC ．M N PD ．N PM答案 B解析 M ＝⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x ＝6m ＋16，m ∈Z .N ＝{x |x ＝3n －26，n ∈Z }＝⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x ＝3q ＋16，q ∈Z (n∈Z ，q ＝n －1∈Z )，P ＝{x |x ＝3p ＋16，p ∈Z }.∴M N ＝P .二、填空题6．已知非空集合A 满足：①A ⊆{1,2,3,4}；②若x ∈A ，则5－x ∈A ，则满足上述要求的集合A 的个数为_______．答案 3解析 由题意知，满足题中要求的集合A 可以是{1,4}，{2,3}，{1,2,3,4}，共3个． 7．已知集合：①{0}；②{∅}；③{x |3m <x <m }；④{x |a ＋2<x <a }；⑤{x |x 2＋1＝0，x ∈R }．其中，表示空集的是________(只填序号)．答案 ④⑤解析 ①和②是常见的空集的错误表示法；对于③，当m <0时，显然3m <m 成立，故不是空集；对于④，不论a 为何实数，总有a ＋2>a ，故是空集；对于⑤，在实数范围内找不到一个数的平方等于－1，故为空集．因此，应填④⑤.8．定义集合A *B ＝{x |x ∈A 且x ∉B }，若A ＝{1,2,3,4,5}，B ＝{2,4,5}，则A *B 的子集个数是______．答案 4解析 在A *B 中，x ∈A ， ∴x 可能取1,2,3,4,5. 又x ∉B ，∴x 又不能取2,4,5. 因此x 可能取值只有1和3， ∴A *B ＝{1,3}，其子集个数为4. 三、解答题9．已知集合M ＝{x |x 2＋2x －a ＝0}． (1)若∅M ，求实数a 的取值范围；(2)若N ＝{x |x 2＋x ＝0}且M ⊆N ，求实数a 的取值范围．解 (1)由题意得，方程x 2＋2x －a ＝0有实数解， ∴Δ＝22－4×(－a )≥0，得a ≥－1. (2)∵N ＝{x |x 2＋x ＝0}＝{0，－1}， 又M ⊆N ，当M ＝∅时，即Δ＝22－4(－a )<0得a <－1， 当M ≠∅时，当Δ＝0时，即a ＝－1时， 此时M ＝{－1}，满足M ⊆N ，符合题意． 当Δ>0时，即a >－1时，M 中有两个元素，若M ⊆N 则M ＝N ，从而⎩⎪⎨⎪⎧－1＋0＝－2，－1×0＝a 无解．综上，a 的取值范围为{a |a ≤－1}．B 级：能力提升练10．已知三个集合A ＝{x |x 2－3x ＋2＝0}，B ＝{x |x 2－ax ＋(a －1)＝0}，C ＝{x |x 2－bx ＋2＝0}，同时满足B A ，C ⊆A 的实数a ，b 是否存在？若存在，求出a ，b 的所有值；若不存在，请说明理由．解 A ＝{x |x 2－3x ＋2＝0}＝{1,2}，∵x 2－ax ＋(a －1)＝0，Δ＝a 2－4(a －1)＝(a －2)2≥0，∴B ≠∅.∵B ＝{x |x 2－ax ＋(a －1)＝0}＝{x |(x －1)[x －(a －1)]＝0}， ∴1∈B .又B A ，∴a －1＝1，即a ＝2. ∵C ＝{x |x 2－bx ＋2＝0}，且C ⊆A ， ∴C ＝∅或{1}或{2}或{1,2}． 当C ＝{1,2}时，b ＝3；当C ＝{1}或{2}时，Δ＝b 2－8＝0，即b ＝±22，此时x ＝±2(舍去)； 当C ＝∅时，Δ＝b 2－8<0，即－22<b <2 2.综上可知，存在a ＝2，b ＝3或－22<b <22满足要求．。

1．1.1集合的含义与表示第1课时集合的含义【学习要求】1．通过实例理解集合的有关概念；2．初步理解集合中元素的三个特性；3．体会元素与集合的属于关系；4．知道常用数集及其专用符号,会用集合语言表示有关数学对象．【学法指导】通过经历从集合实例中抽象概括出集合共同特征的过程，理解并掌握集合的含义；通过由用自然语言描述集合到用抽象的符号语言描述集合的过程，体会集合语言的严谨性和逻辑性，逐渐养成严密的思维习惯．【知识要点】1．元素与集合的概念（1）把统称为元素，通常用表示．（2）把叫做集合(简称为集)，通常用表示．2．集合中元素的特性：、、．3．集合相等：只要构成两个集合的元素是的，就称这两个集合是相等的．4．元素与集合的关系有两种，分别为、，数学符号分别为、.5【问题探究】问题情境：军训前学校通知：今天上午八点高一年级在体育场集合进行军训动员；那么这个通知的对象是全体的高一学生还是个别学生呢？在这里，集合是我们常用的一个词语，我们感兴趣的是问题中某些特定(是高一而不是高二、高三)对象的总体，而不是个别的对象，为此，我们将学习一个新的概念——集合．探究点一集合概念的形成过程问题1在初中，我们学过哪些集合？用集合描述过什么？问题2数学中的“集合”一词与我们日常生活中的哪些词语的意义相近？问题3阅读教材第2页中的例子，你能否从具体的实例中抽象出集合及元素的概念？探究点二集合元素的特征问题1某班所有的“帅哥”能否构成一个集合？某班身高高于175厘米的男生能否构成一个集合？集合元素确定性的含义是什么？问题2集合中的元素不能相同，这就是元素的互异性，如何理解这一性质？问题3“中国的直辖市”构成的集合中，元素包括哪些？甲同学说：北京、上海、天津、重庆；乙同学说：上海、北京、重庆、天津，他们的回答都正确吗？由此说明什么？怎么说明两个集合相等？例1考查下列每组对象能否构成一个集合．（1）不超过20的非负数；（2）方程x2－9＝0在实数范围内的解；（3）某校2012年在校的所有高个子同学；（4）3的近似值的全体．小结判断给定的对象能不能构成集合，关键在于能否找到一个明确的标准，对于任何一个对象，都能确定它是不是给定集合的元素．跟踪训练1下列给出的对象中，能构成集合的是()A．著名数学家 B．很大的数C．聪明的人D．小于3的实数探究点三集合与集合中的元素的关系及表达问题1集合及集合中的元素用怎样的字母来表示？问题2集合与元素之间的关系如何表示？例2已知－3AA,∈中含有的元素有1,12,32+--aaa，求a的值．小结由元素的确定性知：－3A∈，则必有一个式子的值为－3，以此展开讨论，便可求得a.求出的a值代入A的元素后，不能出现相同的元素，否则这样的a不符合元素的互异性，应舍去．跟踪训练2已知由1，x，x2三个实数构成一个集合，求x应满足的条件．探究点四常用的数集及表示问题常用的数集有哪些？如何表示？例3下面有四个命题，正确命题的个数为()（1）集合N中最小的数是1；（2）若－a不属于N，则a属于N；（3）若a∈N，b∈N，则a＋b的最小值为2；（4）xx212=+的解可表示为{1,1}．A．0 B．1 C．2 D．3小结集合可以用大写的字母表示，但自然数集、正整数集、整数集、有理数集、实数集有专用字母表示，一定要牢记，以防混淆．跟踪训练3用符号“∈”或“∉”填空．（1）－3________N；（2）3.14________Q；（3）3_____Q；（4）1________N＋；（5）π________R【当堂检测】1．下列各条件中能构成集合的是()A．世界著名科学家B．在数轴上与原点非常近的点C．所有等腰三角形D．全班成绩好的同学2．一个小书架上有十个不同品种的书各3本，那么由这个书架上的书组成的集合中含有________个元素．3．给出下列几个关系，正确的个数为()①3∈R；②0.5∉Q；③0∈N；④－3∈Z；⑤0∈N＋.A．0 B．1 C．2 D．34．方程0442=+-xx的解集中，有________个元素【课堂小结】1．考查对象能否构成一个集合，就是要看是否有一个确定的特征(或标准)，能确定一个个体是否属于这个总体，如果有，能构成集合，如果没有，就不能构成集合． 2．集合中元素的三个特性（1）确定性：指的是作为一个集合中的元素，必须是确定的，即一个集合一旦确定，某一个元素属不属于这个集合是确定的．要么是该集合中的元素要么不是，二者必居其一，这个特性通常被用来判断涉及的总体是否构成集合．（2）互异性：集合中的元素必须是互异的，就是说，对于一个给定的集合，它的任何两个元素都是不同的． （3）无序性：集合与其中元素的排列顺序无关，如由元素c b a ,,与由元素c a b ,,组成的集合是相等的集合．这个性质通常用来判断两个集合的关系.【课后作业】一、基础过关1． 下列各项中，不可以组成集合的是( )A ．所有的正数B ．等于2的数C ．接近于0的数D ．不等于0的偶数2． 集合A 中只含有元素a ，则下列各式正确的是( )A ．0∈AB ．a ∉AC ．a ∈AD ．a ＝A 3． 由实数x ，－x ，|x |，x 2，－3x 3所组成的集合，最多含( )A ．2个元素B ．3个元素C ．4个元素D ．5个元素4． 由下列对象组成的集体属于集合的是________．(填序号)①不超过π的正整数；②本班中成绩好的同学；③高一数学课本中所有的简单题；④平方后等于自身的数．5． 如果有一集合含有三个元素1，x ，x 2－x ，则实数x 的取值范围是________． 6． 判断下列说法是否正确？并说明理由．（1）参加2012年伦敦奥运会的所有国家构成一个集合； （2）未来世界的高科技产品构成一个集合； （3）1,0.5，32，12组成的集合含有四个元素；（4）某校的年轻教师．7．已知集合A 是由a －2,2a 2＋5a,12三个元素组成的，且－3∈A ，求a .二、能力提升8． 已知集合S 中三个元素a ，b ，c 是△ABC 的三边长，那么△ABC 一定不是( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．等腰三角形9． 已知集合A 是由0，m ，m 2－3m ＋2三个元素组成的集合，且2∈A ，则实数m 为( )A ．2B ．3C ．0或3D ．0,2,3均可10．方程x 2－2x －3＝0的解集与集合A 相等，若集合A 中的元素是a ，b ，则a ＋b ＝________.11．设P 、Q 为两个非空实数集合，P 中含有0,2,5三个元素，Q 中含有1,2,6三个元素，定义集合P ＋Q 中的元素是a ＋b ，其中a ∈P ，b ∈Q ，则P ＋Q 中元素的个数是多少？三、探究与拓展12．设A 为实数集，且满足条件：若a ∈A ，则11－a ∈A (a ≠1)．求证：（1）若2∈A ，则A 中必还有另外两个元素； （2）集合A 不可能是单元素集．第2课时 集合的表示 【学习要求】1．掌握集合的两种常用表示方法(列举法和描述法)；2．通过实例能选择自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题，感受集合语言的意义和作用．【学法指导】通过由用自然语言描述数学概念到用集合语言描述数学概念的抽象过程，感知用集合语言思考问题的方法；体会将实际问题数学化的过程.【知识要点】1．列举法把集合的元素 出来，并用花括号“{ }”括起来表示集合的方法叫做列举法． 2．描述法用集合所含元素的共同特征表示集合的方法称为 ．3．列举法常用于集合中的元素 时的集合表示，描述法多用于集合中的元素有 或元素个数较多的有限集.【问题探究】问题情境：上节课我们学习了用大写字母表示常用的几个数集，但是这不能体现出集合中的具体元素是什么，并且还有大量的非常用集合不能用大写字母表示，事实上表示一个集合关键是确定它包含哪些元素，为此，我们有必要学习集合的表示方法还有哪些？分别适用于什么情况？ 探究点一 列举法表示集合问题1 在初中学正数和负数时，是如何表示正数集合和负数集合的？如表示下列数中的正数4.8，－3，2，－0.5，13，73，3.1.问题2 列举法是如何定义的？什么类型的集合适合用列举法 表示？问题3 book 中的字母的集合能否表示为：{}k o o b ,,,? 例1 用列举法表示下列集合：（1）小于10的所有自然数组成的集合；（2）方程x x =2的所有实数根组成的集合；（3）由1～20以内的所有质数组成的集合．小结 （1）花括号“{ }”表示“所有”、“整体”的含义，如实数集R 可以写为{实数},但如果写成{实数集}、{全体实数}、{}R 都是不确切的．（2）列举法表示的集合的种类①元素个数少且有限时，全部列举，如{1,2,3,4}；②元素个数多且有限时，可以列举部分，中间用省略号表示，如“从1到 1 000的所有自然数”可以表示为{1,2,3，…，1 000}；③元素个数无限但有规律时，也可以类似地用省略号列举，如：自然数集N 可以表示为{0,1,2,3，…}． 跟踪训练1 用列举法表示下列集合．（1）由所有小于10的既是奇数又是素数的自然数组成的集合； （2）式子)0,0(≠≠+b a bb aa 的所有值组成的集合．探究点二 描述法表示集合问题1 用列举法能表示不等式37<-x 的解集吗？为什么？问题2 不等式37<-x 的解集我们可以用集合所含元素的共同特征来表示，那么不等式37<-x 的解集中所含元素的共同特征是什么？问题3 由奇数组成的集合中，元素的共同特征是什么？问题4 用集合元素的共同特征来表示集合就是描述法，那么如何用描述法来表示集合？什么类型的集合适合用描述法表示？例2 试分别用列举法和描述法表示下列集合： （1）方程2x －2＝0的所有实数根组成的集合；（2）由大于10小于20的所有整数组成的集合．小结 集合中的元素具有无序性、互异性，所以用列举法表示集合时不必考虑元素的顺序，且元素不能重复，元素与元素之间要用“，”隔开；用描述法表示集合时，要注意代表元素是什么，从而理解集合的含义，区分两集合是不是相等的集合．跟踪训练2 用适当的方法表示下列集合： （1）方程0136422=++-+y x y x 的解集；（2）二次函数102-=x y 图象上的所有点组成的集合． 例3 用适当的方法表示下列集合：（1）由20,2≤≤=n n x 且N n ∈组成的集合； （2）抛物线x x y 22-=与x 轴的公共点的集合；（3）直线y ＝x 上去掉原点的点的集合．小结 用列举法与描述法表示集合时，一要明确集合中的元素；二要明确元素满足的条件；三要根据集合中元素的个数来选择适当的方法表示集合．跟踪训练3 若集合A ＝{x ∈Z|－2≤x ≤2}，B ＝{y |y ＝x 2＋2 000，x ∈A }，则用列举法表示集合B ＝______【当堂检测】1．方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝3x －y ＝－1的解集不可表示为( )A ．{(x ，y )|⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝3x －y ＝－1}B ．{(x ，y )|⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1y ＝2} C ．{1,2} D ．{(1,2)}2．已知集合A ＝{1,2,3,4,5}，B ＝{(x ，y )|x ∈A ，y ∈A ，x －y ∈A }，则B 中所含元素的个数为 ( )A ．3B ．6C ．8D ．10 3．已知集合A ＝⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈-∈N x Nx 68，试用列举法表示集合A . 【课堂小结】1．在用列举法表示集合时应注意： （1）元素间用分隔号“，”；（2）元素不重复；（3）元素无顺序；（4）列举法可表示有限集，也可以表示无限集，若元素个数比较少用列举法比较简单；若集合中的元素较多或无限，但出现一定的规律性，在不发生误解的情况下，也可以用列举法表示． 2．在用描述法表示集合时应注意：（1）弄清元素所具有的形式(即代表元素是什么)，是数、还是有序实数对(点)、还是集合或其他形式？（2）元素具有怎样的属性)当题目中用了其他字母来描述元素所具有的属性时，要去伪存真，而不能被表面的字母形式所迷惑.【课后作业】一、基础过关1． 集合{x ∈N ＋|x －3<2}用列举法可表示为( )A ．{0,1,2,3,4}B ．{1,2,3,4}C ．{0,1,2,3,4,5}D ．{1,2,3,4,5} 2． 集合{(x ，y )|y ＝2x －1}表示( )A ．方程y ＝2x －1B ．点(x ，y )C ．平面直角坐标系中的所有点组成的集合D ．函数y ＝2x －1图象上的所有点组成的集合3． 将集合⎩⎪⎨⎪⎧(x ，y )|⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ＋y ＝52x －y ＝1表示成列举法，正确的是 ( )A ．{2,3}B ．{(2,3)}C ．{(3,2)}D ．(2,3)4． 若集合A ＝{－1,1}，B ＝{0,2}，则集合{z |z ＝x ＋y ，x ∈A ，y ∈B }中的元素的个数为( )A ．5B ．4C ．3D ．25． 用列举法表示下列集合：（1）A ＝{x ∈N ||x |≤2}＝________；（2）B ＝{x ∈Z ||x |≤2}＝________；（3）C＝{(x，y)|x2＋y2＝4，x∈Z，y∈Z}＝______.6．下列各组集合中，满足P＝Q的有________．(填序号)①P＝{(1,2)}，Q＝{(2,1)}；②P＝{1,2,3}，Q＝{3,1,2}；③P＝{(x，y)|y＝x－1，x∈R}，Q＝{y|y＝x－1，x∈R}．7．用适当的方法表示下列集合．（1）方程x(x2＋2x＋1)＝0的解集；（2）在自然数集内，小于1 000的奇数构成的集合；（3）不等式x－2>6的解的集合；（4）大于0.5且不大于6的自然数的全体构成的集合．8．已知集合A＝{x|y＝x2＋3}，B＝{y|y＝x2＋3}，C＝{(x，y)|y＝x2＋3}，它们三个集合相等吗？试说明理由．二、能力提升9．下列集合中，不同于另外三个集合的是() A．{x|x＝1} B．{y|(y－1)2＝0} C．{x＝1} D．{1}10．集合M＝{(x，y)|xy＜0，x∈R，y∈R}是() A．第一象限内的点集B．第三象限内的点集C．第四象限内的点集D．第二、四象限内的点集11．下列各组中的两个集合M和N，表示同一集合的是______．(填序号)①M＝{π}，N＝{3.141 59}；②M＝{2,3}，N＝{(2,3)}；③M＝{x|－1<x≤1，x∈N}，N＝{1}；④M＝{1，3，π}，N＝{π，1，|－3|}．12．集合A＝{x|kx2－8x＋16＝0}，若集合A只有一个元素，试求实数k的值，并用列举法表示集合A.三、探究与拓展13．定义集合运算A*B＝{z|z＝xy，x∈A，y∈B}．设A＝{1,2}，B＝{0,2}，则集合A*B的所有元素之和是多少？1.1.2集合间的基本关系【学习要求】1．理解子集、真子集的概念；2．了解集合之间的包含、相等关系的含义；3．能利用Venn图表达集合间的关系；4．了解空集的含义．【学法指导】通过观察身边的实例所构成的集合，发现集合间的基本关系，体验其现实意义；树立数形结合的思想，体会类比对发现新结论的作用.【知识要点】1．子集的概念一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中元素都是集合B中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合A为集合B的子集，记作(或)，读作“”(或“”)．2．Venn图用平面上曲线的内部代表集合，这种图称为Venn图．3．集合相等与真子集的概念（1）集合相等：如果，就说集合A与B相等；（2）真子集：如果集合A⊆B，但存在元素，称集合A是集合B的真子集．记作：A B(或BA)，读作：A真包含于B(或B真包含A)．4．空集（1）定义：的集合叫做空集．（2）用符号表示为：.（3）规定：空集是任何集合的．5．子集的有关性质（1）任何一个集合是它本身的子集，即.（2）对于集合A，B，C，如果A⊆B，且B⊆C，那么【问题探究】问题情境：已知任意两个实数a，b，则它们的大小关系可能是a＜b或a＝b或a＞b，那么对任意的两个集合A，B，它们之间有什么关系？今天我们就来研究这个问题．探究点一集合与集合之间的“包含”关系问题1观察下面几个例子，你能发现两个集合间有什么关系吗？（1）A＝{1,2,3}，B＝{1,2,3,4,5}；（2）设A为新华中学高一(2)班全体女生组成的集合，B为这个班全体学生组成的集合；（3）A＝N，B＝R；（4）A＝{x|x为中国人}，B＝{x|x为亚洲人}．问题2如何运用数学语言准确表达问题1中两个集合的关系？问题3类比表示集合间关系的符号与表示两个实数大小关系的符号之间有什么类似之处？问题4集合A，B的关系能不能用图直观形象的表示出来？小结用Venn图表示两个集合间的“包含”关系A⊆B(或B⊇A)，如下图所示．例1观察下面几组集合，集合A与集合B具有什么关系？（1）A＝{x|x>3}，B＝{x|3x－6>0}．（2）A ＝{正方形}，B ＝{四边形}．（3）A ＝{育才中学高一(11)班的学生}，B ＝{育才中学高一年级的学生}．小结 在判断两个集合的关系时，对于用描述法表示的集合，一般要变成用列举法来表示，使集合中的元素特征清晰地呈现出来，便于讨论集合间的包含关系．跟踪训练1 已知集合P ＝{x |x ＝|x |，x ∈N 且x <2}，Q ＝{x ∈Z|－2<x <2}，试判断集合P 、Q 间的关系． 探究点二 集合与集合之间的“相等”关系问题1 观察下面几个例子,你能发现两个集合间有什么关系吗？ （1）设C ＝{x |x 是两条边相等的三角形}，D ＝{x |x 是等腰三角形}； （2）C ＝{2,4,6}，D ＝{6,4,2}．问题2 与实数中的结论“若a ≥b ，且b ≥a ，则a ＝b ”相类比，在集合中，你能得出什么结论？小结 如果两个集合所含的元素完全相同，那么我们称这两个集合相等．用子集概念对两个集合的相等可描述为：如果A ⊆B 且B ⊆A ，则A ，B 中的元素是一样的，因此A ＝B ，即A ＝B ⇔⎩⎪⎨⎪⎧A ⊆B B ⊆A .问题3 用Venn 图怎样表示两个集合相等的关系？例2 已知集合A ＝{a ，a ＋b ，a ＋2b }，B ＝{a ，ac ，ac 2}．若A ＝B ，求实数c 的值．小结 抓住集合相等的含义，分情况进行讨论，同时要注意检验所得的结果是否满足元素的互异性． 跟踪训练2 已知集合A ＝{x ，xy ，x －y }，B ＝{0，|x |，y }且A ＝B ，求实数x 与y 的值． 探究点三 真子集、空集的概念问题1 集合A 是集合B 的真子集的含义是什么？问题2 空集是怎么定义的？空集用什么符号表示？空集有怎样的性质？问题3 集合A 是集合B 的真子集与集合A 是集合B 的子集之间有什么区别？ 问题4 0，{0}与∅三者之间有什么关系？问题5 包含关系{a }⊆A 与属于关系a ∈A 的意义有什么区别？问题6 对于集合A ，A ⊆A 正确吗？对于集合A ，B ，C ，如果A ⊆B ，B ⊆C ，那么集合A 与C 有什么关系？ 例3 写出满足{1,2}A ⊆{1,2,3,4,5}的所有集合A 共有多少个？小结 （1）求集合的子集问题，应按集合中所含元素的个数分类依次书写，以免出现重复或遗漏． （2）此题中“求集合A 的个数”，等价于求集合{3,4,5}的非空子集个数． 跟踪训练3 已知{a ，b }⊆A {a ，b ，c ，d ，e }，写出所有满足条件的集合A .【当堂检测】1．集合P ＝{x |x 2－1＝0}，T ＝{－1,0,1}，则P 与T 的关系为( ) A ．P T B ．T P C ．P ＝T D ．P ⊄T2．集合A ＝{－1,0,1}，A 的子集中，含有元素0的子集共有( ) A ．2个 B ．4个 C ．6个 D ．8个3．已知{0,1}A ⊆{－1,0,1}，则集合A ＝__________【课堂小结】1．对子集、真子集有关概念的理解（1）集合A 中的任何一个元素都是集合B 中的元素，即由x ∈A ，能推出x ∈B ，这是判断A ⊆B 的常用方法．（2）不能简单地把“A ⊆B ”理解成“A 是B 中部分元素组成的集合”，因为若A ＝∅时，则A 中不含任何元素；若A ＝B ，则A 中含有B 中的所有元素．（3）在真子集的定义中，A B 首先要满足A ⊆B ，其次至少有一个x ∈B ，但x ∉A . 2．集合子集的个数求集合的子集问题时，一般可以按照子集元素个数分类，再依次写出符合要求的子集．集合的子集、真子集个数的规律为：含n 个元素的集合有2n 个子集，有2n －1个真子集，有2n －2个非空真子集．写集合的子集时，空集和集合本身易漏掉．【课后作业】一、基础过关1． 下列集合中，结果是空集的是( )A ．{x ∈R |x 2－1＝0}B ．{x |x ＞6或x ＜1}C ．{(x ，y )|x 2＋y 2＝0}D ．{x |x ＞6且x ＜1}2． 集合P ＝{x |y ＝x ＋1}，集合Q ＝{y |y ＝x －1}，则P 与Q 的关系是( )A ．P ＝QB ．P QC ．QPD ．P ∩Q ＝∅3． 下列命题：①空集没有子集；②任何集合至少有两个子集；③空集是任何集合的真子集；④若∅A ，则A ≠∅. 其中正确的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．34． 下列正确表示集合M ＝{－1,0,1}和N ＝{x |x 2＋x ＝0}关系的Venn 图是()5． 已知M ＝{x |x ≥22，x ∈R }，给定下列关系：①π∈M ；②{π}M ；③πM ；④{π}∈M .其中正确的有________．(填序号)6． 已知集合A ＝{x |1＜x ＜2}，B ＝{x |x ＜a }，若A B ，则实数a 的取值范围是________． 7． 已知集合A ＝{x |－2≤x ≤5}，B ＝{x |m ＋1≤x ≤2m －1}，若B ⊆A ，求实数m 的取值范围．8． 若集合A ＝{x |x 2＋x －6＝0}，B ＝{x |x 2＋x ＋a ＝0}，且B ⊆A ，求实数a 的取值范围．二、能力提升9． 适合条件{1}⊆A {1,2,3,4,5}的集合A 的个数是( )A ．15个B ．16个C ．31个D ．32个10．集合M ＝{x |x ＝3k －2，k ∈Z }，P ＝{y |y ＝3n ＋1，n ∈Z }，S ＝{z |z ＝6m ＋1，m Z ∈}之间的关系是 ( )A ．S P MB ．S ＝P MC ．S P ＝MD ．P ＝M S11．已知集合A {2,3,7}，且A 中至多有1个奇数，则这样的集合共有________个．12．已知集合A＝{x|1＜ax＜2}，B＝{x|－1＜x＜1}，求满足A⊆B的实数a的取值范围．三、探究与拓展13．已知集合A＝{x||x－a|＝4}，B＝{1,2，b}．问是否存在实数a，使得对于任意实数b(b≠1，b≠2)都有A ⊆B.若存在，求出对应的a值；若不存在，说明理由．1.1.3集合的基本运算第1课时并集与交集【学习要求】1．理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集和交集；2．能使用Venn图表示集合的并集和交集运算结果，体会直观图对理解抽象概念的作用；3．掌握有关的术语和符号，并会用它们正确进行集合的并集与交集运算．【学法指导】通过观察和类比，借助Venn图理解集合的并集及交集运算，培养数形结合的思想；体会类比的作用；感受集合作为一种语言在表示数学内容时的简洁和准确.【知识要点】1．并集（1）定义：一般地，的元素组成的集合，称为集合A与B的并集，记作. （2）并集的符号语言表示为A∪B＝．（3）性质：A∪B＝，A∪A＝，A∪∅＝，A∪B＝A⇔，A A∪B.2．交集（1）定义：一般地，由元素组成的集合，称为集合A与B的交集，记作. （2）交集的符号语言表示为A∩B＝．（3）性质：A∩B＝，A∩A＝，A∩∅＝，A∩B＝A⇔，A∩B A∪B，A∩B A，A∩B B.【问题探究】问题情境：两个实数除了可以比较大小外，还可以进行加减法运算，如果把集合与实数相类比，我们会想两个集合是否也可以进行“加减”运算呢？本节就来研究这个问题．探究点一并集问题1请同学们考察下列各个集合，你能说出集合C与集合A、B之间的关系吗？(1)A＝{1,3,5}，B＝{2,4,6}，C＝{1,2,3,4,5,6}；(2)A＝{x|x是有理数}，B＝{x|x是无理数}，C＝{x|x是实数}．问题2在问题1中，我们称集合C为集合A、B的并集，那么如何定义两个集合的并集？问题3集合A∪B如何用Venn图来表示？问题4用并集运算符号表示问题1中A，B，C三者之间的关系是什么？例1(1)设A＝{4,5,6,8}，B＝{3,5,7,8}，求A∪B. (2)设集合A＝{x|－1<x<2}，集合B＝{x|1<x<3}，求A∪B.小结两个集合求并集，结果还是一个集合，是由集合A与B的所有元素组成的集合，它们的公共元素在并集中只能出现一次．对于表示不等式解集的集合的运算，可借助数轴解题．跟踪训练1已知集合A＝{1,2,4}，B＝{2,4,6}，则A∪B＝_____________探究点二交集问题1请同学们考察下面的问题，集合A、B与集合C之间有什么关系？①A＝{2,4,6,8,10}，B＝{3,5,8,12}，C＝{8}；②A＝{x|x是国兴中学2011年9月入学的高一年级女同学}，B＝{x|x是国兴中学2011年9月入学的高一年级同学}，C＝{x|x是国兴中学2011年9月入学的高一年级女同学}．问题2在问题1中，我们称集合C为集合A、B的交集，那么如何定义两个集合的交集？问题3如何用Venn图表示交集运算？例2（1）新华中学开运动会，设A＝{x|x是新华中学高一年级参加百米赛跑的同学}，B＝{x|x是新华中学高一年级参加跳高比赛的同学}，求A∩B.（2）设平面内直线l1上点的集合为L1，直线l2上点的集合为L2，试用集合的运算表示l1，l2的位置关系．小结两个集合求交集，结果还是一个集合，是由集合A与B的公共元素组成的集合，当两个集合没有公共元素时，两个集合的交集是空集，而不能说两个集合没有交集．跟踪训练2设集合P＝{1,2,3,4,5}，集合Q＝{x R∈|2≤x≤5}，那么下列结论正确的是()A．P∩Q＝P B．P∩Q QC．P∩Q P D．P∩Q＝Q探究点三并集与交集的性质问题1你能用Venn图表示出两个非空集合的所有关系吗？问题2你能从问题1中所画的图中发现哪些重要的结论？问题3如果集合A，B没有公共元素，那么它们就没有交集吗？例3已知A＝{x|x2－3x＋2＝0}，B＝{x|x2－ax＋a－1＝0}，若A∪B＝A，求实数a的值．小结在利用集合的交集、并集性质解题时，若条件中出现A∪B＝A，或A∩B＝B，解答时常转化为B⊆A，然后用集合间的关系解决问题，运算时要考虑B＝∅的情况，切记不可漏掉．跟踪训练3设集合A＝{x|x2＋4x＝0}，B＝{x|x2＋2(a＋1)x＋a2－1＝0，a R∈}，若A∩B＝B，求a的值．【当堂检测】1．设集合A＝{x|x∈Z且－15≤x≤－2}，B＝{x|x∈Z且|x|<5}，则A∪B中的元素个数是()A．10 B．11 C．20 D．212．若集合M＝{－1,0,1}，N＝{0,1,2}，则M∩N等于()A．{0,1} B．{－1,0,1} C．{0,1,2} D．{－1,0,1,2}3．已知集合P＝{x|x2≤1}，M＝{a}．若P∪M＝P，则a的取值范围为________【课堂小结】1．对并集、交集概念的理解（1）对于并集，要注意其中“或”的意义，“或”与通常所说的“非此即彼”有原则性的区别，它们是“相容”的．“x∈A，或x∈B”这一条件，包括下列三种情况：x∈A但x∉B；x∈B但x∉A；x∈A且x∈B.因此，A∪B是由所有至少属于A、B两者之一的元素组成的集合．（2）A∩B中的元素是“所有”属于集合A且属于集合B的元素，而不是部分，特别地，当集合A和集合B没有公共元素时，不能说A与B没有交集，而是A∩B＝∅.2．集合的交、并运算中的注意事项（1）对于元素个数有限的集合，可直接根据集合的“交”、“并”定义求解，但要注意集合元素的互异性．（2）对于元素个数无限的集合，进行交、并运算时，可借助数轴，利用数轴分析法求解，但要注意端点值取到与否.【课后作业】一、基础过关1．若集合A＝{0,1,2,3}，B＝{1,2,4}，则集合A∪B等于() A．{0,1,2,3,4} B．{1,2,3,4} C．{1,2} D．{0}2．集合A＝{x|－1≤x≤2}，B＝{x|x＜1}，则A∩B等于() A．{x|x＜1} B．{x|－1≤x≤2} C．{x|－1≤x≤1} D．{x|－1≤x＜1}3．若集合A＝{参加伦敦奥运会比赛的运动员},集合B＝{参加伦敦奥运会比赛的男运动员}，集合C＝{参加伦敦奥运会比赛的女运动员}，则下列关系正确的是()A．A⊆B B．B⊆C C．A∩B＝C D．B∪C＝A4．已知集合M＝{(x，y)|x＋y＝2}，N＝{(x，y)|x－y＝4}，那么集合M∩N为() A．x＝3，y＝－1 B．(3，－1) C．{3，－1} D．{(3，－1)}5．设集合M＝{－1,0,1}，N＝{x|x2≤x}，则M∩N等于() A．{0} B．{0,1} C．{－1,1} D．{－1,0,1}6．设集合A＝{－1,1,3}，B＝{a＋2，a2＋4}，A∩B＝{3}，则实数a＝________.7．设A＝{－4,2a－1，a2}，B＝{a－5,1－a,9}，已知A∩B＝{9}，求A∪B.8．设集合A＝{－2}，B＝{x|ax＋1＝0，a R∈}，若A∩B＝B，求a的值．二、能力提升9．已知集合A＝{1,3，m}，B＝{1，m}，A∪B＝A，则m等于() A．0或 3 B．0或3 C．1或 3 D．1或310．设集合A＝{－3,0,1}，B＝{t 2－t＋1}．若A∪B＝A，则t＝________.11．设集合A＝{x|－1≤x≤2}，B＝{x|－1<x≤4}，C＝{x|－3<x<2}且集合A∩(B∪C)＝{x|a≤x≤b}，则a＝________，b＝________.12．已知方程x2＋px＋q＝0的两个不相等实根分别为α，β，集合A＝{α，β}，B＝{2,4,5,6}，C＝{1,2,3,4}，A∩C＝A，A∩B＝∅.求p，q的值．三、探究与拓展13．已知集合A＝{x|2a＋1≤x≤3a－5}，B＝{x|x＜－1，或x＞16}，分别根据下列条件求实数a的取值范围．（1）A∩B＝∅；（2）A⊆(A∩B)．第2课时补集及综合应用【学习要求】1．了解全集、补集的意义；2．正确理解补集的概念，正确理解符号“∁U A”的含义；3．会求已知全集的补集，并能正确应用它们解决一些具体问题．【学法指导】通过观察和类比，借助Venn图理解集合的补集及集合的综合运算，进一步树立数形结合的思想；进一步体会类比的作用；感受集合作为一种语言在表示数学内容时的简洁和准确.【知识要点】1．全集：如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为，通常记作. 2．补集：对于一个集合A，由全集U中的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集，记作.补集的符号语言表示为∁U A＝．3．补集与全集的性质（1）∁U U＝；（2）∁U∅＝；（3）∁U(∁U A)＝；（4）A∪(∁U A)＝；（5）A∩(∁U A)＝.【问题探究】问题情境：相对于某个集合U，其子集中的元素是U中的一部分，那么剩余的元素也应构成一个集合，这两个集合对于U构成了相对关系，这就验证了“事物都是对立和统一的关系”．集合中的部分元素构成的集合与集合之间的关系就是部分与整体的关系．这就是本节研究的内容——全集和补集．探究点一全集、补集概念问题1方程(x－2)(x2－3)＝0的解集在有理数范围内与在实数范围内有什么不同？通过这个问题你得到什么启示？问题2U＝{全班同学}、A＝{全班参加足球队的同学}、B＝{全班没有参加足球队的同学}，则U、A、B有何关系？问题3在问题2中，相对集合A、B，集合U是全集，集合B是集合A的补集，同时集合A是集合B的补集，那么如何定义全集和补集的概念？问题4怎样用Venn图表示集合A在全集U中的补集？例1(1)设U＝{x|x是小于9的正整数}，A＝{1,2,3}，B＝{3,4,5,6}，求∁U A，∁U B.(2)设全集U＝{x|x是三角形}，A＝{x|x是锐角三角形}，B＝{x|x是钝角三角形}，求A∩B，∁U(A∪B)．小结研究补集必须是在全集的条件下研究，而全集因研究问题不同而异，全集常用U来表示．跟踪训练1已知A＝{0,2,4,6}，∁S A＝{－1，－3,1,3}，∁S B＝{－1,0,2}，用列举法写出集合B.探究点二全集、补集的性质问题1借助Venn图，你能化简∁U(∁U A)，∁U U，∁U∅吗？问题2借助Venn图，你能分析出集合A与∁U A之间有什么关系吗？例2已知集合S＝{x|1<x≤7}，A＝{x|2≤x<5}，B＝{x|3≤x<7}．。