第三章斯托克司边值理论
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大地测量学基础
3、现代在地测量的特征 、 1)、测量范围大，范围从地区、全球乃至宇宙空间； 、测量范围大，范围从地区、全球乃至宇宙空间； 2)、研究对象和范围不断深入、全面和精细，从静态测量 、研究对象和范围不断深入、全面和精细， 发展到动态测量， 发展到动态测量，从地球表面测绘发展到地球内部构造 及动力过程的研究； 及动力过程的研究； 3)、观测精度高； 、观测精度高； 4)、观测周期短。 、观测周期短。
2)、物理大地测量学（理论大地测量学） 、物理大地测量学（理论大地测量学） 基本任务：用物理方法（重力测量） 基本任务：用物理方法（重力测量）确定地球形状及其 外部重力场。 外部重力场。 主要内容：位理论，地球重和场，重力测量及其归算， 主要内容：位理论，地球重和场，重力测量及其归算， 推球地球形状及外部重力场的理论与方法。 推球地球形状及外部重力场的理论与方法。 3)、空间大地测量学 、 以人造地球卫星及其它空间探测器为代表的空间大地测量的理论、 以人造地球卫星及其它空间探测器为代表的空间大地测量的理论、 技术与方法。 技术与方法。
三、大地测量学的基本体系
1、 测量学的两个分支 、 普通测量学：研究小范围的地球表面， 普通测量学：研究小范围的地球表面，认为该范围的地 球表面是平面，且铅垂线彼此平行。 球表面是平面，且铅垂线彼此平行。 大地测量学：研究全球或大范围的地球，认为铅垂线彼 大地测量学：研究全球或大范围的地球， 此不平行，研究地球的形状、大小及重力场。 此不平行，研究地球的形状、大小及重力场。
大地测量学还可进一步 应用大地测量学： 应用大地测量学：以建立国家大地测量控制网为中心内容 椭球大地测量学：坐标系建立、地球椭球性质、 椭球大地测量学：坐标系建立、地球椭球性质、投影数学变换 大地天文测量学：测量天文经度、 大地天文测量学：测量天文经度、纬度及天文方位角 大地重力测量学：重力场、 大地重力测量学：重力场、重力测量方法 海洋大地测量学: 海洋大地测量学 地球动力学: 地球动力学 卫星大地测量学: 卫星大地测量学 大地测量数据处理学: 大地测量数据处理学
地球外部重力场理论基础
图 2.2 质体的引力位
δ dm = f ∫ dτ r τ r
（2.6）
z
式中， δ 表示密度分布函数。
x2 + y 2
离心力位 如图 2.3，设 z 轴为自转轴，则离心 位为：
1 1 Q = ω 2 x 2 + y 2 = ω 2 ρ 2 sin 2 θ 2 2
P ( x, y , z )
θ λ
ρ
r mm ′ r F =−f 3 r r
（2.1）
r 这里， f 是万有引力常数， r 是由 m 指向 m′ 的矢径。当 m′ = 1 时，
r mr F =−f 3 r r
（2.2）
下面我们专门讨论质量 m 对单位质量的引力。 r 引力 F 在三个坐标轴上的分量可以下式表 示：
Z
Fx = − f
m (x − a ) r3 m Fy = − f 3 ( y − b ) r m Fz = − f 3 ( z − c ) r
球重力场的空间分布及其随时间变化，不仅在国民经济中具有重要意义，而且对 于研究我们生存环境的变化与灾害预测也具有深远的科学意义。
第 2 章 位理论基础
有关位理论的研究可以归结为两个问题，一个问题是给定空间物质的密度分 布，求该物质分布的引力场，该问题由牛顿提出，也由牛顿解决了，这就是著名 的万有引力公式。另一个问题就是给定一个空间 τ 以及其界面 σ ，假定已经通过 测量获得了界面 σ 上有关引力的信息，比如说重力观测值，问能否确定 τ 内部的 引力。这里 τ 可能包含质量，也可能不包含质量。这后一个物体就是重力场研究 中的边值问题，是重力学研究的核心内容。以上两个问题用引力位函数来表示要 比直接用引力表示要简便的多，这是因为引力位是一个数量函数，而引力是一个 矢量函数。重力场中的边值问题，通常都是关于解引力位的边值问题。 2.1 引力、引力位及其基本性质 如图 2.1 所示，根据牛顿万有引力，质量 m 对质量 m′ 的引力为：
8.7斯托克斯公式与旋度省公开课一等奖全国示范课微课金奖PPT课件
例如当 是上半球面z= 1 x2 y2的上侧,则＋是 xoy面上的逆时针走向的单位圆周.
第2页
n
定向曲面 边界曲线
的正向与定向曲面的法 向 量符合右手法则 .
当右手除拇指外的四指
依 的绕行方向时 , 竖 起的拇指的指向与 上
的法向量指向相同 .
第3页
2、斯托克斯(stokes)公式
i jk
称向量 x y z
PQR
(
R
Q
)i
(
P
R)
j
(Q
P
)k .
y z z x x y
为F在点( x, y, z)处的旋度(rotation),记为rotF .
第13页
例 设 A (2z 3 y)i (3x z) j ( y x)k ，
求 rot A.
第14页
定理的正设向边是界一张+为光光滑滑或或分分片段光光滑滑的的定闭向曲曲线面。， 若函数 P(x,y,z)、Q(x,y,z)、R(x,y,z)在上具有
二、 计 算 y 2dx z 2dy x 2dz , 其 中 是 球 面 x 2 y 2 z 2 a 2 和 园 柱 面 x 2 y 2 ax 的 交 线 (a 0 , z 0),从 x 轴正向看去,曲线为逆时针方
向.
三、 求向量场A (z sin y)i (z x cos y) j 的旋度 .
(R
Q
)i
(P
R)
j
(Q
P
)k
y z z x x y
第18页
思索与练习 设 r x2 y2 z2, 则
div(grad r)
2 r
;
rot (grad r) 0
.
第2页
n
定向曲面 边界曲线
的正向与定向曲面的法 向 量符合右手法则 .
当右手除拇指外的四指
依 的绕行方向时 , 竖 起的拇指的指向与 上
的法向量指向相同 .
第3页
2、斯托克斯(stokes)公式
i jk
称向量 x y z
PQR
(
R
Q
)i
(
P
R)
j
(Q
P
)k .
y z z x x y
为F在点( x, y, z)处的旋度(rotation),记为rotF .
第13页
例 设 A (2z 3 y)i (3x z) j ( y x)k ，
求 rot A.
第14页
定理的正设向边是界一张+为光光滑滑或或分分片段光光滑滑的的定闭向曲曲线面。， 若函数 P(x,y,z)、Q(x,y,z)、R(x,y,z)在上具有
二、 计 算 y 2dx z 2dy x 2dz , 其 中 是 球 面 x 2 y 2 z 2 a 2 和 园 柱 面 x 2 y 2 ax 的 交 线 (a 0 , z 0),从 x 轴正向看去,曲线为逆时针方
向.
三、 求向量场A (z sin y)i (z x cos y) j 的旋度 .
(R
Q
)i
(P
R)
j
(Q
P
)k
y z z x x y
第18页
思索与练习 设 r x2 y2 z2, 则
div(grad r)
2 r
;
rot (grad r) 0
.
第三章 流体的运动(幻)
二、 稳定流动
研究流体运动通常有两种方法： 拉格朗日法——以流体的各个质元为 研究对象，根据牛顿定律研究每个质 元的运动状态随时间的变化。
5
欧拉法——研究各个时刻在流体流经过 的空间每一个点上流体质元的运动速度 的分布。
1、 稳定流动
流体在流动过程中的任一时刻，流体所占 据的空间中的每一个点都具有一定的流速， 其函数表达式为υ（x，y，z，t）。
Sυ是单位时间内通过任一截面S的
流体体积，常称为体积流量。
所以上式又称体积流量守恒定律。
13
对于不可压缩的流体来说，不仅质 量流量守恒，体积流量也是守恒的。 体积流量又可简称为流量，用Q来表示 Q=Sυ Q —— 指单位时间内通过流管中任一截 面的流体体积，其单位为（m3·-1）。 s
四、血流速度分布
1 1 2 2 p1 1 gh P2 2 2 2
则液体从小孔处流出的速度 为：
2 2 gh
与其从高度为h处自由下落时的速度 相等。上式就称为“托里折利公式”。
33
第三节 粘性流体的流动 一、 层流和湍流
粘性——实际流体在流动过程中总 是具有内摩擦力，表现出粘滞性， 简称粘性。因而它在流动过程中需 要克服内摩擦力作功而消耗能量。 粘性流体在运动时主要具有层流、湍 流和过渡流动三种运动形态。
2 gh
30
3、体位对血压的影响
若流体在等截面管中流动，若 其流速不变，由 伯努利方程得
P gh1 P2 gh2 1
P +ρgh = 常量
结论：高处的压强较小，而低处的 压强则较大。
31
压强与高度间的关系，可用来解释体 位因素对血压的影响。
32
电磁场与电磁波大纲
《电磁场与电磁波》课程教学大纲一、课程基本信息课程代码：210522课程名称：电磁场与电磁波英文名称：Electromagnetic Fields and Electromagnetic Waves课程类别：专业基础课学时：63学分：3适用对象: 电子信息专业考核方式：考试先修课程：大学物理、高等数学与工程数学(包括矢量分析,场论和数理方程等)二、课程简介电磁场与电磁波是通信技术的理论基础，是电子信息专业本科学生的知识结构中重要组成部分。
本课程使学生掌握电磁场的有关定理、定律、麦克斯韦方程等的物理意义及数学表达式。
使学生熟悉一些重要的电磁场问题的数学模型（如波动方程、拉氏方程等）的建立过程以及分析方法。
培养学生正确的思维方法和分析问题的能力，使学生学会用"场"的观点去观察、分析和计算一些简单、典型的场的问题。
为后续课程打下坚实的理论基础。
Electromagnetic Field and Electromagnetic Wave is the theoretical foundation of communication technology, it is one of the most important components of the knowledge structerue for undergraduate students who major in information and electronic. Electromagnetic Field and Electromagnetic Wave make students grasp the theorem and the physical meaning of the Maxwell equations and mathematical expressions. It also make students grasp building method and analyzing method of some important mathematical model (such as wave equation,Laplace equation). This course trains students on the proper ways of thinking and ability to analyze issues, It also provides a solid theoretical foundation for following courses.三、课程性质与教学目的一切电现象，都会产生电磁场，而电磁波的辐射与传播规律，更是一切无线电活动的基础。
物探习题0
重力学与固体潮复习纲要唐杰整理geojason@ 一：1、重力、单位，重力的数学表达式，地球的重力场；2、重力位、等位面、引力场的边值问题，正常重力公式；3、重力位的球谐及数展开式，大地水准面，地球椭球；4、斯托克司定理和索米扬那公式，正常重力场的计算。
5、地球异常重力场，布隆斯公式，纯重力异常，重力异常。
6、重力异常定义、实质。
7、计算重力异常的基本公式。
重力异常的正演问题、反演问题二：1、相对重力测量仪器的基本工作原理、角灵敏度；影响仪器精度的主要因素。
零长弹簧技术。
2、基点网的作用，基点网的布置。
3、卫星重力测量的基本方法和原理。
地球重力场模型，卫星重力测量技术的基本模式（4种）4、重力测量成果的内部校正5、地形校正、高度校正、中间层校正、正常场校正的方法。
6、自由空间重力异常、布格重力异常、均衡重力异常的计算方法及地质—地球物理意义；7、普拉持地壳均衡模型，艾里均衡模型三：1.重力异常的正演问题、反演问题；2.均匀密度球体、水平圆柱体、台阶的重力异常正演方法，异常特征，反演方法；3.密度界面的剩余密度的确定方法；4.单一密度界面异常的特征及反演解释方法（近似解法、矩阵法）；5.解复杂密度体正演问题的基本思想；6.最优化选择法的基本思想；7.重力异常划分的基本方法；8.区域和局部重力异常的基本特征；9.重力异常向上、向下延拓的方法原理及作用（空间域及频率域）；10.重力异常导数换算的方法原理和作用（空间域及频率域）；11.断裂构造在重力异常图上的主要识别标志。
普通物探复习纲要•一、重力勘探1、重力、重力异常、单位；2、重力位、等位面、正常重力公式、计算重力异常的基本公式；3、重力异常的正演问题、反演问题；4、相对重力测量仪器的基本工作原理、角灵敏度；5、重力测量成果的内部校正、外部校正；6、自由空间重力异常、布格重力异常、均衡重力异常的计算方法及地质—地球物理意义；7、均匀密度球体、水平圆柱体、台阶的重力异常特征，解释方法；8、密度界面的剩余密度的确定方法；9、单一密度界面异常的特征及解释方法（近似解法、矩阵法）；10、解复杂密度体正演问题的基本思想；11、最优化选择法的基本思想；12、重力异常划分的基本方法；13、区域和局部重力异常的基本特征；14、重力异常向上、向下延拓的方法原理及作用；15、重力异常导数换算的方法原理和作用；16、断裂构造在重力异常图上的主要识别标志。
化工流体力学 第三章
u x u y u x u z xy yx xz zx y z x x
法向应力与应变率的关系如下：
u y u z yz zy z y
概
适用，对于这些问题，必须考虑流体的黏性。
述
前面所述理想流体，作为真实流体的近似模型，在解决阻力、能耗及扩散等问题是并不
解决问题思路：两种方法-（1）建立运动基本方程-作出合理简化-求得速度分布进而计算 其他量。 （2）所研究问题进行物理分析-适当模型简化-建立数学方程。 例如：对于非等温流动，考虑能量方程再结合初始条件和边界条件就可以确定系统中温度、 速度、浓度随位置及时间的变化。相应的，对于有化学反应时，考虑化学反应的速率方程再 结合初始条件和边界条件就可以求解。
不可压缩流体连续性方程可写为：
u x u y u z 0 x y z
将Stokes流方程组分别对x、y、z求导，然后相加，根据不可压缩流体连续性方程，可得：
2 2 2 2 2 2 u u u p p p ux ux ux u u u y y y z z z 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 x x x y z x x y z y y z z y z u x u y u z x 2 y 2 z 2 x y z 0 2 2 2 2 2 2
忽略变位加速度的非线性项而求得的线性解，常见的流动类型有库特流、管流、驻点流和旋转流等。
归纳出的利用奈维-斯托克斯方程解决问题的步骤如下： 1、选择适当的坐标系；2、作出合理简化；3、删去N-S方程中的可以忽略的项；4-给出合理边界条件； 5、求解方程；6、所求结果与实验或者观测值进行比较。 2. 近似解 为解决更多的工程实际问题，发展了许多近似解法，如：摄动法、润滑近似、准定常近似等，其中， 对N-S方程最为重要的近似处理是依照雷诺数的大小，分成低雷诺数流（Re≤1）近似和高雷诺数（
大地测量学基础(第3章地球重力场及地球型状的基本理论
重力归化的三个主要目的： （1）求定大地水准面； （2）内插和外推重力值（需要先移去高频变 化，然后再恢复）； （3）研究地壳状态。
17
三、重力归算 重力归化包括以下步骤：
首先将大地水准面外部的地形质量全部去掉，或 者移到大地水准面以下去，然后再将重力测量结果从 地面降低到大地水准面上。
18
三、重力归算
2、对于正常椭球，除了确定其4个基本参数：a, J２， fM和ω外，也要定位和定向。正常椭球的定位是使其 中心和地球质心重合，正常椭球的定向是使其短轴与地 轴重合，起始子午面与起始天文子午面重合。
3、正常椭球面 是大地水准面的规则形状（一般指 旋转椭球面）。因此引入正常椭球后，地球重力位被分 成正常重力位和扰动位两部分，实际重力也被分成正常 重力和重力异常两部分。
p
1
M 0
T
p
N
1
cos 0
T
M：子午圈半径；N：夘酉圈半径
7
一、大地水准面差距和垂线偏差
6、 边值问题线性化
g W n
U 1 U U ne cos p n n
T
n
p
W n
p
U n
p g p p
8
一、大地水准面差距和垂线偏差
将p点正常重力展开为P0点的泰劳级数，并代入上式。
5）椭球的质心与地球质心重合
V
2V x 2
2V y 2
2V z 2
0
Lanplace 算子作用与 地球外部重力场=0
V |s = V0
lim V = 0
∞
1
一、大地水准面差距和垂线偏差
补充说明：
1、理论上除了确定其M和ω值外，其规则形状可以 任意选择。但考虑到实际使用的方便，又顾及几何大地 测量中采用旋转椭球的实际情况，目前都采用水准椭球 作为正常椭球。
17
三、重力归算 重力归化包括以下步骤：
首先将大地水准面外部的地形质量全部去掉，或 者移到大地水准面以下去，然后再将重力测量结果从 地面降低到大地水准面上。
18
三、重力归算
2、对于正常椭球，除了确定其4个基本参数：a, J２， fM和ω外，也要定位和定向。正常椭球的定位是使其 中心和地球质心重合，正常椭球的定向是使其短轴与地 轴重合，起始子午面与起始天文子午面重合。
3、正常椭球面 是大地水准面的规则形状（一般指 旋转椭球面）。因此引入正常椭球后，地球重力位被分 成正常重力位和扰动位两部分，实际重力也被分成正常 重力和重力异常两部分。
p
1
M 0
T
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cos 0
T
M：子午圈半径；N：夘酉圈半径
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一、大地水准面差距和垂线偏差
6、 边值问题线性化
g W n
U 1 U U ne cos p n n
T
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W n
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U n
p g p p
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一、大地水准面差距和垂线偏差
将p点正常重力展开为P0点的泰劳级数，并代入上式。
5）椭球的质心与地球质心重合
V
2V x 2
2V y 2
2V z 2
0
Lanplace 算子作用与 地球外部重力场=0
V |s = V0
lim V = 0
∞
1
一、大地水准面差距和垂线偏差
补充说明：
1、理论上除了确定其M和ω值外，其规则形状可以 任意选择。但考虑到实际使用的方便，又顾及几何大地 测量中采用旋转椭球的实际情况，目前都采用水准椭球 作为正常椭球。
第三章斯托克司边值理论
3-3-1
其中采用R而不采用a是球近似的原因。
k g Bn
（3-3-2）
k 为了求得 A k 与 Bn ，将 g 展开成球函数级数 n
3-3-3
其中，
g
为单位球面，面积元是
3-3-5
g 也理解为积分变量 '和 ' 的函数。 g 的球函数级数展开式
(3-3-3)中没有零阶和一阶球函数项是(6-3-2)式的一个直接推论。 最后，比较(3-3-2)和(3-3-3)便得
3-2
垂线偏差
gx tg gz
tg
gy gz
垂线偏差
T0 U gx x x T0 U g y y y
由于正常重力垂直于xy平面,所以有
垂线偏差
U U 0 x y
T0 g x x T0 g y y
(二) 斯托克司边值问题 我们的任务始终是确定地球外部的重力场，即计算 地球外部的重力位，重力位又分成了正常重力位和扰 动位。正常重力位是已知的，所以我们只须求出扰动 位。 重力测量基本微分方程事实上是扰动位在边界面 大地水准面上满足的一个第三边值问题，如果大地水 准面外部没有质量的假设得到满足，则求解大地水准 面外部扰动位的问题就转化为解算在边界面大地水准 面上以重力测量基本微分方程为边界条件的拉普拉斯 方程。由于边界面大地水准面是未知的，它依赖于扰 动位，所以上述求解扰动的问题又称为自由边值问题， 也称为斯托克司边值问题。
3 2 3 2 2
R
3 2
r
3
1 2 ( ) r r
2
大地水准面上扰动位的解
R
3 2
r3
数学分析曲面积分 18-4
其中n {cos , cos , cos }.
Stokes 公式的实质
表达了有向曲面上的曲面积分与其边 界曲线上的曲线积分之间的关系.
当 S为 xy 平面内的区域时,
斯托克斯公式
特殊情形
格林公式
使用Stokes 公式时,也要注意条件.
3. 简单应用
例 1 计算曲线积分 zdx xdy ydz ,
y z y0 z0
( y0 z0 )dx ( z0 x )dy ( x y )dz
xy xz yz c
其中 c x0 y0 x0 z0 y0 z0为一常数, 若取M 0为原点, 则得 u( x , y , z ) xy xz yz .
Pdx Qdy Rdz
其中 S 的侧和 的方向满足右手法则.
分析 :
P P dxdy Pdx 只证 dzdx z y S
P z cos dS S P cos z cos cos dS S
Dxy
C
P ( x , y , z ( x , y ))dx
其中 是平面 x y z 1 被三坐标面所截成的 三角形的整个边界,它的正向与这个三角形上侧 z 的法向量之间符合右手规则.
解
按斯托克斯公式, 有
1
n
zdx xdy ydz
x
0
D xy
dydz dzdx dxdy
S
1
y
1
由于S的法向量的三个方向余 弦都为正，
P[ x , y , z ( x , y )]dxdy y
P P z ( )dxdy y z y S
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大地水准面上扰动位的解
r d
d 2 R 2 2R cos
令x=,a=1,b=2Rcos,c=R2查积分表
xdx ax bx c
2
r d r R cos ln( r R cos )
地水准面上扰动位的解
3 R2
2
2
将上式两边同除以2,并令S(,)
水准面上扰动位的解
2 r 1 R S ( , ) 3 2 5 2 cos r R r R cos 3 2 cos ln 2
上式称为广义斯托克斯函数,当=R时,
称为斯托克斯函数,相应的扰动位
1 T0 ( g 0 0 )S( )d 4R
3-1-2
利用(3-1-1)得
其中 T0 和 0分别为大地水准面上的扰动位和 平均椭球体表面上的正常重力。
0
由于定义平均椭球体表面的正常重力位等于大地 水准面上的重力位，即 W0 U 0 ，所以(6-1-3) 简化为
因为 T0是微小量，在一级近似下我们用 0的全球平均 值 0 来替换它，这相当于省略扁率级的量，所以这种 近似称为球近似，
上述三个公式(6-1-3),(6-1-4)和(6-1-5)统称为布隆斯公 式。
(三) 垂钱偏差
这里的垂线偏差指重力垂线偏差，它是大地水 准面上某点的重力方向与通过该点到平均椭球 体表面的法线方向之间的夹角。垂线偏差除大 小之外，还必须指出偏离方向，这就需要至少 用它在两个方向的投影来描述，一般取向南的 分量 和向西的分量 来表示，如图6-2所示， 轴垂直于平均椭球体表面。
垂线偏差
1 tg g z 1 tg gz T0 x T0 y
由于垂线偏差很小,通常小于1秒
垂线偏差
将x,y的微分用子午圈和卯酉圈的弧长微分表示,用地球平 均半径代替子午圈和卯酉圈半径,用正常重力代替gz,,
tg tg
垂线偏差
1 N R 1 N R cos
我们将地面作球面对待，此时，用地球的等体积平 均半径R代替a和b，而且地理纬度B和地心纬度 也 没有差别了，(6-1-14)简化成
该式中的N也应以其球近似代替，它就是垂线偏差 的球近似公式。
大地水准面上扰动位的解
2T
R
1 3 R2 E d r 3 d 4R
大地水准面上扰动位的解
r R 2R cos
2 2 2
大地水准面上扰动位的解
r 2 R 2 2 2R cos
1 ( ) r R cos r3
3 2 3 2 2
R
3 2
r
3
1 2 ( ) r r
2
大地水准面上扰动位的解
R
3 2
r3
d 2 2
1 ( )d d r r
采用分步
1 2 2 ( r )d r 2 r d
垂线偏差
gx tg gz
gx tg gz
垂线偏差
T0 U gx x x T0 U g y y y
由于正常重力垂直于xy平面,所以有
垂线偏差
U U 0 x y
T0 gx x T0 g y y
重力测量基本微分方程
• 大地测量基本微分方 程为
2T0 T0 g0 0 R
(二) 斯托克司边值问题 我们的任务始终是确定地球外部的重力场，即计算 地球外部的重力位，重力位又分成了正常重力位和扰 动位。正常重力位是已知的，所以我们只须求出扰动 位。 重力测量基本微分方程事实上是扰动位在边界面 大地水准面上满足的一个第三边值问题，如果大地水 准面外部没有质量的假设得到满足，则求解大地水准 面外部扰动位的问题就转化为解算在边界面大地水准 面上以重力测量基本微分方程为边界条件的拉普拉斯 方程。由于边界面大地水准面是未知的，它依赖于扰 动位，所以上述求解扰动的问题又称为自由边值问题， 也称为斯托克司边值问题。
大地水准面上扰动位的解
基本微分方程
2T0 T0 g0 0 R 1 2 2 ( T ) R
假设一个辅助函数E为
大地水准面上扰动位的解
T 1 E 2T ( 2T )
E在球面上的数值为
T0 E 2T0 R( ) R( g 0 0 )
r
3
d 2
2
r
3R cos .ln( r R cos )
3 R2
r
3
d 5 R cos 3R cos ln 2
水准面上扰动位的解
2T
R
1 3 R2 E d r 3 d 4R
1 E [ 2 3r 3R cos ln( r R cos ) T r 4R 5R cos ln 2 ] d
大地水准面上扰动位的解
• 如果E在球外是调和的,在无穷远处是正则的,可通泊 松积分求E,然后由E求T.
R V 4R
2
2
V r 3 d
2 R 2 E 1 2 E r 3 d ( T ) 4R
将两边同时乘d,并在R<<对积分
将上式两端乘-2,并同时减去/r得
1 1 2 ( ) 3 [ 2 2 ( R cos ) r 2 ] r r r
2
大地水准面上扰动位的解
R 2 r 2R cos
2 2 2 2两边同乘/源自3 R 2 2 cos 2 ( R cos ) 3 2 3 r r r r r
斯托克司积分
1 N ( g 0 0 )S( )d 4R
R N 4
2
0 0
gS( ) sin ddA
式中,A和分别为方位角和极距.
维宁、曼尼兹公式
R 4
2
S ( ) g cos A sin ddA 0 0
虽然斯托克司边值问题的边界面大地水准面是 一个自由面，但我们知道大地水准面很少超过 100m，所以在求解斯托克司问题时，我们将大地 水准面当作椭球面就很精确了，但由于平均椭球体 的扁率也只有1/300的量级，所以，在绝大多数情 况下，采用球近似就可以保证足够的精度，这样带 来的相对误差也是1/300的量级，大地水准面高的 误差一般都小于1m。上述将大地水准面近似地看 成椭球面或球面事实上是自由边值问题简化成了固 定边值问题。 最后注意，球近似中省略的是微小量中的高阶 微小量，在求解 g 时，必须采用平均椭球体表面 的 0 。
如图3-1所示，S为平均椭球体表面，Σ为大地 P 水准面，P为大地水准面上的一点，0 点为P点 在平均椭球体表面的投影，则大地水准面高即 为有向线段 P0 P 。用 U 0 表示平均椭球体表面 W 的正常重力位， 0表示大地水准面上的重力位， UP 表示过P点的正常重力位水准面上的正常重力 位，则由重力位的性质知
其中采用R而不采用a是球近似的原因。
k g Bn
将(6-3-1)代入球近似下的边界条件(6-2-10)，得
（6-3-2）
k 为了求得 A k与 Bn ，将 g 展开成球函数级数 n
其中，
g
为单位球面，面积元是
g 也理解为积分变量 '和 ' 的函数。 g 的球函数级数展开式
§6.2 重力异常和斯托克司边值问题
(一)重力异常和重力测量基本微分方程
用 g 0 表示大地水准面上某点的重力， 0 表示该点在 平均椭球体表面上投影处的正常重力，如图6-1所示， 我们称 g 0 和 0 之差为重力异常。仍然用 和S分别表 示大地水准面和平均椭球体表面，用 n 和 n '分别表示 和S的外法线方向，则
R 4
2
S ( ) g sin AA sin ddA 0 0
§6.3
(一) 级数解
扰动位的球近似解
设平均椭球体的质心与地球的质心重合，并采用地球质心 主惯轴坐标，则正常引力位和引力位的球函数级数展开式中 均没有一阶球函数的各项;由于平均椭球体的质量与地球质量 相等，所以正常引力位和引力位中的零阶球函数项相等，参 见(4-2-12)。综合这些讨论可将扰动位的球函数级数展开式写 成
第四章 :斯托克司边值理论
长安大学
地质工程与测绘学院 张永志
§3.1 扰动位、大地水准面高和垂线偏差
（一）扰动位 扰动位定义为同一点上重力位与正常 重力位之差。 扰动位的定义用数字公式表示出来为 T=W一U, (3-1-1) 它是指空间同一点上W与U之差。
(二) 大地水准面高(差距)
大地水准面是大地测量中一个很重要 的概念，它定义为与平均海水面最为接 近的重力位水准面，是海拔高程的起算 面。 大地水准面高是描述大地水准面形状 的一个量，它是由平均椭球体表面到大 地水准面的垂直距离，向上为正，向下 为负。
(二) 积分解
令
则扰动位可写成
利用加法公式可将S( , ' , ')换算成S( , )如
其中 为球面上坐标为( ， )和( ' , ')两点相对于球心的夹角， 即计算T的点( , )与积分流动点( ' , ' )的球心角。
具体地，实际地球的重力位可写成
所以，重力异常为
忽略n和 n'之间的差别
将
按泰勒级数展开，得
U n
u n
2U s N n 2