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材料力学第10章(动载荷)-06

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第10章动载荷与交变载荷

第10章动载荷与交变载荷
3、交变应力：应力随时间作周期性变化，属疲劳问题。疲 劳破坏是指在反复载荷作用下，结构中裂纹形成、扩展乃至 断裂的过程。
4、振动问题： 求解方法很多。
4
工 程 力 学§10-2 构件作等加速直线运动
时的动应力计算
钢索起吊重物，W、a， 求：钢索 d
钢索具有a，不为平衡状态，不能用平
衡方程求内力。
kd
动荷因数
kd
FNd Fst
d st
d st
结论：只要将静载下的应力，变形，乘以动荷系数Kd即得 动载下的应力与变形。
6
工 程 力 学§10-3 构件受冲击载荷作用时
的动应力计算
冲击荷载问题的动响应
方法原理：能量法 ( 机械能守恒 ）
在冲击物与受冲构件的接触区域内，应力状态异常复杂， 且冲击持续时间非常短促，接触力随时间的变化难以准确分析， 放弃动静法。工程中通常采用能量法来解决冲击问题，即在若 干假设的基础上，根据能量守恒定律对受冲击构件的应力与变 形进行偏于安全的简化计算。
7
工 程 力 学§10-3 构件受冲击载荷作用件受冲击载荷作用时
的动应力计算
9
工 程 力 学§10-3 构件受冲击载荷作用时
的动应力计算
10
工 程 力 学§10-3 构件受冲击载荷作用时
的动应力计算
在冲击过程中，运动中的物体称为冲击物。 阻止冲击物运动的构件,称为被冲击物。
（3）、构件在交变应力作用下发生破坏需要经历一定数量的应 力循环，其循环次数与应力的大小有关。应力愈大，循环次数 愈少。
实验表明在静载荷下服从胡克定律的材料,只要应力不超 过比例极限 ,在动载荷下虎克定律仍成立且E静=E动.
动荷因数：
动响应 Kd 静响应

《材料力学》第十章 动载荷

《材料力学》第十章 动载荷
第十章 动 载 荷
基本要求: 基本要求: 了解构件作变速运动时和冲击时应力与变形的计 算。 重点: 重点: 1.构件有加速度时应力计算； 2.冲击时的应力计算。 难点： 难点： 动荷因数的计算。 学时： 学时： 4学时
第十章
§lO.1 概述
动 载 荷
§10.2 动静法的应用 §10.4 杆件受冲击时的应力和变形 §10.5 冲击韧性
( 2 )突然荷载 h = 0 : K
d
=2
△st--冲击物落点的静位移
五、不计重力的轴向冲击问题
冲击前∶
动能T1 = Pv 2 / 2 g 势能V1 = 0 变形能V1εd = 0
冲击后：
动能T2 = 0 势能V 2 = 0 变形能V 2εd = Pd ∆ d / 2
ห้องสมุดไป่ตู้
v P
冲击前后能量守恒，且
Pd = K d P
补例10-1 起重机钢丝绳的有效横截面面积为A , 已知[σ], 补例 物体单位体积重为γ , 以加速度a上升，试建立钢丝绳(不计自 重)的强度条件。 外力分析。 解：1.外力分析。包括惯性力 外力分析
惯性力：q a
x a L x m m a Nd qg +qa
=
γA
g
a
2.内力分析。 内力分析。 内力分析 3.求动应力。 求动应力。 求动应力
任何冲击系统都 可简化弹簧系统
能量法（机械能守恒） 三、能量法（机械能守恒）
冲击过程中机械能守恒。即动能 ，势能V，变形能V 冲击过程中机械能守恒。即动能T，势能 ，变形能 εd守恒 冲击前：系统动能为T， 势能为V=Q∆d， 变形能Vεd=0 冲击后：系统动能为0， 势能为V=0， 变形能Vεd

10动载荷

10动载荷

B
D/2
qB
最大动应力(与杆横截面面积无关）

d max
FN max 1 2l (l D) A 2
[例10-2] 一平均直径为D的薄壁圆环，绕通过其圆心且垂直 于环平面的轴作等速转动（图a)。已知环的角速度 、环的 横截面面积A和材料的密度，试求圆环横截面上的正应力。
解：沿环轴线均匀分布的惯 性力集度qd为
设动荷系数
2h Kd 1 1 st
动位移、动荷载、动应力
d K d st , Fd K d P 设 st＝C1 P， 则
d C1 Pd C1 K d P K dC1 P K d st
自由落体冲击动荷系数公式
2h v Kd 1 1 1 1 st g st
• • • • 讨论: (1) st↑或h ↑→Kd↓ (2) h=0 → Kd=2 →突加荷载 (3) 接触速度v
2
1P 2 v Ph 2g
动荷问题的求解思路
静 位 移 静 应 力
动荷系数Kd
动 位 移 动 应 力
• 匀加速垂直运动的构件
a Kd 1 g
• 受垂直冲击作用的物体
2h v Kd 1 1 1 1 st g st
一、等加速杆件的动应力计算
FNd P FI 0 P FI a g a FN d P(1 ) g
令
FNd a P FI a P
a Kd 1 , g
Kd 称为动荷系数。
FN d Kd P
FN d P d K d K d st A A
[例10-1]以加速度a =3m/s2吊装一混凝土梁，梁的截面尺寸如
【例10-5】 弯曲刚度为EI的简支梁如图a所示。重量为P的冲 击物从距梁顶面h处自由落下，冲击到简支梁跨中点C处的顶 面上。试求C处的最大挠度d 。若梁的两端支承在刚度系数 为k的弹簧上，则梁受冲击时中点处的最大挠度又是多少？(不 计梁和弹簧的自重) A l 2 C h l 2 P B

材料力学-动载荷

材料力学-动载荷

一、等加速度运动构件的应力和变形计算
（一）等加速度直线运动构件的应力和变形
例如：有一绳索提升重量为 G 的重物，重物以等加速
度 a 上升（图14-1），因为加速度 a 向上，所以惯性力 G a g
的方向向下，设绳索的拉力（轴力）为 ND ，由平衡条件
Y
0
，得：N D
G
G g
a
0
即：
ND
G 1
a g
C
构件受冲击时的应力为和变形为：
DD
K D C K D C
14
8
如果知道在冲击开始时冲击物自由落体的速度 ，则式
（14-7）中冲击物自由下落前的高度
H
可用
2 g C
来代替，即
KD 1
1 2 14 9
g C
（二）水平冲击时的动荷系数
冲击物的动能为：
T 1 m 2 Q 2
Wl 2 2
3 gEA
二、杆件受到冲击荷载作用时的应力和变形计算
在工程实用计算中，一般采用能量法进行计算。在计算 中采取以下几个假设：
① 不考虑冲击物的变形，即不考虑冲击物的变形能； ② 不考虑被冲击物（杆件）的质量； ③ 认为在冲击后冲击物和被冲击物附着在一起运动； ④ 不考虑冲击时能量的损失，即认为只有动能与位能的转化。
当
x=l
时，
N Dmax
W 2l
2g
, Dmax
N Dmax A
W 2l
2 gA
内力图
（2）计算杆件的伸长
NDx
W
gl
2
lx
x2 2
dx 段的伸长为：
dx
N D xdx
EA
W2

材料力学动载荷和交变应力第1节 惯性力问题

材料力学动载荷和交变应力第1节 惯性力问题


100
3
s 1

60 106 7.85 10
3
m/s
87.4 m/s
由线速度与角速度关系
v

R

2n
60
R

2n
60

(D
d) 2
/
2
则极限转速为
n


120v (D d
)

120 87.4 3.14 (1.8 1.4)
r/min
1044 r/min
图，与飞轮相比，轴的质量可以忽略不计。轴的另一
端 A 装有刹车离合器。飞轮的转速为 n 100r/min ，
转动惯量为 J x 600 kg/m2，轴的直径 d 80mm。刹车
时使轴在 10 秒内按均匀减速停止转动。求轴内的最大
动应力。 解：飞轮与轴的角速度
y 制动离合器
0

2n
60

• Kd — 动荷系数：表示构件在动载荷作用下其内力 和应力为静载荷作用 Fst 下的内力和应力的倍数。
说明
Fst mg Axg
1） x
Fst
Fd
危险截面在钢 丝绳的最上端
d max

Kd st max

Kd
(
mg A
gxmax )
2）校核钢丝绳的强度条件 d max Kd st max [ ]
16
例11-4 钢质飞轮匀角速转动如图所示，轮缘外径
D 1.8 m，内径 d 1.4 m ，材料密度 7.85 103 kg/m3。 要求轮缘内的应力不得超过许用应力 [ ] 60 Mpa ，轮

刘鸿文《材料力学》(第5版)(下册)-课后习题-第10~13章【圣才出品】

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图 10-3
解：如图 10-3（b）所示，取长为 x 的杆段迚行受力分析：
自重：
，惯性力：
根据平衡条件
，可得：
故该截面上的应力：
由此可知，当
时，有最大应力：
。
10.3 桥式起重机上悬挂一重量 P＝50 kN 的重物，以匀速度 υ＝1 m/s 向前秱（在图 10-4 中，秱动的方向垂直于纸面）。当起重机突然停止时，重物像单摆一样向前摆动，若梁 为 No.14 工字钢，吊索横截面面积 A＝5×10-4 m2，问此时吊索内及梁内的最大应力增加 多少?设吊索的自重以及由重物摆动引起的斜弯曲影响都忽略丌计。
图 10-13
解：在 F 2kN 静载作用下，作用点的位秱：
图 10-11
10.9 图 10-12 所示机车车轮以 n＝300 r/min 的转速旋转。平行杆 AB 的横截面为矩 形，h＝5.6 cm，b＝2.8 cm，长度 l＝2 m，r＝25 cm，材料的密度为 ρ＝7.8 g/cm3。试 确定平行杆最危险的位置和杆内最大正应力。
图 10-12
解：当杆运动至最低位置时，重力不惯性力相叠加，此时最危险。将杆的自重和作用在
。
10.7 图 10-8 所示钢轴 AB 的直徂为 80 mm，轴上有一直徂为 80 mm 的钢质圆杆 CD，CD 垂直于 AB。若 AB 以匀角速度 ω＝40 rad/s 转动。材料的许用应力[ζ]＝70 MPa， 密度为 7.8 g/cm3。试校核 AB 轴及 CD 杆的强度。
图 10-8
解：如图 10-9 所示，构件匀速转动时，杆 CD 单位长度的惯性力 qd 为：
2 n 60

第10章动载荷解析


绳索中的动应力为
G
GGa g
d
FNd A
Kd
FNst A
K d st
Static 静态的 Dynamic 动态的
st 为静荷载下绳索中的静应力
强度条件为 d Kd st [ ]
10
N st
△d 表示动变形
mm
△s t 表示静变形 当材料中的应力不超过
A
x
比例极限时, 荷载与变形成正比
Nd A Aa
(qst
qG
)x
Ax(1
a g
)
a L
mn
x
2. 动应力
d
FNd A
x(1
a) g
a
FNd 动荷系数
Kd
1
a g
qst
x
qG 强度条件 dmax Kd stmax [ ]
12
例题3 起重机钢丝绳长 60m , 名义直径 28cm , 有效
横截面面积 A=2. 9cm2 , 单位长重量 q=25. 5N/m ,
A 2D2
4g
0
sin d A 2D2
2g
FNd
Rd 2
A
A2D22D2
4g4g 0
sidn
FddA22DD2
A 2g4g
2
园环轴A线 上2D点2 的线速度
2g
d
2
g
D v
2
强度条件
v2
d g [ ] FNd
y
Rd
d
o
q
d
(
D 2
d
)
qd
FNd
环内应力与横截面面积无关。
要保证强度, 应限制圆环的转速。

材料力学第十章


fC
1 EI
AC
M
(
x1
)
Fs
0
M ( x1 Fs
)
dx
)
f ( x) 1 EI
x 0
F
(l
x1
)(
x
x1
)dx1
Fx 2 6EI
(3l
x)
§10-4 卡氏第二定理
例10-5 图示悬臂梁AB，B端作用铅垂力F，梁的EI已知，
1)求梁的挠曲线方程；2)若在梁中截面再作用力F，求自
x2
F=F0
A
1)dx段应变能：
dU 1(A)( d
x
)
2
d
xA
FQ2dx
2
2G
2GA
dx dx
2)l段应变能：
U
l
0dU
0l
FQ2 dx 2GA
FQ—横截面剪力； A—横截面面积；
—截面系数
矩形：=6/5；实心圆：=10/9；薄圆环：=2；
3)注意：在一般细长梁中，远小于弯矩应变能的 剪力应变能，通常忽略不计。
若=0.3，h/l=0.1，比值为0.0312。长梁忽略剪切应变能。
3)求C点挠度：W
1 2
FfC
U弯
F 2l3 96EI
fC
Fl 3 48EI
§10-2 弹性应变能的计算
四、非线性固体的应变能
1．应变能
F 非线性
与比能：
U*
线性
非线性
u*
线性
2．余能与
F1
余比能：
U
d1
1 d
u
1
应变能：线弹性
F
由端挠度fB。

材料力学课件第10章 动载荷zym


FNd
qd D Aρ D 2 2 = = ω 2 4
（3）截面应力： ）截面应力： FNd ρ D 2ω 2 σd = = = ρv2 A 4 （4）强度条件： ）强度条件：
σ d = ρ v 2 ≤ [σ ]
2、问题特点： 、问题特点： •截面应力与截面面积 无关。 截面应力与截面面积A无关 截面应力与截面面积 无关。 （三）扭转问题
2）强度计算： ）强度计算： （1）确定危险截面： ）确定危险截面： 为跨中截面。 为跨中截面。
l 1 l M = F −b − q 2 2 2 a l 1 = Aρ g 1 + − b l 2 g 4
2
（2）建立强度条件： ）建立强度条件： M d Aρ g a l σd = = 1 + − b l ≤ [σ ] W 2W g 4 2、问题特点： 、问题特点： 设加速度为零时的应力为σst 则： 设加速度为零时的应力为σ 1 l Aρ g − b l M 2 4 = Aρ g l − b l σ st = st = W W 2W 4 a σ d = σ st 1 + = σ st K d g
P
v
∆d P 即：Fd = ∆ st
代入得： 代入得： 1P 2 1 1 ∆2 d v = ∆ d Fd = P 2g 2 2 ∆ st
∆d =
Kd =
P
∆ st
v2 ∆ st g ∆ st
v2 g ∆ st (10.9)
∆ d = K d ∆ st ,
Fd = K d P,
σ d = K dσ st
= 1057 ×106 Pa
§10 – 5

材料力学第10章 动载荷


Kd = 1 + 1 + 2H
∆st
P
Pl 3 + P ∆st = 48EI 4C
σ st max = Pl / 4 = Pl
W
4W
MF
Pl/4
σd max = Kdσ st max ≤ [σ ] [H] =
∆st
2 σ st max
[(
[σ ]
−1) −1]
2
等截面刚架，重物P自高度 处自由下落。 、 、 自高度h处自由下落 例：等截面刚架，重物 自高度 处自由下落。 E、I、 W已知 。 试求截面的最大竖直位移和刚架内的最大 已知。 已知 冲击正应力（ 刚架的质量可略去不计， 冲击正应力 （ 刚架的质量可略去不计 ， 且不计轴力 对刚架变形的影响） 对刚架变形的影响）。
第十章 动载荷
§10.1 概述 §10.2 动静法的应用 §10.3 强迫振动的应力计算 §10.4 杆件受冲击时的应力和变形 §10.5 冲击韧性
§10.1 概述
1）动载荷问题的特点： ）动载荷问题的特点： 静载荷问题：载荷平稳地增加， 静载荷问题：载荷平稳地增加，不引起构件 的加速度——准静态。 准静态。 的加速度 准静态 动载荷问题：载荷急剧变化， 动载荷问题：载荷急剧变化，构件速度发生 急剧变化。 急剧变化。
2FNd = qd (2R)
qd FNd FNd
qd
σd =
FNd = ρR2ω2 = ρv2 A
注意： 无关！ 注意：与A无关！ 无关
4）匀减速转动（飞轮刹车） ）匀减速转动（飞轮刹车） 例 4 ： 飞 轮 转 速 n=100r/min ， 转 动 惯 量 为 Ix=0.5kNms2 ， 轴 直 径 d=100mm ， 10 秒停转，求最大动应力。 秒停转，求最大动应力。 解：角速度： ω0 = nπ 角速度： 30 角加速度： 角加速度：α = −ω0 / t
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实验表明：在静载荷下服从虎克定律的材料，只要应力 不超过比例极限 ,在动载荷下虎克定律仍成立且E静=E动。
三、动荷系数：
动荷系数Kd
动响应 静响应
四、动应力分类：
例如：
Kd
d st
K
d
d st
1.简单动应力： 加速度可以确定，采用“动静法”求解 。2.冲击载荷： 速度在极短暂的时间内有急剧改变，此时，加
一、直线运动构件的动应力
[例1] 杆件的横截面面积为A，单位体积的质量为 , 以加速
度a上升，试求杆子中央横截面上的动应力。
a
b
l
b
F
F
q
一、直线运动构件的动应力
[例1] 杆件的横截面面积为A，单位体积的质量为 , 以加速
度a上升，试求杆子中央横截面上的动应力。
解：①受力分析如图:
a
b
l
b
降，吊索l=20m，A=4.14cm2，E=170GPa，滑轮和吊索的质量
不计，求：滑轮被突然卡住时吊索受到的冲击载荷Fd。
解：卡住前：12
P g
v
2
P(d st )
1 2
P st
卡住后：
1 2
Fd
d
l
1 2
P g
v
2
P(d st )
1 2
P st
1 2
Fd
d
st
d
又因为： Fd d P st
(3)冲击过程中被冲击物的变形为线弹性变形过程。(保守计算)
一、自由落体冲击
P
h
A
A
Δd
Fd
A
Δd
冲击前： T 0
V P(hd )
冲击后：
B
Vε
d
1 2
Fd
d
能量守恒： T V Vd
B
P(h
d
)
1 2
Fdd
B
Fd P
d st
P(h
Fd P
st
)
1 2
Fd2 P
st
Fd
A
Δd
P
A
Δst
B
Fd (1
1
2h st
)P
KdP
B
动荷系数
Kd
Fd P
Kd 1
1
2h st
突加荷载 h 0, Kd 2
二、水平冲击
mg
v
d
Fd
st
Pst
冲击前：动
能T1
m v2 2
冲击后：应
变
能Vε2
Fd 2
d
冲击前后能量守恒：
m v2 2
Fdd 2
Fd Pst
d st
，
Pst mg
其中：
st
m gl EA
h
h
Kd 1
1
2h st
l
l
A d 2 4
7.07104（mm 2）
1
1
2 500 1.7 102
243
st
P A
2 103 7.1 104
0.ห้องสมุดไป่ตู้28(MPa )
d Kd st
Kd 1d 1Kd2hsstt 6.86(MPa )
P
h
l
解： st
Pl EA
Pl1 E1 A1
(1.7 56.5)102(mm ) 58.2102(mm )
方法原理：能量法(机械能守恒）
在冲击物与受冲构件的接触区域内，应力状态异常复杂， 且冲击持续时间非常短促，接触力随时间的变化难以准确分 析。工程中通常采用能量法来解决冲击问题，即在若干假设 的基础上，根据能量守恒定律对受冲击构件的应力与变形进 行偏于安全的简化计算。
假设： (1)冲击物为刚体；
(2)不计冲击过程中的声、光、热等能量损耗（能量守恒）；
即：
d
st P
Fd
Fd2
2PFd
P
2
(1
v2 g st
)
0
Fd (1
v2 gst
)P
KdP
[刘题10.20](P24)] 已知：重量P=25kN， v=100cm/s， l=20m，A=4.14cm2，E=170GPa，滑轮和吊索的质量不计， 求：滑轮被突然卡住时吊索受到的冲击载荷Fd。
Kd (1
第十章 动荷载
§10–1 概述 §10–2 动静法的应用 §10–4 杆件受冲击时的应力和变形
§ 10–1 概述
一、静载荷和动载荷： 载荷不随时间变化（或变化极其平稳缓慢）且使构件各部件 加速度保持为零（或可忽略不计），此类载荷为静载荷。载 荷随时间急剧变化且使构件的速度有显著变化（系统产生惯 性力），此类载荷为动载荷。 二、动响应： 构件在动载荷作用下产生的应力、应变、位移等称为动响应。
v2 ) gst
l
st
Pl EA
7.1mm
st
Kd (1
9.8
12 7.1 103
)
4.79
Fd Kd P 4.79 25 120(kN)
[刘题9-16] AC梁为10号工字钢，AB柱内径和外径分别为 30mm和40mm ，材料均为Q235钢，当重为300N的重物落于 梁的A端，校核AB杆的稳定性。规定稳定安全因数 nst =2.5。
F
F
均布载荷的集度：q qst qI
Ag Aa
Ag(1
a g
)
②中央横截面上的弯矩
M
F
(
l 2
b)
q 2
(
l 2
)2
q
1 2
Ag(1
a g
)(
l 4
b)l
③动应力
d
M W
Ag
2W
(1
a g
)(4l
b)l
④静应力 (a 0)
st
Ag
2W
(
l 4
b)l
动荷系数：
K
d
d st
1 a g
§10–4 杆件受冲击时的应力和变形
Kd 1
1
2h st
1
1
2500 58.2102
42.5
st
P A
2 103 7.1 104
0.028(MPa )
d 2 A
4
d Kdst 1.19(MPa )
7.07104（mm 2）
A d12
4
1.77104（mm 2）
[刘题10.20](P24) 已知：重物重P=25kN，以速度v=1m/s下
mv
2
Fd2
st mg
冲击力： Fd
v2 g st
mg
动荷系数：
Kd
Fd mg
v2 g st
[例]
A A
已知：重量P=5kN，h=10mm，20b工字钢，
W=250cm3，I=2500cm4，E=210GPa，求梁内最大冲
击正应力。
P
解： Kd 1
1
2h st
h B
st
Pl3 3EI
1.3mm
1.6m
Kd 1
1
210 1.3
5.05
P
l
B
st
Mmax Pl W d KWd
st
32(MPa )
d Kd st 161(MPa )
[题10.16]
已知：重量P=2kN，h=0.5m，d=30cm，
（P23） l=6m，E=10GPa，求木桩内最大正应力。
P
P
解：
st
Pl EA
1.7 102(mm )
速度不能确定，要采用“能量法”求之；
3.交变应力： 应力随时间作周期性变化，疲劳问题。
4.振动问题： 求解方法很多。
§10–2 动静法的应用
方法原理：达朗贝尔原理 D’Alembert’s principle
达朗贝尔原理认为：处于不平衡状态的物体，存在惯性力 ( Force of Inertia) ，惯性力的方向与加速度方向相反，惯性力 的数值等于加速度与质量的乘积。只要在物体上加上惯性力， 就可以把动力学问题在形式上作为静力学问题来处理，这就是 动静法。