【全国校级联考】湖北省襄阳市四校2017届高三上学期期中联考理数(原卷版)

湖北省襄阳市襄阳四中2017届高三七月第二周周考数学（理科）试题（7.20）时间：120分钟 分值150分第I 卷（选择题共60分）一、选择题（本大题12小题，每小题5分，共60分） 1．已知集合1|,,11M y y x x R x x ⎧⎫==+∈≠⎨⎬-⎩⎭，集合{}2|230N x x x =--≤，则（ ） A ．M N =∅ B ．R M C N ⊆ C ．R M C M ⊆ D ．M N R ⋃=2．复数z 为纯虚数，若()3i z a i ∴-=+（为虚数单位），则实数a 的值为（ ） A ．﹣3 B ．3 C ．﹣ D ．3．下列函数中，既是偶函数，又在（0，∞+）上是单调减函数的是（ ） A ．2xy =- B ．12y x=C ．ln 1y x =+D ．cos y x =4．已知甲、乙两组数据如茎叶图所示，若它们的中位数相同，平均数也相同，则图中的m,n 的比值mn＝（ ）A ．1B ．13 C ．29 D ．385．给出下列命题，其中真命题的个数是( ) ①存在0x R ∈，使得007sin cos 2sin24x x π+=成立; ②对于任意的三个平面向量a 、b 、c ，总有()()a b c a b c ⋅⋅=⋅⋅成立;③相关系数r (||1r ≤)，||r 值越大，变量之间的线性相关程度越高. A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 6．由曲线x y =，直线2-=x y 及y 轴所围成的封闭图形的面积为（ ）A ．316 B ．310C ．4D ．6 7．某四面体的三视图如图所示，则该四面体的所有棱中最长的是（ ）A ．B ．C ．D ．58．某程序框图如图所示，该程序运行后输出的k 的值是（ ）A ．4B ．5C ．6D ．7 9．将函数f （x ）＝3sin （4x ＋6π）图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，再向右平移6π个单位长度，得到函数y ＝g （x ）的图象．则y ＝g （x ）图象的一条对称轴是（ ） A ．x ＝12πB ．x ＝6πC ．x ＝3πD ．x ＝23π 10．过双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右顶点A 作斜率为1-的直线，该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为,B C ，若,,A B C 三点的横坐标成等比数列，则双曲线的离心率为（ ）A ．3B ．．11．已知变量x ，y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧-≥-≤+≥+144222y x y x y x ，则目标函数z ＝3x －y 的取值范围是A ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡623-，B ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡1-23-， C ．[]6,1- D ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡236-，12．已知函数0()ln(1),0x f x x x ≥=⎪--<⎩，若函数()()F x f x kx =-有且只有两个零点，则k 的取值范围为（ ）A ．(0,1)B ．1(0,)2 C ．1(,1)2D ．(1,)+∞第II 卷（非选择题）二、填空题（本大题共4个小题，每题5分，满分20分） 13．设=a 0(sin cos )x x dx π-⎰，若8822108)1(x a x a x a a ax +⋅⋅⋅+++=-，则8210a a a a +⋅⋅⋅+++= ．14．在直径AB ＝2的圆上有长度为1的动弦CD ，则AC BD ⋅的最大值是 ．15．已知直三棱柱111ABC A B C -的6个顶点都在球O 的球面上,若34AB AC ==，,AB AC ⊥,112AA =,则球O 的表面积为________．16．45,=ABC a b B A ∆==∠=∠ 中，则_________.三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．共70分.17．（本题12分）已知各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足：2*11,2,n n n S ka ta n n -+=-∈N ≥（其中,k t 为常数）．（1）若12k =，14t =，数列{}n a 是等差数列，求1a 的值； （2）若数列{}n a 是等比数列，求证：k t <．18．（本题12分）某单位员工500人参加“学雷锋”志愿活动，按年龄分组：第组[)25,30，第2组[)30,35,第3组[)35,40,第4组[)40,45,第5组[)45,50，得到的频率分布直方图如图所示.（1）下表是年龄的频率分布表，求正整数,a b 的值；（2）现在要从年龄较小的第1,2,3组中用分层抽样的方法抽取6人，年龄在第1,2,3组抽取的员工的人数分别是多少？（3） 在（2） 的前提下，从这6人中随机抽取2人参加社区宣传交流活动，求至少有人年龄在第3组的概率.19．（本题12分）如图，在梯形ABCD 中,AB ∥CD ,a CB DC AD ===, 60=∠ABC ,平面⊥ACFE 平面ABCD ,四边形ACFE 是矩形,a AE =,点M 在线段EF 上．（Ⅰ）求证:⊥BC 平面ACFE ；（Ⅱ）当EM 为何值时,AM ∥平面BDF ?证明你的结论； （Ⅲ）求二面角D EF B --的平面角的余弦值． 20．（本题12分）已知椭圆+=1（a ＞b ＞0）的离心率为，且a 2=2b ．（1）求椭圆的方程；（2）直线l ：x ﹣y+m=0与椭圆交于A ，B 两点，是否存在实数m ，使线段AB 的中点在圆x 2+y 2=5上，若存在，求出m 的值；若不存在，说明理由．21．（本题12分）函数),()(R a a ax e x f x∈+-=其图像与x 轴交于)0,(),0,(21x B x A 两点，且21x x <.（1）求a 的取值范围；（2）证明：0)('21<x x f ；（)('x f 为)(x f 的导函数；）（3）设点C 在函数)(x f 图像上，且△ABC 为等腰直角三角形，记,1112t x x =--求)1(1--t a ）（的值.请考生在第22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分．答题时用2B 铅笔在答题卡上把所选的题号涂黑．22．（本题10分）选修4—1: 几何证明选讲如图，P 是圆O 外一点，PA 是圆O 的切线，A 为切点，割线PBC 与圆O 交于B ，C ，PA PC 2=，D 为PC 中点，AD 的延长线交圆O 于点E ，证明：OPED CBA（Ⅰ）EC BE =； （Ⅱ）22PB DE AD =⋅．23．（本小题满分10分）【选修4一4：坐标系与参数方程】已知在直角坐标系x0y中，曲线1C：sin cos x y θθθθ⎧=+⎪⎨=-⎪⎩（θ为参数），在以平面直角坐标系的原点）为极点，x 轴的正半轴为极轴，取相同单位长度的极坐标系中，曲线2C ：sin()16πρθ+=．（1）求曲线1C 的普通方程和曲线2C 的直角坐标方程；（2）曲线1C 上恰好存在三个不同的点到曲线2C 的距离相等，分别求这三个点的极坐标． 24．（本题10分）选修4—5: 不等式选讲 已知,,a b c R ∈，且2221a b c ++=． （Ⅰ）求证：a b +（Ⅱ）若不等式()211x x a b c -++≥++对一切实数,,a b c 恒成立，求x 的取值范围．参考答案1．D 【解析】试题分析：1111[3,)(,1]11y x x M x x =+=-++∴=+∞-∞--- ；{}2|230[1,3]N x x x =--≤=-，因此{1,3}M N =- ，(3,)(,1)R C N M =+∞-∞-⊂ ，(1,3)R C M M =-⊂，M N R ⋃=，故选D.考点：集合包含关系【名师点睛】本题重点考查集合间关系，容易出错的地方是审错题意，由求函数值域，易忽视小于零的情况，导致错求集合M.属于基本题，难点系数较小.一要注意培养良好的答题习惯，避免出现粗心错误，二是明确集合题要关注区间端点开与闭，强化对集合关系正确的理解. 2．D 【解析】试题分析：设复数,0z bi b =≠,()3i z a i ∴-=+，化为()3i bi a i -=+，即3b bi a i +=+，13b a ∴==， 故选D. 3．A 【解析】试题分析：B ，C 是非奇非偶函数，D 不是恒单调递减，故选A ． 考点：函数单调性与奇偶性． 4．D 【解析】试题分析：由茎叶图可知乙的中位数是3323432=+，甲、乙两组数据中位数相同所以3=m ，所以甲的平均数为333273339=++，甲、乙两组数据平均数也相同，所以33420383432=++++n 解得8=n ，所以m n ＝38考点：由茎叶图求中位数及平均数．5．B 【解析】试题分析：因为sin cos 4x x x π⎛⎫+=+≤ ⎪⎝⎭72sin 2sin 244ππ>=，故①为假命题，对于②向量的数量积不满足结合律，故为假命题，③由相关性判断方法可知，为真命题，综上可知，真命题的个数为，故选Ｂ． 考点：命题真假判断． 6．A 【解析】试题分析：由2y y x ⎧=⎪⎨=-⎪⎩解得4,2x y ==，故面积为)324420021622323|xx dx x x ⎛⎫-+=-+= ⎪⎝⎭⎰．考点：定积分．7．B 【解析】试题分析：本题只要画出原几何体，理清位置及数量关系，由勾股定理可得答案． 解：由三视图可知原几何体为三棱锥，其中底面△ABC 为俯视图中的直角三角形，∠BAC 为直角， 其中AC=3，AB=4，BC=5，PB ⊥底面ABC ，且PB=4， 由以上条件可知，∠PBC 为直角，最长的棱为PC ， 在直角三角形PBC 中，由勾股定理得，PC==，故选：B考点：由三视图求面积、体积． 8．A 【解析】试题分析：根据流程图所示的顺序，程序的运行过程中各变量值变化如下表： 是否继续循环 S K 循环前/0 0第一圈 是 1 1 第二圈 是 3 2 第三圈 是 11 3 第四圈 是 2059 4 第五圈 否∴最终输出结果k=4，故答案为A ． 考点：程序框图． 9．C 【解析】试题分析：横坐标伸长到原来的两倍，得到3sin(2)6y x π=+，再向右移动6π得到3sin(2)6y x π=-，注意到sin(2)136ππ⋅-=，故对称轴为3x π=．考点：三角函数图象变换．10．C【解析】由题意，(,0)A a ．双曲线的渐近线方程为by x a=±． 由()y x a b y x a =--⎧⎪⎨=⎪⎩，解得2B a x a b =+；由()y x a by x a =--⎧⎪⎨=-⎪⎩，解得2C a x a b =-． 由题意2BA C x x x =，即222()a a a a b a b=⨯+-，整理得3b a =．所以c =，故e =．故选C ．【命题意图】本题主要考查双曲线的性质以及直线方程、等比数列等基础知识，考查基本的运算能力等． 11．A 【解析】试题分析：线性约束条件对应的可行域为直线22,24,41x y x y x y +=+=-=-围成的区域，顶点为()()10,1,2,0,,32⎛⎫ ⎪⎝⎭，目标函数z ＝3x －y 在点1,32⎛⎫ ⎪⎝⎭处取得最小值32-，在点()2,0处取得最大值6362z ∴-≤≤ 考点：线性规划问题 12．C 【解析】试题分析：()()0,()F x f x kx f x kx =-==，画出函数图象如下图所示．令2241y y x =-=，这是双曲线的一支，其渐近线方程为12y x =±．由图象可知，渐近线12y x =与()f x 图象只有一个交点．令''01ln(1),,|11x y x y y x==--==-，故函数ln(1)y x =--在()0,0处的切线方程为y x =．从而()f x kx =的k 的取值范围是1(,1)2．考点：1．函数导数；2．零点问题．【思路点晴】零点问题一种解法是变为两个函数图象的交点，如本题中的()()F x f x kx =-的零点问题，转化为()f x kx =左右两边函数图象有两个交点．我们只需要画出函数图象，就可以解决这个问题．在函数的第一段中，2241y y x =-=，由此可知该图象为双曲线的一支，其渐近线方程为12y x =±．另一段求取其过()0,0的切线方程，k 的范围就在这两条直接的斜率之间． 13． 【解析】试题分析：根据题意可知，00(sin cos )(cos sin )|a x x dx x x ππ=-=--⎰2=，所以8210a a a a +⋅⋅⋅+++88(1)(12)1a =-=-=．考点：定积分，二项展开式． 14．12【解析】试题分析：以AB 的中点为原点，AB 所在的直线为x 轴建立平面直角坐标系x y O ，如图所示：连结C O 和D O ，则D C 3π∠O =，设C α∠BO =（02απ≤<），则()1,0A -，()1,0B ，()C cos ,sin αα，D cos ,sin 33ππαα⎛⎫⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以()C cos 1,sin ααA =+ ，D cos 1,sin 33ππαα⎛⎫⎛⎫⎛⎫B =+-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ，所以()1C D cos 1cos 1sin sin cos cos 3332πππαααααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫A ⋅B =++-++=+-- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦111cos sin 2262πααα⎛⎫=--=-+-⎪⎝⎭，因为02απ≤<，所以13666πππα≤+<，所以当362ππα+=，即43πα=时，()()max 11C D 1122A ⋅B =-⨯--= ，所以答案应填：12．考点：1、任意角的三角函数；2、平面向量的坐标运算；3、两角和与差的余弦公式；4、辅助角公式；5、三角函数的图象与性质． 15．169π 【解析】试题分析：由下图可知，球心在O 的位置，球的半径为22252514416962444R ⎛⎫=+=+=⎪⎝⎭，故表面积为24169R ππ=．考点：球的内接几何体．【思路点晴】设几何体底面外接圆半径为x ，常见的图形有正三角形，直角三角形，矩形，它们的外心可用其几何性质求；而其它不规则图形的外心，可利用正弦定理来求．若长方体长宽高分别为,,a b c 则其体对角线长为；长方体的外接球球心是其体对角线中点．直棱柱；有一条棱垂直于一个面的棱锥，设高为h 其外接球半径R 公式秒杀公式2222h R x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．16．3π或23π 【解析】试题分析：据正弦定理可求出角B 的正弦值，进而得到其角度值．45b a B ==∠=︒，根据正弦定理可得：3b sinA A sinA sinB a π∴=∴∠=＝或23π. 考点：正弦定理．17．（1）11a =+；（2）证明见解析． 【解析】试题分析：（1）已知条件是2111124n n n S a a -+=-，这种问题一般都是再写一次即21111124n n n S a a +++=-，两式相减变形后可得12n n a a +-=，注意这里有2n ≥，但由于数列{}n a 是等差数列，因此也有212a a -=，代入已知212211124a a a +=-可求得1a ；（2）与（1）相同方法得2211(2)n n n n n a ka ka ta ta n +++-=-≥，由数列{}n a 是等比数列，可设1n n a qa +=，代入化简得2(1)1(2)n t q a kq k n ∴-=-+≥，下面对此式分析，首先0q >，1q ≠，{}n a 不是常数列，这样此式对2n ≥恒成立，必有0t =，恒等式变为10kq k -+=，不能得出什么有用结论，回到已知条件，已知变为11n n S ka -∴+=-，此式中，10,0n n a S ->>，那么只能有0k <，命题得证．试题解析：（1）由题意知，21111(*)24n n n S a a -+=-，21111124n n n S a a ++∴+=-，两式相减，得：22111111(2)2244n n n n n a a a a a n +++-=-≥， 整理，得：11()(2)0(2)n n n n a a a a n +++--=≥， 0n a > ，12(2)n n a a n +∴-=≥，数列{}n a 是等差数列，212a a ∴-=，由(*)得：212211124a a a +=-，11a ∴=±10a > ，11a =+（2）由211n n n S ka ta -+=-得2111n n n S ka ta +++=-，两式相减，得：2211(2)n n n n n a ka ka ta ta n +++-=-≥，设等比数列{}n a 的公比为q ，∴222n n n n n a kqa ka tq a ta +-=-，2(1)1(2)n t q a kq k n ∴-=-+≥，由已知，可知0q >，∴1q ≠，{}n a 不是常数列，0t ∴=；11n n S ka -∴+=-，而0n a >且10n S ->，0k ∴<， k t ∴<．考点：等差数列与等比数列的定义．18．（1）200a =，50b =（2）人，人，4人. （3） 1415【解析】 试题分析：（1）由频数等于总数乘以频率，而频率等于纵坐标乘以组距，因此0.085500200a =⨯⨯=，0.02550050b =⨯⨯=（2）由分层抽样知，按比例抽取：第，2组的人数为5061300⨯= ，第3组的人数为20064300⨯= （3） 从这6人中随机抽取2人共有15种方法，其中年龄没人在第3组的有1种方法，所以至少有人年龄在第3组有14种方法，从而所求概率为1415试题解析：解：（1）由题设可知，0.085500200a =⨯⨯=，0.02550050b =⨯⨯=. （2）因为第1,2,3组共有5050200300++=人，利用分层抽样在300名员工中抽取6名员工，每组抽取人数分别为：第组的人数为5061300⨯=，第2组的人数为5061300⨯=，第3组的人数为20064300⨯=.所以第1,2,3组分别抽取人，人，4人.（3） 设第组的位员工为A ，第2组的位员工为B ，第3组的4位员工为1234,,,C C C C ，则从六位员工为员工中的两位员工有：()()()()()()()()()12341234,,,,,,,,,,,,,,,,,A B A C A C A C A C B C B C B C B C ()()()()()()121314232434,,,,,,,,,,,C C C C C C C C C C C C 共15种可能.其中2人年龄都不在第3组的有：(),A B ，共种可能.所以至少有人年龄在第3组的概率为11411515-=.考点：分层抽样，古典概型概率【方法点睛】古典概型中基本事件数的探求方法 （1）列举法.（2）树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本事件的探求.对于基本事件有“有序”与“无序”区别的题目，常采用树状图法.（3）列表法：适用于多元素基本事件的求解问题，通过列表把复杂的题目简单化、抽象的题目具体化.（4）排列组合法：适用于限制条件较多且元素数目较多的题目. 19．（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）EM =；． 【解析】试题分析：（Ⅰ）根据已知条件，易得在等腰梯形ABCD 中，AC BC ⊥；又 平面ACFE ⊥平面ABCD ，交线为AC ，⊥∴BC 平面ACFE ；（Ⅱ）设AC BD N ⋂=，连接FM ，当M 为EF 中点时，//AM FN ，从而//AM BDF 平面；（Ⅲ）以C 为坐标原点，,,CA CB CF 分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，求出平面BEF 和平面DEF 的法向量，从而求得cos θ=． 试题解析：（Ⅰ）在梯形ABCD 中，CD AB // ，︒=∠===60,ABC a CB DC AD 四边形ABCD 是等腰梯形，且︒︒=∠=∠=∠120,30DCB DAC DCA ︒=∠-∠=∠∴90DCA DCB ACBBC AC ⊥∴ 又 平面⊥ACFE 平面ABCD ，交线为AC ，⊥∴BC 平面ACFE（Ⅱ）当a EM 33=时，//AM 平面BDF ， 在梯形ABCD 中，设N BD AC =⋂，连接FN ，则2:1:=NA CNa EM 33=，而a AC EF 3== 2:1:=∴MF EM ， AN MF //∴，∴四边形ANFM 是平行四边形，NF AM //∴又⊂NF 平面BDF ，⊄AM 平面BDF //AM ∴平面BDF 分B（Ⅲ） 由(Ⅰ)知,以点C 为原点，CF CB CA ,, 所在直线为坐标轴,建立空间直角坐标系,则)0,0,0(C ,)0,,0(a B ， )0,0,3(a A ，),0,0(a F ，),0,3(a a E),,0(a a FB -=→)0,0,3(a EF -=),2,23(a aa -= 平面BEF 的法向量)1,1,0(=，平面EFD 的法向量为n =（0，-2，1）， 所以 1010||||,cos -=⋅>=<n m n m又∵二面角B-EF-D 的平面角为锐角，即D EF B --的的余弦值为1010．考点：空间向量与立体几何． 20．（1）x 2+=1；（2）实数m 不存在，理由见解析【解析】 试题分析：（1）运用椭圆的离心率公式和a ，b ，c 的关系，解方程可得a ，b ，进而得到椭圆方程；（2）设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），线段AB 的中点为M （x 0，y 0）．联立直线方程和椭圆方程，运用韦达定理和中点坐标公式，求得M 的坐标，代入圆的方程，解方程可得m ，进而判断不存在．解：（1）由题意得e==，a 2=2b ，a 2﹣b 2=c 2，解得a=，b=c=1故椭圆的方程为x 2+=1；（2）设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）， 线段AB 的中点为M （x 0，y 0）． 联立直线y=x+m 与椭圆的方程得，即3x 2+2mx+m 2﹣2=0，△=（2m ）2﹣4×3×（m 2﹣2）＞0，即m 2＜3， x 1+x 2=﹣，所以x 0==﹣，y 0=x 0+m=，即M （﹣，）．又因为M 点在圆x 2+y 2=5上，可得（﹣）2+（）2=5，解得m=±3与m 2＜3矛盾．故实数m 不存在．考点：椭圆的简单性质．21．（1）2a e >；（2）证明见解析；（3）2. 【解析】试题分析：（1）()'xf x e a =-,当0a ≤时，函数单调递增，不符合题意；当0a >时，要函数图像与x 轴有两个交点，则需要极小值小于零且区间端点函数值大于零，由此可求得2a e >；（2）先将,A B 两点的坐标代入函数中，求出a 的值，然后求出f 的表达式，利用导数证明这个表达式是单调递减的，由此可证明0f <；（3）根据已知条件有122x x e+=，利用等腰三角形求出C 的坐标，代入函数解析式，化简后求得1(1)2a t --=（）. 试题解析：（1）∵f （x ）=e x﹣ax+a ，∴()f x '=e x﹣a ，若a≤0，则()f x '＞0，则函数f （x ）是单调增函数，这与题设矛盾． ∴a ＞0，令()f x '=0，则x=lna ，当()f x '＜0时，x ＜lna ，f （x ）单调减，当()f x '＞0时，x ＞lna ，f （x ）是单调增函数，于是当x=lna 时，f （x ）取得极小值， ∵函数f （x ）=e x﹣ax+a （a∈R）的图象与x 轴交于两点A （x 1，0），B （x 2，0）（x 1＜x 2），∴f （lna ）=a （2﹣lna ）＜0，即a ＞e 2，此时，存在1＜lna ，f （1）=e ＞0，存在3lna ＞lna ，f （3lna ）=a 3﹣3alna+a ＞a 3﹣3a 2+a ＞0，又由f （x ）在（﹣∞，lna ）及（lna ，+∞）上的单调性及曲线在R 上不间断，可知a ＞e 2为所求取值范围．（2）∵12120x x e ax a e ax a ⎧-+=⎪⎨-+=⎪⎩，∴两式相减得2121x x e e a x x -=-．记212x x s -=（0s >）， 则()121221212221222x x x x x x s s x x e e ef e s e e x x s ++-+-⎛⎫⎡⎤'=-=--⎪⎣⎦-⎝⎭， 设g （s ）=2s ﹣（e s﹣e ﹣s），则g'（s ）=2﹣（e s+e ﹣s）＜0，∴g （s ）是单调减函数，则有g （s ）＜g （0）=0，而12202x x es +>，∴1202x x f +⎛⎫'< ⎪⎝⎭． 又f'（x ）=e x﹣a是单调增函数，且122x x +>∴0f '<．（3）依题意有0i xi e ax a -+=，则()10i xi a x e -=>⇒x i ＞1（i=1，2）．于是122x x e+=，在等腰三角形ABC 中，显然C=90°，∴()12012,2x x x x x +=∈， 即y 0=f （x 0）＜0，由直角三角形斜边的中线性质，可知2102x x y -=-，∴21002x xy -+=，即()1221212022x x x x ae x x a +--+++=，∴()2112022x x ax x a --+++=，即()()()()21121111022x x ax x -----+-+=⎡⎤⎣⎦∵x 1﹣1≠0，则2211111110212x x x a x --⎛⎫--++= ⎪-⎝⎭t =， ∴()()22111022a at t t -++-=，即211a t =+-，∴（a ﹣1）（t ﹣1）=2． 考点：函数导数与不等式.【方法点晴】这是一个综合性很强的题目，解决含参数问题及不等式问题注意两个转化：利用导数解决含有参数的单调性问题可将问题转化为不等式恒成立问题，要注意分类讨论和数形结合思想的应用．将不等式的证明、方程根的个数的判定转化为函数的单调性问题处理．简单的分类讨论分类标准主要根据需要来制定. 22．（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）证明见解析． 【解析】试题分析：（Ⅰ）连接,AB AC ，则PA PD =，故PAD PDA ∠=∠，根据弦切角等于同弦所对的圆周角，可退出 BE EC =，所以BE EC =；（Ⅱ）由切割线定理得：PC PB PA ⋅=2，由相交弦定理得：DC BD DE AD ⋅=⋅，代入已知条件，化简得22AD DE PB ⋅=． 试题解析：（Ⅰ）证明：连接AB ，AC ,由题设知PD PA =， 故PDA PAD ∠=∠因为：DCA DAC PDA ∠+∠=∠，PAB BAD PAD ∠+∠=∠， 由弦切角等于同弦所对的圆周角：PAB DCA ∠=∠，所以：BAD DAC ∠=∠，从而弧BE =弧EC ，因此：EC BE =OPED CBA（Ⅱ）由切割线定理得：PC PB PA ⋅=2，因为DC PD PA ==， 所以：PB DC 2=，PB BD =由相交弦定理得：DC BD DE AD ⋅=⋅ 所以：22PB DE AD =⋅ 考点：几何证明选讲．23．（1）224xy +=，20x +-=；（2）11π26⎛⎫ ⎪⎝⎭，，5π26⎛⎫ ⎪⎝⎭，，π23⎛⎫⎪⎝⎭，．【解析】试题分析：本题主要考查参数方程与普通方程的转化、极坐标方程与直角坐标方程的转化、点到直线的距离、两直线间的距离等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力．第一问，先将曲线1C 的方程平方，利用平方关系，消去参数θ，得到曲线1C 的普通方程，将曲线2C 的方程利用两角和的正弦公式展开，再利用sin y ρθ=，cos x ρθ=代换，得到曲线2C 的直角坐标方程；第二问，结合第一问知，曲线1C 为圆，曲线2C 为直线，画出图形，通过图形分析得这三个点分别在平行于直线2C 的两条直线1l ，2l 上，通过直线的位置得到直线1l 和直线2l 的方程，再与圆的方程联立，得到三个点E 、F 、G的坐标．试题解析：（1）由题意，得2222223cos sin cos 3sin cos cos x y θθθθθθθθ⎧=++⎪⎨=+-⎪⎩，，∴曲线1C 的普通方程为224x y +=．∵曲线2C：π1sin sin cos 162ρθθρθ⎛⎫+=+= ⎪⎝⎭， ∴曲线2C的直角坐标方程为20x +-=．（2）∵曲线1C 为圆1C ，圆心1(0,0)C ，半径为2r =，曲线2C 为直线， ∴圆心C 1到直线2C 的距离1d =，∵圆1C 上恰好存在三个不同的点到直线2C 的距离相等， ∴这三个点分别在平行于直线2C 的两条直线1l ，2l 上， 如图所示，设1l 与圆1C 相交于点E ，F ， 设2l 与圆1C 相切于点G ，∴直线1l ，2l 分别与直线2C 的距离为211r d -=-=， ∴1l：0x +=， 2l：40x -=．由2240x y x ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩，，得1x y ⎧=⎪⎨=-⎪⎩或1x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩，即1)E -，(1)F ；由22440x y x ⎧+=⎪⎨+-=⎪⎩，，得1x y =⎧⎪⎨=⎪⎩，即(1G ， ∴E ，F ，G 这三个点的极坐标分别为11π26⎛⎫ ⎪⎝⎭，，5π26⎛⎫ ⎪⎝⎭，，π23⎛⎫ ⎪⎝⎭，．考点：参数方程与普通方程的转化、极坐标方程与直角坐标方程的转化、点到直线的距离、两直线间的距离． 【方法点睛】参数方程与普通方程的互化：把参数方程化为普通方程，需要根据其结构特征，选取适当的消参方法，常见的消参方法有：代入消参法；加减消参法；平方和（差）消参法；乘法消参法；混合消参法等．把曲线C 的普通方程(,)0F x y =化为参数方程的关键：一是适当选取参数；二是确保互化前后方程的等价性．注意方程中的参数的变化范围． 24．（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）33(,][,)22-∞-⋃+∞． 【解析】试题分析：（Ⅰ）由于2222222()2()a b c a b c ab bc ca a b c ++=+++++≤++222222()3222a b b c c a ++++++=，所以a b +；（Ⅱ）由（Ⅰ）可知不等式|1||1|3x x -++≥，利用零点分段法去绝对值，可求得x 的取值范围是33(,][,)22-∞-⋃+∞．试题解析：（Ⅰ） 因为,,a b c R ∈，且2221a b c ++=，所以2222222222222222222()2()()2222()3a b b c c a a b c a b c ab bc ca a b c a b c a b c +++++=+++++≤+++++=+++++=所以2()3||a b c a b c ++≤⇒++≤a b c ==时取得等号方法2：由柯西不等式2222222()(111)()3||a b c a b c a b c ++≤++++=⇒++≤（Ⅱ）由（Ⅰ）可知若不等式|1||1|3x x -++≥，=++-=|1||1|x x y ⎪⎩⎪⎨⎧≥<<--≤-1211212x x x x x 从而解得33(,][,)22-∞-⋃+∞考点：不等式选讲．。

湖南省襄阳市第四中学2017届高三周测题九数学试卷一、填空题1．设全集U 是实数集{}(){}22,4,log 11M x x N x x =>=-<R ,则图中阴影部分所表示的集合是（ ）A ．{}21x x -≤<B ．{}22x x -≤≤C ．{}12x x <≤D ．{}2x x <2．若复数z 满足()102i 1iz +=+，则z 的共轭复数z =（ ） A ．13i +B ．13i -C ．3i +D ．3i -3．已知0,0a b >>，则“1ab >”是“2a b +>”的（ ）条件 A .充分不必要 B .必要不充分C .充要条件D .既不充分也不必要 4．直线a 、b 、c 及平面α、β、γ，下列命题正确的是（ ） A ．若,,,a b c a c b ⊂⊂⊥⊥αα，则c ⊥α B ．若,b a b ⊂∥α，则a ∥α C ．若,a b =I ∥ααβ，则a b ∥D ．若,a b ⊥⊥αα，则a b ∥5．一物体在变力()25F x x =-（F 的单位：,N x 的单位：m ）的作用下，沿与力F 成30o 的方向作直线 运动，则由1x =运动到2x =时力()F x 所做的功为（ ）A B C JD ．6．执行如图所示的程序框图，若输入的a 值为1，则输出的k 值为（ ）A .1B .2C .3D .47．函数()()1ln 1f x x =+的定义域为（ ）A ．[)(]2,00,2-UB ．()(]1,00,2-UC ．[]2,2-D ．(]1,2-8．若11sin cos +=ααsin cos =αα（ ） A ．13- B ．13C ．13-或1D ．13或1-9．设,x y 满足不等式组60210320x y x y x y +-≤⎧⎪--≤⎨⎪--≥⎩，若z ax y =+的最大值为24a +，最小值为1a +，则实数a 的取值范围为 A .[]1,2-B .[]2,1-C .[]3,2--D .[]3,1-10．在ABC △中，a ，b ，c 分别为A ∠，B ∠，C ∠所对应三角形的边长，2043BC CA AB a b c ++=u u u r u u u r u u u r r， 则cos B =（ ） A .2936B .2936-C .1124D . 1124-11．已知函数()1ln 22x f x =+，()2e x g x -=，若()()g m f n =成立，则n m -的最小值为（ ） A ．1ln2-B ．ln2C．3D ．2e 3- 12．定义：如果函数()f x 在[],a b 上存在()1212,x x a x x b <<<满足()()()1f b f a f x b a-'=-，()()()2f b f a f x b a-'=-，则称函数()f x 是[],a b 上的“双中值函数”，已知函数()322f x x x m =-+是[]0,2a 上“双中值函数”，则实数a 的取值范围是（ ） A ．11,84⎛⎫⎪⎝⎭B ．11,124⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．11,128⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．1,18⎛⎫ ⎪⎝⎭二、填空题13.已知()()1,2,3,4a b ==-r r ,则a r 在b r上的投影是________.14．已知角()ππ-≤<αα的终边过点2π2πsin ,cos 33P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则=α_________． 15．已知,,A B C 是ABC △的三个内角，且π2C =，则2249sin sin A B+的最小值为________.16．如图，已知双曲线()222210,0x y a b a b -=>>上有一点A ,它关于原点的对称点为B ，点F 为双曲线的右焦点，且满足AF BF ⊥,设ABF ∠=α,且ππ,126⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦α,则该双曲线离心率e 的取值范围为________．三、解答题17．已知函数cos22,n 1y x x x =++∈R ． （1）求它的振幅、周期和初相．（2）该函数的图象是由()sin y x x =∈R 的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到的？ （3）用五点法作出它一个周期范围的简图(要求列表描点作图)．18．某地干旱少雨，农作物受灾严重，为了使今后保证农田灌溉，当地政府决定建一横断面为等腰梯形的 水渠（水渠的横断面如图所示），为减少水的流失量，必须减少水与渠壁的接触面(即AD DC CB ++)，若水渠横断面的面积设计为定值S ，渠深为h ，则水渠壁的倾斜角π02⎛⎫<< ⎪⎝⎭αα为多大时，水渠中水的流失量最小？19．如图，正方形AMDE 的边长为2，B 、C 分别为线段AM 、MD 的中点，在五棱锥P ABCDE -中，F 为棱PE 的中点，平面ABF 与棱PD PC 、分别交于点GH 、．（1）求证：AB FG ∥；（2）若PA ⊥底面ABCDE ，且PA AE =，求直线BC 与平面ABF 所成角的大小．20．已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的左、右焦点分别为()()121,0,F 1,0F -，点A ⎛ ⎝⎭在椭圆C 上．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）是否存在斜率为2的直线l ，使得当直线l 与椭圆C 有两个不同交点M N 、时，能在直线53y =上找 到一点P ，在椭圆C 上找到一点Q ，满足PM NQ =u u u u v u u u v？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由21．已知函数()()()21ln 112f x a x x a x a =+-+≥. （1）讨论()f x 的单调性与极值点； （2）若()()21112g x x x x =-->，证明：当1a =时，()g x 的图象恒在()f x 的图象上方； （3）证明：()()2222ln 2ln 3ln 21,22341n n n n n n n *--+++<∈≥+N L . 22．在直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为1cos sin x y =+⎧⎨=⎩ϕϕ（ϕ为参数），以O 为极点x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.（1）求圆C 的极坐标方程；（2）直线l 的极坐标方程是π2sin 3⎛⎫+= ⎪⎝⎭ρθπ:3OM =θ与圆C 的交点为,O P ，与直线l 的交点为Q ，求线段PQ 的长.。

湖北省四校（曾都一中、枣阳一中、襄州一中、宜城一中）2017-2018学年高三上学期期中数学试卷（理科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意要求的.1．已知集合M={0，1，2}，N={x|x=2a，a∈M}，则集合M∩N=( )A．{0} B．{0，1} C．{1，2} D．{0，2}考点：交集及其运算．专题：计算题．分析：集合N的元素需要运用集合M的元素进行计算，经过计算得出M的元素，再求交集解答：解：由题意知，N={0，2，4}，故M∩N={0，2}，故选D．点评：此题考查学生交集的概念，属于基础题2．下列有关的叙述，错误的个数为( )①若p∨q为真，则p∧q为真②“x＞5”是“x2﹣4x﹣5＞0”的充分不必要条件③p：∃x∈R，使得x2+x﹣1＜0，则￢p：∀x∈R，使得x2+x﹣1≥0④“若x2﹣3x+2=0，则x=1或x=2”的逆否为“若x≠1或x≠2，则x2﹣3x+2≠0”A．1 B．2 C．3 D．4考点：特称；全称．专题：常规题型；计算题．分析：直接利用复合的真假判断①的正误；利用充要条件判断②的正误；特称的否定判断③的正误；四种的逆否关系判断④的正误．解答：解：①若p∨q为真，p或q一真就真，而P∧Q为真，必须两个都是真，所以①不正确．②“x＞5”是“x2﹣4x﹣5＞0”的充分不必要条件，满足前者推出后者，对数后者推不出前者，所以②正确．③p：∃x∈R，使得x2+x﹣1＜0，则﹣p：∀x∈R，使得x2+x﹣1≥0；满足特称的否定形式，所以③正确．④“若x2﹣3x+2=0，则x=1或x=2”的逆否为“若x≠1或x≠2，则x2﹣3x+2≠0”不满足逆否的形式，正确应为“若x≠1且x≠2，则x2﹣3x+2≠0”．所以只有②③正确．故选B．点评：本题考查真假的判断，充要条件关系的判断，的否定等知识，考查基本知识的应用．3．已知△ABC中，a=4，b=4，A=30°，则B等于( )A．30°B．30°或150°C．60°D．60°或120°考点：正弦定理．专题：解三角形．分析：△ABC中由条件利用正弦定理求得sinB的值，再根据及大边对大角求得B的值．解答：解：△ABC中，a=4，b=4，A=30°，由正弦定理可得，即=，解得sinB=．再由b＞a，大边对大角可得B＞A，∴B=60°或120°，故选D．点评：本题主要考查正弦定理的应用，以及大边对大角、根据三角函数的值求角，属于中档题．4．已知a＞0，b＞0且ab=1，则函数f（x）=a x与函数g（x）=﹣log b x的图象可能是( )A．B．C．D．考点：对数函数的图像与性质；指数函数的图像与性质．专题：常规题型；数形结合．分析：由条件ab=1化简g（x）的解析式，结合指数函数、对数函数的性质可得正确答案解答：解：∵ab=1，且a＞0，b＞0∴又所以f（x）与g（x）的底数相同，单调性相同故选B点评：本题考查指数函数与对数函数的图象，以及对数运算，属中档题5．若函数f（x）=x2+（a∈R），则下列结论正确的是( )A．∀a∈R，f（x）在（0，+∞）上是增函数B．∀a∈R，f（x）在（0，+∞）上是减函数C．∃a∈R，f（x）是偶函数D．∃a∈R，f（x）是奇函数考点：函数奇偶性的判断；函数单调性的判断与证明．专题：函数的性质及应用．分析：利用导数考查函数f（x）=x2+（a∈R）的单调性，可对A、B选项进行判断；考查函数f（x）=x2+（a∈R）的奇偶性，可对C、D选项的对错进行判断．解答：解析：∵f′（x）=2x﹣，故只有当a≤0时，f（x）在（0，+∞）上才是增函数，因此A、B不对，当a=0时，f（x）=x2是偶函数，因此C对，D不对．答案：C点评：本题主要考查了利用导数进行函数奇偶性的判断以及函数单调性的判断，属于基础题．6．函数y=Asin（ωx+φ）+B（A＞0，φ＞0，|φ|＜，x∈R）的部分图象如图所示，则函数的表达式为( )A．B．C． D．考点：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．专题：计算题．分析：通过函数的表达式的形式结合图象，求出B，A，求出函数的周期，得到ω，函数经过（2，3）以及φ的范围求出φ的值，得到选项．解答：解：由题意可知A=2，B=1，T==6，ω==，因为函数经过（2，3）所以3=2sin（×2+φ）+1，|φ|＜，φ=﹣，所以函数的表达式为；故选A．点评：本题考查三角函数的解析式的求法，函数图象的应用，注意周期的求法以及φ的求法是本题的关键，考查计算能力．7．如图中阴影部分的面积是( )A．B．C．D．考点：定积分在求面积中的应用．专题：计算题．分析：求阴影部分的面积，先要对阴影部分进行分割到三个象限内，分别对三部分进行积分求和即可．解答：解：直线y=2x与抛物线y=3﹣x2解得交点为（﹣3，﹣6）和（1，2）抛物线y=3﹣x2与x轴负半轴交点（﹣，0）设阴影部分面积为s，则==所以阴影部分的面积为，故选C．点评：本题考查定积分在求面积中的应用，解题是要注意分割，关键是要注意在x轴下方的部分积分为负（积分的几何意义强调代数和），属于基础题．8．若α∈（，π），则3cos2α=sin（﹣α），则sin2α的值为( )A．B．﹣C．D．﹣考点：三角函数的化简求值；同角三角函数基本关系的运用；两角和与差的余弦函数；两角和与差的正弦函数．专题：计算题；三角函数的图像与性质．分析：直接利用两角和与差的三角函数以及二倍角的余弦函数化简函数的表达式，利用平方关系式求出结果即可．解答：解：3cos2α=sin（﹣α），可得3cos2α=（sinα﹣cosα），3（cos2α﹣sin2α）═（sinα﹣cosα），∵α∈（，π），∴sinα﹣cosα≠0，上式化为：sinα+cosα=，两边平方可得1+sin2α=．∴sin2α=．故选：D．点评：本题主要考查二倍角的余弦函数，同角三角函数的基本关系的应用，属于中档题．9．如图，△ABC的外接圆的圆心为O，AB=2，AC=3，BC=，则•等于( )A．B．C．2 D．3考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：作OD⊥AB于D，OE⊥AC于E，根据向量数量积的几何意义•=||||，•=||2，即可得到答案．解答：解：作OD⊥AB于D，OE⊥AC于E，∵⊙O中，OD⊥AB，∴AD=AB，因此，•=||||=||2=2，同理可得•=||2=，∴•=•﹣•=﹣2=．故选B．点评：本小题主要考查向量在几何中的应用等基础知识，解答关键是利用向量数量积的几何意义，属于中档题．10．已知函数f（x）满足﹣f（x）=f（﹣x），且当x∈（﹣∞，0）时，f（x）+xf′（x）＜0成立，若a=•f，b=（ln2）•f（ln2），c=（log2）•f（log2），则a，b，c的大小关系是( ) A．a＞b＞c B．c＞b＞a C．c＞a＞b D．a＞c＞b考点：利用导数研究函数的单调性；导数的运算．专题：综合题；导数的综合应用．分析：令g（x）=xf（x），得g（x）是偶函数；由x∈（﹣∞，0）时，g′（x）=f（x）+xf′（x）＜0，得函数g（x）在x∈（﹣∞，0）上单调递减，从而得g（x）在（0，+∞）上单调递增；再由∴函数g（x）在x∈（0，+∞）上单调递增．再由﹣=3＞20.1＞1＞ln2＞0，得a，b，c的大小．解答：解：∵﹣f（x）=f（﹣x），∴f（x）是奇函数，∴xf（x）是偶函数．设g（x）=xf（x），当x∈（﹣∞，0）时，g′（x）=f（x）+xf′（x）＜0，∴函数g（x）在x∈（﹣∞，0）上单调递减，∴函数g（x）在x∈（0，+∞）上单调递增．∵﹣=3＞20.1＞1＞ln2＞0，∴g（）＞g＞g（ln2），故选：C．点评：本题考查了函数的图象与奇偶性关系以及用导数研究函数的单调性等知识，解题的关键是构造函数g（x）并求导，属于易出错的题目．二．填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.11．已知集合A={x|﹣1＜x≤5}，B={x|m﹣5＜x≤2m+3}，且A⊆B，则实数m的取值范围是．考点：集合的包含关系判断及应用．专题：集合．分析：根据子集的概念即可得：，解不等式即得m的取值范围．解答：解：由已知条件得：，解得1≤m≤4；∴m的取值范围是．故答案为：．点评：考查子集的概念，本题也可通过数轴求解．12．函数f（x）=xcosx在点（π，﹣π）处的切线方程是y=﹣x．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：导数的综合应用．分析：求出原函数的导函数，得到函数在x=π时的导数值，然后由直线方程的点斜式得答案．解答：解：由f（x）=xcosx，得y′=cosx﹣xsinx，∴y′|x=π=﹣1．则函数f（x）=xcosx在点（π，﹣π）处的切线方程是y+π=﹣（x﹣π），即y=﹣x．故答案为：y=﹣x．点评：本题考查了利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，过曲线上某点处的切线的斜率，就是函数在该点处的导数值，是中档题．13．已知是R上的减函数，则a的取值范围是．考点：对数函数的单调性与特殊点；函数单调性的性质．专题：计算题．分析：由函数f（x）为单调递减函数可得，g（x）=（3a﹣1）x+4a在（﹣∞，1]，函数h（x）=log a x在（1，+∞）单调递减，且g（1）≥h（1），代入解不等式可求a的范围解答：解：由函数f（x）为单调递减函数可得，g（x）=（3a﹣1）x+4a在（﹣∞，1]，函数h（x）=log a x在（1，+∞）单调递减，且g（1）≥h（1）∴∴故答案为：点评：本题主要考查了分段函数的单调性的应用，解题的关键主要应用一次函数与对数函数的单调性，要注意在端点值1处的处理．14．定义在（0，3）上的函数f（x）的图象如图所示=（f（x），0），=（cosx，0），那么不等式•＜0的解集是（0，1）∪（，3）．考点：平面向量的综合题．专题：平面向量及应用．分析：由已知得x∈（0，1）时f（x）＜0，cosx＞0；x∈时，cosx≥0，f（x）≥0；x∈（，3）时，f（x）＞0，cosx＜0．由此能求出=f（x）cosx＜0的解集．解答：解：∵（0，3）上的函数f（x）的图象如图所示，=（f（x），0），=（cosx，0），∴x∈（0，1）时f（x）＜0，cosx＞0；x∈时，cosx≥0，f（x）≥0；x∈（，3）时，f（x）＞0，cosx＜0，∴=f（x）cosx＜0的解集是（0，1）∪（，3）．故答案为：（0，1）∪（，3）．点评：本题考查不等式的解集的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意余弦函数性质的合理运用．15．已知函数f（x）=xlnx+x2，且x0是函数f（x）的极值点．给出以下几个问题：①0＜x0＜；②x0＞；③f（x0）+x0＜0；④f（x0）+x0＞0其中正确的是①③．（填出所有正确的序号）考点：利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性．专题：计算题；导数的概念及应用．分析：求导数，利用零点存在定理，可判断①②；f（x0）+x0=x0lnx0+x02+x0=x0（lnx0+x0+1）=﹣x0＜0，可判断③④．解答：解：∵函数f（x）=xlnx+x2，（x＞0）∴f′（x）=lnx+1+2x，∴f′（）=＞0，∵x→0，f′（x）→﹣∞，∴0＜x0＜，即①正确，②不正确；∵lnx0+1+2x0=0∴f（x0）+x0=x0lnx0+x02+x0=x0（lnx0+x0+1）=﹣x0＜0，即③正确，④不正确．故答案为：①③．点评：本题考查利用导数研究函数的极值，考查学生的计算能力，比较基础．三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 16．设p：函数f（x）=x2﹣ax﹣1在区间上单调递减；q：函数y=ln（x2+ax+1）的定义域是R．如果p或q为真，p且q为假，求a的取值范围．考点：复合的真假．专题：简易逻辑．分析：首先，判断p和q的真假，然后，结合条件：p或q为真，p且q为假，得到两个中，必有一个为假，一个为真，最后，求解得到结论．解答：解：p：函数f（x）=x2﹣ax﹣1在区间上单调递减，∴，∴a≥2，q：函数y=ln（x2+ax+1）的定义域是R，∴x2+ax+1＞0，∴△=a2﹣4＜0，解得：﹣2＜a＜2；∵p或q为真，p且q为假，∴两个中，必有一个为假，一个为真，当p为真，q为假时，有，解得：a≥2，即a∈17．已知向量，（1）当∥时，求2cos2x﹣sin2x的值；（2）求在上的值域．考点：正弦函数的定义域和值域；三角函数的恒等变换及化简求值．专题：计算题．分析：（1）利用向量平行的坐标运算，同角三角函数间的关系，得到tanx的值，然后化简2cos2x ﹣sin2x即可（2）先表示出在=（sin2x+），再根据x的范围求出函数f（x）的最大值及最小值．解答：解：（1）∵∥，∴，∴，∴．（2）∵，∴，∵，∴，∴，∴，∴函数f（x）的值域为．点评：本题主要考查平面向量的坐标运算．考查平面向量时经常和三角函数放到一起做小综合题．是2015届高考的热点问题．18．2014年国庆长假期间，各旅游景区人数发生“井喷”现象，给旅游区的管理提出了严峻的考验，国庆后，某旅游区管理部门对该区景点进一步改造升级，提高旅游增加值，经过市场调查，旅游增加值y万元与投入x万元之间满足：y=x﹣ax2﹣ln，x∈（1，t]，当x=10时，y=9.2．（1）求y=f（x）的解析式；（2）求旅游增加值y取得最大值时对应的x值．考点：利用导数求闭区间上函数的最值；函数解析式的求解及常用方法．专题：计算题；应用题；导数的综合应用．分析：（1）由题意可知×10﹣a×102﹣ln 1=9.2，从而求出a的值，代入确定f（x）=x﹣﹣ln （x∈（1，t]）；（2）求导，由导数确定函数的单调性，从而求最值．解答：解：（1）∵当x=10时，y=9.2，即×10﹣a×102﹣ln 1=9.2，解得a=．∴f（x）=x﹣﹣ln ．（x∈（1，t]）（2）对f（x）求导得．令f′（x）=0，解得x=50或x=1（舍去）．当x∈（1，50）时，f′（x）＞0，∴f（x）在（1，50）上是增函数；当x∈（50，+∞）时，f′（x）＜0，∴f（x）在（50，+∞）上是减函数．∴当t＞50时，当x∈（1，50）时，f′（x）＞0，f（x）在（1，50）上是增函数；当x∈（50，t]时，f′（x）＜0，f（x）在（50，t]上是减函数．∴当x=50时，y取得最大值；当t≤50时，当x∈（1，t）时，f′（x）＞0，f（x）在（1，t）上是增函数，∴当x=t时，y取得最大值．点评：本题考查了学生将实际问题转化为数学问题的能力及导数的综合应用，同时考查了分类讨论的数学思想，属于难题．19．在ABC中，a，b，c为角A，B，C所对的边，sin2C+sinAsinB=sin2A+sin2B（1）求角C的大小；（2）若c=2，且sinC+sin（B﹣A）=2sin2A，求△ABC的面积．考点：余弦定理的应用；正弦定理．专题：解三角形．分析：（1）原式可化简为a2+b2﹣c2=ab，由余弦定理知cosC==，即可求得C=；（2）化简可得sinBcosA=2sinAcosA，分cosA=0或者cosA≠0讨论，由正弦定理、余弦定理和三角形面积公式即可得解．解答：解（1）已知等式sin2C+sinAsinB=sin2A+sin2B，利用正弦定理化简得：c2+ab=a2+b2，即a2+b2﹣c2=ab，∴cosC==，又0＜C＜π，∴C=；（2）∵sinC+sin（B﹣A）=sin（B+A）+sin（B﹣A）=2sin2A，∴sinBcosA=2sinAcosA，当cosA=0，即A=，此时b=，S△ABC==；当cosA≠0，得到sinB=2sinA，利用正弦定理得：b=2a，由余弦定理知c2=a2+b2﹣2abcosC，代入b=2a，c=2整理可得，即有a=．此时S△ABC==．点评：本题主要考察了正弦定理、余弦定理和三角形面积公式的综合应用，属于中档题．20．已知函数f（x）定义域是{x|x≠，k∈Z，x∈R}，且f（x）+f（2﹣x）=0，f（x+1）=﹣，当＜x＜1时，f（x）=3x．（1）证明：f（x）为奇函数；（2）求f（x）在上的表达式；（3）是否存在正整数k，使得时，log3f（x）＞x2﹣kx﹣2k有解，若存在求出k的值，若不存在说明理由．考点：其他不等式的解法；函数解析式的求解及常用方法；函数奇偶性的判断．专题：函数的性质及应用．分析：（1）由f（x+1）=﹣，可求得f（x）的周期为2，再由f（x）+f（2﹣x）=0可证f（x）+f（﹣x）=0，f（x）为奇函数；（2）﹣1＜x＜﹣时，＜﹣x＜1，利用f（﹣x）=3﹣x及f（x）=﹣f（﹣x），即可求得f（x）在上的表达式；（3）任取x∈（2k+，2k+1），则x﹣2k∈，利用，可得，从而可知不存在这样的k∈N+．解答：（1）证明：f（x+2）=f（x+1+1）=﹣=f（x），所以f（x）的周期为2…由f（x）+f（2﹣x）=0，得f（x）+f（﹣x）=0，所以f（x）为奇函数．…（2）解：﹣1＜x＜﹣时，＜﹣x＜1，则f（﹣x）=3﹣x…因为f（x）=﹣f（﹣x），所以当时，f（x）=3﹣x…（3）解：任取x∈（2k+，2k+1），则x﹣2k∈，所以f（x）=f（x﹣2k）=3x﹣2k…，．∴，∴．所以不存在这样的k∈N+…点评：本题考查函数的周期性与奇偶性的判定，考查函数解析式的求法及解不等式的能力，属于难题．21．已知函数f（x）=ln（x+1）+mx（m∈R）．（Ⅰ）当x=1时，函数f（x）取得极大值，求实数m的值；（Ⅱ）已知结论：若函数f（x）=ln（x+1）+mx（m∈R）在区间（a，b）内存在导数，则存在x0∈（a，b），使得f′（x0）=．试用这个结论证明：若函数g（x）=（x﹣x1）+f（x1），（其中x2＞x1＞﹣1），则对任意x∈（x1，x2），都有f（x）＞g（x）；（Ⅲ）已知正数λ1，λ2满足λ1+λ2=1，求证：对任意的实数x1，x2，若x2＞x1＞﹣1时，都有f（λ1x1+λ2x2）＞λ1f（x1）+λ2f（x2）．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性．专题：导数的综合应用．分析：（Ⅰ）求出原函数的导函数，由f′（1）=0求出m值，再把m值代入原函数，验证原函数在x=1时取得极大值；（Ⅱ）构造辅助函数h（x）=f（x）﹣g（x），求导后得到．由已知函数f（x）在区间（x1，x2）上可导，则存在x0∈（x1，x2）使得．又，则=，然后由x在（x1，x0），（x0，x2）内h′（x）的符号判断其单调性，从而说明对任意x∈（x1，x2），都有f（x）＞g（x）；（Ⅲ）根据已知条件利用作差法得到λ1x1+λ2x2∈（x1，x2），然后结合（Ⅱ）的结论得答案．解答：（Ⅰ）解：由题设，函数的定义域为（﹣1，+∞），且，∵当x=1时，函数f（x）取得极大值，∴f′（1）=0，得，此时，当x∈（﹣1，1）时，f′（x）＞0，函数f（x）在区间（﹣1，1）上单调递增；当x∈（1，+∞）时，f′（x）＜0，函数f（x）在区间（1，+∞）上单调递减．∴函数f（x）在x=1处取得极大值时，；（Ⅱ）证明：令h（x）=f（x）﹣g（x）=f（x）﹣（x﹣x1）﹣f（x1），则．∵函数f（x）在区间（x1，x2）上可导，则根据结论可知：存在x0∈（x1，x2），使得．又，∴=，∴当x∈（x1，x0）时，h′（x）＞0，从而h（x）单调递增，h（x）＞h（x1）=0；当x∈（x0，x2）时，h′（x）＜0，从而h（x）单调递减，h（x）＞h（x2）=0；故对任意x∈（x1，x2），都有f（x）＞g（x）；（Ⅲ）证明：∵λ1+λ2=1，且λ1＞0，λ2＞0，x2＞x1＞﹣1，∴λ1x1+λ2x2﹣x1=x1（λ1﹣1）+λ2x2=λ2（x2﹣x1）＞0，∴λ1x1+λ2x2＞x1，同理λ1x1+λ2x2＜x2，∴λ1x1+λ2x2∈（x1，x2）．由（Ⅱ）知对任意x∈（x1，x2），都有f（x）＞g（x），从而f（λ1x1+λ2x2）＞=λ1f（x1）+λ2f（x2）．点评：本题考查利用导数研究函数的单调性，考查了学生的推理论证能力和逻辑思维能力，构造函数并由函数的导函数的符号判断函数在不同区间上的单调性是解答该题的关键，是难度较大的题目．。

襄阳市优质高中2017届高三联考试题数学（理科）第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.1.已知集合{}{}2|60,|31x A x x x B x =+-<=>，则()R A C B = A.(]3,1- B. ()1,2 C. (]3,0- D.[)1,22.已知1i +是关于x 的方程()220,x px q p q R ++=∈的一个根，则p qi +B. C.3.设向量()(),2,1,1a m b m ==+，且a 与b 的方向相反，则实数m 的值为A. 2-B. 1C. 2-或1D.m 的值不存在 4.下列说法错误的是（ ）A. 若2:,10p x R x x ∃∈-+≥，则2:,10p x R x x ⌝∀∈-+< B. “1sin 2θ=”是"30150"θθ== 或的充分不必要条件 C. 命题“若0a =，则0ab =”的否命题是“若0a ≠，则0ab ≠” D.已知2:,cos 1,:,20p x R x q x R x x ∃∈=∀∈-+>，则()""p q ∧⌝为假命题5.在平面直角坐标系xoy 中，双曲线的中心在原点，焦点在y 轴上，一条渐近线与直线210x y +-=垂直，则双曲线的离心率为26.已知121,,,9a a --成等差数列，1239,,,,1b b b --成等比数列，则()221b a a -的值为A. 8B. 8-C. 8±D.98±7.按如下程序框图，若输出结果为170，则判断框内应补充的条件是A. 5i ≥B. 7i ≥C. 9i ≥D. 11i ≥8.已知某几何体的三视图如图所示（正视图的弧线是半圆），根据图中标出的数据，这个几何体的表面积是A. 36288π+B. 36216π+C. 33288π+D. 33216π+ 9.已知函数()2ln xf x x x=-，则函数()y f x =的大致图象为10.已知1203x dx λ=⎰，在矩形ABCD 中，2,1AB AD ==,点P 为矩形ABCD 内一点，则使得AP AC λ⋅≥的概率为A.18 B. 14 C. 34 D.7811.已知函数()()()()()sin ,0cos ,0x x f x x x αβ+≤⎧⎪=⎨->⎪⎩是偶函数，则下列结论可能成立的是A. ,48ππαβ==B. 2,36ππαβ==C. ,36ππαβ==D. 52,63ππαβ==12.抛物线()220y px p =>的焦点为F,准线为l ，A,B 是抛物线上的两个动点，且满足23AFB π∠=，设线段AB 的中点M 在l 上的投影为N ，则MN AB 的最大值是第Ⅰ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.从某校高三年级随机抽取一个班，对该班50名学生的高校招生体检表中的视力情况进行统计，其频率分布直方图如图所示.若某高校A 专业对视力的要求在0.9以上，则该班学生中能报A 专业的人数为 .14.已知函数()()sin 0,02f x x πωϕωϕ⎛⎫=+><< ⎪⎝⎭的图象经过点10,2⎛⎫⎪⎝⎭，且相邻两条对称轴的距离为2π，则函数()f x 在[]0,π上的单调递减区间为 .15.将三项式()21nx x ++展开，当0,1,2,3,n = 时，得到以下等式：()0211x x ++=()12211x x x x ++=++()2243212321x x x x x x ++=++++()32654321367631xx x x x x x x ++=++++++观察多项式系数之间的关系，可以仿照杨辉三角构造如图所示的广义杨辉三角形，其构造方法为：第0行为1，以下各行每个数是它正头顶上与左右两肩上3个数（不足3个数的，缺少的数记为0）的和，第k 行共有21k +个数，若()()5211x x ax +++在的展开式中，7x项的系数为75，则实数a 的值为 .16.若11a =，对任意的n N *∈，都有0n a >，且()22112120n n n n na n a a a ++---=.设()M x 表示整数x 的个位数字，则()2017M a = .三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程. 17.（本题满分12分）在ABC ∆中，角,,A B C 的的对边分别为,,a b c （1）若,,a b c 成等比数列，12cos 13B =，求cos cos sin sin A C A C+的值； （2）若,,A B C 成等差数列，且2b =，设A α=，ABC ∆的周长为l ，求()l f α=的最大值.18.（本题满分12分）近年来我国电子商务行业迎来蓬勃发展新机遇，2016年双11期间，某网络购物平台推销了A,B,C 三种商品，某网购者决定抢购这三种商品，假设该名网购者都参与了A,B,C 三种商品的抢购，抢购成功与否相互独立，且不重复抢购同一种商品，对A,B,C三件商品抢购成功的概率分别为()1,,4a b a b >，已知三件商品都被抢购成功的概率为124，至少有一件商品被抢购成功的概率为34.（1）求,a b 的值；（2）若购物平台准备对抢购成功的A,B,C 三件商品进行优惠减免，A 商品抢购成功减免2百元，B 商品抢购成功减免4比百元，C 商品抢购成功减免6百元.求该名网购者获得减免总金额（单位：百元）的分别列和数学期望.19.（本题满分12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，1//,90,.2AD BC ADC PAB BC CD AD ∠=∠===E 为棱AD 的中点，异面直线PA 与CD 所成的角为90 .（1）在平面PAB 内找一点M ，使得直线//CM 平面PBE ，并说明理由； （2）若二面角P CD A --的大小为45 ，求二面角P CE B --的余弦值.20.（本题满分12分）已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的一个焦点为()3,0F ，其左顶点A 在圆22:12O x y +=上. （1）求椭圆C 的方程；（2）直线():30l x my m =+≠交椭圆C 于,M N 两点，设点N 关于x 轴的对称点为1N（点1N 与点M 不重合），且直线1N M 与x 轴的交于点P ，试问PMN ∆的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由.21.（本题满分12分）已知函数()()()()22ln ,.g x a x a R f x x g x x=-∈=+ （1）试判断()g x 的单调性；（2）若()f x 在区间()0,1上有极值，求实数a 的取值范围；（3）当0a >时，若()f x 有唯一的零点0x ，试求[]0x 的值.（注：[]x 为取整函数，表示不超过x 的最大整数，如[][][]0.30,2.62, 1.42==-=-；以下数据供参考：ln 20.6931,ln 3 1.099,ln 5 1.609,ln 7 1.946====）请考试在第（22）、（23）两题中任选一题作答，如果多选，则按所做的第一题记分. 22.（本题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xoy 中，直线的参数方程为1cos sin x t t t αα=+⎧⎨=⎩（t 为参数），以原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为.4πρθ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭（1）求曲线C 的直角坐标方程，并指出其表示何种曲线；（2）设直线l 与曲线C 交于,A B 两点，若点P 的直角坐标为()1,0，试求当4πα=时，PA PB +的值.22.（本题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知函数() 1.f x x x =++（1） 若x R ∀∈，恒有()f x λ≥成立，求实数λ的取值范围；（2） 若m R ∃∈，使得()220m m f t ++=成立，试求实数t 的取值范围.襄阳市优质高中2017届高三联考试题数学（理科）（参考答案）13、20 14、[,]6315、1 16、6 17、解：（Ⅰ）135sin ,1312cos =∴=B B 由c b a ,,成等比数列，得ac b =2． …………………………………2分 又由正弦定理，得C A B sin sin sin 2=C A A C C A A C A C C C A A sin sin )sin(sin sin sin cos cos sin sin cos sin cos +=+=+∴B B2sin sin =………………4分 513sin 1==B ………………６分 （Ⅱ）由角C B A ,,成等差数列，得3π=B ．又2=b ，由正弦定理C c B b A a sin sin sin ==，及αππα-=+-==32)(,B A C A 得)32sin(3sin 2sin αππα-==c a∴)32sin(34,sin 34απα-==c a ………………８分 ∴ABC ∆周长)32sin(342sin 34)(απαα-++=++==c b a f l 2)sin 21cos 23(sin 34+++=ααα 2)cos 23sin 23(34++=αα 2)cos 21sin 23(334++=αα2)6sin(4++=πα ………………10分∵320πα<< ∴当26ππα=+即3πα=时624)3(max =+==πf l所以ABC ∆周长)(αf l =的最大值为6． ………………１２分18、解：（Ⅰ）由题意，得⎪⎩⎪⎨⎧=----=43)1)(411)(1(124141b a ab ，因为b a >，解得⎪⎩⎪⎨⎧==3121b a ． …………………4分 （Ⅱ）由题意，令网购者获得减免的总金额为随机变量X （单位：百元）， 则X 的值可以为0，2，4，6，8，10，12． …………………5分 而41433221)0(=⨯⨯==X P ；41433221)2(=⨯⨯==X P ； 81433121)4(=⨯⨯==X P ；245433121413221)6(=⨯⨯+⨯⨯==X P ； 121413221)8(=⨯⨯==X P ；241413121)10(=⨯⨯==X P ； 241413121)12(=⨯⨯==X P ． …………………9分 所以X 的分布列为：于是有623241122411012182456814412410)(=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=X E …12分 19、解：（I ）延长AB 交直线CD 于点M ， ∵点E 为AD 的中点，∴AD ED AE 21==， ∵AD CD BC 21==，∴BC ED =， ∵AD ∥BC ，即ED ∥BC ．∴四边形BCDE 为平行四边形，即EB ∥CD ． ∵M CD AB =⋂，∴CD M ∈，∴CM ∥BE ，∵⊂BE 平面PBE ，CM ⊄PBE ∴CM ∥平面PBE ， …………4分 ∵AB M ∈，⊂AB 平面PAB ，∴∈M 平面PAB ，故在平面PAB 内可以找到一点)(CD AB M M ⋂=，使得直线CM ∥平面PBE ………………………6分（II ）法一、如图所示，∵︒=∠=∠90PAB ADC ，异面直线PA 与CD 所成的角为90︒，即AP ⊥CD 又M CD AB =⋂，∴AP ⊥平面ABCD ． 又90ADC ∠=︒即CD ⊥AD ∴CD ⊥平面PAD ∴CD ⊥PD ．因此PDA ∠是二面角A CD P --的平面角，其大小为45︒．∴AD PA =． ……………………8分 建立如图所示的空间直角坐标系，不妨设2=AD ，则121===AD CD BC ． ∴)2,0,0(P ，)0,1,0(E ，)0,2,1(-C ，)0,1,1(-B∴(1,1,0)EC =- ，PE (0,1,2)=-，(0,0,2)AP =，易知平面BCE 的法向量为1(0,0,2)n AP ==设平面PCE 的法向量为2(,,)n x y z = ，则220n PE n EC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ，可得：⎩⎨⎧=+-=-002y x z y ． 令2=y ，则1,2==z x ，∴2(2,2,1)n =． …………………………10分设二面角B CE P --的平面角为，则12cos |cos ,|n n θ=<> =1212||||||n n n n ⋅=⋅13=． ∴ 二面角B CE P --的余弦值为31． ………………１２分 法二、同法一可得AP ⊥平面ABCD ， AD PA = 过A 点作AH CE ⊥交CE 的延长线于H ，连接PH ∵AP ⊥平面ABCD CE ⊂平面ABCD∴AP CE ⊥ 又AH CE ⊥，∴CE ⊥平面PAH∴CE PH ⊥∴PHA ∠即为二面角B CE P --的平面角．……………10分 在Rt PAH ∆中1cos 45o AH =⨯=2PA =∴PH ==∴1cos 3PHA ∠==∴ 二面角B CE P --的余弦值为31． ………………１２分 20、解：（Ⅰ ）∵椭圆C 的左顶点A 在圆2212x y +=上，∴32=a又∵椭圆的一个焦点为)0,3(F ，∴3=c ∴3222=-=c a b∴椭圆C 的方程为131222=+y x ………………４分（Ⅱ ）设),(),,(2211y x N y x M ，则直线与椭圆C 方程联立223,1,123x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩化简并整理得036)4(22=-++my y m ，∴12264m y y m +=-+，12234y y m =-+ ………………５分 由题设知),(221y x N - ∴直线NM 的方程为)(121211x x x x y y y y --+=- 令0=y 得211221211*********)3()3()(y y y my y my y y y x y x y y x x y x x ++++=++=+--=43464622=++-+-=m m m m∴点)0,4(P ………………７分 21221214)(121||||21y y y y y y PF S PMN -+⨯⨯=-⋅=∆222222)4(132)43(4)46(21++=+--+-=m m m m m ………………９分 166132619)1(213261911322222=+=+++≤++++=m m m m（当且仅当19122+=+m m 即2±=m 时等号成立） ∴PMN ∆的面积存在最大值，最大值为1. ………………１２分21、解：（Ⅰ）)0(ln 2)(>-=x x a x x g ，2222)(x ax x a x x g +-=--=' ①当0≥a 时，0)(<'x g ，∴函数)(x g 在区间),0(+∞上单调递减；②当0<a 时，由0)(='x g ，解得ax 2-= 当)2,0(ax -∈时，0)(<'x g ，此时函数g （x ）单调递减；当),2(+∞-∈a x 时，0)(>'x g ，此时函数)(x g 单调递增． ………………３分（Ⅱ）)()(2x g x x f +=，其定义域为),0(+∞． 2322)(2)(xax x x g x x f --='+='， ………………４分 令),0(,22)(3+∞∈--=x ax x x h ，a x x h -='26)(，当0<a 时，0)(>'x h 恒成立，∴)(x h 在),0(+∞上为增函数，又0)1(,02)0(>-=<-=a h h ，∴函数)(x h 在)1,0(内至少存在一个变号零点0x ，且0x 也是)(x f '的变号零点，此时)(x f 在区间)1,0(内有极值． ………………５分当0≥a 时，0)1(2)(3<--=ax x x h ，即)1,0(∈x 时，0)(<'x f 恒成立， ∴函数)(x f 在)1,0(单调递减，此时函数)(x f 无极值 …………………6分 综上可得：)(x f 在区间)1,0(内有极值时实数的取值范围是)0,(-∞ ……７分（Ⅲ）∵0>a 时，函数)(x f 的定义域为),0(+∞由（Ⅱ）可知：3)1(=f 知)1,0(∈x 时，0)(>x f ，∴10>x ．又)(x f 在区间),1(+∞上只有一个极小值点记为1x ，且),1(1x x ∈时，0)(<'x f ，函数)(x f 单调递减，),(1+∞∈x x 时，0)(>'x f ，函数)(x f 单调递增，由题意可知：1x 即为0x ． …………………………９分∴⎩⎨⎧='=0)(0)(00x f x f ，∴⎪⎩⎪⎨⎧=--=-+0220ln 20300020ax x x a x x 消去可得：131ln 2300-+=x x ， 即0)131(ln 2300=-+-x x 令)1(131ln 2)(3>---=x x x x t ，则)(x t 在区间),1(+∞上单调递增 又∵035173110727316973.0212312ln 2)2(3<-=--⨯<--⨯=---=t 026232631122631099.1213313ln 2)3(3>=--⨯>--⨯=---=t 由零点存在性定理知 0)3(,0)2(><t t∴320<<x ∴2][0=x ． ………………１２分22、解：（Ⅰ）曲线2C ：)4cos(22πθρ+=，可以化为)4cos(222πθρρ+=，θρθρρsin 2cos 22-=，因此，曲线C 的直角坐标方程为02222=+-+y x y x ………………４分它表示以)1,1(-为圆心、2为半径的圆． ………………５分 （Ⅱ）法一：当4πα=时，直线的参数方程为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=t y t x 22221(为参数) 点P )0,1(在直线上，且在圆C 内，把⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=t y t x 22221 代入02222=+-+y x y x中得210t -= ………………6分设两个实数根为21,t t ，则B A ,两点所对应的参数为21,t t ，则12t t +=，121-=t t ………………8分 64)(||||||2122121=-+=-=+∴t t t t t t PB PA ………………１０分法二：由（Ⅰ）知圆的标准方程为2)1()1(22=++-y x即圆心C 的坐标为)1,1(-半径为2，点P )0,1(在直线01:=-+y x l 上，且在圆C 内 ||||||AB PB PA =+∴ ………………6分圆心C 到直线的距离2211|1)1(1|22=+--+=d ………………8分 所以弦||AB 的长满足621222||22=-=-=d r AB 6||||=+∴PB PA ………………１０分23、解：（Ⅰ）由1|)1(||1|||)(=+-≥++=x x x x x f 知，1)(min =x f欲使R x ∈∀，恒有λ≥)(x f 成立，则需满足min )(x f ≤λ……………4分所以实数λ的取值范围为]1,(-∞ ………………５分（Ⅱ）由题意得)0()01()1(12112|1|||)(>≤≤--<⎪⎩⎪⎨⎧+--=++=t t t t t t t t f ……………6分,R m ∈∃使得0)(22=++t f m m 成立即有0)(44≥-=∆t f 1)(≤∴t f ……………8分又1)(≤t f 可等价转化为⎩⎨⎧≤---<1121t t 或⎩⎨⎧≤≤≤-1101t 或⎩⎨⎧≤+>1120t t所以实数的取值范围为]0,1[- ……………１０分。

2017-2018学年湖北省襄阳市四校（襄州一中、枣阳一中、一中、曾都一中）联考高三（上）期中数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）命题“∃x0≤0，使得”的否定是（）A．∀x＞0，x2＜0 B．C．∀x≤0，x2＜0 D．2．（5分）设命题p：∃m∈R，使是幂函数，且在（0，+∞）上单调递减；命题q：∀x∈（2，+∞），x2＞2x，则下列命题为真的是（）A．p∧（¬q）B．（¬p）∧q C．p∧q D．（¬p）∨q3．（5分）下列函数中，既是偶函数，又在（0，+∞）上单调递增的是（）A．y=ln|x﹣1|B．y=x2﹣|x|C． D．y=e x+e﹣x4．（5分）函数y=a x（a＞0且a≠1）与函数y=（a﹣1）x2﹣2x﹣1在同一坐标系内的图象可能是（）A．B．C．D．5．（5分）已知函数f（x）=f'（1）x2+x+2，则（）A．B．C．D．6．（5分）等差数列{a n}中，已知|a7|=|a12|且公差d＞0，则其前n项的和S n取得最小值时n的值为（）A．7 B．8 C．9 D．107．（5分）已知g（x）=[x]，其中[x]表示不超过实数x的最大整数，x0是函数的零点，则g（x0）等于（）A．1 B．2 C．3 D．48．（5分）点G为△ABC的重心（三边中线的交点）．设，则等于（）A． B．C．D．9．（5分）“a=2”是“∀∈（0，+∞），ax+”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件10．（5分）已知函数的部分图象如图所示，f（x）的图象与x轴切于N点，则下列选项判断错误的是（）A．B．C．D．|MN|=π11．（5分）设f（x）=|ax+b|+|cx+d|（x∈R），g（x）=|ax+b|﹣|cx+d|（x∈R）且都满足，则下列说法错误的是（）A．f（x）有最小值而无最大值B．当|a|＞|c|时，g（x）有最小值而无最大值C．当|a|＜|c|时，g（x）有最小值而无最大值D．当|a|=|c|时，g（x）既有最小值又有最大值12．（5分）如图，直线y=ax+2与曲线y=f（x）交于A、B两点，其中A是切点，记h（x）=，g（x）=f（x）﹣ax，则下列判断正确的是（）A．h（x）只有一个极值点B．h（x）有两个极值点，且极小值点小于极大值点C．g（x）的极小值点小于极大值点，且极小值为﹣2D．g（x）的极小值点大于极大值点，且极大值为2二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）已知集合A={1，2a}，B={a，b}，若A∩B={}，则A∪B=．14．（5分）已知向量，且，则=．15．（5分）若函数在区间（﹣2，2）上有两个零点，则实数a的取值范围为．16．（5分）在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，若，且a=2，则△ABC的面积的最大值为．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（10分）已知命题P：函数的定义域为R；命题q：∃x ∈R，使不等式a＞e2x﹣e x成立；命题“p∨q”为真命题，“p∧q”为假命题，求实数a的取值范围．18．（12分）已知等差数列{a n}的前n项和为S n，其中a2=﹣2，S6=6．（1）求数列{a n}的通项；（2）求数列{|a n|}的前n项和为T n．19．（12分）设函数．（1）求函数f（x）的最小正周期和单调递增区间；（2）若f（α）=﹣1，且，求的值．20．（12分）已知函数f（x）=a（x+lnx）（a＞0），g（x）=x2．（1）若f（x）的图象在x=1处的切线恰好也是g（x）图象的切线．求实数a的值；（2）对于区间[1，2]上的任意两个不相等的实数x1，x2且x1＜x2，都有f（x2）﹣f（x1）＜g（x2）﹣g（x1）成立．试求实数a的取值范围．21．（12分）在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，，且．（1）试判断△ABC的形状；（2）若，求的取值范围．22．（12分）设f（x）=e x（e x﹣ax﹣1）且f（x）≥0恒成立．（1）求实数a的值；（2）证明：f（x）存在唯一的极大值点x0，且．2017-2018学年湖北省襄阳市四校（襄州一中、枣阳一中、一中、曾都一中）联考高三（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）命题“∃x0≤0，使得”的否定是（）A．∀x＞0，x2＜0 B．C．∀x≤0，x2＜0 D．【解答】解：∵命题“∃x0≤0，使得”是一个特称命题∴命题“∃x0≤0，使得”的否定是“∀x≤0，x2＜0”故选C．2．（5分）设命题p：∃m∈R，使是幂函数，且在（0，+∞）上单调递减；命题q：∀x∈（2，+∞），x2＞2x，则下列命题为真的是（）A．p∧（¬q）B．（¬p）∧q C．p∧q D．（¬p）∨q【解答】解：由m﹣1=1，解得：m=2，故f（x）=，在（0，+∞）上单调递减；故命题p是真命题；令x=4，则x2=2x；故命题q是假命题；故p∧（￢q）是真命题，故选：A．3．（5分）下列函数中，既是偶函数，又在（0，+∞）上单调递增的是（）A．y=ln|x﹣1|B．y=x2﹣|x|C． D．y=e x+e﹣x【解答】解：函数y=ln|x﹣1|是非奇非偶函数，不满足条件；函数y=x2﹣|x|是偶函数，在（0，]是单调递减，在[，+∞）上单调递增，不满足条件；函数是偶函数，在（0，+∞）上，≥0不恒成立，故不满足条件；函数y=e x+e﹣x是偶函数，在（0，+∞）上单调递增，满足条件，故选：D4．（5分）函数y=a x（a＞0且a≠1）与函数y=（a﹣1）x2﹣2x﹣1在同一坐标系内的图象可能是（）A．B．C．D．【解答】解：若0＜a＜1，则指数函数y=a x是减函数，二次函数y=（a﹣1）x2﹣2x﹣1开口向下，对称轴为x=＜0，排除D；若a＞1，则指数函数y=a x是增函数，二次函数y=（a﹣1）x2﹣2x﹣1开口向上，对称轴为x=＞0，排除B；又二次函数y=（a﹣1）x2﹣2x﹣1与y轴交点为（0，﹣1），排除A；故选C．5．（5分）已知函数f（x）=f'（1）x2+x+2，则（）A．B．C．D．【解答】解：∵f（x）=f'（1）x2+x+2，∴f′（x）=2f'（1）x+1，∴f′（1）=2f'（1）+1，∴f′（1）=﹣1，∴f（x）=﹣x2+x+2，∴=═（﹣x3+x2+2x）=，故选B．6．（5分）等差数列{a n}中，已知|a7|=|a12|且公差d＞0，则其前n项的和S n取得最小值时n的值为（）A．7 B．8 C．9 D．10【解答】解：∵等差数列{a n}中，|a7|=|a12|且公差d＞0，∴|a1+6d|=|a1+12d|，∴a1=﹣9d＜0，∴S n=na1+==（n﹣）2﹣．∴其前n项的和S n取得最小值时n的值为9．故选：C．7．（5分）已知g（x）=[x]，其中[x]表示不超过实数x的最大整数，x0是函数的零点，则g（x0）等于（）A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解；f（2）=ln2﹣1＜0，f（3）=ln3﹣＞0，则x0是（2，3）上的一个值，∴g（x0）=[x0]=2故选B．8．（5分）点G为△ABC的重心（三边中线的交点）．设，则等于（）A． B．C．D．【解答】解：如图所示：点G为△ABC的重心（三边中线的交点）．则：，设，则：，，=．故选：B．，9．（5分）“a=2”是“∀∈（0，+∞），ax+”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：“∀∈（0，+∞），ax+”⇔“∀∈（0，+∞），a≥”⇔“a≥2”，故“a=2”是“∀∈（0，+∞），ax+”的充分不必要条件，故选：A10．（5分）已知函数的部分图象如图所示，f（x）的图象与x轴切于N点，则下列选项判断错误的是（）A．B．C．D．|MN|=π【解答】解：由函数的部分图象知，1+ω=2，解得ω=1，∴f（x）=cos（x﹣）+1；当x=时，f（x）=2，为最大值，∴f（x）的图象关于直线x=对称，有f（﹣x）=f（+x），∴A正确；由于f（x）+f（﹣x）=cos（x﹣）+1+[cos（﹣x﹣）+1]=2+cos（x﹣）+sinx=2+cosx+sinx=2+sin（x+）≠2，∴B错误；由于f（）=cos（﹣）+1=cos+1=1，∴C正确；由于|MN|=T=×2π=π，∴D正确．故选：B．11．（5分）设f（x）=|ax+b|+|cx+d|（x∈R），g（x）=|ax+b|﹣|cx+d|（x∈R）且都满足，则下列说法错误的是（）A．f（x）有最小值而无最大值B．当|a|＞|c|时，g（x）有最小值而无最大值C．当|a|＜|c|时，g（x）有最小值而无最大值D．当|a|=|c|时，g（x）既有最小值又有最大值【解答】解：∵f（x）=|ax+b|+|cx+d|（x∈R），g（x）=|ax+b|﹣|cx+d|（x∈R）且都满足，不妨令a，b均为正，则由ax+b=0得：x=﹣，由cx+d=0得：x=﹣，则当x=﹣，或x=﹣时，函数f（x）有最小值而无最大值，故A正确；当|a|＞|c|时，g（x）有最小值而无最大值，故B正确；当|a|＜|c|时，g（x）有最大值而无最小值，故C错误；当|a|=|c|时，g（x）既有最小值又有最大值，故D正确；故选：C．12．（5分）如图，直线y=ax+2与曲线y=f（x）交于A、B两点，其中A是切点，记h（x）=，g（x）=f（x）﹣ax，则下列判断正确的是（）A．h（x）只有一个极值点B．h（x）有两个极值点，且极小值点小于极大值点C．g（x）的极小值点小于极大值点，且极小值为﹣2D．g（x）的极小值点大于极大值点，且极大值为2【解答】解：∵直线y=ax+2与曲线y=f（x）交于A、B两点，∴ax+2=f（x）有两个解，设f（x）的极大值点为m，∴f′（m）=a，x＜m，f′（x）＞a，x＞m，f′（x）＜a．g（x）=f（x）﹣ax，g′（x）=f′（x）﹣a，∴g′（m）=f′（m）﹣m，∴g′（m）=0，x＞m，g′（x）＜0，x＜m，g′（x）＞0，∴x=m是函数的极大值点，且g（m）=f（m）﹣am=2，同理g（x）有极小值，故选：D．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）已知集合A={1，2a}，B={a，b}，若A∩B={}，则A∪B={﹣1，，1} ．【解答】解：由A∩B={}得，2a=⇒a=﹣1，b=，∴A={1，}，B={﹣1，}，∴A∪B={1，﹣1，}故答案为：{﹣1，，1}．14．（5分）已知向量，且，则．【解答】解：向量，且，∴6m=﹣2×3，解得m=﹣1，∴﹣=（6，﹣2）﹣（3，﹣1）=（3，﹣1），∴|﹣|=，故答案为：．15．（5分）若函数在区间（﹣2，2）上有两个零点，则实数a的取值范围为[0，1+ln2）．【解答】解：当x≤0时，y=x2﹣a≥﹣a，函数是减函数，x＞0时，y=x﹣a+lnx是增函数，函数在区间（﹣2，2）上有两个零点，可知分段函数，两个区间各有一个零点，可得，解得a∈[0，1+ln2）．故答案为：[0，1+ln2）．16．（5分）在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，若，且a=2，则△ABC的面积的最大值为+1．【解答】解：△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，若，利用正弦定理：，即：，所以：，且a=2．则：sinA=cosA．解得：A=．利用余弦定理：a2=b2+c2﹣2bccosA，，整理得：bc，=，故三角形面积的最大值为：．故答案为：三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（10分）已知命题P：函数的定义域为R；命题q：∃x ∈R，使不等式a＞e2x﹣e x成立；命题“p∨q”为真命题，“p∧q”为假命题，求实数a的取值范围．【解答】解：若命题p为真命题，则在x∈R恒成立，当a=0时显然不成立，当a≠0时，；若命题q为真命题，则，由命题“p∨q”为真命题，“p∧q”为假命题知p，q一真一假，若p真q假，则，无解，若p假q真，则，综上所述，．18．（12分）已知等差数列{a n}的前n项和为S n，其中a2=﹣2，S6=6．（1）求数列{a n}的通项；（2）求数列{|a n|}的前n项和为T n．【解答】解：（1）设等差数列{a n}的首项为a1，公差为d，由已知得：，∴a n=﹣4+（n﹣1）×2=2n﹣6；（2），当n＜3时，a n＜0，此时，当n≥3时，a n≥0，此时T n=﹣a1﹣a2+a3+a4+…+a n=，综上：．19．（12分）设函数．（1）求函数f（x）的最小正周期和单调递增区间；（2）若f（α）=﹣1，且，求的值．【解答】解：（1）∵，∴f（x）的最小正周期为．由，得，k∈Z．∴f（x）的单调递增区间为；（2）由，得，∵，∴，∴．∴==．20．（12分）已知函数f（x）=a（x+lnx）（a＞0），g（x）=x2．（1）若f（x）的图象在x=1处的切线恰好也是g（x）图象的切线．求实数a的值；（2）对于区间[1，2]上的任意两个不相等的实数x1，x2且x1＜x2，都有f（x2）﹣f（x1）＜g（x2）﹣g（x1）成立．试求实数a的取值范围．【解答】解：（1）函数f（x）=a（x+lnx）（a＞0），，∴x=1，f'（1）=2a，切点为（1，a），∴切线方程为y﹣a=2a（x﹣1），即y=2ax﹣a，又联立，消去y，可得x2﹣2ax+a=0，△=4a2﹣4a=0，∴a=1；（2）由条件可知：f（x2）﹣g（x2）＜f（x1）﹣g（x1）（x1＜x2），设F（x）=f（x）﹣g（x），即F（x）=a（x+lnx）﹣x2，∴F（x）在[1，2]上单调递减，∴在[1，2]上恒成立，即在[1，2]上恒成立，∵，∴a≤1，又由条件知a＞0，0＜a≤1从而即为所求．21．（12分）在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，，且．（1）试判断△ABC的形状；（2）若，求的取值范围．【解答】解：（1）由条件及正弦定理，得：（sinC﹣sin2A）sinB=（sinC﹣sinB）sin2A，即sinCsinB﹣sin2AsinB=sinCsin2A﹣sinBsin2A，∴sinCsinB=sinCsin2A，又sinC≠0，∴sinB=sin2A，∴B=2A，或B+2A=π，①当B=2A时，∵，∴B+A=3A＞π导出矛盾，则B=2A应舍去．②当B+2A=π时，又A+B+C=π，∴A=C合理，综上判断△ABC为等腰三角形；（2）在等腰△ABC中，取AC的中点D，由得|BD|=3，又由（1）知，则=．22．（12分）设f（x）=e x（e x﹣ax﹣1）且f（x）≥0恒成立．（1）求实数a的值；（2）证明：f（x）存在唯一的极大值点x0，且．【解答】（1）解：f（x）=e x（e x﹣ax﹣1）≥0，因为e x＞0，所以e x﹣ax﹣1≥0恒成立，令φ（x）=e x﹣ax﹣1，x∈R，问题等价φ（x）≥0恒成立，∴φ'（x）=e x﹣a，当a≤0时，φ（x）在x∈R单调递增，又φ（0）=0当x∈（﹣∞，0）时，φ（x）＜0矛盾，当a＞0时，φ（x）在（﹣∞，lna）单调递减，在（lna，+∞）单调递增，∴φ（x）≥0恒成立，等价为φ（lna）=e lna﹣alna﹣1≥0，即a﹣alna﹣1≥0，又令g（a）=a﹣alna﹣1，（a＞0），g'（a）=1﹣lna﹣1=﹣lna，∴g（a）在（0，1）单调递增，在（1，+∞）单调递减，而g（1）=0，所以不等式a﹣alna﹣1≥0的解为a=1，综上a=1．（2）证明：f'（x）=e x（2e x﹣x﹣2），令h（x）=2e x﹣x﹣2，h'（x）=2e x﹣1，所以h（x）在单调递减，在单调递增，∵由零点存在定理及h（x）的单调性知，方程h（x）=0在有唯一根，设为x0且，从而h（x）有两个零点x0和0，所以f（x）在（﹣∞，x0）单调递增，在（x0，0）单调递减，在（0，+∞）单调递增，从而f（x）存在唯一的极大值点x0即证，由得，∴取等不成立，所以得证，又∵在（﹣∞，x0）单调递增所以得证，从而且成立．。

2017届湖北襄阳市四校高三上学期期中联考数学（理）试卷考试范围：xxx ；考试时间：100分钟；命题人：xxx注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上1．设A ={}2430x x x -+≤，B ={}230x x -<，则图中阴影部分表示的集合为（ ）A ．3(3,)2--B ．3(3,)2- C ．3[1,)2 D ．3(,3)22．已知110x <<，()()22lg ,lg lg ,lg a x b x c x ===，那么有（ ）A ．c a b >>B ．c b a >>C ．a c b >>D ．a b c >>3．平面向量,a b满足()3a a b ⋅+= ，2a = ，1b = ，则向量a 与b 夹角的余弦值为（ ） A.21 B. 21- C. 23-D. 234．角α的终边在第一象限，则sin cos 22sincos22αααα+的取值集合为( ) A ．{}2,2- B ．{}0,2 C ．{}2 D ．{}0,2,2-5．设函数()()()ln 2ln 2f x x x =++-，则()x f 是（ ） A. 奇函数，且在()0,2上是增函数 B. 奇函数，且在()0,2上是减函数 C. 偶函数，且在()0,2上是增函数D. 偶函数，且在()0,2上是减函数6．先将函数2sin y x =的图像纵坐标不变，横坐标压缩为原来一半，再将得到的图像向左平移12π个单位，则所得图像的对称轴可以为（ ）A ．12x π=-B ．1112x π=C ．6x π=-D ．6x π=7．下列命题的叙述:①若:p 20,10x x x ∀>-+>，则:p ⌝20000,10x x x ∃≤-+≤； ②三角形三边的比是3:5:7，则最大内角为23π；③若a b b c ⋅=⋅ ，则a c = ；④22ac bc <是a b <的充分不必要条件，其中真命题的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4 8．已知函数()ln ||f x x x =-，则()f x 的图象大致为（ ）9．θ为锐角，sin 410πθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则1tan tan θθ+=（ ） A ．2512 B ．724 C ．247 D ．122510．已知函数()f x 的定义域为R .当0x <时，5()1f x x =- ；当11x -≤≤ 时，()()f x f x -=-；当0x >时，()()1f x f x += ，则()2016f =（ ）A ．-2B ．-1C ．0D ．211．在ABC ∆中，,,a b c 分别为内角,,A B C 所对的边，若3a A π==，则b c +的最大值为( )A ．4B ．C ．．212．奇函数()f x 定义域为()(),00,ππ- ，其导函数是()'f x .当0x π<<时，有()()'sin cos 0f x x f x x -<，则关于x 的不等式()sin 4f x f x π⎛⎫< ⎪⎝⎭的解集为（ ） A ．,4ππ⎛⎫⎪⎝⎭ B ．,,44ππππ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．,00,44ππ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D ．,0,44πππ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭13．已知(3,4)a =-，(2,)b t = ，向量b 在a 方向上的投影为3-，则t = .14．已知函数()()222,1log 1,1x x f x x x ⎧-≤⎪=⎨-+>⎪⎩，且()3-=a f ，则()6f a -= .15．若点P 是曲线2ln y x x =-上任意一点，则点P 到直线4y x =-的最小距离为_______. 16．若函数321()3x b c f ax x x +++=有极值点12,x x ()12x x <，()11f x x =，则关于x 的方程 ()2f x ⎡⎤⎣⎦+()20af x b +=的不同实数根的个数是 .17．设:p 实数x 满足：03422<+-a ax x （0>a ），:q 实数x 满足：121-⎪⎭⎫ ⎝⎛=m x ，()2,1∈m（Ⅰ）若41=a ，且q p ∧为真，求实数x 的取值范围； （Ⅱ）q 是p 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围.18．已知向量cos ,12x m ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，2,cos 22x x n ⎫=⎪⎭ ，函数()1f x m n =⋅+（Ⅰ）若,2x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，求()x f 的最小值及对应的x 的值； （Ⅱ）若⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2,0πx ，()1011=x f ，求sin x 的值. 19．已知22()()1x a f x x bx -=++是奇函数．（Ⅰ）求()f x 的单调区间；（Ⅱ）关于x 的不等式21m -＞()f x 有解，求m 的取值范围.120/km h 60/km h 0.9()()1005313v t t t =-+:t ()v tw 240250v w =+():/v km h S S v /km h 21．ABC ∆中，角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，43π=A ，1010sin =B ，D 为BC 边中点，1=AD ．（Ⅰ）求cb的值； （Ⅱ）求ABC ∆的面积.22．已知函数21()(1)2xf x x e ax =--()a R ∈ （Ⅰ） 当1a ≤时，求()f x 的单调区间；（Ⅱ）当(0,+)x ∈∞时，()y f x '=的图象恒在32(1)y ax x a x =+--的图象上方，求a 的取值范围.参考答案1．C 【解析】试题分析：由题意，得{|13}A x x =≤≤，3{|}2B x x =<，又图图中阴影部分表示的集合为A B ＝3{|1}2B x x =≤<，故选C ． 考点：1、不等式的解法；2、集合的交集运算． 2．C 【解析】试题分析：因为110x <<，所以0lg 1x <<，所以lg(lg )0b x =<，20(lg )1c x <=<．因为c a -＝2222(lg )lg (lg )2lg (lg 1)10x x x x x -=-=--<，所以c a <，所以a c b >>，故选C ．考点：1、对数的图象与性质；2、对数的运算． 3．B 【解析】试题分析：22()cos ,42cos ,3a a b a a b a a b a b a b ⋅+=+⋅=+⋅<>=+<>=，所以1cos ,2a b <>=- ，故选B ．考点：向量的数量积． 4．A 【解析】试题分析：因为角α的终边在第一象限，所以角2α的终边在第一象限或第三象限，所以sin2|sin |2αα＋cos22|cos |2αα=±，故选A ． 考点：任意角的三角函数．5．D 【解析】试题分析：因为()ln(2)ln(2)(f x x x f x -=-++=，所以函数()f x 是偶函数，又()ln(2)f x x =+＋ln(2)x -＝2ln[(2)(2)]ln(4)x x x +-=-在()0,2上是减函数，故选D ．考点：1、函数的奇偶性；2、函数的单调性．6．D 【解析】试题分析：将函数2sin y x =的图像纵坐标不变，横坐标压缩为原来一半得2sin 2y x =，再向左平移12π个单位得2sin 2()2sin(2)126y x x ππ=+=+，令262x k ππ+=π+，即26k x ππ=+()k Z ∈，当0k =时，6x π=，故选D ．考点：1、三角函数图象的平移伸缩变换；2、正弦函数的图象． 7．B 【解析】试题分析：①中p ⌝为20000,10x x x ∃>-+≤，故①错；②中，设三角形的最大值内角为A ，三边分别为3,5,7x x x ，则有222(3)(5)(7)1cos 2352x x x A x x +-==-⋅⋅，所以3A 2π=，故②正确；③中，由向量的数量积公式知③错；④中，由22ac bc <，知0c ≠，所以a b <，而当0c =时，不能由a b <⇒22ac bc <，所以22ac bc <是a b <的充分不必要条件，故④正确，故选B ．考点：1、命题真假的判定；2、全称命题的否定；3、余弦定理；4、不等式的性质． 8．A 【解析】试题分析：因为0x <时()()ln f x x x =--，()f x 在(0,)+∞上递增，0x >时，()l n f x x x =-，1'()1f x x=-，可得()f x 在(0,1)上递减，在(1,)+∞上递增，所以只有选项A 合题意，故选A ．考点：1、函数的图象；2、利用导数研究函数的单调性．【技巧点睛】排除、筛选错误与正确的选项,可以从如下几个方面入手：(1)从函数的定义域与值域(或有界性)；(2)从函数的单调性,判断图象的升降变化趋势；(3)从函数的奇偶性，奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y 轴对称，在对称的区间上单调性相反． 9．A 【解析】试题分析：因为θ为锐角，且sin()410θπ-=所以(0,)42θππ-∈，所以cos()4θπ-=，所以1t a n()47θπ-=，即t a n t a n 1471t a n t a n4θθπ-=π+，解得3tan 4θ=，所以13425tan tan 4312θθ+=+=，故选A ．考点：1、同角三角形函数间的基本关系；2、两角和的正切公式．【方法点睛】根据已知单角或复角的三角函数值求和角（或差角或单角）的三角函数，通常将结论角利用条件角来表示，利用同角三角函数基本关系化为相关角的三角函数后，再利用两角和与差的三角函数公式可求解．10．D 【解析】试题分析：因为当0x >时，(1)()f x f x +=，所以当0x >时，函数()f x 是周期为1的周期函数，所以(2016)(1)f f =，又因为当11x -≤≤时，()()f x f x -=-，所以5(1)(1)[(1)1]2f f =--=---=，故选D ．考点：1、函数的周期性；2、函数的奇偶性． 11．C 【解析】试题分析：由余弦定理，知cos 3π=，整理，得223b c bc +=+，则有2()33b c bc +=+≤23()2b c ++，即2()12b c +≤，所以b c +≤，当且仅当b c =时等号成立，所以b c +的最大值为C ．考点：1、余弦定理；2、基本不等式．【方法点睛】用均值定理求最值要注意三个条件一正、二定、三相等．“一正”不满足时，需提负号或加以讨论，有时还需要创造条件应用均值定理：和定积最大，积定和最小．多次应用时，必须保证每次取等号的条件相同，等号才可以传递到最后的最大(小)值． 12．D 【解析】试题分析：令()()sin f x g x x =，则当0x π<<时，2()sin ()cos ()0sin f x x f x xg x x'-'=<，所以当0x π<<时，函数()()sin f x g x x =单调减， 又()f x 为奇函数，所以函数()()sin f x g x x=为偶函数， 而当0x π<<时，不等式()()sin 4f x x π<等价于()()4sin sin 4f f x x ππ<，即()()4g x g π<，所以4x ππ<<，根据偶函数性质得到(,0)(,)44πππ- ，故选D ．考点：1、利用导数研究函数的单调性；2、函数的奇偶性． 13．214【解析】试题分析：因为向量()()3,4,2,a b t =-= ，向量b 在a方向上的投影长为3-,所以a b a ⋅=3-，解得214t =． 考点：1、平面向量数量积公式；2、向量投影的应用．14．32-【解析】试题分析：当1a ≤时，()f a ＝223a-=-无解；当1a >时，()f a ＝2log (1)3a -+=-，即18a +=，解得7a =，所以(6)(1)f a f -=-＝13222--=-． 考点：分段函数． 【技巧点睛】求解已知函数值或函数值的范围求自变量的值或取值范围的问题时需要注意的是：①当自变量的值不确定时，要分类讨论，分类的标准一般参照分段函数不同段的端点；②一定要检验所求自变量的值是否符合相应段的自变量的取值范围．15．【解析】试题分析：由题意得，点P 是曲线2ln y x x =-上任意一点，当过点P 的切线和直线4y x =-平行时，点P 到直线4y x =-的距离最小，直线4y x =-的斜率为1，又12y x x '=-，令121x x -=，解得1x =或12x =-（舍去），所以曲线2ln y x x =-上和直线4y x =-平行的切线经过的切点坐标为()1,1，点()1,1到直线4y x =-的距离等于=P 到直线4y x =-的最小距离为考点：1、导数的几何意义；2、点到直线的距离．【思路点睛】本题按照常规思路即设出点P 的坐标，然后由点到直线距离公式表示出距离的函数，然后运用求最值的方法求解几乎不可解．“数”不通，想“形”，结合图像找到方法，即当过点P 的直线与已知直线平行且与已知曲线相切时，点到直线的距离最小，然后问题转化为导数法求切线斜率问题，通过切线斜率求出点P 的坐标，从而求解． 16．3 【解析】试题分析：由题意，得()22f x x ax b '=++，显然21,x x 是方程220x ax b ++=的根，于是关于x 的方程2[()]2()0f x af x b ++=的解就是()1x x f =或()2x x f =，根据题意画图如图所示，由图知()1x x f =有两个不等实根，()2x x f =只有一个不等实根，所以2[()]2()0f x af x b ++=有3个不同的实数根．考点：1、函数极值与导数的关系；2、函数零点；3、函数图象． 17．（Ⅰ）⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<4321x x；（Ⅱ）11[,]32． 【解析】试题分析：（Ⅰ）先解出p q ，下的不等式，然后由p q ∧为真知p q ，都为真，由此可求得实数x 的取值范围；（Ⅱ）由q 是p 的充分不必要条件便可得到1231a a ⎧=⎪⎨⎪>⎩或1231a a ⎧<⎪⎨⎪≥⎩，解该不等式组即得实数a 的取值范围．试题解析：（Ⅰ）()03:><<a a x a p ，41=a 时 ，4341:<<x p 121:<<x q q p ∧ 为真 p ∴真且q 真 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<<<<1214341x x ，得4321<<x ，即实数x 的取值范围为⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<4321x x … （Ⅱ）q 是p 的充分不必要条件，记⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<=121x x A ，{}0,3><<=a a x a x B则A 是B 的真子集 ⎪⎩⎪⎨⎧>=∴1321a a 或⎪⎩⎪⎨⎧≥<1321a a 得2131≤≤a ，即a 的取值范围为1132⎡⎤⎢⎥⎣⎦，考点：1、命题的真假；2、充分条件与必要条件．【方法点睛】对于充要条件的判断三种常用方法：（1）利用定义判断．如果已知p q ⇒，则p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件；（2）利用等价命题判断；(3) 把充要条件“直观化”，如果p r ⇒，可认为p 是q 的“子集”；如果q p ⇒，可认为p 不是q 的“子集”，由此根据集合的包含关系，可借助韦恩图说明．18．（Ⅰ）π=x 时，()1min =x f ；（Ⅱ）410． 【解析】 试题分析：（Ⅰ）首先得用二倍角公式与两角差的正弦公式化简函数解析式，然后利用正弦函数的图象与性质求解即可；（Ⅱ）首先根据条件求得sin(),cos()66x x ππ--的值，然后利用两角和的正弦公式求解即可．试题解析：（Ⅰ）()12cos 2cos 2sin 32+-=x x x x f21cos 21sin 2312cos 1sin 23+-=++-=x x x x 216sin +⎪⎭⎫ ⎝⎛-=πx⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈ππ,2x πππ6563≤-≤∴xππ656=-∴x ，即π=x 时，()1min =x f （Ⅱ）()1011=x f ，即1011216sin =+⎪⎭⎫ ⎝⎛-πx ，得536sin =⎪⎭⎫ ⎝⎛-πx 20π≤≤x ， 366πππ≤-≤-∴x ，546cos =⎪⎭⎫⎝⎛-∴πx1sin sin sin cos 666262x x x x ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+=-⋅+-⋅ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭341552=+⨯= 考点：1、倍角公式；2、两角和与差的正弦公式；3、正弦函数的图象与性质． 19．（Ⅰ）；增区间为()1,1-，减区间为(,1)(1,)-∞-+∞和；（Ⅱ）0m >． 【解析】试题分析：（Ⅰ）首先根据函数()f x 为奇函数求得,a b 的值，然后求导，根据导函数与0的关系求得函数的单调区间；（Ⅱ）首先根据条件将问题转化为min 21()m f x ->，然后结合（Ⅰ）中函数的单调性求得m 的取值范围． 试题解析：（Ⅰ）∵22()()1x a f x x bx -=++是奇函数,∴()()0f x f x +-=恒成立 ()20a b x a ∴++=恒成立，0,0a b ∴==22()1x f x x ∴=+， 222(1)(1)'()(1)x x f x x -+=+ 由'()0f x >,得11x -<<；由'()0f x <,得1x >或1x <-故函数()f x 的增区间为()1,1-，()f x 的减区间为(,1)(1,)-∞-+∞和（Ⅱ）∵21()m f x ->有解，∴min 21()m f x ->即可当()()()0,0;0,00;00x f x x f x f x >>==<<时当时当时，由()I 知()f x 在(),1-∞-上为减函数，在()1,0-上为增函数()()min 11f x f ∴=-=-∴211m ->-，∴0m >．考点：1、函数的奇偶性；2、利用导数研究函数的单调性．【技巧点睛】解决不等式恒成立问题或有解问题，最终转化为最值问题的主要方法是分离变量法.在使用该方法时一定要明确，在分离的过程中，把题目中所求范围的量放在左边，其余的放在右边. 注意在不等式中这种分离过程是否为恒等变形．20．（Ⅰ）70；（Ⅱ）100/v km h =．【解析】试题分析：（Ⅰ）首先令()0v t =，然后求出此时的时间t ，由此可求出从发现前方事故到车辆完全停止行驶的距离；（Ⅱ）首先列出油费、速度、路程之间的关系式，然后利用基本不等式求解．试题解析：（Ⅰ）令()()1005=0313v t t t =-+，解得t=4秒或t=-5秒（舍） 从发现前方事故到车辆完全停止行驶距离为ss ＝3120100.93600⨯⨯+()401005313t dt t ⎛⎫- ⎪+⎝⎭⎰ ＝30+()2401005ln 136t t ⎡⎤+-⎢⎥⎣⎦＝30+1005ln 51636-⨯=70（米） （Ⅱ）设高速上油费总额为y ，速度v 满足60120v ≤≤，则Sy w v =⨯＝40250v S v ⎛⎫+ ⎪⎝⎭≥=45S 当且仅当40250vv =，100v =时取等号由[]10060120v =∈，，即100/v km h =时，高速上油费最少 …（12分）考点：1、定积分的运算；2、基本不等式．21．；（Ⅱ）2． 【解析】试题分析：（Ⅰ）首先利用同角三角形函数间的基本关系求得cos B 的值，然后利用两角和的正弦公式求得sin C 的值，从而利用正弦定理可使问题得解；（Ⅱ）首先根据D 为BC 边中点，利用向量间的关系求得,b c 间的关系式，然后结合（Ⅰ）求得,b c 的值，从而利用三角形面积公式可使问题得解．试题解析：（Ⅰ）ABC ∆中 1010sin =B ，π43=A 22cos ,22sin ,10103cos -===∴A A B ()55202021010221010322sin sin ==⨯-⨯=+=B A Csinsin 2b B c C ∴===． （Ⅱ）D 为BC 中点，2AD AB AC ∴=+22242AD AB AB AC AC =+⋅+ 即22422c b bc ⎛=++⋅- ⎝⎭化简：bc c b 2422-+=①由()I 知22=c b ②，联立①②解得2=b ，22=c 2sin 21==∴∆A bc S ABC 考点：1、同角三角形函数间的基本关系；2、两角和的正弦公式；3、正弦定理；4、平面向量的运算．【方法点睛】在三角形中处理边角关系时，一般全部转化为角的关系，或全部转化为边的关系．题中若出现边的一次式一般采用正弦定理，出现边的二次式一般采用余弦定理，应用正弦、余弦定理时，注意公式变形的应用，解决三角形问题时，注意角的限制范围．22．（Ⅰ）当0a ≤时，单调增区间是(0,)+∞，单调减区间是(,0)-∞；当01a <<时，单调增区间是(,ln )a -∞，(0,)+∞，单调减区间是(ln ,0)a ；当1a =时，单调增区间是(,)-∞+∞，无减区间；（Ⅱ）1(,]2-∞．【解析】试题分析：（Ⅰ）首先求得导函数，然后分0a ≤、01a <<、1a =讨论导函数与0之间的关系，由此求得函数的单调区间；（Ⅱ）首先结合（Ⅰ）将问题转化为210x e ax x --->对(0,+)x ∈∞恒成立，然后令2()1x g x e ax x =---(0)x >，从而通过求导函数()g x '，再构造新函数得到函数()g x 的单调性，进而求得a 的取值范围．试题解析：（Ⅰ）()()x xf x xe ax x e a '=-=-当0a ≤时，0x e a ->，∴(,0)x ∈-∞时，()0f x '<，()f x 单调递减 (0,)x ∈+∞时，()0f x '>，()f x 单调递增当01a <≤时，令()0f x '=得0ln x x a ==或．(i) 当01a <<时，ln 0a <，故：(,ln )x a ∈-∞时，()0f x '>，()f x 单调递增，(ln ,0)x a ∈ 时，()0f x '<，()f x 单调递减，(0,)x ∈+∞时，()0f x '>，()f x 单调递增；(ii)当1a =时，l n 0a =， ()(1)x x f x xe ax x e '=-=-0≥恒成立，()f x 在(,)-∞+∞上单调递增，无减区间；综上，当0a ≤时，()f x 的单调增区间是(0,)+∞，单调减区间是(,0)-∞；当01a <<时，()f x 的单调增区间是(,ln )a -∞(0,)+∞和，单调减区间是(ln ,0)a ； 当1a =时，()f x 的单调增区间是(,)-∞+∞，无减区间.（Ⅱ）由()I 知()x f x xe ax '=-当(0,+)x ∈∞时，()y f x '=的图象恒在32(1)y ax x a x =+--的图象上方，即32(1)x xe ax ax x a x ->+--对(0,+)x ∈∞恒成立即 210x e ax x --->对(0,+)x ∈∞恒成立记 2()1x g x e ax x =--- (0)x >，∴()()21x g x e ax h x '=--=()'2x h x e a ∴=-(i) 当12a ≤时，()'20x h x e a =->恒成立，()g x '在(0,)+∞上单调递增， ∴()'(0)0g x g '>=， ∴()g x 在(0,)+∞上单调递增∴()(0)0g x g >=，符合题意；(ii) 当12a >时，令()'0h x =得ln(2)x a = (0,ln(2))x a ∴∈时，()'0h x <，∴()g x '在(0,ln(2))a 上单调递减∴(0,ln(2))x a ∈时,()'(0)0g x g '<= ∴()g x 在(0,ln(2))a 上单调递减， ∴ (0,ln(2))x a ∈时,()(0)0g x g <=，不符合题意综上可得a 的取值范围是1(,]2-∞.考点：1、利用导数研究函数的单调性；2、函数的图象；3、不等式恒成立问题．。

2016—2017学年上学期高三期中考试物理试题时间： 90分钟 分值：110分 命题牵头学校：宜城一中 命题教师：命题学校：宜城一中 襄州一中 枣阳一中 曾都一中第I 卷 选择题 (共50分)一、选择题：本题共10小题。

在每小题给出的四个选项中，第1～6题只有一项符合题目要求，选对的得5分，选错的得0分；第7～10题有多项符合题目要求。

全部选对的得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分。

1． 2015年7月的喀山游泳世锦赛中，我国名将陈若琳勇夺女子十米跳台桂冠。

她从跳台斜向上跳起，一段时间后落入水中，如图所示。

不计空气阻力。

下列说法正确的是A ．她在空中上升过程中处于超重状态B ．她在空中下落过程中做自由落体运动C ．她即将入水时的速度为整个跳水过程中的最大速度D ．入水过程中，水对她的作用力大小等于她对水的作用力大小 2．如图所示的实验装置中，小球A 、B 完全相同．用小锤轻击弹性金属片，A 球沿水平方向抛出，同时B 球被松开，自由下落，实验中两球同时落地．图中虚线1、2代表离地高度不同的两个水平面，下列说法中正确的是A ．A 球从面1到面2的速度变化等于B 球从面1到面2的速度变化 B ．A 球从面1到面2的速率变化等于B 球从面1到面2的速率变化C ．A 球从面1到面2的速率变化大于B 球从面1到面2的速率变化D ．A 球从面1到面2的动能变化大于B 球从面1到面2的动能变化 3．一只小船渡河，运动轨迹如图所示．水流速度各处相同且恒定不变，方向平行于岸边；小船相对于静水分别做匀加速、匀减速、匀速直线运动，船相对于静水的初速度大小均相同、方向垂直于岸边，且船在渡河过程中船头方向始终不变．由此可以确定曾都一中 枣阳一中 襄州一中 宜城一中A ．船沿AD 轨迹运动时，船相对于静水做匀加速直线运动B ．船沿三条不同路径渡河的时间相同C ．船沿AB 轨迹渡河所用的时间最短D ．船沿AC 轨迹到达对岸前瞬间的速度最大4．一质点自x 轴原点出发，沿正方向以加速度a 加速，经过t 0时间速度变为v 0，接着以加速度-a 运动，当速度变为02v -时，加速度又变为a ，直到速度为v 04时，加速度再变为a - ，直到速度变为0-8v ……，其v -t 图象如图所示，则下列说法中正确的是A ．质点一直沿x 轴正方向运动B ．质点将在x 轴上往复运动，最终停在原点C ．质点最终静止时离开原点的距离一定大于v 0t 0D ．质点运动过程中离原点的最大距离为v 0t 05．如图所示，在倾角θ=30°的光滑斜面上，长为L 的细线一端固定，另一端连接质量为m 的小球，小球在斜面上做圆周运动，A 、B 分别是圆弧的最高点和最低点，若小球在A 、B 点做圆周运动的最小速度分别为v A 、v B ，重力加速度为g ，则 A ．0A v = B．A v C．B v =D．B v = 6．如图所示，“嫦娥三号”的环月轨道可近似看成是圆轨道，观察“嫦娥三号”在环月轨道上的运动，发现每经过时间t 通过的弧长为l ，该弧长对应的圆心角为θ弧度．已知万有引力常量为G ，则月球的质量是 A ．l 2Gθ3tB ．l 3Gθt 2C ．θ3Gl 2tD ．t 2Gθl 37．如图所示，一质量为m 的物体系于长度分别为l 1、l 2的轻弹簧和细线上，l 1的一端悬挂在天花板上，与竖直方向夹角为θ，l 2水平拉直，物体处于平衡状态.重力加速度大小为g .下列说法错误的是A ．轻弹簧拉力大小为cos mgθ B ．轻绳拉力大小为tan mgθC ．剪断轻绳瞬间，物体加速度大小为tan gD ．剪断轻弹簧瞬间，物体加速度大小为g8. 如图所示，在升降机内固定一光滑的斜面体,一轻弹簧的一端连在位于斜面体上方的固定木板B上,另一端与质量为m的物块A相连,弹簧与斜面平行.重力加速度为g.整个系统由静止开始加速上升高度h的过程中A．物块A的重力势能增加量一定等于mghB．物块A的动能增加量等于斜面的支持力和弹簧的拉力对其做功的代数和C．物块A的机械能增加量等于斜面的支持力和弹簧的拉力对其做功的代数和D．物块A和弹簧组成系统的机械能增加量等于斜面对物块的支持力和B对弹簧的拉力做功的代数和9．如图（甲）所示，静止在水平地面上的物块A，受到水平拉力F的作用，F与时间t的关系如图（乙）所示．设物块与地面间的最大静摩擦力f max的大小与滑动摩擦力大小相等，则A．t1时刻物块的速度为零B．物块的最大速度出现在t3时刻C．t1～t3时间内F对物块先做正功后做负功D．拉力F的功率最大值出现在t2～t3时间内10.如图所示，一物体以某一初速度v0从固定的粗糙斜面底端上滑至最高点又返回底端的过程中，以沿斜面向上为正方向．若用h、x、v和E k分别表示物块距水平地面高度、位移、速度和动能，t表示运动时间．则可能正确的图像是A B C D图（甲）第II 卷 非选择题 (共60分)二、实验题：本题共2小题，共计14分。

湖北省襄阳市优质高中2017届高三数学联考试题理（扫描版）襄阳市优质高中2017届高三联考试题13、20 14、[,]6315、1 16、6 17、解：（Ⅰ）135sin ,1312cos =∴=B B 由c b a ,,成等比数列，得ac b =2． …………………………………2分 又由正弦定理，得C A B sin sin sin 2=C A A C C A A C A C C C A A sin sin )sin(sin sin sin cos cos sin sin cos sin cos +=+=+∴B B 2sin sin = ………………4分 513sin 1==B ………………６分 （Ⅱ）由角C B A ,,成等差数列，得3π=B ．又2=b ，由正弦定理C c B b A a sin sin sin ==，及αππα-=+-==32)(,B A C A 得)32sin(3sin2sin αππα-==c a∴)32sin(34,sin 34απα-==c a ………………８分 ∴ABC ∆周长)32sin(342sin 34)(απαα-++=++==c b a f l 2)sin 21cos 23(sin 34+++=ααα 2)cos 23sin 23(34++=αα2)cos 21sin 23(334++=αα2)6sin(4++=πα ………………10分∵320πα<< ∴当26ππα=+即3πα=时624)3(max =+==πf l所以ABC ∆周长)(αf l =的最大值为6． ………………１２分18、解：（Ⅰ）由题意，得⎪⎩⎪⎨⎧=----=43)1)(411)(1(124141b a ab ，因为b a >，解得⎪⎩⎪⎨⎧==3121b a ． …………………4分 （Ⅱ）由题意，令网购者获得减免的总金额为随机变量X （单位：百元）， 则X 的值可以为0，2，4，6，8，10，12． …………………5分 而41433221)0(=⨯⨯==X P ；41433221)2(=⨯⨯==X P ； 81433121)4(=⨯⨯==X P ；245433121413221)6(=⨯⨯+⨯⨯==X P ； 121413221)8(=⨯⨯==X P ；241413121)10(=⨯⨯==X P ； 241413121)12(=⨯⨯==X P ． …………………9分 所以X 的分布列为：于是有623241122411012182456814412410)(=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=X E …12分 19、解：（I ）延长AB 交直线CD 于点M ，∵点E 为AD 的中点，∴AD ED AE 21==，∵AD CD BC 21==，∴BC ED =，∵AD ∥BC ，即ED ∥BC ．∴四边形BCDE 为平行四边形，即EB ∥CD ． ∵M CD AB =⋂，∴CD M ∈，∴CM ∥BE ，∵⊂BE 平面PBE ，CM ⊄PBE ∴CM ∥平面PBE ， …………4分 ∵AB M ∈，⊂AB 平面PAB ，∴∈M 平面PAB ，故在平面PAB 内可以找到一点)(CD AB M M ⋂=，使得直线CM ∥平面PBE ………………………6分（II ）法一、如图所示，∵︒=∠=∠90PAB ADC ，异面直线PA 与CD 所成的角为90︒，即AP ⊥CD 又M CD AB =⋂， ∴AP ⊥平面ABCD ．又90ADC ∠=︒即CD ⊥AD ∴CD ⊥平面PAD ∴CD ⊥PD ．因此PDA ∠是二面角A CD P --的平面角，其大小为45︒．∴AD PA =． ……………………8分 建立如图所示的空间直角坐标系，不妨设2=AD ，则121===AD CD BC ． ∴)2,0,0(P ，)0,1,0(E ，)0,2,1(-C ，)0,1,1(-B ∴(1,1,0)EC =-，PE (0,1,2)=-，(0,0,2)AP =， 易知平面BCE 的法向量为1(0,0,2)n AP ==设平面PCE 的法向量为2(,,)n x y z =，则220n PE n EC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，可得：⎩⎨⎧=+-=-002y x z y ．令2=y ，则1,2==z x ，∴2(2,2,1)n =． …………………………10分 设二面角B CE P --的平面角为θ， 则12cos |cos ,|n n θ=<>=1212||||||n n n n ⋅=⋅13=． ∴ 二面角B CE P --的余弦值为31． ………………１２分 法二、同法一可得AP ⊥平面ABCD ， AD PA = 过A 点作AH CE ⊥交CE 的延长线于H ，连接PH ∵AP ⊥平面ABCD CE ⊂平面ABCD∴AP CE ⊥ 又AH CE ⊥，∴CE ⊥平面PAH∴CE PH ⊥∴PHA ∠即为二面角B CEP --的平面角．……………10分在Rt PAH ∆中1cos 45oAH=⨯=2PA = ∴2PH==∴1cos 3PHA ∠==∴ 二面角B CE P --的余弦值为31． ………………１２分 20、解：（Ⅰ ）∵椭圆C 的左顶点A 在圆2212x y +=上，∴32=a又∵椭圆的一个焦点为)0,3(F ，∴3=c ∴3222=-=c a b∴椭圆C 的方程为131222=+y x ………………４分 （Ⅱ ）设),(),,(2211y x N y x M ，则直线l 与椭圆C 方程联立223,1,123x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩化简并整理得036)4(22=-++my y m ，∴12264m y y m +=-+，12234y y m =-+ ………………５分 由题设知),(221y x N - ∴直线NM 的方程为)(121211x x x x y y y y --+=-令0=y 得211221211*********)3()3()(y y y my y my y y y x y x y y x x y x x ++++=++=+--= 43464622=++-+-=m m m m∴点)0,4(P ………………７分 21221214)(121||||21y y y y y y PF S PMN -+⨯⨯=-⋅=∆222222)4(132)43(4)46(21++=+--+-=m m m m m ………………９分 166132619)1(213261911322222=+=+++≤++++=m m m m （当且仅当19122+=+m m 即2±=m 时等号成立）∴PMN ∆的面积存在最大值，最大值为1. ………………１２分 21、解：（Ⅰ）)0(ln 2)(>-=x x a x x g ，2222)(x ax x a x x g +-=--=' ①当0≥a 时，0)(<'x g ，∴函数)(x g 在区间),0(+∞上单调递减； ②当0<a 时，由0)(='x g ，解得ax 2-= 当)2,0(ax -∈时，0)(<'x g ，此时函数g （x ）单调递减；当),2(+∞-∈ax 时，0)(>'x g ，此时函数)(x g 单调递增． ………………３分（Ⅱ）)()(2x g x x f +=，其定义域为),0(+∞．2322)(2)(x ax x x g x x f --='+='， ………………４分 令),0(,22)(3+∞∈--=x ax x x h ，a x x h -='26)(，当0<a 时，0)(>'x h 恒成立，∴)(x h 在),0(+∞上为增函数，又0)1(,02)0(>-=<-=a h h ，∴函数)(x h 在)1,0(内至少存在一个变号零点0x ，且0x 也是)(x f '的变号零点，此时)(x f 在区间)1,0(内有极值． ………………５分当0≥a 时，0)1(2)(3<--=ax x x h ，即)1,0(∈x 时，0)(<'x f 恒成立，∴函数)(x f 在)1,0(单调递减，此时函数)(x f 无极值 …………………6分 综上可得：)(x f 在区间)1,0(内有极值时实数a 的取值范围是)0,(-∞ ……７分（Ⅲ）∵0>a 时，函数)(x f 的定义域为),0(+∞由（Ⅱ）可知：3)1(=f 知)1,0(∈x 时，0)(>x f ，∴10>x ．又)(x f 在区间),1(+∞上只有一个极小值点记为1x ，且),1(1x x ∈时，0)(<'x f ，函数)(x f 单调递减，),(1+∞∈x x 时，0)(>'x f ，函数)(x f 单调递增，由题意可知：1x 即为0x ． …………………………９分∴⎩⎨⎧='=0)(0)(00x f x f ，∴⎪⎩⎪⎨⎧=--=-+0220ln 20300020ax x x a x x 消去a 可得：131ln 2300-+=x x ， 即0)131(ln 2300=-+-x x 令)1(131ln 2)(3>---=x x x x t ，则)(x t 在区间),1(+∞上单调递增 又∵035173110727316973.0212312ln 2)2(3<-=--⨯<--⨯=---=t 026232631122631099.1213313ln 2)3(3>=--⨯>--⨯=---=t由零点存在性定理知 0)3(,0)2(><t t∴320<<x ∴2][0=x ． ………………１２分22、解：（Ⅰ）曲线2C ：)4cos(22πθρ+=，可以化为)4cos(222πθρρ+=，θρθρρsin 2cos 22-=，因此，曲线C 的直角坐标方程为02222=+-+y x y x ………………４分它表示以)1,1(-为圆心、2为半径的圆． ………………５分 （Ⅱ）法一：当4πα=时，直线l 的参数方程为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=t y t x 22221(t 为参数) 点P )0,1(在直线l 上，且在圆C 内，把⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=t y t x 22221 代入02222=+-+y x y x中得210t -= ………………6分设两个实数根为21,t t ，则B A ,两点所对应的参数为21,t t ，则12t t +=121-=t t ………………8分 64)(||||||2122121=-+=-=+∴t t t t t t PB PA ………………１０分法二：由（Ⅰ）知圆的标准方程为2)1()1(22=++-y x即圆心C 的坐标为)1,1(-半径为2，点P )0,1(在直线01:=-+y x l 上，且在圆C 内 ||||||AB PB PA =+∴ ………………6分圆心C 到直线l 的距离2211|1)1(1|22=+--+=d ………………8分 所以弦||AB 的长满足621222||22=-=-=d r AB 6||||=+∴PB PA ………………１０分23、解：（Ⅰ）由1|)1(||1|||)(=+-≥++=x x x x x f 知，1)(min =x f 欲使R x ∈∀，恒有λ≥)(x f 成立，则需满足min )(x f ≤λ……………4分 所以实数λ的取值范围为]1,(-∞ ………………５分（Ⅱ）由题意得)0()01()1(12112|1|||)(>≤≤--<⎪⎩⎪⎨⎧+--=++=t t t t t t t t f ……………6分,R m ∈∃使得0)(22=++t f m m 成立即有0)(44≥-=∆t f 1)(≤∴t f ……………8分 又1)(≤t f 可等价转化为⎩⎨⎧≤---<1121t t 或⎩⎨⎧≤≤≤-1101t 或⎩⎨⎧≤+>1120t t所以实数t 的取值范围为]0,1[- ……………１０分。

湖北省襄阳市四校（襄州一中、枣阳一中、宜城一中、曾都一中）2017届高三上学期期中考试物理试题一.选择题（10小题，其中1-6题为单选题，7-10题为多选题；选对得5分，选不全得3分，选错得0分，共50分）1.在太空中，两颗靠得很近的星球可以组成双星，他们只在相互间的万有引力作用下，绕球心连线上的某点做周期相同的匀速圆周运动。

则下列说法不正确的是．．．．．:（）A.两颗星有相同的角速度B.两颗星的旋转半径与质量成反比C.两颗星的加速度与质量成反比D.两颗星的线速度与质量成正比2.做匀加速直线运动的物体，途中依次经过A,B,C三点。

已知经过A点的速度为1m/s，AB段的长度为4m，AB段和BC 段的平均速度分别为3m/s和6m/s .则:（）A.物体运动的加速度为2/m B.物体经过B,C两点的速度2s为7m/s和9m/sC.物体经过AB段的时间为2sD.BC段的长度等于AB段的长度3.如图所示，斜面上固定有一与斜面垂直的挡板，另有一截面为 1/4 圆的光滑柱状物体甲放置于斜面上，半径与甲相等的光滑球乙被夹在甲与挡板之间，没有与斜面接触而处于静止状态．现在从球心O1处对甲施加一平行于斜面向下的力F，使甲沿斜面方向缓慢向下移动少许，设乙对挡板的压力大小为F1，甲对斜面的压力大小为F2，甲对乙的弹力为F3.在此过程中:（）A．F1逐渐增大，F2逐渐增大，F3逐渐增大B．F1逐渐减小，F2保持不变，F3逐渐减小C．F1保持不变，F2逐渐增大， F3先增大后减小D．F1逐渐减小，F2保持不变， F3先减小后增大4.如图所示，B物体的质量是A物体质量的一半，不计所有摩擦，A物体从离地面高H处由静止开始下落，以地面为参考面，当物体A的动能与其势能相等时，物体A距地面的高度为（设该过程中B未与滑轮相碰）:（）5.从地面上以初速度v竖直向上抛出一质量为m的球，若运动过程中受到的空气阻力与其速率成正比关系，球运动的速率随时间变化规律如图所示，t1时刻到达最高点，再落回地面，落地时速率为v，且落1地前球已经做匀速运动。

—2017学年上学期高三期中考试 数学试题（理科）时间:120分钟 分值:150分 命题牵头学校：枣阳一中 命题学校:曾都一中 枣阳一中 襄州一中 宜城一中 命题教师:第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．请把答案填在答题卷上） 1.设A ={}2430x x x -+≤，B ={}230x x -<，则图中阴影部分表示的集合为（ ）A ．3(3,)2-- B ．3(3,)2- C ．3[1,)2 D ．3(,3)22.已知110x <<，()()22lg ,lg lg ,lg a x b x c x ===，那么有（ ）A ．c a b >>B ．c b a >>C ．a c b >>D ．a b c >>3.平面向量,a b 满足()3a a b ⋅+=，2a =，1b =，则向量a 与b 夹角的余弦值为（ ） A.21B. 21-C. 23-D.23 4.角α的终边在第一象限，则sin cos 22sincos22αααα+的取值集合为( ) A ．{}2,2- B ．{}0,2 C ．{}2 D ．{}0,2,2- 5.设函数()()()ln 2ln 2f x x x =++-，则()x f 是（ ）A. 奇函数，且在()0,2上是增函数B. 奇函数，且在()0,2上是减函数C. 偶函数，且在()0,2上是增函数D. 偶函数，且在()0,2上是减函数6.先将函数2sin y x =的图像纵坐标不变，横坐标压缩为原来一半，再将得到的图像向左平 移12π个单位，则所得图像的对称轴可以为（ ）A ．12x π=- B ．1112x π=C ．6x π=-D ．6x π=7.下列命题的叙述:①若:p 20,10x x x ∀>-+>，则:p ⌝20000,10x x x ∃≤-+≤②三角形三边的比是3:5:7，则最大内角为23π③若a b b c ⋅=⋅，则a c =④22ac bc <是a b <的充分不必要条件，其中真命题的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4 8. 已知函数()ln ||f x x x =-，则()f x 的图象大致为（ ）A . B. C . D.9.θ为锐角，sin 410πθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则1tan tan θθ+=（ ） A ．2512 B ．724 C ．247 D ．122510.已知函数()f x 的定义域为R .当0x <时，5()1f x x =- ；当11x -≤≤ 时，()()f x f x -=-；当0x >时，()()1f x f x += ，则()2016f =（ ） A ．-2 B ．-1 C ．0 D ．211.在ABC ∆中，,,a b c 分别为内角,,A B C 所对的边，若3a A π==，则b c +的最大值为( )A ．4B ．．．2 12.奇函数()f x 定义域为()(),00,ππ-，其导函数是()'f x .当0x π<<时，有()()'sin cos 0f x x f x x -<，则关于x 的不等式()sin 4f x x π⎛⎫< ⎪⎝⎭的解集为（ ）A ．,4ππ⎛⎫⎪⎝⎭ B ．,,44ππππ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．,00,44ππ⎛⎫⎛⎫-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D ．,0,44πππ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把答案填在答题卷上） 13.已知(3,4)a =-，(2,)b t =，向量b 在a 方向上的投影为3-，则t = .14.已知函数()()222,1log 1,1x x f x x x ⎧-≤⎪=⎨-+>⎪⎩ ，且()3-=a f ，则()6f a -= .15.若点P 是曲线2ln y x x =-上任意一点，则点P 到直线4y x =-的最小距离为_______.16.若函数()f x ＝13x 3＋ax 2＋bx ＋c 有极值点12,x x ()12x x <，()11f x x =，则关于x 的方 程 ()2f x ⎡⎤⎣⎦+()20af x b +=的不同实数根的个数是 .三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17.(本小题满分10分）设:p 实数x 满足：03422<+-a ax x （0>a ），:q 实数x 满足：121-⎪⎭⎫⎝⎛=m x ，()2,1∈m()I 若41=a ，且q p ∧为真，求实数x 的取值范围；()II q 是p 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围.18.(本小题满分12分）已知向量cos,12x m ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，23sin ,cos 22x x n ⎛⎫= ⎪⎭，函数()1f x m n =⋅+()I 若,2x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，求()x f 的最小值及对应的x 的值； ()II 若⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2,0πx ，()1011=x f ，求sin x 的值.19.(本小题满分12分）已知22()()1x a f x x bx -=++是奇函数()I 求()f x 的单调区间；()II 关于x 的不等式21m -＞()f x 有解，求m 的取值范围.20.(本小题满分12分）高速公路为人民出行带来极大便利，但由于高速上车速快，一旦出事故往往导致生命或财产的重大损失，我国高速公路最高限速120/km h ，最低限速60/km h .()I 当驾驶员以120千米．．/．小时．．速度驾车行驶，驾驶员发现前方有事故，以原车速行驶．．．．．．大约需要0.9秒后才能做出紧急刹车，做出紧急刹车后，车速依()()1005313v t t t =-+（:t 秒．，()v t ：米．/．秒）．．规律变化直到完全停止，求驾驶员从发现前方事故到车辆完全停止时，车辆行驶的距离； ()ln5 1.6=取()II 国庆期间，高速免小车通行费，某人从襄阳到曾都自驾游，只需承担油费.已知每小时油费w ()元与车速有关，240250v w =+():/v km h ，高速路段必须按国家规定限速内行驶，假定高速上为匀速行驶，高速上共行驶了S 千米，当高速上行驶的这S 千米油费最少时，求速度v 应为多少/km h ？21.(本小题满分12分）ABC ∆中，角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，43π=A ，1010sin =B ，D 为BC 边中点，1=AD()I 求cb的值；()II 求ABC ∆的面积.22.(本小题满分12分）已知函数21()(1)2x f x x e ax =-- ()a R ∈ ()I 当1a ≤时，求()f x 的单调区间；()II 当(0,+)x ∈∞时，()y f x '=的图象恒在32(1)y ax x a x =+--的图象上方，求a 的取值范围.C2016—2017学年上学期高三期中考试 数学试题（理科）参考答案一、选择题（每题5分，共60分）二、填空题（每题5分，共20分） 13.214 14. 32- 15. 三、解答题（共70分）17.解：()I ()03:><<a a x a p ，41=a 时 ，4341:<<x p …（1分） 121:<<x q …（2分） q p ∧ 为真 p ∴真且q 真 …（3分）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<<<<1214341x x ，得4321<<x ，即实数x 的取值范围为⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<4321x x …（5分） ()II q 是p 的充分不必要条件，记⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<=121x x A ，{}0,3><<=a a x a x B则A 是B 的真子集 …（7分）⎪⎩⎪⎨⎧>=∴1321a a 或⎪⎩⎪⎨⎧≥<1321a a …（9分） 得2131≤≤a ，即a 的取值范围为1132⎡⎤⎢⎥⎣⎦，…（10分） 18.解：()I ()12cos 2cos 2sin 32+-=x x x x f21cos 21sin 2312cos 1sin 23+-=++-=x x x x …（2分） 216sin +⎪⎭⎫ ⎝⎛-=πx …（3分） ⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈ππ,2x πππ6563≤-≤∴x …（4分）ππ656=-∴x ，即π=x 时，()1min =x f …（6分） ()II ()1011=x f ，即1011216sin =+⎪⎭⎫ ⎝⎛-πx ，得536sin =⎪⎭⎫ ⎝⎛-πx …（7分）20π≤≤x ， 366πππ≤-≤-∴x ，546cos =⎪⎭⎫⎝⎛-∴πx …（8分）1sin sin sin cos 666262x x x x ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+=-⋅+-⋅ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭…（10分）34134525210+=⨯+⨯= …（12分） 19.解：()I ∵22()()1x a f x x bx -=++是奇函数,∴()()0f x f x +-=恒成立…（1分）()20a b x a ∴++=恒成立，0,0a b ∴== …（3分） 22()1xf x x ∴=+， 222(1)(1)'()(1)x x f x x -+=+ …（4分） 由'()0f x >,得-1＜x ＜1；由'()0f x <,得x ＞1或x ＜-1 …（5分） 故函数()f x 的增区间为()1,1-，()f x 的减区间为(,1)(1,)-∞-+∞和…（6分） ()II ∵2m —1＞()f x 有解，∴2m —1＞min ()f x 即可 …（7分） 当()()()0,0;0,00;00x f x x f x f x >>==<<时当时当时， …（8分） 由()I 知()f x 在(),1-∞-上为减函数，在()1,0-上为增函数()()m i n 11f x f ∴=-=- …（10分） ∴2m —1＞1-，∴m ＞0 …（12分） 20.解：()I 令()()1005=0313v t t t =-+，解得()45t t ==-秒或秒舍 …（2分）从发现前方事故到车辆完全停止行驶距离为ss =3120100.93600⨯⨯+()401005313t dt t ⎛⎫-⎪+⎝⎭⎰ …（4分）=30+()2401005ln 136t t ⎡⎤+-⎢⎥⎣⎦=30+1005ln 51636-⨯=70()米 …（6分） ()II 设高速上油费总额为y ，速度v 满足60120v ≤≤，则 …（7分）S y w v=⨯=40250v S v ⎛⎫+ ⎪⎝⎭≥=45S …（9分）当且仅当40250vv=，100v =时取等号 …（10分）由[]10060120v=∈，，即100/v km h =时，高速上油费最少 …（12分）21.解：()I ABC ∆中 1010sin =B ，π43=A 22cos ,22sin ,10103cos -===∴A A B …（2分） ()55202021010221010322sin sin ==⨯-⨯=+=B A C …（4分）sinsin b B c C ∴===…（6分） ()II D 为BC 中点，2AD AB AC ∴=+ …（7分）22242AD AB AB AC AC =+⋅+即22422c b bc ⎛=++⋅- ⎝⎭化简：bc c b 2422-+=① …（8分） 由()I 知22=c b ②，联立①②解得2=b ，22=c …（10分） 2sin 21==∴∆A bc S ABC …（12分） （注：用其他方法求解酌情给分．．．．．．．．．．．．．） 22.解：()I ()()xxf x xe ax x e a '=-=- …（1分）当0a ≤时，0xe a ->，∴(,0)x ∈-∞时，()0f x '<，()f x 单调递减(0,)x ∈+∞时，()0f x '>，()f x 单调递增 …（2分）当01a <≤时，令()0f x '=得0ln x x a ==或 (i) 当01a <<时，ln 0a <，故：(,ln )x a ∈-∞时，()0f x '>，()f x 单调递增， (ln ,0)x a ∈ 时，()0f x '<，()f x 单调递减，(0,)x ∈+∞时，()0f x '>，()f x 单调递增； …（4分） (ii) 当1a =时，ln 0a =， ()(1)x xf x xe ax x e '=-=-0≥恒成立， ()f x 在(,)-∞+∞上单调递增，无减区间； …（5分） 综上，当0a ≤时，()f x 的单调增区间是(0,)+∞，单调减区间是(,0)-∞；当01a <<时，()f x 的单调增区间是(,ln )a -∞(0,)+∞和，单调减区间是(ln ,0)a ；当1a =时，()f x 的单调增区间是(,)-∞+∞，无减区间. …（6分）()II 由()I 知()xf x xe ax '=-当(0,+)x ∈∞时，()y f x '=的图象恒在32(1)y ax x a x =+--的图象上方即32(1)x xe ax ax x a x ->+--对(0,+)x ∈∞恒成立即 210x e ax x --->对(0,+)x ∈∞恒成立 …（7分）记 2()1x g x e ax x =--- (0)x >，∴()()21xg x e ax h x '=--= ()'2xh x e a ∴=- …（8分）(i) 当12a ≤时，()'20xh x e a =->恒成立，()g x '在(0,)+∞上单调递增， ∴()'(0)0g x g '>= ∴()g x 在(0,)+∞上单调递增∴()(0)0g x g >=，符合题意； …（10分） (ii) 当12a >时，令()'0h x =得ln(2)x a = (0,ln(2))x a ∴∈时，()'0h x <，∴()g x '在(0,ln(2))a 上单调递减 ∴(0,ln(2))x a ∈时,()'(0)0g x g '<= ∴()g x 在(0,ln(2))a 上单调递减， ∴ (0,ln(2))x a ∈时,()(0)0g x g <=，不符合题意 …（11分）综上可得a 的取值范围是1(,]2. …（12分）。