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《课程学习最短路径问题》教案【教学目标】1.知识与技能能利用轴对称解决简单的最短路径问题2.过程与方法通过观察、操作、交流等活动增强动手解决问题能力。
3.情感态度和价值观体会图形的变化在解决最值问题中的作用，感悟转化思想。
【教学重点】利用轴对称将最短路径问题转化为“两点之间、线段最短”问题。
【教学难点】探索发现“最短路径”的方案，确定最短路径的作图及说理。
【教学方法】自学与小组合作学习相结合的方法。
【课前准备】教学课件【课时安排】1课时【教学过程】一、情境导入展示一张公园常见的图片。
【过渡】图片中的现象，想必大家都很常见吧，为什么大家会放弃本来存在的路，而去选择践踏草坪呢？（学生回答）【过渡】刚刚大家都回答了自己的答案，那么大家再来看一下这个问题。
课件展示问题。
【过渡】根据我们之前的知识，我们知道，两点之间，线段最短。
因此，就很容易得出答案。
今天我们就来学习一下实际问题中的最短路径问题。
二、新课教学1．最短路径问题【问题一】牧马人从A 地出发，到一条笔直的河边饮马，然后到B 地。
那么牧马人到河边什么地方饮马可使他所走的路线全程最短？【过渡】这是一个实际问题，那么我们如何将其转化为数学问题呢？将A，B 两地抽象为两个点，将河l抽象为一条直线。
【过渡】现在，我们现在的问题是怎样找出使两条线段长度之和为最短的直线l上的点．设C 为直线上的一个动点，上面的问题就转化为：当点C 在l的什么位置时，AC 与CB 的和最小。
在解决这个问题的时候，我们先考虑一个问题，如果两个点位于一条线的两侧，如何在这条线上找到一点，使这个点到A、B两点之间的距离最短呢？（学生讨论回答）两点之间，线段最短。
【过渡】所以我们直接将两点连接，与线的交点即为我们所求的点。
那么结合前边所学的轴对称的问题，你能解答问题一吗？（学生讨论，并回答）。
【总结】作其中一个点关于直线l的对称点，连接对称点和另一点与直线的交点就是满足最短距离的点的位置，最短距离就是AB＇。
人教版八年级数学上册教学设计：13.4 课题学习最短路径问题一. 教材分析人教版八年级数学上册第十三章第四节“课题学习最短路径问题”主要是让学生了解最短路径问题的背景和意义，掌握利用图的性质和算法求解最短路径问题的方法。
通过本节课的学习，学生能够将所学的图的知识应用到实际问题中，提高解决问题的能力。
二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经掌握了图的基本概念和相关性质，如顶点、边、连通性等。
同时，学生也学习了一定的算法知识，如排序、查找等。
因此，学生在学习本节课时，能够将已有的知识和经验与最短路径问题相结合，通过自主探究和合作交流，理解并掌握最短路径问题的求解方法。
三. 教学目标1.了解最短路径问题的背景和意义，能运用图的性质和算法求解最短路径问题。
2.提高学生将实际问题转化为数学问题的能力，培养学生的逻辑思维和解决问题的能力。
3.增强学生合作交流的意识，提高学生的团队协作能力。
四. 教学重难点1.教学重点：最短路径问题的求解方法及其应用。
2.教学难点：理解并掌握最短路径问题的求解算法，能够灵活运用到实际问题中。
五. 教学方法1.情境教学法：通过引入实际问题，激发学生的学习兴趣，引导学生主动探究。
2.算法教学法：以算法为主线，引导学生了解和掌握最短路径问题的求解方法。
3.合作学习法：学生进行小组讨论和合作交流，共同解决问题，提高团队协作能力。
六. 教学准备1.准备相关实际问题的案例，如城市间的道路网络、网络通信等。
2.准备算法教学的PPT，以便在课堂上进行讲解和演示。
3.准备练习题和拓展题，以便进行课堂练习和课后巩固。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过展示实际问题案例，如城市间的道路网络，引导学生了解最短路径问题的背景和意义。
提问：如何找到两点之间的最短路径？引发学生的思考和兴趣。
2.呈现（10分钟）讲解最短路径问题的求解方法，如迪杰斯特拉算法、贝尔曼-福特算法等。
通过PPT演示算法的具体步骤和过程，让学生清晰地了解算法的原理和应用。
人教版数学八年级上册《13.4 课题学习最短路径问题》教学设计2一. 教材分析《人教版数学八年级上册》第13.4课题学习“最短路径问题”是本册内容的一个重要组成部分。
本节课主要让学生了解最短路径问题的背景和应用，掌握利用图的性质和简单的图算法解决最短路径问题的方法。
通过本节课的学习，学生能够进一步提高分析问题和解决问题的能力，培养逻辑思维能力。
二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经掌握了图的相关知识，如图的定义、图的表示方法、图的性质等。
同时，学生也了解了一些简单的算法，如深度优先搜索、广度优先搜索等。
但部分学生对这些知识的掌握程度不够扎实，对算法的理解也相对模糊。
因此，在教学过程中，需要关注这部分学生的学习情况，引导他们更好地理解和掌握本节课的内容。
三. 教学目标1.了解最短路径问题的背景和应用，理解最短路径的概念。
2.掌握利用图的性质和简单的图算法解决最短路径问题的方法。
3.培养学生的逻辑思维能力和问题解决能力。
四. 教学重难点1.教学重点：最短路径问题的解决方法，如迪杰斯特拉算法、贝尔曼-福特算法等。
2.教学难点：算法的原理和实现，以及如何将实际问题转化为最短路径问题。
五. 教学方法1.情境教学法：通过引入实际问题，激发学生的学习兴趣，引导学生主动探究。
2.案例教学法：分析具体的最短路径问题案例，让学生直观地了解问题的解决过程。
3.算法分析法：引导学生分析算法的原理和实现，提高学生的逻辑思维能力。
4.小组合作学习：鼓励学生分组讨论和合作解决问题，培养学生的团队协作能力。
六. 教学准备1.教学课件：制作课件，展示最短路径问题的背景、应用和解决方法。
2.案例材料：准备一些具体的最短路径问题案例，供学生分析和讨论。
3.编程环境：为学生提供编程环境，以便他们在课堂上实践算法。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用课件展示最短路径问题的背景和应用，如地图导航、网络通信等。
引导学生关注最短路径问题，激发学生的学习兴趣。
课题13.4课题学习：最短路径——造桥选址问题主备人
教学目标教学知识点
能利用平移解决造桥选址问题,体会图形的变化在解决最值问题中的作用;感悟转化思想。
能力训练要求
在将实际问题抽象成几何图形的过程中,提高分析问题、解决问题的能力培养学生的创新意识及应用意识。
情感与价值观要求
通过有趣的问题提高学习数学的兴趣.在解决实际问题的过程中,体验数学学习的实用性,培养学生乐于探索的学习态度，体现人人都学有所用的数学。
重点利用平移变换解决造桥选址问题并利用“两点之间，线段最短”公理进行证明
难点利用平移变换解决问题
关键平移变换将折线转化为直线
教学
环节
教师有效问题设计学生活动设计设计意图
一、情境引入（5分钟）
二、自主探究、1、旧知回顾：
师：上节课我们探究了最短路径问
题，请你用所学知识解决下面的问
题。
问题：要在公路m旁建一所小学，
到A村和B村的距离和最小？应该
建在什么位置？为什么？
（1）
（2）
2、导入：
在现实生活中还有很多涉及到选择
最短路径的问题,本节我们将再利
用数学知识来探究数学中有名的
“造桥选址问题”
出示问题：
造桥选址问题：
A和B两地在一条河的两岸,现要在
河上造一座桥MN.桥建在何处才能
回顾第一课时内容，思考
问题，并回答问题
（抽学生回答，教师出示
作图课件）
学生看完题后抽象出如
下模型，
对问题的探
索做准备，
激发学生兴
趣
通过层层递
进将问题逐
合作交流使从A到B的路径AMNB最短?(假定
河的两岸是平行的直线,桥要与河
垂直)
教师出示引导分析：
先将实际问题抽象为几何模型，
1、直接连接AB行吗？为什么？
2、路径是哪些线段之和？
3、桥的位置发生变化后，路径中哪
些线段是不变的，哪些在变？
4、路径最短就是哪些线段之和最
小？
5、路径中的线段可以转化吗？
课件演示：将直线L一分为二，上面部
分向上平移变为如图，再将上面部分向下
平移回到直线异侧两点的情况。
（意图：让学生认识到为什么要将A点
沿桥的方向平移一个桥长）
引导学生充分探究后，教师归纳：
如图，平移A到A1，使ＡA1等于河
宽，连接A1Ｂ交河岸于Ｎ点，建桥
ＭＮ，此时路径ＡＭ＋ＭＮ＋ＢＮ
最短.（课件展示）
这是最短吗？
引导证明
理由:另任作桥M
1
N
1
,连接
AM
1
,BN
1
,A
1
N
1
. 由平移性质可
知,AM=A
1
N,AA
1
=MN=M
1
N
1
,AM
1
=A
1
N
1
.
AM+MN+BN转化为AA
1
+A
1
B,而
AM
1
+M
1
N
1
+BN
1
转化为AA
1
+A
1
N
1
+BN
1
.
在△A
1
N
1
B中,由线段公理知
A
1
N
1
+BN
1
>A
1
B.因此AM
1
+M
1
N
1
+BN
1
>
AM+MN+BN,
是
师：还有不同的方法吗？
思考，交流并回答问题
1、桥就与河岸不垂直
了，
2、AM+MN+BN，
3、MN不变，AM、BN在变，
4、AM+BN
根据老师的提示画图
回顾“将军饮马问题”的
证明方法
学生可能会想到平移B
点，教师已可稍作提示。
步简化，让
学生能真正
参与到教学
活动之中。
展示幻灯片
达到直观，
并能作为归
纳的作用
让学生认识
到为什么要
将A点沿桥
的方向平移
一个桥长
三、反馈训练，拓展延伸1、如图，A和B两地之间有两条河，
现要在两条河上各造一座桥MN和
PQ.桥分别建在何处才能使从A到B
的路径最短？（假定河的两岸是平
行的直线，桥要与河岸垂直）
A
B
按上面的思路进行引导，尽量让学
生思考解决。
2、如图，A和B两地之间有三条河，
现要在两条河上各造一座桥MN、PQ
和GH.桥分别建在何处才能使从A到
B的路径最短？（假定河的两岸是平
行的直线，桥要与河岸垂直）
4、当有n条河时呢？
让学生自主思考，并归纳
按上面的方法思考、讨
论、交流解决问题
沿垂直于河岸方向依次
把Ａ点移到Ａ１、Ａ１点
移到Ａ２，使ＡＡ１＝Ｍ
Ｎ，Ａ１Ａ２＝Ｐ
Ｑ；
连接Ａ２Ｂ交于Ｂ点相
邻河岸于Ｑ点，建桥Ｐ
Ｑ；
连接Ａ１Ｐ交Ａ１的对
岸于Ｎ点，建桥ＭＮ；
从Ａ点到Ｂ点的最短路
径为ＡM＋MN＋ＮＰ＋Ｐ
Ｑ＋ＱＢ．
M
N
P
Q
A2
A1
A
B
2
M
N
P
Q
G
H
A3
A 2
A 1
A
B
起到对知识
检验，创新
思维培养的
作用
四、归纳小结本节课我们学习了什么？你有何体
会？
学生发言归纳，相互补充。
