2018版高考数学大一轮复习第十三章鸭部分13.2不等式选讲第2课时不等式的证明教师用书文新人教版

1．直接证明(1）综合法①定义：一般地，利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证,最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫做综合法．②框图表示:错误!―→错误!―→错误!―→…―→错误!（其中P表示已知条件、已有的定义、公理、定理等，Q表示所要证明的结论）．③思维过程：由因导果．（2）分析法①定义：一般地，从要证明的结论出发,逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件（已知条件、定理、定义、公理等）为止，这种证明方法叫做分析法．②框图表示：错误!―→错误!―→错误!―→…―→错误!（其中Q表示要证明的结论)．③思维过程:执果索因．2．间接证明反证法:一般地,假设原命题不成立(即在原命题的条件下,结论不成立),经过正确的推理，最后得出矛盾,因此说明假设错误，从而证明原命题成立的证明方法．【思考辨析】判断下列结论是否正确（请在括号中打“√”或“×”)(1)综合法是直接证明，分析法是间接证明．( ×)(2)分析法是从要证明的结论出发，逐步寻找使结论成立的充要条件．( ×)（3）用反证法证明结论“a>b”时，应假设“a<b"．（×）(4)反证法是指将结论和条件同时否定,推出矛盾．（×)(5）在解决问题时，常常用分析法寻找解题的思路与方法,再用综合法展现解决问题的过程．（√)(6）证明不等式错误!＋错误!<错误!＋错误!最合适的方法是分析法．（√)1．若a，b，c为实数，且a<b〈0，则下列命题正确的是( ）A．ac2<bc2B．a2>ab>b2C.错误!<错误!D。

错误!〉错误!答案B解析a2－ab＝a(a－b),∵a〈b〈0，∴a－b<0，∴a2－ab>0,∴a2〉ab.①又ab－b2＝b(a－b）>0，∴ab>b2,②由①②得a2>ab〉b2.2．(2016·北京)袋中装有偶数个球，其中红球、黑球各占一半．甲、乙、丙是三个空盒，每次从袋中任意取出两个球，将其中一个球放入甲盒,如果这个球是红球,就将另一个球放入乙盒，否则就放入丙盒．重复上述过程，直到袋中所有球都被放入盒中，则( ) A．乙盒中黑球不多于丙盒中黑球B．乙盒中红球与丙盒中黑球一样多C．乙盒中红球不多于丙盒中红球D．乙盒中黑球与丙盒中红球一样多答案B解析取两个球往盒子中放有4种情况：①红＋红，则乙盒中红球数加1;②黑＋黑,则丙盒中黑球数加1；③红＋黑(红球放入甲盒中)，则乙盒中黑球数加1；④黑＋红(黑球放入甲盒中），则丙盒中红球数加1。

第13课一元二次不等式及其解法[最新考纲]一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)不等式ax2＋x－1>0一定是一元二次不等式．()(2)不等式x－2x＋1≤0⇔(x－2)(x＋1)≤0.()(3)若不等式ax2＋bx＋c>0的解集是(－∞，x1)∪(x2，＋∞)，则方程ax2＋bx ＋c＝0的两个根是x1和x2.()(4)不等式ax2＋bx＋c≤0在R上恒成立的条件是a<0且Δ＝b2－4ac ≤0.( )[答案] (1)× (2)× (3)√ (4)×2．不等式－x 2－3x ＋4>0的解集为________．(用区间表示) (－4,1) [由－x 2－3x ＋4>0得x 2＋3x －4<0，解得－4<x <1.]3．(教材改编)若关于x 的方程x 2＋ax ＋a 2－1＝0有一正根和一负根，则a 的取值范围为________．(－1,1) [令f (x )＝x 2＋ax ＋a 2－1，由题意可知f (0)＝a 2－1<0，即－1<a <1.] 4．在R 上定义运算：⎪⎪⎪⎪⎪⎪ab cd ＝ad －bc .若不等式⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －1 a －2a ＋1 x ≥1对任意实数x 恒成立，则实数a 的最大值为__________．32 [原不等式等价于x (x －1)－(a －2)(a ＋1)≥1， 即x 2－x －1≥(a ＋1)(a －2)对任意x 恒成立， x 2－x －1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122－54≥－54，所以－54≥a 2－a －2，解得－12≤a ≤32.]5．(2017·宿迁模拟)已知不等式ax 2－bx －1≥0的解集是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，－13，则不等式x 2－bx －a <0的解集是________．(2,3) [由不等式ax 2－bx －1≥0的解集为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，－13可知 ，a <0且－12，－13是方程ax 2－bx －1＝0的两个实数根．∴⎩⎪⎨⎪⎧－12－13＝ba ，⎝ ⎛⎭⎪⎫－12×⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝－1a ，解得⎩⎨⎧a ＝－6，b ＝5.∴由x 2－5x ＋6<0得2<x <3.即不等式x 2－bx －a <0的解集为(2,3)．](1)3＋2x －x 2≥0； (2)x 2－(a ＋1)x ＋a <0.[解] (1)原不等式化为x 2－2x －3≤0， 即(x －3)(x ＋1)≤0，故所求不等式的解集为{x |－1≤x ≤3}． (2)原不等式可化为(x －a )(x －1)<0， 当a >1时，原不等式的解集为(1，a )； 当a ＝1时，原不等式的解集为∅； 当a <1时，原不等式的解集为(a,1)．[迁移探究] 将(2)中不等式改为ax 2－(a ＋1)x ＋1<0，求不等式的解集． [解] 若a ＝0，原不等式等价于－x ＋1<0，解得x >1. 若a <0，原不等式等价于⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1a (x －1)>0，解得x <1a 或x >1.若a >0，原不等式等价于⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1a (x －1)<0.①当a ＝1时，1a ＝1，⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1a (x －1)<0无解；②当a >1时，1a <1，解⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1a (x －1)<0得1a <x <1；③当0<a <1时，1a >1，解 ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1a (x －1)<0得1<x <1a .综上所述：当a <0时，解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x <1a 或x >1； 当a ＝0时，解集为{x |x >1}；当0<a <1时，解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪1<x <1a；当a ＝1时，解集为∅；当a >1时，解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪1a <x <1. [规律方法] 1.解一元二次不等式的步骤： (1)使一端为0且把二次项系数化为正数．(2)先考虑因式分解法，再考虑求根公式法或配方法或判别式法． (3)写出不等式的解集．2．解含参数的一元二次不等式的步骤：(1)二次项中若含有参数应讨论是等于0，小于0，还是大于0，然后将不等式转化为一次不等式或二次项系数为正的形式．(2)判断方程的根的个数，讨论判别式Δ与0的关系．(3)确定无根时可直接写出解集，确定方程有两个根时，要讨论两根的大小关系，从而确定解集形式．[变式训练1] 解关于x 的不等式kx 2－2x ＋k ＜0(k ∈R ). 【导学号：62172074】 [解] ①当k ＝0时，不等式的解为x ＞0.②当k ＞0时，若Δ＝4－4k 2＞0，即0＜k ＜1时，不等式的解为1－1－k2k＜x ＜1＋1－k 2k；若Δ≤0，即k ≥1时，不等式无解．③当k ＜0时，若Δ＝4－4k 2＞0，即－1＜k ＜0时，x ＜1＋1－k 2k 或x ＞1－1－k 2k ；若Δ＜0，即k ＜－1时，不等式的解集为R ； 若Δ＝0，即k ＝－1时，不等式的解为x ≠－1. 综上所述，k ≥1时，不等式的解集为∅； 0＜k ＜1时，不等式的解集为 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪1－1－k 2k ＜x ＜1＋1－k 2k ； k ＝0时，不等式的解集为{x |x ＞0}； 当－1＜k ＜0时，不等式的解集为 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ＜1＋1－k 2k 或x ＞1－1－k 2k ； k ＝－1时，不等式的解集为{x |x ≠－1}； k ＜－1时，不等式的解集为R .角度1 形如f (x )≥0(x ∈R )求参数的范围不等式(a －2)x 2＋2(a －2)x －4<0对一切x ∈R 恒成立，则实数a 的取值范围是__________．(－2,2] [当a －2＝0，即a ＝2时，不等式即为－4<0，对一切x ∈R 恒成立， 当a ≠2时，则有⎩⎨⎧a －2<0，Δ＝4(a －2)2＋16(a －2)<0， 即⎩⎨⎧a <2，－2<a <2，∴－2<a <2. 综上，可得实数a 的取值范围是(－2,2]．] ☞角度2 形如f (x )≥0()x ∈[a ，b ]求参数的范围设函数f (x )＝mx 2－mx －1.若对于x ∈[1,3]，f (x )<－m ＋5恒成立，求m 的取值范围. 【导学号：62172075】[解] 要使f (x )<－m ＋5在x ∈[1,3]上恒成立，即m ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34m －6<0在x ∈[1,3]上恒成立．有以下两种方法：法一：令g (x )＝m ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34m －6，x ∈[1,3]．当m >0时，g (x )在[1,3]上是增函数， 所以g (x )max ＝g (3)⇒7m －6<0， 所以m <67，所以0<m <67； 当m ＝0时，－6<0恒成立； 当m <0时，g (x )在[1,3]上是减函数，所以g (x )max ＝g (1)⇒m －6<0，所以m <6，所以m <0. 综上所述：m的取值范围是⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫m ⎪⎪⎪m <67. 法二：因为x 2－x ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34>0，又因为m (x 2－x ＋1)－6<0，所以m <6x 2－x ＋1.因为函数y ＝6x 2－x ＋1＝6⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34在[1,3]上的最小值为67，所以只需m <67即可．所以m的取值范围是⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫m ⎪⎪⎪m <67. ☞角度3 形如f (x )≥0(参数m ∈[a ，b ])求x 的范围对任意的k ∈[－1,1]，函数f (x )＝x 2＋(k －4)x ＋4－2k 的值恒大于零，则x 的取值范围是__________．{x |x <1或x >3} [x 2＋(k －4)x ＋4－2k >0恒成立， 即g (k )＝(x －2)k ＋(x 2－4x ＋4)>0， 在k ∈[－1,1]时恒成立．只需g (－1)>0且g (1)>0，即⎩⎨⎧x 2－5x ＋6>0，x 2－3x ＋2>0，解得x <1或x >3.][规律方法] 1.解决恒成立问题一定要搞清谁是主元，谁是参数，一般地，知道谁的范围，谁就是主元，求谁的范围，谁就是参数．2．对于一元二次不等式恒成立问题，恒大于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x 轴上方，恒小于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x 轴下方，另外常转化为求二次函数的最值或用分离参数法求最值．[思想与方法]1．不等式ax 2＋bx ＋c >0对任意实数x 恒成立⇔⎩⎨⎧ a ＝b ＝0，c >0，或⎩⎨⎧a >0，Δ<0.不等式ax 2＋bx ＋c <0对任意实数x 恒成立⇔⎩⎨⎧ a ＝b ＝0，c <0，或⎩⎨⎧a <0，Δ<0.2．“三个二次”的关系是解一元二次不等式的理论基础，一般可把a <0时的情形转化为a >0时的情形．3．解含参数的一元二次不等式，可先考虑因式分解，再对根的大小进行分类讨论；若不能因式分解，则可对判别式进行分类讨论，分类要不重不漏．[易错与防范]1．对于不等式ax 2＋bx ＋c >0，求解时不要忘记讨论a ＝0时的情形． 2．当Δ<0时，ax 2＋bx ＋c >0(a ≠0)的解集为R 还是∅，要注意区别．3．含参数的不等式要注意选好分类标准，避免盲目讨论． 4．不同参数范围的解集切莫取并集，应分类表述．课时分层训练(十三)A 组 基础达标 (建议用时：30分钟)一、填空题1．不等式－2x 2＋x ＋1>0的解集为__________．⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，1 [－2x 2＋x ＋1>0，即2x 2－x －1<0，(2x ＋1)(x －1)<0，解得－12<x <1，∴不等式－2x 2＋x ＋1>0的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，1.]2．若集合A ＝{}x |ax 2－ax ＋1<0＝∅，则实数a 的值的集合是________.【导学号：62172076】{a |0≤a ≤4} [由题意知a ＝0时，满足条件， a ≠0时，由⎩⎨⎧a >0，Δ＝a 2－4a ≤0， 得0<a ≤4，所以0≤a ≤4.]3．已知关于x 的不等式ax －1x ＋1<0的解集是⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x <－1或x >－12，则实数a ＝________.－2 [不等式ax －1x ＋1<0等价于(ax －1)(x ＋1)<0，由题意可知x ＝－1及x ＝－12是方程(ax －1)(x ＋1)＝0的两个实数根，∴1a ＝－12，即a ＝－2.]4．若关于x 的不等式x 2－2ax －8a 2<0(a >0)的解集为(x 1，x 2)，且x 2－x 1＝15，则a ＝________.52[由x 2－2ax －8a 2<0， 得(x ＋2a )(x －4a )<0，因a >0， 所以不等式的解集为(－2a,4a )， 即x 2＝4a ，x 1＝－2a ，由x 2－x 1＝15，得4a －(－2a )＝15，解得a ＝52.]5．不等式x 2－2x ＋5≥a 2－3a 对任意实数x 恒成立，则实数a 的取值范围为________．[－1,4] [令f (x )＝x 2－2x ＋5，则f (x )＝(x －1)2＋4≥4， 由a 2－3a ≤4得－1≤a ≤4.]6．若不等式mx 2＋2mx ＋1>0的解集为R ，则m 的取值范围是__________． [0,1) [①当m ＝0时，1>0显然成立；②当m ≠0时，由条件知⎩⎨⎧m >0，Δ＝4m 2－4m <0，得0<m <1， 由①②知0≤m <1.]7．(2016·苏北四市摸底考试)已知函数f (x )＝－x 2＋2x ，则不等式f (log 2x )<f (2)的解集为________．(0,1)∪(4，＋∞) [由f (log 2x )<f (2)可得 －(log 2x )2＋2log 2x <－4＋4， ∴log 2x (2－log 2x )<0， ∴log 2x >2或log 2x <0， ∴x >4或0<x <1，即不等式f (log 2x )2<f (2)的解集为(0,1)∪(4，＋∞)．]8．(2017·南京、盐城二模)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧12x ＋1， x ≤0，－(x －1)2，x >0，则不等式f (x )≥－1的解集是__________. 【导学号：62172077】[－4,2] [不等式f (x )≥－1⇔⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0，12x ＋1≥－1或⎩⎨⎧x >0，－(x －1)2≥－1，解得－4≤x ≤0或0<x ≤2，故不等式f (x )≥－1的解集是[－4,2]．]9．已知一元二次不等式f (x )<0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x | x <－1或x >13，则f (e x )>0的解集为________．{x |x <－ln 3} [设－1和13是方程x 2＋ax ＋b ＝0的两个实数根，∴a ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫－1＋13＝23，b ＝－1×13＝－13.∵一元二次不等式f (x )<0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x | x <－1或x >13，∴f (x )＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋23x －13＝－x 2－23x ＋13，∴f (x )>0的解集为x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，13.不等式f (e x )>0可化为－1<e x <13. 解得x <ln 13， ∴x <－ln 3，即f (e x )>0的解集为{x |x <－ln 3}．]10．已知函数f (x )＝－x 2＋ax ＋b 2－b ＋1(a ∈R ，b ∈R )，对任意实数x 都有f (1－x )＝f (1＋x )成立，当x ∈[－1,1]时，f (x )>0恒成立，则b 的取值范围是________．b <－1或b >2 [由f (1－x )＝f (1＋x )知f (x )图象的对称轴为直线x ＝1， 则有a2＝1，故a ＝2.由f (x )的图象可知f (x )在[－1,1]上为增函数．∵x ∈[－1,1]时，f (x )min ＝f (－1)＝－1－2＋b 2－b ＋1＝b 2－b －2， 令b 2－b －2>0，解得b <－1或b >2.] 二、解答题11．已知函数f (x )＝ax 2＋2ax ＋1的定义域为R . (1)求a 的取值范围；(2)若函数f (x )的最小值为22，解关于x 的不等式x 2－x －a 2－a <0.【导学号：62172078】[解] (1)由题意可知ax 2＋2ax ＋1≥0恒成立． ①当a ＝0时，符合题意， ②当a ≠0时，只需⎩⎨⎧a >0，Δ＝4a 2－4a ≤0，即0<a ≤1. 综上所述，实数a 的取值范围是[0,1]． (2)∵f (x )min ＝22，∴ax 2＋2ax ＋1的最小值为12. 即⎩⎪⎨⎪⎧4a －4a 24a ＝12，a >0，解得a ＝12.∴不等式x 2－x －34<0的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－12<x <32.12．(2017·启东中学高三第一次月考)已知命题∃x ∈{x |－1<x <1}，使等式x 2－x －m ＝0成立是真命题．(1)求实数m 的取值集合M ；(2)设不等式(x －a )(x ＋a －2)<0的解集为N ，若x ∈N 是x ∈M 的必要条件，求a 的取值范围．[解] (1)由x 2－x －m ＝0可得m ＝x 2－x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122－14.∵－1<x <1，∴－14≤m <2，∴M ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫m ⎪⎪⎪－14≤m <2. (2)若x ∈N 是x ∈M 的必要条件，则M ⊆N ， ①当a >2－a ，即a >1时，N ＝{x |2－a <x <a }， 则⎩⎪⎨⎪⎧2－a <－14，a ≥2，a >1，即a >94.②当a <2－a ，即a <1时，N ＝{x |a <x <2－a }， 则⎩⎪⎨⎪⎧a <1，a <－14，即a <－14，2－a ≥2，③当a ＝2－a ，即a ＝1时，N ＝∅，不合题意．综上可得a <－14或a >94.B 组 能力提升(建议用时：15分钟)1．若关于x 的不等式x 2－4x －2－a >0在区间(1,4)内有解，则实数a 的取值范围是________．(－∞，－2) [不等式x 2－4x －2－a >0在区间(1,4)内有解等价于a <(x 2－4x －2)max ，令g (x )＝x 2－4x －2，x ∈(1,4)，∴g (x )<g (4)＝－2，∴a <－2.]2．在R 上定义运算：x *y ＝x (1－y )，若不等式(x －y )*(x ＋y )<1对一切实数x 恒成立，则实数y 的取值范围是__________．⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32 [由题意知(x －y )*(x ＋y )＝(x －y )·[1－(x ＋y )]<1对一切实数x 恒成立，所以－x 2＋x ＋y 2－y －1<0对于x ∈R 恒成立．故Δ＝12－4×(－1)×(y 2－y －1)<0，所以4y 2－4y －3<0，解得－12<y <32.]3．(2017·南通第一次学情检测)已知二次函数f (x )＝ax 2－bx ＋2.(1)若不等式f (x )>0的解集为{x |x >2或x <1}，求a 和b 的值；(2)若b ＝2a ＋1，对任意a ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1，f (x )>0恒成立，求x 的取值范围． [解] (1)因为不等式f (x )>0的解集为{x |x >2或x <1}，所以与之对应的二次方程ax 2－bx ＋2＝0的两个根为1和2，由韦达定理，得a ＝1，b ＝3.(2)令g (a )＝a ()x 2－2x －x ＋2，则⎩⎪⎨⎪⎧ g (1)>0，g ⎝ ⎛⎭⎪⎫12>0，解得x >2或x <1.故实数x 的取值范围为(－∞，1)∪(2，＋∞)．4．已知函数f (x )＝x 2－2ax －1＋a ，a ∈R .(1)若a ＝2，试求函数y ＝f (x )x (x >0)的最小值；(2)对于任意的x ∈[0,2]，不等式f (x )≤a 成立，试求a 的取值范围．[解] (1)依题意得y ＝f (x )x ＝x 2－4x ＋1x ＝x ＋1x －4.因为x >0，所以x ＋1x ≥2，当且仅当x ＝1x ，即x ＝1时，等号成立，所以y ≥－2.所以当x ＝1时，y ＝f (x )x 的最小值为－2.(2)因为f (x )－a ＝x 2－2ax －1，所以要使得“∀x ∈[0,2]，不等式f (x )≤a 成立”只要“x 2－2ax －1≤0在[0,2]上恒成立”．不妨设g (x )＝x 2－2ax －1，则只要g (x )≤0在[0,2]上恒成立即可，所以⎩⎨⎧ g (0)≤0，g (2)≤0，即⎩⎨⎧ 0－0－1≤0，4－4a －1≤0， 解得a ≥34，则a 的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫34，＋∞.。