下载文档原格式
小论有理数数学中有一些奇妙的数字——有理数。
有理数有正整数、负整数和0，许多人只把它们看成简单的正负数，但是这简单的正负数却迷惑了许多人，包括那些著名的数学家，我对有理数有以下一些看法：有理数的理解大家基本上都很懂了——把正数当成是盈利，把负数当成亏本。
但关于有理数的计算却还有许多人搞不清楚。
有理数的四则运算是“同号得正，异号得负”的，短短的“1-（-1）”大家都知道这等于“1+1”，但如果是很长的一个算式，一大堆的“+”、“-”号，再加上乘方，恐怕再细心的人也难免被迷惑、算错。
难道就没有什么办法能让这种错误减少吗？在解这类问题时，我认为可以用一种简单的办法，只要把被乘数的符号记住，再与后面的数“同号得正，异号得负”，如果有乘方，正数的乘方都是正数，负数就是“奇数得负，偶数得正”。
不过这还要靠认真，有的人总是因为乘数前面有一个比较好算、或是算得比较熟练的数，就把它们乘在一起——错了！这样的错误许多人肯定都犯过，可是能改的人就不多了。
解决这种问题，最重要的还是能弄清符号。
在算式中，化简也会使数字变号。
一个小括号还简单，可如果是好几个括号，又想快一点，就一下跳过几个括号，这样很容易错。
如果要快，其实可以把几个要化简的数都加起来，这样一来就是化简结果。
有理数中还有一个奇妙的数——0。
老师出过这样一道题：“-101*（-100）*（-99）*……*103*104”，许多同学都算了好半天没个答案。
大家都被这道题难倒了，可谁也没想到得数是…当老师说答案时，大家又惊奇又为自己刚才算不出答案感到奇怪，得数是“0”！大家都没想到在“-101”与“104”之间有“0”这个数，任何数乘以这个数都等于零，因此得数也是0！0把一切数都化整为零，也使一些简单的算式“化简”了，一大串数都变成0。
有理数的分类也是不太容易的。
比如0，不是正数也不是负数，是非正数也是非负数。
把0当做是正数，它却代表什么也没有；把0当做是负数，它又不是原点左边的数，那它也只能是一个非正非负的“中间数”。
硕士学位论文命题逻辑的模型论Model theory of propositional logic研究生姓名***指导教师姓名***指导教师职称教授申请学位类别理学硕士专业名称应用数学研究方向数理逻辑及其应用论文提交日期授予学位日期****师范大学学位论文独创性声明及使用授权声明学位论文独创性声明学位论文作者及导师郑重声明：本学位论文是作者在导师的指导下进行的研究工作及取得的研究成果。
据我们所知，除文中已经注明引用的内容外，本论文不包含其他个人已经发表或撰写过的研究成果。
对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中作了明确说明并表示谢意。
学位论文作者和导师均承担本声明的法律责任。
学位论文作者签名：____________日期：__________导师签名：__________ 日期：__________学位论文使用授权声明本人完全了解****师范大学有关保留、使用学位论文的规定。
学校有权保留学位论文并向国家主管部门或其指定机构送交论文的电子版和纸质版；有权将学位论文用于非赢利目的的少量复制并允许论文进入学校图书馆被查阅；有权将学位论文的内容编入有关数据库进行检索；有权将学位论文的标题和摘要汇编出版。
保密的学位论文在解密后适用本规定。
学位论文作者签名：____________日期：__________导师签名：__________ 日期：__________命题逻辑的模型论摘要：数理逻辑是用数学方法深入研究数学规律的一门学科，而模型论作为数理逻辑的一个重要分支，是研究形式语言及其解释（模型）之间关系的理论。
它在经典数学中有着独特的应用，它为数学论证提供了超出一般常规的新方法，可以用来证明很多难以用常规方法证明的定理。
数理逻辑近年来发展特别迅速，主要原因是这门学科对于数学其它分支如集合论、数论、代数、拓扑学等的发展有重大的影响，特别是对新近形成的计算机科学的发展起了推动作用。
反过来，其他学科的发展也推动了数理逻辑的发展。
数理逻辑（MathematicalLogic）数理逻辑(Mathematical logic)是用数学方法研究诸如推理的有效性、证明的真实性、数学的真理性和计算的可行性等这类现象中的逻辑问题的一门学问。
其研究对象是对证明和计算这两个直观概念进行符号化以后的形式系统。
数理逻辑是数学基础的一个不可缺少的组成部分。
数理逻辑的研究范围是逻辑中可被数学模式化的部分。
以前称为符号逻辑（相对于哲学逻辑），又称元数学，后者的使用现已局限于证明论的某些方面。
历史背景“数理逻辑”的名称由皮亚诺首先给出，又称为符号逻辑。
数理逻辑在本质上依然是亚里士多德的逻辑学，但从记号学的观点来讲，它是用抽象代数来记述的。
某些哲学倾向浓厚的数学家对用符号或代数方法来处理形式逻辑作过一些尝试，比如说莱布尼兹和朗伯（Johann Heinrich Lambert）；但他们的工作鲜为人知，后继无人。
直到19世纪中叶，乔治·布尔和其后的奥古斯都·德·摩根才提出了一种处理逻辑问题的系统性的数学方法（当然不是定量性的）。
亚里士多德以来的传统逻辑得到改革和完成，由此也得到了研究数学基本概念的合适工具。
虽然这并不意味着1900年至1925年间的有关数学基础的争论已有了定论，但这“新”逻辑在很大程度上澄清了有关数学的哲学问题。
在整个20世纪里，逻辑中的大量工作已经集中于逻辑系统的形式化以及在研究逻辑系统的完全性和协调性的问题上。
本身这种逻辑系统的形式化的研究就是采用数学逻辑的方法.传统的逻辑研究（参见逻辑论题列表）较偏重于“论证的形式”，而当代数理逻辑的态度也许可以被总结为对于内容的组合研究。
它同时包括“语法”（例如，从一形式语言把一个文字串传送给一编译器程序，从而转写为机器指令）和“语义”（在模型论中构造特定模型或全部模型的集合）。
数理逻辑的重要著作有戈特洛布·弗雷格（Gottlob Frege）的《概念文字》（Begriffsschrift）、伯特兰·罗素的《数学原理》（Principia Mathematica）等。
逻辑学导论论文（共五篇）第一篇：逻辑学导论论文大学生活该如何度过大学生活，只要不是整天宅寝室，整天翘课出去玩，只要不是图舒服，图安逸，混混沌沌混大学的，就大致可分为两种生活方式，一是学习并掌握生存技能，二是体会美好的大学生活，从各个方面完善自己的品格和素养。
对于这两者，我更倾向于后者。
首先，生存技能，即赖以生存的技能或手段，生存技能有很多，有体力脑力的，难道只有上了大学才能学到生存技能吗？那些理发师，厨师，汽车修理工，技工都有一技之长，都有生存技能，那难道他们都上过大学吗？答案显然不是，那么既然不上大学就都能做到的事，又何必偏偏要在大学里去做呢？何况上大学也是需要不少时间，金钱成本的，如果只为学习一门技艺，何必不去专业技术培训中心呢？又省时又省钱。
其二，我们在大学生活之后就得面临一个很现实的问题---工作或者考研，事实上考研也多是为了更顺利地找到更好的工作。
只有工作劳动，我们才能养活自己，像中头彩之类的天上掉馅饼的美事也只能是极少数人，不具备普遍性。
因而在大学学会相关专业的技能知识，应对就业，就似乎显得尤为重要，学金融的可以去做经济分析师，学会计的可以去做会计，学建筑的可以去做建筑设计师，学外语的可以去做翻译等等，仿佛以后的人生就已经能用了了数十字规划成形。
但是我们似乎忘了，除了学习专业知识，除了毕业工作，我们还需要什么，我们还需要去做些什么？就上述两个主要疑问，我们不难看出大学生活用来学习生存技能是不明智的。
在中国，学生在这样连续十二年应试教育之后，最需要的不是什么生存技能，而是成熟的社会能力和完善的品格素养。
大学，事实上也就是一个社会的缩影，或者可以称之为亚社会。
大学，不同以往的高中，初中，小学，它有更多学生，更开放，更复杂。
如果简单地将学生比作人民，那么学生会，艺术团，班联之类的组织，可以简单地看做政府以及监管机构。
这么比喻不无道理，学生会这些组织内部已经出现了公款吃喝等现象，这与当下的一部分政府何其相似。
数理逻辑与离散数学数理逻辑与离散数学是一门研究数学中的逻辑和离散结构的学科。
它们在数学领域中扮演着重要的角色，为数学家和计算机科学家提供了强大的工具和方法。
在这篇文章中，我们将探讨数理逻辑与离散数学的基本概念、应用和发展。
1. 数理逻辑的基本概念数理逻辑是研究逻辑的数学分支，它主要关注命题、谓词和推理的形式化。
数理逻辑的基本概念包括命题逻辑、谓词逻辑和形式系统等。
命题逻辑研究的是命题的真假和推理的正确性，谓词逻辑则引入了个体和谓词的概念，用于描述更加复杂的逻辑结构。
形式系统则是数理逻辑的基础，它定义了逻辑推理的规则和语法。
2. 离散数学的基本概念离散数学是研究离散结构的数学分支，它主要关注离散对象和离散关系的性质。
离散数学的基本概念包括集合论、图论、代数结构等。
集合论研究的是集合的性质和运算，图论则研究的是图的性质和算法。
代数结构则是研究代数系统的抽象结构，包括群、环和域等。
3. 数理逻辑与离散数学的应用数理逻辑和离散数学在数学和计算机科学中有广泛的应用。
在数学领域，它们被用于证明和推理，帮助数学家发现新的定理和结论。
在计算机科学领域，数理逻辑和离散数学为计算机科学家提供了建模和分析的工具。
例如，图论被广泛应用于网络和路由算法的设计，离散数学的概念被用于设计和分析算法的正确性和复杂性。
4. 数理逻辑与离散数学的发展数理逻辑和离散数学作为学科的发展可以追溯到19世纪末。
随着数学和计算机科学的发展，它们变得越来越重要。
在20世纪，数理逻辑和离散数学得到了快速发展，涌现出了许多重要的理论和方法。
例如，哥德尔的不完备性定理揭示了数理逻辑的局限性，图论的四色定理解决了染色问题的一个重要难题。
总结起来，数理逻辑与离散数学是一门研究数学逻辑和离散结构的学科，它们在数学和计算机科学中有重要的应用和发展。
通过形式化和抽象化，数理逻辑和离散数学帮助数学家和计算机科学家研究和理解复杂的问题。
随着科学技术的不断进步，数理逻辑和离散数学将继续发展，为人类的认知和计算能力提供更强大的支持。
有关数学⼩论⽂范⽂“数学⼩论⽂”是让学⽣以⽇记的形式描述他们发现的数学问题及其解决，是学⽣数学学习经历的⼀种书⾯写作记录。
它可以是学⽣对某⼀个数学问题的理解、评价，可以是数学活动中的真实⼼态和想法，可以是进⾏数学综合实践活动遇到的问题，也可以是利⽤所学的数学知识解决⽣活中数学问题的经过等。
有关数学⼩论⽂范⽂1 离散数学课程论⽂ ⼀、对离散数学的理解 由于《离散数学》是⼀门数学课，且是由⼏个数学分⽀综合在⼀起的，内容繁多，⾮常抽象，因此即使是数学系的学⽣学起来都会倍感困难，对计算科学专业的学⽣来说就更是如此。
⼤家普遍反映这是⼤学四年最难学的⼀门课之⼀。
离散数学是计算机科学基础理论的核⼼课程之⼀，是计算机及应⽤、通信等专业的⼀门重要的基础课。
它以研究量的结构和相互关系为主要⽬标，其研究对象⼀般是有限个或可数个元素，充分体现了计算机科学离散性的特点。
学习离散数学的⽬的是为学习计算机、通信等专业各后续课程做好必要的知识准备，进⼀步提⾼抽象思维和逻辑推理的能⼒，为计算机的应⽤提供必要的描述⼯具和理论基础。
1.定义和定理多离散数学是建⽴在⼤量定义、定理之上的逻辑推理学科，因此对概念的理解是学习这门课程的核⼼。
在学习这些概念的基础上，要特别注意概念之间的联系，⽽描述这些联系的实体则是⼤量的定理和性质。
在考试中有⼀部分内容是考查学⽣对定义和定理的识记、理解和运⽤，因此要真正理解离散数学中所给出的每个基本概念的真正的含义。
⽐如，命题的定义、五个基本联结词、公式的主析取范式和主合取范式、三个推理规则以及反证法;集合的五种运算的定义;关系的定义和关系的四个性质;函数(映射)和⼏种特殊函数(映射)的定义;图、完全图、简单图、⼦图、补图的定义;图中简单路、基本路的定义以及两个图同构的定义; 树与最⼩⽣成树的定义。
掌握和理解这些概念对于学好离散数学是⾄关重要的。
2. ⽅法性强在离散数学的学习过程中，⼀定要注重和掌握离散数学处理问题的⽅法，在做题时，找到⼀个合适的解题思路和⽅法是极为重要的。
初一议论作文：数学小论文**引言**在我们的日常生活中，数学无处不在。
从简单的加法到复杂的微积分，从日常购物到宇宙探索，数学都发挥着重要的作用。
今天，我们将一起探索数字的奥秘，了解它的起源、发展和应用。
**数字的起源**数字的起源可以追溯到古代文明，如古埃及、古印度和中国。
这些文明都发展出了自己的计数系统，如十进制、二进制、六十进制等。
这些计数系统的发展，为数学的发展奠定了基础。
数字的发展经历了漫长的过程，从最简单的1和2开始，逐渐增加了更多的数字，形成了我们现在所知的阿拉伯数字。
**数学在生活中的应用**数学在我们的日常生活中应用广泛。
购物时，我们需要进行简单的加法运算；在制定计划时，我们需要使用数学中的比例和函数来预测未来的结果；在医学研究中，我们需要使用统计学的知识来分析数据。
此外，数学在物理学、工程学、经济学等领域也有广泛的应用。
**数学的美**数学的美在于它的简洁、精确和逻辑性。
例如，二次方程ax²+bx+c=0的解公式为x=(-b±√(b²-4ac))/2a，这个公式虽然简单，但却包含了深刻的数学原理。
此外，数学的对称性和简洁性也让人感到美妙。
**数学的未来**随着科技的进步，数学的应用将更加广泛。
例如，人工智能的发展离不开数学的支持；宇宙探索中的许多问题也需要数学来解决。
因此，数学在未来将扮演更加重要的角色。
**结语**数学是一个充满奥秘和魅力的学科。
通过学习数学，我们可以更好地理解世界，解决实际问题，并欣赏它的美。
让我们一起探索数学的奥秘，为未来做好准备。
**参考文献**（如果有相关文献，可添加）**附录**（可添加相关图表和图片）。
大学研究生学位课程论文论文题目：小议数理逻辑
小议数理逻辑
摘要：数理逻辑是一门工具性很强的学科，与其他学科比如数学、计算机科学有着重要联系，并在实际应用中越来越受到重视，本文简要分析了数理逻辑的概念、发展历程与重要作用，以对初学者有所帮助。
关键词：数理逻辑；发展阶段；作用
一什么是数理逻辑
什么是逻辑学有不少逻辑辞典或相关工具书上是这样定义的逻辑学是一门研究思维形式及其规律的科学, 而大逻辑学家皮尔斯却指出关于逻辑学的定义已有上百种之多, 但不论对逻辑有什么不同的理解, 而保证推理的有效性与可靠性, 总归是逻辑学的核心问题既然如此, 由于任何一门学科的生存和发展,都要依靠思维和推理, 也离不开推理的有效性与可靠性, 从而也就离不开逻辑学所以逻辑学对任何其他学科的渗透和应用也就势必极为深刻与广泛因而从普遍性意义上说, 逻辑学和数学有着惊人的类似, 只是逻辑学根植于方法与工具的普遍性, 而数学则还要根植于对象的直接性当然, 历史地看, 在亚里士多德思潮时代, 逻辑还只被看作是附属于哲学的一个组成部分, 但在科学技术高度发展的现代, 逻辑不仅早已走出哲学的范围, 而且早已和各种科学技术互相渗透, 极为广泛地应用到各门自然科学与社会科学中去, 各种各样经典或非经典的逻辑分支学科雨后春笋般诞生和发展起来, 逻辑学正在形成和发展为一个由众多分支学科所构成的科学体系。
数理逻辑又称符号逻辑, 是用数学方法研究思维形式的逻辑结构及其规律的学科。
所谓数学方法①,是指用一套表意符号即形式语言系统表达思维的形式结构和规律, 从而把对思维的研究转化为对符号的研究。
以便摆脱自然语言的歧义性, 构成能像算术或代数那样的严格精确的演算系统。
从逻辑角度看, 数理逻辑也是研究演绎的科学, 演绎方法包括演绎推理, 以演绎推理为基础的证明和公理方法。
从根本上讲它是传统逻辑的发展, 是现代的精确的形式逻辑。
现代数理逻辑主要有四大分支:证明论、模型论、递归论和公理集合论,其中命题演算和谓词演算（即一般的所谓古典数理逻辑）是各个分支的共同基础。
二、数理逻辑的发展阶段
数理逻辑的发展大体可分三个阶段。
第一阶段由十七世纪七十年代到十九世纪八十年代, 是开始用数学方法研究和处理形式逻辑的时期, 逻辑代数和关系逻辑是这一时期取得的重大成果, 莱布尼兹、布尔是创始者。
第二阶段由十九世纪八十年代到本世纪三十年代。
此时期把初等数论和集合论等方法运用到逻辑上, 使数理逻辑取得较大的突破,完成了命题演算和谓词演算两个系统, 弗雷格最早建立了两个系统, 罗素和怀特海的《数学原理》使之完美, 哥德尔完备性定理是这一时期完成的标志。
第三阶段由二十世纪三十年代至今。
是数理逻辑的蓬勃发展时期。
它以哥德尔不完全定理为开始, 取得了多方面的成就, 形成新体系证明论、递归论、公理集合论和模型论。
近年来两个演算还被用于处理非古典逻辑, 出现了构造性逻辑、多值逻辑、模态逻辑、道义逻辑、时态逻辑、知道逻辑、逻辑语义学、内涵逻辑等新分支。
哥德尔不完全性定理、塔斯基的形式语言的真理论、图灵的理想机和判定理论成了这一时期的三个杰出成就。
三数理逻辑的作用
数理逻辑是一门应用非常广泛的一门学科有着很重要的作用.它可以被运用到多门学科中。
比如说现代数理逻辑对马克思主义的哲学的研究有着极其重要的影响。
数理逻辑是思维科学的一个分支,也是数学的一个分支。
当前,数理逻辑有两个重要特征应当引起马克思主义哲学工作者的注意。
第一,由于具有强有力的形式表达和形式分析的能力,数理逻辑在哲学、语言学、经济学、法学、计算机科学、人工智能、决策学等诸多领域的现代发展中,得到了广泛的实质性的应用。
数理逻辑的方法,已成为当代人文科学的一种重要方法。
熟悉和掌握数理逻辑基础,已成为当代人文科学工作者,包括马克思主义哲学工作者应当具备的一种知识结构和素养。
一个最简单的事实是,如果不懂数理逻辑,上述诸多领域中的一些最新研究成果实际上不能读懂,在此基础上对这些成果的所作的哲学概括和思考难免不得要领。
讲到数理逻辑,容易联系到分析哲学。
不懂数理逻辑当然难以懂分析哲学,但如果因此以为,对于一个哲学工作者来说,懂数理逻辑的意义只在于可以懂分析哲学,则是一个误解。
第二,数理逻辑的一系列重要成果,极富哲学意蕴,有些对传统的哲学思考颇具挑战性,是马克思主义哲学审视和丰富自己的珍贵营养。
由于历史的原因,中国的马克思主义哲学工作者基本上(至少在技术上)不熟悉数理逻辑。
从马克思主义哲学的视角,对数理逻辑的科学成果进行哲学思考和提炼,是一个重大课题。
在哲学方面由于演绎方法是人们认识世界的重要工具, 因而了解演绎方法的发展、局限, 对搞哲学的人来说极为重要, 无论搞认识论, 或搞辩证法, 或搞辩证逻辑都是如此。
当今哲学在其发展过程中, 进一步加强了与数学和自然科学的联系, 数理逻辑的发展反映了这种趋势。
如数学哲学中的许多基本问题数学研究的对象、本质、方法、基本概念无限、集合等, 对它们作出马克思主义的解答, 需要研究起纽带作用的数理逻辑。
目前, 西方不少哲学流派, 是用数理逻辑中工具来阐述他们的观点的, 尽管有不少基本观点是错误的, 但确实也有可供马克思主义借鉴之处或加以提炼的方面。
但是如果不懂一点数理逻辑基本知识, 就难谈得上对这些流派作分析研究, 恐怕连开卷也难。
在语言学方面, 现代语言学的语法研究是建立在逻辑基础上的, 目前欧美新的语法理论已不下十五种, 这些新出现的理论一般是在新的逻辑理论和方法的基础上产生的。
几乎每出现一种新的逻辑理论和方法, 就会出现一种新的语法理论。
现代语言的语义学的形式化分析问题, 是一个极为复杂而又有十分重要的应用价值的问题, 它需要逻辑语义学作为工具, 它为计算机识别自然语言提供了可能。
塔斯基创立的现代逻辑语义学, 为判别形式语言中命题的真建立了一般理论, 不过它是在外延意义下展开的。
由卡尔纳普开始系统建立的, 卡普兰、蒙太古、克里普克加以发展的语义学, 考虑到了内涵方面。
如受到西方重视的崭新的蒙太古语法, 对语形语法范畴, 语义外延类型, 内涵类型作了综合考察, 使之在语言表达式的成份和整体方面,共同满足弗雷格原因, 结构方面符合同构原则。
这种高度的一般化的处理, 所化的代价是在局部处理上的极为复杂化的精细化, 美国逻辑学家·马塞把它和爱因斯坦的广义相对论媲美, 他认为爱因斯坦使用作为局部的复杂的非欧几何学加上物理学,得到了简洁和谐的广义相对论与蒙太古利用作为局部的复杂的高价内涵类型的逻辑处理加上语言学, 得到最为一般的简洁的语法理论是类似的。
数理逻辑在政治经济学研究方面也起到了很重要的作用现代政治经济学数理逻辑体系的创新与发展,就是要用数理逻辑来表达与构建其理论模型,这是现代政治经济学体系完善的一个重要内容。
使用数理逻辑对现代政治经济学进行经典表达、系统创新与拓展应用的研究,对现代政治经济学创新与发展具有重要的理论价值。
现代政治经济学创新与发展的一个重要任务就是要大量使用高等数学的最新成果来表述与分析、演绎与推理其理论框架(数理模型) ,力图在数理逻辑的明晰假设基础上进行理论传承与创新,以弥补现代政治经济学这方面的缺憾。
当今人类社会的理论经济学主要分为现代政治经济学和现代西方经济学两大理论体系,两者在本质形态上是相互对立而无法融合的,但在表象形态则可以相互融通与连接。
现代政治经济学也有中外马克思主义经济学之分,尽管它们所依据
的社会背景有所不同,但是它们的研究途径和研究范式却是相同和相通的。
现代政治经济学创新与发展的一个重要任务是“必须大胆吸收和借鉴人类社会创造的一切文明成果”,也就是在承认政治经济学与西方经济学、中外马克思主义经济学差异性的基础上,通过相互学习、相互借鉴来发展自己。
数理逻辑具有便于演绎推理和言简意赅的特征,也有益于我们在现代资本主义经济和社会主义经济改
革与建设极端复杂的条件下,根据我们的目的选择出与我们研究问题相关的最基本的经济因素和经
济关系,使我们能够就现代经济社会的核心问题进行更精确的表述与科学的研究,从而得出对现实经济活动具有指导性的结论。
当然数理逻辑在其他领域也有着很重要的作用，在这里就不一一道来了。
四小结
目前，在各个学科的许多问题中都要运用数理逻辑的技术和方法分析，数理逻辑的思维也因其严谨性与精确性等优越条件而越来越受到重视，因此,作为渴求掌握现代科学知识、技术的人们更应不断地吸收数理逻辑学思维方法,并将其应用于解决实际问题。
参考文献:
[1]王世强.浅谈数理逻辑对数学研究的贡献[J].哲学研究,1993
[2]刘治旺等编数理逻辑讲义郑州大学哲学系印,1982
[3]邱伟德, 胡美璨数理逻辑、集合北京人民邮电出版社,1987。
