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初中数学教案：解二元一次方程一、引言二元一次方程是初中数学中重要的内容之一，解二元一次方程需要熟练掌握代入法和消元法两种方法。
本教案将针对解二元一次方程的基础知识、解题步骤和常见问题进行详细介绍，帮助学生掌握解题技巧。
二、基础知识1. 什么是二元一次方程？二元一次方程是含有两个未知数的线性方程，形式通常为ax+by=c。
2. 二变量的意义a和b代表着未知数x和y前面的系数，c代表等式右边的常数项。
3. 解二元一次方程有多少组解？如果一个线性方程组有且只有一个解，则称该方程组为可逆线性方程组；如果一个线性方程组有无穷多个解，则称该方程组为同解线性方程组。
三、代入法求解步骤在使用代入法求解二元一次方程时，可以先用其中一个未知数表示成另一个未知数的函数形式，然后将其代入到另一个方程中，从而得到只含有一个未知数的一元一次方程，进而求得其值。
四、消元法求解步骤使用消元法求解二元一次方程时，通过增加或减少两个方程，使得未知数的系数相等或者互为相反数，然后相加或相减得到一个只含有一个未知数的一元一次方程，进而求解。
五、实例演练示例1：求解方程组2x + y = 7x - y = 3解题步骤：1. 使用代入法将第二个方程中的x表示成y的函数形式：x = y + 3将代入到第一个方程中：2(y+3) + y = 7得到：3y + 6 = 7化简后得到：3y = 1，即y = 1/3。
将y的值代入x=y+3，可得x=4/3。
所以该方程组的解为{x=4/3, y=1/3}。
2. 使用消元法将第二个方程乘以2变成2(x-y)=6。
将其与第一个方程相加得到：2x+y+x-y=7+6，即3x=13。
化简后可得x=13/3。
将x的值代入第一个方程可得2(13/3)+y=7，即26/3+y=7。
化简后可得y=-5/3。
所以该方程组的解为{x=13/3, y=-5/3}。
六、解题技巧与常见问题1. 注意方程式的排列在代入法和消元法中，确保两个方程的顺序是一致的，这样才能正确地进行计算。
《二元一次方程和它的解》讲义一、什么是二元一次方程在数学的世界里，二元一次方程是一个非常基础且重要的概念。
那到底什么是二元一次方程呢？简单来说，二元一次方程就是含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是 1 的整式方程。
我们可以用一般形式来表示二元一次方程，即：ax ＋ by ＝ c （其中 a、b 都不为 0）。
比如说，像 2x ＋ 3y ＝ 7 、5x 2y ＝ 9 这样的方程，都是二元一次方程。
这里的 x 和 y 就是两个未知数，a 和 b 分别是 x 和 y 的系数，c 是常数项。
需要注意的是，方程中的系数 a、b 以及常数项 c 都是实数。
二、二元一次方程的特点了解了二元一次方程的定义，我们再来看看它有哪些特点。
首先，二元一次方程有两个未知数。
这两个未知数在方程中地位是平等的，没有主次之分。
其次，方程中含未知数的项的次数都是 1。
这意味着 x 和 y 的指数都是 1，不会出现像 x²或者 y³这样的情况。
再者，二元一次方程是整式方程。
也就是说，方程的分母中不含未知数。
比如 2/（x ＋ y) ＝ 3 就不是二元一次方程，因为分母中含有未知数x 和 y 。
三、二元一次方程的解既然有方程，那就必然有解。
那什么是二元一次方程的解呢？对于一个二元一次方程，如果能找到一组未知数的值，使得方程左右两边相等，那么这组未知数的值就叫做这个二元一次方程的一个解。
比如对于方程 2x ＋ 3y ＝ 7 ，如果 x ＝ 1 ，y ＝ 1 ，代入方程左边得到：2×1 ＋ 3×1 ＝ 5 ，不等于右边的 7 ，所以 x ＝ 1 ，y ＝ 1 不是方程的解。
而如果 x ＝ 2 ，y ＝ 1 ，代入方程左边得到：2×2 ＋ 3×1 ＝ 7 ，等于右边的 7 ，所以 x ＝ 2 ，y ＝ 1 就是方程 2x ＋ 3y ＝ 7 的一个解。
一般来说，一个二元一次方程有无数个解。
八年级二元一次方程知识点在初中数学中，二元一次方程是一个非常重要的知识点，需要在八年级阶段系统地学习掌握。
本文将为大家介绍二元一次方程的相关知识点。
一、二元一次方程的定义二元一次方程是指一个含有两个未知数的方程，并且每个未知数的最高次数都是一次。
一般的形式如下：ax + by = c其中，a、b、c为已知数，x、y为未知数。
二、二元一次方程的解法1. 消元法消元法是二元一次方程最常用的解法之一，具体步骤如下：将其中一个未知数用另一个未知数的系数和常数表示出来，代入原方程中，得到只含有一个未知数的方程，解出该未知数的值，再代入原方程中求出另一个未知数的值。
2. 代入法代入法也是常用的解法之一，具体步骤如下：将其中一个方程中的一个未知数用另一个未知数的值替换，将该未知数的值代入另一个方程中，得到只含有一个未知数的方程，解出该未知数的值，再代入原方程中求出另一个未知数的值。
3. Cramer法则Cramer法则是一种比较笨拙的解法，但是对于学习线性代数的同学还是很有用的。
其具体步骤如下：设线性方程组的系数矩阵为A，变量矩阵为X，常数列矩阵为B，则有AX=B设行列式为D，有D=│A│则X1=│A1│/D,X2=│A2│/D其中A1和A2即为将B列向量替换对应列向量所得的新矩阵的行列式。
三、二元一次方程的应用二元一次方程的应用非常广泛，主要用于解决实际生活中的问题。
下面我们就来看一些例子：1. 小明有20元人民币和5元人民币各n张，他一共有50元钱，那么他有多少张20元人民币和多少张5元人民币？解：设小明有x张20元人民币，y张5元人民币，则有以下两个方程：20x + 5y = 50x + y = n将第二个方程中的y用n-x代入第一个方程中，可得20x + 5(n-x) = 50化简可得x = 2代入第二个方程可得y = n-2因此，小明有2张20元人民币和n-2张5元人民币。
2. 赛跑时，两人分别以a m/s和b m/s的速度起跑，在t秒后，一个人比另一个人领先了d米，那么t秒后两人分别跑了多少距离？解：设两人距离起点位置的距离分别为x1和x2，则有以下两个方程：x1 = at + dx2 = bt将第一个方程中的t用(x1-d)/a代入第二个方程中，可得x2 = bx1/a - bd/a代入第一个方程可得x1 = a(x1-d)/a + d化简可得x1 = (ad)/(a-b)x2 = (bd)/(a-b)因此，t秒后第一个人跑了(ad)/(a-b)米，第二个人跑了(bd)/(a-b)米。
八年级数学解二元一次方程在数学课上，我们学习了各种各样的方程式。
其中，二元一次方程是我们学习的重要内容之一。
二元一次方程（又称为二元线性方程）是指含有两个未知数（通常用 x 和 y 表示）的一次方程。
解二元一次方程就是要找到能够同时满足方程中的两个未知数的值。
在本文中，我们将探讨解二元一次方程的方法和步骤。
解二元一次方程的一般步骤如下：步骤 1：观察方程式。
首先，我们需要观察给定的二元一次方程，并确定方程的形式和系数。
一个典型的二元一次方程的形式如下：ax + by = c步骤 2：通过消元法消去一个变量。
我们可以利用消元法将方程化简为只含有一个未知数的方程。
消元法的基本思想是通过适当的操作，使得在两个方程中的某一个变量的系数相等并最终消除它。
步骤 3：求解未知数。
接下来，我们可以使用代入法或减法法来求解剩下的未知数。
代入法是指将步骤 2 中求得的某一个未知数的表达式代入到另一个方程中，从而得到只含有一个未知数的方程并求解它。
减法法是指将两个方程相减，从而消去其中一个未知数，再进一步计算求解另一个未知数。
步骤 4：检验解。
最后，我们需要将求得的未知数代入原始的方程中，验证它们是否满足原方程。
如果满足，则我们得到了正确的解。
反之，则需要重新检查我们的计算步骤。
现在，让我们通过一个例题来具体展示解二元一次方程的过程。
例题：解方程组：2x + y = 53x - 4y = 2解题过程：首先，我们观察到这是一个二元一次方程组，方程组为：2x + y = 5 (1)3x - 4y = 2 (2)接下来，我们通过消元法来消去变量 y。
我们可以将方程（1）的两倍加到方程（2）上，得到：4x + 2y = 103x - 4y = 2然后，我们可以将这两个方程相减，得到：x + 6y = 8 (3)接下来，我们再次观察原方程组。
我们可以选择代入法或减法法来求解未知数。
在本例中，我们使用减法法。
我们将方程（1）乘以 4，并将方程（2）乘以 3，得到：8x + 4y = 209x - 12y = 6然后，我们将这两个方程相减，得到：- x + 16y = 14 (4)现在，我们得到了两个只含有一个未知数的方程，即方程（3）和方程（4）。
《认识二元一次方程组》教学设计一、教学目标知识与技能：了解二元一次方程、二元一次方程组及其解的有关概念；会判断一组数是否为二元一次方程与二元一次方程组的解.过程与方法：通过类比学习、自主探究、合作交流的过程，提升类比学习的能力、培养探究的意识。
情感与态度：感受数学与生活的密切联系，培养学习数学的兴趣。
二、学法引导1.教学方法:讨论法、练习法、尝试指点法.2.学生学法:理解二元一次方程和二元一次方程组及其解的概念，并对照方程及其解的概念，以强化对概念的辨析;同时规范检验方程组的解的书写过程，为今后的学习打下良好的数学基础.三、教学重难点重点：掌握二元一次方程及二元一次方程组的概念，理解它们解的含义；难点：从实际问题中抽象出二元一次方程组的过程，体会方程的模型思想.五、课时安排一课时.六、教具学具准备电脑或投影仪.七、师生互动活动设计 1.教师通过让学生观看援鄂医疗队视频的方式，创设情境，导入课题，并引入二元一次方程和二元一次方程组的概念. 2.通过抢答等环节反复的练习让学生学会正确的判断二元一次方程及二元一次方程组. 3.通过双人小游戏让学生理解二元一次方程（组）的解的概念，让学生积极参与到课堂中八、教学过程1.创设情境、视频导入教师为学生播放疫情期间山东援鄂医疗队的视频，引起学生的情感共鸣,让学生表达自己的感受2.二元一次方程的概念以视频中情境为背景，引入问题：（1）疫情期间，山东派出多支医疗队支援武汉。
在某支医疗队中，有男女医生总共26名，其中女医生比男医生多2名。
请问在该医疗队中，男医生和女医生各有多少名？（列出方程即可）（教师引导学生思考）我们之前学过哪种方程？什么叫一元一次方程？学生回答。
教师：请你用列一元一次方程的方法解决这个问题学生活动：设男医生x 名，则女医生(x+2)名根据题意得:x+(x+2)=26想一想：在这个问题中共有几个未知量？几个等量关系？我们能否把两个未知量全部设为未知数列出方程？请你尝试一下.学生活动：解 设男医生x 名，女医生y 名根据题意得:x+y=26 y-2=x用设两个未知数的方式解决问题2（2）疫情期间，在某医疗用品专卖店中，消毒水5元/瓶，口罩3元/个，小明买了口罩和消毒水共8件，一共花了34元，请问口罩和消毒水各买了多少件？（列出方程即可） 学生活动：解 设买了口罩x 件，消毒水y 件根据题意得:x+y=8 5x+3y=34视察所列出的四个方程，他们有什么共同特征？类比一元一次方程的定义，学生发现每个方程中都含有两个未知数，并且未知数的指数都是1，教师让学生自己归纳概念后给出总结：含有两个未知数,并且所含未知数的项的次数都是 1 的方程叫做二元一次方程. 以xy+1=2为例，让学生判断是否是二元一次方程，强化概念.抢答：请判断下列各方程中，哪些是二元一次方程，哪些不是？并说明理由.12x =+y2y 1x =+7x =⋅⋅m y4x =+π【教法说明】学生经历视察、探索的过程，自己归纳总结出方程的特点之后给出二元一次方程的概念，比直接定义印象会更深刻。
第一节▪认识二元一次方程组
一、二元一次方程及其解
（1）二元一次方程：含有两个未知数（x 和y ），并且含有未知数的项的次数都是1，像这样的整式方程叫做二元一次方程，它的一般形式是(0,0)ax by c a b +=≠≠.
（2）二元一次方程的解：一般地，能够使二元一次方程的左右两边相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解. 【二元一次方程有无数组解】
二、二元一次方程组及其解
（1）、二元一次方程组：含有两个未知数（x 和y ），并且含有未知数的项的次数都是1，将这样的两个或几个一次方程合起来组成的方程组叫做二元一次方程组.
（2）、二元一次方程组的解：二元一次方程组中的几个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解.【二元一次方程
组解的情况：①无解，例如：16x y x y +=⎧⎨+=⎩，1226x y x y +=⎧⎨+=⎩；②有且只有一组解，例如：122
x y x y +=⎧⎨+=⎩；③有无数组解，例如：1222
x y x y +=⎧⎨+=⎩.】 例1、若方程213257m n x y --+=是关于x y 、的二元一次方程，求m 、n 的值.
解：∵方程213257m n x y --+=是关于x y 、的二元一次方程 ∴211321m n -=⎧⎨-=⎩解得11
m n =⎧⎨=⎩ 例2、将方程102(3)3(2)y x --=-变形，用含有x 的代数式表示y .
解:去括号得，106263y x -+=- 移项得，261063y x =-+-
合并同类项得，223y x =- 系数化为1得，232
x y -=
例3、方程310x y +=在正整数范围内有哪几组解？
解：有三组解，分别是147,,321
x x x y y y ===⎧⎧⎧⎨⎨⎨===⎩⎩⎩ 例4、若23x y =⎧⎨=⎩是方程组2315x m nx my -=⎧⎨-=-⎩的解，求m n 、的值. 解：∵23x y =⎧⎨=⎩是方程组2315x m nx my -=⎧⎨-=-⎩的解 ∴431235m n m -=⎧⎨-=-⎩解得11
m n =⎧⎨=-⎩ 例5、已知(1)(1)1n m m x n y
++-=是关于x y 、的二元一次方程，求m n 的值. 解：∵(1)(1)1n m m x n y ++-=是关于x y 、的二元一次方程∴10110
1
m m n n +≠⎧⎪=⎪⎨-≠⎪⎪=⎩ 解得11m n =⎧⎨=-⎩ ∴1(1)1m n =-=- （变式训练）已知2
18(26)(2)0n m m x
n y +--++=是关于x y 、的二元一次方程，当2y =-时，求x 的值.
知识点1:二元一次方程及其解
1、下列各式是二元一次方程的是（ ）.
.A 67x y -= .B 105x y
-= .C 45x xy -= .D 210x x ++= 2、若32
x y =⎧⎨=⎩是关于x y 、的二元一次方程30x ay -=的一个（组）解，则a 的值为（ ）
.A 3 .B 4 .C 4.5 .D 6
3、对于二元一次方程21x y -=有无数个解，下列四组值不是该方程的解的一组是（ ）
.A 012
x y =⎧⎪⎨=⎪⎩ .B 11x y =⎧⎨=⎩ .C 10x y =⎧⎨=⎩ .D 11x y =-⎧⎨=-⎩ 4、二元一次方程27x y +=在正整数范围内的解有（ ）.
.A 无数个 .B 两个 .C 三个 .D 四个
5、若2
26n m x y +=是二元一次方程，则m = n = .
6、关于x y 、的方程11()()0,33m x m y ++-=当m = 时，是一元一次方程；当m = 时，是二元一次方程.
7、已知在方程352x y -=中，若用含有x 的代数式表示y ，则y = ，用含有y 的代数式表示x ，则x =
8、若5m n -=，则15m n -+=
9、已知221(31)0x y ++-=，则2
x y -=
10、在二元一次方程2(5)3(2)10x y ---=中，当0x =时，则y = ；当4y =时，则x = . 知识点2：二元一次方程组及其解 1、有下列方程组：（1）30430x y x y +=⎧⎨-=⎩ （2）3049x y xy +=⎧⎨=⎩ （3）52m n =⎧⎨=-⎩ （4）1426
x x y =⎧⎨+=⎩其中说法正确的是（ ）. .A 只有（１）、（3）是二元一次方程组 .B 只有（３）、（４）是二元一次方程组
.C 只有（４）是二元一次方程组 .D 只有（２）不是二元一次方程组
2、下列哪组数是二元一次方程组324
x y x +=⎧⎨=⎩的解（ ）
.A 30x y =⎧⎨=⎩ .B 12x y =⎧⎨=⎩ .C 52x y =⎧⎨=-⎩ .D 21
x y =⎧⎨=⎩
3、若方程组162
ax y x by -=⎧⎨+=⎩有无数组解，则a 、b 的值分别为（ ）
.A 1,1a b == .B 2,1a b == .C 1,2a b ==- .D 2,2a b ==-
4、写出一个以 ⎩⎨⎧-==24y x 为解的二元一次方程组 ；写出以12x y =⎧⎨=⎩
为解的一个二元一次方程 . 5、已知21x y =⎧⎨
=⎩是二元一次方程组71ax by ax by +=⎧⎨-=⎩的解，则a b -的值为 。
6、如果450,x y -=且0,x ≠那么
125125x y x y
-+的值是 . 7、若y x b a 123++与125--b a xy 是同类项，则 b a -=
8、已知21
x y =-⎧⎨=⎩是方程组(2)63m x y x ny --=⎧⎨+=⎩的解，求m 、n 的值.
9、已知关于,x y 的方程组35223x y m x y m
+=+⎧⎨+=⎩的解满足10,x y +=-求式子221m m -+的值.
10、小花在家做家庭作业时，发现练习册上一道解方程组的题目被墨水污染32()5()
x y x y ⎧-=⎪⎨+=⎪⎩，（ ）表示被污染的
内容，她着急地翻开书后面的答案，这道题目的解是21x y =⎧⎨=-⎩
，聪明的你能够帮她补上（ ）的内容吗？。
