函数的图像 (2)

26.2（2）二次函数的图像-2020-2021学年九年级数学上册《课时同步练》（沪教版）一、基础巩固一．填空题1. 若二次函数y＝mx2+2x+1的图象与x轴有公共点，则m的取值范围是_____．【答案】m≤1且m≠0．【解析】【分析】由抛物线与x轴有公共点可知△≥0，再由二次项系数不等于0，建立不等式即可求出m的取值范围.【详解】解：y＝mx2+2x+1是二次函数，△m≠0，由题意可知：△≥0，△4﹣4m≥0，△m≤1△m≤1且m≠0故答案为m≤1且m≠0．【点睛】本题考查二次函数图像与x轴的交点问题，熟练掌握交点个数与△的关系是解题的关键.2. 已知函数y=ax2﹣（a﹣1）x﹣2a+1，当0＜x＜3时，y随x的增大而增大，则a 的取值范围是_____．【答案】﹣15≤a≤1．【解析】【分析】分a=0时，为一次函数，再根据一次函数的增减性解答；a≠0时，再分a△0和a△0两种情况，利用二次函数的对称轴根据二次函数的增减性列出不等式求解即可．【详解】根据题意得：当a△0时，﹣()12aa--≥3△解得：﹣15≤a△0△当a =0时，原函数为一次函数y =x +1△△1△0△△y 随x 的增大而增大，△a =0符合题意；当a △0时，﹣()12a a --≤0△解得：0＜a ≤1△综上所述：a 的取值范围是﹣15≤a ≤1△ 【点睛】本题考查了二次函数的性质，一次函数的性质及分类讨论的数学思想，主要利用了二次函数的增减性，难点在于分情况讨论．3. 已知二次函数y=ax 2+bx+c （a≠0）的图象如图，分析下列四个结论：①abc ＜0；②b 2﹣4ac ＞0；③3a+c ＞0；④（a+c ）2＜b 2其中正确的结论有______（填序号）．【答案】②④【解析】【分析】①由二次函数y=ax 2+bx+c 的图象开口向下、对称轴在y 轴左侧及与y 轴交于正半轴，可得出a ＜0，﹣2b a＜0，c ＞0，进而可得出abc ＞0，结论①错误；②由二次函数y=ax 2+bx+c 与x 轴有两个交点，可得出△=b 2﹣4ac ＞0，结论②正确；③由当x=1时y ＜0，当x=﹣2时y ＜0，可得出a+b+c ＜0，4a ﹣2b+c ＜0，用2（a+b+c ）+（4a ﹣2b+c ）＜0可得出2a+c ＜0，再结合a ＜0即可得出3a+c ＜0，结论③错误；④由当x=﹣1时y ＞0及当x=1时y ＜0，可得出a ﹣b+c ＞0，a+b+c ＜0，二者相乘即可得出（a+c ）2＜b 2，结论④正确．综上即可得出结论．【详解】解：①∵二次函数y=ax 2+bx+c 的图象开口向下，对称轴在y 轴左侧，与y 轴交于正半轴，∴a ＜0，﹣2b a＜0，c ＞0，∴b＜0，∴abc＞0，结论①错误；②∵二次函数y=ax2+bx+c与x轴有两个交点，∴△=b2﹣4ac＞0，结论②正确；③∵当x=1时，y＜0，当x=﹣2时，y＜0，∴a+b+c＜0，4a﹣2b+c＜0，∴2（a+b+c）+（4a﹣2b+c）＜0，∴6a+3c＜0，即2a+c＜0．由∵a＜0，∴3a+c＜0，结论③错误；④∵当x=﹣1时，y＞0，当x=1时，y＜0，∴a﹣b+c＞0，a+b+c＜0，∴（a﹣b+c）（a+b+c）=（a+c）2﹣b2＜0，∴（a+c）2＜b2，结论④正确．综上所述，正确的结论有②④．故答案为：②④．【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系以及二次函数图象上点的坐标特征，观察函数图象，利用二次函数图象与系数的关系及二次函数图象上点的坐标特征逐一分析四个结论的正误是解题的关键．4. 已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，有下列结论；①b2-4ac＜0②x＜0时，y随x的增大而增大③a-b+c＜0④abc＞0⑤2a+b＞0其中，正确结论是______【答案】②③⑤【解析】【分析】利用抛物线与x轴有2个交点和判别式的意义对①进行判断；利用二次函数的性质对②进行判断；利用x=-1时，y△0可对③进行判断；由抛物线开口向下得到a△0，由抛物线的对称轴在y 轴右侧得b△0，由抛物线与y 轴的交点在x 轴上方得c△0，则可对④进行判断；利用对称轴方程得到-2b a △1，则可对⑤进行判断． 【详解】∵抛物线与x 轴有2个交点，∴△=b 2-4ac△0，所以①错误；∵x△0在对称轴的左侧，∴y 随x 的增大而增大，所以②正确；∵x=-1时，y△0△∴a-b+c△0，所以③正确；∵抛物线开口向下，∴a△0△∵抛物线的对称轴在y 轴右侧，∴a△b 异号，即b△0△∵抛物线与y 轴的交点在x 轴上方，∴c△0△∴abc△0，所以④错误；∵-2b a△1△ 而a△0△∴b△-2a ，即2a+b△0，所以⑤正确．故答案为②③⑤△【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系：二次项系数a 决定抛物线的开口方向和大小．当a△0时，抛物线向上开口；当a△0时，抛物线向下开口；一次项系数b 和二次项系数a 共同决定对称轴的位置：当a 与b 同号时，对称轴在y 轴左； 当a 与b 异号时，对称轴在y 轴右．常数项c 决定抛物线与y 轴交点：抛物线与y 轴交于（0△c ）．抛物线与x 轴交点个数由判别式确定：△=b 2-4ac△0时，抛物线与x 轴有2个交点；△=b 2-4ac=0时，抛物线与x 轴有1个交点；△=b 2-4ac△0时，抛物线与x 轴没有交点．5. 已知二次函数y=ax 2+bx+c （a≠0）图象如图所示，现有下列结论，①abc ＞0； ②a+b+c ＜0；③b=2a ；④a+b ＞0；则其中正确的结论是_____（只填写序号）．【答案】①②③【解析】【分析】由图象可得a ＜0△c ＞0△b ＜0△△2b a =△1△当x =1时△y ＜0△即可判断各个结论是否正确△【详解】∵图象开口向下△与y 轴交于正半轴△∴a ＜0△c ＞0△∵△2b a=△1△∴b =2a △即b ＜0△∴abc ＞0△故①③正确△ ∵当x =1时△y ＜0△∴a +b +c ＜0△故②正确△∵a +b =a +2a =3a ＜0△∴④错误△故答案为①②③△【点睛】本题考查了二次函数与系数的关系△熟练掌握△①二次项系数a 决定抛物线的开口方向和大小．当a ＞0时△抛物线向上开口△当a ＜0时△抛物线向下开口△|a|还可以决定开口大小△|a|越大开口就越小．②一次项系数b 和二次项系数a 共同决定对称轴的位置．当a 与b 同号时（即ab ＞0△△对称轴在y 轴左△当a 与b 异号时（即ab ＜0△△对称轴在y 轴右．（简称△左同右异）△③常数项c 决定抛物线与y 轴交点．抛物线与y 轴交于（0△c △△6. 二次函数y ＝ax 2+bx+c 的图象如图所示，以下结论：①abc ＞0；②4ac ＜b 2；③2a+b ＞0；④其顶点坐标为（12，﹣2）；⑤当x ＜12时，y 随x 的增大而减小；⑥a+b+c ＞0中，正确的有______．（只填序号）【答案】△△△△【解析】【分析】根据图象可判断①②③④⑤，由x=1时，y△0，可判断⑥【详解】由图象可得，a△0△c△0△b△0△△=b2△4ac△0，对称轴为x=1 , 2∴abc△0△4ac△b2，当12x<时，y随x的增大而减小．故①②⑤正确,∵11,22bxa=-=<∴2a+b△0,故③正确,由图象可得顶点纵坐标小于﹣2，则④错误,当x=1时，y=a+b+c△0,故⑥错误故答案为:①②③⑤【点睛】本题考查的是二次函数图象与系数的关系，二次函数y=ax2+bx+c系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y轴的交点抛物线与x轴交点的个数确定．7. 二次函数y=ax2+bx+c△a△b△c是常数△且a≠0）的图象如图所示△则a+b+2c__________0（填“>”“=”或“<”△△【答案】＜【解析】【分析】由抛物线开口向下，则a△0，抛物线与y轴交于y轴负半轴，则c△0，对称轴在y轴左侧，则b△0，因此可判断a+b+2c与0的大小【详解】△抛物线开口向下△a△0△抛物线与y轴交于y轴负半轴，△c△0△对称轴在y 轴左侧 △△2b a△0 △b△0△a+b+2c△0故答案为△△【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系，正确利用图象得出正确信息是解题关键．8. 已知二次函数()2y ax bx c a 0=++≠的图象如图所示，有下列结论：abc 0<①△2a b 0+=②△a b c 0-+=③△24ac b 0->④△4a 2b c 0++>⑤，其中正确的结论序号是______【答案】①②③⑤【解析】【分析】由抛物线的开口方向判断a 的符号，由抛物线与y 轴的交点判断c 的符号，然后根据对称轴及抛物线与x 轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．【详解】①由图象可知：抛物线开口方向向下，则a 0<△对称轴直线位于y 轴右侧，则a△b 异号，即b 0>△抛物线与y 轴交于正半轴，则c 0>△abc 0<，故①正确；②对称轴为b x 12a=-=△b 2a =-，故②正确； ③由抛物线的对称性知，抛物线与x 轴的另一个交点坐标为()1,0-△所以当x 1=-时，y a b c 0=-+=，即a b c 0-+=，故③正确；④抛物线与x 轴有两个不同的交点，则2b 4ac 0->，所以24ac b 0-<，故④错误；⑤当x 2=时，y 4a 2b c 0=++>，故⑤正确．故答案为①②③⑤△【点睛】本题考查了考查了图象与二次函数系数之间的关系，二次函数2y ax bx c =++系数符号由抛物线开口方向、对称轴和抛物线与y 轴的交点、抛物线与x 轴交点的个数确定．9. 如图，抛物线2y ax bx c =++的对称轴是1x =-．且过点（12，0），有下列结论：△abc ＞0；△a ﹣2b+4c=0；△25a ﹣10b+4c=0；△3b+2c ＞0；△a ﹣b≥m （am ﹣b ）；其中所有正确的结论是_________．（填写正确结论的序号）【答案】①③⑤．【解析】【分析】根据抛物线的开口方向、对称轴、与y 轴的交点判定系数符号，及运用一些特殊点解答问题．【详解】由抛物线的开口向下可得：a ＜0，根据抛物线的对称轴在y 轴左边可得：a ，b 同号，所以b ＜0，根据抛物线与y 轴的交点在正半轴可得：c ＞0，∴abc ＞0，故①正确；直线1x =-抛物线2y ax bx c =++的对称轴，所以12b a-=-，可得b=2a ，a ﹣2b+4c=a ﹣4a+2=﹣3a+4c ，∵a ＜0，∴﹣3a ＞0，∴﹣3a+4c ＞0，即a ﹣2b+4c ＞0，故②错误；∵抛物线2y ax bx c =++的对称轴是1x =-．且过点（12，0），∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为（52-，0），当x=52-时，y=0，即255()022a b c⨯--+=，整理得：25a﹣10b+4c=0，故③正确；∵b=2a，a+b+c＜0，∴12b b c++<，即3b+2c＜0，故④错误；∵x=﹣1时，函数值最大，∴2a b c m a mb c-+>-+（m≠1），∴a﹣b＞m（am﹣b），所以⑤正确；故答案为①③⑤．10. 如图为抛物线的部分图象，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x=1，与x轴的一个交点坐标为（﹣1，0），下列结论：①4ac＜b2②方程ax2+bx+c=0的两个根是x1=﹣1，x2=3③3a+c＞0④当y＞0时，x的取值范围是﹣1≤x＜3⑤当x＜0时，y随x增大而增大其中正确的结论是____．【答案】①②⑤【解析】【分析】利用抛物线与x轴的交点个数可对①进行判断；利用抛物线的对称性得到抛物线与x轴的一个交点坐标为（3，0），则可对②进行判断；由对称轴方程得到b=-2a，然后根据x=-1时函数值为0可得到3a+c=0，则可对③进行判断；根据抛物线在x轴上方所对应的自变量的范围可对④进行判断，根据抛物线的性质判断⑤即可．【详解】解：∵抛物线与x 轴有2个交点，∴b 2-4ac ＞0，即4ac ＜b 2，所以①正确；∵抛物线的对称轴为直线x=1，而点（-1，0）关于直线x=1的对称点的坐标为（3，0），∴方程ax 2+bx+c=0的两个根是x 1=-1，x 2=3，所以②正确； ∵x=2b a=1，即b=-2a ， 而x=-1时，y=0，即a-b+c=0，∴a+2a+c=0，∴3a+c=0，所以③错误；由图象知，当y ＞0时，x 的取值范围是-1＜x ＜3，所以④错误；∵抛物线的对称轴为直线x=1，∴当x ＜1时，y 随x 增大而增大，∴当x ＜0时，y 随x 增大而增大，所以⑤正确；即正确的个数是3个，故答案为：①②⑤【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数y=ax 2+bx+c （a≠0），二次项系数a 决定抛物线的开口方向和大小：当a ＞0时，抛物线向上开口；当a ＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b 和二次项系数a 共同决定对称轴的位置：当a 与b 同号时（即ab ＞0），对称轴在y 轴左； 当a 与b 异号时（即ab ＜0），对称轴在y 轴右；常数项c 决定抛物线与y 轴交点位置：抛物线与y 轴交于（0，c ）；抛物线与x 轴交点个数由△决定：△=b 2-4ac ＞0时，抛物线与x 轴有2个交点；△=b 2-4ac=0时，抛物线与x 轴有1个交点；△=b 2-4ac ＜0时，抛物线与x 轴没有交点．11. 如图为二次函数y=ax 2+bx+c 的图象，在下列说法中：①ac△0△ ②方程ax 2+bx+c=0的根是x 1=△1△x 2=3③a+b+c△0 ④当x△1时，y 随x 的增大而增大．正确的说法有_____△【答案】①②③．【解析】【详解】△抛物线的开口向下，0a ，∴< △与y 轴的交点为在y 轴的正半轴上，0c ∴>，0ac ∴<，故△正确； △对称轴为1x =， 抛物线与x 轴的一个交点为()30，，△另一个交点为()10-，，△方程20ax bx c ++= 的根是1213x x =-=，，故△正确；当1x =时，0y a b c ，=++> 故△正确；,a b ∴异号，即0b <，当1x >时，y 随x 的增大而减小，故△错误．△其中正确的说法有△△△；故答案为△△△．12. 已知二次函数y =ax 2+bx +c △a ≠0）的图象如图所示，给下以下结论：①2a △b =0△ ②abc △0 ③4ac △b 2△0△ ④9a +3b +c △0△ ⑤8a +c △0△ 其中正确的结论有__________【答案】②③④【解析】【详解】试题解析：①抛物线的对称轴为x=-2b a=1△b=-2a△所以2a+b=0，故①错误；②抛物线开口向上，得：a△0；抛物线的对称轴为x=-2b a△0故b△0；抛物线交y 轴于负半轴，得：c△0；所以abc△0；故②正确；③由图知：抛物线与x 轴有两个不同的交点，则△=b 2-4ac△0△△4ac-b 2△0，故③正确；④根据抛物线的对称轴方程可知：（-1△0）关于对称轴的对称点是（3△0△△ 当x=-1时，y△0，所以当x=3时，也有y△0，即9a+3b+c△0；故④正确；⑤由图知：当x=-2时y△0，所以4a-2b+c△0，因为b=-2a ，所以4a+4a+c△0，即8a+c△0，故⑥错误；所以这结论正确的有②③④．13. 在平面直角坐标系中，A(－2，0)、B(1，－6).若抛物线y ＝ax 2＋(a ＋2)x ＋2与线段AB 有且仅有一个公共点，则a 的取值范围是___________________【答案】△5≤a≤1且a≠0【解析】【分析】分别将点A 和点B 的坐标代入函数解析式，分别求出a 的值，从而得出答案．【详解】将A(－2，0)代入可得：4a －2a －4+2=0， 解得：a=1，将B(1，－6)代入可得：a+a+2+2=－6，解得：a=－5，△－5≤a≤1且a≠0，故答案为：－5≤a≤1且a≠0．【点睛】本题主要考查的就是二次函数与线段的交点问题，属于中等难度的题型．解决这个问题的关键就是找到两个零界点．14. 已知抛物线y=ax 2+bx+c （a>0）的对称轴为直线x=-1，与x 轴的一个交点为（x 1，0），且0<x 1<1，下列结论：①9a-3b+c>0；②b ＜c ；③3a+c>0，其中正确结论两个数有______．【答案】2【解析】【分析】根据二次函数的定义结合图象逐一判断即可.【详解】①∵0△x 1 △1△∴点（1△a+b+c ）在第一象限，又∵对称轴为直线x=-1△∴△-3△9a-3b+c ）在第二象限，故9a-3b+c△0，故①正确；②∵-2b a=-1△∴b=2a△ ∴b-a=2a-a=a△0△又0△x 1 △1，抛物线开口向上，∴抛物线与y 轴交于负半轴，c△0△∴b△a△c ，故②不正确；③把b=2a 代入a+b+c△0得3a+c△0，故③正确；故答案为2个．【点睛】本题考查了二次函数的定义，解题的关键是熟练的掌握二次函数的相关知识点结合图象判断即可.15. 二次函数y=ax 2+bx+c （a≠0）图象如图，下列结论：①a ﹣b+c ＞0；②2a+b=0；③当m≠1时，a+b ＞am 2+bm ；④若ax 12+bx 1=ax 22+bx 2，且x 1≠x 2，则x 1+x 2=2．其中正确的结论的序号是______．【答案】②③④【解析】【分析】将x=﹣1代入解析式，结合图象可对①进行判断；根据抛物线的对称性得到抛物线的对称轴为直线x=1，根据抛物线对称轴方程得到﹣2b a=1，则可对②进行判断；利用x=1时，函数有最大值对③进行判断；由ax 12+bx 1=ax 22+bx 2得到ax 12+bx 1+c=ax 22+bx 2+c ，则可判断x=x 1和x=x 2所对应的函数值相等，则x 2﹣1=1﹣x 1，于是可对④进行判断．【详解】解：∵抛物线与x 轴的交点到对称轴x=1的距离大于1，∴抛物线与x 轴的一个交点在点（2，0）与（3，0）之间，∴抛物线与x 轴的另一个交点在点（0，0）与（﹣1，0）之间，∴x=﹣1时，y ＜0，∴a ﹣b+c ＜0，故①错误；∵抛物线对称轴为x=﹣2b a=1，即b=﹣2a ， ∴2a+b=0，故②正确；∵x=1时，函数值最大，∴a+b+c ＞am 2+bm+c ，即a+b ＞am 2+bm （m≠1），故③正确；当ax 12+bx 1=ax 22+bx 2，则ax 12+bx 1+c=ax 22+bx 2+c ，∴x=x 1和x=x 2所对应的函数值相等，∴x 2﹣1=1﹣x 1，∴x 1+x 2=2，故④正确；综上所述，正确的结论是：②③④，故答案为：②③④．【点评】本题考查了二次函数与系数的关系，关键是掌握有关二次函数的性质：对于二次函数y=ax 2+bx+c （a≠0），二次项系数a 决定抛物线的开口方向和大小：当a ＞0时，抛物线向上开口；抛物线向下开口；一次项系数b 和二次项系数a 共同决定对称轴的位置：当a 与b 同号时（即ab ＞0），对称轴在y 轴左； 当a 与b 异号时（即ab ＜0），对称轴在y 轴右．常数项c 决定抛物线与y 轴交点：抛物线与y 轴交于（0，c ）．抛物线与x 轴交点个数由∆决定：∆=b 2﹣4ac ＞0时，抛物线与x 轴有2个交点；∆=b 2﹣4ac=0时，抛物线与x 轴有1个交点；∆=b 2﹣4ac ＜0时，抛物线与x 轴没有交点．16. 抛物线y=ax 2+bx+c 的顶点为D （﹣1，2），与x 轴的一个交点A 在点（﹣3，0）和（﹣2，0）之间，其部分图象如图，则以下结论：①b 2﹣4ac ＜0；②a+b+c ＜0；③c ﹣a=2；④方程ax 2+bx+c ﹣2=0有两个相等的实数根，其中正确结论的个数为________个．【答案】3【解析】【分析】由抛物线与x 轴有两个交点得到240b ac ->；由抛物线顶点坐标得到抛物线的对称轴为直线1x =-，则根据抛物线的对称性得抛物线与x 轴的另一个交点在点(0,0)和(1,0)之间，所以当1x =时，0y <，则0a b c ++<；由抛物线的顶点为(1,2)D -得2a b c -+=，由抛物线的对称轴为直线12b x a=-=-得2b a =，所以2c a -=；根据二次函数的最大值问题，当1x =-时，二次函数有最大值为2，即只有1x =-时，22ax bx c ++=，所以说方程220ax bx c ++-=有两个相等的实数根． 【详解】解：抛物线与x 轴有两个交点，240b ac ∴->，所以①错误；顶点为(1,2)D -，∴抛物线的对称轴为直线1x =-，抛物线与x 轴的一个交点A 在点(3,0)-和(2,0)-之间，∴抛物线与x 轴的另一个交点在点(0,0)和(1,0)之间，∴当1x =时，0y <，0a b c ∴++<，所以②正确；抛物线的顶点为(1,2)D -，2a b c ∴-+=， 抛物线的对称轴为直线12b x a=-=-， 2b a ∴=，22a a c ∴-+=，即2c a -=，所以③正确；当1x =-时，二次函数有最大值为2，即只有1x =-时，22ax bx c ++=，∴方程220ax bx c ++-=有两个相等的实数根，所以④正确．综上所述，共有3个正确结论，故答案为：3．【点评】本题考查了二次函数的图象与系数的关系：二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象为抛物线，当0a >，抛物线开口向上；对称轴为直线2b x a=-；抛物线与y 轴的交点坐标为(0,)c ；当240b ac ->，抛物线与x 轴有两个交点；当240b ac -=，抛物线与x 轴有一个交点；当240b ac -<，抛物线与x 轴没有交点．17. 函数2y x=+图象上的点()P x y ，一定在第_______象限. 【答案】二【解析】【分析】根据二次根式有意义的条件得到0,x ->解得0,x <20,x>>得到0.y >即可判断. 【详解】利用函数2y x=图象上的点P (x ,y )，可得x <0△y >0△ 故P 点一定在第二象限，故答案为二.【点睛】考查函数的图象与性质，根据二次根式有意义的条件得到x <0，进而得到y >0是解题的关键.18. 在二次函数y=ax 2+2ax+4（a ＜0）的图象上有两点（﹣2，y 1）、（1，y 2），则y 1﹣y 2_____0（填“＞”、“＜”或“=”）．【答案】＞【解析】【分析】分别把x =-2△x =1代入y =ax 2+2ax +4，用含a 的代数式表示出y 1和y 2，然后作差判断即可.【详解】把点（﹣2△y 1△△△1△y 2）代入y=ax 2+2ax +4得y 1=4a △4a +4=4△y 2=a +2a +4=3a +4△所以y 1△y 2=4-3a △4=-3a △而a △0△△-3a >0△△y 1△y 2>0△故答案为>△【点睛】本题考查了二次函数图像上点的坐标特征，二次函数图像上点的坐标满足二次函数解析式，本题也考查了作差法比较代数式值的大小.19. 二次函数2的图象如图所示，点O 为坐标原点，点A 在y 轴的正半轴上，点B 、C 在函数图象上，四边形OBAC 为菱形，且∠AOB=30°，则点C 的坐标为_______．【答案】（﹣1,22） 【解析】【分析】连结BC 交OA 于D ，如图，根据菱形的性质得BC ⊥OA ，∠OBD=60°，利用含30度的直角三角形三边的关系得BD ，设BD=t ，则，B （t ，t ），利用二次函数图象上点的坐标特征得2，得出BD=12，，然后根据菱形的性质得出C 点坐标．【详解】解：连结BC 交OA 于D ，如图，∵四边形OBAC 为菱形，∴BC ⊥OA ，∵∠AOB=30°，∴∠OBD=60°，∴，设BD=t ，则，∴B （t t ），把B （t ）代入x 2得t 2t ，解得t 1=0（舍去），t 2=12，∴BD=12，故C 点坐标为：（﹣12．故答案为：（﹣12．【点睛】本题考查了菱形的性质、二次函数图象上点的坐标特征，根据二次函数图象上点的坐标性质得出BD 的长是解题关键．20. 若点A （﹣3，y 1），B （1，y 2）在抛物线)22y x =上，那么y 1与y 2的大小关系是：y 1_____y 2（填“＞”“＜”）【答案】＞．【解析】【分析】判断出)22y x =的开口方向及对称轴，由二次函数图像上点的坐标特征可判断出答案.0≥，∴ 20>，∴抛物线)22y x =开口向上；对称轴为y 轴（即x =0）；在y 轴左侧；y 随x 的增大而减小；在y 轴右侧；y 随x 的增大而增大A (-3；1y )；B (-1；2y )；∴点A 距对称轴的距离为|-3|=3；点B 距对称轴的距离为|-1|=1. 又抛物线开口向上；抛物线上的点距对称轴越远；y 值越大；∴1y >2y .故答案：>.【点睛】本题主要考查二次函数的性质及二次函数图像上点的坐标特征. 本题的关键是（1）找到二次函数的对称轴；（2）掌握二次函数y =ax 2+bx +c （a ≠0）的图象性质．21. 已知点(﹣1，y 1)，(﹣312，y 2)，(12，y 3)都在函数y=3(x+1)2﹣2的图象上，则y 1，y 2，y 3的大小关系是_________．【答案】y 1＜y 3＜y 2【解析】【分析】利用二次函数图象上点的坐标特征可求出的y 1，y 2，y 3值，比较后即可得出结论．【详解】∵点(﹣1，y 1)，(﹣312，y 2)，(12，y 3)都在函数y=3(x+1)2﹣2的图象上， ∴y 1=﹣2，y 2=674，y 3=194， ∵﹣2＜194＜674， ∴y 1＜y 3＜y 2，故答案为：y 1＜y 3＜y 2．【点睛】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，利用二次函数图象上点的坐标特征求出的y 1，y 2，y 3值是解题的关键．22. 在直角坐标系xOy 中，对于点P （x ，y ）和Q （x ，y ′），给出如下定义：若y ′＝(0)(0)y x y x ≥⎧⎨-<⎩，则称点Q 为点P 的“可控变点”．请问：若点P 在函数y ＝﹣x 2+16（﹣5≤x ≤a ）的图象上，其“可控变点”Q 的纵坐标y ′的取值范围是﹣16≤y ′≤16，则实数a 的值是____．【答案】.【解析】【分析】根据新定义，分析函数y=-x 2+16在新定义下点P 的“可控变点”横坐标与纵坐标的对应关系，在分析a 的取值范围．【详解】由定义可知：①当0≤x≤a 时，y′＝﹣x 2+16，此时，抛物线y′的开口向下，故当0≤x≤a 时，y′随x 的增大而减小（如图）即：﹣a 2+16≤y′≤16，②当﹣5≤x ＜0时，y′＝x 2﹣16，抛物线y′的开口向上，故当﹣5≤x ＜0时，y′随x 的增大而减小（如图），即：﹣16＜y′≤9，∵点P 在函数y ＝﹣x 2+16（﹣5≤x≤a ）的图象上，其“可控变点”Q 的纵坐标y′的取值范围是﹣16≤y′≤16，∴﹣a 2+16≥﹣16∴a 2≤32，∴﹣，又∵﹣5≤x≤a ，∴a ＝在函数y＝﹣x2+16图象上的点P，当a＝时，其“可控变点”Q的纵坐标y′的取值范围是﹣16≤y′≤16，故答案为.【点睛】本题考查了在新定义下二次函数在指定区间上的自变量与函数值之间的对应情况，解题的关键是理解在新定义下x与y′的相应区间．23. 二次函数y=△x2+bx+c的图象如图所示：若点A△x1△y1△△B△x2△y2）在此函数图象上，x1△x2△1△y1与y2的大小关系是y1_____y2（填“△”△“△”△“=”△【答案】<【解析】【分析】利用二次函数的性质解决问题．【详解】∵抛物线的对称轴为直线x=1△∴当x1△x2△1△∴y1△y2△故答案为＜．【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．也考查了二次函数的性质．24. 如图，点A1、A2、A3、…、A n在抛物线y＝x2图象上，点B1、B2、B3、…、B n 在y轴上，若△A1B0B1、△A2B1B2、…、△A n B n﹣1B n都为等腰直角三角形（点B0是坐标原点），则△A2014B2013B2014腰长等于_____．【答案】【解析】【分析】利用等腰直角三角形的性质及点的坐标的关系求出第一个等腰直角三角形的腰长，用类似的方法求出第二个，第三个…的腰长，观察其规律，最后得出结果．【详解】解：作A1C⊥y轴，A2E⊥y轴，垂足分别为C、E，∵△A1B0B1、△A2B1B2都是等腰直角三角形，∴B1C＝B0C＝DB0＝A1D，B2E＝B1E，设A1（a，a），将点A1的坐标代入解析式y＝x2得：a＝a2，解得：a＝0（不符合题意）或a＝1，由勾股定理得：A1B0，则B1B0＝2，过B1作B1N⊥A2F，设点A2（x2，y2），可得A2N＝y2﹣2，B1N＝x2＝y2﹣2，又点A2在抛物线上，所以y2＝x22，即（x2+2）＝x22，解得x2＝2，x2＝﹣1（不合题意舍去），则A2B1＝，同理可得：A3B2＝A4B3＝…∴A2014B2013＝，∴△A2014B2013B2014的腰长为：故答案为．【点睛】此题主要考查了二次函数的综合题以及在函数图象中利用点的坐标与图形的关系求线段的长度，涉及到了等腰三角形的性质，勾股定理，抛物线的解析式的运用等多个知识点．25. 如图，抛物线y＝ax2﹣1（a＞0）与直线y＝kx+3交于MN两点，在y轴负半轴上存在一定点P，使得不论k取何值，直线PM与PN总是关于y轴对称，则点P 的坐标是_____【答案】(0,-5)【解析】【分析】根据题意设M（x M，kx M+3），N（x N，kx N+3），P（0，t），然后根据抛物线与直线的交点得出一元二次方程，然后由根与系数的关系求得x M+x N＝ka，x M×x N＝﹣4a，再由相似三角形的判定和性质求得t，继而求得点P的坐标.【详解】如图作MB⊥y轴，NA⊥y轴∵M，N是直线y＝kx+3的点∴设M（x M，kx M+3），N（x N，kx N+3），P（0，t）∵抛物线y＝ax2﹣1（a＞0）与直线y＝kx+3交于MN两点∴ax2﹣1＝kx+3ax2﹣kx﹣4＝0∴x M+x N＝ka，x M×x N＝﹣4a，∵直线PM与PN总是关于y轴对称∴∠MPA＝∠NPA，且∠MBP＝∠NAP＝90°∴△MBP∽△NAP，∴MB PBNA PA=即-33M MN Nx kx tx kx t+-=+-，∴（﹣x M﹣x N）（3﹣t）＝2kx M x N∴﹣ka（3﹣t）＝2k×（-4a），∴t＝﹣5∴P（0，﹣5）.故答案为（0，﹣5）【点睛】抛物线与一次函数交点的问题是本题的考点，本题运用了对称的性质、相似三角形的判定和性质、一元二次方程中根与系数的关系等知识点，难度适中，能够熟练运用相似三角形的性质及根与系数的关系是解题的关键.26. 已知m、n、t都为实数，点Pn）和点Q，n）都在抛物线y=x2﹣2mx﹣1上，则t+n+m=______．【答案】4【解析】【分析】由二次根式的性质可知：﹣t2+6t﹣9≥0，推出t=3．P（0，n），Q（4，n），推出抛物线的对称轴x=2=﹣22m-可得m=2，由抛物线y=x2﹣2mx﹣1与y轴交于点（0，﹣1），推出n=﹣1，即可解决问题. 【详解】解：∵﹣t2+6t﹣9≥0，∴﹣（t﹣3）2≥0，∴t=3．∴P（0，n），Q（4，n），∴抛物线的对称轴x=2=﹣22m ， ∴m=2， ∵抛物线y=x 2﹣2mx ﹣1与y 轴交于点（0，﹣1），∴n=﹣1，∴t+n+m=3﹣1+2=4，故答案为4．【点睛】本题考查二次函数图象上的点的特征，二次根式的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．27. 如图，垂直于x 轴的直线AB 分别与抛物线C 1：y ＝x 2（x ≥0）和抛物线C 2：y ＝24x （x ≥0）交于A ，B 两点，过点A 作CD ∥x 轴分别与y 轴和抛物线C 2交于点C 、D ，过点B 作EF ∥x 轴分别与y 轴和抛物线C 1交于点E 、F ，则OFB EAD S S的值为_____．【答案】16【解析】【分析】根据二次函数的图象和性质结合三角形面积公式求解.【详解】解：设点A B 、横坐标为a ，则点A 纵坐标为2a ，点B 的纵坐标为24a ， ∵BE ∥x 轴，∴点F 纵坐标为24a ， ∵点F 是抛物线2yx 上的点，∴点F横坐标为12x a ==， ∵CD x 轴， ∴点D 纵坐标为2a ，∵点D 是抛物线24x y =上的点， ∴点D横坐标为2x a ==，22131,,,244AD a BF a CE a OE a ∴==== ∴1141218362OFB EAD BF OE S S AD CE ⋅⋅==⨯=⋅⋅， 故答案为16． 【点睛】此题重点考查学生对二次函数的图象和性质的应用能力，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键.28. 如图，在平面直角坐标系中，二次函数y ＝﹣x 2+bx+5的图象与y 轴交于点B ，以点C 为圆心的半圆与抛物线y ＝﹣x 2+bx+5相交于点A 、B ．若点C 的坐标为（﹣1，72），则b 的值为_____．【答案】12-【解析】 【分析】先求出点B 坐标，再根据中点坐标公式得到点C 坐标，再代谢求出b 的值．【详解】△二次函数25y x bx =-++的图象与y 轴交于点B △△B 点坐标为(0,5)△∵点A △B关于点C 对称，且C 71,2⎛⎫- ⎪⎝⎭△△A 点坐标为(△2,2)△将A 点代入函数解析式得：2=△4△2b +5△解得b =12-. 故答案为12-. 29. 如图，在平面直角坐标系中，过点(,0)P x 作x 轴的垂线，分别交抛物线22y x =+与直线y x =-交于点A ，B ，以线段AB 为对角线作菱形ACBD ，使得60D ︒∠=，则菱形ACBD 的面积最小值为______．【解析】 【分析】如图，连接CD 交AB 于点M ，过点(,0)P x 作x 轴的垂线，分别交抛物线22y x =+与直线y x =-于A ，B 两点，得出()2,2,(,)A x x B x x +-，可得222172()224AB x x x x x ⎛⎫=+--=++=++ ⎪⎝⎭，即可求出当12x =-时，AB 的最小值为74．根据60ADB ∠=︒，四边形ACBD 为菱形，得出ADB △为等边三角形，AB CD ⊥，且AB 与CD 互相平分，求出74AD AB ==，1728AM AB ==．根据勾股定理求出DM ，即可求出CD ，即可求出菱形ACBD 的面积最小值．【详解】如图，连接CD 交AB 于点M ．∵过点(,0)P x 作x 轴的垂线，分别交抛物线22y x =+与直线y x =-于A ，B 两点，∴()2,2,(,)A x x B x x +-． ∴222172()224AB x x x x x ⎛⎫=+--=++=++ ⎪⎝⎭， ∴当12x =-时，AB 的最小值为74． ∵60ADB ∠=︒，四边形ACBD 为菱形，∴ADB △为等边三角形，AB CD ⊥，且AB 与CD 互相平分， ∴74AD AB ==，1728AM AB ==．在Rt AMD 中，DM ===∴2CD DM ==∴菱形ACBD 的面积最小值为117224432AB CD ⋅=⨯⨯=，故答案为：32． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，等边三角形的判定和性质，菱形的性质，勾股定理，掌握这些知识点灵活运用是解题关键．30. 如图，点A （﹣12，t ）在抛物线y=a （x ﹣1）2+k （a ＞0）上，过点A 平行于x 轴的直线交抛物线于另一点B ，则线段AB 的长是_____．【答案】3【解析】【分析】根据题目中的函数解析式和二次函数的图象具有对称性，可以求得点B的横坐标，从而可以求得AB的长．【详解】解：∵点A（﹣12，t）在抛物线y=a（x﹣1）2+k（a＞0）上，∴该抛物线的对称轴是直线x=1，∵过点A平行于x轴的直线交抛物线于另一点B，∴点B的横坐标是：1×2﹣（﹣12）=52，∴AB=5122⎛⎫--⎪⎝⎭=3，故答案为：3．【点睛】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用二次函数的性质解答．拓展提升31. 若关于x的方程x2△△k+2△x+2k△1△0一根小于1、另一根大于1，则k的取值范围是_____△【答案】k△2【解析】【分析】根据一元二次方程两根的范围可得出：当x△1时，x2△△k+2△x+2k△1△0，解之即可得出k的取值范围．【详解】∵关于x的方程x2△△k+2△x+2k△1△0一根小于1、另一根大于1△∴当x△1时，x2△△k+2△x+2k△1△0，即1△△k+2△+2k△1△0△解得：k△2△故答案是：k△2△【点睛】考查了二次函数图象上点的坐标特征，由一元二次方程解的范围找出关于k的一元一次不等式是解题的关键．32. 如图，边长为2的正方形OA1B1C1的顶点A1在x轴的正半轴上，将正方形OA1B1C1绕顶点O顺时针旋转75°得正方形OABC，使点B恰好落在函数y=ax2（a ＜0）的图象上，则a的值为______．【答案】﹣6【解析】【分析】此题考查图形旋转问题，求出B点坐标代入函数就可以了．【详解】解：连接OB，△旋转75°，△x轴正半轴与OA的夹角为75°，△△AOB=45°，△OB与x轴正半轴夹角为75°﹣45°=30°，过B作BD△x轴于D，△BC=OC=2，，，，△B），把B点坐标代入y=ax2=）2a，．解之得：a=﹣6【点睛】本题考查正方形的性质、二次函数的性质、直角三角形30度角性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．33. 求抛物线21:1C y x =-+关于直线1y =-对称的抛物线的解析式为________.【答案】y=x 2-3【解析】【分析】根据已知首先求出新抛物线的顶点坐标，再利用a 的值符号变化得出新抛物线解析式即可.【详解】解：∵抛物线y=-x 2+1的顶点坐标为：（0△1△△△△0△1）关于直线y=-1的对称点为：（0△-3），即为新抛物线的顶点坐标， ∵关于直线y=-1作轴对称变换后的解析式a 的值只是符号变化，∴抛物线y=-x 2+1关于直线y=-1作轴对称变换后的解析式为：y=x 2-3△故答案为y=x 2-3△【点睛】此题主要考查了二次函数图象与几何变换，根据已知得出新抛物线顶点坐标是解题关键.34. 如图，将二次函数y =-（x -2）2+4（x ≤4）的图象沿直线x =4翻折，翻折前后的图象组成一个新图象M ，若直线y =b 和图象M 有四个交点，结合图象可知，b 的取值范围是______．【答案】0＜b ＜4．。

《14.1.3 函数的图象2》教学设计(2) xy 6 (x ＞0)列表 x … 1 2 3 4 5 6 …y … 6 3 2 1.2 1.5 1 …描点连线函数的特征：由（1）的图象可以看出，直线从左到右成上升状态，即y 随x 的增大而增大；由（2）的图象可以看出，曲线从左到右成下降状态，即y 随x 的增大而减小。

描点法画函数图象的一般步骤：1、第一步：列表（表中给出一些自变量的值及其对应的函数值）；列表时，自变量的取值不能超出自变量的取值范围，把自变量放在表格的第一行，并按从小大到大的顺序排列，相应的函数值放在第二行。

（3）通过前面实例引导学生总结出画函数图象的一般步骤，并利用课件展示。

（1）通过例题的解答及“想一想”的思考，培养学生主动参与和合作交流的意识。

（2）通过归纳用描点法画函数图象的一般步骤，提高学生的观察、分析、概括和抽象的能力。

2、第二步：描点（在直角坐标系中，以表中自变量的值作为横坐标，对应的函数值作为纵坐标，在平面直角坐标系中描出相应的各点）；3、第三步：连线（按横坐标由小到大的顺序把所有描出的各点用平滑的曲线连接起来）。

想一想（1）图14.1-8是一种古代计时器——“漏壶”的示意图，在壶内盛一定量的水，水从壶下的小孔漏出，壶壁内画出刻度，人们根据壶中水面的位置计算时间。

用x 表示时间，y 表示壶底到水面的高度，下面的哪个图象适合表示一小段时间内y 与x 的函数关系（暂不考虑水量变化对压力的影响）？(2) a 是自变量x 取值范围内的任意一个值，过点（a ，0）画y 轴的平行线，与图中曲线相交。

下列哪个图中的曲线表示y 是x 的函数？为什么？（4）引导学生完成“想一想”的内容，根据学生的回答进行纠正并总结，给出正确的答案。

【学生活动】（1）配合教师完成例3，注意观察教师的描点和连线的过程与方法。

（2）在教师的引导下，总结出画函数图象的一般步骤。

（3）思考“想一想”的问题，结合前面学过的知识，尝试回答这个问题，并思考其他同学回答的是否正确。

函数图象与变换一、知识梳理：1、函数y=f(x)的图象是由坐标为(x,f(x))的点构成的;要证明点(a,b)在函数y=f(x)的图象上,只须证明b=f(a);2、画图象的方法——描点法和图象变换法．要掌握这两种方法；由函数解析式，用描点法作图象应①化简解析式;②分析函数的性质如：分布范围、变化趋势、对称性、周期性等，③选算对应值，列表描点；3、要理解图象变换与函数式的变换之间的关系，常见的图象变换有：平移、伸缩、对称、旋转等(1)平移变换函数y=f(x+a)(a≠0)的图象——把函数y=f(x)的图象向左(a＞0)或向右(a＜0)平移|a|；函数y=f(x)+b(b≠0)的图象——把函数y=f(x)的图象向上(b＞0)或向下(b＜0)平移|b|函数y=f(x+a)+b(b≠0)的图象呢？函数y=f(x)的图象按向量a=(h,k)平移后得函数y=f(x-h)+k(2)伸缩变换函数y=Af(x)(A＞0，A≠1)的图象——把函数y=f(x)的图象上各点的纵坐标伸长(A ＞1)或缩短(0＜A＜1)成原来的A倍；函数y=f(ωx)(ω＞0，ω≠1)的图象——把函数y=f(x)的图象上各点的横坐标伸长（0<ω<1）或缩短（ω>1）为原来的1/ω；说出y=Asin(ωx+φ)与y=sinx之间的关系——(3)对称变换函数y=f(-x)的图象与y=f(x)的图象关于y轴对称（即把（x,y）换成（-x,y））；函数y=-f(x)的图象与y=f(x)的图象关于x轴对称；(即把（x,y）换成（x,-y））函数y=-f(-x)的图象与y=f(x)的图象关于原点对称(即把（x,y）换成（-x,-y））；函数y=f(|x|)的图象——把y=f(x)在y轴右方的图象换成y轴左边的对称图形即可；函数y=|f(x)|的图象——把y=f(x)的图象在x轴下方的翻折到x轴上方而得到．4、奇偶函数图象的对称性，二、自我检测1、若把函数y=f(x)的图像作平移，可以使图像上的点P(1，0)变换成点Q(2，2)，则函数y=f (x)的图像经此变换后所得图像对应的函数为.y=f(x-1)+22、设函数y=f(x)的定义域为Ｒ，则函数y=f(x-1)与y=f(1-x)的图象关系为关于对称直线x=1对称3.、方程f(x,y)=0的曲线过点（2，4），则方程f(2－x,y)=0的曲线必过点（即把(x,y)换成(2-x,y)；图象关于x=1对称；或2-x=2,y=0。