最新人教版高中数学第1章1.3.1第2课时课时练习及详解

第2课时补集必备知识基础练知识点一全集与补集1.设集合U＝R，M＝{x|x＞2或x＜0}，则∁U M＝( )A．{x|0≤x≤2}B．{x|0＜x＜2}C．{x|x＜0或x＞2}D．{x|x≤0或x≥2}2．已知全集U＝{x|x≤5}，集合A＝{x|－3≤x<5}，则∁U A＝________.3．设全集U＝{x|x是三角形}，A＝{x|x是锐角三角形}，B＝{x|x是钝角三角形}，则(∁U A)∩(∁U B)＝________.4．已知全集U，集合A＝{1,3,5,7}，∁U A＝{2,4,6}，∁U B＝{1,4,6}，则集合B＝________.知识点二集合交、并、补的综合运算5.设集合S＝{x|x>－2}，T＝{x|－4≤x≤1}，则(∁R S)∪T等于( )A．{x|－2<x≤1}B．{x|x≤－4}C．{x|x≤1}D．{x|x≥1}6．已知全集U＝{1,2,3,4,5}，M＝{1,2}，N＝{2,5}，则如图所示，阴影部分表示的集合是( )A．{3,4,5} B．{1,3,4}C．{1,2,5} D．{3,4}7．设全集为R，A＝{x|3≤x<7}，B＝{x|2<x<10}，则∁R(A∪B)＝________，(∁R A)∩B＝________.8．已知集合A＝{x|x>a}，B＝{x|x>1}，若A∩(∁R B)≠∅，则实数a的取值X围是________．关键能力综合练一、选择题1．设集合A＝{x|1<x<4}，B＝{x|－1≤x≤3}，则A∩(∁R B)等于( )A．{x|1＜x＜4}B．{x|3＜x＜4}C．{x|1＜x＜3}D．{x|1＜x＜2}∪{x|3＜x＜4}2．已知集合U＝{1,2,3,4,5,6,7}，A＝{2,3,4,5}，B＝{2,3,6,7}，则B∩(∁U A)等于( ) A．{1,6} B．{1,7}C．{6,7} D．{1,6,7}3．已知全集U＝{－1,1,3}，集合A＝{a＋2，a2＋2}，且∁U A＝{－1}，则a的值是( ) A．－1 B．1C．3 D．±14．已知集合A，B均为全集U＝{1,2,3,4}的子集，且∁U(A∪B)＝{4}，B＝{1,2}，则A∩(∁U B)等于( )A．{3} B．{4}C．{3,4} D．∅5．已知U为全集，集合M，N是U的子集．若M∩N＝N，则( )A．(∁U M)⊇(∁U N) B．M⊆(∁U N)C．(∁U M)⊆(∁U N) D．M⊇(∁U N)6．(探究题)设全集U＝R，集合A＝{x|x≤1或x≥3}，集合B＝{x|k<x<k＋1，k∈R}，且B∩(∁U A)≠∅，则( )A．k＜0或k＞3 B．2＜k＜3C．0＜k＜3 D．－1＜k＜3二、填空题7．设U＝{x|－5≤x<－2或2<x≤5，x∈Z}，A＝{x|x2－2x－15＝0}，B＝{－3,3,4}，则∁U A＝________，∁U B＝________.8．设全集U＝{0,1,2,3}，集合A＝{x|x2＋mx＝0}，若∁U A＝{1,2}，则实数m＝________.9．(易错题)设U为实数集，集合M＝{x|0<x<2}，N＝{y|y＝x2}，则(∁U M)∩N＝________.三、解答题10．已知全集U＝{x|x≤4}，集合A＝{x|－2<x<3}，B＝{x|－3≤x≤2}，求A∩B，(∁U A)∪B，A∩(∁U B)．学科素养升级练1．(多选题)已知集合A＝{x|－1<x≤3}，集合B＝{x||x|≤2}，则下列关系式正确的是( )A．A∩B＝∅B．A∪B＝{x|－2≤x≤3}C．A∪(∁R B)＝{x|x≤－1或x>2}D．A∩(∁R B)＝{x|2<x≤3}2．设U为全集，对集合X，Y，定义运算“*”：X*Y＝∁U(X∩Y)．对于任意集合X，Y，Z，则(X*Y)*Z等于( )A．(X∪Y)∩(∁U Z)B．(X∩Y)∪(∁U Z)C．[(∁U X)∪(∁U Y)]∩ZD．[(∁U X)∩(∁U Y)]∪Z3．(学科素养—逻辑推理)对于集合A，B，我们把集合{(a，b)|a∈A，b∈B}记作A×B.例如，A＝{1,2}，B＝{3,4}，则有( )A×B＝{(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)}，B×A＝{(3,1)，(3,2)，(4,1)，(4,2)}，A×A＝{(1,1)，(1,2)，(2,1)，(2,2)}，B×B＝{(3,3)，(3,4)，(4,3)，(4,4)}，据此，试回答下列问题．(1)已知C＝{a}，D＝{1,2,3}，求C×D；(2)已知A×B＝{(1,2)，(2,2)}，求集合A，B；(3)A有3个元素，B有4个元素，试确定A×B有几个元素．第2课时补集必备知识基础练1.解析：如图，在数轴上表示出集合M，可知∁U M＝{x|0≤x≤2}．答案：A2.解析：将集合U和集合A分别表示在数轴上，如图所示．由补集定义可得∁U A＝{x|x<－3，或x＝5}．答案：{x|x<－3，或x＝5}3．解析：根据三角形的分类可知，∁U A＝{x|x是直角三角形或钝角三角形}，∁U B＝{x|x 是直角三角形或锐角三角形}，所以(∁U A)∩(∁U B)＝{x|x是直角三角形}答案：{x|x是直角三角形}4．解析：解法一A＝{1,3,5,7}，∁U A＝{2,4,6}，∴U＝{1,2,3,4,5,6,7}．又∁U B＝{1,4,6}，∴B＝{2,3,5,7}．解法二借助Venn图，如图所示．由图可知B＝{2,3,5,7}．答案：{2,3,5,7}5．解析：∵S＝{x|x>－2}，∴∁R S＝{x|x≤－2}．而T＝{x|－4≤x≤1}，∴(∁R S)∪T＝{x|x≤－2}∪{x|－4≤x≤1}＝{x|x≤1}．答案：C6．解析：由图可知，阴影部分表示的集合是∁U(M∪N)．∵M∪N＝{1,2,5}，又U＝{1,2,3,4,5}，∴∁U(M∪N)＝{3,4}．答案：D7．解析：由题意知，A∪B＝{x|2<x<10}，∴∁R(A∪B)＝{x|x≤2或x≥10}．又∁R A＝{x|x<3或x≥7}．∴(∁R A)∩B＝{x|2<x<3或7≤x<10}．答案：{x|x≤2或x≥10}{x|2<x<3或7≤x<10}8．解析：∁R B＝{x|x≤1}，∵A∩(∁R B)≠∅，∴a<1.答案：{a|a<1}关键能力综合练1．解析：∵B＝{x|－1≤x≤3}，∴∁R B＝{x|x＜－1或x＞3}，∴A∩(∁R B)＝{x|1＜x＜4}∩{x|x＜－1或x＞3}＝{x|3＜x＜4}．答案：B2．解析：∵U＝{1,2,3,4,5,6,7}，A＝{2,3,4,5}，∴∁U A＝{1,6,7}．又B＝{2,3,6,7}，∴B∩(∁U A)＝{6,7}．答案：C3．解析：由A∪(∁U A)＝U，可知A＝{1,3}．又∵a2＋2≥2，∴a＋2＝1且a2＋2＝3.解得a＝－1，故选A.答案：A4．解析：∁U(A∪B)＝{4}，∴A∪B＝{1,2,3}．∵B＝{1,2}，∴A＝{3}或{2,3}或{1,3}或{1,2,3}，且∁U B＝{3,4}，∴A∩(∁U B)＝{3}．答案：A5．解析：∵M∩N＝N，∴N⊆M，∴(∁U M)⊆(∁U N)．答案：C6．解析：∵A＝{x|x≤1或x≥3}，∴∁U A＝{x|1＜x＜3}，若B∩(∁U A)＝∅，则k＋1≤1或k≥3，即k≤0或k≥3，所以若B∩(∁U A)≠∅，则0＜k＜3.答案：C7．解析：解法一在集合U中，∵x∈Z，则x的值为－5，－4，－3,3,4,5，∴U＝{－5，－4，－3,3,4,5}．又A＝{x|x2－2x－15＝0}＝{－3,5}，∴∁U A＝{－5，－4,3,4}，∁U B＝{－5，－4,5}．解法二可用Venn图表示．则∁U A＝{－5，－4,3,4}，∁U B＝{－5，－4,5}．答案：{－5，－4,3,4} {－5，－4,5}8．解析：∵U＝{0,1,2,3}，∁U A＝{1,2}，∴A＝{0,3}，故m＝－3.答案：－39．解析：N＝{y|y＝x2}＝{y|y≥0}，∁U M＝{x|x≤0或x≥2}，则(∁U M)∩N＝{x|x≥2或x ＝0}．答案：{x|x≥2或x＝0}10.解析：利用数轴，分别表示出全集U及集合A，B，则∁U A＝{x|x≤－2或3≤x≤4}，∁U B＝{x|x<－3或2<x≤4}．所以A∩B＝{x|－2<x≤2}；(∁U A)∪B＝{x|x≤2或3≤x≤4}；A∩(∁U B)＝{x|2<x<3}．学科素养升级练1．解析：∵A＝{x|－1<x≤3}，B＝{x||x|≤2}＝{x|－2≤x≤2}，∴A∩B＝{x|－1<x≤3}∩{x|－2≤x≤2}＝{x|－1<x≤2}，故A不正确；A∪B＝{x|－1<x≤3}∪{x|－2≤x≤2}＝{x|－2≤x≤3}，故B正确；∵∁R B＝{x|x<－2或x>2}，∴A∪(∁R B)＝{x|－1<x≤3}∪{x|x<－2或x>2}＝{x|x<－2或x>－1}，故C不正确；A∩(∁R B)＝{x|－1<x≤3}∩{x|x<－2或x>2}＝{x|2<x≤3}，故D正确．∴正确的是BD.答案：BD2．解析：依题意得(X*Y)＝∁U(X∩Y)，(X*Y)*Z＝∁U[(X*Y)∩Z]＝∁U[∁U(X∩Y)∩Z]＝{∁U[∁U(X∩Y)]}∪(∁U Z)＝(X∩Y)∪(∁U Z)．答案：B3．解析：(1)C×D＝{(a,1)，(a,2)，(a,3)}．(2)∵A×B＝{(1,2)，(2,2)}，∴A＝{1,2}，B＝{2}．(3)从以上解题过程中可以看出，A×B中元素的个数，与集合A和B中的元素个数有关，即集合A中的任何一个元素与B中的每一个元素对应后，得到A×B中的一个新元素．若A中有m个元素，B中有n个元素，则A×B中的元素应为(m×n)个．因此若A中有3个元素，B 中有4个元素，则A×B中有3×4＝12(个)元素．。

第 2 课时 函数的最值课时目标 1.理解函数的最大 (小 )值的观点及其几何意义 .2.领会函数的最大 ( 小)值与单一性之间的关系 .3.会求一些简单函数的最大 ( 小 )值．1．函数的最大值、最小值最值最大值 最小值设函数 y ＝ f(x) 的定义域为 I ，假如存在实数 M 知足：(3) 关于随意的 x ∈ I ，都有 __________ ．条件(1) 关于随意的 x ∈ I ，都有 __________ ．(4) 存在 x 0∈ I ，使得 __________ ．(2) 存在 x 0∈ I ，使得 __________.结论 M 是函数 y ＝ f(x) 的最大值M 是函数 y ＝ f(x) 的最小值2.函数最值与单一性的联系(1) 若函数 y ＝ f(x) 在区间 [a ， b] 上单一递加，则 f(x) 的最大值为 ________ ，最小值为________．(2)若函数 y ＝ f(x) 在区间 [a ，b]上单一递减， 则 f(x) 的最大值为 ______，最小值为 ______．一、选择题1．若函数 f(x) ＝x 2＋2(a － 1)x ＋ 2 在区间 (－ ∞，4)上是减函数，则实数 a 的取值范围是()A ． a ≤－ 3B ．a ≥－ 3C ． a ≤ 5D ．a ≥32．函数 y ＝ x ＋ 2x － 1()A ．有最小值 1，无最大值21，无最小值B ．有最大值 2C ．有最小值 1，最大值 22D ．无最大值，也无最小值3．已知函数 y＝x2－2x＋ 3 在区间 [0，m] 上有最大值 3，最小值 2，则 m 的取值范围是 () A． [1，＋∞ ) B ． [0,2]C． ( －∞， 2]D． [1,2]4．假如函数 f(x) ＝ x2＋ bx＋ c对随意的实数x，都有 f(1＋ x)＝ f( － x)，那么 ()A． f(－ 2)<f(0)<f(2)B． f(0)<f( － 2)<f(2)C． f(2)<f(0)<f( －2)D． f(0)<f(2)<f( －2)5．函数 y＝ |x－ 3|－ |x＋ 1|的 ()A．最小值是 0，最大值是 4B．最小值是－ 4，最大值是 0C．最小值是－ 4，最大值是 4D．没有最大值也没有最小值1的最大值是 ()6．函数 f(x) ＝1－x(1－x)45A. 5B. 434C.4D. 3题号 1 2 3 4 56答案二、填空题2的值域是 ________．7．函数 y＝|x|＋18．函数 y＝－ x2＋ 6x＋ 9 在区间 [a，b](a<b<3) 有最大值9，最小值－ 7，则 a＝ ________，b＝ __________.9．若 y＝－2， x∈ [－ 4，－ 1]，则函数y 的最大值为 ________．x三、解答题10．已知函数f(x) ＝ x2－ 2x＋ 2.(1)求f(x) 在区间[1， 3]上的最大值和最小值；2(2)若g(x) ＝ f(x) －mx在 [2,4] 上是单一函数，求m 的取值范围．11．若二次函数知足f(x ＋1)－ f(x) ＝ 2x 且 f(0) ＝1.(1)求 f(x) 的分析式；(2)若在区间 [ －1,1] 上不等式f(x)>2x ＋m 恒建立，务实数m 的取值范围．能力提高12．已知函数 f(x) ＝ 3－ 2|x|， g(x) ＝ x2－ 2x，结构函数 F(x)，定义以下：当f(x) ≥g(x)时，F(x) ＝ g(x) ；当 f(x)<g(x) 时， F(x) ＝f(x) ，那么 F(x)()A．有最大值 3，最小值－ 1B．有最大值 3，无最小值C．有最大值 7－ 2 7，无最小值D．无最大值，也无最小值13．已知函数 f(x) ＝ ax2－ |x|＋ 2a－ 1，此中 a≥0， a∈R.(1)若 a＝ 1，作函数 f(x) 的图象；(2)设 f(x) 在区间 [1,2] 上的最小值为g(a)，求 g(a)的表达式．1．函数的最大(小 )值(1)定义中 M 第一是一个函数值，它是值域中的一个元素，如函数f(x) ＝－ x2(x∈ R)的最大值为 0，有 f(0)＝ 0，注意对“存在”的理解．(2)关于定义域内随意元素，都有 f(x) ≤M或 f(x) ≥M建立，“随意”是说对每一个值都一定知足不等式．拓展关于函数y＝ f(x) 的最值，可简记以下：最大值： y max或 f(x) max；最小值： y min或 f(x) min.2．函数的最值与值域、单一性之间的联系(1)对一个函数来说，其值域是确立的，但它不必定有1最值，如函数y＝x.假如有最值，则最值必定是值域中的一个元素．(2)若函数f(x) 在闭区间 [a， b]上单一，则f(x) 的最值必在区间端点处获得．即最大值是f(a)或f(b) ，最小值是f(b) 或f(a)．3．二次函数在闭区间上的最值探究二次函数在给定区间上的最值问题，一般要先作出y＝ f(x) 的草图，而后依据图象的增减性进行研究．特别要注意二次函数的对称轴与所给区间的地点关系，它是求解二次函数在已知区间上最值问题的主要依照，而且最大(小 )值不必定在极点处获得．第 2 课时函数的最大 (小)值知识梳理1． (1)f(x) ≤M (2)f(x 0)＝ M (3)f(x)≥M (4)f(x 0)＝ M2． (1)f(b) f(a)(2)f(a) f(b)作业设计1．A [ 由二次函数的性质，可知 4≤－ (a －1) ，解得 a ≤－ 3.]2．A [ ∵ y ＝ x ＋2x － 1在定义域 [1，＋ ∞)上是增函数，21 1 1∴ y ≥f( )＝ ，即函数最小值为，无最大值，选 A.]2223．D[ 由 y ＝ x 2－ 2x ＋ 3＝ (x － 1)2＋ 2 知，当 x ＝1 时， y 的最小值为 2，当 y ＝ 3 时， x 2－2x ＋ 3＝ 3，解得 x ＝0 或 x ＝ 2.由 y ＝ x 2－ 2x ＋ 3 的图象知，当 m ∈ [1,2] 时，能保证 y 的最大值为3，最小值为 2.]4．D [ 依题意，由f(1＋ x)＝ f( － x)知，二次函数的对称轴为x ＝ 1，由于 f(x) ＝ x 2＋ bx2＋ c 张口向上，且 f(0) ＝ f(1)， f(－ 2)＝ f(3) ，由函数 f(x) 的图象可知， [1，＋ ∞)为 f(x) 的2 增区间，因此 f(1)<f(2)<f(3) ，即 f(0)<f(2)<f( － 2)． ]－4(x ≥3)5． C [y ＝ |x － 3|－ |x ＋ 1|＝ － 2x ＋2(－ 1≤x<3) .4 (x< －1)由于 [－1,3)是函数 y ＝－ 2x ＋ 2 的减区间，因此－ 4<y ≤4，综上可知 C 正确． ]6．D [f(x) ＝ 1 41 23 ≤ .]＋ 3(x － ) 42 7． (0,2]分析 察看可知 y>0 ，当 |x|取最小值时， y 有最大值，因此当 x ＝ 0 时， y 的最大值为 2，即 0<y ≤2，故函数 y 的值域为 (0,2] ．8．－2 0分析y ＝－ (x －3) 2＋ 18，∵ a<b<3，∴函数 y 在区间 [a ， b]上单一递加，即－b 2＋ 6b ＋ 9＝9，得 b ＝0(b ＝ 6 不合题意，舍去 )2－ a ＋ 6a ＋9＝－ 7，得 a ＝－ 2(a ＝8 不合题意，舍去 )．分析函数 y ＝－ 2x 在 [ － 4，－ 1]上是单一递加函数，2故 ymax＝－－1＝2.10．解(1)∵ f(x) ＝ x 2 －2x ＋ 2＝ (x －1) 2＋1， x ∈ [1， 3]，2∴ f(x) 的最小值是 f(1) ＝ 1，又 f(1)＝ 54， f(3) ＝ 5，2因此， f(x) 的最大值是 f(3)＝ 5，即 f(x) 在区间 [ 1，3] 上的最大值是 5，最小值是 1.2 (2)∵ g(x) ＝ f(x) － mx ＝ x 2－ (m ＋ 2)x ＋ 2，∴ m ＋ 2m ＋ 2≥4，即 m ≤2或 m ≥ 6.2 ≤2或2 故 m 的取值范围是 (－ ∞， 2]∪ [6，＋ ∞)．11．解(1) 设 f(x) ＝ ax 2＋ bx ＋ c(a ≠0)，由 f(0) ＝ 1，∴ c ＝ 1，∴ f(x) ＝ ax 2＋ bx ＋1.∵ f(x ＋ 1)－ f(x) ＝ 2x ，∴ 2ax ＋ a ＋ b ＝ 2x ，2a ＝ 2 ，∴a ＝ 1 2－ x ＋ 1.∴，∴ f(x) ＝ x a ＋ b ＝ 0b ＝－ 1(2)由题意： x 2－ x ＋ 1>2x ＋ m 在 [ － 1,1] 上恒建立，即 x 2－ 3x ＋ 1－ m>0 在 [－1,1] 上恒建立．令 g(x) ＝ x 2－ 3x ＋ 1－ m ＝ (x －3)2－ 5－m ， 2 4其对称轴为 x ＝32，∴ g(x) 在区间 [－ 1,1]上是减函数，∴ g(x) min ＝ g(1)＝ 1－ 3＋ 1－ m>0，∴ m<－1.12．C [绘图获得 F(x) 的图象：射线 AC 、抛物线 AB 及射线 BD 三段， y ＝ 2x ＋3， 联立方程组y ＝ x 2－ 2x ，得 x A ＝ 2－ 7，代入得 F(x) 的最大值为 7－ 2 7，由图可得 F(x) 无最小值，进而选C.]13．解 (1)当 a ＝ 1 时， f(x) ＝ x 2x 2＋x ＋ 1， x<0－ |x|＋ 1＝2－x ＋ 1，.x x ≥0作图 (如右所示 )．(2)当 x ∈ [1,2] 时， f(x) ＝ ax 2－ x ＋2a － 1.若 a ＝0，则 f(x) ＝－ x － 1 在区间 [1,2] 上是减函数，g(a)＝ f(2) ＝－ 3.若 a>0，则 f(x) ＝ a(x － 2a 1)2＋ 2a － 4a 1－ 1，f(x) 图象的对称轴是直线x ＝ 1 .2a 1 1时， f(x) 在区间 [1,2] 上是增函数， 当 0<<1 ，即 a>2a2g(a)＝ f(1) ＝3a － 2.当 1≤111时，≤2，即 ≤ a ≤2a42g(a)＝ f( 1) ＝ 2a － 1－ 1，2a 4a当 2a 1>2，即 0<a<14时， f(x) 在区间 [1,2] 上是减函数，g(a)＝ f(2) ＝6a － 3.6a－ 3，1 0≤ a<4综上可得 g(a)＝2a－1－1，11≤ a≤4a4213a－ 2， a>2。

选择性必修第一册全册课后练习题本文档还有大量公式，在网页中显示可能会出现位置错误的情况，下载后均可正常显示，请放心下载练习！第一章空间向量与立体几何................................................................................................ - 2 -1.1.1空间向量及其线性运算......................................................................................... - 2 -1.1.2空间向量的数量积运算......................................................................................... - 8 -1.2空间向量基本定理.................................................................................................. - 15 -1.3.1空间直角坐标系 .................................................................................................. - 22 -1.3.2空间运算的坐标表示........................................................................................... - 28 -1.4.1.1空间向量与平行关系 ....................................................................................... - 34 -1.4.1.2空间向量与垂直关系 ....................................................................................... - 42 -1.4.2用空量研究距离、夹角问题............................................................................... - 51 -章末测验 ....................................................................................................................... - 64 - 第二章直线和圆的方程...................................................................................................... - 78 -2.1.1倾斜角与斜率 ...................................................................................................... - 78 -2.1.2两条直线平行和垂直的判定............................................................................... - 83 -2.2.1直线的点斜式方程............................................................................................... - 87 -2.2.2直线的两点式方程............................................................................................... - 92 -2.2.3直线的一般式方程............................................................................................... - 97 -2.3.1两条直线的交点坐标......................................................................................... - 102 -2.3.2两点间的距离公式............................................................................................. - 102 -2.3.3点到直线的距离公式......................................................................................... - 107 -2.3.4两条平行直线间的距离..................................................................................... - 107 -2.4.1圆的标准方程 .................................................................................................... - 113 -2.4.2圆的一般方程 .................................................................................................... - 118 -2.5.1直线与圆的位置关系......................................................................................... - 122 -2.5.2圆与圆的位置关系............................................................................................. - 128 -章末测验 ..................................................................................................................... - 135 - 第三章圆锥曲线的方程.................................................................................................... - 144 -3.1.1椭圆及其标准方程............................................................................................. - 144 -3.1.2.1椭圆的简单几何性质 ..................................................................................... - 150 -3.1.2.2椭圆的标准方程及性质的应用...................................................................... - 156 -3.2.1双曲线及其标准方程......................................................................................... - 164 -3.2.2双曲线的简单几何性质..................................................................................... - 171 -3.3.1抛物线及其标准方程......................................................................................... - 178 -3.3.2抛物线的简单几何性质..................................................................................... - 184 -章末测验 ..................................................................................................................... - 191 - 模块综合测验 ..................................................................................................................... - 202 -第一章 空间向量与立体几何1.1.1空间向量及其线性运算一、选择题1．空间任意四个点A ，B ，C ，D ，则DA →＋CD →－CB →等于( ) A ．DB → B ．AC → C ．AB → D ．BA → D [DA →＋CD →－CB →＝DA →＋BD →＝BA →.]2．设有四边形ABCD ，O 为空间任意一点，且AO →＋OB →＝DO →＋OC →，则四边形ABCD 是( )A ．平行四边形B ．空间四边形C ．等腰梯形D ．矩形A [∵AO →＋OB →＝DO →＋OC →，∴AB →＝DC →. ∴AB →∥DC →且|AB →|＝|DC →|. ∴四边形ABCD 为平行四边形．]3．已知A ，B ，C 三点不共线，对平面ABC 外的任一点O ，下列条件中能确定点M 与点A ，B ，C 一定共面的是( )A ．OM →＝OA →＋OB →＋OC → B ．OM →＝2OA →－OB →－OC → C ．OM →＝OA →＋12OB →＋13OC →D ．OM →＝13OA →＋13OB →＋13OC → D [由OM →＝13OA →＋13OB →＋13OC →，可得3OM →＝OA →＋OB →＋OC →⇒OM →－OA →＋OM →－OB →＋OM →－OC →＝0， 即AM →＝－BM →－CM →.所以AM →与BM →，CM →在一个平面上，即点M 与点A ，B ，C 一定共面．] 4．若空间中任意四点O ，A ，B ，P 满足OP →＝mOA →＋nOB →，其中m ＋n ＝1，则( )A ．P ∈AB B ．P ∉ABC ．点P 可能在直线AB 上D ．以上都不对A [因为m ＋n ＝1，所以m ＝1－n ， 所以OP →＝(1－n )OA →＋nOB →， 即OP →－OA →＝n (OB →－OA →)， 即AP →＝nAB →，所以AP →与AB →共线． 又AP →，AB →有公共起点A ，所以P ，A ，B 三点在同一直线上， 即P ∈AB .]5．已知在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，点E 是A 1C 1的中点， 点F 是AE 的三等分点，且AF ＝12EF ，则AF →＝( )A ．AA 1→＋12AB →＋12AD → B ．12AA 1→＋12AB →＋12AD →C ．12AA 1→＋16AB →＋16AD → D ．13AA 1→＋16AB →＋16AD →D [如图所示，AF →＝13AE →，AE →＝AA 1→＋A 1E →，A 1E →＝12A 1C 1→，A 1C 1→＝A 1B 1→＋A 1D 1→，A 1B 1→＝AB →，A 1D 1→＝AD →，所以AF →＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫AA 1→＋12A 1C 1→＝13AA 1→＋16AB →＋16AD →，故选D.]二、填空题6．已知A ，B ，C 三点不共线，O 为平面ABC 外一点，若由OM →＝－2OA →＋OB →＋λOC →确定的点M 与A ，B ，C 共面，则λ＝________.2 [由M 、A 、B 、C 四点共面知：－2＋1＋λ＝1，即λ＝2.]7．在平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，M 为AC 与BD 的交点，若A 1B 1→＝a ，A 1D 1→＝b ，A 1A →＝c ，用a ，b ，c 表示D 1M →，则D 1M →＝________.12a －12b ＋c [D 1M →＝D 1D →＋DM → ＝A 1A →＋12(DA →＋DC →) ＝c ＋12(－A 1D 1→＋A 1B 1→) ＝12a －12b ＋c .]8．在空间四边形ABCD 中，E ，F 分别是AB ，CD 的中点，则EF →和AD →＋BC →的关系是________．(填“平行”，“相等”或“相反”)平行 [设G 是AC 的中点，则EF →＝EG →＋GF →＝12BC →＋12AD →＝12(AD →＋BC →) 所以2EF →＝AD →＋BC →， 从而EF →∥(AD →＋BC →)．] 三、解答题9.如图，在空间四边形ABCD 中，G 为△BCD 的重心，E ，F 分别为边CD 和AD 的中点，试化简AG →＋13BE →－12AC →，并在图中标出化简结果的向量．[解] ∵G 是△BCD 的重心，BE 是CD 边上的中线，∴GE →＝13BE →.又12AC →＝12(DC →－DA →)＝12DC →－12DA →＝DE →－DF →＝FE →， ∴AG →＋13BE →－12AC →＝AG →＋GE →－FE →＝AF →(如图所示)．10．在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，M 为DD 1的中点，点N 在AC 上，且AN ∶NC ＝2∶1，求证：A 1N →与A 1B →，A 1M →共面．[证明] ∵A 1B →＝AB →－AA 1→， A 1M →＝A 1D 1→＋D 1M →＝AD →－12AA 1→， AN →＝23AC →＝23(AB →＋AD →)， ∴A 1N →＝AN →－AA 1→ ＝23(AB →＋AD →)－AA 1→＝23(AB →－AA 1→)＋23(AD →－12AA 1→) ＝23A 1B →＋23A 1M →， ∴A 1N →与A 1B →，A 1M →共面．11．(多选题)若A ，B ，C ，D 为空间不同的四点，则下列各式为零向量的是( ) A ．AB →＋2BC →＋2CD →＋DC → B ．2AB →＋2BC →＋3CD →＋3DA →＋AC →C.AB →＋CA →＋BD →D.AB →－CB →＋CD →－AD →BD [A 中，AB →＋2BC →＋2CD →＋DC →＝AB →＋2BD →＋DC →＝AB →＋BD →＋BD →＋DC →＝AD →＋BC →；B 中，2AB →＋2BC →＋3CD →＋3DA →＋AC →＝2AC →＋3CA →＋AC →＝0；C 中，AB →＋CA →＋BD →＝AD →＋CA →；D 中，AB →－CB →＋CD →－AD →＝AB →＋BC →＋CD →＋DA →表示A →B →C →D →A 恰好形成一个回路，结果必为0.]12．(多选题)有下列命题，其中真命题的有( ) A ．若AB →∥CD →，则A ，B ，C ，D 四点共线 B ．若AB →∥AC →，则A ，B ，C 三点共线C ．若e 1，e 2为不共线的非零向量，a ＝4e 1－25e 2，b ＝－e 1＋110e 2，则a ∥b D ．若向量e 1，e 2，e 3是三个不共面的向量，且满足等式k 1e 1＋k 2e 2＋k 3e 3＝0，则k 1＝k 2＝k 3＝0BCD [根据共线向量的定义，若AB →∥CD →，则AB ∥CD 或A ，B ，C ，D 四点共线，故A 错；因为AB →∥AC →且AB →，AC →有公共点A ，所以B 正确；由于a ＝4e 1－25e 2＝－4－e 1＋110e 2＝－4b ，所以a ∥b ，故C 正确；易知D 也正确．]13．(一题两空)已知A ，B ，C 三点共线，则对空间任一点O ，若OA →＝2OB →＋μOC →，则μ＝________；存在三个不为0的实数λ，m ，n ，使λOA →＋mOB →＋nOC →＝0，那么λ＋m ＋n 的值为________．－1 0 [由A 、B 、C 三点共线，∴2＋μ＝1，∴μ＝－1，又由λOA →＋mOB →＋nOC →＝0得OA →＝－m λOB →－n λOC →由A ，B ，C 三点共线知－m λ－nλ＝1，则λ＋m ＋n ＝0.]14．设e 1，e 2是平面上不共线的向量，已知AB →＝2e 1＋k e 2，CB →＝e 1＋3e 2，CD →＝2e 1－e 2，若A ，B ，D 三点共线，则实数k 为________．－8 [因为BD →＝CD →－CB →＝e 1－4e 2，AB →＝2e 1＋k e 2，又A ，B ，D 三点共线，由共线向量定理得12＝－4k ，所以k ＝－8.]15.如图所示，已知四边形ABCD 是平行四边形，点P 是ABCD 所在平面外的一点，连接P A ，PB ，PC ，PD .设点E ，F ，G ，H 分别为△P AB ，△PBC ，△PCD ，△PDA 的重心．(1)试用向量方法证明E ，F ，G ，H 四点共面；(2)试判断平面EFGH 与平面ABCD 的位置关系，并用向量方法证明你的判断． [证明] (1)分别连接PE ，PF ，PG ，PH 并延长，交对边于点M ，N ，Q ，R ，连接MN ，NQ ，QR ，RM ，∵E ，F ，G ，H 分别是所在三角形的重心，∴M ，N ，Q ，R 是所在边的中点，且PE →＝23PM →，PF →＝23PN →，PG →＝23PQ →，PH →＝23PR →.由题意知四边形MNQR 是平行四边形，∴MQ →＝MN →＋MR →＝(PN →－PM →)＋(PR →－PM →)＝32(PF →－PE →)＋32(PH →－PE →)＝32(EF →＋EH →)．又MQ →＝PQ →－PM →＝32PG →－32PE →＝32EG →.∴EG →＝EF →＋EH →，由共面向量定理知，E ，F ，G ，H 四点共面．(2)平行．证明如下：由(1)得MQ →＝32EG →，∴MQ →∥EG →， ∴EG →∥平面ABCD .又MN →＝PN →－PM →＝32PF →－32PE → ＝32EF →，∴MN →∥EF →. 即EF ∥平面ABCD . 又∵EG ∩EF ＝E ，∴平面EFGH 与平面ABCD 平行1.1.2空间向量的数量积运算一、选择题1．已知a ⊥b ，|a |＝2，|b |＝3，且(3a ＋2b )⊥(λa －b )，则λ等于( ) A ．32 B ．－32 C ．±32 D ．1A [∵a ⊥b ，∴a ·b ＝0，∵3a ＋2b ⊥λa －b ，∴(3a ＋2b )·(λa －b )＝0， 即3λa 2＋(2λ－3)a ·b －2b 2＝0，∴12λ－18＝0，解得λ＝32.]2．已知空间四边形ABCD 的每条边和对角线的长都等于a ，点E ，F 分别是BC ，AD 的中点，则AE →·AF →的值为( )A ．a 2B ．12a 2C ．14a 2D ．34a 2C [AE →·AF →＝12(AB →＋AC →)·12AD →＝14(AB →·AD →＋AC →·AD →)＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫a ×a ×12＋a ×a ×12＝14a 2.]3．已知长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1，则下列向量的数量积一定不为0的是( ) A ．AD 1→·B 1C →B ．BD 1→·AC →C ．AB →·AD 1→ D ．BD 1→·BC →D [对于选项A ，当四边形ADD 1A 1为正方形时，可得AD 1⊥A 1D ，而A 1D ∥B 1C ，可得AD 1⊥B 1C ，此时有AD 1→·B 1C →＝0；对于选项B ，当四边形ABCD 为正方形时，AC ⊥BD ，易得AC ⊥平面BB 1D 1D ，故有AC ⊥BD 1，此时有BD 1→·AC →＝0；对于选项C ，由长方体的性质，可得AB ⊥平面ADD 1A 1，可得AB ⊥AD 1，此时必有AB →·AD 1→＝0；对于选项D ，由长方体的性质，可得BC ⊥平面CDD 1C 1，可得BC ⊥CD 1，△BCD 1为直角三角形，∠BCD 1为直角，故BC 与BD 1不可能垂直，即BD 1→·BC →≠0.故选D.]4．在棱长为a 的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，向量BA 1→与向量AC →所成的角为( )A ．60°B ．150°C ．90°D ．120°D [BA 1→＝BA →＋AA 1→，|BA 1→|＝2a ，AC →＝A B →＋AD →，|AC →|＝2a .∴BA 1→·AC →＝BA →·AB →＋BA →·AD →＋AA 1→·AB →＋AA 1→·AD →＝－a 2. ∴cos 〈BA 1→，AC →〉＝－a 22a ·2a ＝－12.∴〈BA 1→，AC →〉＝120°.]5.如图所示，在平行六面体ABCD -A ′B ′C ′D ′中，AB ＝1，AD ＝2，AA ′＝3，∠BAD ＝90°，∠BAA ′＝∠DAA ′＝60°，则AC ′的长为( )A ．13B ．23C ．33D ．43B [∵AC ′→＝AB →＋BC →＋CC ′→，∴AC ′→2＝(AB →＋BC →＋CC ′→)2＝AB →2＋BC →2＋CC ′→2＋2(AB →·BC →＋AB →·CC ′→＋BC →·CC ′→) ＝12＋22＋32＋2(0＋1×3cos 60°＋2×3cos 60°) ＝14＋2×92＝23，∴|AC ′→|＝23，即AC ′的长为23.] 二、填空题6．已知a ，b 是空间两个向量，若|a |＝2，|b |＝2，|a －b |＝7，则cos 〈a ，b 〉＝________.18[将|a －b |＝7两边平方，得(a －b )2＝7. 因为|a |＝2，|b |＝2，所以a ·b ＝12.又a ·b ＝|a ||b |cos 〈a ，b 〉，故cos 〈a ，b 〉＝18.]7．已知a ，b 是异面直线，A ，B ∈a ，C ，D ∈b ，AC ⊥b ，BD ⊥b ，且AB ＝2，CD ＝1，则a ，b 所成的角是________．60° [AB →＝AC →＋CD →＋DB →，∴CD →·AB →＝CD →·(AC →＋CD →＋DB →)＝|CD →|2＝1， ∴cos 〈CD →，AB →〉＝CD →·AB →|CD →||AB →|＝12，∴异面直线a ，b 所成角是60°.]8．已知|a |＝2，|b |＝1，〈a ，b 〉＝60°，则使向量a ＋λb 与λa －2b 的夹角为钝角的实数λ的取值范围是________．(－1－3，－1＋3) [由题意知 ⎩⎨⎧(a ＋λb )·(λa －2b )<0，cos 〈a ＋λb ，λa －2b 〉≠－1. 即⎩⎨⎧(a ＋λb )·(λa －2b )<0，(a ＋λb )·(λa －2b )≠－|a ＋λb ||λa －2b |，得λ2＋2λ－2<0.∴－1－3<λ<－1＋ 3.] 三、解答题9.如图，在四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 是边长为1的正方形，侧棱P A 的长为2，且P A 与AB 、AD 的夹角都等于60°，M 是PC 的中点，设AB →＝a ，AD →＝b ，AP →＝c .(1)试用a ，b ，c 表示出向量BM →； (2)求BM 的长．[解] (1)∵M 是PC 的中点，∴BM →＝12(BC →＋BP →)＝12[AD →＋(AP →－AB →)] ＝12[b ＋(c －a )]＝－12a ＋12b ＋12c .(2)由于AB ＝AD ＝1，P A ＝2，∴|a |＝|b |＝1，|c |＝2，由于AB ⊥AD ，∠P AB ＝∠P AD ＝60°，∴a·b ＝0，a·c ＝b·c ＝2·1·cos 60°＝1， 由于BM →＝12(－a ＋b ＋c )，|BM →|2＝14(－a ＋b ＋c )2＝14[a 2＋b 2＋c 2＋2(－a·b －a·c ＋b·c )]＝14[12＋12＋22＋2(0－1＋1)]＝32.∴|BM →|＝62，∴BM 的长为62.10.如图，已知直三棱柱ABC -A ′B ′C ′中，AC ＝BC ＝AA ′，∠ACB ＝90°，D ，E 分别为AB ，BB ′的中点．(1)求证：CE ⊥A ′D ；(2)求异面直线CE 与AC ′所成角的余弦值． [解] (1)证明：设CA →＝a ，CB →＝b ，CC ′→＝c ， 根据题意得|a |＝|b |＝|c |，且a·b ＝b·c ＝c·a ＝0. ∴CE →＝b ＋12c ，A ′D →＝－c ＋12b －12a .∴CE →·A ′D →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋12c ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－c ＋12b －12a ＝－12c 2＋12b 2＝0， ∴CE →⊥A ′D →，即CE ⊥A ′D .(2)∵AC ′→＝－a ＋c ，∴|AC ′→|＝2|a |，|CE →|＝52|a |， ∵AC ′→·CE →＝(－a ＋c )·⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋12c ＝12c 2＝12|a |2， ∴cos 〈AC ′→，CE →〉＝12|a |22×52|a |2＝1010.∴异面直线CE 与AC ′所成角的余弦值为1010.11．(多选题)在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，下列命题正确的有( ) A ．(AA 1→＋AD →＋AB →)2＝3AB →2 B ．A 1C →·(A 1B 1→－A 1A →)＝0 C ．AD 1→与A 1B →的夹角为60° D ．正方体的体积为|AB →·AA 1→·AD →|AB [如图，(AA 1→＋AD →＋AB →)2＝(AA 1→＋A 1D 1→＋D 1C 1→)2＝AC 1→2＝3AB →2；A 1C →·(A 1B 1→－A 1A →)＝A 1C →·AB 1→＝0；AD 1→与A 1B →的夹角是D 1C →与D 1A →夹角的补角，而D 1C →与D 1A →的夹角为60°，故AD 1→与A 1B →的夹角为120°；正方体的体积为|AB →||AA 1→||AD →|.故选AB.]12．已知正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为1，若E 是底面正方形A 1B 1C 1D 1的中心， 则AC 1→与CE →( )A ．重合B ．平行但不重合C ．垂直D ．无法确定C [AC 1→＝AB →＋AD →＋AA 1→，CE →＝CC 1→＋C 1E →＝AA 1→－12(AB →＋AD →)，于是AC 1→·CE →＝(AB →＋AD →＋AA 1→)·⎣⎢⎡⎦⎥⎤AA 1－12(AB →＋AD →)＝AB →·AA 1→－12AB →2－12AB →·AD →＋AD →·AA 1→－12AD →·AB →－12AD →2＋AA 1→2－12AA 1→·AB →－12AA 1→·AD →＝0－12－0＋0－0－12＋1－0－0＝0，故AC 1→⊥CE →.]13．(一题两空)如图，在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，设AD ＝AA 1＝1，AB ＝2，P 是C 1D 1的中点，则B 1C →·A 1P →＝________，B 1C →与A 1P →所成角的大小为________．1 60° [法一：连接A 1D ，则∠P A 1D 就是B 1C →与A 1P →所成角．连接PD ，在△P A 1D 中，易得P A 1＝DA 1＝PD ＝2，即△P A 1D 为等边三角形，从而∠P A 1D ＝60°，即B 1C →与A 1P →所成角的大小为60°.因此B 1C →·A 1P →＝2×2×cos 60°＝1.法二：根据向量的线性运算可得B 1C →·A 1P →＝(A 1A →＋AD →)·⎝⎛⎭⎪⎫AD →＋12AB →＝AD →2＝1. 由题意可得P A 1＝B 1C ＝2，则2×2×cos 〈B 1C →，A 1P →〉＝1，从而〈B 1C →，A 1P →〉＝60°.]14．已知在正四面体D -ABC 中，所有棱长都为1，△ABC 的重心为G ，则DG 的长为________．63 [如图，连接AG 并延长交BC 于点M ，连接DM ，∵G 是△ABC 的重心，∴AG ＝23AM ，∴AG →＝23AM →，DG →＝DA →＋AG →＝DA →＋23AM →＝DA →＋23(DM →－DA →)＝DA →＋23⎣⎢⎡⎦⎥⎤12(DB →＋DC →)－DA →＝13(DA →＋DB →＋DC →)，而(DA →＋DB →＋DC →)2＝DA →2＋DB →2＋DC →2＋2DA →·DB →＋2DB →·DC →＋2DC →·DA →＝1＋1＋1＋2(cos 60°＋cos 60°＋cos 60°)＝6，∴|DG →|＝63.]15.如图，正四面体V -ABC 的高VD 的中点为O ，VC 的中点为M .(1)求证：AO ，BO ，CO 两两垂直；(2)求〈DM →，AO →〉．[解] (1)证明：设VA →＝a ，VB →＝b ，VC →＝c ，正四面体的棱长为1， 则VD →＝13(a ＋b ＋c )，AO →＝16(b ＋c －5a )， BO →＝16(a ＋c －5b )，CO →＝16(a ＋b －5c )，所以AO →·BO →＝136(b ＋c －5a )·(a ＋c －5b )＝136(18a ·b －9|a |2)＝136(18×1×1×cos 60°－9)＝0，所以AO →⊥BO →，即AO ⊥BO .同理，AO ⊥CO ，BO ⊥CO . 所以AO ，BO ，CO 两两垂直．(2)DM →＝DV →＋VM →＝－13(a ＋b ＋c )＋12c ＝16(－2a －2b ＋c )，所以|DM →|＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤16(－2a －2b ＋c )2＝12. 又|AO →|＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤16(b ＋c －5a )2＝22，DM →·AO →＝16(－2a －2b ＋c )·16(b ＋c －5a )＝14， 所以cos 〈DM →，AO →〉＝1412×22＝22. 又〈DM →，AO →〉∈[0，π]， 所以〈DM →，AO →〉＝π4.1.2空间向量基本定理一、选择题1．若向量{a ，b ，c }是空间的一个基底，则一定可以与向量p ＝2a ＋b ，q ＝2a－b 构成空间的另一个基底的向量是( )A ．aB ．bC ．cD ．a ＋bC [由p ＝2a ＋b ，q ＝2a －b 得a ＝14p ＋14q ，所以a 、p 、q 共面，故a 、p 、q 不能构成空间的一个基底，排除A ；因为b ＝12p －12q ，所以b 、p 、q 共面，故b 、p 、q 不能构成空间的一个基底，排除B ；因为a ＋b ＝34p －14q ，所以a ＋b 、p 、q 共面，故a ＋b 、p 、q 不能构成空间的一个基底，排除D.]2．在平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，M 是上底面对角线AC 与BD 的交点，若A 1B 1→＝a ，A 1D 1→＝b ，A 1A →＝c ，则B 1M →可表示为( )A ．12a ＋12b ＋cB ．12a －12b ＋cC ．－12a －12b ＋cD ．－12a ＋12b ＋cD [由于B 1M →＝B 1B →＋BM →＝B 1B →＋12(BA →＋BC →) ＝－12a ＋12b ＋c ，故选D.]3．若向量MA →，MB →，MC →的起点M 与终点A ，B ，C 互不重合，且点M ，A ，B ，C 中无三点共线，满足下列关系(O 是空间任一点)，则能使向量MA →，MB →，MC →成为空间一个基底的关系是( )A ．OM →＝13OA →＋13OB →＋13OC → B ．MA →≠MB →＋MC → C ．OM →＝OA →＋OB →＋OC →D ．MA →＝2MB →－MC →C [若MA →，MB →，MC →为空间一组基向量，则M ，A ，B ，C 四点不共面．选项A 中，因为13＋13＋13＝1，所以点M ，A ，B ，C 共面；选项B 中，MA →≠MB →＋MC →，但可能存在实数λ，μ使得MA →＝λMB →＋μMC →，所以点M ，A ，B ，C 可能共面；选项D 中，四点M ，A ，B ，C 显然共面．故选C.]4．空间四边形OABC 中，OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，点M 在OA 上，且OM →＝2MA →，N 为BC 中点，则MN →为( )A ．12a －23b ＋12cB ．－23a ＋12b ＋12cC ．12a ＋12b －23cD ．23a ＋23b －12cB [MN →＝MA →＋AB →＋BN →＝13OA →＋OB →－OA →＋12(OC →－OB →)＝－23OA →＋12OB →＋12OC →＝－23a ＋12b ＋12c .]5．平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，向量AB →，AD →，AA 1→两两的夹角均为60°且|AB →|＝1，|AD →|＝2，|AA 1→|＝3，则|AC 1→|等于( )A ．5B ．6C ．4D ．8A [在平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中有，AC 1→＝AB →＋AD →＋CC 1→＝AB →＋AD →＋AA 1→所以有|AC 1→|＝|AB →＋AD →＋AA 1→|，于是有|AC 1→|2＝|AB →＋AD →＋AA 1→|2＝|AB →|2＋|AD →|2＋|AA 1→|2＋2|AB →|·|AD →|·cos 60°＋2|AB →|·|AA 1→|·cos 60°＋2|AD →||AA 1→|·cos 60°＝25，所以|AC 1→|＝5.]二、填空题6．在四面体OABC 中，OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，D 为BC 的中点，E 为AD 的中点，则OE →＝________.(用a ，b ，c 表示)12a ＋14b ＋14c [因为在四面体OABC 中，OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，D 为BC 的中点，E 为AD 的中点，所以OE →＝12(OA →＋OD →)＝12OA →＋12OD →＝12a ＋12×12(OB →＋OC →)＝12a ＋14(b ＋c )＝12a ＋14b ＋14c .]7．已知{a ，b ，c }是空间的一个单位正交基底，{a ＋b ，a －b ，c }是空间的另一个基底，若向量m 在基底{a ，b ，c }下表示为m ＝3a ＋5b ＋9c ，则m 在基底{a ＋b ，a －b,3c }下可表示为________．4(a ＋b )－(a －b )＋3(3c ) [由题意知，m ＝3a ＋5b ＋9c ，设m ＝x (a ＋b )＋y (a －b )＋z (3c )则有⎩⎨⎧ x ＋y ＝3x －y ＝53z ＝9，解得⎩⎨⎧x ＝4y ＝－1z ＝3.则m 在基底{a ＋b ，a －b,3c }可表示为m ＝4(a ＋b )－(a －b )＋3(3c )．] 8．在四棱锥P -ABCD 中，ABCD 为平行四边形，AC 与BD 交于O ，G 为BD 上一点，BG ＝2GD ，P A →＝a ，PB →＝b ，PC →＝c ，试用基底{a ，b ，c }表示向量PG →＝________.23a －13b ＋23c [因为BG ＝2GD ，所以BG →＝23BD →. 又BD →＝BA →＋BC →＝P A →－PB →＋PC →－PB →＝a ＋c －2b ， 所以PG →＝PB →＋BG →＝b ＋23(a ＋c －2b ) ＝23a －13b ＋23c .] 三、解答题9.如图所示，正方体OABC -O ′A ′B ′C ′，且OA →＝a ，OC →＝b ，OO ′→＝c .(1)用a ，b ，c 表示向量OB ′→，AC ′→；(2)设G ，H 分别是侧面BB ′C ′C 和O ′A ′B ′C ′的中心，用a ，b ，c 表示GH →.[解] (1)OB ′→＝OB →＋BB ′→＝OA →＋OC →＋OO ′→＝a ＋b ＋c . AC ′→＝AC →＋CC ′→＝AB →＋AO →＋AA ′→＝OC →＋OO ′→－OA →＝b ＋c －a . (2)法一：连接OG ，OH (图略)， 则GH →＝GO →＋OH →＝－OG →＋OH → ＝－12(OB ′→＋OC →)＋12(OB ′→＋OO ′→) ＝－12(a ＋b ＋c ＋b )＋12(a ＋b ＋c ＋c ) ＝12(c －b )．法二：连接O ′C (图略)，则GH →＝12CO ′→＝12(OO ′→－OC →) ＝12(c －b )．10.如图，在平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，MA →＝－13AC →，ND →＝13A 1D →，设AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1→＝c ，试用a ，b ，c 表示MN →.[解] 连接AN ，则MN →＝MA →＋AN →.由已知可得四边形ABCD 是平行四边形，从而可得 AC →＝AB →＋AD →＝a ＋b ， MA →＝－13AC →＝－13(a ＋b )， 又A 1D →＝AD →－AA 1→＝b －c ，故AN →＝AD →＋DN →＝AD →－ND →＝AD →－13A 1D →＝b －13(b －c )， 所以MN →＝MA →＋AN → ＝－13(a ＋b )＋b －13(b －c ) ＝13(－a ＋b ＋c )．11．(多选题)已知a ，b ，c 是不共面的三个向量，则下列向量组中，不能构成一个基底的一组向量是( )A ．2a ，a －b ，a ＋2bB ．2b ，b －a ，b ＋2aC ．a,2b ，b －cD ．c ，a ＋c ，a －cABD [对于A ，因为2a ＝43(a －b )＋23(a ＋2b )，得2a 、a －b 、a ＋2b 三个向量共面，故它们不能构成一个基底；对于B ，因为2b ＝43(b －a )＋23(b ＋2a )，得2b 、b －a 、b ＋2a 三个向量共面，故它们不能构成一个基底；对于C ，因为找不到实数λ、μ，使a ＝λ·2b ＋μ(b －c )成立，故a 、2b 、b －c 三个向量不共面，它们能构成一个基底；对于D ，因为c ＝12(a ＋c )－12(a －c )，得c 、a ＋c 、a －c 三个向量共面，故它们不能构成一个基底，故选ABD.]12．(多选题)给出下列命题，正确命题的有( )A ．若{a ，b ，c }可以作为空间的一个基底，d 与c 共线，d ≠0，则{a ，b ，d }也可以作为空间的一个基底B ．已知向量a ∥b ，则a ，b 与任何向量都不能构成空间的一个基底C ．A ，B ，M ，N 是空间四点，若BA →，BM →，BN →不能构成空间的一个基底，则A ，B ，M ，N 四点共面D ．已知{a ，b ，c }是空间的一个基底，若m ＝a ＋c ，则{a ，b ，m }也是空间的一个基底ABCD [根据基底的概念，知空间中任何三个不共面的向量都可作为空间的一个基底．显然B 正确．C 中由BA →，BM →，BN →不能构成空间的一个基底，知BA →，BM →，BN →共面．又BA →，BM →，BN →过相同点B ，知A ，B ，M ，N 四点共面．所以C 正确．下面证明AD 正确：A 假设d 与a ，b 共面，则存在实数λ，μ，使得d ＝λa ＋μb ，∵d 与c 共线，c ≠0，∴存在实数k ，使得d ＝k c .∵d ≠0，∴k ≠0，从而c ＝λk a ＋μk b ，∴c 与a ，b 共面，与条件矛盾，∴d 与a ，b 不共面．同理可证D 也是正确的．于是ABCD 四个命题都正确，故选ABCD.]13．(一题两空)已知空间的一个基底{a ，b ，c }，m ＝a －b ＋c ，n ＝x a ＋y b ＋c ，若m 与n 共线，则x ＝________，y ＝________.1 －1 [因为m 与n 共线， 所以存在实数λ，使m ＝λn ，即a －b ＋c ＝λx a ＋λy b ＋λc ，于是有⎩⎨⎧1＝λx ，－1＝λy ，1＝λ，解得⎩⎨⎧x ＝1，y ＝－1.]14．(一题多空)已知e 1，e 2是空间单位向量，e 1·e 2＝12.若空间向量b 满足b ·e 1＝2，b ·e 2＝52，且对于任意x ，y ∈R ，|b －(x e 1＋y e 2)|≥|b －(x 0e 1＋y 0e 2)|＝1(x 0，y 0∈R )，则x 0＝________，y 0＝________，|b |＝________.1 2 22 [由题意可令b ＝x 0e 1＋y 0e 2＋e 3，其中|e 3|＝1，e 3⊥e i ，i ＝1,2.由b ·e 1＝2得x 0＋y 02＝2，由b ·e 2＝52得x 02＋y 0＝52，解得x 0＝1，y 0＝2，∴|b |＝(e 1＋2e 2＋e 3)2＝2 2.]15．在平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，设AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1→＝c ，E ，F 分别是AD 1，BD 的中点．(1)用向量a ，b ，c 表示D 1B →，EF →；(2)若D 1F →＝x a ＋y b ＋z c ，求实数x ，y ，z 的值． [解] (1)如图，D 1B →＝D 1D →＋DB →＝－AA 1→＋AB →－AD →＝a －b －c ，EF →＝EA →＋AF →＝12D 1A →＋12AC →＝－12(AA 1→＋AD →)＋12(AB →＋AD →)＝12(a －c )． (2)D 1F →＝12(D 1D →＋D 1B →)＝12(－AA 1→＋AB →－AD 1→) ＝12(－AA 1→＋AB →－AD →－DD 1→) ＝12(a －c －b －c )＝12a －12b －c ， ∴x ＝12，y ＝－12，z ＝－1.1.3.1空间直角坐标系一、选择题1．空间两点A ，B 的坐标分别为(x ，－y ，z )，(－x ，－y ，－z )，则A ，B 两点的位置关系是( )A ．关于x 轴对称B ．关于y 轴对称C ．关于z 轴对称D ．关于原点对称B [纵坐标相同，横坐标和竖坐标互为相反数，故两点关于y 轴对称．] 2．已知A (1,2，－1)，B (5,6,7)，则直线AB 与平面xOz 交点的坐标是( ) A ．(0,1,1) B ．(0,1，－3)C ．(－1,0,3)D ．(－1,0，－5)D [设直线AB 与平面xoz 交点坐标是M (x ，y ，z )，则AM →＝(x －1，－2，z ＋1)，AB →＝(4,4,8)，又AM →与AB →共线，∴AM →＝λAB →，即⎩⎨⎧x －1＝4λ，－2＝4λ，z ＋1＝8λ，解得x ＝－1，z ＝－5，∴点M (－1,0，－5)．故选D.]3．设A (3,3,1)，B (1,0,5)，C (0,1,0)，则AB 的中点M 到点C 的距离|CM |＝( ) A ．534 B ．532 C ．532D ．132 C [M ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，32，3 ，|CM |＝4＋⎝ ⎛⎭⎪⎫32－12＋9＝532.] 4.如图，在空间直角坐标系中，正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为1，B 1E ＝14A 1B 1，则BE →等于( )A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫0，14，－1B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，0，1C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－14，1D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫14，0，－1C [{DA →，DC →，DD 1→}为单位正交向量，BE →＝BB 1→＋B 1E →＝－14DC →＋DD 1→，∴BE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－14，1.] 5．设{i ，j ，k }是单位正交基底，已知向量p 在基底{a ，b ，c }下的坐标为(8,6,4)，其中a ＝i ＋j ，b ＝j ＋k ，c ＝k ＋i ，则向量p 在基底{i ，j ，k }下的坐标是( )A ．(12,14,10)B ．(10,12,14)C ．(14,12,10)D ．(4,3,2)A [依题意，知p ＝8a ＋6b ＋4c ＝8(i ＋j )＋6(j ＋k )＋4(k ＋i )＝12i ＋14j ＋10k ，故向量p 在基底{i ，j ，k }下的坐标是(12,14,10)．]二、填空题6．在空间直角坐标系中，已知点P (1，2，3)，过点P 作平面yOz 的垂线PQ ，则垂足Q 的坐标为________．(0，2，3) [过P 的垂线PQ ⊥面yOz ，则Q 点横坐标为0，其余不变，故Q (0，2，3)．]7．设{e 1，e 2，e 3}是空间向量的一个单位正交基底，a ＝4e 1－8e 2＋3e 3，b ＝－2e 1－3e 2＋7e 3，则a ，b 的坐标分别为________．(4，－8,3)，(－2，－3,7) [由题意可知a ＝(4，－8,3)，b ＝(－2，－3,7)．] 8.如图所示，以长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的顶点D 为坐标原点，过D 的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，若DB 1→的坐标为(4,3,2)，则AC 1→的坐标为________．(－4,3,2) [由DB 1→＝DA →＋DC →＋DD 1→，且DB 1→＝(4,3,2)，∴|DA →|＝4，|DC →|＝3，|DD 1→|＝2，又AC 1→＝－DA →＋DC →＋DD 1→，∴AC 1→＝(－4,3,2)．]三、解答题9．已知三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，侧棱AA 1⊥底面ABC ，所有的棱长都是1，建立适当的坐标系，并写出各点的坐标．[解] 如图所示，取AC 的中点O 和A 1C 1的中点O 1，可得BO ⊥AC ，OO 1⊥AC ，分别以OB ，OC ，OO 1所在直线为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系．∵三棱柱各棱长均为1，∴OA ＝OC ＝O 1C 1＝O 1A 1＝12，OB ＝32. ∵A ，B ，C 均在坐标轴上，∴A ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－12，0，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，0，0，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，0.∵点A 1与C 1在yOz 平面内， ∴A 1⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－12，1，C 1⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，1.∵点B 1在xOy 平面内的射影为B ，且BB 1＝1，∴B 1⎝ ⎛⎭⎪⎫32，0，1，即各点的坐标为A ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－12，0，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，0，0，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，0，A 1⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－12，1，B 1⎝ ⎛⎭⎪⎫32，0，1，C 1⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，1. 10．棱长为1的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E ，F ，G 分别为棱DD 1，D 1C 1，BC 的中点，以{AB →，AD →，AA 1→}为正交基底，求下列向量的坐标：(1)AE →，AF →，AG →； (2)EF →，EG →，DG →.[解] 在正交基底{AB →，AD →，AA 1→}下，(1)AF →＝12AB →＋AD →＋AA 1→， AE →＝AD →＋12AA 1→，AG →＝AB →＋12AD →，∴AE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1，12，AF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，1，AG →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12，0.(2)EF →＝AF →－AE →＝12AB →＋12AA 1→，∴EF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，12；EG →＝AG →－AE →＝AB →－12AD →－12AA 1→，∴EG →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－12，－12；DG →＝AG →－AD →＝AB→－12AD →，∴DG →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－12，0.11．(多选题)下列各命题正确的是( ) A ．点(1，－2,3)关于平面xOz 的对称点为(1,2,3) B ．点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，－3关于y 轴的对称点为⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，1，3C ．点(2，－1,3)到平面yOz 的距离为1D ．设{i ，j ，k }是空间向量的单位正交基底，若m ＝3i －2j ＋4k ，则m ＝(3，－2,4)．ABD [“关于谁对称谁不变”，∴A 正确，B 正确，C 中(2，－1,3)到面yOz 的距离为2，∴C 错误．根据空间向量的坐标定义，D 正确．]12．在棱长为1的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，P 为正方体内一动点(包括表面)，若AP →＝xAB →＋yAD →＋zAA 1→，且0≤x ≤y ≤z ≤1.则点P 所有可能的位置所构成的几何体的体积是( )A ．1B ．12C ．13D ．16D [根据向量加法的几何意义和空间向量基本定理，满足0≤x ≤y ≤1的点P 在三棱柱ACD -A 1C 1D 1内；满足0≤y ≤z ≤1的点P 在三棱柱AA 1D 1-BB 1C 1内，故同时满足0≤x ≤y ≤1,0≤y ≤z ≤1的点P 在这两个三棱柱的公共部分(如图)，即三棱锥A -A 1C 1D 1，其体积是13×12×1×1×1＝16.]13．三棱锥P -ABC 中，∠ABC 为直角，PB ⊥平面ABC ，AB ＝BC ＝PB ＝1，M为PC 的中点，N 为AC 的中点，以{BA →，BC →，BP →}为基底，则MN →的坐标为________．⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，－12 [MN →＝BN →－BM → ＝12(BA →＋BC →)－12(BP →＋BC →) ＝12BA →－12BP →， 故MN →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，－12.] 14．已知O 是坐标原点，点A (2,0，－2)，B (3,1,2)，C (2，－1，7)． (1)若点P 满足OP →＝OA →＋OB →＋OC →，则点P 的坐标为________； (2)若点P 满足AP →＝2AB →－AC →，则点P 的坐标为________．(1)(7,0,7) (2)(4,3，－3) [(1)中OP →＝OA →＋OB →＋OC →＝(2i －2k )＋(3i ＋j ＋2k )＋(2i －j ＋7k )＝7i ＋0j ＋7k ，∴P (7,0,7)．(2)中，AP →＝2AB →－AC →得OP →－OA →＝2OB →－2OA →－OC →＋OA →，∴OP →＝2OB →－OC →＝2(3i ＋j ＋2k )－(2i －j ＋7k ) ＝4i ＋3j －3k ，∴P (4,3，－3)．]15.如图，在正四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 是边长为1的正方形，O 是AC 与BD 的交点，PO ＝1，M 是PC 的中点．设AB →＝a ，AD →＝b ，AP →＝c .(1)用向量a ，b ，c 表示BM →.(2)在如图的空间直角坐标系中，求BM →的坐标．[解] (1)∵BM →＝BC →＋CM →，BC →＝AD →，CM →＝12CP →，CP →＝AP →－AC →，AC →＝AB →＋AD →，∴BM →＝AD →＋12(AP →－AC →)＝AD →＋12AP →－12(AB →＋AD →)＝－12AB →＋12AD →＋12AP →＝－12a ＋12b ＋12c .(2)a ＝AB →＝(1,0,0)，b ＝AD →＝(0,1,0)．∵A (0,0,0)，O ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12，0，P ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12，1，∴c ＝AP →＝OP →－OA →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12，1，∴BM →＝－12a ＋12b ＋12c ＝－12(1,0,0)＋12(0,1,0)＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12，1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，34，12.1.3.2空间运算的坐标表示一、选择题1．已知三点A (1,5，－2)，B (2,4,1)，C (a,3，b ＋2)在同一条直线上，那么( ) A ．a ＝3，b ＝－3 B ．a ＝6，b ＝－1 C ．a ＝3，b ＝2D ．a ＝－2，b ＝1C [根据题意AB →＝(1，－1,3)，AC →＝(a －1，－2，b ＋4)， ∵AB →与AC →共线，∴AC →＝λAB →， ∴(a －1，－2，b ＋4)＝(λ，－λ，3λ)，∴⎩⎨⎧a －1＝λ，－2＝－λ，b ＋4＝3λ，解得⎩⎨⎧a ＝3，b ＝2，λ＝2.故选C.]2．已知a ＝(2,3，－4)，b ＝(－4，－3，－2)，b ＝12x －2a ，则x 等于( ) A ．(0,3，－6) B ．(0,6，－20) C ．(0,6，－6)D ．(6,6，－6)B [由题a ＝(2,3，－4)，b ＝(－4，－3，－2)，设x ＝(w ，y ，z )则由b ＝12x －2a ，可得(－4，－3，－2)＝12(w ，y ，z )－2(2,3，－4)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12w ，12y ，12z－(4,6，－8)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12w －4，12y －6，12z ＋8，解得w ＝0，y ＝6，z ＝－20，即x ＝(0,6，－20)．]3．已知向量a ＝(1,0，－1)，则下列向量中与a 成60°夹角的是( ) A ．(－1,1,0) B ．(1，－1,0) C ．(0，－1,1)D ．(－1,0,1)B [不妨设向量为b ＝(x ，y ，z )，A ．若b ＝(－1,1,0)，则cos θ＝a ·b |a |·|b |＝－12×2＝－12≠12，不满足条件． B ．若b ＝(1，－1,0)，则cos θ＝a ·b |a |·|b |＝12×2＝12，满足条件． C ．若b ＝(0，－1,1)，则cos θ＝a ·b |a |·|b |＝－12×2＝－12≠12，不满足条件． D ．若b ＝(－1,0,1)，则cos θ＝a ·b |a |·|b |＝－22×2＝－1≠12，不满足条件．故选B.]4．已知向量a ＝(－2，x,2)，b ＝(2,1,2)，c ＝(4，－2,1)，若a ⊥(b －c )，则x 的值为( )A ．－2B ．2C ．3D ．－3A [∵b －c ＝(－2,3,1)，a ·(b －c )＝4＋3x ＋2＝0，∴x ＝－2.]5．已知A 、B 、C 三点的坐标分别为A (4，1，3)，B (2，－5，1)，C (3，7，λ)，若AB →⊥AC →，则λ等于( )A ．28B ．－28C ．14D ．－14D [AB →＝(－2，－6，－2)，AC →＝(－1，6，λ－3)，∵AB →⊥AC →，∴AB →·AC →＝－2×(－1)－6×6－2(λ－3)＝0，解得λ＝－14.] 二、填空题6．已知a ＝(1,1,0)，b ＝(0,1,1)，c ＝(1,0,1)，p ＝a －b ，q ＝a ＋2b －c ，则p ·q ＝________.－1 [∵p ＝a －b ＝(1,0，－1)，q ＝a ＋2b －c ＝(0,3,1)， ∴p ·q ＝1×0＋0×3＋(－1)×1＝－1.]7．已知空间三点A (1,1,1)，B (－1,0,4)，C (2，－2,3)，则AB →与CA →的夹角θ的大小是________．120° [AB →＝(－2，－1,3)，CA →＝(－1,3，－2)，cos 〈AB →，CA →〉＝(－2)×(－1)＋(－1)×3＋3×(－2)14·14＝－12，∴θ＝〈AB →，CA →〉＝120°.]8.如图，正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为1，E 、F 分别是棱BC 、DD 1上的点，如果B 1E ⊥平面ABF ，则CE 与DF 的和的值为________．1 [以D 1A 1、D 1C 1、D 1D 分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系(图略)，设CE ＝x ，DF ＝y ，则易知E (x,1,1)，B 1(1,1,0)，∴B 1E →＝(x －1,0,1)，又F (0,0,1－y )，B (1,1,1)，∴FB →＝(1,1，y )，由于AB ⊥B 1E ，若B 1E ⊥平面ABF ，只需FB →·B 1E →＝(1,1，y )·(x －1,0,1)＝0⇒x ＋y ＝1.] 三、解答题9．已知空间中三点A (－2,0,2)，B (－1,1,2)，C (－3,0,4)，设a ＝AB →，b ＝AC →. (1)求向量a 与向量b 的夹角的余弦值；(2)若k a ＋b 与k a －2b 互相垂直，求实数k 的值．[解] (1)∵a ＝(1,1,0)，b ＝(－1,0,2)，∴a·b ＝(1,1,0)·(－1,0,2)＝－1， 又|a |＝12＋12＋02＝2，|b |＝(－1)2＋02＋22＝5，∴cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a ||b |＝－110＝－1010，即向量a 与向量b 的夹角的余弦值为－1010.(2)法一：∵k a ＋b ＝(k －1，k,2)，k a －2b ＝(k ＋2，k ，－4)，且k a ＋b 与k a －2b 互相垂直，∴(k －1，k,2)·(k ＋2，k ，－4)＝(k －1)(k ＋2)＋k 2－8＝0，∴k ＝2或k ＝－52， ∴当k a ＋b 与k a －2b 互相垂直时，实数k 的值为2或－52. 法二：由(1)知|a |＝2，|b |＝5，a·b ＝－1，∴(k a ＋b )·(k a －2b )＝k 2a 2－k a ·b －2b 2＝2k 2＋k －10＝0，得k ＝2或k ＝－52. 10.已知正三棱柱ABC -A 1B 1C 1，底面边长AB ＝2，AB 1⊥BC 1，点O ，O 1分别是边AC ，A 1C 1的中点，建立如图所示的空间直角坐标系．(1)求正三棱柱的侧棱长；(2)求异面直线AB 1与BC 所成角的余弦值． [解] (1)设正三棱柱的侧棱长为h ，由题意得A (0，－1,0)，B (3，0,0)，C (0,1,0)，B 1(3，0，h )，C 1(0,1，h )， 则AB 1→＝(3，1，h )，BC 1→＝(－3，1，h )， 因为AB 1⊥BC 1，所以AB 1→·BC 1→＝－3＋1＋h 2＝0， 所以h ＝ 2.(2)由(1)可知AB 1→＝(3，1，2)，BC →＝(－3，1,0)， 所以AB 1→·BC →＝－3＋1＝－2.因为|AB 1→|＝6，|BC →|＝2，所以cos 〈AB 1→，BC →〉＝－226＝－66.所以异面直线AB 1与BC 所成角的余弦值为66.11．(多选题)若向量a ＝(1,2,0)，b ＝(－2,0,1)，则下列结论正确的是( )。

第2课时 函数的最大(小)值1．理解函数的最大(小)值的概念及其几何意义．(重点)2．了解函数的最大(小)值与定义区间有关，会求一次函数、二次函数及反比例函数在指定区间上的最大(小)值．(重点、难点)[基础·初探]教材整理 函数的最大(小)值阅读教材P 30至“例3”以上部分，完成下列问题．1．函数f (x )＝1x ，x ∈[－1,0)∪(0,2]( ) A ．有最大值12，最小值－1 B ．有最大值12，无最小值 C ．无最大值，有最小值－1D ．无最大值，也无最小值【解析】 函数f (x )＝1x 在[－1,0)上单调递减，在(0,2]上也单调递减，所以无最大值，也无最小值，故选D.【答案】 D2．函数f (x )＝x 2－2x ＋2，x ∈[－1,2]的最小值为________；最大值为________．【解析】 因为f (x )＝x 2－2x ＋2＝(x －1)2＋1，x ∈[－1,2]，所以f (x )的最小值为f (1)＝1，最大值为f (－1)＝5.【答案】 1 5[小组合作型]【精彩点拨】 先把y ＝x －|x －1|化成分段函数的形式，再画出其图象，并由图象求值域． 【自主解答】 y ＝x －|x －1|＝⎩⎨⎧1，x≥12x －1，x<1，画出该函数的图象如图所示．由图可知，函数y ＝x －|x －1|的值域为(－∞，1]．1．函数的最大值、最小值分别是函数图象的最高点、最低点的纵坐标．对于图象较容易画出来的函数，可借助于图象直观的求出其最值，但画图时要求尽量精确．2．利用图象法求函数最值的一般步骤作图象→找图象的最高点和最低点→确定最高点和最低点的纵坐标→确定最值[再练一题]1．已知函数f (x )＝错误!(1)在如图1-3-2给定的直角坐标系内画出f (x )的图象； (2)写出f (x )的单调递增区间及值域. 【导学号：97030053】图1-3-2【解】 (1)图象如图所示：(2)由图可知f (x )的单调递增区间为[－1,0)，(2,5]，值域为[－1,3]．求函数f (x )＝x ＋4x 在[1,4]上的最值．【精彩点拨】 先利用单调性的定义判断函数的单调性，再根据单调性求最值即可． 【自主解答】 设1≤x 1<x 2≤2，则f (x 1)－f (x 2)＝x 1＋4x1－x 2－4x2＝x 1－x 2＋错误!＝(x 1－x 2)·⎝ ⎛⎭⎪⎫1－4x1x2＝(x 1－x 2)x1x2－4x1x2＝错误!. ∵1≤x 1<x 2≤2，∴x 1－x 2<0，x 1x 2－4<0，x 1x 2>0，∴f (x 1)>f (x 2)，∴f (x )是减函数． 同理f (x )在(2,4]上是增函数．∴当x ＝2时，f (x )取得最小值4，当x ＝1或x ＝4时，f (x )取得最大值5.函数的单调性与其最值的关系1．若函数f(x)在闭区间[a，b]上是减函数，则f(x)在闭区间[a，b]上的最大值为f(a)，最小值为f(b)．2．若函数f(x)在闭区间[a，b]上是增函数，则f(x)在闭区间[a，b]上的最大值为f(b)，最小值为f(a)．3．求函数的最值时一定要注意所给的区间是闭区间还是开区间，若是开区间，则不一定有最大值或最小值．[再练一题]2．已知函数f(x)＝1x－2，(1)判断f(x)在[3,5]上的单调性，并证明；【导学号：97030054】(2)求f(x)在[3,5]上的最大值和最小值．【解】(1)f(x)在[3,5]上为减函数．证明：任取x1，x2∈[3,5]，有x1＜x2，∴f(x1)－f(x2)＝1x1－2－1x2－2＝错误!.∵x1＜x2，∴x2－x1＞0.又∵x1，x2∈[3,5]，∴(x1－2)(x2－2)＞0，∴错误!＞0，∴f(x1)－f(x2)＞0，即f(x1)＞f(x2)，∴f(x)在[3,5]上是减函数．(2)∵f(x)在[3,5]上是减函数，∴f(x)在[3,5]上的最大值为f(3)＝1，f(x)在[3,5]上的最小值为f(5)＝1 3.某旅游点有50辆自行车供游客租赁使用，管理这些自行车的费用是每日115元．根据经验，若每辆自行车的日租金不超过6元，则自行车可以全部租出；若超过6元，则每提高1元，租不出去的自行车就增加3辆．规定：每辆自行车的日租金不超过20元，每辆自行车的日租金x 元只取整数，并要求出租所有自行车一日的总收入必须超过一日的管理费用，用y 表示出租所有自行车的日净收入(即一日中出租所有自行车的总收入减去管理费后的所得)．(1)求函数y ＝f (x )的解析式及定义域；(2)试问日净收入最多时每辆自行车的日租金应定为多少元？日净收入最多为多少元？ 【精彩点拨】 (1)函数y ＝f (x )＝出租自行车的总收入－管理费；当x ≤6时，全部租出；当6＜x ≤20时，每提高1元，租不出去的就增加3辆，所以要分段求出解析式；(2)由函数解析式是分段函数，在每一段内求出函数最大值，比较得出函数的最大值． 【自主解答】 (1)当x ≤6时，y ＝50x －115，令50x －115＞0，解得x ＞2.3. ∵x ∈N ，∴3≤x ≤6，且x ∈N .当6＜x ≤20时，y ＝[50－3(x －6)]x －115＝－3x 2＋68x －115， 综上可知y ＝⎩⎨⎧50x －115，3≤x≤6，x ∈N－3x2＋68x －115，6<x≤20，x ∈N.(2)当3≤x ≤6，且x ∈N 时，∵y ＝50x －115是增函数，∴当x ＝6时，y m ax ＝185元． 当6＜x ≤20，x ∈N 时，y ＝－3x 2＋68x －115＝－3⎝ ⎛⎭⎪⎫x －3432＋8113，∴当x ＝11时，y m ax ＝270元．综上所述，当每辆自行车日租金定在11元时才能使日净收入最多，为270元．1．本题建立的是分段函数模型，分段求出各段的最大值，两段中的最大值即为所求，其中求一次函数的最值应用单调性，求二次函数的最值则应用配方法．2．解决实际应用问题，首先要理解题意，然后建立数学模型转化成数学模型解决；分清各种数据之间的关系是正确构造函数关系式的关键．[再练一题]3．某产品生产厂家根据以往的生产销售经验得到下面有关生产销售的统计规律：每生产产品x (百台)，其总成本为G (x )(万元)，其中固定成本为2.8万元，并且每生产1百台的生产成本为1万元(总成本＝固定成本＋生产成本)．销售收入R (x )(万元)满足R (x )＝错误!假定该产品产销平衡(即生产的产品都能卖掉)，根据上述统计规律，请完成下列问题：(1)写出利润函数y ＝f (x )的解析式(利润＝销售收入－总成本)； (2)工厂生产多少台产品时，可使盈利最多？ 【解】 (1)由题意得G (x )＝2.8＋x . ∵R (x )＝错误! ∴f (x )＝R (x )－G (x ) ＝错误!(2)当x ＞5时，函数f (x )递减， ∴f (x )＜f (5)＝3.2(万元)．当0≤x ≤5时，函数f (x )＝－0.4(x －4)2＋3.6， 当x ＝4时，f (x )有最大值为3.6(万元)．所以当工厂生产4百台时，可使盈利最大为3.6万元．[探究共研型]探究1 函数f (x )＝x 1,0]，[－1,2]，[2,3]上的最大值和最小值分别是什么？【提示】 函数f (x )＝x 2－2x ＋2的图象开口向上，对称轴为x ＝1.(1)因为f (x )在区间[－1,0]上单调递减，所以f (x )在区间[－1,0]上的最大值为f (－1)＝5，最小值为f (0)＝2.(2)因为f (x )在区间[－1,1]上单调递减，在[1,2]上单调递增，则f (x )在区间[－1,2]上的最小值为f (1)＝1，又因为f (－1)＝5，f (2)＝2，f (－1)>f (2)，所以f (x )在区间[－1,2]上的最大值为f (－1)＝5.(3)因为f (x )在区间[2,3]上单调递增，所以f (x )在区间[2,3]上的最小值为f (2)＝2，最大值为f (3)＝5.探究2 你能说明二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 的单调性吗？若求该函数f (x )在[m ，n ]上的最值，应考虑哪些因素？【提示】 当a >0时，f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－b 2a 上单调递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫－b 2a ，＋∞上单调递增；当a <0时，f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－b 2a ，＋∞上单调递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－b 2a 上单调递增．若求二次函数f (x )在[m ，n ]上的最值，应考虑其开口方向及对称轴x ＝－b2a 与区间[m ，n ]的关系．已知函数f (x )＝x 2－ax ＋1， (1)求f (x )在[0,1]上的最大值；(2)当a ＝1时，求f (x )在闭区间[t ，t ＋1](t ∈R )上的最小值． 【精彩点拨】 (1)根据二次函数图象的对称性求函数的最大值．(2)根据函数在区间[t ，t ＋1]上的单调性分三种情况讨论，分别求出f (x )的最小值． 【自主解答】 (1)因为函数f (x )＝x 2－ax ＋1的图象开口向上，其对称轴为x ＝a2，所以区间[0,1]的哪一个端点离对称轴远，则在哪个端点取到最大值，当a 2≤12，即a ≤1时，f (x )的最大值为f (1)＝2－a ； 当a 2>12，即a >1时，f (x )的最大值为f (0)＝1.(2)当a ＝1时，f (x )＝x 2－x ＋1，其图象的对称轴为x ＝12， ①当t ≥12时，f (x )在其上是增函数，∴f (x )min ＝f (t )＝t 2－t ＋1； ②当t ＋1≤12，即t ≤－12时，f (x )在其上是减函数， ∴f (x )min ＝f (t ＋1)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋122＋34＝t 2＋t ＋1；③当t <12<t ＋1，即－12<t <12时，函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤t ，12上单调递减，在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，t ＋1上单调递增，所以f (x )min ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝34.探求二次函数的最值问题，要根据函数在已知区间上的单调性求解，特别要注意二次函数的对称轴与所给区间的位置关系，它是求解二次函数在已知区间上最值问题的主要依据，如果二者的位置关系不确定，那么就应对其位置关系进行分类讨论来确定函数的最值.[再练一题]4．求f(x)＝x2－2ax－1在区间[0,2]上的最大值和最小值.【导学号：97030055】【解】f(x)＝(x－a)2－1－a2，对称轴为x＝a.(1)当a<0时，由图①可知，f(x)在区间[0,2]上是增函数，所以f(x)min＝f(0)＝－1，f(x)m ax＝f(2)＝3－4a.(2)当0≤a≤1时，由图②可知，对称轴在区间[0,2]内，所以f(x)min＝f(a)＝－1－a2，f(x)m ax ＝f(2)＝3－4a.(3)当1<a≤2时，由图③可知，对称轴在区间[0,2]内，所以f(x)min＝f(a)＝－1－a2，f(x)m ax ＝f(0)＝－1.(4)当a>2时，由图④可知，f(x)在[0,2]上为减函数，所以f(x)min＝f(2)＝3－4a，f(x)m ax＝f(0)＝－1.1．函数f(x)＝－2x＋1(x∈[－2，2])的最小、最大值分别为( )A．3,5 B．－3,5C．1,5 D．5，－3【解析】因为f(x)＝－2x＋1(x∈[－2,2])是单调递减函数，所以当x＝2时，函数的最小值为－3.当x＝－2时，函数的最大值为5.【答案】 B2．函数y＝x2－2x，x∈[0,3]的值域为( )A．[0,3] B．[－1,0]C．[－1，＋∞) D．[－1,3]【解析】∵函数y＝x2－2x＝(x－1)2－1，x∈[0,3]，∴当x＝1时，函数y取得最小值为－1，当x＝3时，函数取得最大值为3，故函数的值域为[－1,3]，故选D.【答案】 D3．若函数y＝ax＋1在[1,2]上的最大值与最小值的差为2，则实数a的值是( )【导学号：97030056】A．2 B．－2C．2或－2 D．0【解析】由题意，a≠0，当a>0时，有(2a＋1)－(a＋1)＝2，解得a＝2；当a<0时，有(a ＋1)－(2a＋1)＝2，解得a＝－2.综上知a＝±2.【答案】 C4．函数f(x)＝6－x－3x在区间[2,4]上的最大值为________．【解析】∵6－x在区间上是减函数，－3x在区间上是减函数，∴函数f(x)＝6－x－3x在区间上是减函数，∴f(x)m ax＝f(2)＝6－2－3×2＝－4.【答案】－45．已知函数f(x)＝2x－1(x∈[2,6])．(1)判断函数f(x)的单调性，并证明；(2)求函数的最大值和最小值．【解】(1)函数f(x)在x∈[2,6]上是增函数．证明：设x1，x2是区间[2,6]上的任意两个实数，且x1<x2，则f(x1)－f(x2)＝2x1－1－2x2－1＝错误!＝错误!.由2≤x1<x2≤6，得x2－x1>0，(x1－1)(x2－1)>0，于是f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)，所以函数f(x)＝2x－1是区间[2,6]上的减函数．(2)由(1)可知，函数f(x)＝2x－1在区间[2,6]的两个端点处分别取得最大值与最小值，即在x＝2时取得最大值，最大值是2，在x＝6时取得最小值，最小值是0.4.。

第8课时辗转相除法与更相减损术知识点一辗转相除法1．有关辗转相除法，下列说法正确的是( )A．它和更相减损术一样是求多项式值的一种方法B．基本步骤是用较大的数m除以较小的数n得到除式m＝nq＋r，直至r<n为止C．基本步骤是用较大的数m除以较小的数n得到除式m＝nq＋r(0≤r<n)，若r≠0，则将n的值赋给m，r的值赋给n，继续前面步骤，直至r＝0为止D．以上说法皆错答案 C解析由辗转相除法的步骤易知C项正确．2．90与252的最大公约数是( )A．9 B．18 C．27 D．63答案 B解析利用辗转相除法求解．252＝90×2＋7290＝72×1＋1872＝18×4＋0，∴90与252的最大公约数为18．知识点二更相减损术3．更相减损术可解决下列问题中的( )A．求两个正整数的最大公约数B．求多项式的值C．进位制的转化计算D．排序问题答案 A解析更相减损术是解决求两个或两个以上的正整数的最大公约数的．4．如图所示的程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”．执行该程序框图，若输入的a，b分别为14，18，则输出的a＝( )A．0 B．2C．4 D．14答案 B解析第一次执行，输入a＝14，b＝18，因为a<b，所以b＝18－14＝4；第二次执行，因为a＝14，b＝4，a>b，所以a＝14－4＝10；第三次执行，因为a＝10，b＝4，a>b，所以a ＝10－4＝6；第四次执行，因为a＝6，b＝4，a>b，所以a＝6－4＝2；第五次执行，因为a ＝2，b＝4，a<b，所以b＝4－2＝2，此时a＝b＝2．故选B．5．用更相减损术求319与261的最大公约数．解319－261＝58，261－58＝203，203－58＝145，145－58＝87，87－58＝29，58－29＝29，故319与261的最大公约数是29．易错点更相减损术求最大公约数时忽略乘约简数致误6．用更相减损术求612和468的最大公约数．易错分析当两个数均为偶数时，由于忽略用2约分，而导致错误．正解因为612和468都为偶数，所以两次用2约分化简，得153和117．用更相减损术求153和117的最大公约数，步骤如下：153－117＝36，117－36＝81，81－36＝45，45－36＝9，36－9＝27，27－9＝18，18－9＝9，所以612和468的最大公约数为9×2×2＝36．一、选择题1．用更相减损术求得81与135的最大公约数是( )A．54 B．27 C．9 D．81答案 B解析因为135－81＝54，81－54＝27，54－27＝27，所以81与135的最大公约数是27．2．用“辗转相除法”求得459和357的最大公约数是( )A．3 B．9 C．17 D．51答案 D解析459＝357×1＋102，357＝102×3＋51，102＝51×2，所以459和357的最大公约数为51．3．用辗转相除法计算60和48的最大公约数时，需要做的除法次数是( )A．1 B．2 C．3 D．4答案 B解析60＝48×1＋12，48＝12×4＋0，故只需要做两次除法运算．4．下列说法中正确的个数为( )①辗转相除法也叫欧几里得算法；②辗转相除法的基本步骤是用较大的数除以较小的数；③求最大公约数的方法，除辗转相除法之外，没有其他方法；④编写辗转相除法的程序时，要用到循环语句．A．1 B．2 C．3 D．4答案 C解析易知①②④正确；对于③，更相减损术也可求最大公约数，故③错误．5．运行下面的程序，当输入数据为78和36时，输出的值为( )INPUT “输入两个不同正整数m，n＝”；m，nDOIF m>n THENm＝m－nELSE n＝n－mEND IFLOOP UNTIL m＝nPRINT mENDA．24 B．18 C．12 D．6答案 D解析由程序语句知，此程序是用更相减损术求输入的两个数的最大公约数，因为78－36＝42，42－36＝6，36－6＝30，30－6＝24，24－6＝18，18－6＝12，12－6＝6，所以选D．二、填空题6．用更相减损术求104与65的最大公约数是________．答案13解析由于65不是偶数，把104和65以大数减小数，并辗转相减，即104－65＝39，65－39＝26，39－26＝13，26－13＝13，所以104与65的最大公约数为13．7．三个数72，120，168的最大公约数是________．答案24解析120＝72×1＋48，72＝48×1＋24，48＝24×2，168＝24×7．8．阅读程序：INPUT “m，n＝”；m，nIF n>m THENt＝mm＝nn＝tEND IFDOr＝m MOD nm＝nn＝rLOOP UNTIL r＝0PRINT mEND若INPUT语句中输入m，n的值分别是161，368，则程序运行的结果为________．答案23解析该程序的功能是用辗转相除法求两个数的最大公约数．输入161，368，可求出它们的最大公约数为23．三、解答题9．用辗转相除法和更相减损术两种方法求80和36的最大公约数．解用辗转相除法：80＝36×2＋8，36＝8×4＋4，8＝4×2＋0．故80和36的最大公约数是4．用更相减损术：先用2约简得40和18，再用2约简得20和9，20－9＝11，11－9＝2，9－2＝7，7－2＝5，5－2＝3，3－2＝1，2－1＝1，∴80和36的最大公约数是4．10．某化工厂有三种溶液，分别为4200毫升，3220毫升和2520毫升，现要将它们分别装入小瓶中，每个瓶子装入液体的体积相同，问：要使所有溶液都刚好装满小瓶且所用瓶子最少，则小瓶的容积应为多少毫升？解为了使所有溶液都装入瓶中，恰好都装满且所用瓶子最少，求所用瓶子的容积，也就是求这三种溶液的体积的最大公约数．先求4200和3220的最大公约数，4200＝3220×1＋980，3220＝980×3＋280，980＝280×3＋140，280＝140×2，所以4200和3220的最大公约数是140．再求140和2520的最大公约数，2520＝140×18，所以140和2520的最大公约数是140．综上，4200，3220和2520的最大公约数是140．所以小瓶的容积应为140毫升．。

1．3.1正弦函数的图象与性质第二课时正弦型函数y＝A sin(ωx＋φ)(1)函数y＝A sin(ωx＋φ)的初相、振幅、周期、频率分别为多少？(2)将y＝sin(x＋φ)(其中φ≠0)的图象怎样变换，能得到y＝sin x的图象？(3)函数y ＝A sin x ，x ∈R(A ＞0且A ≠1)的图象，可由正弦曲线y ＝sin x ，x ∈R 怎样变换得到？(4)函数y ＝sin ωx ，x ∈R(ω＞0且ω≠1)的图象，可由正弦曲线y ＝sin x ，x ∈R 怎样变换得到？[新知初探]1．函数y ＝A sin(ωx ＋φ)，A ＞0，ω＞0中参数的物理意义[点睛] 当A ＜0或φ＜0时，应先用诱导公式将x 的系数或三角函数符号前的数化为正数，再确定初相φ.如函数y ＝－sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4的初相不是φ＝－π4. 2．φ，ω，A 对函数y ＝sin(x ＋φ)图象的影响 (1)φ对函数y ＝sin(x ＋φ)，x ∈R 的图象的影响(2)ω(ω＞0)对y ＝sin(ωx ＋φ)的图象的影响(3)A (A ＞0)对y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象的影响[点睛] (1)A 越大，函数图象的最大值越大，最大值与A 是正比例关系．(2)ω越大，函数图象的周期越小，ω越小，周期越大，周期与ω为反比例关系． (3)φ大于0时，函数图象向左平移，φ小于0时，函数图象向右平移，即“加左减右”．[小试身手]1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数y ＝A sin(ωx ＋φ)，x ∈R 的最大值为A .( ) (2)函数y ＝3sin(2x －5)的初相为5.( )(3)由函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3的图象得到y ＝sin x 的图象，必须向左平移．( ) (4)把函数y ＝sin x 的图象上点的横坐标伸长到原来的3倍就得到函数y ＝sin 3x 的图象．( )答案：(1)× (2)× (3)× (4)×2．函数y ＝13sin ⎝⎛⎭⎫13x ＋π6的周期、振幅、初相分别是( ) A ．3π，13，π6B ．6π，13，π6C ．3π，3，－π6D ．6π，3，π6答案：B3．为了得到函数y ＝sin(x ＋1)的图象，只需把函数y ＝sin x 的图象上所有的点( ) A ．向左平行移动1个单位长度 B ．向右平行移动1个单位长度 C ．向左平行移动π个单位长度 D ．向右平行移动π个单位长度 答案：A4．将函数y ＝sin x 的图象上所有点的横坐标缩短到原来的14倍(纵坐标不变)得________的图象．答案：y ＝sin 4x[典例] 说明y ＝－2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6＋1的图象是由y ＝sin x 的图象经过怎样变换得到的． [解] [法一 先伸缩后平移]y ＝sin x 的图象――――――――――――――――――→各点的纵坐标伸长到原来的2倍且关于x 轴作对称变换y ＝－2sin x 的图象――――――――――→各点的横坐标缩短到原来的12y＝－2sin 2x 的图象π−−−−−−−→12向右平移个单位长度y ＝－2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6的图象―――――――――→向上平移1个单位长度y ＝－2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6＋1的图象． [法二 先平移后伸缩]y ＝sin x 的图象――――――――――――――――→各点的纵坐标伸长到原来的2倍且关于x 轴作对称变换y ＝－2sin x 的图象π−−−−−−−→6向右平移个单位长度y ＝－2sin x －π6的图象―――――――――――→各点的横坐标缩短到原来的12y ＝－2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6的图象―――――――――――→向上平移1个单位长度 y ＝－2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6＋1的图象．由函数y ＝sin x 的图象通过变换得到函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象的步骤[活学活用]1．将函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6向左平移π6个单位，可得到函数图象是( ) A ．y ＝sin 2x B ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6 C ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6 D ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3 解析：选C y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6的图象π−−−−−−→6向左平移个单位y ＝sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋π6－π6＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6的图象．2．把函数y ＝f (x )的图象向左平移π4个单位长度，向下平移1个单位长度，然后再把所得图象上每个点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标保持不变)，得到函数y ＝sin x 的图象，则y ＝f (x )的解析式为( )A ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4＋1 B ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π2＋1 C ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫12x ＋π4－1 D ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫12x ＋π2－1解析：选B 将函数y ＝sin x 的图象上每个点的横坐标缩短到原来的12(纵坐标保持不变)，得到函数y ＝sin 2x 的图象，将所得图象向上平移1个单位长度，得到函数y ＝sin 2x ＋1的图象，再将所得图象向右平移π4个单位长度，得到函数y ＝sin 2⎝⎛⎭⎫x －π4＋1＝sin2x －π2＋1的图象．故选B.[典例] 如图是函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，|φ|<π2)的图象的一部分，求此函数的解析式．[解] [法一 逐一定参法] 由图象知A ＝3， T ＝5π6－⎝⎛⎭⎫－π6＝π， ∴ω＝2πT＝2， ∴y ＝3sin(2x ＋φ)．∵点⎝⎛⎭⎫－π6，0在函数图象上， ∴0＝3sin ⎝⎛⎭⎫－π6×2＋φ. ∴－π6×2＋φ＝k π，得φ＝π3＋k π(k ∈Z)．∵|φ|<π2，∴φ＝π3.∴y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3. [法二 待定系数法]由图象知A ＝3.∵图象过点⎝⎛⎭⎫π3，0和⎝⎛⎭⎫5π6，0，∴⎩⎨⎧πω3＋φ＝π，5πω6＋φ＝2π，解得⎩⎪⎨⎪⎧ω＝2，φ＝π3.∴y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3. [法三 图象变换法]由A ＝3，T ＝π，点⎝⎛⎭⎫－π6，0在图象上，可知函数图象由y ＝3sin 2x 向左平移π6个单位长度而得，所以y ＝3sin 2⎝⎛⎭⎫x ＋π6，即y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3.给出y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象的一部分，确定A ，ω，φ的方法(1)第一零点法：如果从图象可直接确定A 和ω，则选取“第一零点”(即“五点法”作图中的第一个点)的数据代入“ωx ＋φ＝0”(要注意正确判断哪一点是“第一零点”)求得φ.(2)特殊值法：通过若干特殊点代入函数式，可以求得相关待定系数A ，ω，φ.这里需要注意的是，要认清所选择的点属于五个点中的哪一点，并能正确代入列式．(3)图象变换法：运用逆向思维的方法，先确定函数的基本解析式y ＝A sin ωx ，再根据图象平移规律确定相关的参数．[活学活用]如图为函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0) 的图象的一部分，试求该函数的解析式． 解：由图可得：A ＝3，T ＝ 2|MN |＝π.从而ω＝2πT ＝2， 故y ＝3sin(2x ＋φ)，又∵2×π3＋φ＝2 k π，k ∈Z ，∴φ＝－2π3＋2 k π，k ∈Z.∴y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x －2π3. [典例] 在函数y ＝2sin ⎝⎭⎫4x ＋2π3的图象的对称中心中，离原点最近的一个中心的坐标是________．[解析] 设4x ＋2π3＝k π(k ∈Z)，得x ＝k π4－π6(k ∈Z)∴函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫4x ＋2π3图象的对称中心坐标为⎝⎛⎭⎫k π4－π6，0(k ∈Z)． 取k ＝1得⎝⎛⎭⎫π12，0满足条件． [答案] ⎝⎛⎭⎫π12，0正弦型函数对称轴、对称中心的求法[活学活用]将本例中对称中心改为对称轴，其他条件不变，则离y 轴最近的一条对称轴方程为________．解析：由4x ＋2π3＝k π＋π2，得x ＝k π4－π24， 取k ＝0时，x ＝－π24满足题意．答案：x ＝－π24[典例] 已知弹簧上挂着的小球做上下振动时，小球离开平衡位置的位移s (cm)随时间t (s)的变化规律为s ＝4sin ⎝⎛⎭⎫2t ＋π3，t ∈[0，＋∞)．用“五点法”作出这个函数的简图，并回答下列问题：(1)小球在开始振动(t ＝0)时的位移是多少？(2)小球上升到最高点和下降到最低点时的位移分别是多少？ (3)经过多长时间小球往复振动一次？ [解] 列表如下，描点、连线，图象如图所示．(1)将t ＝0代入s ＝4sin ⎝⎛⎭⎫2t ＋π3，得s ＝4sin π3＝23， 所以小球开始振动时的位移是2 3 cm.(2)小球上升到最高点和下降到最低点时的位移分别是4 cm 和－4 cm. (3)因为振动的周期是π，所以小球往复振动一次所用的时间是π s.解三角函数应用问题的基本步骤[活学活用]通常情况下，同一地区一天的温度随时间变化的曲线接近函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b 的图象.2018年2月下旬某地区连续几天最高温度都出现在14时，最高温度为14 ℃；最低温度出现在凌晨2时，最低温度为零下2 ℃.(1)求出该地区该时段的温度函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b (A >0，ω>0，|φ|<π，x ∈[)0，24)的表达式；(2)29日上午9时某高中将举行期末考试，如果温度低于10 ℃，教室就要开空调，请问届时学校后勤应该开空调吗？解：(1)由题意知⎩⎪⎨⎪⎧ A ＋b ＝14，－A ＋b ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧A ＝8，b ＝6，易知T 2＝14－2，所以T ＝24，所以ω＝π12，易知8sin ⎝⎛⎭⎫π12×2＋φ＋6＝－2， 即sin ⎝⎛⎭⎫π12×2＋φ＝－1， 故π12×2＋φ＝－π2＋2k π，k ∈Z ， 又|φ|<π，得φ＝－2π3，所以y ＝8sin ⎝⎛⎭⎫π12x －2π3＋6(x ∈[0,24))． (2)当x ＝9时，y ＝8sin ⎝⎛⎭⎫π12×9－2π3＋6＝8sin π12＋6<8sin π6＋6＝10.所以届时学校后勤应该开空调．层级一 学业水平达标1．最大值为12，最小正周期为2π3，初相为π6的函数表达式是( )A ．y ＝12sin ⎝⎛⎭⎫x 3＋π6 B ．y ＝12sin ⎝⎛⎭⎫x 3－π6 C ．y ＝12sin ⎝⎛⎭⎫3x －π6 D ．y ＝12sin ⎝⎛⎭⎫3x ＋π6 解析：选D 由最小正周期为2π3，排除A 、B ；由初相为π6，排除C.2．为了得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π3的图象，只需把函数y ＝sin x 的图象( )A ．向左平移π3个单位长度B ．向右平移π3个单位长度C ．向上平移π3个单位长度D ．向下平移π3个单位长度解析：选B 将函数y ＝sin x 的图象向右平移π3个单位长度，所得图象对应的函数解析式为y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π3. 3．已知简谐运动f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫π3x ＋φ⎝⎛⎭⎫|φ|＜π2的图象经过点(0,1)，则该简谐运动的最小正周期T 和初相φ分别为( )A ．T ＝6，φ＝π6B ．T ＝6，φ＝π3C ．T ＝6π，φ＝π6D ．T ＝6π，φ＝π3解析：选A T ＝2πω＝2ππ3＝6，∵图象过(0,1)点，∴sin φ＝12.∵－π2＜φ＜π2，∴φ＝π6.4．将函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6的图象向左平移π个单位长度，则平移后的函数图象( ) A ．关于直线x ＝π3对称B ．关于直线x ＝π6对称C ．关于点⎝⎛⎭⎫π3，0对称D ．关于点⎝⎛⎭⎫π6，0对称 解析：选A 函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6的图象向左平移π个单位长度，得到y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6＋π＝－sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6的图象，其对称轴方程为x ＋π6＝k π＋π2，k ∈Z ，即x ＝k π＋π3，k ∈Z ，令k ＝0，得x ＝π3，故选A.5．函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3在区间⎣⎡⎦⎤－π2，π上的简图是( )解析：选A 当x ＝0时，y ＝sin ⎝⎛⎭⎫－π3＝－32<0， 故可排除B 、D ；当x ＝π6时，sin ⎝⎛⎭⎫2×π6－π3＝sin 0＝0，排除C. 6．将函数y ＝sin x 的图象向左平移φ(0≤φ＜2π)个单位长度后，得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π6的图象，则φ＝________.解析：因为φ∈[0,2π)，所以把y ＝sin x 的图象向左平移φ个单位长度得到y ＝sin (x ＋φ)的图象，而sin ⎝⎛⎭⎫x ＋11π6＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋11π6－2π＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π6，即φ＝11π6. 答案：11π67.已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω>0)的图象如图所示，则ω＝________. 解析：由题意设函数周期为T ， 则T 4＝2π3－π3＝π3，∴T ＝4π3. ∴ω＝2πT ＝32.答案：328．将函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π3图象上各点的纵坐标不变，横坐标伸长为原来的5倍，可得到函数__________________的图象．解析：y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π3的图象――――――――――――→图象上各点的纵坐标不变横坐标伸长为原来的5倍y ＝sin ⎝⎛⎭⎫15x －π3的图象． 答案：y ＝sin ⎝⎛⎭⎫15x －π39．已知函数f (x )的图象上每一点的纵坐标保持不变，横坐标扩大到原来的2倍，然后把所得的图象沿x 轴向左平移π2个单位长度，这样得到的图象与y ＝12sin x 的图象相同，求f (x )的解析式．解：反过来想，y ＝12sin x π−−−−−−−→2向右平移个单位长度y ＝12sin ⎝⎛⎭⎫x －π2−−−−−−−→1横坐标变为原来的倍2 y ＝12sin ⎝⎛⎭⎫2x －π2，即f (x )＝12sin ⎝⎛⎭⎫2x －π2. 10．已知函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0，|φ|＜π)的图象的一段如图所示，求它的解析式．(1)求函数f (x )的解析式；(2)求函数f (x )的最小正周期、频率、振幅、初相． 解：(1)由图象可知A ＝2，T 2＝5π6－π6＝2π3，∴T ＝4π3，ω＝2πT ＝32.将N ⎝⎛⎭⎫π6，－2代入y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫32x ＋φ得， 2sin ⎝⎛⎭⎫32×π6＋φ＝－2，∴π4＋φ＝2k π－π2，φ＝2k π－3π4(k ∈Z)． ∵|φ|＜π，∴φ＝－3π4.∴函数的解析式为y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫32x －3π4. (2)由(1)，知f (x )的最小正周期为4π3＝8，频率为34π，振幅为2，初相为－3π4. 层级二 应试能力达标1.如图所示的是一个半径为3米的水轮，水轮的圆心O 距离水面2米，已知水轮每分钟旋转4圈，水轮上的点P 到水面的距离y (米)与时间t (秒)满足关系式y ＝A sin(ωt ＋φ)＋2，则( )A ．ω＝152π，A ＝3 B ．ω＝2π15，A ＝3 C ．ω＝2π15，A ＝5 D ．ω＝152π，A ＝5 解析：选B 由题意知A ＝3，ω＝2π×460＝2π15.2．要得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫4x －π3的图象，只需将函数y ＝sin 4x 的图象( ) A ．向左平移π12个单位B ．向右平移π12个单位C ．向左平移π3个单位D ．向右平移π3个单位解析：选B 由y ＝sin ⎝⎛⎭⎫4x －π3＝sin 4⎝⎛⎭⎫x －π12得，只需将y ＝sin 4x 的图象向右平移π12个单位即可，故选B.3．已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π4(ω＞0)的最小正周期为π，则该函数的图象( ) A ．关于直线x ＝π8对称B ．关于点⎝⎛⎭⎫π4，0对称 C ．关于直线x ＝π4对称D ．关于点⎝⎛⎭⎫π8，0对称解析：选A 依题意得T ＝2πω＝π，ω＝2，故f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4，所以f ⎝⎛⎭⎫π8＝sin ⎝⎛⎭⎫2×π8＋π4＝sin π2＝1，f ⎝⎛⎭⎫π4＝sin ⎝⎛⎭⎫2×π4＋π4＝sin 3π4＝22，因此该函数的图象关于直线x ＝π8对称，不关于点⎝⎛⎭⎫π4，0和点⎝⎛⎭⎫π8，0对称，也不关于直线x ＝π4对称．故选A. 4．把函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫5x －π2的图象向右平移π4个单位长度，再把所得图象上各点的横坐标缩短为原来的12倍，所得函数图象的解析式为( )A ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫10x －3π4B ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫10x －7π2 C ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫10x －3π2 D ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫10x －7π4 解析：选D 将原函数图象向右平移π4个单位长度，得y ＝sin ⎣⎡⎦⎤5⎝⎛⎭⎫x －π4－π2＝sin ⎝⎛⎭⎫5x －7π4的图象，再把y ＝sin ⎝⎛⎭⎫5x －7π4的图象上各点的横坐标缩短为原来的12倍得y ＝sin ⎝⎛⎭⎫10x －7π4的图象．5．将函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4图象上所有点的横坐标保持不变，纵坐标________(填“伸长”或“缩短”)为原来的________倍，将会得到函数y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4的图象． 解析：A ＝3＞0，故将函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4图象上所有点的横坐标保持不变，纵坐标伸长为原来的3倍即可得到函数y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4的图象． 答案：伸长 36．将函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω＞0，－π2≤φ≤π2图象上每一点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，再向右平移π6个单位长度得到y ＝sin x 的图象，则f ⎝⎛⎭⎫π6＝________. 解析：将y ＝sin x 的图象向左平移π6个单位长度可得y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6的图象，保持纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍可得y ＝sin ⎝⎛⎭⎫12x ＋π6的图象，故f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫12x ＋π6，所以f ⎝⎛⎭⎫π6＝sin ⎝⎛⎭⎫12×π6＋π6＝sin π4＝22. 答案：227．求函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3图象的对称轴、对称中心． 解：令2x ＋π3＝k π＋π2(k ∈Z)，得x ＝k π2＋π12(k ∈Z)．令2x ＋π3＝k π，得x ＝k π2－π6(k ∈Z)．即对称轴为直线x ＝k π2＋π12(k ∈Z)，对称中心为⎝⎛⎭⎫k π2－π6，0(k ∈Z)．8.如图为函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫|φ|<π2的一个周期内的图象． (1)写出f (x )的解析式；(2)若y ＝g (x )与y ＝f (x )的图象关于直线x ＝2对称，写出g (x )的解析式；(3)指出g (x )的周期、频率、振幅、初相． 解：(1)由图知A ＝2，T ＝7－(－1)＝8， ∴ω＝2πT ＝2π8＝π4，∴f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫π4x ＋φ. 将点(－1,0)代入，得0＝2sin ⎝⎛⎭⎫－π4＋φ. ∵|φ|<π2，∴φ＝π4，∴f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫π4x ＋π4. (2)作出与f (x )的图象关于直线x ＝2对称的图象(图略)，可以看出g (x )的图象相当于将f (x )的图象向右平移2个单位长度得到的，∴g (x )＝2sin ⎣⎡⎦⎤π4(x －2)＋π4＝2sin ⎝⎛⎭⎫π4x －π4. (3)由(2)知，g (x )的周期T ＝2ππ4＝8，频率f ＝1T ＝18，振幅A ＝2，初相φ0＝－π4.。

高中数学必修一课时练习1．若函数f(x)＝x 3(x ∈R)，则函数y ＝f(－x)在其定义域上是( )A ．单调递减嘚偶函数B ．单调递减嘚奇函数C ．单调递增嘚偶函数D ．单调递增嘚奇函数解析：选B.f(－x)＝－x 3为奇函数，x 1＜x 2，－x 1＞－x 2.f(－x 1)－f(－x 2)＝－x 31－(－x 32)＝x 32－x 31＞0，∴f(－x 1)＞f(－x 2)，f(－x)为减函数．2．定义在R 上嘚偶函数f(x)在[0，＋∞)上是增函数，若f(a)<f(b)，则一定可得( )A ．a<bB ．a>bC ．|a|<|b|D ．0≤a<b 或a>b ≥0解析：选C.对于定义域为R 嘚偶函数，若x ≥0，则f(|x|)＝f(x)；若x<0，则f(|x|)＝f(－x)＝f(x)．所以，定义域为R 嘚偶函数f(x)对于任意x ∈R ，有f(|x|)＝f(x)．于是由f(a)<f(b)，可得f(|a|)<f(|b|)．而|a|≥0，再由f(x)在[0，＋∞)上是增函数可得|a|<|b|，故选C.3．已知f(x)是定义在R 上嘚奇函数，当x ≥0时，f(x)＝x 2－2x ，则f(x)在R 上嘚表达式是( )A ．y ＝x(x －2)B ．y ＝x(|x|＋2)C ．y ＝|x|(x －2)D ．y ＝x(|x|－2)解析：选D.由x ≥0时，f(x)＝x 2－2x ，f(x)是定义在R 上嘚奇函数得：当x ＜0时，－x ＞0，f(x)＝－f(－x)＝－(x 2＋2x)＝x(－x －2)．∴f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧ x x －2 x ≥0，x －x －2 x ＜0，即f(x)＝x(|x|－2)．4．函数f(x)＝x 3＋ax ，f(1)＝3，则f(－1)＝________.解析：显然f(x)是奇函数，∴f(－1)＝－f(1)＝－3.答案：－31．已知f(x)＝ax 3＋bx －4，其中a ，b 为常数，若f(－2)＝2，则f(2)嘚值等于( )A ．－2B ．－4C ．－6D ．－10 解析：选D.令F(x)＝f(x)＋4＝ax 3＋bx ，显然F(x)＝ax 3＋bx 为奇函数，F(－2)＝f(－2)＋4＝6，F(2)＝f(2)＋4＝－6，f(2)＝－10. 2．若f(x)是偶函数，其定义域为(－∞，＋∞)，且在[0，＋∞)上是减函数，则f(－32)与f(a 2＋2a ＋52)嘚大小关系是( ) A ．f(－32)＞f(a 2＋2a ＋52)B ．f(－32)＜f(a 2＋2a ＋52)C ．f(－32)≥f(a 2＋2a ＋52)D ．f(－32)≤f(a 2＋2a ＋52)解析：选C.a 2＋2a ＋52＝(a ＋1)2＋32≥32，f(－32)＝f(32)≥f(a 2＋2a ＋52)．3．若ρ(x)，g(x)都是奇函数，f(x)＝a ρ(x)＋bg(x)＋2在(0，＋∞)上有最大值5，则f(x)在(－∞，0)上有( )A ．最小值－5B ．最大值－5C ．最小值－1D ．最大值－3解析：选C.ρ(x)、g(x)都是奇函数，∴f(x)－2＝a ρ(x)＋bg(x)为奇函数．又f(x)有最大值5，∴f(x)－2在(0，＋∞)上有最大值3.∴f(x)－2在(－∞，0)上有最小值－3，∴f(x)在(－∞，0)上有最小值－1.4．若函数f(x)是定义在[－6,6]上嘚偶函数，且在[－6,0]上单调递减，则( )A ．f(3)＋f(4)＞0B ．f(－3)－f(－2)＜0C ．f(－2)＋f(－5)＜5D ．f(4)－f(－1)＞0解析：选D.f(x)是定义在[－6,6]上嘚偶函数，且在[－6,0]上单调递减，可得f(x)在[0,6]上单调递增，依题意有：－4＜－1⇒f(－4)＞f(－1)⇒f(4)－f(－1)＞0.5．已知定义在R 上嘚奇函数f(x)，当x ＞0时，f(x)＝x 2＋|x|－1，那么x ＜0时，f(x)嘚解析式为f(x)＝( )A ．x 2－|x|＋1B ．－x 2＋|x|＋1C ．－x 2－|x|－1D ．－x 2－|x|＋1解析：选D.设x ＜0，则－x ＞0，f(－x)＝x 2＋|x|－1，∵f(－x)＝－f(x)，∴－f(x)＝x 2＋|x|－1，f(x)＝－x 2－|x|＋1.6．定义在R 上嘚偶函数f(x)，对任意x 1，x 2∈[0，＋∞)(x 1≠x 2)，有f x 2－f x 1x 2－x 1<0，则( ) A ．f(3)<f(－2)<f(1)B ．f(1)<f(－2)<f(3)C ．f(－2)<f(1)<f(3)D ．f(3)<f(1)<f(－2)解析：选A.由已知f x 2－fx 1x 2－x 1<0，得f(x)在x ∈[0，＋∞)上单调递减，由偶函数性质得f(3)<f(－2)<f(1)，故选A.7．若函数f(x)＝(k －2)x 2＋(k －1)x ＋3是偶函数，则f(x)嘚递减区间是________．解析：利用函数f(x)是偶函数，则k －1＝0，k ＝1，f(x)＝－x 2＋3即可得出单调区间．答案：[0，＋∞)8．若f(x)是偶函数，当x ∈[0，＋∞)时f(x)＝x －1，则f(x －1)＜0嘚解集是________．解析：偶函数嘚图象关于y 轴对称，先作出f(x)嘚图象，如图所示，由图可知f(x)＜0嘚解集为{x|－1＜x＜1}，∴f(x －1)＜0嘚解集为{x|0＜x ＜2}．答案：{x|0＜x ＜2}9．函数f(x)是定义在R 上嘚奇函数，且它是减函数，若实数a ，b 满足f(a)＋f(b)＞0，则a ＋b________0(填“＞”、“＜”或“＝”)．解析：f(a)＋f(b)＞0，∴f(a)＞－f(b)，∴f(a)＞f(－b)，f(x)为减函数，∴a ＜－b ，∴a ＋b ＜0.答案：＜10．已知函数f(x)＝ax ＋b 1＋x 2是定义在(－1,1)上嘚奇函数，且f(12)＝25，求函数f(x)嘚解析式． 解：∵f(x)是定义在(－1,1)上嘚奇函数．∴f(0)＝0，即b 1＋02＝0，∴b ＝0， 又f(12)＝12a 1＋14＝25，∴a ＝1， ∴f(x)＝x 1＋x 2.11．设函数f(x)在R 上是偶函数，在区间(－∞，0)上递增，且f(2a 2＋a ＋1)＜f(2a 2－2a ＋3)，求a 嘚取值范围．解：由f(x)在R 上是偶函数，在区间(－∞，0)上递增，可知f(x)在(0，＋∞)上递减． ∵2a 2＋a ＋1＝2(a ＋14)2＋78＞0，2a 2－2a ＋3＝2(a －12)2＋52＞0，且f(2a 2＋a ＋1)＜f(2a 2－2a ＋3)，∴2a 2＋a ＋1＞2a 2－2a ＋3， 即3a －2＞0，解得a ＞23.12．已知f(x)为偶函数，g(x)为奇函数，且满足f(x)＋g(x)＝1x －1，求f(x)，g(x)． 解：由f(x)＋g(x)＝1x －1. ① 把x 换成－x ，得 f(－x)＋g(－x)＝1－x －1， ∵f(x)为偶函数，∴f(－x)＝f(x)．又∵g(x)为奇函数，∴g(－x)＝－g(x)， ∴f(x)－g(x)＝－1x ＋1. ② 由①②得f(x)＝1x 2－1，g(x)＝x x 2－1.。

第一章1.3 1.3.1第二课时 函数的最大值、最小值课时分层训练‖层级一‖|学业水平达标| 1．函数y ＝－|x |在R 上( ) A ．有最大值0，无最小值 B ．无最大值，有最小值0 C ．既无最大值，又无最小值 D ．以上都不对解析：选A 因为函数y ＝－|x |的图象如图所示，所以函数y ＝－|x |在R 上有最大值0，无最小值．2．函数y ＝x －1x 在[1,2]上的最大值为( ) A ．0 B ．32 C ．2D ．3解析：选B 函数y ＝x 在[1,2]上是增函数，函数y ＝－1x 在[1,2]上是增函数，所以函数y ＝x －1x 在[1,2]上是增函数． 当x ＝2时，y max ＝2－12＝32.3．函数y ＝⎩⎨⎧x ＋3，x ＜1，－x ＋6，x ≥1的最大值是( )A ．3B ．4C ．5D ．6解析：选C 当x ＜1时，函数y ＝x ＋3单调递增，且有y ＜4，无最大值；当x ≥1时，函数y ＝－x ＋6单调递减，则在x ＝1处取得最大值为5.所以，函数在整个定义域内的最大值为5.4．若函数y ＝ax ＋1在[1,2]上的最大值与最小值的差为2，则实数a 的值是( )A ．2B ．－2C ．2或－2D ．0解析：选C 当a >0时，由题意得2a ＋1－(a ＋1)＝2，即a ＝2；当a ＜0时，a ＋1－(2a ＋1)＝2，所以a ＝－2.综上a ＝±2.5．已知函数f (x )＝－x 2＋4x ＋a ，x ∈[0,1]，若f (x )有最小值－2，则f (x )的最大值为( )A ．－1B ．0C ．1D ．2解析：选C 因为f (x )＝－(x 2－4x ＋4)＋a ＋4＝－(x －2)2＋4＋a ， 所以函数f (x )图象的对称轴为x ＝2. 所以f (x )在[0,1]上单调递增．又因为f (x )min ＝－2，所以f (0)＝－2，即a ＝－2. 所以f (x )max ＝f (1)＝－1＋4－2＝1.6．函数f (x )＝x ＋x －2在[3,4]上的值域为________． 解析：∵函数f (x )＝x ＋x －2在[3,4]上单调递增， ∴f (x )min ＝f (3)＝3＋1＝4，f (x )max ＝f (4)＝4＋ 2. 答案：[4,4＋ 2 ]7．定义在R 上的函数f (x )对任意两个不等实数a ，b ，总有f (a )－f (b )a －b >0成立，且f (－3)＝m ，f (－1)＝n ，则f (x )在[－3，－1]上的最大值是________．解析：由f (a )－f (b )a －b>0知f (x )在R 上为增函数， ∴f (x )在[－3，－1]上的最大值为f (－1)＝n .答案：n8．函数f (x )＝x －1的最小值是________． 解析：设x ＝t ，t ≥0，所以f (t )＝t 2－1，t ≥0. 所以f (x )＝x 2－1，x ≥0，因为f (x )＝x 2－1在[0，＋∞)上为增函数，所以f (x )的最小值为－1.即f (x )＝x －1的最小值是－1. 答案：－19．已知函数y ＝x 2－2x ＋3在区间[0，m ]上有最大值3，最小值2，求实数m 的取值范围．解：y ＝x 2－2x ＋3＝(x －1)2＋2，由(x －1)2＋2＝3，得x ＝0或x ＝2.作出函数图象如图所示，由图象知，m 的取值范围是1≤m ≤2.10．某商场经营一批进价是每件30元的商品，在市场试销中发现，该商品销售单价x (不低于进价，单位：元)与日销售量y (单位：件)之间有如下关系：x 45 50 y2712(1)确定x 与y 注明函数定义域)；(2)若日销售利润为P 元，根据(1)中的关系式写出P 关于x 的函数关系式，并指出当销售单价为多少元时，才能获得最大的日销售利润？解：(1)因为f (x )是一次函数，设f (x )＝ax ＋b (a ≠0)， 由表格得方程组⎩⎨⎧ 45a ＋b ＝27，50a ＋b ＝12，解得⎩⎨⎧a ＝－3，b ＝162，所以y ＝f (x )＝－3x ＋162. 又y ≥0，所以30≤x ≤54，故所求函数关系式为y ＝－3x ＋162，x ∈[30,54]，x ∈N . (2)由题意得，P ＝(x －30)y ＝(x －30)(162－3x )＝－3x 2＋252x －4 860，x ∈[30,54]，x ∈N . 配方得，P ＝－3(x －42)2＋432，当x ＝42时，最大的日销售利润P ＝432，即当销售单价为42元时，获得最大的日销售利润．‖层级二‖|应试能力达标|1．函数y ＝⎩⎨⎧x －1，x ≥0，1－x ，x ＜0的值域是( )A ．RB ．[0，＋∞)C ．[－1，＋∞)D ．(－1，＋∞)解析：选C 画出y ＝⎩⎨⎧x －1，x ≥0，1－x ，x ＜0的图象．由图象知，值域为[－1，＋∞)．2．某公司在甲、乙两地同时销售一种品牌车，利润(单价：万元)分别为L 1＝－x 2＋21x 和L 2＝2x ，其中销售量单位：辆．若该公司在两地共销售15辆，则能获得的最大利润为( )A ．90万元B ．60万元C ．120万元D ．120.25万元解析：选C 设该公司在甲地销售x 辆(0≤x ≤15，x ∈N )，则在乙地销售(15－x )辆，公司获得利润为L ＝－x 2＋21x ＋2(15－x )＝－x 2＋19x ＋30.故当x ＝9或10时，L 取得最大值120万元．3．函数y ＝2－－x 2＋4x 的值域是( ) A ．[－2,2] B ．[1,2] C ．[0,2]D ．[－2，2]解析：选C 要求函数y ＝2－－x 2＋4x 的值域，只需求t ＝－x 2＋4x (x ∈[0,4])的值域即可．设二次函数f (x )＝－x 2＋4x ＝－(x －2)2＋4(x ∈[0,4])，所以f (x )的值域是[0,4]．因为t ＝f (x )，所以t 的值域是[0,2]，－t 的值域是[－2,0]．故函数y ＝2－－x 2＋4x 的值域是[0,2]．故选C.4．函数f (x )＝x 2－4x ＋5在区间[0，m ]上的最大值为5，最小值为1，则m 的取值范围是( )A ．[2，＋∞)B ．[2,4]C ．(－∞，2]D ．[0,2]解析：选B f (x )＝x 2－4x ＋5＝(x －2)2＋1，x ∈[0，m ]． 由最小值为1知m ≥2.又最大值为5，f (0)＝5，f (4)＝5. 所以2≤m ≤4.故选B.5．若函数f (x )＝x 2－6x ＋m 在区间[2，＋∞)上的最小值是－3，则实数m 的值为________．解析：函数f (x )＝x 2－6x ＋m 的对称轴是x ＝3，开口向上，所以函数f (x )在[2,3]上单调递减，在(3，＋∞)上单调递增，故函数在x ＝3处取得最小值，由f (3)＝32－6×3＋m ＝－3，解得m ＝6. 故实数m 的值为6. 答案：66．用min{a ，b }表示a ，b 两个数中的最小值．设f (x )＝min{x ＋2,10－x }(x ≥0)，则f (x )的最大值为________．解析：在同一平面直角坐标系内画出函数y ＝x ＋2和y ＝10－x 的图象，如图所示．根据min{x ＋2,10－x }(x ≥0)的含义可知，f (x )＝⎩⎨⎧x ＋2，0≤x ≤4，10－x ，x ＞4，所以函数f (x )的图象应为图中的实线部分．解方程x ＋2＝10－x 得x ＝4，此时y ＝6，故两图象的交点为(4,6)．观察图象知，f (x )的最大值为图象最高点的纵坐标，即f (x )的最大值为6.答案：67．在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积最大的内接矩形花园(阴影部分)，则其边长x为________m.解析：设矩形花园的宽为y m，则x40＝40－y40，即y＝40－x，矩形花园的面积S＝x(40－x)＝－x2＋40x＝－(x－20)2＋400，当x＝20时，面积最大．答案：208．已知函数f(x)＝x2－2x＋2，x∈[t，t＋1]，t∈R的最小值为g(t)，试写出g(t)的函数表达式．解：f(x)＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1，x∈[t，t＋1]，t∈R，对称轴为x＝1.当t＋1<1，即t<0时，函数图象如图(1)所示，函数f(x)在区间[t，t＋1]上为减函数，所以最小值为g(t)＝f(t＋1)＝t2＋1；当t≤1≤t＋1，即0≤t≤1时，函数图象如图(2)所示，最小值为g(t)＝f(1)＝1；当t>1时，函数图象如图(3)所示，函数f(x)在区间[t，t＋1]上为增函数，所以最小值为g(t)＝f(t)＝t2－2t＋2.综上可得g (t )＝⎩⎨⎧t 2＋1，t <0，1，0≤t ≤1，t 2－2t ＋2，t ＞1.由Ruize收集整理。

第2课时 函数的最值[学习目标] 1.理解函数的最大(小)值及其几何意义.2.会求简单函数的最大值或最小值.知识点 函数的最大(小)值及几何意义答 不一定.函数的最值首先是一个函数值，它是值域的一个元素.若仅有对定义域内的任意实数x ，都有f (x )≤M ，但M 不在函数值域内，则M 不能称为函数的最值.例如函数y ＝1x (0<x <1)，对于任意x ∈(0,1)，0<y <1成立，由于0,1不在值域(0,1)内，因此0,1都不是这个函数的最值，这个函数既没有最大值也没有最小值.题型一 利用函数的图象求最值例1 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，－1≤x ≤1，1x，x >1.求f (x )的最大值、最小值.解 作出函数f (x )的图象(如图).由图象可知，当x ＝±1时，f (x )取最大值为f (±1)＝1.当x ＝0时，f (x )取最小值f (0)＝0，故f (x )的最大值为1，最小值为0.反思与感悟 1.分段函数的最大值为各段上最大值的最大者，最小值为各段上最小值的最小者，故求分段函数的最大值或最小值，应先求各段上的最值，再比较即得函数的最大值、最小值.2.如果函数的图象容易作出，画出分段函数的图象，观察图象的最高点与最低点，并求其纵坐标即得函数的最大值、最小值.跟踪训练1 (1)函数f (x )的部分图象如图所示，则该函数在[－2,2]上的最小值、最大值分别是( )A.f (－2)，f (3)B.0,2C.f (－2)，2D.f (2)，2答案 C解析 由图象可知，x ＝－2时，f (x )取得最小值为f (－2)＝－1， x ＝1时，f (x )取得最大值为f (1)＝2.(2)画出函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x ，x ∈(－∞，0)，x 2＋2x －1，x ∈[0，＋∞)的图象，并写出函数的单调区间及函数的最小值.解 f (x )的图象如图所示，f (x )的单调递增区间是(－∞，0)和[0，＋∞)，函数的最小值为f (0)＝－1.题型二 利用单调性求函数的最值例2 求函数f (x )＝xx －1在区间[2,5]上的最大值与最小值.解 任取2≤x 1<x 2≤5， 则f (x 1)＝x 1x 1－1，f (x 2)＝x 2x 2－1，f (x 2)－f (x 1)＝x 2x 2－1－x 1x 1－1＝x 1－x 2(x 2－1)(x 1－1)，∵2≤x 1<x 2≤5，∴x 1－x 2<0，x 2－1>0，x 1－1>0， ∴f (x 2)－f (x 1)<0.∴f (x 2)<f (x 1).∴f (x )＝xx －1在区间[2,5]上是单调减函数.∴f (x )max ＝f (2)＝22－1＝2，f (x )min ＝f (5)＝55－1＝54. 反思与感悟 1.当函数图象不易作或无法作出时，往往运用函数单调性求最值. 2.函数的最值与单调性的关系：(1)若函数在闭区间[a ，b ]上是减函数，则f (x )在[a ，b ]上的最大值为f (a )，最小值为f (b )；(2)若函数在闭区间[a ，b ]上是增函数，则f (x )在[a ，b ]上的最大值为f (b )，最小值为f (a )；(3)求最值时一定要注意所给区间的开闭，若是开区间，则不一定有最大(小)值. 跟踪训练2 已知函数f (x )＝x ＋1x .(1)求证：f (x )在[1，＋∞)上是增函数； (2)求f (x )在[1,4]上的最大值及最小值. (1)证明 设1≤x 1＜x 2， 则f (x 1)－f (x 2)＝(x 1＋1x 1)－(x 2＋1x 2)＝(x 1－x 2)·x 1x 2－1x 1x 2.∵1≤x 1＜x 2，∴x 1－x 2＜0，x 1x 2＞1， ∴x 1x 2－1＞0，∴f (x 1)－f (x 2)＜0，即f (x 1)＜f (x 2). ∴f (x )在[1，＋∞)上是增函数. (2)解 由(1)可知，f (x )在[1,4]上递增， ∴当x ＝1时，f (x )min ＝f (1)＝2， 当x ＝4时，f (x )max ＝f (4)＝174. 综上所述，f (x )在[1,4]上的最大值是174，最小值是2.题型三 闭区间上二次函数的最值问题 例3 已知函数f (x )＝x 2＋ax ＋3，x ∈[－1,1]. (1)若a ＝1，求函数f (x )的最值； (2)若a ∈R ，求函数f (x )的最小值.解 (1)当a ＝1时，f (x )＝x 2＋x ＋3＝(x ＋12)2＋114，故函数在[－1，－12]上单调递减，在[－12，1]上单调递增，又f (－1)＝3，f (－12)＝114，f (1)＝5，∴函数f (x )的最大值为5，最小值为114.(2)∵f (x )的对称轴为x ＝－a2.当－a2<－1，即a >2时，函数f (x )＝x 2＋ax ＋3在[－1,1]上单调递增，f (x )min ＝f (－1)＝4－a .当－1≤－a 2≤1，即－2≤a ≤2时，f (x )min ＝f (－a 2)＝a 24－a 22＋3＝3－a 24.当－a2>1，即a <－2时，f (x )＝x 2＋ax ＋3在[－1,1]上单调递减，f (x )min ＝f (1)＝4＋a .综上可知，f (x )min＝⎩⎪⎨⎪⎧4－a ，a >2，3－a24，－2≤a ≤2，4＋a ，a <－2.反思与感悟 1.二次函数在闭区间上必定有最大值和最小值，且它们只能在区间的端点或二次函数图象的对称轴上取到.2.解决含参数的二次函数的最值问题，首先将二次函数化为y ＝a (x ＋h )2＋k 的形式，再依a 的符号确定抛物线开口的方向，依对称轴x ＝－h 得出顶点的位置，再根据x 的定义区间结合大致图象确定最大或最小值.对于含参数的二次函数的最值问题，一般有如下几种类型： (1)区间固定，对称轴变动(含参数)，求最值； (2)对称轴固定，区间变动(含参数)，求最值； (3)区间固定，最值也固定，对称轴变动，求参数. 通常都是根据区间端点和对称轴的相对位置进行分类讨论.3.对于二次函数f (x )＝a (x －h )2＋k (a >0)在区间[p ，q ]上的最值问题可作如下讨论： (1)对称轴x ＝h 在区间[p ，q ]的左侧，即当h <p 时，f (x )max ＝f (q )，f (x )min ＝f (p ). (2)对称轴x ＝h 在区间[p ，q ]之间，即当p ≤h ≤q 时，f (x )min ＝f (h )＝k . 当p ≤h <p ＋q2时，f (x )max ＝f (q )；当h ＝p ＋q 2时，f (x )max ＝f (p )＝f (q )；当p ＋q 2<h ≤q 时，f (x )max ＝f (p ).(3)对称轴x ＝h 在区间[p ，q ]的右侧，即当h >q 时， f (x )max ＝f (p )，f (x )min ＝f (q ). 当a <0时，可类似得到结论.跟踪训练3 已知函数f (x )＝x 2＋2ax ＋2，x ∈[－5,5].(1)当a ＝－1时，求函数f (x )的最大值和最小值；(2)求实数a 的取值范围，使y ＝f (x )在区间[－5,5]上是单调函数. 解 (1)当a ＝－1时，f (x )＝x 2－2x ＋2＝(x －1)2＋1， ∵x ∈[－5,5]，故当x ＝1时，f (x )的最小值为1. 当x ＝－5时，f (x )的最大值为37.(2)函数f (x )＝(x ＋a )2＋2－a 2图象的对称轴为x ＝－a . ∵f (x )在[－5,5]上是单调函数， 故－a ≤－5，或－a ≥5.即实数a 的取值范围是{a |a ≤－5，或a ≥5}. 题型四 函数最值的实际应用例4 某公司生产一种电子仪器的固定成本为20 000元，每生产一台仪器需增加投入100元，已知总收益满足函数：R (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧400x －12x 2，0≤x ≤400，80 000，x ＞400.其中x 是仪器的月产量.(1)将利润表示为月产量的函数f (x )；(2)当月产量为何值时，公司所获利润最大？最大利润为多少元？(总收益＝总成本＋利润) 解 (1)设月产量为x 台，则总成本为20 000＋100x ， 从而f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－12x 2＋300x －20 000，0≤x ≤400，60 000－100x ，x ＞400.(2)当0≤x ≤400时，f (x )＝－12(x －300)2＋25 000；∴当x ＝300时，f (x )max ＝25 000，当x ＞400时，f (x )＝60 000－100x 是减函数， f (x )＜60 000－100×400＜25 000. ∴当x ＝300时 ，f (x )max ＝25 000. 即每月生产300台仪器时利润最大， 最大利润为25 000元.反思与感悟 1.解实际应用题要弄清题意，从实际出发，引入数学符号，建立数学模型，列出函数关系式，分析函数的性质，从而解决问题，要注意自变量的取值范围.2.实际应用问题中，最大利润、用料最省等问题常转化为求函数最值来解决，本题转化为二次函数求最值，利用配方法和分类讨论思想使问题得到解决.跟踪训练4 将进货单价为40元的商品按50元一个出售时，能卖出500个，已知这种商品每涨价1元，其销售量就减少10个，为得到最大利润，售价应为多少元？最大利润是多少？ 解 设售价为x 元，利润为y 元，单个涨价(x －50)元，销售量减少10(x －50)个.∴y ＝(x －40)(1 000－10x ) ＝－10(x －70)2＋9 000≤9 000. 故当x ＝70时，y max ＝9 000.答 售价为70元时，利润最大为9 000元.利用函数最值或分离参数求解恒成立问题例5 已知函数f (x )＝x 2＋2x ＋ax ，x ∈[1，＋∞).(1)当a ＝12时，求函数f (x )的最小值；(2)若对任意x ∈[1，＋∞)，f (x )>0恒成立，试求实数a 的取值范围. 解 (1)当a ＝12时，f (x )＝x ＋12x＋2.设1≤x 1<x 2，则f (x 2)－f (x 1)＝(x 2－x 1)(1－12x 1x 2)，∵1≤x 1<x 2，∴x 2－x 1>0,2x 1x 2>2， ∴0<12x 1x 2<12，1－12x 1x 2>0， ∴f (x 2)－f (x 1)>0，f (x 1)<f (x 2). ∴f (x )在区间[1，＋∞)上为增函数， ∴f (x )在区间[1，＋∞)上的最小值为f (1)＝72.(2)在区间[1，＋∞)上f (x )>0恒成立 ⇔x 2＋2x ＋a >0恒成立.设y ＝x 2＋2x ＋a ，x ∈[1，＋∞)，则函数y ＝x 2＋2x ＋a ＝(x ＋1)2＋a －1在区间[1，＋∞)上是增函数.所以当x ＝1时，y 取最小值，即y min ＝3＋a ，于是当且仅当y min ＝3＋a >0时，函数f (x )>0恒成立， 故a >－3.反思与感悟 在解决不等式恒成立问题时，最为常见和重要的方法是从函数最值的角度或分离参数的角度去处理，在分离参数后常使用以下结论： a >f (x )恒成立⇔a >f (x )max a <f (x )恒成立⇔a <f (x )min .跟踪训练5 设f (x )＝x 2＋4x ＋3，不等式f (x )≥a 对x ∈R 恒成立，则实数a 的取值范围是________.答案 (－∞，－1]解析 ∵f (x )＝x 2＋4x ＋3＝(x ＋2)2－1， 由f (x )≥a 恒成立，知f (x )min ≥a ， ∴a ≤－1.1.函数f (x )(－2≤x ≤2)的图象如图所示，则函数的最大值和最小值分别为( ) A.f (2)，f (－2) B.f (12)，f (－1)C.f (12)，f (－32)D.f (12)，f (0)答案 C解析 由图象可知最大值为f (12)，最小值为f (－32).2.已知函数f (x )＝1x 在区间[1,2]上的最大值为A ，最小值为B ，则A －B 等于( )A.12B.－12 C.1 D.－1 答案 A解析 可知函数f (x )＝1x 在[1,2]上单调递减.∴A ＝f (1)＝1，B ＝f (2)＝12，∴A －B ＝12.3.函数y ＝x －1x 在[1,2]上的最大值为( )A.0B.32 C.2 D.3答案 B解析 函数y ＝x 在[1,2]上是增函数， 函数y ＝－1x 在[1,2]上是增函数，∴函数y ＝x －1x在[1,2]上是增函数.当x ＝2时，y max ＝2－12＝32.4.f (x )＝x 2＋2x ＋1，x ∈[－2,2]的最大值是________. 答案 9解析 f (x )＝x 2＋2x ＋1＝(x ＋1)2，∴f (x )在[－2，－1]上递减，在[－1,2]上递增， ∴f (x )max ＝f (2)＝9.5.记min{a ，b }＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a ≤b ，b ，a >b .若f (x )＝min{x ＋2,10－x }(x ≥0)，则f (x )的最大值为________.答案 6解析 由题意，知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2，0≤x ≤410－x ，x >4，作出函数f (x )的图象如图所示.易知f (x )max ＝f (4)＝6.1.函数的最值与值域、单调性之间的联系(1)对一个函数来说，其值域是确定的，但它不一定有最值，如函数y ＝1x .如果有最值，则最值一定是值域中的一个元素.(2)若函数f (x )在闭区间[a ，b ]上单调，则f (x )的最值必在区间端点处取得.即最大值是f (a )或f (b )，最小值是f (b )或f (a ). 2.二次函数在闭区间上的最值探求二次函数在给定区间上的最值问题，一般要先作出y ＝f (x )的草图，然后根据图象的增减性进行研究.特别要注意二次函数的对称轴与所给区间的位置关系，它是求解二次函数在已知区间上最值问题的主要依据，并且最大(小)值不一定在顶点处取得.一、选择题1.设定义在R 上的函数f (x )＝x |x |，则f (x )( ) A.只有最大值 B.只有最小值C.既有最大值，又有最小值D.既无最大值，又无最小值 答案 D解析 f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x ≥0，－x 2，x ＜0，画出图象(图略)可知，既无最大值，又无最小值.2.已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋6，x ∈[1，2]，x ＋7，x ∈[－1，1]，则f (x )的最大值与最小值分别为( )A.10,6B.10,8C.8,6D.以上都不对答案 A解析 ∵x ∈[1,2]时，f (x )max ＝2×2＋6＝10， f (x )min ＝2×1＋6＝8.又x ∈[－1,1]时，f (x )max ＝1＋7＝8， f (x )min ＝－1＋7＝6，∴f (x )max ＝10，f (x )min ＝6.3.函数y ＝x 2－2x ＋2在区间[－2,3]上的最大值、最小值分别是( ) A.10,5 B.10,1 C.5,1 D.以上都不对答案 B解析 因为y ＝x 2－2x ＋2＝(x －1)2＋1，且x ∈[－2,3]，所以当x ＝1时，y min ＝1，当x ＝－2时，y max ＝(－2－1)2＋1＝10.故选B. 4.函数f (x )＝11－x (1－x )的最大值是( )A.54B.45C.43D.34 答案 C解析 因为1－x (1－x )＝x 2－x ＋1＝(x －12)2＋34≥34，所以11－x (1－x )≤43.故f (x )的最大值为43.5.函数y ＝f (x )的图象关于原点对称，且函数y ＝f (x )在区间[3,7]上是增函数，最小值为5，那么函数y ＝f (x )在区间[－7，－3]上( ) A.为增函数，且最小值为－5 B.为增函数，且最大值为－5 C.为减函数，且最小值为－5 D.为减函数，且最大值为－5 答案 B解析 由题意画出示意图，如图所示，可以发现函数y ＝f (x )在区间[－7，－3]上仍是增函数，且最大值为－5.6.已知关于x 的不等式x 2－x ＋a －1≥0在R 上恒成立，则实数a 的取值范围是( ) A.(－∞，54)B.(－∞，54]C.(54，＋∞) D.[54，＋∞) 答案 D解析 设f (x )＝x 2－x ＋a －1，问题等价于f (x )的最小值大于或等于0，∵f (x )＝(x －12)2＋a －54，当x ＝12时，f (x )min ＝a －54，所以a －54≥0，解得a ≥54.故选D.二、填空题7.函数y ＝1x －2，x ∈[3,4]的最大值为________.答案 1解析 函数y ＝1x －2在[3,4]上是单调减函数，故y 的最大值为13－2＝1.8.函数y ＝－x 2＋x ＋2的最大值为________，最小值为________. 答案 32解析 令u ＝－x 2＋x ＋2，则u ≥0，且u ＝－(x －12)2＋94.所以当x ＝12时，u max ＝94，即y max ＝32.又因为u ≥0，所以y min ＝0. 9.函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ∈[－3，－1]，－x －1，x ∈(－1，4]的最小值为________，最大值为________.答案 －5 0解析 由题意可知，当x ∈[－3，－1]时，y min ＝－2；当x ∈(－1,4]时，y min ＝－5，故最小值为－5.同理可得，最大值为0.10.已知函数f (x )＝x 2－2x ＋3在闭区间[0，m ]上有最大值3和最小值2，则m 的取值范围是________. 答案 [1,2]解析 因为f (x )＝x 2－2x ＋3＝(x －1)2＋2， 所以f (0)＝f (2)＝3.又因为m >0，所以m ∈[1,2].三、解答题11.求函数f (x )＝x 2－2ax ＋2在[－1,1]上的最小值.解 函数f (x )图象的对称轴方程为x ＝a ，且函数图象开口向上，如图所示：①当a >1时，f (x )在[－1,1]上单调递减，故f (x )min ＝f (1)＝3－2a ；②当－1≤a ≤1时，f (x )在[－1,1]上先减后增，故f (x )min ＝f (a )＝2－a 2；③当a <－1时，f (x )在[－1,1]上单调递增，故f (x )min ＝f (－1)＝3＋2a .综上可知，f (x )的最小值为f (x )min ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 3－2a ，a >1，2－a 2，－1≤a ≤1，3＋2a ，a <－1.12.若二次函数满足f (x ＋1)－f (x )＝2x 且f (0)＝1.(1)求f (x )的解析式；(2)若在区间[－1,1]上不等式f (x )>2x ＋m 恒成立，求实数m 的取值范围.解 (1)设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，由f (0)＝1，∴c ＝1，∴f (x )＝ax 2＋bx ＋1.∵f (x ＋1)－f (x )＝2x ，∴2ax ＋a ＋b ＝2x ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 2a ＝2，a ＋b ＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－1，∴f (x )＝x 2－x ＋1. (2)由题意知x 2－x ＋1>2x ＋m 在[－1,1]上恒成立，即x 2－3x ＋1－m >0在[－1,1]上恒成立.令g (x )＝x 2－3x ＋1－m ＝⎝⎛⎭⎫x －322－54－m ， 其对称轴为x ＝32， ∴g (x )在区间[－1,1]上是减函数，∴g (x )min ＝g (1)＝1－3＋1－m >0，∴m <－1.13.为了保护环境，实现城市绿化，某房地产公司要在拆迁地(如图所示的长方形ABCD )上规划出一块长方形地面建小区公园(公园的一边落在CD 上)，但不超过文物保护区△AEF 的边EF .如何设计才能使公园占地面积最大？并求出最大面积(已知AB ＝CD ＝200 m ，BC ＝AD ＝160 m ，AE ＝60 m ，AF ＝40 m).解 如图所示，设P 为EF 上一点，矩形CGPH 为规划出的公园，PH ＝x ，则PN ＝200－x . 又因为AE ＝60，AF ＝40，所以由△FNP ∽△F AE ，得FN AF ＝PN AE， 所以FN ＝PN AE ·AF ＝200－x 60·40＝23(200－x )， 所以AN ＝AF －NF ＝40－23(200－x )， 所以PG ＝160－AN ＝120＋23(200－x ). 故矩形CGPH 的面积为S ＝x [120＋23(200－x )] ＝－23(x －190)2＋23×1902(140≤x ≤200). 所以当x ＝190时，S max ＝23×1902＝24 06623(m 2). 答 当PH ＝190 m ，PG ＝126 23m 时，公园的面积最大，最大面积为24 066 23m 2.。