《微积分》第一篇第一章--函数

x 1
于是所求的函数的定义域为 1,
1 【例 2.2】 求函数 f ( x) x3 的定义域。
x 4
2
【解】 要使得表达式有意义,必须 x 3 0 2 x 4 0
解这组不等式，得
x 3 ( x 2)( x 2) 0
所以，所求函数的定义域为：

值 域
y0 f x0 y1 f x1

例如：S r , r 0
2
给定 r 2, 就有 S 4 ; 给定 r 3, 就有 S 9 ;
例如：y f x x x 1
2
给定x 1,
就有 y f 1 1;
给定 x 1, 就有y f 1 3;
x 1 0 x 1 2 x 1 0 x 1 x 1 0 x 1 即：x 1 x 1 或 x 1
写成区间： , ) (1
公共部分
【练习2】
1 求函数 f ( x) 3 x 的定义域 . ln( x 3)
则要求
( x) （n为偶数）
( x) 0.
y log a ( x)
(3) 对数函数中的真数表达式大于零。 即若： 则要求
( x) 0.
【例 2.1】
求函数 f ( x) log 2 ( x 1) 的定义域 .
【解】 要使 f (x) 有意义，必须有
真数部分： x 1 0
由定义3.3,知 y x cos x 是奇函数。
六. 四类基本初等函数
要求熟记这五类函数的表达式c c为常数
定义域是 x R, 并且是偶函数。
它的图形是一条过点 0, c 且平行于 x轴的直线。
【例如】 函数y 1
它和函数 y sin x cos x是相同函数。
2 2
（二）幂函数
例如：
yx

为实数
y x, y x ,
3
1 2 y 2 x x
y x x
3 2
1 2 2 3
y x x
归纳幂函数的性质：
1
x x x
n m
nm
如：x x x
3 5
8
1 xn 2 n x
n
n m
1 3 如： 3 ＝x x
通过定义，我们可以证明得到下面的结论： •奇＋奇＝奇， •偶＋偶＝偶， •奇×奇＝偶， •偶×偶＝偶， •奇×偶＝奇， •奇＋偶＝非奇非偶函数， • f(x) + f(-x) 为偶函数， f(x) - f(-x) 为奇函数。 提示：有点类似正数(偶)和负数(奇)的关系。
【例 5.1】 判断下列函数的奇偶性：
一般用大写字母X,D,L等表示变域。
4、函数的定义（P--5）
函数y＝f (x) 是两个变量之间的关系， 其中x是自变量，y是因变量，f 是对应规则。 记作：y＝f (x) ，并称 y 是 x 的函数， 其中x是自变量，y是因变量，f是对应规则。 定 义 域

x0 x1
f
对应法则
y0 y1
y f x
其中以e为底的对数函数称为自 然对数，
简记为y ln x ( log e x)
其中以10为底的对数函数称为常 用对数，
简记为y lg x ( log 10 x)
归纳对数函数的性质:（其中M,N>0）
1 log a MN log a M log a N
如： 2 3 log 2 5 log 2 15 log
5 log a 1 0
ln 1 0
log a a 1
(a>0)
ln e 1
七. 函数的运算
1、四则运算：加、减、乘、除——与我们 通常所知数的运算一样。 2、复合运算——这对我们来说，是一种 新的运算。 直观地说就是两个函数，一个函数里面再套 一个函数，就是复合。
记为：f [ g ( x)]
【解】 要使 f ( x ) 有意义，必须有
(因为ln 1 0)
x 3 0 ln( x 3) 0 3 x 0
x 3 x 3 1 x3
x 3 x 2 x3
x 3 接下来将： x 2 写成区间的形式 x3
M 2 log a log a M log a N N
3 如： 2 3 log 2 5 log 2 log 5
注意：对数一定要“同底数”才能相加减
3 log a M
k
k log a M
1 2
1 如： x ln x ln x ln 2 ln x 4 e x
函数的奇偶性
奇偶性：定义1.3 (P－9)
（1）奇函数 （2）偶函数
f ( x) f x ； f ( x) f x ；
常见的奇函数有：x, x , x ,, sin x
3 5
常见的偶函数有：c, x , x ,, cos x
2 4
要注意：所有函数可以分为 奇函数、偶函数和非奇非偶函数。 通过图像可以看出： •奇函数的图像是关于原点对称的， •偶函数的图像是关于y轴对称的。
0, a 1
exp(x)
e 2.71828
3 3
x
1 2
y

x 32
x
指数函数的运算性质可依据幂函数 的运算性质(1)--(5)。
（四）对数函数 y log a x
其中a为底数，x为真数
a 0, a 1
例如： y log 3 x 就称为以3为底的对数函数
例 4.1 判断下列函数是否相同：
1 f x x, g x x 2 ; 2 2 f x x, g x x ;
2
x 1 3 f x x 1, g x . x 1
2 g x
解：1 g x x 2 x, f x g x .
x R
例 4.2 判断下列函数是否相同：
1 f x ln x 2 , g x 2 ln x; 3 2 f x ln x , g x 3 ln x;
【公式】： x k ln x， log a x k log a x ln
k k
【解】 1 f x ln x 2 2 ln x
t
圆的面积
S πr 2 ,
一般用x,y,z,s,t等表示变量。
2.在某过程中始终同一数值的量称为常量,
【例如】 圆周率 中山到广州的直线距离S 一般用a,b,c,k等表示常量。 3.变量的取值范围称为该变量的变域。 注：变域可用区间、不等式表示：
如：x 3,6
或： x 6 3
g x 2 ln x ( x 0)
表达式不同，定义域不同
所以它们是不同的函数。
( x 0)
2 f x ln x3 3 ln x
( x 0)
g x 3 ln x ( x 0)
定义域和表达式都相同， 所以它们是相同的函数。
五. 函数的几何性质
单调性、奇偶性、有界性、周期性 重点：是奇偶性，这里主要讨论函 数奇偶性的判别 （单调性放在第三章再讲）
2
2
即，相应的用 0, x , 1 x 去替换 f x
2
中的 x.
【练习3】
1 ). 设 f x , 则 f f x ( x 1 1 A B 2 C x D x 2 x x 1 1 x. 解： f f x f x 1 x
再将变量 u 替换成 x ,就得到所求函数 2 计算公式：
f ( x) x 2 x 1.
注：这也叫做“换元法”。
四. 判断两函数相同
函数的两个要素:
定义域 D( f ) 和对应法则f .
函数 f 的表达式为
y f ( x ) , x D( f )
判断两个函数相同的方法： 定义域和对应法则都相等．
所以选择C.
更复杂一点，可以根据函数在某个表达 式上的值，反过来求该函数的计算公式。
例 3.2 已知 f ( x 1) x 2, 求f x. 解： 取x 1 u，则x u 1
2
代入已知表达式得到：
f (u ) (u 1) 2 u 2u 1
2 2
由定义3.3,知 y x sin x 是偶函数。
【练习4】 判断下列函数的奇偶性：
y x cosx.
【解】 对任意x,用-x代替y=f(x)中的x，得
f x x cos x x cos x f x 即：f ( x) f x
高等数学基础 微积分
第一篇第一章－－函 数
本章重点
•1、函数概念 •2、函数的定义域 •3、函数值的计算 •4、函数奇偶性的判别
本章难点
•复合函数的分解
一. 函数概念
函数是微积分学的关键概念，没有 函数，就没有微积分学。 1.在某一变化过程中可以取不同数值的量称 为变量。 【例如】 复利问题 at k0 1 2% , t 1, 2 , 3 ,
x 3 x 2 或 x 2
写成区间的形式，得到定义域：
D (,3) (3,2] [2,)
x

－3 －2
2

【练习1】
求函数 f ( x) log 2 ( x 1)
【解】
1 x 1
2
的定义域 .
要使 f ( x ) 有意义，必须有
【注意】 y f x
二. 求定义域
函数的定义域：是使函数有意义的 自变量x取值的全体。 也就是自变 量x允 许取值的范围。 确定函数定义域的三条基本要求：