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立体几何与空间向量1. 立体图形的截面问题高考对用一平面去截一立体图形所得平面图形的考查实质上对学生空间想象能力及对平面基本定理及线面平行与面面平行的性质定理的考查。
考生往往对这一类型的题感到吃力，实质上高中阶段对作截面的方法无非有如下两种：一种是利有平面的基本定理：一个就是一条直线上有两点在一平面内则这条直线上所在的点都在这平面内和两平面相交有且仅有一条通过该公共点的直线（即交线）（注意该定理地应用如证明诸线共点的方法：先证明其中两线相交，再证明此交点在第三条直线上即转化为此点为两平面的公共点而第三条直线是两平的交线则依据定理知交点在第三条直线；诸点共线：即证明此诸点都是某两平面的共公点即这此点转化为在两平的交线上）据这两种定理要做两平面的交线可在两平面内通过空间想象分别取两组直线分别相交，则其交点必为两平面的公共点，并且两交点的连线即为两平的交线.另一种方法就是依据线面平行及面面平行的性质定理，去寻找线面平行及面面平行关系，然后根据性质作出交线。
一般情况下这两种方法要结合应用.例1.已知正三棱柱111ABC A B C 的底面边长是10，高是12，过底面一边AB ，作与底面ABC 成060角的截面面积是___________________。
【答案】点评：判断截面的形状，应该将现有截面进行延伸，必须找出与整个几何体表面的截线.2.三视图高考对三视图的要求是：（1）理解简单空间图形 (柱、锥、台、球的简易组合) 的含义，了解中心投影的含义，掌握平行投影的含义；（2）理解三视图和直观图间的关系，掌握三视图所表示的空间几何体.会用斜二测法画出它们的直观图.从学生反馈情况看，主要错误是不能正确视图，还原几何体.突破这一瓶颈的有效途径，一是熟悉规则，二是多做一些练习.例2.【2017课标II ，理4】如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分所得，则该几何体的体积为（ ）90πB．63πC．42πD．36π【答案】B【解析】点评：在由三视图还原为空间几何体的实际形状时，要从三个视图综合考虑，根据三视图的规则，空间几何体的可见轮廓线在三视图中为实线，不可见轮廓线在三视图中为虚线。
立体几何（04年）如图，已知正方形ABCD 和矩形ACEF 所在的平面互相垂直，2=AB ，1=AF ，M 是线段EF 的中点。
（Ⅰ）求证AM ∥平面BDE ； （Ⅱ）求证⊥AM 平面BDF ；（Ⅲ）求二面角B DF A --的大小。
（05年）如图,在三棱锥ABC P -中，BC AB ⊥，PA BC AB 21==，点O 、D 分别是AC 、PC 的中点，⊥OP 底面ABC 。
（Ⅰ）求证OD ∥平面PAB ；（Ⅱ）求直线OD 与平面PBC 所成角的大小。
（06年）如图，在四棱锥ABCD P -中，底面为直角梯形，AD ∥BC ，︒=∠90BAD ，⊥PA 底面ABCD ，且BC AB AD PA 2===，M 、N 分别是PC 、PB 的中点。
（Ⅰ）求证：DM PB ⊥；BCPDAo（Ⅱ）求BD与平面ADMN所成的角。
（07年）在如图所示的几何体中，⊥EA 平面ABC ，⊥DB 平面ABC ， BC AC ⊥，且AE BD BC AC 2===，M 是AB 的中点。
（Ⅰ）求证：EM CM ⊥；（Ⅱ）求DE 与平面EMC 所成角的正切值。
（08年）如图，矩形ABCD 和梯形BEFC 所在平面互相垂直，BE ∥CF ，︒=∠=∠90CEF BCF ，3=AD ，2=EF 。
（Ⅰ）求证：AE ∥平面DCF ；（Ⅱ）当AB 的长为何值时，二面角C EF A --所的大小为︒60？（09年）如图，⊥DC 平面ABC ，BE ∥DC ，22====DC EB BC AC ，︒=∠120ACB ，P ，Q 分别是AE ，AB 的中点。
（Ⅰ）证明：PQ ∥平面ACD ；（Ⅱ）求AD 与平面ABE 所成角的正弦值。
（10年）如图，在平行四边形ABCD 中，BC AB 2=，︒=∠120ABC ，E 为线段AB 的中点，将ADE ∆沿直线DE 翻折成DE A '∆，使平面⊥DE A '平面BCD ，F 为线段C A '的中点。
2022浙江精彩题选——立体几何 【一、轨迹问题】1．如图，平面ABC ⊥平面α，D 为线段AB 的中点，22=AB ,︒=∠45CDB ，点P 为面α内的动点，且P 到直线CD 的距离为2，则APB ∠的最大值为 ． 解：以AB 为直径的圆与椭圆A ‘B ’相切【二、动态问题】1.（2022台州期末8）如图，在三棱锥P-ABC 中，AB=AC=PB=PC=10，PA=8，BC=12，点M 在平面PBC 内，且AM=7，设异面直线AM 与BC 所成角为α，则cos α的最大值为 17分析：点A 到平面PBC 的距离为d=43，AM=7即为绕d 旋转所成的圆锥的母线长，最大角为BC 与圆锥底直径平行时，母线与直径所成的角2.（2022金华十校期末）在四周体ABCD 中，已知AD ⊥BC ，AD=6，BC=2，且AB ACBD CD ==2，则ABCD V 四面体的最大值为 （ C ）A.6B.211C.215D.8分析：由AB ACBD CD ==2得B 、C 点的轨迹为阿波罗尼斯圆，由阿波罗尼斯圆的性质，则B ，C 离AD 的最远距离为4，可求3.（2022台州一模 8）如图,在长方体D C B A ABCD ''''-中,点Q P ,分别是棱BC ,CD 上的动点,4,BC =,3,CD =23CC '=直线C C '与平面C PQ '所成的角为︒30,则△C PQ '的面积的最小值是( B )A ．1855B ．8C ．1633 D ．104（2022宁波十校15）如图，正四周体ABCD 的棱CD 在平面α上，E 为棱BC 的中点.当正四周体ABCD 绕CD 旋转时，直线AE 与平面α所成最大角的正弦值为 .分析：CD ⊥平面ABF ，则平面ABF ⊥平面α。
设，平面ABF⊥平面α=a ,四周体不动，转动平面α，则AO ⊥α于O 交BF 于M ，AO 为平面α的法向量。
立体几何知识点整理一．直线和平面的三种位置关系：1. 线面平行l符号表示：2. 线面相交符号表示：3. 线在面内符号表示：二．平行关系：1.线线平行：方法一：用线面平行实现。
mlmll////⇒⎪⎭⎪⎬⎫=⋂⊂βαβα方法二：用面面平行实现。
mlml////⇒⎪⎭⎪⎬⎫=⋂=⋂βγαγβα方法三：用线面垂直实现。
若αα⊥⊥ml,，则ml//。
方法四：用向量方法：若向量l和向量m共线且l、m不重合，则ml//。
2.线面平行：方法一：用线线平行实现。
ααα////llmml⇒⎪⎭⎪⎬⎫⊄⊂方法二：用面面平行实现。
αββα////ll⇒⎭⎬⎫⊂方法三：用平面法向量实现。
若为平面α的一个法向量，⊥且α⊄l,则α//l。
3.面面平行：方法一：用线线平行实现。
βααβ//',','//'//⇒⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⊂⊂且相交且相交mlmlmmll方法二：用线面平行实现。
βαβαα//,////⇒⎪⎭⎪⎬⎫⊂且相交mlml三．垂直关系：1. 线面垂直：方法一：用线线垂直实现。
αα⊥⇒⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⊂=⋂⊥⊥lABACAABACABlACl,方法二：用面面垂直实现。
αββαβα⊥⇒⎪⎭⎪⎬⎫⊂⊥=⋂⊥llmlm,2. 面面垂直：方法一：用线面垂直实现。
βαβα⊥⇒⎭⎬⎫⊂⊥l l方法二：计算所成二面角为直角。
3. 线线垂直：方法一：用线面垂直实现。
m l m l ⊥⇒⎭⎬⎫⊂⊥αα方法二：三垂线定理及其逆定理。
PO l OA l PA l αα⊥⎫⎪⊥⇒⊥⎬⎪⊂⎭方法三：用向量方法：若向量和向量的数量积为0，则m l ⊥。
三．夹角问题。
(一) 异面直线所成的角： (1) 范围：]90,0(︒︒ (2)求法： 方法一：定义法。
步骤1：平移，使它们相交，找到夹角。
步骤2：解三角形求出角。
(常用到余弦定理) 余弦定理：abc b a 2cos 222-+=θ(计算结果可能是其补角)方法二：向量法。
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23正视图 图1侧视图 图22 2图3立几习题21若直线l 不平行于平面a ,且l a ∉，则 A ．a 内的所有直线与异面 B ．a 内不存在与l 平行的直线C ．a 内存在唯一的直线与l 平行D ．a 内的直线与l 都相交2.1l ，2l ，3l 是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是（A ）12l l ⊥，23l l ⊥13//l l ⇒（B ）12l l ⊥,23//l l ⇒13l l ⊥(C ）233////l l l ⇒1l ,2l ,3l 共面（D)1l ，2l ，3l 共点⇒1l ，2l ,3l 共面3．如图1 ~ 3，某几何体的正视图（主视图），侧视图（左视图）和俯视图分别是等边三角形，等腰三角形和菱形，则该几何体的体积为A ．3．4 C ．3．24。
某几何体的三视图如图所示，则它的体积是（ )A 。
283π- B.83π-C 。
8-2πD 。
23π5、如图,在四棱锥ABCD P -中，平面PAD ⊥平面ABCD ，AB=AD,∠BAD=60°,E 、F 分别是AP 、AD 的中点求证:（1）直线EF‖平面PCD；（2）平面BEF⊥平面PAD5（本小题满分13分）如图，ABEDFC为多面体，平面ABED与平面ACFD垂直，点O在线段AD上，1OA=，OD=，△OAB，△OAC,△ODE，△ODF都是正三角形。
1.（此题满分 15 分）如图，平面PAC⊥平面ABC，ABC是以AC为斜边的等腰直角三角形。
E, F , O 分别为 PA, PB, PC 的中点， AC 16, PA PC 10 。
（I）设C是OC的中点，证明：PC // 平面 BOE ；（II）证明：在ABO 内存在一点 M ，使 FM ⊥平面 BOE ，并求点 M 到 OA , OB 的距离。
zyx2.如图，在棱长为 1 的正方体ABCD－A1B1C1D1中， P 是侧棱 CC1上的一点， CP=m，（Ⅰ）试确立m，使得直线AP 与平面 BDB1D1所成角的正切值为 3 2 ；（Ⅱ）在线段 A1 1上能否存在一个定点Q，使得对随意的 1 1 上的射影垂C m，D Q 在平面 APD直于 AP，并证明你的结论。
3. . 如图甲，△ ABC是边长为 6 的等边三角形， E， D 分别为 AB、 AC 凑近 B、C 的三平分点，点 G 为 BC边的中点．线段 AG 交线段 ED 于 F 点，将△ AED 沿 ED翻折，使平面 AED⊥平面 BCDE，连结 AB、 AC、 AG 形成如图乙所示的几何体。
（I）求证 BC⊥平面 AFG；（II）求二面角 B－ AE－ D 的余弦值．DE4 在以下图的几何体中，EA平面ABC，DB平ACMB面 ABC，AC BC，AC BC BD 2AE ，M是AB的中点．（ 1）求证：CM EM ；（2）求 CM 与平面 CDE所成的角5.如图，矩形 ABCD和梯形BEFC所在平面相互垂直，BE∥CF ，BCFCEF 90o， AD 3，EF 2 ．D（Ⅰ ）求证： AE ∥平面 DCF ； AC（Ⅱ ）当 AB 的长为什么值时，二面角 A EF C 的大小为60o BFE（第 18 题）26. 如图，在矩形ABCD 中，点E，F 分别在线段AB， AD 上， AE=EB=AF=FD 4.沿直线3EF 将AEF翻折成A'EF , 使平面A' EF 平面 BEF.（ I）求二面角A' FD C 的余弦值；（ II）点 M ， N 分别在线段FD， BC上，若沿直线MN 将四边形MNCD 向上翻折，使 C 与 A' 重合，求线段FM 的长 .7. 如图，在三棱锥P-ABC中， AB＝ AC， D 为 BC 的中点， PO⊥平面 ABC，垂足 O 落在线段 AD 上，已知BC＝8， PO＝ 4， AO＝ 3， OD＝ 2（Ⅰ ）证明： AP⊥ BC；（Ⅱ ）在线段 AP 上能否存在点M，使得二面角 A-MC-B 为直二面角若存在，求出AM 的长；若不存在，请说明原因。
