2021学年高一数学多选题专项提升汇编题02 常用逻辑用语(解析版)

高一数学常用逻辑用语试题答案及解析1.给出以下命题①若则；②已知直线与函数，的图象分别交于两点，则的最大值为；③若是△的两内角，如果，则；④若是锐角△的两内角，则。

其中正确的有（）个A．1B．2C．3D． 4【答案】D【解析】根据题意，对于①若则；可知角，因此成立。

对于②已知直线与函数，=-cosx的图象分别交于两点，则的最大值为；利用交点之间的距离可知为sinm+cosm，可知成立。

对于③若是△的两内角，如果，则；成立。

对于④若是锐角△的两内角，由于，则可知则，成立，故答案为D.【考点】命题的真假点评：主要是考查了命题的真假的判定，属于基础题。

2.“”是“”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】由“”可以推出“”，但是由“”推不出“”，所以“”是“”的充分不必要条件.【考点】本小题主要考查不等式的性质和充分条件、必要条件的判断.点评：要判断充分条件、必要条件，需要分清谁是条件谁是结论，由谁能推出谁.3.已知a，b是实数，则“| a＋b |＝| a |＋| b |”是“ab＞0”的A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】由“| a＋b |＝| a |＋| b |”可以得出a,b同号，但是a=b=0也可以，所以是必要不充分条件.【考点】本小题主要考查充分条件和必要条件的定义.点评：判断此类问题，要分清谁是条件，谁是结论，是由谁推出谁.4.下列五个命题：①方程y=kx+2可表示经过点(0，2)的所有直线；②经过点(x0, y)且与直线:Ax+By+C=0(A B0)垂直的直线方程为: B(x－x)－A(y－y)=0;③经过点(x0, y)且与直线:Ax+By+C=0(A B0)平行的直线方程为: A(x－x)+B(y－y)=0;④存在这样的直线，既不与坐标轴平行又不经过任何整点;⑤存在无穷多直线只经过一个整点.其中真命题是_____________(把你认为正确的命题序号都填上)【答案】②③④⑤【解析】①方程y=kx+2可表示经过点(0，2)的所有直线；不正确，不包括y轴。

2021年高考数学总复习专题1.2常用逻辑用语试题含解析【三年高考】1. 【xx天津，理4】设，则“”是“”的（A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件（C）充要条件（D）既不充分也不必要条件【答案】【解析】πππ||012126θθ-<⇔<<，但，不满足，所以是充分不必要条件，选A.【考点】充要条件【名师点睛】本题考查充要条件的判断，若，则是的充分条件，若，则是的必要条件，若，则是的充要条件；从集合的角度看，若，则是的充分条件，若，则是的必要条件，若，则是的充要条件，若是的真子集，则是的充分不必要条件，若是的真子集，则是的必要不充分条件.2. 【xx山东，理3】已知命题p:；命题q：若a＞b，则，下列命题为真命题的是（A）（B）（C）（D）【答案】B【考点】1.简易逻辑联结词.2.全称命题.【名师点睛】解答简易逻辑联结词相关问题，关键是要首先明确各命题的真假，利用或、且、非真值表，进一步作出判断.3.【xx 高考浙江理改编】命题“，使得”的否定形式是 ．【答案】，使得【解析】试题解析：的否定是，的否定是，的否定是．故命题“，使得”的否定形式是“，使得”． 考点：全称命题与特称命题的否定．【方法点睛】全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题．对含有存在（全称）量词的命题进行否定需要两步操作：①将存在（全称）量词改成全称（存在）量词；②将结论加以否定．4.【xx 高考山东理数改编】已知直线a ，b 分别在两个不同的平面α，β内.则“直线a 和直线b 相交”是“平面α和平面β相交”的 .(在“充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件、既不充分也不必要条件”中选填)【答案】充分不必要条件考点：1.充要条件；2.直线与平面的位置关系.【名师点睛】充要条件的判定问题，是高考常考题目之一，其综合性较强，易于和任何知识点结合.本题涉及直线与平面的位置关系，突出体现了高考试题的基础性，能较好的考查考生分析问题解决问题的能力、空间想象能力等.5.【xx 高考天津理数改编】设{a n }是首项为正数的等比数列，公比为q ，则“q <0”是“对任意的正整数n ，a 2n −1+a 2n <0”的 ．(在“充要条件、充分不必要条件、必要不充分条件、既不充分也不必要条件”中选填)【答案】必要不充分条件【解析】试题分析：由题意得，22212(1)21210()0(1)0(,1)n n n n n a a a q q q q q ----+<⇔+<⇔+<⇔∈-∞-，故是必要不充分条件．考点：充要关系【名师点睛】充分、必要条件的三种判断方法．1．定义法：直接判断“若p则q”、“若q则p”的真假．并注意和图示相结合，例如“p⇒q”为真，则p是q的充分条件．2．等价法：利用p⇒q与非q⇒非p，q⇒p与非p⇒非q，p⇔q与非q⇔非p的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法．3．集合法：若A⊆B，则A是B的充分条件或B是A的必要条件；若A＝B，则A是B的充要条件．6．【xx高考上海理数改编】设，则“”是“”的．(在“充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件、既不充分也不必要条件”中选填)【答案】充分非必要条件【解析】试题分析：22>⇒>>⇒><-或，所以是充分非必要条件．a a a a a11,111考点：充要条件【名师点睛】充要条件的判定问题，是高考常考题目之一，其综合性较强，易于和任何知识点结合.本题涉及不等关系，突出体现了高考试题的基础性，能较好的考查考生分析问题解决问题的能力、逻辑推理能力等.7．【xx高考四川文科改编】设p:实数x，y满足且，q: 实数x，y满足，则p是q的(在“充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件、既不充分也不必要条件”中选填)【答案】充分不必要条件【解析】试题分析：由题意，且，则，而当时不能得出，且.故是的充分不必要条件．考点：充分必要条件.【名师点睛】本题考查充分性与必要性的判断问题，首先是分清条件和结论，然后考察条件推结论，结论推条件是否成立.这类问题往往与函数、三角、不等式等数学知识结合起来考．有许多情况下可利用充分性、必要性和集合的包含关系得出结论．8.【xx高考浙江文改编】设，是实数，则“”是“”的______条件.（在充分不必要条件、必要不充分条件、充分必要条件和既不充分也不必要条件四种中选择一种填空）【答案】既不充分也不必要条件9.【xx 高考安徽文改编】设p ：x <3，q ：-1<x <3，则p 是q 成立的______条件.（在充分不必要条件、必要不充分条件、充分必要条件和既不充分也不必要条件四种中选择一种填空）【答案】必要不充分条件【解析】∵，∴，但，∴是成立的必要不充分条件.10.【xx 高考山东文改编】设,命题“若,则方程有实根”的逆否命题是____.【答案】若方程没有实根，则【解析】一个命题的逆否命题，要将原命题的条件、结论加以否定，并且加以互换，故为：若方程没有实根，则.11.【xx 高考湖北文改编】命题“，”的否定是_________________.【答案】，【解析】由特称命题的否定为全称命题可知，所求命题的否定为，.12.【xx 高考上海，文15】设、，则“、均为实数”是“是实数”的______.（在充分不必要条件、必要不充分条件、充分必要条件和既不充分也不必要条件四种中选择一种填空）【答案】充分非必要条件【解析】设，，若、均为实数，则，所以21212121)(a a i b b a a z z -=-+-=-是实数；若i b b a a z z )(212121-+-=-是实数，则，所以“、均为实数”是“是实数”的充分非必要条件.【xx 年高考命题预测】纵观xx 年全国各地的高考试题，可以发现高考对常用逻辑用语的考查以考查四种命题、逻辑联结词、充分条件、必要条件、全称与特称命题等知识点为主，难度不大，估计xx 年高考命题仍会以基本概念为考查对象，并且以本节知识作为工具，以代数中的函数、不等式和几何中的点、线、面以及三角、解析几何为载体来考查.题目以选择填空题为主，在总分中占5分，重点考查学生的推理能力，所以对于xx 年的高考备考同学们只需要像集合一样，掌握四种命题、逻辑联结词、充分条件、必要条件等基本知识点，对典型的例题加强练习，不宜搞过深过难的题目，关于本专题的高考备考还需要注意以下几点：1.在命题类的题目中首先要分清命题的条件与结论，再比较每个命题的条件与结论之间的关系；2.要注意四种命题关系的相对性，一旦一个命题定为原命题，也就相应的有了它的“逆命题”“否命题”“逆否命题”；判定命题为真命题时要进行推理，判定命题为假命题时只需举出反例即可.对涉及数学概念的命题的判定要从概念本身入手；3.要特别注意一些特殊量词的否定形式,例如至少个的否定为至多个等；4.充要条件的判断，重在“从定义出发”，利用命题“若p，则q”及其逆命题的真假进行区分，在具体解题中，要注意分清“谁是条件”“谁是结论”，如“A是B的什么条件”中，A是条件，B是结论，而“A的什么条件是B”中，A是结论，B是条件；5.注意区分“p是q的充分不必要条件”与“p的一个充分不必要条件是q”两者的不同，前者是“p⇒q”而后者是“q⇒p”；6.注意理解逻辑联结词与集合的关系；7.正确区别命题的否定与否命题.【xx年高考考点定位】高考对常用逻辑用语的考查有四种形式：一是考查四种命题的真假与转化，二是逻辑联结词、三是特称与全称命题的否定,四是充分条件和必要条件的判断.难度不大,以本节知识作为工具，以代数中的函数、不等式和几何中的点、线、面以及三角、解析几何为载体来考查. 【考点1】四种命题【备考知识梳理】一、命题的概念在数学中用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题.其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题.二、四种命题三、四种命题之间的逆否关系四、四种命题之间的真假关系1、两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；2、两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系.【规律方法技巧】1.四种命题反映出命题之间的内在联系，要注意结合实际问题，理解其关系（尤其是两种等价关系）的产生过程，关于逆命题、否命题与逆否命题，也可以叙述为：（1）交换命题的条件和结论，所得的新命题就是原来命题的逆命题；（2）同时否定命题的条件和结论，所得的新命题就是原来的否命题；（3）交换命题的条件和结论，并且同时否定，所得的新命题就是原命题的逆否命题。

目录专题01 集合与常用逻辑用语（解析版）专题02 函数（1）（解析版）专题03 函数（2）（解析版）专题04 函数（3）（解析版）专题05 导数及其应用（解析版）专题06 不等式（解析版）专题07 数列（1）（解析版）专题08 数列（2）（解析版）专题09 平面向量（解析版）专题10 复数、推理与证明（解析版）专题11 排列组合和概率统计（解析版）专题12 三角函数（1）（解析版）专题13 三角函数（2）（解析版）专题14 三角函数（3）（解析版）专题15 平面解析几何（1）（解析版）专题16 平面解析几何（2）（解析版）专题17 平面解析几何（3）（解析版）专题18 立体几何（1）（解析版）专题19 立体几何（2）（解析版）专题20 立体几何（3）（解析版）专题01 集合与常用逻辑用语多项选择题1．（2019秋•启东市期末）已知全集U R =，集合A ，B 满足A B Ü，则下列选项正确的有()A ．AB B= B ．A B B= C ．()U A B =∅ ðD ．()U A B =∅ ð【分析】利用A B Ü的关系即可判断．【解答】解：A B Ü，A B A ∴= ，A B B = ，()U C A B =≠∅ ，()U A C B =∅ ， 故选：BD ．2．（2019秋•宿迁期末）已知集合[2A =，5)，(,)B a =+∞．若A B ⊆，则实数a 的值可能是( ) A ．3−B ．1C ．2D ．5【分析】利用A B ⊆，求出a 的范围，即可判断． 【解答】解：A B ⊆ ， 2a ∴<，故选：AB ．3．（2019秋•临高县校级期末）已知{A =第一象限角}，{B =锐角}，{C =小于90°的角}，那么A 、B 、C 关系是( )A ．B AC = B ．B C C = C ．B A B =D ．A B C ==【分析】可看出，“小于90°的角“和”第一象限的角“都包含”锐角“，从而可判断出选项B ，C 都正确；而小于90°的角里边有小于0°的角，而小于0°的角里边有第一象限角，从而可判断选项A 错误，而选项D 显然错误，从而可得出正确的选项．【解答】解： “小于90°的角”和“第一象限角”都包含“锐角”，B C ∴⊆，B A ⊆B C C ∴= ，B A B = ；“小于90°的角“里边有”第一象限角”，从而B A C ≠ ． 故选：BC ．4．（2019秋•聊城期末）若“2340x x +−<”是“22(23)30x k x k k −+++>”的充分不必要条件，则实数k 可以是( ) A ．8−B ．5−C ．1D ．4【分析】分别解出” 2340x x +−<”，“ 22(23)30x k x k k −+++>”，根据2340x x +−<”是“22(23)30x k x k k −+++>”的充分不必要条件，即可得出． 【解答】解：“2340x x +−<” 43x ⇔−<<． “22(23)30x k x k k −+++>” x k ⇔<，或3x k >+．“2340x x +−<”是“22(23)30x k x k k −+++>”的充分不必要条件，3k ∴…，或43k −+…，解得：3k …，或7k −…， 则实数k 可以是AD ． 故选：AD ．5．（2019秋•临沂期末）对于①sin 0θ>，②sin 0θ<，③cos 0θ>，④cos 0θ<，⑤tan 0θ>，⑥tan 0θ<，则θ为第二象限角的充要条件为( ) A ．①③B ．①④C ．④⑥D ．②⑤【分析】根据三角函数角的符号和象限之间的关系分别进行判断即可． 【解答】解：假设θ为象限角则①sin 0θ>，则θ为第一象限角或θ为第二象限角， ②sin 0θ<，则θ为第三象限角或θ为第四象限角 ③cos 0θ>，则θ为第一象限角或θ为第四象限角 ④cos 0θ<，则θ为第二象限角或θ为第三象限角 ⑤tan 0θ>，则θ为第一象限角或θ为第三象限角 ⑥tan 0θ<，则θ为第二象限角或θ为第四象限角， 若θ为第二象限角，则①④可以④⑥可以， 故选：BC ．6．（2019秋•泰安期末）下列选项中，p 是q 的必要不充分条件的是( )A ．:37p m <<；q ：方程22173x y m m +=−−的曲线是椭圆B ．:8p a …；q ：对[1x ∀∈，3]不等式20x a −…恒成立C ．设{}n a 是首项为正数的等比数列，p ：公比小于0；q ：对任意的正整数n ，2120n n a a −+<D ．已知空间向量(0a = ，1，1)−，(b x = ，0，1)−，:1p x =；q ：向量a与b 的夹角是3π【分析】A ，根据椭圆的方程以及充分条件和必要条件的定义进行判断即可；B ，求出，[1x ∀∈，3]不等式20x a −…恒成立等价于2a x …恒成立，即等价于9a …，即可判断；C ，根据等比数列的性质以及充分条件和必要条件的定义进行判断即可；D ，根据空间两向量的夹角大小求出x 的值，再根据充分必要条件的定义即可判断；【解答】解：A ，若方程22173x y m m +=−−的曲线是椭圆， 则703073m m m m −>−> −≠−，即37m <<且5m ≠， 即“37m <<”是“方程22173x y m m +=−−的曲线是椭圆”的必要不充分条件； B ，[1x ∀∈，3]不等式20x a −…恒成立等价于2a x …恒成立，等价于9a …； ∴ “8a …”是“对[1x ∀∈，3]不等式20x a −…恒成立”必要不充分条件； :{}n C a 是首项为正数的等比数列，公比为q ，∴当11a =，12q =−时，满足0q <，但此时12111022a a +=−=>，则2120n n a a −+<不成立，即充分性不成立，反之若2120n n a a −+<，则2221110n n a q a q −−+< 10a > ，22(1)0n q q −∴+<，即10q +<，则1q <−，即0q <成立，即必要性成立，则“0q <”是“对任意的正整数n ，2120n n a a −+<”的必要不充分条件．D ：空间向量(0a =，1，1)−，(b x = ，0，1)−，则001a b =++ ， cos a ∴<，1cos 32||||a bb a b π>===×，解得1x =±，故“1x =”是“向量a与b 的夹角是3π”的充分不必要条件．故选：ABC ．7．（2019秋•青岛期末）已知集合{(M x =，)|()}y y f x =，若对于1(x ∀，1)y M ∈，2(x ∃，2)y M ∈，使得12120x x y y +=成立，则称集合M 是“互垂点集”．给出下列四个集合：21{(,)|1}M x y y x ==+；{2(,)|M x y y ==；3{(,)|}x M x y y e =；4{(,)|sin 1}M x y y x ==+．其中是“互垂点集”集合的为( )A ．1MB ．2MC ．3MD ．4M【分析】根据题意即对于任意点1(P x ∀，1)y ，在M 中存在另一个点P ′，使得OP OP ⊥′．，结合函数图象进行判断．【解答】解：由题意，对于1(x ∀，1)y M ∈，2(x ∃，2)y M ∈，使得12120x x y y +=成立即对于任意点1(P x ∀，1)y ，在M 中存在另一个点P ′，使得OP OP ⊥′．21y x =+中，当P 点坐标为(0,1)时，不存在对应的点P ′．所以所以1M 不是“互垂点集”集合，y=所以在2M 中的任意点1(P x ∀，1)y ，在2M 中存在另一个点P ′，使得OP OP ⊥′ ． 所以2M 是“互垂点集”集合，x y e =中，当P 点坐标为(0,1)时，不存在对应的点P ′．所以3M 不是“互垂点集”集合，sin 1y x =+的图象中，将两坐标轴进行任意旋转，均与函数图象有交点， 所以所以4M 是“互垂点集”集合， 故选：BD ．8．（2019秋•淮安期末）已知函数2()43f x x x =−+，则()0f x …的充分不必要条件是( ) A ．[1，3]B ．{1，3}C ．(−∞，1][3 ，)+∞D ．(3,4)【分析】由()0f x …，得2430x x −+…，解得3x …或1x …．由此能求出()0f x …的充分不必要条件． 【解答】解：函数2()43f x x x =−+，由()0f x …，得2430x x −+…， 解得3x …或1x …．()0f x ∴…的充分不必要条件是{1，3}和(3,4)， 故选：BD ．9．（2019秋•镇江期末）使不等式110x+>成立的一个充分不必要条件是( ) A ．2x > B ．0x …C ．1x <−或1x >D ．10x −<<【分析】不等式110x+>，即10x x +>，(1)0x x +>，解得x 范围，即可判断出结论． 【解答】解：不等式110x +>，即10x x+>，(1)0x x ∴+>，解得0x >，或1x <−． 使不等式110x+>成立的一个充分不必要条件是：2x >．及1x <−，或1x >． 故选：AC ．10．（2019秋•连云港期末）已知p ，q 都是r 的充分条件，s 是r 的必要条件，q 是s 的必要条件，则( ) A ．p 是q 的既不充分也不必要条件 B ．p 是s 的充分条件 C ．r 是q 的必要不充分条件 D ．s 是q 的充要条件【分析】由已知可得p r s q ⇒⇒⇒；q r s ⇒⇒，然后逐一分析四个选项得答案． 【解答】解：由已知得：p r s q ⇒⇒⇒；q r s ⇒⇒．p ∴是q 的充分条件；p 是s 的充分条件；r 是q 的充要条件；s 是q 的充要条件．∴正确的是B 、D ．故选：BD ．11．（2019秋•苏州期末）已知集合{|2}A x ax =…，{2B =，若B A ⊆，则实数a 的值可能是( ) A ．1−B ．1C ．2−D ．2【分析】通过集合的包含关系，判断元素的关系，通过选项的代入判断是否成立．【解答】解：因为集合{|2}A x ax =…，{2B =，B A ⊆， 若1a =−，[2A −，)+∞，符合题意，A 对； 若1a =，(A −∞，2]，符合题意，B 对； 若2a =−，[1A −，)+∞，符合题意，C 对；若1a =，(A −∞，1]，不符合题意，D 错； 故选：ABC ．12．（2019秋•济宁期末）下列命题中的真命题是( ) A ．x R ∀∈，120x −> B ．*x N ∀∈，2(1)0x −> C ．x R ∃∈，1lgx <D ．x R ∃∈，tan 2x =【分析】根据指数函数的值域，得到A 项正确；根据一个自然数的平方大于或等于0，得到B 项不正确；根据对数的定义与运算，得到C 项正确；根据正弦函数tan y x =的值域，得D 项正确．由此可得本题的答案．【解答】解： 指数函数2t y =的值域为(0,)+∞∴任意x R ∈，均可得到120x −>成立，故A 项正确；当*x N ∈时，1x N −∈，可得2(1)0x −…，当且仅当1x =时等号 ∴存在*x N ∈，使2(1)0x −>不成立，故B 项不正确；当1x =时，01lgx =<∴存在x R ∈，使得1lgx <成立，故C 项正确；正切函数tan y x =的值域为R∴存在锐角x ，使得tan 2x =成立，故D 项正确 故选：ACD ．13．（2019秋•薛城区校级月考）已知集合{|1}A x ax ==，{0B =，1，2}，若A B ⊆，则实数a 可以为( ) A ．12B ．1C ．0D ．以上选项都不对【分析】由子集定义得A =∅或{1}A =或{2}A =，从而1a 不存在，11a=，12a =，由此能求出实数a ．【解答】解： 集合{|1}A x ax ==，{0B =，1，2}，A B ⊆， A ∴=∅或{1}A =或{2}A =，∴1a 不存在，11a=，12a =，解得1a =，或1a =，或12a =． 故选：ABC ．14．（2019秋•桥西区校级月考）设集合2{|0}A x x x =+=，则下列表述不正确的是( ) A ．{0}A ∈B ．1A ∉C ．{1}A −∈D ．0A ∈【分析】求出集合2{|0}{0A x x x =+==，1}−，利用元素与集合的关系能判断正确结果． 【解答】解：集合2{|0}{0A x x x =+==，1}−， 0A ∴∈，1A −∈，{0}A ⊂，{1}A −⊂，1A ∉． AC ∴选项均不正确，BD 选项正确．故选：AC ．15．（2019秋•葫芦岛月考）已知集合2{|20}Ax x x =−=，则有( ) A ．A ∅⊆B ．2A −∈C ．{0，2}A ⊆D ．{|3}A y y ⊆<【分析】可以求出集合A ，根据子集的定义及元素与集合的关系即可判断每个选项的正误． 【解答】解：{0A = ，2}，A ∴∅⊆，2A −∉，{0，2}A ⊆，{|3}A y y ⊆<．故选：ACD ．16．（2019秋•临淄区校级月考）设全集U ，则下面四个命题中是“A B ⊆”的充要条件的命题是( ) A ．A B A =B ．U UA B ⊇痧C ．U B A =∅ ðD ．U A B =∅ ð【分析】根据集合的补集，两个集合的交集、并集的定义，再由充要条件的定义判断哪些选项符合条件． 【解答】解：对于选项A ，由A B A = ，可得A B ⊆．由A B ⊆ 可得A B A = ，故选项A ，A B A = 是命题A B ⊆的充要条件，故A 满足条件． 对于选项B ，由S SA B ⊇痧 可得A B ⊆，由A B ⊆ 可得S SA B ⊇痧，故S SA B ⊇痧 是命题A B ⊆的充要条件，故B 满足条件．对于选项C ，由S B A φ= ð，可得A B ⊆，由A B ⊆ 可得S B A φ= ð，故S B A φ= ð 是命题A B ⊆的充要条件，故C 满足条件．对于选项D ，由S A B φ= ð，可得B A ⊆，不能退出A B ⊆，故选项D ，S A B φ= ð不是命题A B ⊆的充要条件，故D 不满足条件． 故选：ABC ．17．（2019秋•葫芦岛月考）已知集合{||4}A x Z x =∈<，B N ⊆，则( )A ．集合B N N =B ．集合A B 可能是{1，2，3}C ．集合A B 可能是{1−，1}D ．0可能属于B【分析】根据Z ，N 的定义，及集合元素的特点进行逐一判断即可． 【解答】解：因为B N ⊆，所以B N N = ，故A 正确．集合A 中一定包含元素1，2，3，集合B N ⊆，1，2，3都属于集合N ，所以集合A B 可能是{1，2，3}正确．1−不是自然数，故C 错误．0是最小的自然数，故D 正确． 故选：ABD ．18．（2019秋•市中区校级月考）给出下列关系，其中正确的选项是( ) A ．{{}}∅∈∅B ．{{}}∅∉∅C ．{}∅∈∅D ．{}∅⊆∅【分析】根据元素与集合的关系，集合并集的运算，空集是任何集合的子集即可判断每个选项的正误． 【解答】解：显然∅不是集合{{}}∅的元素，A ∴错误；∅不是集合{{}}∅的元素，∅是{}∅的元素，∅是任何集合的子集，从而得出选项B ，C ，D 都正确．故选：BCD ．19．（2019秋•罗庄区期中）给出下列四个条件：①22xt yt >；②xt yt >；③22x y >；④110x y<<．其中能成为x y >的充分条件的是( ) A ．①B ．②C ．③D ．④【分析】首先分清条件与结论，条件是所选答案，结论是x y >，充分性即为所选答案推出x y >． 【解答】解：①．由22xt yt >可知，20t >，故x y >．故①是．②．由xt yt >可知，0t ≠，当0t <时，有x y <；当0t >时，有x y >．故②不是． ③由22x y >，则||||x y >，推不出x y >，故③不是； ④．由110x y <<．由函数1y x=在区间(0,)+∞上单调递减，可得0x y >>，故④是． 故选：AD ．20．（2019秋•宁阳县校级期中）若220x x −−<是2x a −<<的充分不必要条件，则实数a 的值可以是( ) A ．1B ．2C ．3D ．4【分析】求解一元二次不等式，把若220x x −−<是2x a −<<的充分不必要条件转化为(1−，2)(2−Ü，)a ，由此得到a 的范围，则答案可求．【解答】解：由220x x −−<，解得12x −<<． 又220x x −−<是2x a −<<的充分不必要条件，(1∴−，2)(2−Ü，)a ，则2a …． ∴实数a 的值可以是2，3，4． 故选：BCD ．21．（2019秋•薛城区校级期中）若集合M N ⊆，则下列结论正确的是( ) A ．M N M =B ．M N N =C ．M M N ⊆D ．M N N ⊆【分析】利用子集、并集、交集的定义直接求解． 【解答】解： 集合M N ⊆， ∴在A 中，M N M = ，故A 正确；在B 中，M N N = ，故B 正确； 在C 中，M M N ⊆ ，故C 正确； 在D 中，M N N ⊆ ，故D 正确． 故选：ABCD ．22．（2019秋•凤城市校级月考）下列命题正确的有( ) A ．A ∅=∅ B ．()U UU A B A B = 痧?C ．A B B A =D ．()U U A A =痧【分析】利用集合的交、并、补运算法则直接求解． 【解答】解：在A 中，A A ∅= ，故A 错误； 在B 中，()()()U U U A B A B = 痧?，故B 错误； 在C 中，A B B A = 同，故C 正确； 在D 中，()U U A A =痧，故D 正确． 故选：CD ．23．（2019秋•北镇市校级月考）已知集合{2M −，2334x x +−，24}x x +−，若2M ∈，则满足条件的实数x 可能为( ) A ．2B ．2−C ．3−D ．1【分析】根据集合元素的互异性2M ∈必有22334x x =+−或224x x =+−，解出后根据元素的互异性进行验证即可．【解答】解：由题意得，22334x x =+−或224x x =+−， 若22334x x =+−，即220x x +−=， 2x ∴=−或1x =，检验：当2x =−时，242x x +−=−，与元素互异性矛盾，舍去； 当1x =时，242x x +−=−，与元素互异性矛盾，舍去． 若224x x =+−，即260x x +−=， 2x ∴=或3x =−， 经验证2x =或3x =−为满足条件的实数x ． 故选：AC ．24．已知集合{|32A x x a b ==+，a ，}b Z ∈，{|23B x x a b ==−，a ，}b Z ∈，则( ) A ．A B ⊆B ．B A ⊆C ．A B =D ．A B =∅【分析】利用集合的基本关系可判断集合的关系．【解答】解：已知集合{|32A x x a b ==+，a ，}b Z ∈，{|23B x x a b ==−，a ，}b Z ∈， 若x 属于B ，则：233*(2)2*(2)x a b a b a =−=−+−； 2a b −、2a −均为整数，x 也属于A ，所以B 是A 的子集；若x 属于A ，则：322*(3)3*x a b a b =+=+−（a ）； 3a b +、a 均为整数，x 也属于B ，所以A 是B 的子集；所以：A B =， 故选：ABC ．25．已知集合2{|10}A x x =−=，则下列式子表示正确的有( ) A ．{1}A ∈B ．1A −⊆C ．A ∅⊆D ．{1，1}A −⊆【分析】利用集合与集合基本运算求出A 集合，再由集合与集合的关系，元素与集合的关系判断可得答案， 【解答】解：已知集合2{|10}{1A x x =−==−，1}，由集合与集合的关系，元素与集合的关系判断可得：以上式子表示正确的有：A ∅⊆，{1，1}A −⊆． 故选：CD ．26．已知集合{|13}A x x =−<…，集合{|||2}B x x =…，则下列关系式正确的是( ) A ．A B =∅B ．{|23}A B x x =− 剟C ．{|1R A B x x =− …ð或2}x >D ．{|23}R A B x x =< …ð【分析】求解绝对值不等式化简集合B ，再利用交、并、补集的运算性质逐一分析四个选项得答案． 【解答】解：{|13}A x x =−< …，{|||2}{|22}B x x x x ==−剟?， {|13}{|22}{|12}A B x x x x x x ∴=−<−=−< 剟剟，故A 不正确； {|13}{|22}{|23}A B x x x x x x =−<−=− 剟剟?，故B 正确； {|2R Bx x =<− ð或2}x >， {|13}{|2R A B x x x x ∴=−<<− …ð或2}{|2x x x >=<−或1}x >−，故C 不正确； {|13}{|2R A B x x x x =−<<− …ð或2}{|23}x x x >=<…，故D 正确．∴正确的是B ，D ．故选：BD ．27．下列命题正确的是( )A ．“26x <<”是“24120x x −−<”的必要不充分条件B ．函数()tan 2f x x =的对称中心是(2k π，0)()k Z ∈ C ．“x R ∀∈，3210x x −+…”的否定是“x R ∃∈，3210x x −+>”D ．设常数a 使方程sin x x a +=在闭区间[0，2]π上恰有三个解1x ，2x ，3x 则12373x x x π++=【分析】A 由24120x x −−<，解得26x −<<，可得“26x <<”是“24120x x −−<”的充分不必要条件； B 由tan 20x =，解得2x k π=，即2k x π=，()k Z ∈，即可得出函数()tan 2f x x =的对称中心； C 取1x =−，则32110x x −+=−<，即可判断出；:sin D x x a +=化为sin()32ax π+=，由于常数a 使方程sin x x a +=在闭区间[0，2]π上恰有三个解1x ，2x ，3x ，则2a =，解得即可． 【解答】解：由24120x x −−<，解得26x −<<，因此“26x <<”是“24120x x −−<”的充分不必要条件，A不正确；由tan 20x =，解得2x k π=，即2k x π=，()k Z ∈因此函数()tan 2f x x =的对称中心是(2k π，0)()k Z ∈，B 正确；取1x =−，则32110x x −+=−<，因此“x R ∀∈，3210x x −+>” C 不正确；sin x x a =化为sin()32ax π+=，由于常数a 使方程sin x x a +=在闭区间[0，2]π上恰有三个解1x ，2x ，3x ，则2a=，解得33x ππ+=，3ππ−，23ππ+，12373x x x π∴++=，D 正确． 故选：BD ．28．有限集合S 中元素的个数记做()card S ，设A ，B 都为有限集合，下列命题中真命题是( ) A ．A B =∅ 的充要条件是()card A B card = （A ）card +（B ）B ．A B ⊆的必要条件是card （A ）card …（B ）C ．A B à的充要条件是card （A ）card …（B ）D ．A B =的充要条件是card （A ）card =（B ）【分析】分清集合之间的关系与各集合元素个数之间的关系，注意本题对充要条件的考查．集合的元素个数，体现两个集合的关系，但仅凭借元素个数不能判断集合间的关系，比如第四个句子元素个数相等，元素不一定相同．【解答】解：?A B =∅ 集合A 与集合B 没有公共元素，A 正确A B ⊆集合A 中的元素都是集合B 中的元素，B 正确A B à集合A 中至少有一个元素不是集合B 中的元素，因此A 中元素的个数有可能多于B 中元素的个数，C错误A B =集合A 中的元素与集合B 中的元素完全相同，两个集合的元素个数相同，并不意味着它们的元素相同，D 错误故选：AB ．29．使“a b <”成立的必要不充分条件是“( )”A ．0x ∀>，a b x +…B ．0x ∃…，a x b +<C ．0x ∀…，a b x <+D ．0x ∃>，a x b +… 【分析】根据不等式的关系结合必要不充分条件分别进行判断即可．【解答】解：若a b <，0x ∀>，则a x b x +<+，a a x <+ ，a a xb x ∴<+<+，即a b x <+，则a b x +…不一定成立；故A 错误，若a b <，当2a =，4b =，10x ∃=…，有a x b +<成立，反之不一定成立；故B 满足条件．0x ∀…，由a b <得a x b x +<+， 0x …，a x a ∴+…，即a a x b x +<+…则a b x <+成立，故C 满足条件，若a b <，当2a =，3b =，10x ∃=>，有a x b +…成立，反之不一定成立；故D 满足条件． 故选：BCD ．30．在下列结论中正确的是( )A ．“p q ∧”为真是“p q ∨”为真的充分不必要条件B ．“p q ∧”为假是“p q ∨”为真的充分不必要条件C ．“p q ∧”为真是“p ¬”为假的充分不必要条件D ．“p ¬”为真是“p q ∧”为假的充分不必要条件 【分析】利用复合命题真假的判定方法即可判断出结论．【解答】解：“p q ∧”为真是“p q ∨”为真的充分不必要条件，A 正确； “p q ∧”为假是“p q ∨”为真的充分不必要条件，B 不正确； “p q ∧”为真是“p ¬”为假的充分不必要条件，C 正确；“p ¬”为真，p 为假⇒ “p q ∧”为假，反之不成立，可能q 为假，p 为真，因此“p ¬”为真是“p q ∧”为假的充分不必要条件，D 正确． 故选：ACD ．专题02 函数（1）多项选择题1．（2019秋•清江浦区校级期末）已知函数()f x 是偶函数，且(5)(5)f x f x −=+，若()()sin g x f x x π=，()()cos h x f x x π=，则下列说法正确的是( ) A ．函数()y g x =是偶函数 B ．10是函数()f x 的一个周期C ．对任意的x R ∈，都有(5)(5)g x g x +=−D ．函数()y h x =的图象关于直线5x =对称【分析】根据题意，依次分析选项，综合即可得答案． 【解答】解：根据题意，依次分析选项：对于A ，()()sin g x f x x π=，()()sin ()()sin g x f x x f x x ππ−=−−=−−，又由函数()f x 是偶函数，则()()sin g x f x x π−=−， 即函数()g x 为奇函数，A 错误对于B ，由于()f x 是偶函数，且(5)(5)f x f x −=+，得(5)(5)(5)f x f x f x −=+=−，即(10)()f x f x +=， 则()f x 是周期为10的周期函数，所以(10)(10)cos(10)()cos ()h x f x x f x x h x πππ+=++==， 则()y h x =是的最小正周期为10，故B 正确；对于C ，(5)(5)sin((5))(5)sin(5)(5)(sin )(5)(sin )(5)sin (5)g x f x x f x x f x x f x x f x x g x ππππππ+=++=−+=−−=−−−=−=−，故C 正确；对于D ，(5)(5)cos(55)(5)cos(55)(5)cos(5510)(5)cos(55)(5)h x f x x f x x f x x f x x h x πππππ−=−−=+−=+−+=++=+， 所以函数()y h x =的图象关于直线5x =对称，D 正确； 故选：BCD ．2．（2019秋•胶州市期末）下列函数是偶函数的是( ) A ．()tan f x x =B ．()sin f x x =C ．()cos f x x =D ．()||f x lg x =【分析】根据题意，依次分析选项中函数的奇偶性，综合即可得答案． 【解答】解：根据题意，依次分析选项：对于A ，()tan f x x =，是正切函数，是奇函数，不符合题意； 对于B ，()sin f x x =，是正弦函数，是奇函数，不符合题意； 对于C ，()cos f x x =，是余弦函数，是偶函数，符合题意；对于D ，()||f x lg x =，其定义域为{|0}x x ≠有()||||()f x lg x lg x f x −=−==，是偶函数，符合题意； 故选：CD ．3．（2019秋•菏泽期末）对数函数log (0a y x a >且1)a ≠与二次函数2(1)y a x x =−−在同一坐标系内的图象不可能是( )A ．B ．C ．D ．【分析】对a 分类讨论，利用对数函数的单调性、二次函数的性质即可判断出结论．【解答】解：若1a >，则对数函数log a y x =在(0,)+∞上单调递增，二次函数2(1)y a x x =−−开口向上，对称轴102(1)xa >−，经过原点，可能为A ，不可能为B ．若01a <<，则对数函数log a y x =在(0,)+∞上单调递减，二次函数2(1)y a x x =−−开口向下，对称轴102(1)xa <−，经过原点，可能为C ，不可能为D ．故选：BD ．4．（2019秋•龙岩期末）函数()f x 的定义域为R ，且(1)f x −与(2)f x −都为偶函数，则( ) A ．()f x 为偶函数 B ．(1)f x +为偶函数C ．(2)f x +为奇函数D ．()f x 为同期函数【分析】根据题意，由(1)f x −为偶函数，可得函数()f x 的图象关于直线1x =−对称，则有()(2)f x f x −−，由(2)f x −都为偶函数，可得函数()f x 的图象关于直线2x =−对称，则有()(4)f x f x −−，联立分析可得(2)()f x f x +=，即函数()f x 是周期为2的周期函数，据此分析可得()f x 和(1)f x +为偶函数，综合即可得答案．【解答】解：根据题意，若(1)f x −为偶函数，即函数()f x 的图象关于直线1x =−对称，则有()(2)f x f x −−， 若(2)f x −都为偶函数，即函数()f x 的图象关于直线2x =−对称，则有()(4)f x f x −−，则有(2)(4)f x f x −−−−，变形可得(2)()f x f x +=，即函数()f x 是周期为2的周期函数，则D 正确； 又由函数()f x 的图象关于直线2x =−对称且()f x 的周期为2，则()f x 的图象也关于y 轴对称，即()f x 为偶函数，A 正确；又由函数()f x 的图象关于直线1x =−对称且()f x 的周期为2，则()f x 的图象也关于直线1x =对称，即(1)f x +为偶函数，B 正确； 同理：(2)f x +为偶函数，C 错误； 故选：ABD ．5．（2019秋•启东市期末）下列函数中，既是偶函数，又在区间(,0)−∞上单调递减的函数是( ) A．y =B ．||1()2x y =C ．121log ||y x = D ．sin y x =【分析】结合奇偶性及单调性的定义，再结合指数与对数函数，幂函数及余弦函数的性质即可判断．【解答】解；结合幂函数的性质可知y =(,0)−∞上单调递减，符合题意； 结合指数函数的性质可知，||1()2x y =在(,0)−∞上单调递增，不符合题意；结合对数函数的性质可知，121log (,0)||y x −∞上单调递减且为偶函数，符合题意；结合正弦函数的性质可知sin y x =为奇函数，不符合题意． 故选：AC ．6．（2019秋•淮安期末）下列函数中定义域是R 的有( ) A ．2x y =B ．y lgx =C ．3y x =D ．tan y x =【分析】根据常见的基本初等函数的定义域，判断是否满足题意即可． 【解答】解：对于A ，函数2x y =，定义域为R ，满足题意； 对于B ，函数y lgx =，定义域为(0,)+∞，不满足题意； 对于C ，函数3y x =，定义域为R ，满足题意； 对于D ，函数tan y x =，定义域为(2k ππ−+，)2k ππ+，k Z ∈，不满足题意．故选：AC ．7．（2019秋•泰州期末）德国数学家狄里克雷(Dirichlet ，PeterGustavLejeune ，1805~1859)在1837年时提出：“如果对于x 的每一个值，y 总有一个完全确定的值与之对应，那么y 是x 的函数．”这个定义较清楚地说明了函数的内涵．只要有一个法则，使得取值范围中的每一个x ，有一个确定的y 和它对应就行了，不管这个法则是用公式还是用图象、表格等形式表示，例如狄里克雷函数()D x ，即：当自变量取有理数时，函数值为1；当自变量取无理数时，函数值为0．下列关于狄里克雷函数()D x 的性质表述正确的是( )A ．()0D π=B ．()D x 的值域为{0，1}C ．()D x 的图象关于直线1x =对称D ．()D x 的图象关于直线2x =对称【分析】结合已知定义可写出函数解析式，然后结合函数的性质即可判断． 【解答】解：由题意可得()0,1,x D x x Q =∈为无理数， 由于π为无理数，则()0D π=，故A 正确；结合函数的定义及分段函数的性质可知，函数的值域{0，1}，故B 正确；结合函数可知，当x Q ∈时，()1D x =关于1x =，2x =都对称，当x 为无理数时，()0D x =关于1x =，2x =都对称． 故选：ABCD ．8．（2019秋•连云港期末）下列函数中，既是奇函数，又在区间[1−，1]上单调递增的是( ) A ．()2f x x =B ．()2x f x =C ．()tan f x x =D ．()cos f x x =【分析】结合基本初等函数的奇偶性及单调性的定义及性质对各选项进行判断． 【解答】解：结合指数函数的性质可知，2x y =为非奇非偶函数，A 不符合题意； cos y x =为偶函数，不符合题；2y x =为奇函数且在[1−，1]上单调递增，符合题意；结合正切函数的性质可知，tan y x =为奇函数且在[1−，1]上单调递增． 故选：AC ．9．（2019秋•三明期末）下列各选项给出的两个函数中，表示相同函数的有( )A ．()f x x =与()g x =B ．()|1|f t t =−与()|1|g x x =−C ．()f x x =与2()log 2xg x =D ．21()1x f x x −=+与()1g x x =−【分析】根据两个函数的定义域相同，对应关系也相同，即可判断是相同函数．【解答】解：对于A ，函数()f x x =与()||g x x =的解析式不同，表示相同函数；对于B ，函数()|1|f t t =−的定义域为R ，()|1|g x x =−的定义域为R ，定义域相同，对应关系也相同，是相同函数；对于C ，函数()f x x =的定义域为R ，2()log 2g x =x x =的定义域为R ，定义域相同，对应关系也相同，是相同函数；对于D ，函数21()11x f x x x −==−+的定义域为(−∞，1)(1−−∪，)+∞，()1g x x =−的定义域为R ，定义域不同，不是相同函数． 故选：BC ．10．（2019秋•宿迁期末）已知2(21)4f x x −=，则下列结论正确的是( ) A ．f （3）9=B ．(3)4f −=C ．2()f x x =D ．2()(1)f x x =+【分析】利用配凑法求出函数解析式，进而得解．【解答】解：2(21)(21)2(21)1f x x x −=−+−+，故2()21f x x x =++，故选项C 错误，选项D 正确；f （3）16=，(3)4f −=，故选项A 错误，选项B 正确． 故选：BD ．11．（2019秋•泉州期末）已知1(A x ，)m 和2(B x ，)m 为函数()2sin3xf x =的图象上两点，若21||x x k π−=，{1k ∈，2，3，4，5}，则m 的值可能为( )A ．0B ．1CD 【分析】由已知可得()f x 的周期为6π，再分k 的不同取值即可求出结论． 【解答】解：由已知可得()f x 的周期为6π， 当3k =时，如下图所示，此时0m =当2k =或4k =时，如下图所示，结合对称性，此时1m =±当1k =或5k =时，如下图所示，结合对称性，此时m =综上，本题答案为ABD 故选：ABD ．12．（2019秋•清远期末）已知定义在R 上的函数()f x 满足：()()0f x f x +−=，且当0x …时，()1x f x e x =+−．若(sin )((2sin ))f x f k x +…在x R ∈上恒成立，则k 的可能取值为( )A ．1B ．0C ．1−D ．2−【分析】先判断函数的奇偶性和单调性，得到sin (2sin )x k x +…，再根据题意，利用检验法判断即可． 【解答】解：定义在R 上的函数()f x 满足：()()0f x f x +−=，()f x 为奇函数， 当0x …时，()1x f x e x =+−，显然()f x 在(0,)+∞递增，所以()f x 在R 上递增，(sin )((2sin ))f x f k x +…在x R ∈上恒成立， 可得sin (2sin )x k x +…，(1)sin 2k x k −…，当1k =时，02…，不成立，故A 错误；当0k =时，sin 0x …成立，不恒成立，故B 错误；当1k =−时，2sin 2x −…，即sin 1x −…，恒成立，故C 正确； 当2k =−时，3sin 4x −…，即4sin 3x −…恒成立，故D 正确； 故选：CD ．13．（2019秋•海南期末）已知函数2()361f x x x =−−，则( ) A ．函数()f x 有两个不同的零点 B ．函数()f x 在(1,)−+∞上单调递增C ．当1a >时，若()x f a 在[1x ∈−，1]上的最大值为8，则3a =D ．当01a <<时，若()x f a 在[1x ∈−，1]上的最大值为8，则13a =【分析】结合二次函数的零点及单调性及复合函数的单调性与最值的关系分别检验各选项即可判断． 【解答】解：因为二次函数对应的一元二次方程的判别式△2(6)43(1)480=−−××−=>， 所以函数()f x 有两个不同的零点，A 正确；因为二次函数()f x 图象的对称轴为1x =，且图象开口向上， 所以()f x 在(1,)+∞上单调递增，B 不正确； 令x t a =，则22()()3613(1)4x f a g t t t t ==−−=−−． 当1a >时，1t a a 剟，故()g t 在1[,]a a 上先减后增，又112a a +>，故最大值为g （a ）23618a a =−−=，解得3a =（负值舍去）． 同理当01a <<时，1a t a 剟，()g t 在1[,]a a 上的最大值为2136()18g a a a=−−=， 解得13a =（负值舍去）．故选：ACD ．14．（2019秋•滨州期末）已知函数2()23f x x x =−−，则下列结论正确的是( ) A ．函数()f x 的最小值为4− B ．函数()f x 在(0,)+∞上单调递增C ．函数(||)f x 为偶函数D ．若方程(|1|)f x a −=在R 上有4个不等实根1x ，2x ，3x ，4x ，则12344x x x x +++=【分析】由二次函数的性质，可判断选项A ，B 真假，根据奇偶性定义，可判断选项C 真假，作出()y h x =的图象，结合对称性，可判断选项D 真假．【解答】解：二次函数()f x 在对称轴1x =处取得最小值，且最小值f （1）4=−，故选项A 正确；二次函数()f x 的对称轴为1x =，其在(0,)+∞上有增有减，故选项B 错误；由()f x 得，2(||)||2||3f x x x =−−，显然(||)f x 为偶函数，故选项C 正确； 令2()(|1|)|1|2|1|3h x f x x x =−=−−−−，方程(|1|)f x a −=的零点转化为()y h x =与y a = 的交点， 作出()h x 图象如右图所示：图象关于1x = 对称，当()y h x = 与y a = 有四个交点时， 两两分别关于1x =对称，所以12344x x x x +++=， 故选项D 正确． 故选：ACD ．15．（2019秋•费县期末）已知函数()x x f x e e −=−，()x x g x e e −=+，则以下结论错误的是( ) A ．任意的1x ，2x R ∈且12x x ≠，都有1212()()0f x f x x x −<−B ．任意的1x ，2x R ∈且12x x ≠，都有1212()()0g x g x x x −<−C ．()f x 有最小值，无最大值D ．()g x 有最小值，无最大值【分析】由函数()f x 及函数()g x 的性质直接判断即可． 【解答】解：1()x xf x e e =−在R 上单调递增，无最值，故选项AC 错误； 1()x xg x e e =+为偶函数，易知其在(,0)−∞为减函数，在(0,)+∞为增函数，且在1x =处取得最小值，无最大值，故选项B 错误； 故选：ABC ．16．（2019秋•枣庄期末）具有性质：1()()f f x x=−的函数，我们称为满足“倒负”变换的T函数．下列函数中T 函数有( )A ．1y x x=−B ．1y x x=+C ．,010,11,1x x y x x x<<== −> D ．1(0)1xy lnx x−≠+ 【分析】根据题意，逐项判断即可．【解答】解：由1()()f f x x=−可知，若函数()f x 在1x =处有意义，则f （1）0=，故排除B ；对于A ，11()()f x f x x x=−=−，符合题意，故A 正确；对于C ，当01x <<时，11x>，则1()()f x f x x =−=−，符合题意； 当1x >时，101x <<，则11()()f f x x x==−，符合题意； 当1x =时，f （1）0=符合题意，故C 正确；对于D ，函数的定义域为(1−，0)(0∪，1)，1111()()111x x f ln ln f x x x x −−==≠−++，故D 错误． 故选：AC ．17．（2019秋•泰安期末）已知集合{(M x =，)|()}y y f x =，若对于任意实数对1(x ，1)y M ∈，存在2(x ，2)y M ∈，使12120x x y y +=成立，则称集合M 是“垂直对点集”；下列四个集合中，是“垂直对点集”的是( ) A ．21(,)|M x y y x==B ．{(,)|sin 1}M x y y x ==+C ．{(,)|22}x M x y y ==− D ．2{(,)|log }M x y y x ==【分析】由题意可得：集合M 是“垂直对点集”，即满足：曲线()y f x =上过任意一点1(A x ，1)y 与原点的直线，曲线()y f x =上都存在过点2(B x ，2)y 与原点的直线与之垂直，根据题意，对四个选项逐一分析即可得到答案．【解答】解：由题意可得：集合M 是“垂直对点集”，即满足：曲线()y f x =上过任意一点与原点的直线，都存在过另一点与原点的直线与之垂直． 对于A ，21{(,)|}M x y yx ==，其图象向左向右和x 轴无限接近，向上和y 轴无限接近，如图，在图象上任取一点1(A x ，1)y ，连OA ，过原点作OA 的垂线OB 必与21y x =的图象相交， 即一定存在点2(B x ，2)y ，使得OB OA ⊥成立， 故21{(,)|}M x y yx ==是“垂直对点集”，故A 正确． 对于B ，{(,)|sin 1}M x y y x ==+，在图象上任取一点A ，连OA ，过原点作直线OA 的垂线OB ，因为sin 1y x =+的图象沿x 轴向左向右无限延展，且与x 轴相切， 因此直线OB 总会与sin 1y x =+的图象相交．所以{(,)|sin 1}M x y y x ==+是“垂直对点集”，故B 正确； 对于C ，{(,)|22}x Mx y y ==−，其图象过点(0,1)−，且向右向上无限延展，向左向下无限延展， 据指数函数的图象和性质可知，在图象上任取一点A ，连OA ，过原点作OA 的垂线OB 必与22x y =−的图象相交， 即一定存在点B ，使得OB OA ⊥成立，故{(,)|22}x M x y y ==−是“垂直对点集”，故C 正确． 对于D ，2{(,)|log }M x y y x ==，(0)x >，取(1,0)，则不存在点2(x ，222log )(0)x x >，满足2100x ×+=， 因此集合M 不是“垂直对点集”，故D 不正确； 故选：ABC ．18．（2019秋•菏泽期末）下列函数中是偶函数，且在(0,)+∞上为增函数的有( ) A ．cos y x =B ．2y x =C ．3y x =D ．2log ||y x =【分析】根据函数的图象和性质判断即可．【解答】解：其中A ，B ，D 函数是偶函数，排除C ，B ，D 且在(0,)+∞上为增函数，对于D 根据翻折变换图象如下：故选：BD ．19．（2019秋•葫芦岛期末）已知函数3()2bx f x ax +=+在区间(2,)−∞上单调递增，则a ，b 的取值可以是（ ） A ．1a =，32b >B ．01a <…，2b =C ．1a =−，2b =D ．12a =，1b = 【分析】根据题意，将函数的解析式变形可得23()2bb a f x ax a−=++，结合反比例函数的性质以及函数图象平移的规律可得22a −− (230)a−<，分析可得a 、b 的关系，据此分析选项可得答案．【解答】解：根据题意，函数22(2)333()222b b bax bx b a a a f x ax ax ax a ++−−+===++++，其定义域为2{|}x x a≠−， 若函数3()2bx f x ax +=+在区间(2,)−∞上单调递增， 必有22a −−…且230b a−<，即01a <…且23ba<， 据此分析选项：A 、B 、D 符合； 故选：ABD ．。

专题一 集合与常用逻辑用语狂刷02 常用逻辑用语1．命题p ：20,2x x x ∀<≥，则命题p ⌝为A ．02000,2xx x ∃<≥ B ．02000,2xx x ∃≥< C ．02000,2x x x ∃<<D ．02000,2xx x ∃≥≥【答案】C【解析】命题p ⌝为:02000,2xx x ∃<<，故选C. 【名师点睛】(1)对全称(存在性)命题进行否定的两步操作：①找到命题所含的量词，没有量词的要结合命题的含义加上量词，再进行否定；②对原命题的结论进行否定.(2)判定全称命题“,()x M p x ∀∈”是真命题，需要对集合M 中的每个元素x ，证明()p x 成立；要判定一个全称命题是假命题，只要举出集合M 中的一个特殊值0x ，使0()p x 不成立即可.要判断存在性命题是真命题，只要在限定集合内至少能找到一个0x x =，使0()p x 成立即可，否则就是假命题. 2．命题“n ∀∈N ，()f n ∉N 且()f n n ≤”的否定形式是 A ．n ∀∈N ，()f n ∈N 且()f n n > B ．0n ∃∈N ，()0f n ∈N 且()00f n n > C ．n ∀∈N ，()f n ∈N 或()f n n > D ．0n ∃∈N ，()0f n ∈N 或()00f n n >【答案】D【解析】含全称量词的命题否定：全称量词改为存在量词，并且否定结论，所以选D. 3．设x ∈R ，则“()()120x x +->”是“1x ”的 A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】由()()120x x +->得x >2或x <−1， 由1x 得x ≥1或x ≤−1，∴“()()120x x +->”是“1x ”的充分而不必要条件． 故选A.【名师点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，准确求解不等式的解集是关键，比较基础．先解不等式，利用充分条件和必要条件的定义进行判断．4．设命题p:函数y =sin2x 的最小正周期为π；命题q:函数y =cosx 的图象关于直线x =π2对称，则下列结论正确的是 A ．p 为假 B ．¬q 为假 C ．p ∨q 为假 D ．p ∧q 为假【答案】D【解析】由于函数y =sin2x 的最小正周期为π，故命题p 是真命题；函数y =cos x 的图象关于直线x =k π对称，k ∈Z ，故q 是假命题，¬q 为真命题． 结合复合命题的判断规则知：p ∧q 为假命题，p ∨q 为真命题． 故选D ．【名师点睛】本题考查复合命题的真假判断，解题的关键是正确判断所涉及命题的真假及熟练掌握复合命题的真假判断规则，本题属于高考常考题型也是对命题考查的常规题型，属于基础题． 5．已知命题p ：,30;x x ∀∈>R 命题q ：020,log 0.x x ∃∈<R 则下列命题为真命题的是 A ．p q ∧ B ．()()p q ⌝∨⌝ C ．()p q ⌝∧D ．()p q ∧⌝【答案】A【解析】对于命题p ，由指数函数的值域可知，,30xx ∀∈>R 成立，故命题p 为真命题；对于命题q ，当001x <<时，20log 0x <，故020,log 0x x ∃∈<R 成立，故命题q 为真命题. 故命题p q ∧为真命题，()()p q ⌝∨⌝为假命题，()p q ⌝∧为假命题，()p q ∧⌝为假命题. 故选A.【名师点睛】本题考查真假命题的概念，以及真值表的应用，解题的关键是判断出命题p ，q 的真假，属于基础题.求解时，利用指数函数的性质可得命题p 的真假，由对数函数的性质，可知命题q 的真假，再根据复合命题的真值表即可得到答案.6．命题“2230ax ax -+>恒成立”是假命题，则实数a 的取值范围是 A ．0<<3aB ．0a <或3a ≥C ．0a <或3a >D ．0a ≤或3a ≥【答案】B【解析】命题“2230ax ax -+>恒成立”是假命题，即“存在x ，使得2230ax ax -+≤成立”. ①当0a =时，2230ax ax -+≤不成立；②当0a >时，必须满足24120a a ∆=-≥，解得3a ≥；③当0a <时，一定存在x ，使得2230ax ax -+≤成立，故0a <满足题意. 故选B.7．已知直线m 、n 和平面α，在下列给定的四个结论中，m ∥n 的一个必要但不充分条件是 A ．m ∥α，n ∥α B ．m ⊥α，n ⊥αC ．m ∥α，n ⊂αD ．m 、n 与α所成的角相等【答案】D【解析】由m ∥n ⇒m ，n 与α所成的角相等， 反之，m ，n 与α所成的角相等不一定推出m ∥n . 故选D.8．下列命题为真命题的是A ．0x ∃∈R ，使得20020x x -+=B ．命题“x ∀∈R ，210x x ++>”的否定是“0x ∃∈R ，20010x x ++=”C ．θ∀∈R ，函数()()sin 2f x x θ=+都不是偶函数D ．在ABC △中，“A B =”是“sin sin A B =”的充要条件 【答案】D【解析】逐一考查所给选项：∀0x ∈R ，使得20020x x -+>，选项A 错误；命题“x ∀∈R ，210x x ++>”的否定是“0x ∃∈R ，20010x x ++≤”，选项B 错误；时，函数()()sin 2f x x θ=+是偶函数，选项C 错误； 在ABC △中，“A B =”是“sin sin A B =”的充要条件，选项D 正确. 本题选择D.9．“三角形的外角至少有两个钝角”的否定是________． 【答案】存在一个三角形，其外角最多有一个钝角【解析】因为全称命题的否定是特称命题，所以“三角形的外角至少有两个钝角”的否定是“存在一个三角形，其外角最多有一个钝角”,故答案为：存在一个三角形，其外角最多有一个钝角. 10．已知集合1{|0}1x A x x -=<+，B ={x |(x −b )2<a }，若“a =1”是“A B ≠∅”的充分条件，则实数b 的取值范围是________． 【答案】(−2,2) 【解析】由1{|0}1x A x x -=<+＝{x |(x −1)·(x ＋1)<0}＝{x |−1<x <1}，当a =1时，B ＝{x |(x −b )2<1}={x |b −1<x <b ＋1}，此时，A B ≠∅，所以1111b b +>-⎧⎨-<⎩，解得−2<b <2.11．命题“若a ，b 都是奇数，则a b +是偶数”的逆否命题是A ．若两个整数a 与b 的和a b +是偶数，则a ，b 都是奇数B ．若两个整数a ，b 不都是奇数，则a b +不是偶数C ．若两个整数a 与b 的和a b +不是偶数，则a ，b 都不是奇数D ．若两个整数a 与b 的和a b +不是偶数，则a ，b 不都是奇数 【答案】D【解析】由逆否命题定义可知：命题“a ，b 都是奇数，则a b +是偶数”的逆否命题是：“若a b +不是偶数，则a ，b 不都是奇数”． 故选D.【名师点睛】本题主要考查逆否命题，熟记四种命题间的关系即可，属于基础题型.根据逆否命题的概念，即可写出结果.12．设p ：f (x )=x 3−2x 2−mx ＋1在(−∞，＋∞)上单调递增；q ：m <43-，则p 是q 的 A ．充要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件 D ．以上都不对【答案】C【解析】由题意知，f ′(x )≥0在(−∞，＋∞)上恒成立，即3x 2−4x −m ≥0在(−∞，＋∞)上恒成立，∴m ≤3x 2−4x在(−∞，＋∞)上恒成立．由于3x 2−4x =22443()333x --≥-，∴m ≤43-，即p ：m ≤43-. 又q ：m <43-，∴p /⇒q ，但q ⇒p ， 故p 是q 的必要不充分条件.故选C.13．设2:2310p x x -+≤，2:(21)(1)0q x a x a a -+++≤，若p ⌝是q ⌝的必要不充分条件，则实数a 的取值范围是 A ．10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．(]1,0,2⎡⎫-∞+∞⎪⎢⎣⎭D ．1(,0),2⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭【答案】A【解析】由题意可得：p 对应集合112A xx ⎧⎫=≤≤⎨⎬⎩⎭， q 对应集合{}|1B x a x a =+≤≤，∵p ⌝是q ⌝的必要不充分条件， ∴p 是q 的充分不必要条件， ∴A ⊂≠B ， ∴11a +≥且12a ≤， ∴102a ≤≤．故选A.【名师点睛】本题主要考查由必要不充分条件求参数的问题，熟记充分条件与必要条件概念，以及集合间的关系即可，属于常考题型.求解本题时，先由题意分别得到,p q 对应的集合A 与集合B ，再由p ⌝是q ⌝的必要不充分条件，得到A ⊂≠B ，进而可求出结果.14．已知直线1x =过椭圆22214x y b +=的焦点，则直线y =kx ＋2与椭圆至多有一个交点的充要条件是A ．k ∈11[,]22-B ．k ∈11(,][,)22-∞-+∞C ．k ∈[,22-D ．k ∈2(,[,)22-∞-+∞ 【答案】A【解析】由直线x =1过椭圆22214x y b +=的焦点，得b 2=4－1=3，则椭圆的方程为22143x y +=.将y =kx＋2代入到椭圆的方程，得(3＋4k 2)x 2＋16kx ＋4=0，由Δ=(16k )2－16(3＋4k 2)≤0⇒12-≤k ≤12，故选A ． 15．已知a ∈R ，命题p ：[]1,2x ∀∈，20x a -≥，命题q ：x ∃∈R ，2220x ax a ++-=，若命题p q∧为真命题，则实数a 的取值范围是_____． 【答案】2a ≤-或1a =【解析】若命题p ：“[]1,2x ∀∈，20x a -≥”为真， 则10a -≥，解得：1a ≤，若命题q ：“x ∃∈R ，2220x ax a ++-=”为真， 则()24420a a ∆=--≥，解得：2a ≤-或1a ≥，若命题“p q ∧”是真命题，则2a ≤-，或1a =， 故答案为：2a ≤-或1a =.【名师点睛】求解本题时，根据不等式恒成立化简命题p 为1a ≤，根据一元二次方程有解化简命题q 为2a ≤-或1a ≥，再根据且命题的性质可得结果.解答非命题、且命题与或命题真假有关的题型时，应注意：（1）原命题与其非命题真假相反； （2）或命题“一真则真”； （3）且命题“一假则假”.16．已知c >0，且c ≠1，设p ：函数y =c x 在R 上单调递减；q ：函数f (x )=x 2−2cx ＋1在1(,)2+∞上为增函数，若“p 且q ”为假，“p 或q ”为真，则实数c 的取值范围为 ． 【答案】1(,1)2【解析】因为函数y =c x 在R 上单调递减，所以0<c <1，即p ：0<c <1.因为c >0且c ≠1，所以⌝p ：c >1.又因为f (x )＝x 2−2cx ＋1在1(,)2+∞上为增函数，所以c ≤12，即q ：0<c ≤12.因为c >0且c ≠1，所以⌝q ：c >12，且c ≠1. 又因为“p 或q ”为真，“p 且q ”为假，所以p 真q 假或p 假q 真． ①当p 真，q 假时，1{|01}{|2c c c c <<>且11}{|1}2c c c ≠=<>. ②当p 假，q 真时，1{|1}{|0}2c c c c ><≤=∅.综上所述，实数c 的取值范围是1(,1)2.17．【2019年高考浙江】若a >0，b >0，则“a +b ≤4”是 “ab ≤4”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】当0, 0a >b >时，a b +≥，则当4a b +≤时，有4a b +≤，解得4ab ≤，充分性成立；当=1, =4a b 时，满足4ab ≤，但此时=5>4a+b ，必要性不成立， 综上所述，“4a b +≤”是“4ab ≤”的充分不必要条件. 故选A.【名师点睛】易出现的错误：一是基本不等式掌握不熟练，导致判断失误；二是不能灵活地应用“赋值法”，通过取,a b 的特殊值，从假设情况下推出合理结果或矛盾结果. 18．【2019年高考天津理数】设x ∈R ，则“250x x -<”是“|1|1x -<”的A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】由250x x -<可得05x <<，由|1|1x -<可得02x <<， 易知由05x <<推不出02x <<，由02x <<能推出05x <<，故05x <<是02x <<的必要而不充分条件， 即“250x x -<”是“|1|1x -<”的必要而不充分条件. 故选B.【名师点睛】本题考查充分必要条件，解题的关键是由所给的不等式得到x 的取值范围. 19．【2019年高考全国Ⅱ卷理数】设α，β为两个平面，则α∥β的充要条件是A ．α内有无数条直线与β平行B ．α内有两条相交直线与β平行C ．α，β平行于同一条直线D ．α，β垂直于同一平面 【答案】B【解析】由面面平行的判定定理知：α内有两条相交直线都与β平行是αβ∥的充分条件； 由面面平行的性质定理知，若αβ∥，则α内任意一条直线都与β平行，所以α内有两条相交直线都与β平行是αβ∥的必要条件.故α∥β的充要条件是α内有两条相交直线与β平行. 故选B ．【名师点睛】面面平行的判定问题要紧扣面面平行的判定定理，最容易犯的错误为定理记不住，凭主观臆断.20．【2019年高考北京理数】设点A ，B ，C 不共线，则“AB 与AC 的夹角为锐角”是“||||AB AC BC +>”的A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】∵A ､B ､C 三点不共线，∴|AB +AC |>|BC |⇔|AB +AC |>|AC -AB |⇔|AB +AC |2>|AC -AB |2AB ⇔·AC >0AB ⇔与AC 的夹角为锐角，故“AB 与AC 的夹角为锐角”是“|AB +AC |>|BC |”的充分必要条件. 故选C.【名师点睛】本题考查充要条件的概念与判断､平面向量的模､夹角与数量积，同时考查了转化与化归的数学思想.21．【2018年高考浙江】已知平面α，直线m ，n 满足m ⊄α，n ⊂α，则“m ∥n ”是“m ∥α”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】因为m ⊄α,n ⊂α,m//n ，所以根据线面平行的判定定理得m//α. 由m//α不能得出m 与α内任一直线平行， 所以m//n 是m//α的充分不必要条件. 故选A.【名师点睛】充分、必要条件的三种判断方法：（1）定义法：直接判断“若p 则q ”、“若q 则p ”的真假．并注意和图示相结合，例如“p⇒q ”为真，则p 是q 的充分条件．（2）等价法：利用p⇒q 与非q⇒非p ，q⇒p 与非p⇒非q ，p⇔q 与非q⇔非p 的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法．（3）集合法：若A⊆B ，则A 是B 的充分条件或B 是A 的必要条件；若A ＝B ，则A 是B 的充要条件． 22．【2018年高考天津理数】设x ∈R ，则“11||22x -<”是“31x <”的 A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】绝对值不等式|x −12|<12 ⇔ −12<x −12<12 ⇔ 0<x <1， 由x 3<1 ⇔ x <1.据此可知|x −12|<12是x 3<1的充分而不必要条件. 故选A.【名师点睛】本题主要考查绝对值不等式的解法、充分不必要条件的判断等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.23．【2018年高考北京理数】设a ，b 均为单位向量，则“33-=+a b a b ”是“a ⊥b ”的A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】2222223333699+6-=+⇔-=+⇔-⋅+=⋅+a b a b a b a b a a b b a a b b ， 因为a ，b 均为单位向量，所以2222699+60=-⋅+=⋅+⇔⋅⇔a a b b a a b b a b ⊥a b ， 即“33-=+a b a b ”是“a ⊥b ”的充分必要条件. 故选C.【名师点睛】充分、必要条件的三种判断方法：1．定义法：直接判断“若p 则q ”、“若q 则p ”的真假．并注意和图示相结合，例如“p⇒q ”为真，则p 是q 的充分条件．2．等价法：利用p⇒q 与非q⇒非p ，q⇒p 与非p⇒非q ，p⇔q 与非q⇔非p 的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法．3．集合法：若A⊆B ，则A 是B 的充分条件或B 是A 的必要条件；若A ＝B ，则A 是B 的充要条件． 24．【2017年高考浙江】已知等差数列{a n }的公差为d ，前n 项和为S n ，则“d >0”是“S 4 + S 6>2S 5”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】由46511210212(510)S S S a d a d d +-=+-+=， 可知当0d >时，有46520S S S +->，即4652S S S +>， 反之，若4652S S S +>，则0d >， 所以“d >0”是“S 4 + S 6>2S 5”的充分必要条件. 故选C ．【名师点睛】本题考查等差数列的前n 项和公式，通过套入公式与简单运算，可知4652S S S d +-=， 结合充分必要性的判断，若p q ⇒，则p 是q 的充分条件，若p q ⇐，则p 是q 的必要条件，该题“0d >”⇔“46520S S S +->”，故互为充要条件．25．【2017年高考北京理数】设m ,n 为非零向量，则“存在负数λ，使得λ=m n ”是“0<⋅m n ”的A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】若0λ∃<，使λ=m n ，则两向量,m n 反向，夹角是180︒，11 那么cos1800⋅=︒=-<m n m n m n ；若0⋅<m n ，那么两向量的夹角为(]90,180︒︒，并不一定反向，即不一定存在负数λ，使得λ=m n ，所以“存在负数λ，使得λ=m n ”是“0<⋅m n ”的充分而不必要条件.故选A.【名师点睛】本题考查平面向量的知识及充分必要条件的判断，若p q ⇒，则p 是q 的充分条件，若p q ⇐，则p 是q 的必要条件.26．【2017年高考山东理数】已知命题p ：0,ln(1)0x x ∀>+>；命题q ：若a ＞b ，则22a b >，下列命题为真命题的是A ．p q ∧B ．p q ∧⌝C ．p q ⌝∧D ．p q ⌝∧⌝ 【答案】B【解析】由0x >时11,x +>得ln(1)0x +>，知p 是真命题.由12,->-但22(2)(1)->-可知q 是假命题，则p q ∧⌝是真命题.故选B.【名师点睛】解答有关逻辑联结词的相关问题，首先要明确各命题的真假，利用或、且、非的真值表，进一步作出判断.27．【2018年高考北京理数】能说明“若f （x ）>f （0）对任意的x ∈（0，2］都成立，则f （x ）在［0，2］上是增函数”为假命题的一个函数是__________． 【答案】23()()2f x x =-- （答案不唯一） 【解析】对于23()()2f x x =--，其图象的对称轴为32x =， 则f （x ）>f （0）对任意的x ∈（0，2］都成立，但f （x ）在［0，2］上不是单调函数.【名师点睛】解题本题需掌握充分必要条件和函数的性质，举出反例即可.。

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专题02 常用逻辑用语一、选择题1. 【全称命题与特称命题的否定】【２01６浙江理数】命题“*x n ∀∈∃∈，R N ，使得2n x >"的否定形式是（ )A.*x n ∀∈∃∈，R N ,使得2n x < B ．*x n ∀∈∀∈，R N ,使得2n x < Ｃ．*x n ∃∈∃∈，R N ,使得2n x < D ．*x n ∃∈∀∈，R N ,使得2n x <【答案】Ｄ２． 【充要条件，直线与平面的位置关系】【２016山东理数】已知直线ａ，b 分别在两个不同的平面α,β内。

则“直线a 和直线b 相交"是“平面α和平面β相交"的（ ) A 。

充分不必要条件 ﻩﻩ B 。

必要不充分条件Ｃ.充要条件 ﻩD 。

既不充分也不必要条件【答案】A3. 【充要条件】 【2016天津理数】设｛a n ｝是首项为正数的等比数列,公比为ｑ，则“ｑ〈0”是“对任意的正整数n ，ａ２ｎ−1+ａ2n 〈0"的( )A.充要条件 Ｂ。

充分而不必要条件C 。

必要而不充分条件D 。

既不充分也不必要条件【答案】C4。

【充要条件】【2０1５重庆，理4】“1x >”是“12log (2)0x +<”的（ ）A.充要条件 B 。

充分不必要条件C 。

第2章测评(时间:120分钟满分:150分)一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(2021某某某某高二期末)下列语句能作为命题的是()A.3比5大B.太阳和月亮C.高二年级的学生D.x2+y2=0:能判断真假的陈述句,A正确,B,C不是陈述句,D不能判断真假.故选A.2.下列全称量词命题中是假命题的是()A.每一个末位是0的整数都是5的倍数B.线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等C.对任意负数x,x的平方是正数D.梯形的对角线相等0的整数都是10的倍数,而10是5的倍数,所以A为真命题;根据线段垂直平分线的定义可知B为真命题;负数的平方为正数,故C为真命题;等腰梯形的对角线相等,故D为假命题.故选D.3.(2021某某某某高二期末)命题“∃x>1,x2≥1”的否定是()A.∃x≤1,x2≥1B.∃x≤1,x2<1C.∀x≤1,x2≥1D.∀x>1,x2<1,所以命题“∃x>1,x2≥1”的否定是“∀x>1,x2<1”.故选D.4.(2020某某,2)设a∈R,则“a>1”是“a2>a”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件a>1,则a2>a成立.若a2>a,则a>1或a<0.∴“a>1”是“a2>a”的充分不必要条件.故选A.5.(2021某某松江高一期末)要证明命题“所有实数的平方都是正数”是假命题,只需()A.证明所有实数的平方都不是正数B.证明平方是正数的实数有无限多个C.至少找到一个实数,其平方是正数D.至少找到一个实数,其平方不是正数“所有实数的平方都是正数”是全称量词命题,若其为假命题,那么命题的否定是真命题,所以只需“至少找到一个实数,其平方不是正数”.故选D.6.(2021某某某某高二期末)若命题“∃x ∈[-1,2],-x 2+2≥a ”是假命题,则实数a 的取值X 围是()A.(2,+∞)B.[2,+∞)C.(-2,+∞)D.[-2,+∞)“∃x ∈[-1,2],-x 2+2≥a ”是假命题,则命题“∀x ∈[-1,2],-x 2+2<a ”是真命题,当x=0时,(-x 2+2)max =2,所以a>2.故选A.7.(2021某某凉山彝族自治州高二期末)若条件p :|x-1|≤1,条件q :x ≤a ,p 是q 的充分条件,但不是必要条件,则a 的取值X 围是()A.[2,+∞)B.(-∞,2]C.[-2,+∞)D.(-∞,-2]:|x-1|≤1,解得0≤x ≤2,设A={x|0≤x ≤2},B={x|x ≤a },p 是q 的充分条件,但不是必要条件,则A 是B 的真子集,则a ≥2.故选A.8.(2021某某某某高一期末)“关于x 的不等式x 2-3mx+4≥0的解集为R ”的一个必要不充分条件是()A.-43≤m ≤43B.-2<m ≤43C.-4<m ≤43D.-43≤m<0x 的不等式x 2-3mx+4≥0的解集为R ,可得Δ=(-3m )2-4×4≤0,解得-43≤m ≤43,根据是必要条件,但不是充分条件的概念可知B 项正确.故选B.二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,有选错的得0分,部分选对的得3分.9.(2021某某某某高二期末)对下列命题的否定说法正确的是()A.p :∀x ∈R ,x>0,命题p 的否定:∃x ∈R ,x ≤0B.p :∃x ∈R ,x 2≤-1;命题p 的否定:∃x ∈R ,x 2>-1C.p :任意x<2,x<1;命题p 的否定:存在x<2,x ≥1D.p :∀x ∈R ,使x 2+1≠0;命题p 的否定:∃x ∈R ,x 2+1=0:∀x ∈R ,x>0;命题p 的否定:∃x ∈R ,x ≤0,A 正确;p :∃x ∈R ,x 2≤-1;命题p 的否定:∀x ∈R ,x 2>-1,B 错误;p :任意x<2,x<1;命题p 的否定:存在x<2,x ≥1,C 正确;p :∀x ∈R ,使x 2+1≠0;命题p 的否定:∃x ∈R ,x 2+1=0,D 正确.故选ACD.10.(2020某某某某中学高一期中)设全集为U ,下列选项是B ⊆A 的充要条件的有()A.A ∪B=AB.A ∩B=AC.(∁U A )⊆(∁U B )D.A ∪(∁U B )=UVenn 图所示,选项A 中,若A ∪B=A ,则B ⊆A ;反过来,若B ⊆A ,则A ∪B=A.故互为充要条件.选项C 中,若(∁U A )⊆(∁U B ),则B ⊆A ;反过来,若B ⊆A ,则(∁U A )⊆(∁U B ).故互为充要条件.选项D 中,若A ∪(∁U B )=U ,则(∁U A )⊆(∁U B ),故B ⊆A ;反过来,若B ⊆A ,则(∁U A )⊆(∁U B ),故A ∪(∁U B ).故互为充要条件.选项B 中,如下Venn 图,若A ∩B=A ,则A ⊆B ,推不出B ⊆A.故错误.故选ACD.11.(2020某某日照五莲高一期中)一元二次方程ax 2+4x+3=0(a ≠0)有一个正根和一个负根的充分不必要条件是()A.a<0B.a<-2C.a<-1D.a<1ax 2+4x+3=0(a ≠0)有一个正根和一个负根,则{Δ=16-12a >0,3a <0,解得a<0,则充分不必要条件应为(-∞,0)的真子集,故选BC.12.(2021某某某某高一期末)命题“∀x ∈R ,x 2-ax+1≥0”为真命题的一个必要不充分条件可以是()A.-2≤a ≤2B.a ≥-2C.a ≤2D.-2<a<2“∀x ∈R ,x 2-ax+1≥0”为真命题,可得Δ=(-a )2-4≤0,解得-2≤a ≤2,对于A,-2≤a ≤2是命题为真的充要条件;对于B,由a ≥-2不能推出-2≤a ≤2,反之成立,所以a ≥-2是命题为真的一个必要不充分条件;对于C,a ≤2不能推出-2≤a ≤2,反之成立,所以a ≤2也是命题为真的一个必要不充分条件;对于D,-2<a<2能推出-2≤a ≤2,反之不成立,-2<a<2是命题为真的一个充分不必要条件.故选BC.三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.(2021某某某某高二期末)若命题p :“∀x ∈R ,x 2-2mx+1≥0”,则命题p 的否定是.x ∈R ,x 2-2mx+1<0p :“∀x ∈R ,x 2-2mx+1≥0”,则命题p 的否定为:∃x ∈R ,x 2-2mx+1<0.14.(2021某某某某高二期末)已知p :x<m ,q :-1≤x ≤3,若p 是q 的必要不充分条件,则m 的值可能为(填一个满足条件的值即可).答案不唯一,只需填大于3的数即可)p 是q 的必要不充分条件,∴m>3,故m 的值可能为4.15.(2021某某某某高一期末)若命题“∃x ∈R ,x 2-2x+a ≤0”是假命题,则实数a 的取值X 围是.+∞)“∃x ∈R ,x 2-2x+a ≤0”是假命题,所以∀x ∈R ,x 2-2x+a>0恒成立.所以4-4a<0,解得a>1.16.(2021某某高二期末)设α:x ≤-5或x>1,β:x ≤-2m-3或x ≥-2m+1,m ∈R ,α是β的充分条件,但不是必要条件,则实数m 的取值X 围是.α是β的充分条件,但不是必要条件,∴{-5≤-2m -3,1≥-2m +1,(等号不能同时成立)解得0≤m ≤1. 四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(10分)(2020某某镇雄第四中学高一月考)写出下列命题的否定,并判断其真假:(1)∀x ∈R ,x 2+x+1>0;(2)∃x ∈R ,x 2-x+1=0.∃x ∈R ,x 2+x+1≤0,假命题.(2)∀x ∈R ,x 2-x+1≠0,真命题.18.(12分)(2020某某某某清新凤霞中学高一期中)已知集合A={x|-2≤x ≤3},B={x|x<-1或x>2},C={x|x>a }.(1)求A ∩B 和A ∪B ;(2)若p :x ∈C 是q :x ∈B 的充分条件,求a 的取值X 围.A ∩B={x|-2≤x<-1或2<x ≤3},A ∪B=R .(2)若p :x ∈C 是q :x ∈B 的充分条件,则C ⊆B ,所以a ≥2,a 的取值X 围是[2,+∞).19.(12分)(2020某某彭水第一中学高一期中)已知命题“∃x ∈R ,不等式x 2-2x-m ≤0”是假命题.(1)某某数m 的取值集合A ;(2)若q :-4<m-a<4是集合A 的充分条件,但不是必要条件,某某数a 的取值X 围.因为命题“∃x ∈R ,不等式x 2-2x-m ≤0”是假命题,所以命题的否定“∀x ∈R ,不等式x 2-2x-m>0”是真命题,即Δ=4+4m<0,解得m<-1,故集合A={m|m<-1}.(2)因为-4<m-a<4,即a-4<m<a+4,所以q :a-4<m<a+4.因为q :a-4<m<a+4是集合A 的充分条件,但不是必要条件,令集合B={m|a-4<m<a+4},集合B 是集合A 的真子集,即4+a ≤-1,解得a ≤-5,故实数a 的取值X 围是(-∞,-5].20.(12分)(2021某某泗县第一中学高二开学考试)已知p :实数x 满足a<x<4a (其中a>0),q :实数x 满足2<x<5.(1)若a=1,且p 与q 都为真命题,某某数x 的取值X 围;(2)若p 是q 的必要条件,但不是充分条件,某某数a 的取值X 围.当a=1时,p :实数x 满足1<x<4,q :实数x 满足2<x<5,因为p 与q 都为真命题,所以{1<x <4,2<x <5,解得2<x<4,即x 的取值X 围为(2,4).(2)令A={x|a<x<4a ,a>0},B={x|2<x<5},因为p 是q 的必要条件,但不是充分条件,所以B ⫋A ,所以{a ≤2,4a ≥5,解得54≤a ≤2, 所以实数a 的取值X 围是54,2.21.(12分)(2020某某某某江都大桥高级中学高一月考)已知集合A={x|-2≤x ≤5},B={x|m+1≤x ≤2m-1},(1)若命题p :∀x ∈B ,x ∈A 是真命题,求m 的取值X 围;(2)命题q :∃x ∈A ,x ∈B 是真命题,求m 的取值X 围.因为命题p :∀x ∈B ,x ∈A 是真命题,所以B ⊆A ,当B=⌀时,m+1>2m-1,解得m<2;当B ≠⌀时,{m +1≤2m -1,m +1≥-2,2m -1≤5,解得2≤m ≤3.综上,m 的取值X 围为(-∞,3].(2)因为q :∃x ∈A ,x ∈B 是真命题,所以A ∩B ≠⌀,所以B ≠⌀,即m ≥2,所以m+1≥3,所以A ∩B ≠⌀只需满足m+1≤5即可,即m ≤4.故m 的取值X 围为[2,4].22.(12分)(2020某某某某高二期中)已知命题p :关于x 的方程x 2-(3m-2)x+2m 2-m-3=0有两个大于1的实数根.(1)若命题p 为真命题,某某数m 的取值X 围;(2)命题q :3-a<m<3+a ,是否存在实数a 使得p 是q 的必要条件,但不是充分条件,若存在,求出实数a 的取值X 围;若不存在,说明理由.由x 2-(3m-2)x+2m 2-m-3=0得[x-(m+1)][x-(2m-3)]=0,所以x=m+1或x=2m-3.因为命题p 为真命题,所以m+1>1且2m-3>1,解得m>2.故实数m 的取值X 围为(2,+∞).(2)存在.设集合A={m|m>2},集合B={m|3-a<m<3+a },因为p 是q 的必要条件,但不是充分条件,所以B ⫋A.当B=⌀时,3-a ≥3+a ,解得a ≤0;当B ≠⌀时,{3-a <3+a ,3-a ≥2,解得0<a ≤1. 综上所述,存在a ∈(-∞,1]满足条件.。

A.考点2 常用规律用语【1】（A ，新课标I ，理3）设命题P :N n,22n n >，则P ⌝为A.N n ，22n n >B.N n ，22n n ≤C.N n，22n n ≤ D.N n，22n n =【2】（A ，北京，理4）设α,β是两个不同的平面,m 是直线且α⊂m .“m β∥”是“αβ∥”的A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件 【3】（A ，天津，文4）设R x，则“12x <<”是“|x 2|1-<”的A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件 【4】（A ，天津，理4）设R x,则“|x 2|1-<”是“220x x +->”的A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【5】（A ，上海，文15）已知12,C z z ∈，则“1z 、2z 均为实数”是“12z z -是实数”的A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分又非必要条件【6】（A ，上海，理15）已知12,C z z ∈，则“1z 、2z 中至少有一个是虚数”是“12z z -是虚数”的A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分又非必要条件 【7】（A,重庆,文2）“x1”是“2210x x -+-”的A.充要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件 【8】（A,重庆,理4）“1>x ”是“0)2(log 21<+x ”的A.充要条件B.充分而不必要条件C.必要而不充分条件D.既不充分也不必要条件【9】（A ，湖北，文3）命题“0(0,)x ∃∈+∞，00ln 1x x =-”的否定是A.0(0,)x ∃∈+∞，00ln 1x x ≠-B.0(0,)x ∃∉+∞，00ln 1x x =-C.(0,)x ∀∈+∞，ln 1x x ≠-D.(0,)x ∀∉+∞，ln 1x x =-【10】（A ，湖北，文5）12,l l 表示空间中的两条直线，若p ：12,l l 是异面直线；q ：12,l l 不相交，则A.p 是q 的充分条件，但不是q 的必要条件B.p 是q 的必要条件，但不是q 的充分条件C.p 是q 的充分必要条件D.p 既不是q 的充分条件，也不是q 的必要条件【11】（A ，四川，文4）设b a ,为正实数，则“1>>b a ”是“0log log 22>>b a ”的A.充要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件 【12】（A ，山东，文5）设R m，命题“若0>m ,则方程02=-+m x x 有实根”的逆否命题是A.若方程02=-+m x x 有实根，则0>m B.若方程02=-+m x x 有实根,则0≤m C.若方程02=-+m x x 没有实根,则0>m D.若方程02=-+m x x 没有实根,则0≤m 【13】（A ，安徽，文3）设31:3:<<-<x q x p ，， 则p 是q 成立的A.充分必要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件【14】（A ，安徽，理3）设,12:,21:><<xq x p 则p 是q 成立的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【15】（A ，浙江，文3）设b a ,是实数，则“0>+b a ”是“0>ab ”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件 【16】（A ，浙江，理4）命题“∈∀n N *，∈)(n f N * 且()f n n ≤”的否定形式是A.∈∀n N *，∉)(n f N *且()f n n >B.∈∀n N *，∉)(n f N *或()f n n >C.∈∃0n N *，∉)(0n f N *且00()f n n >D.∈∃0n N *，∉)(0n f N *或00()f n n > 【17】（A ，湖南，文3）设R x，则“1x >”是“31x >”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【18】（B ，北京，文6）设a ，b 是非零向量，||||a b a b ⋅=“”是“b a//”的A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【19】（B ，湖北，理5）设12,,,R n a a a ⋅⋅⋅∈，3≥n . 若p ：n a a a ,,21成等比数列；q ：+++ 2221(a a2132212232221)())(n n n n a a a a a a a a a a--++=++ ，则A.p 是q 的充分条件，但不是q 的必要条件B.p 是q 的必要条件，但不是q 的充分条件C.p 是q 的充分必要条件D.p 既不是q 的充分条件，也不是q 的必要条件【20】（B ，四川，理8）设b a ,都是不等于1的正数，则“333>>ba”是“3log 3log b a <”的A.充要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件【21】（B ，陕西，文6理6）“ααcos sin =”是“02cos =α”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件 考点1 集合【1】（A ，新课标I ，文1）、D具体分析：由题，得{8,14}AB =.【2】（A ，新课标Ⅱ，文1）、A具体分析：{}|12A x x =-<<,{}|03B x x =<<,所以{}|13A B x x =-<<.【3】（A ，新课标Ⅱ，理1）、A具体分析：{}|21B x x =-<<，故{}1,0A B =-.【4】（A ，北京，文1）、A具体分析：由交集定义可得,B A 为图中阴影部分,即{}23<<-x x ．第4题图【5】（A ，天津，文1）、B具体分析：{2,3,5}{2,5}{2,5}UA B == 【6】（A ，天津，理1）、A具体分析：{2,3,5,6}{2,5}{2,5}.UAB ==【7】（A ，重庆，文1）、C具体分析：利用交集的定义即得. 【8】（A ，重庆，理1）、D具体分析：依据集合间的包含关系易得. 【9】（A ，四川，文1）、A具体分析：由并集定义可知，选A 【10】（A ，四川，理1）、A具体分析：由}21|{<<-=x x A ，易知=B A }31|{<<-x x ，选A. 【11】（A ，广东，文1）、B具体分析：由题知{}1=N M . 【12】（A ，广东，理1）、D具体分析：}1,4{}0)1)(4({--==++=x x x M ，{14}N =，,M N =∅,故选D.【13】（A ，山东，文1）、C具体分析：}31<<=x x B ｛,故），（32=B A 【14】（A ，山东，理1）、C具体分析：由A 得13x <<，结合{}24B x x =<<. 【15】（A ，安徽，文2）、B具体分析：{156}UB =，，,{1}UAB =.【16】（A ，浙江，文1）、A具体分析：由题意得，3{≥=x x P 或}1-≤x ,所以)4,3[=Q P .故选A.【17】（A ，浙江，理1）、C具体分析：0{}02{2≤=≥-=x x x x x P 或}2≥x ，{}R 02P x x ∴=<<.又由于{}12Q x x =<≤，故(){}R12P Q x x =<<【18】（A ，福建，文2）、D具体分析：由交集的定义{0,1}M N =,选D ．【19】（A ，湖南，理2）、C具体分析：由题意得，AB A A B =⇒⊆，反之，A B A B A =⇒⊆ ，故为充要条件的充要条件.【20】（A ，陕西，文1理1）、A具体分析：{}1,0=M ，{}10≤<=x x N ， =∴N M []1,0. 【21】（A ，上海，文2理1）、{1,4}具体分析：由于{|2UB x x =<或3}x >，所以UAB {1,4}=.【22】（A ，江苏，文理1）、5具体分析：由}5,4,3,2,1{＝B A 可得B A 中元素的个数为5. 【23】（A ，湖南，文11）、{1，2，3}.具体分析：{2}UB =,{1,2,3}UAB =.考点2 常用规律用语【1】（A ，新课标I ，理3）、C具体分析：P ⌝：n N ∀∈，22n n ≤. 【2】（A ，北京，理4）、B具体分析：两平面平行，则一平面内的任意一条直线与另一平面平行故“m β∥”是“αβ∥”的必要而不充分条件.【3】（A ，天津，文4）、A具体分析：|2|1x -<,13x ∴<<,∴“12x <<”是“|2|1x -<”的充分而不必要条件. 【4】（A ，天津，理4）、A具体分析：|2|1x -<，13x ∴<<；220x x +->，2x ∴<-或1x >.∴“|2|1x -<”是“220x x +->”的充分而不必要条件.【5】（A ，上海，文15）、A具体分析：充分：两个实数的差仍是实数.不必要：当1z 、2z 的虚部相等（但不等于0）时，12z z -是实数，而1z 、2z 是虚数.选A. 【6】（A ，上海，理15）、B具体分析：不充分：设122i,1i z z =+=+，则121z z -=不是虚数；必要：若12z z -是虚数,则1z 、2z 的虚部不等,所以1z 、2z 中至少有一个虚部不等于0,所以1z 、2z 中至少有一个是虚数.选B. 【7】（A ，重庆，文2）、A具体分析：由于0122=+-x x 可得()012=-x ，所以可得x =1，故充分性与必要性都成立.【8】（A ，重庆，理4）、B具体分析：由0)2(log 21<+x 得,1->x 所以1>x 是的0)2(log 21<+x 充分而不必要条件.【9】（A ，湖北，文3）、C具体分析：由特称命题的否定为全称命题可知，所求命题的否定为(0,)x ∀∈+∞，ln 1x x ≠-，故选C. 【10】（A ，湖北，文5）、A具体分析：若p ：12,l l 是异面直线，由异面直线的定义知，12,l l 不相交，所以命题q ：12,l l 不相交成立，即p 是q 的充分条件；反过来，若q ：12,l l 不相交，则12,l l 可能平行，也可能异面，所以不能推出12,l l 是异面直线，即p 不是q 的必要条件，故选A. 【11】（A ，四川，文4）、A具体分析：由x y 2log =为增函数，易知选A. 【12】（A ，山东，文5）、D具体分析：依据“若p 则q ”的逆否命题为“若q ⌝则p ⌝”，可知选D. 【13】（A ，安徽，文3）、C具体分析：由于31:3:<<-<x q x p ， 所以p q ⇒，但p 成立时，q 未必成立， 所以p 是q 的必要不充分条件． 【14】（A ，安徽，理3）、A具体分析：由于,12:>xq 亦即0:>x q ， 所以q p ⇒，但q 成立时，p 未必成立， 所以p 是q 的充分不必要条件． 【15】（A ，浙江，文3）、D具体分析：接受特殊值法：当1,3-==b a 时,>+b a 0,但0<ab ,故是不充分条件;当3a =-， 1b =-时,0>ab ,但0<+b a ,故是不必要条件.所以“>+b a 0”是“0>ab ”的既不充分也不必要条件.故选D. 【16】（A ，浙江，理4）、D具体分析：依据命题否定的定义，全称命题的否定是特称命题即得. 【17】（A ，湖南，文3）、C具体分析：由题易知“1x >”可以推得“31x >”, “31x >”可以得到“1x >”,所以“1x >”是“31x >”的充要条件.【18】（B ，北京，文6）、A具体分析：><⋅=⋅b a b a b a,cos ||||，由已知得cos ,1a b <>=，即,0a b <>=，//a b ．而当//a b 时，,a b <>还可能是π，此时||||b a b a-=⋅，故“||||a b a b ⋅=”是“//a b ”的充分而不必要条件．【19】（B ，湖北，理5）、A具体分析：由命题q 知1-n 维柯西不等式：+≥++++-2122322212221())((a a a a a a a a n n 2132)n n a a a a -+ ，等号成立的条件是nn a a a a a a 13221-== 或者是0=n a ，因而p 是q 的充分条件，但不是q 的必要条件. 【20】（B ，四川，理8）、B具体分析：1333>>⇔>>b a b a ；3log 3log b a <0lg lg lg lg lg 3lg lg 3lg >⋅-⇔<⇔ab ba b a 1>>⇔b a 或b a >>1或b a <<1，从而选B.【21】（B ，陕西，文6理6）、A具体分析：cos20α=⇔22cos sin 0αα-=⇔ ααcos sin ±=.∴“ααcos sin =”是“=α2cos0”的充分不必要条件.考点3 函数的概念及其性质 【1】（A ，新课标I ，文10）、A具体分析：当1a ≤时，1223a --=-，不合题意；当1a ≥时，2log (1)3a -+=- ∴7a = 故117(6)(1)224f a f ---=-=-=-. 【2】（A ，新课标I ，文12）、C具体分析：用,y x --分别替代,x y ，得2y a x -+-=即2log ()y x a =--+又∵(2)(4)1f f -+-=∴22(log 2)(log 4)1a a -++-+=即2a =. 【3】（A ，北京，文3）、B具体分析：依据偶函数的定义()()f x f x -=，A 选项为奇函数，B 选项为偶函数，C 选项定义域为(0,)+∞不具有奇偶性，D 选项既不是奇函数，也不是偶函数． 【4】（A ，湖北，文7）、D具体分析：对于选项A ，右边⎩⎨⎧=≠==0,00,|sgn |x x x x x ,而左边⎩⎨⎧<-≥==0,0,||x x x x x ,明显不正确;对于选项B,右边⎩⎨⎧=≠==0,00,|sgn |x x x x x ，而左边⎩⎨⎧<-≥==0,0,||x x x x x ,明显不正确;对于选项C,右边⎪⎩⎪⎨⎧<=>==0,0,00,sgn ||x x x x x x x ,而左边⎩⎨⎧<-≥==0,0,||x x x x x ，明显不正确；对于选项D ，右边⎪⎩⎪⎨⎧<-=>==0,0,00,sgn x x x x x x x ， 而左边⎩⎨⎧<-≥==0,0,||x x x x x ，明显正确，故选D.【5】（A ，湖北，文6）、C具体分析：由函数()y f x =的表达式可知，函数()f x 的定义域应满足条件：2564||0,03x x x x -+-≥>-，解之得22,2,3x x x -≤≤>≠，即函数()f x 的定义域为(2,3)(3,4]，故选C .【6】（A ，湖北，理6）、B具体分析：由)(x f 在R 上单调递增知：当0>x 且1>a 时，x ax >，则0)()()(<-=ax f x f x g ； 当0=x 时，0)(=x g ；当0<x 时，x ax <，0)(>x g .综上，x x g x x x x g sgn )](sgn[,0,00,00,0)(-=⎪⎩⎪⎨⎧><==<>.【7】（A ，广东，文3）、D具体分析：对于D,记x x x f sin )(2+=,则2)()(x x f -=-x x x sin )sin(2-=-+,)()(x f x f ≠-,且≠-)(x f )(x f -，所以非奇非偶.【8】（A ，广东，理3）、D具体分析：令()x f x x e =+，则()11f e =+，=-)1(f 11-+-e ，即()()11f f -≠，()()11f f -≠-，所以x y x e =+既不是奇函数也不是偶函数，而ABC 依次是偶函数、奇函数、偶函数. 【9】（A ，安徽，文4）、D具体分析：由于x y ln =的定义域为),0(+∞，是非奇非偶函数；函数12+=x y 是偶函数，但不存在零点；函数x y sin =是奇函数；函数x y cos =是偶函数，且有很多个零点． 【10】（A ，安徽，理2）、A具体分析：由于x y ln =的定义域为),0(+∞，是非奇非偶函数；函数12+=x y 是偶函数，但不存在零点；函数x y sin =是奇函数；函数x y cos =是偶函数，且有很多个零点． 【11】（A ，福建，文3）、D具体分析：函数y =和x y e =是非奇非偶函数； cos y x =是偶函数；x x y e e -=-是奇函数，故选D ．【12】（A ，福建，理2）D具体分析：函数y =, sin y x =和cos y x =是偶函数, x x y e e -=-是奇函数,选D. 【13】（A ，湖南，文8理5）具体分析：由题意得()f x 定义域为(1,1)-，关于原点对称，又()ln(1)ln(1)=()f x x x f x -=--+-，()f x ∴为奇函数，又明显()f x 在(0,1)上单调递增【14】（A ，陕西，文4）、C具体分析：41)2(=-f ,=-∴))2((f f 21)41(=f .【15】（B ，新课标Ⅱ，理5）、C具体分析：由已知得2(2)1log 43f -=+=，2log 121>，代入得2log 1212(log 12)2f -==2log 12262=，所以，2(2)(log 12)9f f -+=. 【16】（B ，山东，文10）、D具体分析：b f -=25)65(，则由4))65((=f f 进行分类争辩：(I)当23>b 时，由4)25(3=-b 解得b 不符合. (II)当23≤b 时，由4225=-b 得21=b 满足.【17】（B ，浙江，文8）、B具体分析:由于t b a ==+|sin ||1|, 所以=+2)1(a b 2sin 2t =，故当t 确定时，12-t 确定，则a a 22+唯一确定.故选B.【18】（B ，浙江，文5）、D具体分析：由于)(cos )1()(x f x xx x f -=--=-，故函数是奇函数，所以排解A,B ；取π=x ,=)(πf )1(ππ-0)1(cos <--=πππ,故选D.【19】（B ，陕西，文9）、B具体分析：()()f x f x -=-,)(x f ∴为奇函数，又0cos 1)(≥-='x x f ，)(x f ∴为增函数.【20】（B ，陕西，文10理9）、B具体分析：由题意知，ab p ln =，,2ln ba q += ab b a r ln )ln (ln 21=+=.由于b a <<0，所以由均值不等式得，ab ba >+2，又由于函数x x f ln )(=为增函数，所以q r p <=.【21】（C ，新课标I ，理12）、Ｄ)12()(-=x e x g x ，a ax y -=，由题知存在唯一的正整具体分析：设数0x ，使得)(0x g 在直线a ax y -=的下方.∵)12()(+='x e x g x∴当21-<x 时，0)(<'x g .当21->x 时，0)(>'x g . 当21-=x 时，21min 2)(--=e x g当0=x 时，1)0(-=g ,直线a ax y -=恒过)0,1(且斜率为a ，故1)0(-=>-g a 且a a e g --≥-=--13)1(，解得123<≤a e.【22】（C ，新课标Ⅱ，文12）、A具体分析：由21()ln(1||)1f x x x=+-+得，()f x 为偶函数，且在[0,)+∞为增函数，()(21)f x f x >-即(||)(|21|)|||21|f x f x x x >-⇔>-，故113x <<. 【23】（C ，新课标Ⅱ，文11理10）、B示，以,A B 为焦点，1BC =为短半轴长作椭圆，易知具体分析：如图所CD 中点，当点P 在CD 边上运动时，由椭圆的定义椭圆与CD 相切于得，当2x π=时，||||PA PB +取得最小值，故排解C 、D 两项，又当时，||PA ||PB+=tan x + ，轨迹不是点P 在BC 边上运动线段，故排解A 选项，B 正确.【24】（C ，北京，理8） D具体分析：A 问的是纵坐标的最大值. B 消耗1升油甲走最远，则反过来路程相同甲最省油. C 此时甲走过了80千米，消耗8升汽油. D 80km/h 以下丙燃油效率更高，更省油. 【25】（C ，天津，文8）、A具体分析：法1 ⎩⎨⎧<≥--=-0,0,22)2(2x x x x x f ,令：+=)()(x f x h⎪⎩⎪⎨⎧<-+≤≤->+-=--0,120,12,553)2(22x x x x x x x x f ， 令0)(=x h 解得251,25521--=+=x x ， ∴共两个零点,选A.法2 先画出)(x f 的图像，令)2()(x f x h --=，则)(x h 的图像与)(x f 的图像关于点)0,1(对称,画出)(x h 的图像再将向上平移3个单位，可得)(x g y =的图像，可知)(x f y =与)(x g y =的图像有2个公共点，故选A. 【26】（C ，天津，理8）、D具体分析：法1 )()(x g x f y -= 恰有4个零点b x f x f =-+∴)2()(恰有4个根.⎩⎨⎧<≥--=-0,,22)2(2x x x x x f 令⎪⎩⎪⎨⎧<++≤≤>+-=-+=022********x x x x x x x x f x f x h ,,,)()()(画出)(x h 的图像与b y =的图像可知,若有4个交点则247<<b . 法2 先画出)(x f 的图像, 令)2()(x f x h --=,则)(x h 的图像与)(x f 的图像关于点)0,1(对称,画出)(x h 的图像再将向上平移,由图像可知210≠≠>b ,b ,b ,故排解选项A,B,C,故选D.【27】（C ，四川，理9）、A第21题图第23题图具体分析：若2=m ，则应有8<n ，此时16<mn ； 若2>m ，则应有函数)(x f 的对称轴228≥---m n ，整理得122≤+n m ，所以n m mn ⋅⋅=22118)22(212=+≤n m ，当且仅当n m =2，即3=m , 6=n 时等号成立；若20<≤m ，则应有函数)(x f 的对称轴2128≤---=m n x ，整理得182≤+n m ，由于0≥m ，所以9≤n ，此时18<mn .综上，当6,3==n m 时mn 取得最大值18.【28】（C ，山东，理10）、B具体分析：法1 利用特殊值法，令0a =，则(0)1f =-，(1)4f -=-，而124-≠-，说明0a =不满足题意，排解B ；令23a =，则2()13f =，(1)2f =，而122=，说明23a =满足题意，排解D ；令2a =,则(2)4f =,(4)16f =,而4216=, 说明2a =满足题意，排解A ；综上，故选C ．法2 利用分类争辩．若1a ≥,则()2af a =且21a≥,所以=))((a f f )(222)2(a f aaf ==，满足题意；若213a ≤<，则()31f a a =-且311a -≥,所以31()(())(31)22a f a f f a f a -=-==，满足题意； 若23a <，则()31f a a =-且311a -<，所以(())(31)3(31)-1f f a f a a =-=-,而()3122f a a -=,令31a t -=，则1t <，在此前提下，考察函数3-1y t =与2ty =,明显有231tt >-,故不满足题意． 【29】（C ，浙江，理7）、D具体分析：对于选项A ，不妨取4x π=、54x π=，则5,44sin 21x x t x ππ====时，()2f t =±，不满足函数的定义故排解A ；对于选项B ，不妨取4x π=、54x π=，则5,44sin 21x x t xππ====时，2()164f t ππ=+或2255()164f t ππ=+，不满足函数的定义故排解B ；对于选项C ，不妨取1x =±，则212t x =+=时，()0f t =或()2f t =，不满足函数的定义故排解C ；对于选项D ，不妨将选项两边平方可得：222(2)21f x x x x +=++，令22t x x =+，故有()2()1()0f t t f t =+≥，因此()f t =．【30】（A ，新课标I ，文14）、1具体分析：由题，得2()31f x ax '=+ ∴()31f x a '=+又∵(1)2f a =+ ∴切线的方程为(2)(31)(1)y a a x -+=+- 又∵切线过点(2,7)∴7(2)(31)(21)a a -+=+-即1a =. 【31】（A ，新课标I ，理13）、1具体分析：由题，得ln(y x =是奇函数所以ln(ln(x x +- =22ln()ln 0a x x a +-==，解得1a =. 【32】（A ，上海，文4）、23-具体分析：由221x x =+得23x =-，即12(2).3f -=-【33】（B, 上海，理10）、4具体分析：()f x 在定义域[0,2]上是增函数，故1()fx -也是增函数.由于max ()(2)2f x f ==，所以1()f x -的最大值1max ()2f x -=,所以y 的最大值为4.【34】（B ，山东，理14）、32-具体分析：若1a >，则()xf x a b =+为定义域上的增函数，即(1)1(0)0f f -=-⎧⎨=⎩，经检验，a ∈∅；若01a <<，则()xf x a b =+为定义域上的减函数，即(1)0(0)1f f -=⎧⎨=-⎩，解得122a b ⎧=⎪⎨⎪=-⎩，故32a b +=-．【35】（B ，浙江，文12）、21-，662- 具体分析：4)2()2(2=-=-f ，所以)4())2((f f f =-216464-=-+=.当1≤x 时，()0f x ≥；当1>x 时，662)(-≥x f ，当6,6==x xx 时取到等号.由于60<，所以函数的最小值为662-. 【36】（B ，福建，文15）、1具体分析：由(1)(1)f x f x +=-得函数()f x 关于1x =对称，故1a =，则1()2x f x -=，由复合函数单调性得()f x 在[1,)+∞递增，故1m ≥，所以实数m 的最小值等于1．【37】（B ，福建，理14）、(1,2]具体分析：当2x ≤,故64x -+≥,要使得函数()f x 的值域为[)4,+∞, 只需()1()3log 2a f x x x =+>的值域包含于[)4,+∞, 故a >1, 所以1()3log a f x x >+,所以3log 4a x +≥, 解得12a <≤, 所以a 的取值范围是(1,2].【38】（C ，北京，理14）、-1，1[,1)[2,)2具体分析：①当1a 时，21,1,()4(1)(2), 1.x x f x x x x当1x 时，()1f x .当1x时，()f x 是开口向上的抛物线，当3=2x 时取得最小值-1.故1a 时()f x 的最小值是-1.②若()f x 在1x与1x 时与x 轴各有一个交点由函数a x h x -=2)(在1<x 时与x 轴有一个交点，知0>a ，并且当1=x 时(1)20h a =-≥，所以02a <≤.由函数)2)((4)(a x a x x g --=在1x时与x 轴有一个交点，知当1=x 时(1)4(1)(12)g a a0，解得112a ，由①知1a 时()g x 有两个零点，所以121<≤a .若()f x 在1x 时与x 轴没有交点，1x 时与x 轴有两个交点由函数a x h x -=2)(在1x时与x 轴没有交点知，当1=x 时(1)20h a =-≤，2a ≥.由)2)((4)(a x a x x g --=在1x 时与x 轴有两个交点知,(1)4(1)(12)0g a a 且3()02ga解得12a或1a . 综上，a 的取值范围是1[,1)[2,)2.【39】（C ，江苏，文理13）、4具体分析：设⎪⎩⎪⎨⎧>+-≤<++-≤<-=+=2,ln 621,ln 210,ln )()()(22x x x x x x x x x g x f x h)(x h 的图像，如图所示. 1)(=x h 以及1)(-=x h 各有2利用导数学问画出1)()(=+x g x f 实根的个数为4.个实数根.所以方程【40】（A ，上海，文20）具体分析：（1）()f x 的定义域为(,0)(0,)-∞+∞，关于原点对称.若0a =，则1()()f x f x x-=-=-，()f x 为奇函数. 若0a ≠，则(1)1f a -=-，(1)1,f a =+(1)(1)f f -≠，(1)(1)f f -≠-，()f x 既不是奇函数也不是偶函数.（2）设1212x x ≤<≤，则2212121211()()f x f x ax ax x x -=+--12121212()()x x a x x x x x x -=-⋅+-⋅12121212()1()a x x x x x x x x +⋅-=-⋅⋅. 由于(1,3)a ∈，1212x x ≤<≤，所以1212()10a x x x x +⋅->，120x x -<，从而12()()0f x f x -<. 所以，()f x 在[1,2]上是单调增函数. 【41】（C ，浙江，文20）具体分析：(Ⅰ)当142+=a b 时，1)2()(2++=a x x f ，故对称轴为直线2a x -=. 当2-≤a 时，)1()(f a g =242++=a a . 当22≤<-a 时，1)2()(=-=af ag .当2>a 时，24)1()(2+-=-=a a f a g . 综上，222,24()1,222,24a a a g a a a a a ⎧++≤-⎪⎪⎪=-<≤⎨⎪⎪-+>⎪⎩. （Ⅱ）设t s ,为方程0)(=x f 的解，且11≤≤-t ，则⎩⎨⎧=-=+b st at s ，由于120≤-≤a b ，因此)11(22122≤≤-+-≤≤+-t t ts t t . 当10≤≤t 时，222222+-≤≤+-t t t st t t ，由于022322≤+-≤-t t 和54922312-≤+-≤-t t t ，所以54932-≤≤-b . 当01≤≤-t 时，222222t t t st t t --≤≤++，由于22202t t --≤<+和22302t t t --≤<+，所以03≤≤-b .故b 的取值范围是]549,3[--. 【42】（C ，浙江，理18）具体分析：（Ⅰ）由4)2()(22a b a x x f -++=，得对称轴为直线2ax -=.由2≥a ，得12≥-a ，故)(x f 在]1,1[-上单调，所以})1(,)1(max{),(-=f f b a M 明显(1)1f a b =++，(1)1f a b -=-+．由于第39题图(1)(1)(,)max{(1),(1)}2f f M a b f f +-=-≥又由于(1)(1)(1)(1)222f f f f a +---≥=≥，故当2≥a 时，2),(≥b a M ． (Ⅱ)由于2),(≤b a M ，故12a b ++≤，12a b -+≤，化简可得：3113a b a b -≤+≤⎧⎨-≤-≤⎩又由于,0,0a b ab a b a b ab ⎧+≥⎪+=⎨-<⎪⎩，故3a b +≤．不妨取2a =-，1b =-，此时有3a b +=，且)(x f 在区间]1,1[-上有最大值(,)2M a b =． 所以b a +的最大值为3.考点4 指数函数、对数函数、幂函数 【1】（A ，重庆，文3）、D具体分析：由)32(log )(22-+=x x x f 可得：0322>-+x x 解得x <-3或x >1.【2】（A ，山东，文3）、C具体分析：依据函数xy 6.0=是定义域上的单调递减函数，可得5.16.06.06.0>；另外借助中间值1，得6.06.05.116.0<<，则c a b <<.【3】（B ，北京，理7）、C具体分析：如图1x 时，2()log (1)f x x .)1(log )(2+≥∴x x f 解集为(]1,1-. 留意)1(log 2+x 定义域不包括-1.【4】（B ，天津，文7理7）、B)(1212)(x f x f mx mx =-=-=--+ .具体分析：0=∴-=+∴m m x m x .12)(-=∴xx f 在),0(+∞是增函数. 又22(log 3)(log 3),a f f =-=(0)c f =，且5log 3log 022<<. b a c <<∴.【5】（A ，北京，文10）、5log 2具体分析：18123<=-，13321>=，22log 5log 42>>5log 2最大． 【6】（A ，四川，文12）、2具体分析：24216log 01.0lg 2=+-=+. 【7】（A ，安徽，文11）、1具体分析：原式124lg 25lg-=-+=． 【8】（A ，浙江，文9）、21-，33具体分析：212log 22log 2122-==- 33332223log 3log 3log 3log 4242=⨯=⨯=+.【9】（A ，浙江，理12）具体分析：2log 3a =，则223aa-+==3． 【10】（B ，上海，文8理7）、2具体分析：原方程即12log (95)x --=12log 4(32)x -⋅-，所以11954(32)x x ---=⋅-.令13x t -=，则2430t t -+=，解得3t =或1t =，所以2x =或1x =（舍）.【11】（C ，四川，文15理15）、①④具体分析：由定义a x x n x x m x x ++=--=2121,2221.若21x x >，则由)(x f 在R 上单调增，2122x x >，所以0>m ，若21x x <，则2122x x <，仍有0>m ，①正确；由a x x n ++=21易知②错误；令n m =，有a x x x x x x ++=--21212122，整理得2122x x -)(212221x x a x x -+-=， 即=-)()(21x f x f )()(21x g x g -， 所以)()()()(2211x g x f x g x f -=-.令ax x x g x f x h x--=-=22)()()(，则题意转化为存在不相等的实数21,x x ，使得)()(21x h x h =. 由()2ln 22x h x x a ，22l 2)(h -=''）（n x x.令0()0h x ，且210<<x ，可得0()h x 为微小值；若10000a =-，则0()0h x ，即()0h x ，()h x 单调递增，不满足题意，③错误；令n m -=，同③可得)()()()(2211x g x f x g x f +=+, 设ax x x g x f x h x++=+=22)()()(，则()2ln 22x h x x a '=++，2()2(ln 2)2x h x0>恒成立，()h x '单调递增且当-∞→x 时，()h x '→-∞，当+∞→x 时，()h x '→+∞，所以()h x先减第3题图后增，所以对于任意的a ，存在不相等的实数21,x x ，使得)()(21x h x h =，即使得n m -=成立，④正确. 考点5 函数模型及其应用 【1】（C ，北京，文8）、B具体分析：由于第一次邮箱加满，所以其次次的加油量即为该段时间内的耗油量，故耗油量48V =升.而这段时间内行驶的里程数3560035000S =-=600千米.所以这段时间内，该车每100千米平均耗油量为810060048=⨯升. 【2】（C ，安徽，理9）、C)(x f 在c x -=时无意义，结合图象知0<c ；当具体分析：函数0)(<x f ，可知0<a ；又0)0(2>=c bf ，知0>b . +∞→x 时，【3】（C ，陕西，理12）、A具体分析：首先假设选项A,B,C 的结论是正确的，则⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧==-=⇒⎪⎩⎪⎨⎧=++=+=+-⇒⎪⎩⎪⎨⎧=='=-49234330200)1(0)1(0)1(c b a c b a b a c b a f f f ，这与a 为非零整数冲突，所以选项A,B,C 中必有一个错误；再假设选项B,C,D 的结论是正确的，则⎪⎩⎪⎨⎧=-==⇒⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=+8105824302c b a c b a c b a b a ，这与a 为非零整数相符合，故选项A 的结论是错误的，故选A. 【4】（A ，湖北，文13）、2具体分析：函数2π()2sin sin()2f x x x x =+-的零点个数等价于方程2π2sin sin()02x x x +-=的根的个数，即函数()2sin sin()2g x x x π=+2sin cos x x =sin 2x =与2)(x x h =的图象交点个数.于是，分别画出其函数图象如图所示：由图可知，函数()g x 与)(x h 的图象有2个交点.【5】（A ，浙江，理10）、0，3具体分析：依据函数的定义可知：((3))f f -=(1)f 0=；当1x ≥时，2()33f x x x=+-≥；当1x <时，2()lg(1)lg10f x x =+≥=；故min ()f x3=.【6】（B ，湖北，文17）、2具体分析：由于||)(2ax x x f -=，分3种状况争辩：①当0≤a 时，函数ax x ax x x f -=-=22||)(在区间]1,0[上单调递增，所以a a g x f -==1)()(max ;②当2220-≤<a 时，此时4)2(2a a f =，a f -=1)1(，而024)2()1(422<-+=--a a a ，所以a a g x f -==1)()(max ；③当222->a 时，4)()(2max a a g x f ==.综上可知⎪⎩⎪⎨⎧->-≤-=222,4222,1)(2a a a a a g ，所以)(a g 在(,222]上单调递减,在),222(+∞-上单调递增，所以)222()(min -=g a g ，故222-=a 时，)(a g 的值最小. 【7】（B ，湖北，理12）、2具体分析：()2(cos 1)sin f x x x =+2sin x --|ln(1)|x +|)1ln(|2sin +-=x x ，其零点个数就等价于函数x y 2sin =与函数|)1ln(|+=x y 图象的交点个个交点，故函数)(x f y =的零点个数是2. 数，如图，有2【8】（B ，四川，文8理13）、24题意，0=x 时，192=be ；22=x 时，具体分析：由2111=ke.当33=x 时，4822=+b k e ，所24)(19231133=⨯==+k b k e e y .【9】（B ，湖南，文14）、02b <<具体分析：若函数()22xf x b =--有两个零点，可得方程22=xb -有两个根，从而函数22xy =-与函数y b =的图像有两个交点，结合图像可得02b <<.),1()0,(+∞-∞【10】（B，湖南，理15）、可知，问题等价于方程3x b = ()x a ≤与方程具体分析：由题意第2题图第9题图第7题图()2x b x a =>的根的个数和为2.若两个方程各有一个根，则可知关于b的不等式组13b a a a ⎧≤⎪>≤⎪⎩有解，解得1a >；若方程3()x b x a =≤无解，方程2()x b x a =>有2个根，则可知关于b的不等式组13b a a⎧⎪>⎨⎪>⎩有解，解得0a <.综上，a 的取值范围为),1()0,(+∞-∞ . 【11】（C ，安徽，文14）、12具体分析：由于函数1--=a x y 的图象是开口向上的折线，顶点在定直线1-=y 上，而直线a y 2=与函数1--=a x y 的图象只有一个交点，所以12-=a ,21=a . 【12】（B ，江苏，文理17）具体分析：(1)由题意知，点M ，N 的坐标分别为)40,5(，)5.20,20(.将其分别代入bx ay +=2，得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+5.24004025ba ba，解得⎩⎨⎧==01000b a .(2) ①由(1)知，)205(10002≤≤=x x y ，则点P的坐标为)1000,(2t t ，设在点P 处的切线l 交y x ,轴分别于B A ,点，32000y x'=-，则l 的方程为21000t y -＝)(20003t x t--，由此得)0,23(t A ，)3000,0(2t B . 故]20,5[,10423)(462∈⨯+=t tt t f . ②设462104)(t t t g ⨯+=,则651610()2g t t t ⨯'=-. 令()0g t '=，解得210=t .当)210,5(∈t 时，()0g t '<，)(t g 是减函数； 当)20,210(∈t 时，()0g t '>，)(t g 是增函数.从而，当210=t 时，函数)(t g 有微小值，也是最小值，所以300)(min =t g ，此时，315)(min =t f . 故当210=t 时，大路l 的长度最短，最短长度为315千米. 【13】（C ，安徽，文21）具体分析：(1)由题意知r x -≠，所求的定义域为),(),(+∞---∞r r ．2222)()(r rx x axr x ax x f ++=+=，22222)2()22()2()(r rx x r x ax r rx x a x f +++-++='4)())((r x r x r x a +-+-=，所以，当r x -<或r x >时，0)(<'x f ，当r x r <<-时，0)(>'x f ，因此，)(x f 的单调递减区间为),(r --∞，),(+∞r ；单调递增区间为),(r r -．(2)由(1)的解答可知0)(='r f ，)(x f 在),0(r 上单调递增，在),(+∞r 上单调递减，因此，x r 是)(x f 的极大值点，所以)(x f 在),0(+∞内的极大值为10044004)2()(2====r a r ar r f . 考点6 三角函数及其图像与性质 【1】（A ，新课标I ，文8理8）、Ｄ具体分析：法1 由题，得141452=-=T ，即2=T 故选Ｄ法2 由题，得141452=-=T ，即2=T ∴22==w T π，即π=w ∴()()ϕπ+=x x f cos 又 0)41(=f ∴cos04πϕ+=（）即241ππϕπ+=+⨯k ）（Z k ∈∴()cos()cos()44f x x k x πππππ=++=±+ 又 (0)0f > ∴()cos()4f x x ππ=+.由ππππ+≤+≤k x x k 242,得13[2,2],Z 44k k k -+∈.【2】（A ，四川，理4）、A具体分析:x x y 2sin )22cos(-=+=π符合题意,选A. 【3】（A ，福建，文6）、D具体分析：由5sin 13α=-，且α为第四象限角，则12cos 13α==则sin tan cos ααα=512=-，故选D ．【4】（A ，陕西，理3）、C具体分析：由题意知，水深的最大值为函数k x y ++=)6sin(3ϕπ图像最高点纵坐标，易知，5=k ，所以水深的最大值为5+3=8. 【5】（B ，四川，文5）、B具体分析：x x y 2sin )22cos(-=+=π符合题意,选B【6】（B ，湖南，理9）、D具体分析：将函数()f x 的图像向右平移ϕ个单位后,得到)22sin()(ϕ-=x x g 又∵2|)()(|21=-x g x f ，不妨令ππk x 2221+=，ππϕm x 22222+-=-∴122x x πϕ()km π，其中,k m Z ∈又∵12min3x x π-=，∴,23ππϕ-=即6πϕ=.【7】（C ，安徽，理10）、A具体分析:由于函数)(x f 的最小正周期为π，所以)2sin()(,2ϕω+==x A x f ，由于当32π=x 时，函数)(x f 取得最小值，所以23234ππϕπ+=+k ，即62ππϕ+=k 不失一般性，取6πϕ=，所以6sin)0(),62sin()(ππA f x A x f =+=，)64sin()64sin()2(πππ-+-=+=A A f)465sin(-=πA ，)64sin()64sin()2(πππ++--=+-=-A A f)674sin(π-=A ，由于2667404652πππππ<<-<<-<-，所以6sin )674sin()465sin(πππ<-<-故)0()2()2(f f f <-<． 【8】（A ，上海，文1）、π具体分析：因21cos 2()13sin 132xf x x -=-=-⋅3cos 2122x =-，所以最小正周期为π. 【9】（A ，山东，理12）、1 具体分析：由于[0,]4x π∈时，tan y x =为增函数，且最大值为1，故m 的最小值为1．【10】（A ，浙江，理11）、π，[ππππk k ++87,83] (∈k Z)具体分析：21()sin sin cos 1sin 22f x x x x x =++=-133cos 2)2242x x π+=-+，因此T π=． 3222242k x k πππππ+≤-≤+，从而可得递减区间为：[ππππk k ++87,83](∈k Z)． 【11】（A ，陕西，文14）、8具体分析：由题意知，水深的最大值为函数k x y ++=)6sin(3ϕπ图像最高点纵坐标，易知，5=k ，所以水深的最大值为5+3=8. 【12】（B ，浙江，文11）、π，223- 具体分析：21()sin sin cos 1sin 22f x x x x x =++=+1cos212x -+113sin 2cos2222x x =-+=π3)242x -+.所以22T ππ==；min 3()22f x =-. 【13】（B ，湖南，文15）、=2πω具体分析：依据三角函数图像与性质可得交点坐标为1212115((k ,2),((k ,2),k ,k 44Z ππππωω+++-∈，距离最短的两个交点肯定在同一个周期内，222215()(22),=442πππωω∴=-+--∴．【14】（C ，天津，文14）、2π具体分析：)4sin(2)(πω+=x x f ，)(x f 关于直线ω=x 对称，2)4sin(2)(2±=+=∴πωωf ，Z k k ∈+=∴,42ππω，又)(x f 在区间),(ωω-内单调递增，则ωωπ22≥=T ,22πω≤∴， 42πω=∴,.2πω=∴【15】（A ，北京，文15）具体分析：（I ）由于3cos 3sin )(-+=x x x f3)3πsin(2-+=x 所以)(x f 的最小正周期为2π.（II ）由于0≤x ≤3π2，所以3π≤x +3π≤π．当π3π=+x ，即3π2=x ，)(x f 取得最小值．所以)(x f 在区间]3π2,0[上的最小值为3)3π2(-=f ． 【16】（A ，北京，理15）具体分析：()2x f x=2cos 22x x1cos 2()22x x -=-cos 222x x =+-sin()42x π=+-. (I)πωπ22==T ）x f (∴最小正周期为π2. (II)[,0]x π∈-，3[,]444x πππ+∈-sin()[4x π∴+∈-，从而()sin()[14f x x π=+--故()x f 最小值为221--. 【17】（A ，天津，理15）具体分析：(I)由已知得1cos 2()2xf x -=- 1cos(2)32x π--11(cos 22)22x x =-1cos 22x 1sin 2cos 244x x =-1sin(2)26x π=- 所以，)(x f 的最小正周期ππT ==22. (II)由于()x f 在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡--63π,π上是减函数，在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡-46π,π上是增函数，,)π(413-=-f,)π(216-=-f .)π(434=f 所以，)(x f 在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡-43ππ,上的最大值为，43最小值为.21- 【18】（A ，重庆，文18）具体分析：(I)x x x f 2cos 32sin 21)(-=)2cos 1(232sin 21x x +-=232cos 232sin 21--=x x 2332sin -⎪⎭⎫ ⎝⎛-=πx . 因此)(x f 的最小正周期为π,最小值为232+-. (II)由条件知:233sin )(-⎪⎭⎫⎝⎛-=πx x g , 当⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈ππ,2x 时,有⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈-32,63πππx ,从而⎪⎭⎫⎝⎛-3sin πx 的值域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡1,21,那么233sin )(-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=πx x g 的值域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡--232,231，故)(x g 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡ππ,2上的值域是⎥⎦⎤⎢⎣⎡--232,231.【19】（A ，重庆，理18）具体分析：(I) =)(x f x x sin 2sin ⎪⎭⎫⎝⎛-π x 2cos 3-x x sin cos =)2cos 1(23x +- 232cos 232sin 21--=x x 2332sin -⎪⎭⎫ ⎝⎛-=πx , 因此)(x f 的最小正周期为π，最大值为232- (II)当⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈32,6ππx 时，ππ≤-≤320x ，从而当2320ππ≤-≤x 时，即1256ππ≤≤x 时，)(x f 单调递增.当πππ≤-≤322x 时，即32125ππ≤≤x 时，)(x f 单调递减.综上可知，)(x f 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡125,6ππ上单调递增；在⎥⎦⎤⎢⎣⎡32,125ππ上单调递减.【20】（A ，湖北，文18）具体分析：(I)依据表中已知数据可得：5A =，32ππωϕ+=，5362ππωϕ+=，解得π2,6ωϕ==-. 数据函数表达式为π()5sin(2)6f x x =-.(II)由（Ⅰ）知π()5sin(2)6f x x =-，因此πππ()5sin[2()]5sin(2)666g x x x =+-=+.由于sin y x =的对称中心为(π,0)k ，k ∈Z .令π2π6x k +=，解得ππ212k x =-，k ∈Z .即()y g x =图象的对称中心为ππ0212k -（，），k ∈Z ，其中离原点O 最近的对称中心为π(,0)12-.【21】（A ，湖北，理17） 具体分析：(I)参见【20】（A ，湖北，文18）的解析.(II)由(I)知π()5sin(2)6f x x =-，得π()5sin(22)6g x x θ=+-. 由于sin y x =的对称中心为(π,0)k ，k ∈Z . 令π22π6x k θ+-=，解得ππ212k x θ=+-，k ∈Z . 由于函数()y g x =的图象关于点5π(,0)12成中心对称，令ππ5π21212k θ+-=，解得ππ23k θ=-，k ∈Z . 由0θ>可知，当1k =时，θ取得最小值π6.【22】（A ，山东，理16）具体分析：(I)2()sin cos cos ()4f x x x x π=-+=1cos(2)112sin 2sin 2222x x x π++-=-， 由22222k xk ππππ-+≤≤+得4k ππ-+≤4x k ππ≤+，所以函数()f x 的单调递增区间是[,]()44k kk Z ππππ-++∈，单调递减区间是3[,]()44k k k Z ππππ++∈． (II)由()02Af =得1sin 2A =，又由于A 为锐角，所以6A π=．由正弦定理知sin b B =sin cC=1sin A=2，故2sin b B =，2sin c C =， 所以1sin 2ABC S bc A ∆=1sin sin 4bc B C ==5sin sin()6B B π=-= 111cos 2sin (cos )sin 2242B B B B B -==12sin(2)2344B π+-+≤，取最大值时B = 512C π=． 【23】（A ，安徽，文16）具体分析：(1)由于22()sin cos sin 2f x x x x =++cos2x +1)42sin(22cos 2sin 1++=++=πx x x ,所以函数)(x f 的最小正周期为π=T ；(2)由(1)可知，)(xf 1)42sin(2++=πx ．当]2,0[π时，]45,4[42πππ∈+x ，由正弦函数x y sin =在]45,4[ππ上的图象可知，当242ππ=+x ，即8π=x 时，)(x f 取得最大值12+；当4542ππ=+x ，即2π=x 时，)(x f 取得最大值0． 综上，)(x f 在区间]2,0[π上的最大值为12+，最小值为0.【24】（B ，福建，文21）具体分析：(I)()2x f x =cos 2x +210cos 2x5cos 5x x =++10sin()56x π=++ 所以函数()f x 的最小正周期2πT =．(II)(i)将()f x 的图象向右平移6π个单位长度后得到10sin 5y x =+的图象，再向下平移a （0a >）个单位长度后得到()10sin 5g x x a =+-的象．又已知函数()g x 的最大值为2，所以1052a +-=，解得13a =．所以()10sin 8g x x =-．(ii)要证明存在无穷多个互不相同的正整数0x ，使得0()0g x >，就是要证明存在无穷多个互不相同的正。

专题02常用逻辑用语（新高考专用）【知识梳理】 (2)【真题自测】 (3)【考点突破】 (10)【考点1】充分、必要条件的判定 (10)【考点2】充分、必要条件的应用 (13)【考点3】全称量词与存在量词 (17)【分层检测】 (20)【基础篇】 (21)【能力篇】 (26)【培优篇】 (29)考试要求：1.理解充分条件、必要条件、充要条件的含义.2.理解判定定理与充分条件的关系、性质定理与必要条件的关系.3.理解全称量词命题与存在量词命题的含义，能正确对两种命题进行否定.1.充分条件、必要条件与充要条件的概念若p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件p是q的充分不必要条件p⇒q且q⇏pp是q的必要不充分条件p⇏q且q⇒pp是q的充要条件p⇔qp是q的既不充分也不必要条件p⇏q且q⇏p2.全称量词与存在量词(1)全称量词：短语“所有的”、“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“∀”表示.(2)存在量词：短语“存在一个”、“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“∃”表示.3.全称量词命题和存在量词命题名称全称量词命题存在量词命题结构对M中的任意一个x，有p(x)成立存在M中的元素x，p(x)成立简记∀x∈M，p(x)∃x∈M，p(x)否定∃x∈M，¬p(x)∀x∈M，¬p(x)1.区别A是B的充分不必要条件(A⇒B且B⇏A)，与A的充分不必要条件是B(B⇒A且A⇏B)两者的不同.2.充要关系与集合的子集之间的关系，设A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，(1)若A⊆B，则p是q的充分条件，q是p的必要条件.(2)若A是B真子集，则p是q的充分不必要条件，q是p的必要不充分条件.(3)若A＝B，则p是q的充要条件.3.p是q的充分不必要条件，等价于¬q是¬p的充分不必要条件.4.含有一个量词的命题的否定规律是“改量词，否结论”.5.对省略了全称量词的命题否定时，要对原命题先加上全称量词再对其否定.6.命题p和¬p的真假性相反，若判断一个命题的真假有困难时，可判断此命题的否定的真假.一、单选题1．（2023·全国·高考真题）设甲：22sin sin 1αβ+=，乙：sin cos 0αβ+=，则（）A ．甲是乙的充分条件但不是必要条件B ．甲是乙的必要条件但不是充分条件C ．甲是乙的充要条件D ．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件2．（2023·全国·高考真题）记n S 为数列{}n a 的前n 项和，设甲：{}n a 为等差数列；乙：{}nS n为等差数列，则（）A ．甲是乙的充分条件但不是必要条件B ．甲是乙的必要条件但不是充分条件C ．甲是乙的充要条件D ．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件3．（2023·北京·高考真题）若0xy ≠，则“0x y +=”是“2y xx y+=-”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．（2023·天津·高考真题）已知,R a b ∈，“22a b =”是“222a b ab +=”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分又不必要条件5．（2022·浙江·高考真题）设x ∈R ，则“sin 1x =”是“cos 0x =”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件6．（2022·北京·高考真题）设{}n a 是公差不为0的无穷等差数列，则“{}n a 为递增数列”是“存在正整数0N ，当0n N >时，0n a >”的（）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件7．（2021·全国·高考真题）等比数列{}n a 的公比为q ，前n 项和为n S ，设甲：0q >，乙：{}n S 是递增数列，则（）A ．甲是乙的充分条件但不是必要条件B ．甲是乙的必要条件但不是充分条件C ．甲是乙的充要条件D ．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件8．（2021·浙江·高考真题）已知非零向量,,a b c ，则“a c b c ⋅=⋅ ”是“a b =”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分又不必要条件9．（2021·北京·高考真题）已知()f x 是定义在上[0,1]的函数，那么“函数()f x 在[0,1]上单调递增”是“函数()f x 在[0,1]上的最大值为(1)f ”的（）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件10．（2021·天津·高考真题）已知a ∈R ，则“6a >”是“236a >”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件参考答案：1．B 【分析】根据充分条件、必要条件的概念及同角三角函数的基本关系得解.【详解】当22sin sin 1αβ+=时，例如π,02αβ==但sin cos 0αβ+≠，即22sin sin 1αβ+=推不出sin cos 0αβ+=；当sin cos 0αβ+=时，2222sin sin (cos )sin 1αβββ+=-+=，即sin cos 0αβ+=能推出22sin sin 1αβ+=.综上可知，甲是乙的必要不充分条件.故选：B2．C【分析】利用充分条件、必要条件的定义及等差数列的定义，再结合数列前n 项和与第n 项的关系推理判断作答.，【详解】方法1，甲：{}n a 为等差数列，设其首项为1a ，公差为d ，则1111(1)1,,222212n n n n S S S n n n d d dS na d a d n a n n n +--=+=+=+--=+，因此{}nS n为等差数列，则甲是乙的充分条件；反之，乙：{}nS n为等差数列，即111(1)1(1)(1)n n n n n n S S nS n S na S n n n n n n +++-+--==+++为常数，设为t ，即1(1)n nna S t n n +-=+，则1(1)n n S na t n n +=-⋅+，有1(1)(1),2n n S n a t n n n -=--⋅-≥，两式相减得：1(1)2n n n a na n a tn +=---，即12n n a a t +-=，对1n =也成立，因此{}n a 为等差数列，则甲是乙的必要条件，所以甲是乙的充要条件，C 正确.方法2，甲：{}n a 为等差数列，设数列{}n a 的首项1a ，公差为d ，即1(1)2n n n S na d -=+，则11(1)222n S n d da d n a n -=+=+-，因此{}n S n 为等差数列，即甲是乙的充分条件；反之，乙：{}n S n 为等差数列，即11,(1)1n n n S S SD S n D n n n+-==+-+，即1(1)n S nS n n D =+-，11(1)(1)(2)n S n S n n D -=-+--，当2n ≥时，上两式相减得：112(1)n n S S S n D --=+-，当1n =时，上式成立，于是12(1)n a a n D =+-，又111[22(1)]2n n a a a nD a n D D +-=+-+-=为常数，因此{}n a 为等差数列，则甲是乙的必要条件，所以甲是乙的充要条件.故选：C3．C 【分析】解法一：由2x yyx +=-化简得到0x y +=即可判断；解法二：证明充分性可由0x y +=得到x y =-，代入x y y x+化简即可，证明必要性可由2xyyx +=-去分母，再用完全平方公式即可；解法三：证明充分性可由x y y x+通分后用配凑法得到完全平方公式，再把0x y +=代入即可，证明必要性可由x yy x+通分后用配凑法得到完全平方公式，再把0x y +=代入，解方程即可.【详解】解法一：因为0xy ≠，且2x yy x+=-，所以222x y xy +=-，即2220x y xy ++=，即()20x y +=，所以0x y +=.所以“0x y +=”是“2xyyx+=-”的充要条件.解法二：充分性：因为0xy ≠，且0x y +=，所以x y =-，所以112x y y y yx y y-+=+=--=--，所以充分性成立；必要性：因为0xy ≠，且2x yy x +=-，所以222x y xy +=-，即2220x y xy ++=，即()20x y +=，所以0x y +=.所以必要性成立.所以“0x y +=”是“2xyy x+=-”的充要条件.解法三：充分性：因为0xy ≠，且0x y +=，所以()2222222222x y xy x y x y x y xy xy xyy x xy xy xy xy+-+++--+=====-，所以充分性成立；必要性：因为0xy ≠，且2x yy x +=-，所以()()22222222222x y xy x y x y x y x y xy xy y x xy xy xy xy+-++++-+====-=-，所以()20x y xy+=，所以()20x y +=，所以0x y +=，所以必要性成立.所以“0x y +=”是“2xyyx+=-”的充要条件.故选：C4．B 【分析】根据充分、必要性定义判断条件的推出关系，即可得答案.【详解】由22a b =，则a b =±，当0a b =-≠时222a b ab +=不成立，充分性不成立；由222a b ab +=，则2()0a b -=，即a b =，显然22a b =成立，必要性成立；所以22a b =是222a b ab +=的必要不充分条件.故选：B5．A【分析】由三角函数的性质结合充分条件、必要条件的定义即可得解.【详解】因为22sin cos 1x x +=可得：当sin 1x =时，cos 0x =，充分性成立；当cos 0x =时，sin 1x =±，必要性不成立；所以当x ∈R ，sin 1x =是cos 0x =的充分不必要条件.故选：A.6．C【分析】设等差数列{}n a 的公差为d ，则0d ≠，利用等差数列的通项公式结合充分条件、必要条件的定义判断可得出结论.【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，则0d ≠，记[]x 为不超过x 的最大整数.若{}n a 为单调递增数列，则0d >，若10a ≥，则当2n ≥时，10n a a >≥；若10a <，则()11n a a n d +-=，由()110n a a n d =+->可得11a n d >-，取1011a N d ⎡⎤=-+⎢⎥⎣⎦，则当0n N >时，0n a >，所以，“{}n a 是递增数列”⇒“存在正整数0N ，当0n N >时，0n a >”；若存在正整数0N ，当0n N >时，0n a >，取N k *∈且0k N >，0k a >，假设0d <，令()0n k a a n k d =+-<可得k a n k d >-，且k ak k d->，当1k a n k d ⎡⎤>-+⎢⎥⎣⎦时，0n a <，与题设矛盾，假设不成立，则0d >，即数列{}n a 是递增数列.所以，“{}n a 是递增数列”⇐“存在正整数0N ，当0n N >时，0n a >”.所以，“{}n a 是递增数列”是“存在正整数0N ，当0n N >时，0n a >”的充分必要条件.故选：C.7．B【分析】当0q >时，通过举反例说明甲不是乙的充分条件；当{}n S 是递增数列时，必有0n a >成立即可说明0q >成立，则甲是乙的必要条件，即可选出答案．【详解】由题，当数列为2,4,8,--- 时，满足0q >，但是{}n S 不是递增数列，所以甲不是乙的充分条件．若{}n S 是递增数列，则必有0n a >成立，若0q >不成立，则会出现一正一负的情况，是矛盾的，则0q >成立，所以甲是乙的必要条件．故选：B ．【点睛】在不成立的情况下，我们可以通过举反例说明，但是在成立的情况下，我们必须要给予其证明过程．8．B【分析】考虑两者之间的推出关系后可得两者之间的条件关系.【详解】如图所示，,,,OA a OB b OC c BA a b ====- ,当AB OC ⊥时，a b - 与c垂直，，所以成立，此时a b ≠ ，∴不是a b =的充分条件，当a b = 时，0a b -= ，∴()00a b c c -⋅=⋅=r r r r r ,∴成立，∴是a b =的必要条件，综上，“”是“”的必要不充分条件故选：B.9．A【分析】利用两者之间的推出关系可判断两者之间的条件关系.【详解】若函数()f x 在[]0,1上单调递增，则()f x 在[]0,1上的最大值为()1f ，若()f x 在[]0,1上的最大值为()1f ，比如()213f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，但()213f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭在10,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦为减函数，在1,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦为增函数，故()f x 在[]0,1上的最大值为()1f 推不出()f x 在[]0,1上单调递增，故“函数()f x 在[]0,1上单调递增”是“()f x 在[]0,1上的最大值为()1f ”的充分不必要条件，故选：A.10．A【分析】由充分条件、必要条件的定义判断即可得解.【详解】由题意，若6a >，则236a >，故充分性成立；若236a >，则6a >或6a <-，推不出6a >，故必要性不成立；所以“6a >”是“236a >”的充分不必要条件.故选：A.【考点1】充分、必要条件的判定一、单选题1．（2024·北京海淀·一模）设,αβ是两个不同的平面，,l m 是两条直线，且,m l αα⊂⊥.则“l β⊥”是“//m β”的（）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件2．（2024·全国·模拟预测）已知(21)(1)i()z a a a =-++∈R，则“||z 是“25a =”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件二、多选题3．（23-24高三上·广东广州·阶段练习）已知ABC 中角A ，B 的对边分别为a ，b ，则可作为“a b >”的充要条件的是（）A ．sin sin A B>B ．cos cos A B<C ．tan tan A B >D ．sin 2sin 2A B>4．（2023·吉林长春·模拟预测）已知函数()2sin f x x x =+，设12,R x x ∈，则()()12f x f x >成立的一个充分条件是（）A ．12x x >B ．120x x +>C ．2212x x >D ．12x x >三、填空题5．（2024·全国·模拟预测）“函数tan y x =的图象关于()0,0x 中心对称”是“0sin20x =”的条件．6．（2021·陕西渭南·二模）下列四个命题是真命题的序号为.①命题“,cos 1x R x ∀∈≤”的否定是“,cos 1x R ∃∈>”.②曲线3y x =在0x =处的切线方程是0y =.③函数1,1,()23,1x ae x f x x x -⎧=⎨+>⎩为增函数的充要条件是05a <<.④根据最小二乘法，由一组样本点(,i i x y )(其中1,2,...,300i =)求得的线性回归方程是y bx a =+$$$，则至少有一个样本点落在回归直线y bx a =+$$$上.参考答案：1．A【分析】通过面面平行的性质判断充分性，通过列举例子判断必要性.【详解】l β⊥，且l α⊥，所以//αβ，又m α⊂，所以//m β，充分性满足，如图：满足//m β，,m l αα⊂⊥，但l β⊥不成立，故必要性不满足，所以“l β⊥”是“//m β”的充分而不必要条件.故选：A.2．B【分析】由||z a 的等量关系，求解a ，从而判断选项.【详解】因为z ==化简得2520a a -=，解得0a =或25a =，故“z =”是“25a =”的必要不充分条件.故选：B ．3．AB 【分析】由三角形中的大边对大角，利用正弦定理和三角函数的性质，结合充要条件的定义，判断各选项的正误【详解】ABC 中，由正弦定理sin sin a bA B=可知，sin sin A B >时有a b >，a b >时有sin sin A B >，A 选项正确；余弦函数在()0,π上单调递减，ABC 中，当a b >时有A B >，则有cos cos A B <；当cos cos A B <时有A B >，则有a b >，B 选项正确；ABC 中，当a b >时有A B >，当A 为钝角，B 为锐角时，tan 0tan A B <<，C 选项错误；ABC 中，当a b >时有A B >，当A 为钝角，B 为锐角时，sin 20sin 2A B <<，D 选项错误.故选：AB 4．CD【分析】根据给定函数，探讨函数的奇偶性，利用导数探讨函数的单调性，再利用性质即可判断作答.【详解】函数()2sin f x x x =+的定义域为R ，22()||sin ()||sin ()f x x x x x f x -=-+-=+=，即函数()f x 是R 上的偶函数，当0x ≥时，2()sin f x x x =+，求导得()12sin cos 1sin 20f x x x x '=+=+≥，则函数()f x 在[0,)+∞上单调递增，对于A ，取122,3x x ==-，满足12x x >，而(2)(3)(3)f f f <=-，A 不是；对于B ，取121,2x x ==，满足120x x +>，而(1)(2)f f <，B 不是；对于CD ，221212||||x x x x >⇔>，于是12(||)(||)f x f x >，由函数()f x 是偶函数得12()()f x f x >，CD 是.故选：CD 5．充分必要【分析】先由函数tan y x =的图象关于()0,0x 中心对称求得0x 的值，再解方程0sin20x =求得0x 的值，进而得到二者间的逻辑关系.【详解】函数tan y x =图象的对称中心为π,0,2k k ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭Z ，所以由“函数y =tan x 的图象关于(x 0,0)中心对称”等价于“0π,2k x k =∈Z ”．因为0sin20x =等价于02π,x k k =∈Z ，即0π,2k x k =∈Z ．所以“函数tan y x =的图象关于()0,0x 中心对称”是“0sin20x =”的是充分必要条件．故答案为：充分必要6．①②【分析】①由含有一个量词的命题的否定的定义判断；②利用导数的几何意义判断；③利用分段函数的单调性求解判断；④根据回归直线恒过样本中心，但样本点不一定在回归直线上判断；【详解】①由含有一个量词的命题的否定知：命题“,cos 1x R x ∀∈≤”的否定是“,cos 1x R ∃∈>”，故正确.②因为3y x =，所以()()2300,0,0y x y y ''===，所以曲线在0x =处的切线方程是0y =，故正确；③若函数1,1,()23,1x ae x f x x x -⎧=⎨+>⎩为增函数，则05a a >⎧⎨≤⎩，解得05a <≤，所以函数为增函数的充要条件是05a <≤，故错误；④回归方程y bx a =+$$$恒过样本点的中心，但样本点不一定落在回归直线上，故错误；故答案为：①②反思提升：充分条件、必要条件的两种判定方法：(1)定义法：根据p ⇒q ，q ⇒p 进行判断，适用于定义、定理判断性问题.(2)集合法：根据p ，q 对应的集合之间的包含关系进行判断，多适用于条件中涉及参数范围的推断问题.【考点2】充分、必要条件的应用一、单选题1．（23-24高三上·浙江宁波·期末）命题“[]2,1x ∃∈-，20x x a -->”为假命题的一个充分不必要条件是（）A ．14a -≤B ．0a ≤C ．6a ≥D ．8a ≥2．（22-23高二下·湖南·阶段练习）已知集合{}2|120A x x x =--≤，{22|3210}B x x mx m m =-++-<，若“x A ∈”是“x B ∈”的必要不充分条件，则实数m 的取值范围为（）A ．[]3,2-B ．[]1,3-C ．51,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．52,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦二、多选题3．（2021·福建宁德·模拟预测）已知命题p ：关于x 的不等式220x ax a -->的解集为R ，那么命题p 的一个必要不充分条件是（）A ．112a -<<-B ．203a -<<C ．10a -≤≤D ．1a ≥-4．（2023·广东·模拟预测）已知函数()1e ln xf x x -=+，则过点(),(0)a b a >恰能作曲线()y f x =的两条切线的充分条件可以是（）A ．211b a =-<B ．211b a =->C ．()211f a a <-<D ．()211a f a ->>三、填空题5．（2022·吉林长春·模拟预测）设命题():0ln 2ln 3p x <-≤，命题()():2230q x m x m ---≤．若q 是p 的必要不充分条件，则实数m 的取值范围是．6．（2024·上海普陀·二模）设等比数列{}n a 的公比为(1,N)q n n ≥∈，则“212a ，4a ，32a 成等差数列”的一个充分非必要条件是.参考答案：1．D【分析】首先转化为存在量词命题的否定，求参数a 的取值范围，再求其真子集，即可判断选项.【详解】若命题“[]2,1x ∃∈-，20x x a -->”为假命题，则命题的否定“[]2,1x ∀∈-，20x x a --≤”为真命题，即2a x x ≥-，[]2,1x ∈-恒成立，221124y x x x ⎛⎫=-=-- ⎪⎝⎭，[]2,1x ∈-，当2x =-，取得最大值6y =，所以6a ≥，选项中只有{}8a a ≥是{}6a a ≥的真子集，所以命题“[]2,1x ∃∈-，20x x a -->”为假命题的一个充分不必要条件为8a ≥.故选：D 2．C【分析】解不等式，确定集合A ，讨论m 的范围，确定B ，根据题意推出B A ，由此列出不等式组，即可求得答案.【详解】由题意集合{}2|120[3,4]A x x x =--≤=-，{22|3210}{|(1)(21)0}B x x mx m m x x m x m =-++-<=---+<，若m>2，则211m m ->+，此时(1,21)B m m =+-，因为“x A ∈”是“x B ∈”的必要不充分条件，故BA ,故214513,222m m m m -≤⎧⎪+≥-∴<≤⎨⎪>⎩；若2m <，则211m m -<+，此时(21,1)B m m =-+，因为“x A ∈”是“x B ∈”的必要不充分条件，故BA ,故14213,122m m m m +≤⎧⎪-≥-∴-≤<⎨⎪<⎩；若2m =，则211m m -=+，此时B =∅，满足BA ,综合以上可得51,2m ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，故选：C 3．CD【分析】求出命题p 成立时a 的取值范围，再根据必要不充分条件的定义判断即可．【详解】命题p ：关于x 的不等式220x ax a -->的解集为R ，则2440a a ∆=+<，解得10a -<<又()1,0-[]1,0-，()1,0-[)1,-+∞，故选：CD ．4．AB【分析】设切点坐标为0100(,e ln )x x x -+，则有00110001eln (e )()x x x b x a x --+-=+-，所以问题转化为方程010000e (1)ln 10(0)x a x a x b x x ----++-=>恰有两个解，令1()e (1)ln 1(0)x ag x x a x b x x-=---++->，然后利用导数求解其零点即可.【详解】由()1e ln x f x x -=+，得11()e (0)x f x x x-'=+>，设切点为0100(,e ln )x x x -+，则切线的斜率为0101e x k x -=+，所以有00110001eln (e )()x x x b x a x --+-=+-，整理可得：010000e(1)ln 10(0)x ax a x b x x ----++-=>，由题意可知：此方程有且恰有两个解，令1()e (1)ln 1(0)x a g x x a x b x x -=---++->，()()()112;0,;,;g b a x g x x g x =+-→→-∞→+∞→-∞，112211()e ()()(e 0)x x a g x x a x a x x x x--'=--+=-->，令121()e0)x F x x x -=->，则132()e 0(0)x F x x x -'=+>>，所以()F x 在(0,)+∞上单调递增，因为11(1)e 10F -=-=，所以当01x <<时，()0F x '<；当1x >时，()0F x '>，①当1211a -<-<，即01a <<时，当0x a <<时，()0g x '>，则函数()g x 单调递增，当1<<a x 时，()()()()()()0,1,21,21g x g a g b f a b a f a a ->--<-'，函数()g x 单调递减，当1x >时，()0g x '>，则函数()g x 单调递增，所以只要()0g a =或(1)0g =，即()1e ln a b af a -=+=或21(1,1)b a =-∈-；②当211a ->，即1a >时，当01x <<时，()0g x '>，则函数()g x 单调递增，当1x a <<时，()()()()0,1,21,g x g g a f a a >-'函数()g x 单调递减，当x a >时，()0g x '>，则函数()g x 单调递增，当x a =时，1()e ln a g a b a -=--，所以只要(1)0g =或()0g a =，由(1)0g =可得：211b a =->，由()0g a =得1e ln ()a b a f a -=+=；③当1a =时，121()(1)(e )0x g x x x -'=-->，所以函数()g x 在(0,)+∞上单调递增，所以函数至多有一个零点，不合题意；综上：当01a <<时，()211b f a a =<-<或211b a =-<；当1a >时，211b a =->或()211b f a a =>->，所以选项A 正确，B 正确，C 错误，D 错误，故选：AB【点睛】关键点睛：解题的关键是根据题意将问题转化为方程010000e(1)ln 10(0)x ax a x b x x ----++-=>恰有两个解，构造函数1()e (1)ln 1(0)x a g x x a x b x x-=---++->，再次将问题转化为此函数有两个零点，然后利用导数通过分析其单调性可求得结果.5．312m ≤≤【分析】化简命题p 和q ，利用真子集关系列式可求出结果.【详解】由():0ln 2ln 3p x <-≤，得123x <-≤，即35x <≤；由()():2230q x m x m ---≤，得223m x m ≤≤+，因为q 是p 的必要不充分条件，所以5}|3{x x <≤是{|223}x m x m ≤≤+的真子集，所以23235m m ≤⎧⎨+≥⎩且两个等号不同时取，解得312m ≤≤.故答案为：312m ≤≤6．3q =（或2q =-,答案不唯一）【分析】根据已知条件，结合等差数列、等比数列的性质，即可求解．【详解】212a ，4a ，32a 成等差数列，则4232122a a a =+，即26q q =+，解得3q =或2q =-，故“212a ，4a ，32a 成等差数列”的一个充分非必要条件是3q =（或2)q =-．故答案为：3q =（或2q =-,答案不唯一）反思提升：充分条件、必要条件的应用，一般表现在参数问题的求解上.解题时需注意(1)把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解.(2)要注意区间端点值的检验.【考点3】全称量词与存在量词一、单选题1．（2024·陕西咸阳·模拟预测）下列命题中，真命题是（）A ．“1,1a b >>”是“1ab >”的必要条件B ．0,e 2x x x ∀>>C ．20,2x x x >≥∀D ．0a b +=的充要条件是1ab=-2．（23-24高一下·湖南郴州·阶段练习）已知0a >，()212f x ax bx =-，则0x 是方程ax b =的解的充要条件是（）A ．()()0,x f x f x ∃∈≥R B ．()()0,x f x f x ∃∈≤RC ．()()0,x f x f x ∀∈≥RD ．()()0,x f x f x ∀∈≤R 二、多选题3．（2023·海南·模拟预测）已知命题p :“2,260x R x x a ∃∈-++=”，:q "2,10x R x mx ∀∈++>”，则下列正确的是（）A ．p 的否定是“2,260x R x x a ∀∈-++≠”B ．q 的否定是“2,10x R x mx ∃∈++>”C ．若p 为假命题，则a 的取值范围是5a <-D ．若q 为真命题，则m 的取值范围是22m -<<4．（2023·山西·模拟预测）下列结论正确的是（）A ．sin sin ()e e x x f x =+是偶函数B ．若命题“x ∃∈R ，2210x ax ++<”是假命题，则11a -≤≤C ．设x ，y ∈R ，则“1x ≥，且1y ≥”是“222x y +≥”的必要不充分条件D ．0ab ∃>，111a b b a-=-三、填空题5．（2024·陕西宝鸡·一模）命题“任意(1,3)x ∈，4≥+a x x”为假命题，则实数a 的取值范围是．6．（2024·辽宁·模拟预测）命题p ：存在[]1,1m ∈-，使得函数()22f x x mx =-在区间[),a +∞内单调，若p 的否定为真命题，则a 的取值范围是.参考答案：1．B【分析】举反例来判断ACD ，利用指数函数的性质判断B.【详解】对于A ，当2,1a b ==时，满足1ab >，但不满足1,1a b >>，故“1,1a b >>”不是“1ab >”的必要条件，故错误；对于B ，根据指数函数的性质可得，对于e 0,12xx ⎛⎫∀>> ⎪⎝⎭，即e 2x x >，故正确；对于C ，当3x =时，22x x <，故错误；对于D ，当0a b ==时，满足0a b +=，但1ab=-不成立，故错误.故选：B.2．C【分析】利用二次函数的图象和性质，理解全称量词命题和存在量词命题的真假以及充要条件的意义即可.【详解】因为0a >，所以函数()212f x ax bx =-的图象是开口向上的抛物线，且对称轴为：122b bx a a -=-=⨯，函数的最小值为b f a ⎛⎫⎪⎝⎭.若“0x 是方程ax b =的解”，则0b x a =，那么()0b f x f a ⎛⎫= ⎪⎝⎭就是函数()f x 的最小值，所以“x ∀∈R ，()()0f x f x ≥”，即“0x 是方程ax b =的解”是“x ∀∈R ，()()0f x f x ≥”的充分条件；若“x ∀∈R ，()()0f x f x ≥”，则()0f x 为函数()f x 的最小值，所以0bx a=，即0ax b =，所以“0x 是方程ax b =的解”，故“0x 是方程ax b =的解”是“R x ∀∈，()()0f x f x ≥”的必要条件.综上可知：“0x 是方程ax b =的解”的充要条件是“x ∀∈R ，()()0f x f x ≥”.故选：C 3．AD【分析】根据含有一个量词的命题的否定判断A 、B ；C 选项转化为一元二次方程无实数解，用判别式计算a 的取值范围；D 选项转化为二次不等式恒成立，计算参数的范围.【详解】含有一个量词的命题的否定，是把量词改写，再把结论否定，所以A 正确，B 不正确；C 选项，若p 为假命题，则p 的否定“2,260x R x x a ∀∈-++≠”是真命题，即方程2260x x a -++=在实数范围内无解，44(6)0a ∆=-+<，得5a >-，C 不正确；D 选项，2,10x R x mx ∀∈++>，等价于240m ∆=-<，解得22m -<<，D 正确；故选：AD.4．ABD【分析】根据函数奇偶性的定义即可判断选项A ；根据特称命题的的真假判断选项B ；根据必要不充分条件的判断即可判断选项C ；根据等式的性质判断选项D .【详解】对于A ，函数sin sin ()e e x x f x =+的定义域为R ，且sin sin sin sin ()e e e e ()x x x x f x f x ---=+=+=，所以函数为偶函数，故选项A 正确；对于B ，若命题“x ∃∈R ，2210x ax ++<”是假命题，则2210x ax ++≥恒成立，所以2(2)40a ∆=-≤，解得11a -≤≤，故选项B 正确；对于C ，若1x ≥，且1y ≥，则222x y +≥成立，反之不一定成立，例如：2,3x y =-=-满足222x y +≥，但是0,0x y <<，故“1x ≥，且1y ≥”是“222x y +≥”充分不必要条件，故选C 错误；对于D ，若111a b b a -=-，则2230a ab b -+=，当32b a =时方程有解，所以0ab ∃>，111a b b a -=-，故选项D 正确；故选：ABD .5．(,5)-∞【分析】首先求命题为真命题时a 的取值范围，再求其补集，即可求解.【详解】若命题“任意(1,3)x ∈，4≥+a x x ”为真命题，则max 4a x x ⎛⎫≥+ ⎪⎝⎭，设4y x x =+，(1,3)x ∈，44x x +≥=，当2x =时，等号成立，由对勾函数的性质可知，当()1,2x ∈时，函数单调递减，当()2,3x ∈单调递增，()15f =，()43353f =+<，所以445x x≤+<，即5a ≥，所以命题“任意(1,3)x ∈，4≥+a x x”为假命题，则a 的取值范围为(),5-∞.故答案为：(),5-∞6．(),1-∞-【分析】先给出命题p 的否定，由函数2()2f x x mx =-的单调性进行求解.【详解】命题p 的否定为：任意[]1,1m ∈-，使得函数2()2f x x mx =-在区间[,)a +∞内不单调，由函数2()2f x x mx =-在(),m -∞上单调递减，在(),m +∞上单调递增，则a m <，而[]1,1m ∈-，得1a <-，故答案为：(),1-∞-反思提升：(1)含量词命题的否定，一是要改写量词，二是要否定结论.(2)判定全称量词命题“∀x ∈M ，p (x )”是真命题，需要对集合M 中的每一个元素x ，证明p (x )成立；要判定存在量词命题“∃x ∈M ，p (x )”是真命题，只要在限定集合内找到一个x ，使p (x )成立即可.(3)由命题真假求参数的范围，一是直接由命题的含义，利用函数的最值求参数的范围；二是利用等价命题，即p 与¬p 的关系，转化成¬p 的真假求参数的范围.【基础篇】一、单选题1．（2024·四川成都·三模）已知圆C ：221x y +=，直线l ：0x y c -+=，则“2c =”是“圆C 上恰存在三个点到直线l 的距离等于12”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要2．（2023·四川泸州·一模）已知命题:R p x ∀∈，2212x x +>，命题0:R q x ∃∈，0ln 2x =-，则下列命题是真命题的为（）A ．()p q⌝∧B ．p q∧C ．()p q ∧⌝D ．()()p q ⌝∧⌝3．（2024·全国·模拟预测）已知向量(1,2)a = ，(2,)b x = ，则“()()a b a b +⊥- ”是“1x =”的（）．A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．（2024·四川成都·模拟预测）设公差不为0的无穷等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，则“{}n a 为递减数列”是“存在正整数0n ，当0n n >时，0n S <”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件二、多选题5．（2021·辽宁·模拟预测）已知命题p ：0x ∃∈R ，200440ax x --=，若p 为真命题，则a 的值可以为（）A ．2-B ．1-C ．0D ．36．（2021·江苏·一模）下列选项中，关于x 的不等式()2120ax a x +-->有实数解的充分不必要条件的有（）A ．0a =B ．3a ≥-+C ．0a >D ．3a ≤--7．（23-24高三上·辽宁葫芦岛·期末）下列选项中，与“11x>”互为充要条件的是（）A ．1x <B ．20.50.5log log x x >C ．233x x<D ．()()11x x x x -=-三、填空题8．（22-23高二上·陕西咸阳·阶段练习）若命题“0a ∃<，1a b a+>”是假命题，则实数b 的取值范围为．9．（2024·辽宁大连·一模）“函数()2sin f x ax x =-是奇函数”的充要条件是实数=a ．10．（2022·全国·模拟预测）已知“321a x a -<<-”是“2560x x -+<”成立的必要不充分条件，请写出符合条件的整数a 的一个值.四、解答题11．（2023·河南南阳·模拟预测）设p ：实数x 满足22430x ax a -+<，q ：实数x 满足2680x x -+≤．(1)若1a =，且p 和q 均为真命题，求实数x 的取值范围；(2)若0a >且p ⌝是q ⌝的充分不必要条件，求实数a 的取值范围．12．（2023·重庆酉阳·一模）命题p ：任意x ∈R ，2230x mx m -->成立；命题q ：存在x ∈R ，2x +410mx +<成立.(1)若命题q 为假命题，求实数m 的取值范围；(2)若命题p 和q 有且只有一个为真命题，求实数m 的取值范围.参考答案：1．A【分析】利用圆C 上恰存在三个点到直线l 的距离等于12，等价于()0,0O 到直线l ：0x y c -+=的距离为12，从而利用点线距离公式与充分必要条件即可得解.【详解】因为圆C ：221x y +=的圆心()0,0O ，半径为1r =，当圆C 上恰存在三个点到直线l 的距离等于12时，则()0,0O 到直线l ：0x y c -+=的距离为12，12=，解得c =当2c =时，由上可知()0,0O 到直线l ：0x y c -+=的距离为12，此时圆C 上恰存在三个点到直线l 的距离等于12，即充分性成立；所以“2c =”是“圆C 上恰存在三个点到直线l 的距离等于12”的充分不必要条件.故选：A.2．A【分析】判断两个命题的真假后逐项分析即可【详解】1x =时2212x x+=，故p 假20e x -=时0ln 2x =-，故q 真故()p q ⌝∧为真故选：A【分析】利用向量数量积的坐标表示，结合充分性和必要性的定义求解即可.【详解】由题意，得(3,2)a b x +=+ ，()1,2a b x -=-- ，若()()a b a b +⊥- ，则()()0a b a b +⋅-= ，即2340x -+-=，解得1x =±，所以“1x =”推得出“()()a b a b +⊥- ”，即必要性成立，但“()()a b a b +⊥- ”推不出“1x =”，即充分性不成立，所以“()()a b a b +⊥- ”是“1x =”的必要不充分条件．故选：B ．4．C【分析】根据等差数列的通项以及前n 项和的函数性质，即可结合充要条件的定义求解.【详解】因为{}n a 是公差不为0的无穷等差数列，若“{}n a 为递减数列”，可得{}n a 的通项公式为一次函数且一次性系数小于0，一定存在正整数0n ，当0n n '>时,有0n a <，故存在0n ，当0n 远远大于0n '时，0n n >时，此时0n S <，故充分性成立，若存在正整数0n ，当0n n >时，21022n d d S n a n ⎛⎫=-< ⎪⎝⎭+，故二次函数开口向下，因此0d <，故{}n a 为递减数列，故必要性成立.故选：C ．5．BCD【分析】将条件转化为对应方程有根问题，分0a =和0a ≠两种情况，进行求解即可．【详解】命题p ：0x ∃∈R ，200440ax x --=，p 为真命题，即2440ax x --=有根，当0a =时，=1x -成立，当0a ≠时，需满足2(4)4(4)0a ∆=--⨯⋅-≥，解得1a ≥-且0a ≠，a ∴的取值范围为[1,)-+∞，故选：BCD ．【分析】先找其充要条件，然后取它的子集.【详解】0a ≥时必有解，当a<0时，()21803a a a ∆=-+>⇒<--或30a -+<，故AC 符合题意.故选：AC7．BC【分析】求解各不等式判断即可.【详解】对A ，11x>则110x ->，即10x x ->，()10x x -<，解得01x <<，故A 错误；对B ，20.50.5log log x x >则20x x <<，故()10x x -<，解得01x <<，故B 正确；对C ，233x x <则2x x <，解得01x <<，故C 正确；对D ，()()11x x x x -=-，则()10x x -≤，解得01x ≤≤，故D 错误.故选：BC8．[)2,-+∞【分析】将问题转化命题“0a ∀<，1a b a +≤”是真命题求解.【详解】解：因为命题“0a ∃<，1a b a +>”是假命题，所以命题“0a ∀<，1a b a +≤”是真命题，又当0a <时，112a a a a ⎛⎫+=--+≤-=- ⎪-⎝⎭，当且仅当1a a-=-，即1a =-时等号成立，所以max 12a a ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，所以2b ≥-，所以实数b 的取值范围为[)2,-+∞，故答案为：[)2,-+∞.9．0【分析】结合三角函数奇偶性、幂函数奇偶性以及奇偶性的定义即可运算求解.【详解】若函数()2sin f x ax x =-是奇函数，则当且仅当()()()()22sin sin f x ax x a x x f x ⎡⎤=-=----=--⎣⎦，也就是220ax =恒成立，从而只能0a =.故答案为：0.10．2【分析】先解出2560x x -+<的解集，然后根据必要不充分条件判断两集合的包含关系即可求解.【详解】由2560x x -+<，得23x <<,令{}|321A x a x a =-<<-，{}23|B x x =<<，“321a x a -<<-”是“2560x x -+<”成立的必要不充分条件，B A ∴.32132213a a a a -<-⎧⎪∴-≤⎨⎪-≥⎩（等号不同时成立），解得25a ≤≤，故整数a 的值可以为2,3,4,5.故答案为：2,3,4,5中任何一个均可.11．(1)[)2,3；(2)4,23⎛⎫ ⎪⎝⎭.【分析】（1）根据一元二次不等式求解p ，q 为真命题时的范围，即可求解，（2）根据充分不必要条件，即可列不等式求解.【详解】（1）当1a =时，由22430x ax a -+<，得2430x x -+<，解得13x <<，即p 为真命题时，实数x 的取值范围是()1,3由2680x x -+≤，解得24x ≤≤，即q 为真命题时，实数x 的取值范围是[]2,4．所以若p ，q 均为真命题，则实数x 的取值范围为[)2,3．（2）由22430x ax a -+<，得()()30x a x a --<，因为0a >，所以3a a <，故p ：3a x a <<．若p ⌝是q ⌝的充分不必要条件，则q 是p 的充分不必要条件，所以234a a <⎧⎨>⎩，解可得423a <<．故实数a 的取值范围是4,23⎛⎫ ⎪⎝⎭。

专题02 常用逻辑用语一、选择题局部1.(2021•高考全国乙卷•文T3)命题:,sin 1p x x ∃∈<R ﹔命题:q x ∀∈R ﹐||e 1x ≥，那么以下命题中为真命题的是〔〕A. p q ∧B. p q ⌝∧C. p q ∧⌝D. ()p q ⌝∨ 【答案】A ．【解析】由于1sin 1x -≤≤，所以命题p 为真命题；由于0x ≥，所以||e 1x ≥，所以命题q 为真命题；所以p q ∧为真命题，p q ⌝∧、p q ∧⌝、()p q ⌝∨为假命题.应选A ．2.(2021•山东聊城三模•T 4.)直线l:(a −1)x +y −3=0，圆C:(x −1)2+y 2=5．那么“ a =−1 〞是“ l 与C 相切〞的〔〕．A. 必要不充分条件B. 充分不必要条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B ．【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断，直线与圆的位置关系【解析】圆C:(x −1)2+y 2=5的圆心为(1,0)，半径r =√5，由直线l 和C 相切可得：圆心到直线的距离d =√(a−1)2+1=√5，解得2a 2−a −3=0，解得a =−1或a =32， 故a =−1是a =−1或a =32的充分不必要条件，故答案为：B.【分析】根据直线与圆相切的性质解得a =−1或a =32，再由充分必要条件即可判断B 正确。

3.(2021•安徽蚌埠三模•文T 3．)下面四个条件中，使a ＞b 成立的必要不充分条件是〔 〕A ．a ﹣2＞bB ．a +2＞bC ．|a |＞|b |D ．【答案】B ．【解析】a ＞b 无法推出a ﹣2＞b ，故A 错误；“a ＞b 〞能推出“a +2＞b 〞，应选项B 是“a ＞b 〞的必要条件，但“a +2＞b 〞不能推出“a ＞b 〞，不是充分条件，满足题意，故B 正确；“a ＞b 〞不能推出“|a |＞|b |〞即a 2＞b 2，应选项C 不是“a ＞b 〞的必要条件，故C 错误； a ＞ b 无法推出＞，如a ＞b ＞1时，故D 错误．4.(2021•上海嘉定三模•T13．)直角坐标平面上两条直线方程分别为l 1：a 1x +b 1y +c 1＝0，l 2：a 2x +b 2y +c 2＝0，那么“＝0是“两直线l 1，l 2平行〞的〔 〕 A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】B．【解析】假设“＝0那么a1b2﹣a2b1＝0，假设a1c2﹣a2c1＝0，那么l1不平行于l2，假设“l1∥l2〞，那么a1b2﹣a2b1＝0，∴＝0，故“＝0是“两直线l1，l2平行的必要不充分条件．5.(2021•河南济源平顶山许昌三模•文T11．)以下结论中正确的选项是〔〕①设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，假设m⊥α，m∥n，n∥β，那么α⊥β；②x＝是函数y＝sin x+sin〔β﹣x〕取得最大值的充要条件；③命题p：∀x∈R，4x＜5x；命题q：∃x＞0，x2＞2x，那么￢p∧q为真命题；④等差数列{a n}中，前n项和为S n，公差d＜0，假设a8＝|a9|，那么当S n取得最大值时，n＝15．A．①③B．①④C．②③D．③④【答案】A．【解析】对于①：设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，假设m⊥α，m∥n，直线m相当于平面α的法向量，由于n∥β，那么α⊥β，故①正确；对于②，函数f〔x〕＝sin x+sin〔﹣x〕满足f〔0〕＝f〔〕，故x＝不是取得最大值的充要条件，故②错误；③命题p：∀x∈R，4x＜5x；当x＝﹣1时，不成立，命题q：∃x＞0，x2＞2x，当x＝3时，成立，那么￢p∧q为真命题，故③正确；④等差数列{a n}中，前n项和为S n，公差d＜0，假设a8＝|a9|，即a8＝﹣a9，那么当S n取得最大值时，n＝8或9，故④错误．6.(2021•上海浦东新区三模•T14．)关于x、y的二元一次方程组的系数行列式D＝0是该方程组有解的〔〕A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】D．【解析】系数行列式D≠0时，方程组有唯一的解，系数行列式D＝0时，方程组有无数个解或无解．∴当系数行列式D＝0，方程可能有无数个解，也有可能无解，反之，假设方程组有解，可能有唯一解，也可能有无数解，那么行列式D可能不为0，也可能为0．∴系数行列式D＝0是方程有解的既不充分也不必要条件．7.(2021•福建宁德三模•T3) 不等式x2−2x−3<0成立的一个充分不必要条件是( )A. −1<x<3B. −1≤x<2C. −3<x<3D. 0≤x<3【答案】D．【解析】∵x2−2x−3<0，∴−1<x<3，∵[0,3)⊊(−1,3),∴不等式x2−2x−3<0成立的一个充分不必要条件是[0,3),应选：D.先解不等式x2−2x−3<0的解集，利用子集的包含关系，借助充分必要条件的定义即可．此题考查了充分必要条件的判定，一元二次不等式的解法，属于根底题．8.(2021•宁夏中卫三模•理T2．)命题“假设a2+b2＝0，那么a＝0且b＝0〞的否认是〔〕A．假设a2+b2≠0，那么a≠0且b≠0B．假设a2+b2＝0，那么a≠0且b≠0C．假设a2+b2≠0，那么a≠0或b≠0D．假设a2+b2＝0，那么a≠0或b≠0【答案】D．【解析】命题“假设a2+b2＝0，那么a＝0且b＝0〞的否认是“假设a2+b2＝0，那么a≠0或b≠0〞．8.(2021•江西南昌三模•理T7．)随机变量X服从正态分布，有以下四个命题：①P〔X≥k〕＝0.5；②P〔X＜k〕＝0.5；③P〔X＞k+1〕＜P〔X＜k﹣2〕；④P〔k﹣1＜X＜k〕＞P〔k+1＜X＜k+2〕．假设只有一个假命题，那么该假命题是〔〕A．①B．②C．③D．④【答案】C．【解析】因为4个命题中只有一个假命题，又①P〔X≥k〕＝0.5；②P〔X＜k〕＝0.5，由正态分布的相知可知，①②均为真命题，所以μ＝k，那么P〔X＞k+1〕＞P〔X＞k+2〕＝P〔X＜k﹣2〕，故③错误；因为P〔k﹣1＜X＜k〕＝P〔k＜X＜k+1〕＞P〔k+1＜X＜k+2〕，故④正确．9.(2021•江西上饶三模•理T 1．)设x∈R，那么“﹣2＜x＜2〞是“1＜x＜2〞的〔〕A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】B．【解析】∵〔1,2〕⊊(﹣2,2),∴﹣2＜x＜2是1＜x＜2的必要不充分条件．10.(2021•安徽马鞍山三模•理T5．)命题p：“∃x∈R，x2﹣x+1＜0〞，那么￢p为〔〕A．∃x∈R，x2﹣x+1≥0B．∃x∉R，x2﹣x+1≥0C．∀x∈R，x2﹣x+1≥0D．∀x∈R，x2﹣x+1＜0【答案】C．【解析】由特称命题的否认为全称命题，可得命题p：∃x∈R，x2﹣x+1＜0，那么￢p是∀x∈R，x2﹣x+1≥0．11.(2021•浙江杭州二模•理T3．)设，是非零向量，那么“⊥〞是“函数f〔x〕＝〔x+〕•〔x﹣〕为一次函数〞的〔〕A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【答案】B．【解析】f〔x〕＝〔x〕•〔x﹣〕＝•x2+〔﹣〕x﹣•，假设⊥，那么•＝0，如果同时有||＝||，那么函数恒为0，不是一次函数，故不充分；如果f〔x〕是一次函数，那么•＝0，故⊥，该条件必要．12.(2021•江西鹰潭二模•理T5．)以下命题中，真命题的是〔〕A．函数y＝sin|x|的周期是2πB．∀x∈R，2x＞x2C．函数y＝ln是奇函数D．a+b＝0的充要条件是＝﹣1【答案】C．【解析】对于A，函数y＝sin|x|不是周期函数，故A是假命题；对于B，当x＝2时2x＝x2，故B是假命题；对于C，函数y＝f〔x〕＝ln的定义域〔﹣2，2〕关于原点对称，且满足f〔﹣x〕＝﹣f〔x〕，故函数f〔x〕是奇函数，故C是真命题；对于D，“a+b＝0〞的必要不充分条件是“＝﹣1〞，即D是假命题．+2kπ,(k∈Z)〞的( )13.(2021•北京门头沟二模•理T6)“sinα=cosα〞是“α=π4A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B．【解析】由“sinα=cosα〞得：α=kπ+π4，k∈Z，故sinα=cosα是“α=π4+2kπ,(k∈Z)〞的必要不充分条件，应选：B.根据充分必要条件的定义结合集合的包含关系判断即可．此题考查了充分必要条件，考查三角函数以及集合的包含关系，是一道根底题．14.(2021•天津南开二模•T2．)x∈R，那么“〞是“x2＜1〞的〔〕A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】B．【解析】由＜0，解得x＜1；由x2＜1，解得﹣1＜x＜1，∵〔﹣1，1〕⊆〔﹣∞，1〕∴“〞是“x2＜1〞的必要不充分条件．15.(2021•辽宁朝阳二模•T4．)x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0的两个不同的实根x1，x2，那么“x1＞1且x2＞1〞是“x1+x2＞2且x1•x2＞1〞的〔〕A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【答案】A．【解析】x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0的两个不同的实根x1，x2，那么当“x1＞1且x2＞1〞时，整理得：“x1+x2＞2且x1•x2＞1〞．当x1＝0.99，x2＝2，满足：“x1+x2＞2且x1•x2＞1〞但是“x1＞1且x2＞1〞不成立，故“x1＞1且x2＞1〞是“x1+x2＞2且x1•x2＞1〞的充分不必要条件．16.(2021•浙江丽水湖州衢州二模•T6．)“关于x的方程＝|x﹣m|〔m∈R〕有解〞的一个必要不充分条件是〔〕A．m∈[﹣2，2]B．m∈[﹣，]C．m∈[﹣1，1]D．m∈[1，2]【答案】C．【解析】化简＝|x﹣m|，得2x2﹣2mx+m2﹣1＝0，关于x的方程＝|x﹣m|有解的充要条件是△≥0，即4m2﹣8〔m2﹣1〕≥0，解得﹣≤m．因此关于x的方程＝|x﹣m|，有解的必要不充分条件是﹣≤m的真子集．17.(2021•安徽淮北二模•文T5．)在△ABC中，“sin A＞cos B〞是“△ABC为锐角三角形〞的〔〕A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】B．【解析】假设B为钝角，A为锐角，那么sin A＞0，cos B＜0，那么满足sin A＞cos B，但△ABC为锐角三角形不成立，假设△ABC为锐角三角形，那么A，B，π﹣A﹣B都是锐角，即π﹣A﹣B＜，即A+B＞，B＞﹣A，那么cos B＜cos〔﹣A〕，即cos B＜sin A，故“sin A＞cos B〞是“△ABC为锐角三角形〞的必要不充分条件．18.(2021•宁夏银川二模•文T4．)平面α，直线m，n满足m⊄α，n⊂α，那么“m∥α〞是“m∥n〞的〔〕A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【答案】B．【解析】因为m⊄α，n⊂α，当m∥α时，m与n不一定平行，即充分性不成立；当m∥n时，满足线面平行的判定定理，m∥α成立，即必要性成立；所以“m∥α〞是“m∥n〞的必要不充分条件．19.(2021•新疆乌鲁木齐二模•文T3．)命题p：∀x∈R，cos x≤1，那么〔〕A．￢p：∃x0∈R，cos x0≥1B．￢p：∀x∈R，cos x≥1C．￢p：∀x∈R，cos x＞1D．￢p：∃x0∈R，cos x0＞1【答案】D．【解析】因为全称命题的否认是特称命题，所以命题p：∀x∈R，cos x≤1，￢p：∃x0∈R，cos x0＞1．20.(2021•山西调研二模•文T3.)p：a∈(1,3)，q：f(x)=log a x在(0,+∞)单调递增，那么p 是q的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A．【解析】∵q：f(x)=log a x在(0,+∞)单调递增，∴a>1，∵(1,3)⊊(1,+∞)，∴p是q的充分不必要条件，应选：A.根据对数函数单调性的性质，求出a的等价条件，利用充分条件和必要条件的定义进行判断即可得到结论．此题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据对数函数的单调性是解决此题的关键．二、填空题局部21.(2021•安徽马鞍山三模•文T13．)命题“∃x0∈R，x02﹣x0+1＜0〞，写出这个命题的否认：．【答案】∀x∈R，x2﹣x+1≥0．【解析】因为特称命题的否认是全称命题，所以命题：∃x0∈R，x02﹣x0+1＜0的否认：∀x∈R，x2﹣x+1≥0．22.(2021•贵州毕节三模•文T13．)命题“假设sinα＝sinβ，那么α＝β〞的否命题为真命题．〔填“真〞或“假〞〕【答案】真．【解析】命题“假设sinα＝sinβ，那么α＝β〞的否命题为假设sinα≠sinβ，那么α≠β〞其否命题为真命题．23.(2021•福建宁德三模•T15) 能够说明“假设ax >ay，a<0，那么x>y〞是假命题的一组整数x，y的值依次为______ .【答案】−1，1(满足x<0，y>0，x，y∈Z均可)【解析】当ax >ay，a<0，可得1x<1y，①当x，y同号时，可得x>y，②当x，y异号时，y>0>x。

第1课时全称量词命题与存在量词命题必备知识基础练进阶训练第一层知识点一全称量词与全称量词命题1.下列命题中全称量词命题的个数为()①平行四边形的对角线互相平分；②梯形有两边平行；③存在一个菱形，它的四条边不相等．A．0 B．1C．2 D．32．试判断下列全称量词命题的真假：（1)∀x∈R，x2＋2＞0;(2）∀x∈N，x4≥1；(3）∀x∈R，x2＋1≥2.知识点二存在量词与存在量词命题3。

下列命题中，存在量词命题的个数是()①有些自然数是偶数；②正方形是菱形；③能被6整除的数也能被3整除；④任意x∈R,y∈R，都有x2＋｜y｜〉0.A．0 B．1C．2 D．34．判断下列存在量词命题的真假：(1）有的集合中不含有任何元素．(2）存在对角线不互相垂直的菱形．(3)∃x∈R，满足3x2＋2〉0.（4）有些整数只有两个正因数．知识点三全称量词命题与存在量词命题的应用5.已知命题p：“∀x∈R，mx2≥0”是真命题，则实数m的取值范围是________．6．已知命题p：∀错误!≤x≤2，2x－a≥0，命题q：∃x∈R，x2＋2ax＋2＝0.若p和q都是真命题，求实数a的取值范围．关键能力综合练进阶训练第二层1．下列命题中，不是全称量词命题的是(）A．任何一个实数乘0都等于0B．自然数都是正整数C．对于任意x∈Z,2x＋1是奇数D．一定存在没有最大值的二次函数2．下列命题中,是真命题且是全称量词命题的是() A．对任意的a，b∈R，都有a2＋b2－2a－2b＋2＜0 B．菱形的两条对角线相等C．存在x∈R，使得x2＝xD．二次函数y＝x2－ax－1的图象与x轴恒有交点3．既是存在量词命题，又是真命题的是()A．斜三角形的内角是锐角或钝角B．至少有一个x∈R，使x2≤0C．两个无理数的和是无理数D．存在一个负数x，使错误!＞24．下列四个命题：①没有一个无理数不是实数；②空集是任何一个非空集合的真子集;③1＋1〈2；④至少存在一个整数x，使得x2－x＋1是整数．其中是真命题的为()A．①②③④ B．①②③C．①②④ D．②③④5．下面四个命题：①∀x∈R,x2－3x＋2〉0；②∃x∈Q,x2＝2;③∃x∈R，x2＋1＝0；④∀x∈R，4x2〉2x－1＋3x2.其中真命题的个数为（)A．3 B．2C．1 D．06．（易错题)已知命题p：∃x∈R，x2＋x＋a＝0，若命题p 是假命题,则实数a的取值范围是()A．a〉14B．a≤错误!C．a〈错误!D．a≥错误!7．命题“有些负数满足不等式（1＋x）(1－9x2）〉0”用“∃”写成存在量词命题为_________________________________．8．下列命题：①偶数都可以被2整除;②角平分线上的任一点到这个角的两边的距离相等；③有的实数是无限不循环小数；④有的菱形是正方形；⑤存在三角形其内角和大于180°.既是全称量词命题又是真命题的是________，既是存在量词命题又是真命题的是________(填上所有满足要求的序号）．9．已知命题“∀x∈R，函数y＝2x2＋x＋a的函数值恒大于0”是真命题，则实数a的取值范围是________．10．(探究题)若存在一个实数x，使不等式m－（x2－2x＋5）>0成立，求实数m的取值范围．学科素养升级练进阶训练第三层1．（多选题）已知A＝{x|1≤x≤2},命题“∀x∈A，x2－a≤0”是真命题的一个充分不必要条件可以是(）A．a≥3 B．a≥4C．a≥5 D．a≥62．若对于任意x∈R,都有ax2＋2x＋a〈0，则实数a的取值范围是________．3．（学科素养—逻辑推理）已知函数y1＝x错误!，y2＝－2x2－m，若对∀x1∈{x｜－1≤x≤3｝,∃x2∈{x|0≤x≤2}，使得y1≥y2，求实数m的取值范围．2．2全称量词与存在量词第1课时全称量词命题与存在量词命题必备知识基础练1．解析：①②是全称量词命题，③是存在量词命题．答案：C2．解析：（1)由于∀x∈R，都有x2≥0.因而有x2＋2≥2＞0.即x2＋2＞0,所以命题“∀x∈R,x2＋2＞0”是真命题．（2）由于0∈N，当x＝0时,x4≥1不成立，所以命题“∀x∈N，x4≥1”是假命题．（3)由于0∈R，当x＝0时，x2＋1≥2不成立,所以“∀x∈R，x2＋1≥2”是假命题．3．解析：命题①含有存在量词;命题②可以叙述为“所有的正方形都是菱形”,故为全称量词命题；命题③可以叙述为“一切能被6整除的数也能被3整除"，是全称量词命题；命题④是全称量词命题,故有1个存在量词命题．答案：B4．解析:（1）由于空集中不含有任何元素．因此“有的集合中不含有任何元素"为真命题．（2)由于所有菱形的对角线都互相垂直．所以不存在对角线不垂直的菱形．因此存在量词命题“存在对角线不互相垂直的菱形"为假命题．(3）∀x∈R,有3x2＋2〉0，因此存在量词命题“∃x∈R,3x2＋2>0”是真命题．（4）由于存在整数3只有正因数1和3。

2020-2021学年高中数学必修一：常用逻辑用语一、选择题(每小题5分，共40分)1．命题“∃x∈R，x3>0”的否定是(B)A．∃x∈R，x3≥0 B．∀x∈R，x3≤0C．∃x∈R，x3<0 D．∀x∈R，x3>0解析：因为存在量词命题的否定是全称量词命题，否定存在量词命题时，要将存在量词改写为全称量词并且否定结论，所以命题“∃x ∈R，x3>0”的否定是∀x∈R，x3≤0.故选B.2．将命题“x2＋y2≥2xy”改写成全称量词命题为(A)A．对任意x，y∈R，都有x2＋y2≥2xy成立B．存在x，y∈R，使x2＋y2≥2xy成立C．对任意x>0，y>0，都有x2＋y2≥2xy成立D．存在x<0，y<0，使x2＋y2≤2xy成立解析：改写成全称量词命题为：对任意x，y∈R，都有x2＋y2≥2xy 成立．故选A.3.已知p：a≠0，q：ab≠0，则p是q的(B)A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：p：a≠0，q：ab≠0，显然a≠0，不一定有ab≠0，但是ab≠0⇒a≠0，所以p是q的必要不充分条件．故选B.4．设命题p：∀x>0，|x|＝x，则綈p为(D)A．∀x>0，|x|≠x B．∃x≤0，|x|＝xC．∀x≤0，|x|≠x D．∃x>0，|x|≠x解析：命题是全称量词命题，则命题的否定是存在量词命题，故綈p：∃x>0，|x|≠x.故选D.5．已知集合M＝{x|0<x<1}，N＝{x|－2<x<1}，那么“a∈N”是“a∈M”的(B)A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：因为M N，所以a∈M⇒a∈N，反之不成立，故“a∈N”是“a∈M”的必要不充分条件．故选B.6．已知a<b，则下列结论中正确的是(D)A．∀c<0，a>b＋c B．∀c<0，a<b＋cC．∃c>0，a>b＋c D．∃c>0，a<b＋c解析：A.若a＝1，b＝2，c＝－1，满足a<b，但a>b＋c不成立；B.若a＝9.5，b＝10，c＝－1，a<b＋c不成立；C.因为a<b，c>0，所以，a<b＋c恒成立，故C错误；D.∃c>0，a<b＋c成立，故选D.7．(多项选择题)对任意实数a，b，c，下列命题中真命题是(BD) A．“a＝b”是“ac＝bc”的充要条件B．“a＋5是无理数”是“a是无理数”的充要条件C．“a>b”是“a2>b2”的充分条件D．“a<5”是“a<3”的必要条件解析：∵A中“a＝b”⇒“ac＝bc”为真命题，但当c＝0时，“ac ＝bc”⇒“a＝b”为假命题，故“a＝b”是“ac＝bc”的充分不必要条件，故A为假命题；∵B中“a＋5是无理数”⇒“a是无理数”为真命题，“a是无理数”⇒“a＋5是无理数”也为真命题，故“a＋5是无理数”是“a是无理数”的充要条件，故B为真命题；∵C中“a ＞b”⇒“a2＞b2”为假命题，“a2＞b2”⇒“a＞b”也为假命题，故“a＞b”是“a2＞b2”的既不充分也不必要条件，故C为假命题；∵D中a<3⇒a<5，故“a＜5”是“a＜3”的必要条件，故D为真命题．故选BD.8．(多项选择题)已知∀0≤x≤2，p>x；∃0≤x≤2，q>x，那么p，q的取值范围分别为(CD)A．p>0 B．q>2C．p>2 D．q>0解析：由∀x∈{x|0≤x≤2}，p>x，得p>2.由∃x∈{x|0≤x≤2}，q>x，得q>0.∴p，q的取值范围分别为p>2和q>0.二、填空题(每小题5分，共15分)9．命题p：∀a≥0，关于x的方程x2＋ax＋1＝0有实数解，则綈p为∃a≥0，关于x的方程x2＋ax＋1＝0没有实数解．10．以下四个命题：①∀x∈R，－3x＋2>0恒成立；②∃x∈Q，x2＝2；③∃x∈R，x2＋1＝0；④∀x∈R,4x2>2x－1＋3x2.其中假命题的序号为①②③④.解析：因为x＝1时，－3×1＋2<0.所以①为假命题；当且仅当x ＝±2时，x2＝2，所以不存在x∈Q，使得x2＝2，所以②为假命题；对∀x∈R，x2＋1>0，所以③为假命题；4x2－(2x－1＋3x2)＝x2－2x＋1＝(x－1)2≥0，即当x＝1时，4x2＝2x－1＋3x2成立，所以④为假命题．所以①②③④均为假命题．11．用符号“∀”与“∃”表示含有量词的命题：(1)实数的平方大于等于0：∀x∈R，x2≥0；(2)存在一对实数，使2x＋3y＋3＞0成立：∃(x，y)，x，y∈R，使2x＋3y＋3>0.解析：(1)实数的平方大于等于0 可表示为：∀x∈R，x2≥0.(2)存在一对实数，使2x ＋3y ＋3＞0成立可表示为：∃(x ，y )，x ，y ∈R ，使2x ＋3y ＋3＞0.三、解答题(共45分)12．(15分)判断下列命题的真假，并写出这些命题的否定：(1)三角形的内角和为180°；(2)存在一个二次函数的图象开口不向下；(3)任何一个平行四边形的对边都平行；(4)某个负数的平方不是正数．解：(1)是真命题．命题的否定：存在一个三角形，它的内角和不等于180°.(2)是真命题．命题的否定：任何一个二次函数的图象开口向下．(3)是真命题．命题的否定：存在一个平行四边形的对边不都平行．(4)是假命题．命题的否定：任何负数的平方是正数．13.(15分)已知集合A ＝{x |0<ax ＋1≤5}，集合B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪－12<x ≤2，若x ∈B 是x ∈A 的一个必要条件，求实数a 的取值范围．解：∵x ∈B 是x ∈A 的一个必要条件，∴A ⊆B .当a ＝0时，A ＝R ，A ⊆B 不成立；当a <0时，由0<ax ＋1≤5，得4a ≤x <－1a .∵A ⊆B ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 4a >－12，－1a ≤2，解得a <－8.当a >0时，由0<ax ＋1≤5，得－1a <x ≤4a ，∵A ⊆B ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ －1a ≥－12，4a ≤2，解得a ≥2.综上可知，a <－8或a ≥2.14．(15分)设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，求证：“方程x 2＋2ax ＋b 2＝0与x 2＋2cx －b 2＝0有公共根”的充要条件是“A ＝90°”．解：①必要性：设方程x 2＋2ax ＋b 2＝0与x 2＋2cx －b 2＝0有公共根x 0，则x 20＋2ax 0＋b 2＝0，x 20＋2cx 0－b 2＝0.两式相减，可得x 0＝b 2c －a， 代入x 20＋2ax 0＋b 2＝0，可得b 2＋c 2＝a 2，故A ＝90°.②充分性：因为A ＝90°，所以b 2＋c 2＝a 2.故b 2＝a 2－c 2.将b 2＝a 2－c 2代入方程x 2＋2ax ＋b 2＝0，可得x 2＋2ax ＋a 2－c 2＝0，所以(x ＋a －c )(x ＋a ＋c )＝0.将b 2＝a 2－c 2代入方程x 2＋2cx －b 2＝0，可得x 2＋2cx ＋c 2－a 2＝0，所以(x ＋c －a )(x ＋c ＋a )＝0.故两个方程有公共根x＝－(a＋c)．综合①②，可知“方程x2＋2ax＋b2＝0与x2＋2cx－b2＝0有公共根”的充要条件是“A＝90°”．。

2021学年高一数学多选题专项提升汇编题02常用逻辑用语（解析版）专题02 常用逻辑用语一．多选题（共16小题）1．（2019秋?聊城期末）若“2340x x +-<”是“22(23)30x k x k k -+++>”的充分不必要条件，则实数k 可以是( )A ．8-B ．5-C ．1D ．4【分析】分别解出” 2340x x +-<”，“ 22(23)30x k x k k -+++>”，根据2340x x +-<”是“22(23)30x k x k k -+++>”的充分不必要条件，即可得出．【解答】解：“2340x x +-<” 41x ?-<<．“22(23)30x k x k k -+++>” x k ?<，或3x k >+．“2340x x +-<”是“22(23)30x k x k k -+++>”的充分不必要条件，1k ∴，或43k -+，解得：1k ，或7k -，则实数k 可以是ACD ．故选：ACD ．【点评】本题考查了简易逻辑的判定方法、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．2．（2019秋?淮安期末）已知函数2()43f x x x =-+，则()0f x 的充分不必要条件是( )A ．[1，3]B ．{1，3}C ．(-∞，1][3，)+∞D ．(3,4)【分析】由()0f x ，得2430x x -+，解得3x 或1x ．由此能求出()0f x 的充分不必要条件．【解答】解：函数2()43f x x x =-+，由()0f x ，得2430x x -+，解得3x 或1x ．()0f x ∴的充分不必要条件是{1，3}和(3,4)，故选：BD ．【点评】本题考查充分不必要条件的求法，考查二次函数的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．3．（2019秋?镇江期末）使不等式110x +>成立的一个充分不必要条件是( ) A ．2x >B ．0xC ．1x <-或1x >D ．10x -<< 【分析】不等式110x +>，即10x x+>，(1)0x x +>，解得x 范围，即可判断出结论．【解答】解：不等式110x +>，即10x x +>，(1)0x x ∴+>，解得0x >，或1x <-．使不等式110x+>成立的一个充分不必要条件是：2x >．及1x <-，或1x >．故选：AC ．【点评】本题考查了不等式的解法、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．4．（2019秋?连云港期末）已知p ，q 都是r 的充分条件，s 是r 的必要条件，q 是s 的必要条件，则( )A ．p 是q 的既不充分也不必要条件B ．p 是s 的充分条件C ．r 是q 的必要不充分条件D ．s 是q 的充要条件【分析】由已知可得p r s q ；q r s ??，然后逐一分析四个选项得答案．【解答】解：由已知得：p r s q ；q r s ??．p ∴是q 的充分条件；p 是s 的充分条件；r 是q 的充要条件；s 是q 的充要条件．∴正确的是B 、D ．故选：BD ．【点评】本题考查充分必要条件的判定，是基础题．5．（2019秋?嘉祥县校级月考）“22m ”是“函数221y x mx =-+在(,)-∞+∞内有零点”的( )A ．充分条件B ．必要条件C ．充分不必要条件D ．必要不充分条件【分析】结合二次函数的性质，求出m 的等价条件，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【解答】解：若“函数221y x mx =-+在(,)-∞+∞内存在零点”，则判别式△280m =-，即28m ，得22m 或22m -，则“22m ”是“函数221y x mx =-+在(,)-∞+∞内存在零点”的充分不必要条件，故选：AC ．【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合二次函数零点的性质是解决本题的关键．6．（2019秋?临淄区校级月考）设全集U ，则下面四个命题中是“A B ?”的充要条件的命题是( )A ．AB A = B ．U U A B ?C ．U B A =?D ．U A B =?【分析】根据集合的补集，两个集合的交集、并集的定义，再由充要条件的定义判断哪些选项符合条件．【解答】解：对于选项A ，由A B A =，可得A B ?．由A B ? 可得A B A =，故选项A ，A B A =是命题A B ?的充要条件，故A 满足条件．对于选项B ，由S S A B ? 可得A B ?，由A B ? 可得S S A B ?，故S S A B ? 是命题A B ?的充要条件，故B 满足条件．对于选项C ，由S B A φ=，可得A B ?，由A B ? 可得S B A φ=，故S B A φ= 是命题A B ?的充要条件，故C 满足条件．对于选项D ，由S A B φ=，可得B A ?，不能退出A B ?，故选项D ，S A B φ=不是命题A B ?的充要条件，故D 不满足条件．故选：ABC ．【点评】本题主要考查集合的表示方法、集合的补集，两个集合的交集、并集的定义，充要条件的定义，属于基础题．7．（2019秋?罗庄区期中）给出下列四个条件：①22xt y t >；②xt yt >；③22x y >；④110x y<<．其中能成为x y >的充分条件的是( )A ．①B ．②C ．③D ．④ 【分析】首先分清条件与结论，条件是所选答案，结论是x y >，充分性即为所选答案推出x y >．【解答】解：①．由22xt yt >可知，20t >，故x y >．故①是．②．由xt yt >可知，0t ≠，当0t <时，有x y <；当0t >时，有x y >．故②不是．③由22x y >，则||||x y >，推不出x y >，故③不是；④．由110x y <<．由函数1y x=在区间(0,)+∞上单调递减，可得0x y >>，故④是．故选：AD ．【点评】本题考查了充分必要关系的判断，还考查了不等式的性质，属于基础题．8．（2019秋?宁阳县校级期中）若220x x --<是2x a -<<的充分不必要条件，则实数a 的值可以是( )A ．1B ．2C ．3D ．4【分析】求解一元二次不等式，把若220x x --<是2x a -<<的充分不必要条件转化为(1-，2)(2-，)a ，由此得到a 的范围，则答案可求．【解答】解：由220x x --<，解得12x -<<．又220x x --<是2x a -<<的充分不必要条件，(1∴-，2)(2-，)a ，则2a ．∴实数a 的值可以是2，3，4．故选：BCD ．【点评】本题考查一元二次不等式的解法，考查充分必要条件的判定及其应用，是基础题．9．（2019秋?凤城市校级月考）不等式1||4x 成立的充分不必要条件为( )A ．[4-，1]-B ．[1，4]C ．[4-，1][1-，4]D ．[4-，4]【分析】解出不等式1||4x ，即可判断出结论．【解答】解：由不等式1||4x ，解得：41x --，或14x ．∴不等式1||4x 成立的充分不必要条件为A ，B ．故选：AB ．【点评】本题考查了不等式的解法、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．10．下列“若p ，则q ”形式的命题中，p 是q 的必要不充分条件的是( )A ．若11x y =，则x y =B ．若3y x b =+的图象不过第二象限，则0b <C ．若x y =，则x y =D ．若四边形的对角线相等，则四边形是平行四边形【分析】A ．由等式、分式的意义即可判断出关系；B ．由截距b 的意义即可判断出关系；C ．利用根式的定义域及其方程即可判断出关系；D ．利用平行四边形的性质即可判断出关系；【解答】解：A ．11x y x y=?=，反之不成立，p 是q 的充分不必要条件； B ．由3y x b =+的图象不过第二象限，则0b ；由0b <，可得3y x b =+的图象不过第二象限，因此p 是q 的必要不充分条件；C ．若x y =，则x y =，反之不成立，p ∴是q 的必要不充分条件；D ．若四边形的对角线相等，则四边形不一定是平行四边形，反之也不成立，因此p 是q的既不充分也不必要条件．故选：BC ．【点评】本题考查了简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．11．已知实系数一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠，下列结论正确的是( )A ．△240b ac =-是这个方程有实根的充要条件B ．△240b ac =-=是这个方程有实根的充分条件C ．△240b ac =->是这个方程有实根的必要条件D ．△240b ac =-<是这个方程没有实根的充要条件【分析】根据一元二次方程有实数根的充要条件即可判断出正误．【解答】解：A ．△240b ac =-?这个方程有实根，因此正确．B ．△240b ac =-=?这个方程有实根，反之不成立，因此△240b ac =-=是这个方程有实根的充分条件，正确；C ．△240b ac =->是这个方程有实根的充分不必要条件，因此不正确；D ．△240b ac =-<是这个方程没有实根的充要条件，正确．故选：ABD ．【点评】本题考查了一元二次方程有实数根的充要条件、简易逻辑的判断方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．12．有以下说法，其中正确的为( )A ．“m 是有理数”是“m 是实数“的充分条件B ．“x A B ∈”是“x A ∈”的必要条件C ．“2230x x --=”是“3x =”的必要条件D ．“3x >”是“24x >”的充分条件【分析】A ．根据有理数与实数的关系即可判断出结论．B ．根据元素与集合的关系即可判断出结论．C ．通过解方程2230x x --=，即可判断出结论．D ．通过解不等式“24x > “，即可判断出结论．【解答】解：A ．m 是有理数m ?是实数，反之不成立，因此“m 是有理数”是“m 是实数“的充分条件，正确．B ．x A B x A ∈?∈，反之不成立，因此x A B ∈”是“x A ∈”的充分不必要条件，不正确．C ．由23230x x x =?--=，反之不成立，”因此：”2230x x --=”是“3x =”的必要条件，正确； D ．“24x >” 2x ?>或2x <-，∴ “3x >”是“24x >”的充分条件，因此正确．故选：ACD ．【点评】本题考查了数的运算性质、集合与方程不等式的解法、充要条件的判断方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．13．下列说法正确的是( )A ．已知a ，b R ∈，则“1a b >+”是“||1a b >+”的必要不充分条件B ．“0a >”是“10a +>”的充分不必要条件C ．设:12p x <<，:21q x >，则p 是q 成立的必要不充分条件D ．若“x m <”是“2019x <或“2020x >”的充分不必要条件，则实数m 的最大值为2019E ．若“1x <-”是“x a <”的必要不充分条件，则实数a 的最大值为1【分析】根据题意，由充分必要条件的定义依次分析选项，综合即可得答案．【解答】解：根据题意，依次分析选项：对于A ，对于充分性：若1a b >+，对1b +分情况讨论：若10b +，则0a >，||1a a b =>+成立，若10b +<，则||01a b >+也成立，即充分性成立，对于必要性：若3a =-，10b +=时，满足||1a b >+，但1a b >+不成立，即必要性不成立，则“1a b >+”是“||1a b >+”的充分不必要条件，A 错误；对于B ，对于充分性：若0a >，则有11a +>，必有10a +>成立，即充分性成立，对于必要性：若10a +>，即1a >-，0a >不一定成立，即必要性不成立，则“0a >”是“10a +>”的充分不必要条件，B 正确；对于C ，:12p x <<，:21q x >，即12x >，p 成立，q 一定成立，反之q 成立，p 不一定成立，则设:12p x <<，:21q x >，则p 是q 成立的充分不必要条件，C 错误；对于D ，若“x m <”是“2019x <或“2020x >”的充分不必要条件，即集合{|}{|2019x x m x x <<或“2020}x >，则实数m 的最大值为2019，D 正确；对于E ，若“1x <-”是“x a <”的必要不充分条件，即集合{|}{|1}x x a x x <<-，a 的最大值为1-，E 错误；故选：BD ．【点评】本题考查充分必要条件的判断以及应用，注意充分必要条件的定义．14．有限集合S 中元素的个数记做()card S ，设A ，B 都为有限集合，下列命题中真命题是( )A ．AB =?的充要条件是()card A B card =（A ）card +（B ）B ．A B ?的必要条件是card （A ）card （B ）C ．A B 的充要条件是card （A ）card （B ）D ．A B =的充要条件是card （A ）card =（B ）【分析】分清集合之间的关系与各集合元素个数之间的关系，注意本题对充要条件的考查．集合的元素个数，体现两个集合的关系，但仅凭借元素个数不能判断集合间的关系，比如第四个句子元素个数相等，元素不一定相同．【解答】解：?A B =?集合A 与集合B 没有公共元素，A 正确A B ?集合A 中的元素都是集合B 中的元素，B 正确A B 集合A 中至少有一个元素不是集合B 中的元素，因此A 中元素的个数有可能多于B 中元素的个数，C 错误A B =集合A 中的元素与集合B 中的元素完全相同，两个集合的元素个数相同，并不意味着它们的元素相同，D 错误故选：AB ．【点评】这两个知识点是经常结合的，同学们解题时要抓住本质，15．已知p 是r 的充分条件而不是必要条件，q 是r 的充分条件，s 是r 的必要条件，q 是s 的必要条件，下列命题正确的是( )A ．r 是q 的充要条件B ．p 是q 的充分条件而不是必要条件C ．r 是q 的必要条件而不是充分条件D ．r 是s 的充分条件而不是必要条件．【分析】先弄清楚p ，q ，r ，s 之间相互关系，再逐个查看选项．【解答】解：由已知有p r ?，q r ?，r s ?，s q ?，由此得r q ?且q r ?，A 正确，C 不正确，p q ?，B 正确，r s ?且s r ?，D 不正确，故选：AB ．【点评】本题主要掌握必要条件、充分条件与充要条件的判断，高考中的常考内容，要引起注意．16．对任意实数a ，b ，c ，下列命题中真命题是( )A ．“a b =”是“ac bc =”的充要条件B ．“5a +是无理数”是“a 是无理数”的充要条件C ．“a b >”是“22a b >”的充分条件D ．“5a <”是“3a <”的必要条件【分析】本题考查的知识点是必要条件、充分条件与充要条件的判断及不等式的性质，我们根据充要条件的定义对题目中的四个答案逐一进行分析即可得到答案．【解答】解：中“a b =” ? “ac bc =”为真命题，但当0c =时，“ac bc =” ? “a b =”为假命题，故“a b =”是“ac bc =”的充分不必要条件，故A 为假命题；中“5a +是无理数” ? “a 是无理数”为真命题，“a 是无理数” ? “5a +是无理数”也为真命题，故“5a +是无理数”是“a 是无理数”的充要条件，故B 为真命题；中“a b >” ? “22a b >”为假命题，“22a b >” ? “a b >”也为假命题，故“a b >”是“22a b >”的即充分也不必要条件，故C 为假命题；中{|5}{|3}a a a a <<，故“5a <”是“3a <”的必要条件，故D 为真命题．故选：BD ．【点评】判断充要条件的方法是：①若p q ?为真命题且q p ?为假命题，则命题p 是命题q 的充分不必要条件；②若p q ?为假命题且q p ?为真命题，则命题p 是命题q 的必要不充分条件；③若p q ?为真命题且q p ?为真命题，则命题p 是命题q 的充要条件；④若p q ?为假命题且q p ?为假命题，则命题p 是命题q 的即不充分也不必要条件．⑤判断命题p 与命题q 所表示的范围，再根据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则，判断命题p 与命题q 的关系.。

常用逻辑用语一．多选题（共16小题）1．（2019秋•聊城期末）若“2340x x +-<”是“22(23)30x k x k k -+++>”的充分不必要条件，则实数k 可以是( )A ．8-B ．5-C ．1D ．42．（2019秋•淮安期末）已知函数2()43f x x x =-+，则()0f x 的充分不必要条件是( )A ．[1，3]B ．{1，3}C ．(-∞，1][3，)+∞D ．(3,4)3．（2019秋•镇江期末）使不等式110x +>成立的一个充分不必要条件是( ) A ．2x > B ．0x C ．1x <-或1x > D ．10x -<<4．（2019秋•连云港期末）已知p ，q 都是r 的充分条件，s 是r 的必要条件，q 是s 的必要条件，则( )A ．p 是q 的既不充分也不必要条件B ．p 是s 的充分条件C ．r 是q 的必要不充分条件D ．s 是q 的充要条件5．（2019秋•嘉祥县校级月考）“22m ”是“函数221y x mx =-+在(,)-∞+∞内有零点”的( )A ．充分条件B ．必要条件C ．充分不必要条件D ．必要不充分条件6．（2019秋•临淄区校级月考）设全集U ，则下面四个命题中是“A B ⊆”的充要条件的命题是( )A ．AB A = B ．U U A B ⊇C ．U B A =∅D ．U A B =∅7．（2019秋•罗庄区期中）给出下列四个条件：①22xt yt >；②xt yt >；③22x y >；④110x y<<．其中能成为x y >的充分条件的是( )A ．①B ．②C ．③D ．④ 8．（2019秋•宁阳县校级期中）若220x x --<是2x a -<<的充分不必要条件，则实数a 的值可以是( )A ．1B ．2C ．3D ．49．（2019秋•凤城市校级月考）不等式1||4x 成立的充分不必要条件为( )A ．[4-，1]-B ．[1，4]C ．[4-，1][1-，4]D ．[4-，4]10．下列“若p ，则q ”形式的命题中，p 是q 的必要不充分条件的是( )A ．若11x y=，则x y = B ．若3y x b =+的图象不过第二象限，则0b <C ．若x y =，则x y =D ．若四边形的对角线相等，则四边形是平行四边形11．已知实系数一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠，下列结论正确的是( )A ．△240b ac =-是这个方程有实根的充要条件B ．△240b ac =-=是这个方程有实根的充分条件C ．△240b ac =->是这个方程有实根的必要条件D ．△240b ac =-<是这个方程没有实根的充要条件12．有以下说法，其中正确的为( )A ．“m 是有理数”是“m 是实数“的充分条件B ．“x A B ∈”是“x A ∈”的必要条件C ．“2230x x --=”是“3x =”的必要条件D ．“3x >”是“24x >”的充分条件13．下列说法正确的是( )A ．已知a ，b R ∈，则“1a b >+”是“||1a b >+”的必要不充分条件B ．“0a >”是“10a +>”的充分不必要条件C ．设:12p x <<，:21q x >，则p 是q 成立的必要不充分条件D ．若“x m <”是“2019x <或“2020x >”的充分不必要条件，则实数m 的最大值为2019E ．若“1x <-”是“x a <”的必要不充分条件，则实数a 的最大值为114．有限集合S 中元素的个数记做()card S ，设A ，B 都为有限集合，下列命题中真命题是( )A ．AB =∅的充要条件是()card A B card =（A ）card +（B ）B ．A B ⊆的必要条件是card （A ）card （B ）C ．A B 的充要条件是card （A ）card （B ）D．A B=的充要条件是card（A）card=（B）15．已知p是r的充分条件而不是必要条件，q是r的充分条件，s是r的必要条件，q是s的必要条件，下列命题正确的是()A．r是q的充要条件B．p是q的充分条件而不是必要条件C．r是q的必要条件而不是充分条件D．r是s的充分条件而不是必要条件．16．对任意实数a，b，c，下列命题中真命题是()A．“a b=”的充要条件=”是“ac bcB．“5a+是无理数”是“a是无理数”的充要条件C．“a b>”是“22>”的充分条件a bD．“5a<”的必要条件a<”是“3。