【高中数学】2018人教A选修2-3练习：第1章 计数原理1.2.1 第1课时 Word版含解析

选修第一章第课时一、选择题．从甲地到乙地一天有汽车班，火车班，轮船班，某人从甲地到乙地，他共有不同的走法数为( )．种．种．种．种[答案][解析]应用分类加法计数原理，不同走法数为＋＋＝(种)．故选．．(＋)(＋)(＋＋)完全展开后的项数为( )．．．．[答案][解析]每个括号内各取一项相乘才能得到展开式中的一项，由分步乘法计数原理得，完全展开后的项数为××＝.．定义集合与的运算*如下：*＝{(，)∈，∈}，若＝{，，}，＝{，，，}，则集合*的元素个数为( )．．．．[答案][解析]显然(，)、(，)等均为*中的元素，确定*中的元素是中取一个元素来确定，中取一个元素来确定，由分步乘法计数原理可知*中有×＝个元素．故选．．如下图所示，小圆圈表示网络的结点，结点之间的线段表示它们有网线相连．连线标注的数字表示该段网线单位时间内可以通过的最大信息量．现从结点向结点传递信息，信息可以分开从不同的路线同时传递，则单位时间内传递的最大信息量为( )．．．．[答案] [解析]因信息可以分开沿不同的路线同时传递，由分类加法计数原理，完成从向传递有四种方法：→→→→→→→→，故单位时间内传递的最大信息量为四条不同网线上信息量的和：＋＋＋＝，故选．．有四位老师在同一年级的个班级中，各教一个班的数学，在数学考试时，要求每位老师均不在本班监考，则安排监考的方法种数是( )．种．种．种．种[答案] [解析]设四个班级分别是、、、，它们的老师分别是、、、，并设监考的是，则剩下的三个老师分别监考剩下的三个班级，共有种不同的方法；同理当监考、时，剩下的三个老师分别监考剩下的三个班级也各有种不同的方法．这样，由分类加法计数原理知共有＋＋＝(种)不同的安排方法．另外，本题还可让先选，可从、、中选一个，即有种选法．若选的是，则从剩下的个班级中任选一个，也有种选法，剩下的两个老师都只有一种选法，这样用分步乘法计数原理求解，共有×××＝(种)不同的安排方法．．从、中选一个数字，从、、中选两个数字，组成无重复数字的三位数，其中奇数的个数为( )．．．．[答案] [解析]()当从中选取时，组成的三位奇数的个位只能奇数，只要不排在个位即可，先排再排中选出的两个奇数，共有××＝(个)．()当从中选取时，组成的三位奇数的个位只能是奇数，必须在十位，只要排好从中选出的两个奇数．共有×＝(个)．综上，由分类加法计数原理知共有＋＝(个)．二、填空题．已知直线方程＋＝，若从、、、、、这个数字中每次取两个不同的数作为、的值，则可表示不同的直线条[答案] [解析]当或中有一个为零时，则可表示出条不同的直线；当≠时，有种选法，有种选法，则可表示出×＝条不同的直线．由分类加法计数原理知，共可表示出＋＝条不同的直线．．直线方程＋＝，若从这个数字中每次取两个不同的数作为，的值，则可表示条不同的直线[答案] [解析]若或中有一个为零时，有条；当≠时有×＝条，故共有＋＝条不同的直线．．名乒乓球队员中，有名老队员和名新队员．现从中选出名队员排成、、号参加团体比赛，则入选的名队员中至少有一名老队员，且、号中至少有名新队员的排法有种．(用数字作答)[答案]。

第一章 1.3 1.3.2A 级 基础巩固一、选择题 1．若(3x －1x)n的展开式中各项系数之和为256，则展开式的常数项是导学号 51124255( C )A ．第3项B ．第4项C ．第5项D ．第6项[解析] 令x ＝1，得出(3x －1x)n的展开式中各项系数和为(3－1)n ＝256，解得n ＝8； ∴(3x －1x)8的展开式通项公式为： T r ＋1＝C r 8·(3x )8－r ·(－1x)r ＝(－1)r ·38－r ·C r 8·x 4－r ， 令4－r ＝0，解得r ＝4.∴展开式的常数项是T r ＋1＝T 5，即第5项．故选C ．2．若9n ＋C 1n ＋1·9n －1＋…＋C n －1n ＋1·9＋C nn ＋1是11的倍数，则自然数n 为导学号 51124256( A )A ．奇数B ．偶数C ．3的倍数D ．被3除余1的数[解析] 9n ＋C 1n ＋1·9n －1＋…＋C n －1n ＋1·9＋C n n ＋1＝19(9n ＋1＋C 1n ＋19n ＋…＋C n －1n ＋192＋C n n ＋19＋C n ＋1n ＋1)－19 ＝19(9＋1)n ＋1－19＝19(10n ＋1－1)是11的倍数， ∴n ＋1为偶数，∴n 为奇数．3．(2016·潍坊市五校联考)已知(x 2－1x )n 的展开式中，常数项为15，则n 的值可以为导学号 51124257( D )A ．3B ．4C ．5D ．6[解析] 通项T r ＋1＝C r n (x 2)n －r (－1x)r ＝(－1)r C r n x2n －3r，当r ＝23n 时为常数项，即(－1)23 n＝15，经检验n ＝6.4．若a 为正实数，且(ax －1x )2016的展开式中各项系数的和为1，则该展开式第2016项为导学号 51124258( D )A ．1x 2016B ．－1x 2016C ．4032x2014D ．－4032x2014[解析]由条件知，(a －1)2016＝1，∴a －1＝±1， ∵a 为正实数，∴a ＝2. ∴展开式的第2016项为： T 2016＝C 20152016·(2x )·(－1x )2015 ＝－2C 12016·x －2014＝－4032x－2014，故选D ．5．若二项式(2x ＋a x )7的展开式中1x 3的系数是84，则实数a ＝导学号 51124259( C )A ．2B ．54 C ．1D ．24[解析] 二项式(2x ＋a x )7的通项公式为T r ＋1＝C r 7(2x )7－r (a x )r ＝C r 727－r a r x 7－2r，令7－2r ＝－3，得r ＝5.故展开式中1x3的系数是C 5722a 5＝84，解得a ＝1. 6．(2016·南安高二检测)233除以9的余数是导学号 51124260( A ) A ．8 B ．4 C ．2D ．1[解析] 233＝(23)11＝(9－1)11＝911－C 111910＋C 21199＋…＋C 10119－1＝9(910－C 11199＋…＋C 1011－1)＋8，∴233除以9的余数是8.故选A ． 二、填空题7．若⎝⎛⎭⎫x 2＋1x 3n 展开式的各项系数之和为32，则n ＝__5__，其展开式中的常数项为__10__(用数字作答).导学号 51124261[解析] 令x ＝1，得2n ＝32，得n ＝5，则T r ＋1＝C r 5·(x 2)5－r ·⎝⎛⎭⎫1x 3r ＝C r 5·x 10－5r，令10－5r ＝0，r ＝2.故常数项为T 3＝10.8．已知(x －ax)8展开式中常数项为1120，其中实数a 是常数，则展开式中各项系数的和是__1或38__.导学号 51124262[解析] T r ＋1＝C r 8x 8－r(－a x )r ＝(－a )r ·C r 8·x 8－2r，令8－2r ＝0得r ＝4，由条件知，a 4C 48＝1120，∴a ＝±2， 令x ＝1得展开式各项系数的和为1或38.9．在二项式(x ＋3x )n 的展开式中，各项系数之和为A ，各项二项式系数之和为B ，且A＋B ＝72，则n ＝__3__.导学号 51124263[解析] 由题意可知，B ＝2n ，A ＝4n ，由A ＋B ＝72，得4n ＋2n ＝72，∴2n ＝8，∴n ＝3. 三、解答题10．设(1－2x )2017＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 2017x 2017(x ∈R ).导学号 51124264 (1)求a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 2017的值； (2)求a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 2017的值； (3)求|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 2017|的值． [解析] (1)令x ＝1，得：a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 2017＝(－1)2017＝－1①(2)令x ＝－1，得：a 0－a 1＋a 2－…－a 2017＝32017② ①－②得：2(a 1＋a 3＋…＋a 2015＋a 2017)＝－1－32017， ∴a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 2017＝－1＋320172.(3)∵T r ＋1＝C r 2017·12017－r ·(－2x )r ＝(－1)r ·C r 2017·(2x )r ， ∴a 2k －1<0(k ∈N *)，a 2k >0(k ∈N *)． ∴|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a 2017| ＝a 0－a 1＋a 2－a 3＋…＋a 2016－a 2017 ＝32017.B 级 素养提升一、选择题1．若n 为正奇数，则7n ＋C 1n ·7n －1＋C 2n ·7n －2＋…＋C n －1n ·7被9除所得的余数是导学号 51124265( C )A ．0B ．2C ．7D ．8[解析] 原式＝(7＋1)n －C n n ＝8n －1＝(9－1)n －1＝9n －C 1n ·9n －1＋C 2n ·9n －2－…＋C n －1n ·9(－1)n －1＋(－1)n －1，n 为正奇数，(－1)n －1＝－2＝－9＋7，则余数为7.2．(2016·上饶市高二检测)设函数f (x )＝(2x ＋a )n ，其中n ＝6cos x d x ，f ′(0)f (0)＝－12，则f (x )的展开式中x 4的系数为导学号 51124266( B )A ．－240B ．240C ．－60D ．60[解析] ∵n ＝6cos x d x ＝6sin x⎪⎪⎪⎪π20＝6， ∴f (x )＝(2x ＋a )6，∴f ′(x )＝12(2x ＋a )5，∵f ′(0)f (0)＝－12，∴12a 5a 6＝－12，∴a ＝－1.∴f (x )＝(2x －1)6.其展开式的通项T r ＋1＝C r 6(2x )6－r(－1)r ＝(－1)r C r 6·26－r x 6－r ， 令6－r ＝4得r ＝2，∴f (x )展开式中x 4的系数为(－1)2C 26·24＝240，故选B ．二、填空题3．观察下列等式：导学号 51124267 (1＋x ＋x 2)1＝1＋x ＋x 2，(1＋x ＋x 2)2＝1＋2x ＋3x 2＋2x 3＋x 4，(1＋x ＋x 2)3＝1＋3x ＋6x 2＋7x 3＋6x 4＋3x 5＋x 6，(1＋x ＋x 2)4＝1＋4x ＋10x 2＋16x 3＋19x 4＋16x 5＋10x 6＋4x 7＋x 8， ……由以上等式推测：对于n ∈N *，若(1＋x ＋x 2)n ＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 2n x 2n ，则a 2＝ n (n ＋1)2. [解析] 观察给出各展开式中x 2的系数：1,3,6,10，据此可猜测a 2＝n (n ＋1)2.4．设(3x －1)8＝a 8x 8＋a 7x 7＋…＋a 1x ＋a 0，则导学号 51124268 (1)a 8＋a 7＋…＋a 1＝__255__； (2)a 8＋a 6＋a 4＋a 2＋a 0＝__32896__. [解析] 令x ＝0，得a 0＝1. (1)令x ＝1得(3－1)8＝a 8＋a 7＋…＋a 1＋a 0，①∴a 8＋a 7＋…＋a 2＋a 1＝28－a 0＝256－1＝255. (2)令x ＝－1得(－3－1)8＝a 8－a 7＋a 6－…－a 1＋a 0.② ①＋②得28＋48＝2(a 8＋a 6＋a 4＋a 2＋a 0)， ∴a 8＋a 6＋a 4＋a 2＋a 0＝12(28＋48)＝32 896.三、解答题5．在(2x －3y )10的展开式中，求：导学号 51124269 (1)二项式系数的和； (2)各项系数的和；(3)x 的奇次项系数和与x 的偶次项系数和．[解析] 设(2x －3y )10＝a 0x 10＋a 1x 9y ＋a 2x 8y 2＋…＋a 10y 10，(*) 由于(*)是恒等式，故可用“赋值法”求出相关的系数和． (1)二项式系数和为C 010＋C 110＋…＋C 1010＝210.(2)令x ＝y ＝1，各项系数和为(2－3)10＝(－1)10＝1. (3)x 的奇次项系数和为a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 9＝1－5102；x 的偶次项系数和为a 0＋a 2＋a 4＋…＋a 10＝1＋5102.6．在二项式(x ＋12x)n 的展开式中，前三项系数成等差数列.导学号 51124270(1)求展开式中的常数项； (2)求展开式中系数最大的项． [解析] (1)二项式(x ＋12x )n 的展开式中，前三项系数分别为1，n 2，n (n －1)8，再根据前三项系数成等差数列，可得n ＝1＋n (n －1)8，求得n ＝8或n ＝1(舍去)．故二项式(x ＋12x)8的展开式的通项公式为T r ＋1＝C r 8·2－r ·x 4－r . 令4－r ＝0，求得r ＝4，可得展开式的常数项为T 5＝C 48·(12)4＝358. (2)设第r ＋1项的系数最大，则由⎩⎨⎧C r 8·(12)r ≥C r ＋18·(12)r ＋1C r 8·(12)r≥C r －18·(12)r －1，求得2≤r ≤3，因为r ∈Z ，所以r ＝2或r ＝3，故第三项和第四项的系数最大，再利用通项公式可得系数最大的项为T 3＝7x 2，T 4＝7x .C 级 能力拔高(2016·江苏卷)(1)求7C 36－4C 47的值；导学号 51124271(2)设m ，n ∈N *，n ≥m ，求证：(m ＋1)C m m ＋(m ＋2)C m m ＋1＋(m ＋3)C m m ＋2＋…＋n C m n －1＋(n ＋1)C m n ＝(m ＋1)C m ＋2n ＋2.[解析] (1)7C 36－4C 47＝7×6×5×43×2×1－4×7×6×5×44×3×2×1＝0. (2)当n ＝m 时，结论显然成立．当n >m 时， (k ＋1)C m k＝(k ＋1)·k ！m ！·(k －m )！＝(m ＋1)． (k ＋1)！(m ＋1)！·[(k ＋1)－(m ＋1)]！＝(m ＋1)C m ＋1k ＋1，k ＝m ＋1，m ＋2，…，n . 又C m ＋1k ＋1＋C m ＋2k ＋1＝C m ＋2k ＋2，所以(k ＋1)C m k ＝(m ＋1)(C m ＋2k ＋2－C m ＋2k ＋1)，k ＝m ＋1，m ＋2，…，n .因此，(m ＋1)C m m ＋(m ＋2)C m m ＋1＋(m ＋3)C m m ＋2＋…＋(n ＋1)C m n ＝(m ＋1)C m m ＋[(m ＋2)C m m ＋1＋(m ＋3)C m m ＋2＋…＋(n ＋1)C m n ]＝(m ＋1)C m ＋2m ＋2＋(m ＋1)[(C m ＋2m ＋3－C m ＋2m ＋2)＋(C m ＋2m ＋4－C m ＋2m ＋3)＋…＋(C m ＋2n ＋2－C m ＋2n ＋1)]＝(m ＋1)C m ＋2n ＋2.。

1.2.2　组合课时过关·能力提升基础巩固1.的值为( )C 26+C 57 A.72B.36C.30D.42=15+21=36.26+C 57=6×52×1+7×62×12.某外商计划在4个候选城市投资3个不同的项目,且在同一个城市投资的项目不超过2个,则该外商不同的投资方案共有( )A.16种B.36种C.42种D.60种2个城市,则有=36种投资方案;若选择了3个城市,则有=24种投资方案,C 24C 23A 22C 34A 33因此共有36+24=60种投资方案.3.某高校外语系有8名志愿者,其中有5名男生,3名女生,现从中选3人参加某项测试赛的翻译工作,若要求这3人中既有男生,又有女生,则不同的选法共有( )A.45种B.56种C.90种D.120种,不同的选法种数为=45.C 38‒C 35‒C 334.氨基酸的排列顺序是决定蛋白质多样性的原因之一,某肽链由7种不同的氨基酸构成,若只改变其中3种氨基酸的位置,其他4种不变,则不同的改变方法的种数为( )A.210B.126C.70D.357种中取出3种有=35种取法,比如选出a ,b ,c 3种,再都改变位置有b ,c ,a 和c ,a ,b 两种改变C 37方法,故不同的改变方法有2×35=70种.5.在某次数学测验中,学号i (i=1,2,3,4)的四位同学的考试成绩f (i )∈{90,92,93,96,98},且满足f (1)<f (2)≤f (3)<f (4),则这四位同学的考试成绩的所有可能的情况为( )A.9种 B.5种C.23种D.15种6.某书店有11种杂志,2元1本的有8种,1元1本的有3种.小张用10元钱买杂志(每种至多买1本,10元钱刚好用完),则不同买法的种数为 .(用数字作答):(1)买5本2元的买法种数为C 58.(2)买4本2元的、2本1元的买法种数为C 48·C 23.故不同的买法种数为=266.C 58+C 48·C 237.从0,1,2,3,4,5这六个数字中任取两个奇数和两个偶数,组成没有重复数字的四位数的个数为 .(用数字作答)0,则可组成没有重复数字的四位数的个数为=72.若选0,则可组成没有重复数字C 23C 22A 44的四位数的个数为=108.则共可组成没有重复数字的四位数的个数为108+72=180.C 12C 23C 13A 338.从7名志愿者中安排6人在周六、周日两天参加社区公益活动.若每天安排3人,则不同的安排方案共有 种.(用数字作答)种方法,第二步安排周日有种方法,故不同的安排方案共有=140种.C 37C 34C 37C 349.用数字0,1,2,3,4,5,6组成没有重复数字的四位数,其中个位、十位和百位上的数字之和为偶数的四位数共有 个.(用数字作答):第一类:个位、十位和百位上各有一个偶数,有=90个.C 13A 33+C 23A 33C 14第二类:个位、十位和百位上共有两个奇数一个偶数,有=234个,共有C 23A 33C 14+C 13C 23A 33C 1390+234=324个.10.8人排成一排,其中甲、乙、丙3人中有2人相邻,问这3人不同时排在一起的排法有多少种?5人有种排法;再从甲、乙、丙3人中选2人排在一起并插入已排好的A 555人的6个间隔中有种排法,余下的1人可以插入另外5个间隔中有种排法,由分步乘法计数C 16A 23C 15原理知,共有=21 600种排法.A 55C 16A 23C 1511.(1)求证:+2;C n m +2=C nm C n -1m +C n -2m(2)解:方程:3=5C x -7x -3A 2x -4.可知,右边=()+()=C m n +1=C m n +C m -1n C nm +C n -1m C n -1m +C n -2m =左边.C n m +1+C n -1m +1=C nm +2右边=左边,所以原式成立.3=5,C 4x -3A 2x -4即=5(x-4)(x-5),3(x -3)(x -4)(x -5)(x -6)4×3×2×1所以(x-3)(x-6)=5×4×2=8×5.所以x=11或x=-2(舍去负根).经检验,x=11符合题意,所以方程的解为x=11.能力提升15.个不同的球放入4个不同的盒子中,每个盒子中至少有一个球,若甲球必须放入A 盒,则不同的放法种数是( )A.120B.72C.60D.36A 盒后分两类:一类是除甲球外,A 盒还放其他球,共=24种放法;另一类是A 盒中A 44只有甲球,则其他4个球放入另外三个盒中,有=36种放法.故总的放法有24+36=60种.C 24·A 332.某科技小组有6名学生,现从中选出3人去参加展览,至少有1名女生入选的不同选法有16种,则该小组中的女生人数为( )A.2B.3C.4D.5x 人,则女生有(6-x )人.依题意得=16,C 36‒C 3x 即x (x-1)(x-2)+16×6=6×5×4.解得x=4,故女生有2人.3.已知一组曲线y=ax 3+bx+1,其中a 为2,4,6,8中的任意一个,b 为1,3,5,7中的任意一个.现从这些曲13线中任取两条,它们在x=1处的切线相互平行的组数为( )A.9B.10C.12D.142+b ,曲线在x=1处切线的斜率k=a+b.切线相互平行,则需它们的斜率相等,因此按照在x=1处切线的斜率的可能取值可分为五类完成.第一类:a+b=5,则a=2,b=3;a=4,b=1.故可构成两条曲线,有组.C 22第二类:a+b=7,则a=2,b=5;a=4,b=3;a=6,b=1.可构成三条曲线,有组.C 23第三类:a+b=9,则a=2,b=7;a=4,b=5;a=6,b=3;a=8,b=1.可构成四条曲线,有组.C 24第四类:a+b=11,则a=4,b=7;a=6,b=5;a=8,b=3.可构成三条曲线,有组.C 23第五类:a+b=13,则a=6,b=7;a=8,b=5.可构成两条曲线,有组.C 22故共有=14组曲线,它们在x=1处的切线相互平行.C 22+C 23+C 24+C 23+C 224.考察正方体6个面的中心,甲从这6个点中任意选两个点连成直线,乙也从这6个点中任意选两个点连成直线,则所得的两条直线相互平行但不重合的概率等于( )A B C D .4225.2225.275.475=15条直线,如图,其中有6对平行线,所求概率P=故选D .C 2612×115×15=475.5.如图,一只电子蚂蚁在网格线上由原点O (0,0)出发,沿向上或向右方向爬至点(m ,n )(m ,n ∈N *),记可能的爬行方法总数为f (m ,n ),则f (m ,n )= .O 出发,只能向上或向右方向爬行,记向上为1,向右为0,则爬到点(m ,n )需m 个0和n 个1.这样爬行方法总数f (m ,n )是m 个0和n 个1的不同排列方法数.m 个0和n 个1共占(m+n )个位置,m 个放0即可.故f (m ,n )=C mm +n .mm +n6.如图,工人在安装一个正六边形零件时,需要固定六个位置的螺丝,第一阶段,首先随意拧一个螺丝,接着拧它对角线上的(距离它最远的,下同)螺丝,再随意拧第三个螺丝,第四个也拧它对角线上的螺丝,第五个和第六个以此类推,但每个螺丝都不要拧死;第二阶段,将每个螺丝拧死,但不能连续拧相邻的2个螺丝.则不同的固定方式有 种.(用数字作答)7.在如图所示的四棱锥中,顶点为P,从其他的顶点和各棱中点中取3个,使它们和点P在同一平面内,则不同的取法种数为 .(用数字作答):C35第一类,在四棱锥的每个侧面上除点P外任取3点,有4种取法;C34第二类,在两个对角面上除点P外任取3点,有2种取法;C12第三类,过点P的侧棱中,每一条上的三点和与这条棱异面的两条棱的中点也共面,有4种取法.C35C34C12因此,满足题意的不同取法共有4+2+4=56种.★8.在某种信息传输过程中,用4个数字的一个排列(数字允许重复)表示一个信息,不同排列表示不同信息.若所用数字只有0和1,求与信息0110至多有两个对应位置上的数字相同的信息个数.0110至多有两个对应位置上的数字相同的信息包括三类:第一类,与信息0110恰有两个对应位置上的数字相同,即从4个位置中选2个位置相同,其他2C24个不同有=6个信息.第二类,与信息0110恰有一个对应位置上的数字相同,即从4个位置中选1个位置相同,其他3C14个不同有=4个信息.C04第三类,与信息0110没有一个对应位置上的数字相同,即4个位置中对应数字都不同,有=1个信息.由分类加法计数原理知,与信息0110至多有两个对应位置上的数字相同的信息个数为6+4+1=11.★9.在6名内科医生和4名外科医生中,内科主任和外科主任各1名,现要组成5人医疗小组送医下乡,依下列条件各有多少种选派方法?(1)有3名内科医生和2名外科医生;(2)既有内科医生,又有外科医生;(3)至少有1名主任参加;(4)既有主任,又有外科医生.C36C24C36·C24先选内科医生有种选法,再选外科医生有种选法,故选派方法的种数为=120.(2)既有内科医生,又有外科医生,正面思考应包括四种情况,内科医生去1人,2人,3人,4人,易得C16·C44+C26·C34+C36·C24+C46·C14出选派方法的种数为=246.C510‒C56若从反面考虑,则选派方法的种数为=246.(3)分两类:C12·C48一是选1名主任有种方法;C22·C38二是选2名主任有种方法,C12·C48+C22·C38故至少有1名主任参加的选派方法的种数为=196.C510‒C58若从反面考虑:至少有1名主任参加的选派方法的种数为=196.C49(4)若选外科主任,则其余可任选,有种选法.C48‒C45若不选外科主任,则必选内科主任,且剩余的四人不能全选内科医生,有种选法.C49+C48‒C45故有选派方法的种数为=191.。

新课程标准数学选修2—3第一章课后习题解答第一章 计数原理1．1分类加法计数原理与分步乘法计数原理 练习（P6） 1、（1）要完成的“一件事情”是“选出1人完成工作”，不同的选法种数是5＋4＝9； （2）要完成的“一件事情”是“从A 村经B 村到C 村去”，不同路线条数是3×2＝6. 2、（1）要完成的“一件事情”是“选出1人参加活动”，不同的选法种数是3＋5＋4＝12； （2）要完成的“一件事情”是“从3个年级的学生中各选1人参加活动”，不同选法种数是3×5×4＝60.3、因为要确定的是这名同学的专业选择，并不要考虑学校的差异， 所以应当是6＋4－1=9（种）可能的专业选择. 练习（P10）1、要完成的“一件事情”是“得到展开式的一项”.由于每一项都是i j k a b c 的形式，所以可以分三步完成：第一步，取i a ，有3种方法；第二步，取j b ，有3种方法；第三步，取k c ，有5种方法. 根据分步乘法计数原理，展开式共有3×3×5＝45（项）.2、要完成的“一件事情”是“确定一个电话号码的后四位”. 分四步完成，每一步都是从0～9这10个数字中取一个，共有10×10×10×10=10000（个）.3、要完成的“一件事情”是“从5名同学中选出正、副组长各1名”. 第一步选正组长，有5种方法；第二步选副组长，有4种方法. 共有选法5×4＝20（种）.4、要完成的“一件事情”是“从6个门中的一个进入并从另一个门出去”. 分两步完成：先从6个门中选一个进入，再从其余5个门中选一个出去. 共有进出方法6×5＝30（种）. 习题1.1 A 组（P12） 1、“一件事情”是“买一台某型号的电视机”. 不同的选法有4＋7＝11（种）. 2、“一件事情”是“从甲地经乙地或经丙地到丁地去”. 所以是“先分类，后分步”，不同的路线共有2×3＋4×2=14（条）. 3、对于第一问，“一件事情”是“构成一个分数”. 由于1，5，9，13是奇数，4，8，12，16是偶数，所以1，5，9，13中任意一个为分子，都可以与4，8，12，16中的任意一个构成分数. 因此可以分两步来构成分数：第一步，选分子，有4种选法；第二步，选分母，也有4种选法. 共有不同的分数4×4＝16（个）. 对于第二问，“一件事情”是“构成一个真分数”. 分四类：分子为1时，分母可以从4，8，12，16中任选一个，有4个；分子为5时，分母可以从8，12，16中选一个，有3个；分子为9时，分母从12，16中选一个，有2个；分子为13时，分母只能选16，有1个. 所以共有真分数4＋3＋2＋1＝10（个）. 4、“一件事情”是“接通线路”. 根据电路的有关知识，容易得到不同的接通线路有3＋1＋2×2＝8（条）.5、（1）“一件事情”是“用坐标确定一个点”. 由于横、纵坐标可以相同，因此可以分两步完成：第一步，从A 中选横坐标，有6个选择；第二步，从A 中选纵坐标，也有6个选择. 所以共有坐标6×6＝36（个）. （2）“一件事情”是“确定一条直线的方程”. 由于斜率不同截距不同、斜率不同截距相同、斜率相同截距不同的直线都是互不相同的，因此可分两步完成：第一步，取斜率，有4种取法；第二步，取截距，有4种取法. 所以共有直线4×4＝16（条）. 习题1.1 B 组（P13） 1、“一件事情”是“组成一个四位数字号码”. 由于数字可以重复，最后一个只能在0～5这六个数字中拨，所以有号码10×10×10×6＝6000（个）. 2、（1）“一件事情”是“4名学生分别参加3个运动队中的一个，每人限报一个，可以报同一个运动队”. 应该是人选运动队，所以不同报法种数是43.（2）“一件事情”是“3个班分别从5个风景点中选择一处游览”. 应该是人选风景点，故不同的选法种数是35. 1．2排列与组合 练习（P20）1、（1）,,,,,,,,,,,ab ac ad ba bc bd ca cb cd da db dc ；（2）,,,,,,,,,,,,,,,,,,,ab ac ad ae ba bc bd be ca cb cd ce da db dc de ea eb ec ed .2、（1）4151514131232760A =⨯⨯⨯=； （2）777!5040A ==； （3）4288287652871568A A -=⨯⨯⨯-⨯⨯=； （4）87121277121255A A A A ==.3、4、（1）略. （2）876777787677778788A A A A A A A -+=-+=.5、3560A =（种）. 6、3424A =（种）. 练习（P25） 1、（1）甲、乙， 甲、丙， 甲、丁， 乙、丙， 乙、丁， 丙、丁； （2）2、ABC ∆，ABD ∆，ACD ∆，BCD ∆.3、3620C =（种）. 4、246C =（个）. 5、（1）26651512C ⨯==⨯； （2）3887656123C ⨯⨯==⨯⨯； （3）3276351520C C -=-=； （4）328532356210148C C -=⨯-⨯=. 6、()1111(1)!!11(1)![(1)(1)]!!!m m n n m m n n C C n n m n m m n m +++++=⋅==++++-+- 习题1.2 A 组（P27）1、（1）325454*********A A +=⨯+⨯=； （2）12344444412242464A A A A +++=+++=. 2、（1）315455C =； （2）19732002001313400C C ==； （3）346827C C ÷=；（4）22211(1)(1)(1)22n n n n nn nn n n n CCCC n -++--⋅=⋅=+⋅=.3、（1）12111(1)n n n n n n n n n n nn A A n A A nA n A +-+--=+-==； （2）(1)!!(1)!!(1)!!(1)!!!n n n k n n k n k k k k ++-⋅-+-==-. 4、由于4列火车各不相同，所以停放的方法与顺序有关，有481680A =（种）不同的停法.5、4424A =. 6、由于书架是单层的，所以问题相当于20个元素的全排列，有2020A 种不同的排法.7、可以分三步完成：第一步，安排4个音乐节目，共有44A 种排法；第二步，安排舞蹈节目，共有33A 种排法；第三步，安排曲艺节目，共有22A 种排法. 所以不同的排法有432432288A A A ⋅⋅=（种）.8、由于n 个不同元素的全排列共有!n 个，而!n n ≥，所以由n 个不同的数值可以以不同的顺序形成其余的每一行，并且任意两行的顺序都不同. 为使每一行都不重复，m 可以取的最大值是!n .9、（1）由于圆上的任意3点不共线，圆的弦的端点没有顺序，所以共可以画21045C =（条）不同的弦；（2）由于三角形的顶点没有顺序，所以可以画的圆内接三角形有310120C =（个）. 10、（1）凸五边形有5个顶点，任意2个顶点的连线段中，除凸五边形的边外都是对角线，所以共有对角线2555C -=（条）；（2）同（1）的理由，可得对角线为2(3)2n n n C n --=（条）.说明：本题采用间接法更方便. 11、由于四张人民币的面值都不相同，组成的面值与顺序无关，所以可以分为四类面值，分别由1张、2张、3张、4张人民币组成，共有不同的面值1234444415C C C C +++=（种）. 12、（1）由“三个不共线的点确定一个平面”，所确定的平面与点的顺序无关，所以共可确定的平面数是3856C =；（2）由于四面体由四个顶点唯一确定，而与四个点的顺序无关，所以共可确定的四面体个数是410210C =. 13、（1）由于选出的人没有地位差异，所以是组合问题，不同的方法数是3510C =. （2）由于礼物互不相同，与分送的顺序有关系，所以是排列问题，不同方法数是3560A =；（3）由于5个人中每个人都有3中选择，而且选择的时间对别人没有影响，所以是一个“可重复排列”问题，不同方法数是53243=；（4）由于只要取出元素，而不必考虑顺序，所以可以分两步取元素：第一步，从集合A 中取，有m 种取法；第二步，从集合B 中取，有n 种取法. 所以共有取法mn 种. 说明：第（3）题是“可重复排列”问题，但可以用分步乘法计数原理解决.14、由于只要选出要做的题目即可，所以是组合问题，另外，可以分三步分别从第1，2，3题中选题，不同的选法种数有32143224C C C ⋅⋅=. 15、由于选出的人的地位没有差异，所以是组合问题.（1）225460C C ⋅=； （2）其余2人可以从剩下的7人中任意选择，所以共有2721C =（种）选法；（3）用间接法，在9人选4人的选法中，把男甲和女乙都不在内的去掉，就得到符合条件的选法数为449791C C -=； 如果采用直接法，则可分为3类：只含男甲；只含女乙；同时含男甲女乙，得到符合条件的方法数为33277791C C C ++=； （4）用间接法，在9人选4人的选法中，把只有男生和只有女生的情况排除掉，得到选法总数为444954120C C C --=. 也可以用直接法，分别按照含男生1，2，3人分类，得到符合条件的选法数为132231545454120C C C C C C ++=.16、按照去的人数分类，去的人数分别为1，2，3，4，5，6，而去的人大家没有地位差异，所以不同的去法有12345666666663C C C C C C +++++=（种）. 17、（1）31981274196C =； （2）142198124234110C C ⋅=； （3）51982410141734C =； （4）解法1：3141982198125508306C C C =⋅=. 解法2：55200198125508306C C -=. 说明：解答本题时，要注意区分“恰有”“至少有”等词.习题1.2 B 组（P28）1、容易知道，在737C 注彩票中可以有一个一等奖.在解决第2问时，可分别计算37选6及37选8中的一等奖的中奖机会，它们分别是637112324784C =和8371138608020C =. 要将一等奖的机会提高到16000000以上且不超过1500000，即375000006000000nC ≤<， 用计算机可得，6n =，或31n =.所以可在37个数中取6个或31个.2、可以按照I ，II ，III ，IV 的顺序分别着色：分别有5，4，3，3种方法，所以着色种数有5×4×3×3＝180（种）.3、“先取元素后排列”，分三步完成：第一步，从1，3，5，7，9中取3个数，有35C 种取法；第二步，从2，4，6，8中取2个数，有24C 种取法；第三步，将取出的5个数全排列，有55A 种排法. 共有符合条件的五位数3255457200C C A ⋅⋅=（个）.4、由于甲和乙都没有得冠军，所以冠军是其余3人中的一个，有13A 种可能；乙不是最差的，所以是第2，3，4名中的一种有13A 种可能；上述位置确定后，甲连同其他2人可任意排列，有33A 种排法. 所以名次排列的可能情况的种数是11333354A A A ⋅⋅=. 5、等式两边都是两个数相乘，可以想到分步乘法计数原理，于是可得如下分步取组合的方法.在n 个人中选择m 个人搞卫生工作，其中k 个人擦窗，m k -个人拖地，共有多少种不同的选取人员的方法？解法1：利用分步计数原理，先从n 个人中选m 个人，然后从选出的m 个人中再选出k 个人擦窗，剩余的人拖地，这样有m knm C C 种不同的选取人员的方法； 解法2：直接从n 个人中选k 个人擦窗，然后在剩下的n k -个人中选m k -个人拖地，这样，由分步计数原理得，共有k m knn k C C --种不同的人员选择方法. 所以，k m k m knn k n m C C C C --=成立. 说明：经常引导学生从一个排列组合的运算结果或等式出发，构造一个实际问题加以解释，有助于学生对问题的深入理解，检查结果，纠正错误. 1．3二项式定理 练习（P31）1、7652433425677213535217p p q p q p q p q p q pq q +++++++.2、2424236(2)(3)2160T C a b a b =⋅=.3、231(1)(2n rr r n rrr r nn r T C C x --+-=⋅=.4、D . 理由是5105555511010(1)T C x C x -+=-=-. 练习（P35）1、（1）当n 是偶数时，最大值2nnC ；当n 是奇数时，最大值12n nC-.（2）1311111111111210242C C C +++=⋅=. （3）12.2、∵0122knn nn n n n C C C C C ++++++=， 2、∵0122k n n nn n n n C C C C C ++++++=，0213nn n n C C C C ++=++∴012knnn n n n C C C C C ++++++0213()()n n n n C C C C =+++++022()2n n n C C =++=∴021222nn n n nnC C C -+++==. 3、略.习题1.3 A 组（P36）1、（1）011222(1)(1)(1)(1)n n n r n rr nn nn n n n C P C P P C P P C P P C P ---+-+-++-++-；（2）0122222nn n nn n n n n C C C C ++++.2、（1）9965432(9368412612684a a a a a b a a a b =+++23369a b ab b（2）27311357752222222172135701682241281283282x x x x x x x x ----=-+-+-+-.3、（1）552(1(122010x x ++=++； （2）11114412222(23)(23)192432x x x x x x ---+--=+. 4、（1）前4项分别是1，30x -，2420x ，33640x -； （2）91482099520T a b =-； （3）7924T =； （4）展开式的中间两项分别为8T ，9T ，其中78711815((6435T C x y =-=-87811915((6435T C x y =-=5、（1）含51x 的项是第6项，它的系数是5510163()28C -=-； （2）常数项是第6项，5105561012()2522T C -=⋅-=-.6、（1）2221221()(1)r n r r r r n rr n n T C x C xx --+=-=- 6、（1）2221221()(1)r n r r r r n rr n n T C x C xx--+=-=- 由220n r -=得r n =，即21()n x x-的展开式中常数项是12(1)n rn n T C +=-(2)!(1)!!nn n n =- 12345(21)2(1)!!n n nn n ⋅⋅⋅⋅⋅⋅-⋅=-…[135(21)][2462](1)!!n n n n n ⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅⋅=-……[135(21)]2!(1)!!n nn n n n ⋅⋅⋅⋅-⋅⋅=-…135(21)(2)!nn n ⋅⋅⋅⋅-=-…（2）2(1)n x +的展开式共有21n +项，所以中间一项是12135(21)(2)!n nn n n n T C x x n +⋅⋅⋅⋅-==…7、略.8、展开式的第4项与第8项的二项式系数分别是3n C 与7n C ， 由37n n n C C -=，得37n =-，即10n =.所以，这两个二项式系数分别是310C 与710C ，即120.习题1.3 B 组（P37）1、（1）∵1122221(1)111n n n n n n n n n n n n C n C n C n C n ----+-=++++++- 1122222n n n n nn n n C n C n C n n ---=+++++2213242(1)n n n n nn n n n C n C n C ----=+++++∴(1)1n n +-能被2n 整除； （2）∵1010991(1001)1-=--1019288291010101010010010010010011C C C C =-⋅+⋅++⋅-⋅+- 1019288210101010010010010010100C C C =-⋅+⋅++⋅-⨯1711521381010101000(101010101)C C C =-⋅+⋅++⋅-∴10991-能被1000整除.2、由0112211(21)222(1)2(1)n n n n n n n nnn n n n C C C C C -----=⋅-⋅+⋅++-⋅⋅+-，得112211222(1)2(1)1n n n n n n nn n C C C -----⋅+⋅++-⋅⋅+-=.第一章 复习参考题A 组（P40）1、（1）2n ；说明：这里的“一件事情”是“得到展开式中的一项”. 由于项的形式是i j a b ，而,i j 都有n 种取法.（2）3276525C C ⋅=； （3）1545480A A ⋅=，或2454480A A ⋅=； 说明：第一种方法是先考虑有限制的这名歌手的出场位置，第二种方法是先考虑有限制的两个位置. （4）45C ；说明：因为足球票无座，所以与顺序无关，是组合问题. （5）53；说明：对于每一名同学来说，有3种讲座选择，而且允许5名同学听同一个讲座，因此是一个“有重复排列”问题，可以用分步乘法原理解答. （6）54；说明：对角线的条数等于连接正十二边形中任意两个顶点的线段的条数212C ，减去其中的正十二边形的边12条：21212111212542C ⨯-=-=. （7）第1n +项.说明：展开式共有21n +项，且各系数与相应的二项式系数相同.2、（1）1234566666661956A A A A A A +++++=； 说明：只要数字是1，2，3，4，5，6中的，而且数字是不重复的一位数、二位数、三位数、四位数、五位数和六位数都符合要求.（2）552240A =. 说明：只有首位数是6和5的六位数才符合要求.3、（1）3856C =； （2）1234555530C C C C +++=. 4、468898C C +=.说明：所请的人的地位没有差异，所以是组合问题. 按照“其中两位同学是否都请”为标准分为两类.5、（1）2(1)2n n n C -=； 说明：任意两条直线都有交点，而且交点各不相同. （2）2(1)2n n n C -=. 说明：任意两个平面都有一条交线，而且交线互不相同. 6、（1）59764446024C =； （2）23397442320C C ⋅=； （3）2332397397446976C C C C ⋅+⋅=. 7、34533453103680A A A A ⋅⋅⋅=. 说明：由于不同类型的书不能分开，所以可以将它们看成一个整体，相当于是3个元素的全排列. 但同类书之间可以交换顺序，所以可以分步对它们进行全排列. 8、（1）226x -；说明：第三项是含2x 的项，其系数是22112244553(23)(2)26C C C C ⋅+⋅-⨯+--. （2）18118(9)(rr r r T C x -+=，由题意有1802rr --= 解得12r =，1318564T =；（3）由题意得98102n n n C C C =+，即2!!!9!(9)!8!(8)!10!(10)!n n n n n n ⋅=+---化简得2373220n n -+=，解得14n =，23n =；（4）解法1：设1r T +'是10(1)x -展开式的第1r +项，由题意知，所求展开式中4x 的系数为41T +'，31T +'与21T +'的系数之和.444110()T C x +'=-，333110()T C x +'=-，222110()T C x +'=-，因此，4x 的系数432101010135C C C =-+=. 解法2：原式39(1)(1)x x =--3223344999(1)(19)x x C x C x C x =--+-++因此，4x 的系数499135C =+=. 9、5555559(561)9+=-+5515454555556565619C C =-⋅++⋅-+ 551545455555656568C C =-⋅++⋅+由于551545455555656568C C -⋅++⋅+中各项都能被8整除，因此55559+也能被8整除.第一章 复习参考题B 组（P41）1、（1）121121n n n C C -++==，即1(1)212n n +⋅=，解得6n =； （2）1144244224192A A A ⋅⋅=⨯⨯=； 说明：先排有特殊要求的，再排其他的. （3）433333⨯⨯⨯=，34444⨯⨯=；说明：根据映射定义，只要集合A 中任意一个元素在集合B 中能够找到唯一对应的元素，就能确定一个映射，对应的元素可以相同，所以是“有重复排列”问题.（4）2426106500000A ⨯=； （5）481258C -=； 说明：在从正方体的8个顶点中任取4个的所有种数48C 中， 排除四点共面的12种情况，即正方体表面上的6种四点共面的情况，以及如右图中ABC D ''这样的四点共面的其他 6种情况，因此三棱锥的个数为481258C -= （6）1或1-.说明：令1x =，这时(12)n x -的值就是展开式中各项系数的和，其值是1,(12)(1)1n n n n -⎧-=-=⎨⎩是奇数，是偶数2、（1）先从1，3，5中选1个数放在末位，有13A 种情况；再从除0以外的4个数中选1个数放在首位，有14A 种情况；然后将剩余的数进行全排列，有44A 种情况. 所以能组成的六位奇数个数为114344288A A A ⋅⋅=. （2）解法1：由0，1，2，3，4，5组成的所有没有重复数字的正整数的个数是1555A A ⋅，其中不大于201345的正整数的个数，当首位数字是2时，只有201345这1个；当首位数字是1时，有55A 个. 因此，所求的正整数的个数是155555(1)479A A A ⋅-+=. 解法2：由0，1，2，3，4，5组成的没有重复数字的正整数中，大于201345的数分为以下几种情况：前4位数字为2013，只有201354，个数为1；同理，前3位数字为201，个数为1222A A ⋅；前2位数字为20，个数为1333A A ⋅；首位数字为2，个数为1444A A ⋅；首位数字为3，4，5中的一个，个数为1535A A ⋅；根据分类计数原理，所求的正整数的个数是12131415223344351479A A A A A A A A +⋅+⋅+⋅+⋅=. 3、（1）分别从两组平行线中各取两条平行线，便可构成一个平行四边形，所以可以构成的平行四边形个数为221(1)(1)4m n C mn m n ⋅=--； （2）分别从三组平行平面中各取两个平行平面，便可构成一个平行六面体，所以可以构成的平行六面体个数为2221(1)(1)(1)8m n l C C C mnl m n l ⋅⋅=---. 4、（1）先排不能放在最后的那道工序，有14A 种排法；再排其余的4道工序，有44A 种排法.根据分步乘法计数原理，排列加工顺序的方法共有144496A A ⋅=（种）；（2）先排不能放在最前和最后的那两道工序，有23A 种排法；再排其余的3道工序，有33A 种排法，根据分步乘法计数原理，排列加工顺序的方法共有233336A A ⋅=（种）. 5、解法1：由等比数列求和公式得33342(1)(1)(1)(1)(1)n n x x x x x x+++-+++++++=， 上述等式右边分子的两个二项式中含2x 项的系数分别是33n C +，33C ，因此它们的差23333(611)6n n n n C C +++-=，就是所求展开式中含2x 项的系数. 解法2：原式中含2x 项的系数分别是23C ，24C ，…，22n C +，因此它们的和就是所求展开式中含2x 项的系数. 与复习参考题B 组第2题同理，可得22223334233(611)6n n n n n C C C C C +++++++=-=修2—3第二章课后习题解答第二章 随机变量及其分布2．1离散型随机变量及其分布列练习（P45）1、（1）能用离散型随机变量表示. 可能的取值为2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12.（2）能用离散型随机变量表示. 可能的取值为0，1，2，3，4，5. （3）不能用离散型随机变量表示.说明：本题的目的是检验学生是否理解离散型随机变量的含义. 在（3）中，实际值与规定值之差可能的取值是在0附近的实数，既不是有限个值，也不是可数个值.2、可以举的例子很多，这里给出几个例子：例1 某公共汽车站一分钟内等车的人数；例2 某城市一年内下雨的天数；例3 一位跳水运动员在比赛时所得的分数； 例4 某人的手机在1天内接收到电话的次数.说明：本题希望学生能观察生活中的随机现象，知道哪些量是随机变量，哪些随机变量又是离散型随机变量.练习（P49）1、设该运动员一次罚球得分为X说明：这是一个两点分布的例子，没投中看作试验失败. 通过这样的例子可以使学生理解两点分布是一个很常用的概率模型，实际中大量存在. 虽然离散型随机变量的分布列可以用解析式的形式表示，但当分布列中的各个概率是以数值的形式给出时，通常用列表的方式表示分布列更为方便.2、抛掷一枚质地均匀的硬币两次，其全部可能的结果为{正正，正反，反正，反反}. 正面向上次数X 是一个离散型随机变量，1(0)({})0.254P X P ====反反 2(1)({}{})0.54P X P ====正反反正 1(2)({})0.25P X P ====正正 因此X 的分布列为说明：这个离散型随机变量虽然简单，但却是帮助学生理解随机变量含义的一个很好的例子. 试验的全部可能的结果为{正正，正反，反正，反反}，随机量X 的取值范围为{0，1，2}，对应关系为正正→2 正反→1 反正→1 反反→0在这个例子中，对应于1的试验结果有两个，即“正反”和“反正”，因此用随机变量X 不能表示随机事件{正反}. 这说明对于一个具体的随机变量而言，有时它不能表示所有的随机事件.可以通过让学生们分析下面的推理过程存在的问题，进一步巩固古典概型的知识. 如果把X 所有取值看成是全体基本事件，即{0,1,2}Ω=.根据古典概型计算概率的公式有 1(1)({1})3P X P ===. 这与解答的结果相矛盾. 原因是这里的概率模型不是古典概型，因此上面式中的最后一个等号不成立. 详细解释下：虽然Ω中只含有3个基本事件，但是出现这3个基本事件不是等可能的，因此不能用古典概型计算概率的公式来计算事件发生的概率.3、设抽出的5张牌中包含A 牌的张数为X ，则X 服从超几何分布，其分布列为 5448552()i i C C P X i C -==，i =0，1，2，3，4.因此抽出的5张牌中至少3张A 的概率为(3)(3)(4)0.002P X P X P X ≥==+=≈.说明：从52张牌任意取出5张，这5张牌中包含A 的个数X 是一个离散型随机变量. 把52张牌看成是52件产品，把牌A 看成次品，则X 就成为从含有四件次品的52件产品中任意抽取5件中的次品数，因此X 服从超几何分布.本题的目的是让学生熟悉超几何分布模型，体会超几何分布在不同问题背景下的表现形式. 当让本题也可以用古典概型去解决，但不如直接用超几何分布简单. 另外，在解题中分布列是用解析式表达的，优点是书写简单，一目了然.4、两点分布的例子：掷一枚质地均匀的硬币出现正面的次数X 服从两点分布；射击一次命中目标的次数服从两点分布.超几何分布的例子：假设某鱼池中仅有鲤鱼和鲑鱼两种鱼，其中鲤鱼200条，鲑鱼40条，从鱼池中任意取出5条鱼，这5条鱼包含鲑鱼的条数X 服从超几何分布.说明：通过让学生举例子的方式，帮助学生理解这两个概率模型.习题2.1 A 组（P49）1、（1）能用离散型随机变量表示.设能遇到的红灯个数为X ，它可能的取值为0，1，2，3，4，5.事件{X ＝0}表示5个路口遇到的都不是红灯；事件{X ＝1}表示5个路口其中有1个路口遇到红灯，其他4个路口都不是红灯；事件{X ＝2}表示5个路口其中有2个路口遇到红灯，其他3个路口都不是红灯；事件{X ＝3}表示5个路口其中有3个路口遇到红灯，剩下2个路口都不是红灯；事件{X ＝4}表示5个路口其中有4个路口遇到红灯，另外1个路口都不是红灯；事件{X ＝5}表示5个路口全部都遇到红灯.（2）能用离散型随机变量表示.定义 12345X ⎧⎪⎪⎪=⎨⎪⎪⎪⎩，成绩不及格，成绩及格，成绩中，成绩良，成绩优则X 是一个离散型随机变量，可能的取值为1，2，3，4，5.事件{X ＝1}表示该同学取得的成绩为不及格；事件{X ＝2}表示该同学取得的成绩为及格；事件{X ＝3}表示该同学取得的成绩为中；事件{X ＝4}表示该同学取得的成绩为良；事件{X ＝5}表示该同学取得的成绩为优.说明：本题是考查学生是否理解离散型随机变量的含义. 在（2）中，需要学生建立一个对应关系，因为随机变量的取值一定是实数，但这个对应关系不是唯一的，只要是从五个等级到实数的意义映射即可.2、某同学跑1 km 所用时间X 不是一个离散型随机变量. 如果我们只关心该同学是否能够取得优秀成绩，可以定义如下的随机变量：01km 4min 11km 4minY >⎧=⎨≤⎩，跑所用的时间，跑所用的时间 它是离散型随机变量，且仅取两个值：0或1.事件{1}Y =表示该同学跑1 km 所用时间小于等于4 min ，能够取得优秀成绩；事件{0}Y =表示该同学跑1 km 所用时间大于4 min ，不能够取得优秀成绩.说明：考查学生在一个随机现象中能否根据关心的问题不同定义不同的随机变量，以简化问题的解答. 可以与教科书中电灯泡的寿命的例子对比，基本思想是一致的.3、一般不能. 比如掷一枚质地均匀的硬币两次，用随机变量X 表示出现正面的次数，则不能用随机变量X 表示随机事件{第1次出现正面且第2次出现反面}和{第1次出现反面且第2次出现正面}. 因为{X ＝1}＝{第1次出现正面且第2次出现反面}∪{第1次出现反面且第2次出现正面}，所以这两个事件不能分别用随机变量X 表示.说明：一个随机变量是与一个事件域相对应的，一个事件域一般是由部分事件组成，但要满足一定的条件. 对离散型随机变量，如果它取某个值是由几个随机变量组成，则这几个随机事件就不能用随机变量表示，比如从一批产品中依次取出几个产品，用X 表示取出的产品中次品的个数，这时我们不能用X 表示随机事件{第i 次取出次品，其他均为合格品}.4、不正确，因为取所有值的概率和不等于1.说明：考查学生对分布列的两个条件的理解，每个概率不小于0，其和等于1，即 （1）0i p ≥，1,2,,i n =；（2）11n i i p ==∑.5、射击成绩优秀可以用事件{X ≥8}表示，因此射击优秀的概率为P {X ≥8}＝(8)(9)(10)0.280.290.220.79P X P X P X =+=+==++=说明：本题知识点是用随机变量表示随机事件，并通过分布列计算随机事件的概率.6、用X 表示该班被选中的人数，则X 服从超几何分布，其分布列为104261030()i i C C P X i C -==， i =0，1，2，3，4. 该班恰有2名同学被选到的概率为2842610304!26!1902!2!8!18!(2)0.31230!60910!20!C C P X C ⨯⨯⨯====≈⨯. 说明：本题与49页练习的第3题类似，希望学生在不同背景下能看出超几何分布模型. 习题2.1 B 组（P49）1、（1）设随机抽出的3篇课文中该同学能背诵的 篇数为X ，则X 是一个离散型随机变量，它可能的 取值为0，1，2，3，且X 服从超几何分布，分布列 为即（2112(2)(2)(3)0.667263P X P X P X ≥==+==+==. 说明：本题是为了让学生熟悉超几何分布模型，并能用该模型解决实际问题.2、用X 表示所购买彩票上与选出的7个基本号码相同的号码的个数，则X 服从超几何分布，其分布列为7729736()i i C C P X i C -==， i =0，1，2，3，4，5，6，7. 至少中三等奖的概率为52617072972972977736363697(5)0.00192752C C C C C C P X C C C ≥=++=≈. 说明：与上题类似同样是用超几何分布解决实际问题，从此题的结算结果可以看出至少中三等奖的概率近似为1／1000.2．2二项分布及其应用练习（P54）1、设第1次抽到A 的事件为B ，第2次抽到A 的事件为C ，则第1次和第2次都抽到A 的事件为BC .解法1：在第1次抽到A 的条件下，扑克牌中仅剩下51张牌，其中有3张A ，所以在第1次抽到A 的条件下第2次也抽到A 的概率为3()51P C B =. 解法2：在第1次抽到A 的条件下第2次也抽到A 的概率为()433()()45151n BC P C B n B ⨯===⨯. 解法3：在第1次抽到A 的条件下第2次也抽到A 的概率为43()35251()451()515251P BC P C B P B ⨯⨯===⨯⨯. 说明：解法1是利用缩小基本事件范围的方法计算条件概率，即分析在第1次抽到A 的条件下第2次抽取一张牌的随机试验的所有可能结果，利用古典概型计算概率的公式直接得到结果. 解法2实际上是在原来的基本事件范围内通过事件的计数来计算条件概率. 第3种方法是利用条件概率的定义来计算. 这里可以让学生体会从不同角度求解条件概率的特点.2、设第1次抽出次品的时间为B ，第2次抽出正品的事件为C ，则第1次抽出次品且第2次抽出正品的事件为BC .解法1：在第1次抽出次品的条件下，剩下的99件产品中有4件次品，所以在第1次抽出次品的条件下第2次抽出正品的概率为95()99P C B =. 解法2：在第1次抽出次品的条件下第2次抽出正品的概率为()59595()()59999n BC P C B n B ⨯===⨯. 解法3：在第1次抽出次品的条件下第2次抽出正品的概率为595()9510099()599()9910099P BC P C B P B ⨯⨯===⨯⨯.说明：与上题类似，可以用不同方法计算条件概率.3、例1 箱中3张奖券中只有1张能中奖，现分别由3人无放回地任意抽取，在已知第一个人抽到奖券的条件下，第二个人抽到奖券的概率或第三个人抽到奖券的概率，均为条件概率，它们都是0.例2 某班有45名同学，其中20名男生，25名女生，依次从全班同学中任选两名同学代表班级参加知识竞赛，在第1名同学是女生的条件下，第2名同学也是女生的概率.说明：这样的例子很多，学生举例的过程可以帮助学生理解条件概率的含义.练习（P55）1、利用古典概型计算的公式，可以求得()0.5P A =，()0.5P B =，()0.5P C =，()0.25P AB =，()0.25P BC =，()0.25P AC =，可以验证()()()P AB P A P B =，()()()P BC P B P C =，()()()P AC P A P C =.所以根据事件相互独立的定义，有事件A 与B 相互独立，事件B 与C 相互独立，事件A 与C 相互独立.说明：本题中事件A 与B 相互独立比较显然，因为抛掷的两枚硬币之间是互不影响的. 但事件B 与C 相互独立，事件A 与C 相互独立不显然，需要利用定义验证, 从该习题可以看出，事件之间是否独立有时根据实际含义就可做出判断，但有时仅根据实际含义是不能判断，需要用独立性的定义判断.2、（1）先摸出1个白球不放回的条件下，口袋中剩下3个球，其中仅有1个白球，所以在先摸出1个白球不放回的条件下，再摸出1个白球的概率是1／3.（2）先摸出1个白球后放回的条件下，口袋中仍然有4个球，其中有2个白球，所以在先摸出1个白球后放回的条件下，再摸出1个白球的概率是1／2.说明：此题的目的是希望学生体会有放回摸球与无放回摸球的区别，在有放回摸球中第2次摸到白球的概率不受第1次摸球结果的影响，而在无放回摸球中第2次摸到白球的概率受第1次摸球结果的影响.3、设在元旦期间甲地降雨的事件为A ，乙地降雨的事件为B .（1）甲、乙两地都降雨的事件为AB ，所以甲、乙两地都降雨的概率为()()()0.20.30.06P AB P A P B ==⨯=（2）甲、乙两地都不降雨的事件为AB ，所以甲、乙两地都不降雨的概率为()()()0.80.70.56P AB P A P B ==⨯= （3）其中至少一个地方降雨的事件为()()()AB AB AB ，由于事件AB ，AB 和AB 两两互斥，根据概率加法公式和相互独立事件的定义，其中至少一个地方降雨的概率为()()()0.060.20.70.80.30.44P AB P AB P AB ++=+⨯+⨯=.说明：与例3类似，利用事件独立性和概率的性质计算事件的概率，需要学生复习《数学3（必修）》中学过的概率性质.4、因为()()A AB AB =，而事件AB 与事件AB 互斥，。

1.3　二项式定理1.3.1　二项式定理课时过关·能力提升基础巩固1.(x-y )n 的二项展开式中,第r 项的二项式系数为( )A B .C rn.Cr +1nC D.(-1)r-1.C r -1nC r -1nT r =x n+1-r ·(-y )r-1,则第r 项的二项式系数为C r -1n C r -1n .2.展开式中的常数项为( )(x -13x )12A.-1 320 B.1 320C.-220D.220k+1=x 12-k=(-1)k ,令12-k=0,得k=9.故T 10=(-1)9=-220.C k 12··(-13x )kC k 12x 12-43k43C 9123.的展开式中倒数第3项的系数是( )(2x +1x 2)7A 2B 26.C 67·.C 67·C 25D 22.C 57·.C 57·的展开式中倒数第3项为二项展开式中的第6项,而T 6=(2x )222·x -8.该2x +1x 2)7C 57··(1x 2)5=C 57·项的系数为22.C 57·4.S=(x-1)4+4(x-1)3+6(x-1)2+4x-3,则S=( )A.x 4 B.x 4+1C.(x-2)4D.x 4+4(x-1)4+4(x-1)3+6(x-1)2+4(x-1)+1=(x-1)4+(x-1)3+(x-1)2+(x-1)+=[(x-1)+1]4=x 4,故选C 04C 14C 24C 34C 44A .5.的展开式中的常数项为-220,则a 的值为( )(3x +a x )12A.1B.-1C.2D.-2k+1=a k .C k12·x12-k3-k·∵T k+1为常数项,-k=0,∴12-k3∴k=3a 3=-220,∴a=-1..∴C 312·6.的展开式中含x 3项的二项式系数为( )(x -1x )5A.-10B.10C.-5D.5k+1=x 5-k=(-1)k x5-2k ,令5-2k=3,则k=1.故含x 3项的二项式系数为=5.C k5·(-1x)kC k5·C 157.的展开式中x 8的系数是 .(用数字作答)(x 3+12x )5T k+1=(x 3)5-k 2-k (k=0,1,2,…,5).令15-k=8,得k=2,于是展C k 5··(12x )k =C k 5··x 15-72k 72开式中x 8项的系数是2-2=C 25·52.8.若A=37+35+33+3,B=36+34+32+1,则A-B= .C 27·C 47·C 67·C 17·C 37·C 57·37-36+35-34+33-32+3-=(3-1)7=27=128.C 17·C 27·C 37·C 47·C 57·C 67·C 779.在的展开式中,求:(2x 2-13x )8(1)第5项的二项式系数及系数;(2)x 2的系数.因为T 5=(2x 2)424,所以第5项的二项式系数是=70,第5项的系数是24=1C 48(-13x )4=C 48·x 203C 48C 48·120.(2)的通项是(2x 2-13x )8T k+1=(2x 2)8-kC k 8(-13x)k=(-1)k 28-k ,C k 8··x 16-73k 根据题意得,16-k=2,解得k=6,73因此x 2的系数是(-1)628-6=112.C 68·10.求证:32n+3-24n+37能被64整除.2n+3-24n+37=3×9n+1-24n+37=3(8+1)n+1-24n+37=3(8n+1+8n +…+8+1)-C 0n +1·C 1n +1·C nn +1·24n+37=3×64(8n-1+8n-2+…+)+24-24n+40=64×3(8n-1+8n-2+…+C 0n +1·C 1n +1·C n -1n +1C n n +1C 0n +1·C 1n +1·)+64.显然上式是64的倍数,故原式可被64整除.C n -1n +1能力提升1.对任意实数x ,有x 3=a 0+a 1(x-2)+a 2(x-2)2+a 3(x-2)3,则a 2的值是( )A.3 B.6C.9D.21x 3=[2+(x-2)]3=23+22·(x-2)+2·(x-2)2+(x-2)3.C 03·C 13·C 23·C 33所以a 2=2=6.C 23·2.若(1+)5=a+b (a ,b 为有理数),则a+b 等于( )22A.45B.55C.70D.80,得(1+)5=1+()2+()3+()4+()2C 15·2+C 25·2C 35·2C 45·2C 55·25=1+5+20+20+20+4=41+29,2222即a=41,b=29,故a+b=70.3.(1-)6(1+)4的展开式中x 的系数是( )x x A.-4B.-3C.3D.4:(1-)6的展开式的通项为(-)m ,(1+)4的展开式的通项为)n ,其中x C m 6x x C n 4(x m=0,1,2,…,6;n=0,1,2,3,4.令=1,得m+n=2,于是(1-)6(1+)4的展开式中x 的系数等于(-1)0(-1)1m 2+n2x x C 06··C 24+C 16·(-1)2=-3.·C 14+C 26··C 04方法二:(1-)6(1+)4=[(1-)(1+)]4·(1-)2=(1-x )4(1-2+x ).x x x x x x 于是(1-)6(1+)4的展开式中x 的系数为1+(-1)1·1=-3.x x C 04·C 14·4.设a ∈Z ,且0≤a<13,若512 016+a 能被13整除,则a 等于( )A.0B.1C.11D.12,得512 016+a=a+(1-13×4)2 016=a+1-(13×4)+(13×4)2-…+(13×4)2C 12 016C22 016C 2 0162 016016,显然当a+1=13k (k ∈Z )时,512 016+a 能被13整除.又0≤a<13,则a=12.5.若x>0,设的展开式中的第3项为M ,第4项为N ,则M+N 的最小值为 .(x 2+1x )5T 3=x ,C 25·(x 2)3(1x )2=54T 4=,C 35·(x 2)2·(1x )3=52x 则M+N=25x 4+52x ≥258=52.当且仅当,即x=时,等号成立.5x 4=52x 26.二项式的展开式中,常数项的值为 .(x -123x)10★7.已知(ax+1)n =a n x n +a n-1x n-1+…+a 2x 2+a 1x+a 0(x ∈N *),点A i (i ,a i )(i=0,1,2,…,n )的部分图象如图,则a= .T k+1=(ax )n-k =a n-k x n-k ,由题图可知a 1=3,a 2=4,即a =3,且a 2=4,化简得C k n ·C kn C n -1n C n -2n na=3,且=4,解得a=n (n -1)a 2213.★8.(1)求(1+x )2(1-x )5的展开式中x 3的系数;(2)已知展开式的前三项系数的和为129,这个展开式中是否含有常数项?一次项?如果没(x x +23x )n 有,请说明理由;如果有,请求出来.+x )2的通项为T r+1=x r ,C r 2·(1-x )5的通项为T k+1=(-1)k x k ,·C k5其中r ∈{0,1,2},k ∈{0,1,2,3,4,5},令k+r=3,则有k=1,r=2;k=2,r=1;k=3,r=0.故x 3的系数为-=5.C 22C 15+C 12C 25‒C 02C 35(2)展开式的通项为T k+1=(x )n-k 2k (k=0,1,2,…,n ),C kn x ·(23x )k =C kn ··x 9n -11k 6由题意,得20+2+22=129.C 0n C 1n C 2n 所以1+2n+2n (n-1)=129,则n 2=64,即n=8.故T k+1=2k (k=0,1,2,…,8),C k 8··x72-11k6若展开式存在常数项,则=0,72-11k6解:之,得k=Z ,所以展开式中没有常数项.7211∉若展开式中存在一次项,则=1,72-11k6即72-11k=6,所以k=6.所以展开式中存在一次项,它是第7项,T 7=26x=1 792x.C 68★9.已知f (x )=(1+x )m ,g (x )=(1+2x )n (m ,n ∈N *).(1)若m=3,n=4,求f (x )g (x )的展开式含x 2的项;(2)令h (x )=f (x )+g (x ),h (x )的展开式中x 的项的系数为12,当m ,n 为何值时,含x 2的项的系数取得最小值?当m=3,n=4时,f (x )g (x )=(1+x )3(1+2x )4.(1+x )3展开式的通项为x k ,C k3(1+2x )4展开式的通项为(2x )k ,C k 4f (x )g (x )的展开式含x 2的项为1(2x )2+x (2x )+x 2×1=51x 2.×C 24C 13×C 14C 23(2)h (x )=f (x )+g (x )=(1+x )m +(1+2x )n .因为h (x )的展开式中x 的项的系数为12,所以+2=12,C 1m C 1n 即m+2n=12,所以m=12-2n.x 2的系数为+4+4C 2m C2n=C 212-2nC 2n =(12-2n )(11-2n )+2n (n-1)12=4n 2-25n+66=4,n ∈N *,(n -258)2+43116所以当n=3,m=6时,x 2的项的系数取得最小值.。

第一章检测(A)(时间:90分钟　满分:120分)一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.(x3+x2+x+1)(y2+y+1)(z+1)展开后的不同项数有( )A.9项B.12项C.18项D.24项:第一步,从(x3+x2+x+1)中任取一项,有4种方法;第二步,从(y2+y+1)中任取一项,有3种方法;第三步,从(z+1)中任取一项有2种方法.根据分步乘法计数原理得共有4×3×2=24项.2.下列等式不正确的是( )A.C mn=C n-m nB.C mm+C m-1m=C mm+1C=25 .C15+C25+C35+C45+C55D.Cmn+1=C m-1n+C mn-1+C m-1n-1:=25,故C不正确,而A,B,D正确.C05+C15+C25+C35+C45+C553.某城市的街道如图,某人要从A地前往B地,则路程最短的走法有( )A.8种B.10种C.12种D.32种4.将7名学生分配到甲、乙两间宿舍中,每间宿舍至少安排2名学生,那么互不相同的分配方案共有( )A.252种B.112种C.70种D.56种:甲、乙两间宿舍中一间住4人、另一间住3人或一间住5人、另一间住2人,所以不同的分配方案共有=35×2+21×2=112种.C37A22+C27A225.满足a ,b ∈{-1,0,1,2},且关于x 的方程ax 2+2x+b=0有实数解的有序数对(a ,b )的个数为( )A.14B.13C.12D.10a=0时,方程变为2x+b=0,则b 为-1,0,1,2都有解;当a ≠0时,若方程ax 2+2x+b=0有实数解,则Δ=22-4ab ≥0,即ab ≤1.当a=-1时,b 可取-1,0,1,2.当a=1时,b 可取-1,0,1.当a=2时,b 可取-1,0,故满足条件的有序数对(a ,b )的个数为4+4+3+2=13.6.若x+x 2+…+x n 能被7整除,则x ,n 的值可能为( )C 1n C 2n C n n A.x=4,n=3B.x=4,n=4C.x=5,n=4D.x=6,n=5x+x 2+…+x n =(1+x )n -1,分别将选项A,B,C,D 中的值代入检验知,仅有选项C 适合.C 1n C 2n C n n7.用0,1,…,9十个数字,可以组成有重复数字的三位数的个数为( )A.243B.252C.261D.279=900,而无重复数字的三位数的个数为=648,故所C 19C 110C 110C 19C 19C 18求个数为900-648=252,应选B .8.在x (1+x )6的展开式中,含x 3项的系数为( )A.30B.20C.15D.10x 3的项是由(1+x )6展开式中含x 2的项与x 相乘得到,又(1+x )6展开式中含x 2的项的系数为=15,故含x 3项的系数是15.C 269.设(1+x+x 2)n =a 0+a 1x+…+a 2n x 2n ,则a 2+a 4+…+a 2n 的值为( )A.3nB.3n -2C D .3n -12.3n +12x=0,得a 0=1;①令x=-1,得a 0-a 1+a 2-a 3+…+a 2n =1;②令x=1,得a 0+a 1+a 2+a 3+…+a 2n =3n ,③②+③得2(a 0+a 2+…+a 2n )=3n +1,故a 0+a 2+a 4+…+a 2n =,3n +12再由①得a 2+a 4+…+a 2n =3n -12.10.从正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的8个顶点中选取4个作为四面体的顶点,可得到的不同四面体的个数为( )A -12B -8.C 48.C 48C -6D -4.C 48.C 486个面和6个对角面中,每个面上的四个点不能构成四面体.二、填空题(本大题共5小题,每小题5分,共25分.把答案填在题中的横线上)11.如图所示为一电路图,若只闭合一条线路,从A 处到B 处共有 条不同的线路可通电.,上线路中有3条,中线路中有一条,下线路中有2×2=4条.根据分类加法计数原理,共有3+1+4=8条不同的线路.12.甲、乙、丙3人站到共有7级的台阶上,若每级台阶最多站2人,同一级台阶上的人不区分站的位置,则不同的站法种数是 .(用数字作答):第一类,7级台阶上每一级只站一人,则有种;第二类,若有一级台阶有2人,另一级A 37有1人,则共有种.因此共有不同的站法种数是=336.C 13A 27A 37+C 13A 2713.若的展开式中x 4的系数为7,则实数a= .(x +a 3x )8的通项为x 8-r a r ()r(x +a 3x )8C r 8x -13=a r x 8-r a r ,C r 8x -r 3=C r 8x 8-r -r 3∴令8-r-=4,r 3解得r=3.a 3=7,得a=∴C 3812.14.-2+4-8+…+(-217)= .C 017C 117C 217C 317C 1717=(1-2)17=(-1)17=-1.115.若4名学生和3名教师站在一排照相,则其中恰好有2名教师相邻的站法有 .(用数字作答)3名教师中任取2名作为一个整体排列,共有种方法,然后排4名学生共有种方法,把2A 23A 44名教师组成的整体和另外一名教师安排在4名学生隔成的五个空中,有种排法,故共有不同的站法A 25种数为=2 880.A 23·A 44·A 25种三、解答题(本大题共5小题,共45分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)16.(8分)设集合M={-2,-1,0,1,2,3},P (a ,b )是坐标平面上的点,a ,b ∈M.(1)P 可以表示多少个第四象限内的点?(2)P 可以表示多少个不在直线y=x 上的点?分两步,第一步确定横坐标有3种,第二步确定纵坐标有2种,根据分步乘法计数原理得点的个数为N=3×2=6.(2)分两步,第一步确定横坐标有6种,第二步确定纵坐标有5种,根据分步乘法计数原理得点的个数为N=6×5=30.17.(8分)球台上有4个黄球、6个红球,击黄球入袋记2分,红球入袋记1分.求将此10球中的4球击入袋中,但总分不低于5分的击球方法有多少种?x 个,红球y 个符合要求.则有{x +y =4,2x +y ≥5,x ,y ∈N .解得{x =1,y =3或{x =2,y =2或{x =3,y =1或{x =4,y =0.对应每组解(x ,y ),击球方法数分别为,所以不同的击球方法种数为C 14C 36,C 24C 26,C 34C 16,C 44C 06=195.C 14C 36+C 24C 26+C 34C 16+C 44C 0618.(9分)有大小、形状、质地相同的6个球,其中3个一样的黑球,红、白、蓝球各1个,现从中取出4个球排成一列,共有多少种不同的排法?1个、2个、3个黑球进行分类求解.:(1)若取1个黑球,和另三个球排4个位置,不同的排法种数为=24;A 44(2)若取2个黑球,从另三个球中选2个排4个位置,2个黑球是相同的,自动进入,不需要排列,即不同的排法种数为=36;C 23A 24(3)若取3个黑球,从另三个球中选 1个排4个位置,3个黑球是相同的,自动进入,不需要排列,即不同的排法种数为=12.C 13A 14综上,不同的排法种数为24+36+12=72.19.(10分)求证:(1)4×6n +5n+1-9是20的倍数(n ∈N *);(2)3n -2n ≥n ·2n-1(n ∈N *).×6n +5n+1-9=4×(5+1)n +5×(4+1)n -9=4(5n +5n-1+…+5+1)+5(4n +4n-C 0n C 1n C n -1nC 0n C 1n 1+…+4+1)-9=20[(5n-1+5n-2+…+)+(4n-1+4n-2+…+)],故结论成立.C n -1n C 0n C 1n C n -1n C 0n C 1n C n -1n (2)∵3n -2n ≥n ·2n-1⇔3n ≥n ·2n-1+2n =2n-1(n+2),①当n=1时,①式左边=31=3,右边=21-1×(1+2)=3,∴3n =2n-1(n+2).当n ≥2时,3n =(2+1)n =2n +2n-1+2n-2+…+>2n +n ·2n-1=2n-1(2+n ).C 1n C 2n C n n 综上,对一切n ∈N *,不等式3n ≥2n-1(2+n )成立,即3n -2n ≥n ·2n-1(n ∈N *)恒成立.20.(10分)已知的展开式中前三项的系数成等差数列.(x +12x )n (1)求n 的值;(2)求展开式中系数最大的项.,利用等差中项的性质即可求出n 的值;所谓系数最大的项,即只要某一项的系数不小于与它相邻的两项的系数即可,这是由二项式系数的增减性决定的.由题意,得=2,C 0n +14×C 2n ×12×C 1n 即n 2-9n+8=0,解得n=8,n=1(舍去).(2)设第r+1项的系数最大,则{12r C r 8≥12r +1C r +18,12r C r 8≥12r -1C r -18,即{18-r ≥12(r +1),12r ≥19-r ,解得r=2或r=3.所以系数最大的项为T 3=7x 5,T 4=7x 72.。