八年级数学上册 13 轴对称单元测试(三)(新版)新人教版

第13章轴对称（单元测试·培优卷）一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1．下列图形中是轴对称图形的是（）A ．B ．C ．D ．2．如图，点A 在直线l 上，△ABC 与AB C '' 关于直线l 对称，连接BB '，分别交AC ，AC '于点D ，D ¢，连接CC '，下列结论不一定正确的是（）A ．BACB AC ∠=∠''B ．CC BB '' C ．BD B D =''D ．AD DD ='3．我们知道光的反射是一种常见的物理现象.如图，某V 型路口放置如图所示的两个平面镜1l ，2l ，两个平面镜所成的夹角为1∠，位于点D 处的甲同学在平面镜2l 中看到位于点A 处的乙同学的像，其中光的路径为入射光线AB 经过平面镜1l 反射后，又沿BC 射向平面镜2l ，在点C 处再次反射，反射光线为CD ，已知入射光线2AB l ∥，反射光线1CD l ∥，则1∠等于（）A ．40︒B ．50︒C ．60︒D ．70︒4．如图，已知a b ∥，直线l 与直线a ，b 分别交于点A ，B ，分别以点A ，B 为圆心，大于12AB 长为半径画弧，两弧相交于点M ，N ，作直线MN 分别交直线a ，b 于点D 、C ，连接AC ，若135∠=︒，则BAD ∠的度数是（）A ．35︒B ．55︒C ．65︒D ．70︒5．如图，在等腰Rt ABC △，90BAC ∠=︒，AB AC =，BD 为ABC V 的角平分线，过点C 作CE BD ⊥交BD 的延长线与点E ，若2CE =，则BD 的长为（）A ．3B ．4C ．5D ．66．如图，90ACB AED ∠=∠=︒，CAE BAD ∠=∠，BC DE =，若BD AC ∥，则ABC ∠与CAE ∠间的数量关系为（）A ．2ABC CAE∠=∠B ．ABC CAE ∠=∠C ．290ABC CAE ∠+∠=︒D ．2180ABC CAE ∠+∠=︒7．某平板电脑支架如图所示，其中AB CD =，EA ED =，为了使用的舒适性，可调整AEC ∠的大小．若AEC ∠增大16︒，则BDE ∠的变化情况是（）A ．增大16︒B ．减小16︒C ．增大8︒D ．减小8︒8．如图，在ABC V 中，80BAC ∠=︒，边A 的垂直平分线交BC 于点E ，边AC 的垂直平分线交AC 于点F ，连接AE ，AG ．则EAG ∠的度数为（）A ．35︒B ．30︒C ．25︒D ．20︒9．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝3，BC ＝4，AD 是△ABC 的角平分线，若P ，Q 分别是AD 和AC 边上的动点，则PC +PQ 的最小值是（）A ．65B ．2C ．125D ．5210．如图，在ABC V 中，90BAC ∠=︒，A 是高，BE 是中线，C 是角平分线，C 交A 于G ，交BE 于H ，下面说法：①ACF BCF S S = ；②AFG AGF ∠=∠；③2FAG ACF ∠=∠；④BH CH =．其中正确的是()A ．①②③④B ．①③C ．②③D ．①③④二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）11．如图，在ABC V 中，分别以点B 和点C 为圆心，大于12BC 的长为半径画弧，两弧相交于点M 、N ，作直线MN ，交AB 于点D ，连接CD ，若ABC V 的周长为24，9BC =，则ADC △的周长为．12．如图，直线m n ∥，点A 是直线m 上一点，点B 是直线n 上一点，AB 与直线m ，n 均不垂直，点P为线段AB 的中点，直线l 分别与m ，n 相交于点C ，D ，若90,CPD CD ∠=︒=m ，n 之间的距离为2，则PC PD ⋅的值为．13．如图，A EGF ∠=∠，F 为BE CG ，的中点，58DB DE ==，，则AD 的长为．14．如图所示，在平面直角坐标系中，ABC V 满足45,90BAC CBA ∠=︒∠=︒，点A ，C 的坐标分别是()()2,0,3,5--，点B 在y 轴上，在坐标平面内存在一点D （不与点C 重合），使ABC ABD △≌△，且AC 与AD 是对应边，请写出点D 的坐标．15．如图，60AOB ∠=︒，C 是BO 延长线上一点，12cm OC =，动点M 从点C 出发沿射线CB 以2cm /s 的速度移动，动点N 从点O 出发沿射线OA 以1cm /s 的速度移动，如果点M 、N 同时出发，设运动的时间为s t ，那么当t =s 时，MON △是等腰三角形．16．如图，锐角ABC 中，30A ∠=︒，72BC =，ABC 的面积是6，D ，E ，F 分别是三边上的动点，则DEF 周长的最小值是．17．如图，在平面直角坐标系中，点1A ，2A ，3A ，4A ，…在x 轴正半轴上，点1B ，2B ，3B ，…在直线()0y x =≥上，若()11,0A ，且112A B A △，223A B A △，334A B A △，…均为等边三角形，则线段20212022A A 的长度为．18．如图，将长方形纸片ABCD 沿EF 折叠（折线EF 交AD 于E ，交BC 于F ），点C D 、的对应点分别是1C 、1D ，1ED 交BC 于G ，再将四边形11C D GF 沿FG 折叠，点1C 、1D 的对应点分别是2C 、2D ，2GD 交EF 于H ，给出下列结论：①2EGD EFG∠=∠②2180EFC EGC ∠=∠+︒③若26FEG ∠=︒，则2102EFC ∠=︒④23FHD EFB∠=∠上述正确的结论是．三、解答题（本大题共6小题，共58分）19．（8分）在ABC V 中，90ACB ∠=︒，AC BC BE ==，AD EC ⊥，交EC 延长线于点D ．求证：2CE AD =．20．（8分）如图，点P 是AOB ∠外的一点，点E 与点P 关于OA 对称，点F 与点P 关于OB 对称，直线FE 分别交OA OB 、于C 、D 两点，连接PC PD PE PF 、、、．（1）若20OCP F ∠=∠=︒，求CPD ∠的度数；（2）若求=CP DP ，13CF =，3DE =，求CP 的长．21．（10分）如图，在ABC V 中，AD 平分BAC ∠，点E 为AC 中点，AD 与BE 相交于点F ．（1）若38,82ABC ACB ∠=︒∠=︒，求ADB ∠的度数；（2）过点B 作BH AD ⊥交AD 延长线于点H ，作ABH 关于AH 对称的AGH ，设BFH △，AEF △的面积分别为12,S S ，若6BCG S V =，试求12S S -的值．22．（10分）已知：OP 平分MON ∠，点A ，B 分别在边OM ，ON 上，且180OAP OBP ∠+∠=︒．（1）如图1，当BP OM ∥时，求证：OB PB =．（2）如图2，当90OAP ∠<︒时，作PC OM ⊥于点C ．求证：2OA OB AC -=．23．（10分）已知，在ABC V 中，90CAB ∠=︒，AD BC ⊥于点D ，点E 在线段BD 上，且CD DE =，点F 在线段AB 上，且45BEF ∠=︒（1）如图1，求证：DAE B∠=∠（2）如图1，若2AC =，且2AF BF =，求ABC V 的面积（3）如图2，若点F 是AB 的中点，求AEF ABCS S的值．24．（12分）如图，在ABC V 中，90ACB ∠=︒，30ABC ∠=︒，CDE 是等边三角形，点D 在边AB 上．（1）如图1，当点E 在边BC 上时，求证DE EB=（2）如图2，当点E 在ABC V 内部时，猜想ED 和EB 数量关系，并加以证明；（3）如图3，当点E 在ABC V 外部时，EH AB ⊥于点H ，过点E 作GE AB ，交线段AC 的延长线于点G ，5AG CG =，3BH =，求CG 的长．。

人教版数学八年级上学期《轴对称》单元测试考试时间：100分钟；总分：120分一、单选题(每小题3分,共30分)1．(2019·江苏南京一中初二期中)下列图案中,不是轴对称图形的是()A．B．C．D．2．(2018·河北初二期中)如果点P(﹣2,b)和点Q(a,﹣3)关于x轴对称,则a+b的值是( )A．﹣1 B．1 C．﹣5 D．53．(2018·河北初二期中)如图,AB的垂直平分线分别交AB、AC于点D、E,AC=9,AE：EC=2：1,则点E到点B的距离为( )A．5 B．6 C．7 D．8关于直线MN的轴对称图形,其中正确的是( ) 4．(2019·江苏初二期中)下面是四位同学作ABCA．B．C．D．5．(2019·江苏初二期中)如图,正方形网格中的每个小正方形边长都是1．已知A、B是两格点,若△ABC为等腰三角形,且S△ABC＝1.5,则满足条件的格点C有( )A．1个B．2个C．3个D．4个6．(2019·江苏省盐城市初级中学初二期中)如图,点E是等腰三角形△ABD底边上的中点,点C是AE延长线上任一点,连接BC、DC,则下列结论中：①BC=AD；②AC平分∠BCD；③AC=AB；④∠ABC=∠ADC.一定成立的是( )A．②④B．②③C．①③D．①②7．(2019·山东初二期中)等腰三角形的两条边长分别为3cm和6cm,则它的周长为( ).A．12cm B．15cm C．12cm或15cm D．18cm或36cm8．(2019·山东初二期中)如图,在△ABC中,DE是边AB的垂直平分线,BC=8cm,AC=5cm,则△ADC的周长为()A．14cm B．13cm C．11cm D．9cm9．(2017·广东初二月考)下列各点中,到三角形各顶点的距离相等的是()A．三个内角平分线的交点B．三条边的垂直平分线的交点C．三条中线的交点D．三条高线的交点10．(2019·湖北初二期中)上午8时,一条船从海岛A出发,以15n mile/h(海里/时,1n mile＝1852m)的速度向正北航行,10时到达海岛B处,从A、B望灯塔C,测得NAC＝42°,NBC＝84°．则从海岛B到灯塔C的距离为()A ．45n mileB ．30n mileC ．20n mileD ．15n mile二、填空题(每小题4分,共24分)11．(2019·南京市浦口外国语学校初二期中)如图,四边形ABCD 是轴对称图形,BD 所在的直线是它的对称轴,AB ＝5 cm,CD ＝3.5 cm,则四边形ABCD 的周长为_____cm ．12．(2019·如东县新店镇初级中学初二期中)如图,在△ABC 中,AB ＝AC ,D 是BC 的中点,∠BAD ＝34°,则∠C ＝_________°．13．(2019·安徽初二期中)如图,ABC △与A B C '''关于直线l 对称,且105A ∠=︒,30C '∠=︒,则B ∠=______．14．(2019·广西初二期中)如图,在ABC ∆中,DE 垂直平分AC ,若BCD ∆的周长是12,4BC =,则AB 的长______.15．(2019·北京市三帆中学初二期中)如图,在Rt △ABC 中,90B =∠ ,ED 是AC 的垂直平分线,交AC 于点D ,交BC 于点E ．已知40C ∠=,则BAE ∠的度数为_________.16．(2019·广西初二期中)如图,在第1个△A 1BC 中,∠B ＝20°,A 1B ＝CB ；在边A 1B 上任取一点D ,延长CA 1到A 2,使A 1A 2＝A 1D ,得到第2个△A 1A 2D ；在边A 2D 上任取一点E ,延长A 1A 2到A 3,使A 2A 3＝A 2E ,得到第3个△A 2A 3E ,按此做法继续下去,第2019个等腰三角形的底角度数是______________．三、解答题一(每小题6分,共18分)17．(2019·呼和浩特市实验中学初二期中)如图,已知OB 、OC 为△ABC 的角平分线,DE ∥BC,△ADE 的周长为10,BC 长为8,求△ABC 的周长．18．(2019·如东县新店镇初级中学初二期中)如图,△ABC 中,AB ＝AC,∠BAC ＝80°,AD ⊥BC 于点D, E 是AB 上一点,满足BE ＝CD,求∠ADE 的度数．19．(2019·如东县新店镇初级中学初二期中)如图,在平面直角坐标中,已知△ABC的三个顶点A(－3,1),B(－2,3),C(2,1),直线l上各点的横坐标都为1．(1)画出△ABC关于直线l对称的△A′B′C′,直接写出点B′的坐标；(2)直接写出点M(a,b)关于直线l对称点M ′的坐标．四、解答题二(每小题7分,共21分)20．(2019·湖北初二期中)如图,△ABC中,AB＝BC,∠ABC＝45°,BE⊥AC于点E,AD⊥BC于点D,BE与AD相交于F．(1)求证：BF＝AC；(2)若BF＝3,求CE的长度．21．(2019·湖北初二期中)如图,在△ABC中,AB＝AC,点D、E、F分别在AB、BC、AC边且BE＝CF,AD+EC ＝AB．(1)求证：△DEF 是等腰三角形；(2)当∠A ＝40°时,求∠DEF 的度数．22．(2019·厦门市梧侣学校初二期中)如图,在ABC ∆中,AB AC =,点D 在AB 边上且点D 到点A 的距离与点D 到点C 的距离相等.(1)利用尺规作图作出点D ,不写作法但保留作图痕迹.(2)连接CD ,若CD CB =,求∠B 的度数.五、解答题三(每小题9分,共27分)23．(2019·山东初二期中)如图,ABC ∆是等边三角形,BD 是中线,延长BC 至点E ,使CE CD =.(1)求证：DB DE =；(2)尺规作图：过点D 作DF 垂直于BE ,垂足为F ；(保留作图留痕迹,不写作法)(3)若3CF =,求ABC ∆的周长.24．(2019·湖北初二期中)如图,A 、B 、C 三点在同一直线上,分别以AB 、BC 为边,在直线AC 的同侧作等边△ABD 和等边△BCE ,连接AE 交BD 于点M ,连接CD 交BE 于点N ,连接MN 得△BMN ．(1)求证：AE＝CD；(2)试判断△BMN的形状,并说明理由；(3)设CD、AE相交于点G,求∠AGC的度数．25．如图,在△ABC中,AB＝AC,点D在△ABC内,BD＝BC,∠DBC＝60°,点E在△ABC外,∠BCE＝150°,∠ABE=60°.(1)求∠ADB的度数.(2)判断△ABE的形状并证明.(3)连结DE,若DE⊥BD,DE＝6,求AD的长参考答案一、单选题(每小题3分,共30分)1．(2019·江苏南京一中初二期中)下列图案中,不是轴对称图形的是()A．B．C．D．【答案】A【解析】【分析】根据轴对称图形的定义进行判断即可.【详解】A、不是轴对称图形,符合题意；B、是轴对称图形,故不符合题意；C、是轴对称图形,故不符合题意；D、是轴对称图形,故不符合题意,故选A.【点睛】本题考查了轴对称图形,熟知一个图形沿着一条直线折叠,直线两旁的部分能够完全重合的图形是轴对称图形是解题的关键.2．(2018·河北初二期中)如果点P(﹣2,b)和点Q(a,﹣3)关于x轴对称,则a+b的值是( )A．﹣1 B．1 C．﹣5 D．5【答案】B【解析】试题分析：根据关于x轴对称的点,横坐标相同,纵坐标互为相反数,求出a、b的值,再计算a+b的值．解：∵点P(﹣2,b)和点Q(a,﹣3)关于x轴对称,又∵关于x轴对称的点,横坐标相同,纵坐标互为相反数,∴a=﹣2,b=3．∴a+b=1,故选B．【点评】解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：(1)关于x轴对称的点,横坐标相同,纵坐标互为相反数；(2)关于y轴对称的点,纵坐标相同,横坐标互为相反数；(3)关于原点对称的点,横坐标与纵坐标都互为相反数．3．(2018·河北初二期中)如图,AB的垂直平分线分别交AB、AC于点D、E,AC=9,AE：EC=2：1,则点E到点B的距离为( )A．5 B．6 C．7 D．8【答案】B【解析】如图,连接BE,∵AE：EC=2：1,AC=9,∴AE=6.∵DE垂直平分AB,∴BE=AE=6.故选B.关于直线MN的轴对称图形,其中正确的是( ) 4．(2019·江苏初二期中)下面是四位同学作ABCA．B．C．D．【答案】B【解析】根据轴对称的定义判断即可得．【详解】作△ABC关于直线MN的轴对称图形正确的是B选项,故选：B.【点睛】此题考查轴对称的定义,解题关键在于掌握对称轴的定义.5．(2019·江苏初二期中)如图,正方形网格中的每个小正方形边长都是1．已知A、B是两格点,若△ABC为等腰三角形,且S△ABC＝1.5,则满足条件的格点C有( )A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】B【解析】试题分析：如下图,△ABC为等腰三角形,点C的位置一共有6种可能,其中满足面积为1.5的,只有C5和C6.考点：1数形结合；2分类思想.6．(2019·江苏省盐城市初级中学初二期中)如图,点E是等腰三角形△ABD底边上的中点,点C是AE延长线上任一点,连接BC、DC,则下列结论中：①BC=AD；②AC平分∠BCD；③AC=AB；④∠ABC=∠ADC.一定成立的是( )A．②④B．②③C．①③D．①②【答案】A【解析】根据全等三角形的判定和性质得出结论进而判断即可．【详解】∵点E是等腰三角形△ABD底边上的中点,∴BE＝DE,∠AEB＝∠AED＝90°,∴∠BEC＝∠DEC＝90°．在△BEC与△DEC中,∵BE DEBEC DECEC EC=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩,∴△BEC≌△DEC(SAS)∴BC＝CD,∠BCE＝∠DCE,∴∠ABC＝∠ADC,∴④∠ABC＝∠ADC；②AC平分∠BC D正确．故选A．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、全等三角形的判定和性质,关键是根据SAS证明△BEC≌△DEC．7．(2019·山东初二期中)等腰三角形的两条边长分别为3cm和6cm,则它的周长为( ).A．12cm B．15cm C．12cm或15cm D．18cm或36cm【答案】B【解析】分情况讨论：若腰长为3cm,底边为6cm,由于3+3=6,不能组成三角形,不符合题意；若腰长为6cm,底边为3cm,3+6＞6,6－3＜6,可组成三角形,求出周长即可.【详解】分情况讨论：①若腰长为3cm,底边为6cm,由于3+3=6,不能组成三角形,不符合题意,舍去；②若腰长为6cm,底边为3cm,3+6＞6,6－3＜6,可组成三角形,此时周长为6+6+3=15cm,故选B.【点睛】本题考查等腰三角形的定义,分类讨论,排除不能组成三角形的情况是解题的关键. 8．(2019·山东初二期中)如图,在△ABC中,DE是边AB的垂直平分线,BC=8cm,AC=5cm,则△ADC的周长为()A．14cm B．13cm C．11cm D．9cm【答案】B【解析】试题解析：∵DE是边AB的垂直平分线∴BD=AD∴△ADC的周长为AC+DC+AD=AC+BC=5+8=13cm．故选B.9．(2017·广东初二月考)下列各点中,到三角形各顶点的距离相等的是()A．三个内角平分线的交点B．三条边的垂直平分线的交点C．三条中线的交点D．三条高线的交点【答案】B【解析】根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等解答．【详解】解：∵线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等,∴到三角形各顶点的距离相等的是三条边的垂直平分线的交点,故选：B．【点睛】本题考查线段垂直平分线的性质,解题的关键是掌握线段垂直平分线的性质.10．(2019·湖北初二期中)上午8时,一条船从海岛A出发,以15n mile/h(海里/时,1n mile＝1852m)的速度向正北航行,10时到达海岛B处,从A、B望灯塔C,测得NAC＝42°,NBC＝84°．则从海岛B到灯塔C的距离为()A．45n mile B．30n mile C．20n mile D．15n mile【答案】B【解析】根据三角形外角的性质,求证∠C=∠NAC,然后即可证明BC=AB,从而求得B到C的距离．【详解】∵∠NBC＝84°,∠NAC＝42°,∴∠C＝84°﹣42°＝42°．∴∠C＝∠NAC,∴BC＝AB,∵上午8时,一条船从海岛A出发,以15n mile/h的速度向正北航行．10时到达海岛B处,∴BC＝AB＝15×2＝30n mile．故选：B．【点睛】此题考查了等腰三角形的判定和性质,灵活运用等腰三角形性质是解题的关键．二、填空题(每小题4分,共24分)11．(2019·南京市浦口外国语学校初二期中)如图,四边形ABCD是轴对称图形,BD所在的直线是它的对称轴,AB＝5cm,CD＝3.5cm,则四边形ABCD的周长为_____cm．【答案】17【解析】根据对称的性质分别得到BC=AB=5cm,AD=CD=3.5cm,计算可得周长.【详解】解：四边形ABCD是轴对称图形,BD所在的直线是它的对称轴,∴BC=AB=5cm,AD=CD=3.5cm,∴四边形ABCD的周长=AB+BC+CD+DA=5+5+3.5+3.5=17cm故答案为：17【点睛】本题考查了轴对称图形,熟记轴对称图形的对应边相等是解题关键,12．(2019·如东县新店镇初级中学初二期中)如图,在△ABC中,AB＝AC,D是BC的中点,∠BAD＝34°,则∠C ＝_________°．【答案】56°【解析】AB=AC得△ABC为等腰三角形,根据性质得到∠B=∠C,∠ADB=90°,即可求出答案.【详解】解：∵AB=AC∴△ABC为等腰三角形∴∠B=∠C∵D是BC的中点∴AD也是△ABC的高∴∠ADB=90°∵∠ADB+∠B﹢∠BAD=90°+∠C﹢34°=180°∴∠C=56°【点睛】此题主要考查了等腰三角形的判定及性质.13．(2019·安徽初二期中)如图,ABC △与A B C '''关于直线l 对称,且105A ∠=︒,30C '∠=︒,则B ∠=______．【答案】45°【解析】根据轴对称的性质得出△ABC ≌△A′B′C′,由∠C′=30°求出∠C 的度数,再根据三角形内角和定理即可得出∠B 的度数．【详解】解：∵△ABC 与△A′B′C′关于直线l 对称,∴△ABC ≌△A′B′C′,∵∠C′=30°,∴∠C=30°,∴∠B=180°-∠A-∠C=180°-105°-30°=45°．故答案为：45．【点睛】本题考查的是轴对称的性质以及三角形的内角和定理,熟知关于轴对称的两个图形全等是解答此题的关键．14．(2019·广西初二期中)如图,在ABC ∆中,DE 垂直平分AC ,若BCD ∆的周长是12,4BC =,则AB 的长______.【答案】8【解析】先根据线段垂直平分线的性质得出AD=CD,进而根据等腰三角形的性质可得出结论．【详解】∵DE 垂直平分AC,∴AD=CD ．∵△BCD 的周长是12,BC=4,∴AB=BD+CD=12-4=8,故答案为：8．【点睛】本题考查的是等腰三角形的性质、线段垂直平分线的性质,熟知线段垂直平分线上任意一点,到线段两端点的距离相等是解答此题的关键．15．(2019·北京市三帆中学初二期中)如图,在Rt △ABC 中,90B =∠ ,ED 是AC 的垂直平分线,交AC 于点D ,交BC 于点E ．已知40C ∠=,则BAE ∠的度数为_________.【答案】10【解析】试题分析：在Rt △ABC 中,∠BAC ＝90°－∠C ＝90°－40°＝50°, ∵ED 是AC 的垂直平分线,∴EA ＝EC,∴∠CAE ＝∠C ＝40°,∴∠BAE ＝∠BAC －∠CAE＝50°－40°＝10°．故答案为10．16．(2019·广西初二期中)如图,在第1个△A 1BC 中,∠B ＝20°,A 1B ＝CB ；在边A 1B 上任取一点D ,延长CA 1到A 2,使A 1A 2＝A 1D ,得到第2个△A 1A 2D ；在边A 2D 上任取一点E ,延长A 1A 2到A 3,使A 2A 3＝A 2E ,得到第3个△A 2A 3E ,按此做法继续下去,第2019个等腰三角形的底角度数是______________．【答案】2018180 2⎛⎫⨯ ⎪⎝⎭【解析】根据等腰三角形的性质求出∠BA1C的度数,再根据三角形外角的性质及等腰三角形的性质分别求出∠DA2A1,∠EA3A2及∠FA4A3的度数,找出规律即可得出第2019个三角形中以A2019为顶点的内角度数．【详解】解：∵在△CBA1中,∠B=20°,A1B=CB,∴∠BA1C=°180-2B∠=80°,∵A1A2=A1D,∠BA1C是△A1A2D的外角,∴∠DA2A1=12∠BA1C=12×80°；同理可得∠EA3A2=(12)2×80°,∠FA4A3=(12)3×80°,∴第n个三角形中以A n为顶点的底角度数是(12) n-1×80°．∴第2017个三角形中以A2019为顶点的底角度数是(12)2018×80°,故答案为：(12) 2018×80°．【点睛】本题考查的是等腰三角形的性质及三角形外角的性质,根据题意得出∠DA2A1,∠EA3A2及∠FA4A3的度数,找出规律是解答此题的关键．三、解答题一(每小题6分,共18分)17．(2019·呼和浩特市实验中学初二期中)如图,已知OB、OC为△ABC的角平分线,DE∥BC,△ADE的周长为10,BC长为8,求△ABC的周长．【答案】C△ABC=18【解析】思路：求出OD=BD,OE=CE即可.【详解】∵OB、OC为△ABC的角平分线,∴∠ABO=∠OBC,∠ACO=∠BCO,∵DE∥BC,∴∠DOB=∠OBC,∠EOC=∠OCB,∴∠ABO=∠DOB,∠ACO=∠EOC,∴BD=OD,EC=OE,∴DE=OD+OE=BD+EC；∵△ADE的周长为10,∴AD+DE+AE=AD+OD+OE+AE=AD+BD+CE+AE=AB+AC=10,∵BC=8,∴△ABC的周长为：AB+AC+BC=10+8=18．【点睛】利用角平分线求角相等是解题的关键.18．(2019·如东县新店镇初级中学初二期中)如图,△ABC中,AB＝AC,∠BAC＝80°,AD⊥BC于点D, E是AB 上一点,满足BE＝CD,求∠ADE的度数．【答案】25°【解析】根据AB=AC,得到△ABC是等腰三角形,AD⊥BC,得到∠ADB=90°,∠B=∠C=50°,BD=DC=BE,所以△BDE是等腰三角形,∠BDE=∠BED=65°,∠ADE=∠ADB —∠BDE得到答案.【详解】∵AB=AC,∠BAC=80°∴∠B=∠C=50°∵AB=AC,AD⊥BC∴∠ADB=90°,BD=CD∵BE=CD∴BE=BD∴∠BDE=∠BED=65°∴∠ADE=∠ADB —∠BDE=90°— 65°= 25°【点睛】此题主要考查了等腰三角形的性质及判定定理.19．(2019·如东县新店镇初级中学初二期中)如图,在平面直角坐标中,已知△ABC的三个顶点A(－3,1),B(－2,3),C(2,1),直线l上各点的横坐标都为1．(1)画出△ABC关于直线l对称的△A′B′C′,直接写出点B′的坐标；(2)直接写出点M(a,b)关于直线l对称点M ′的坐标．【答案】(1)B′(4,3)(2)M ′(2－a,b)【解析】⑴尺规作图即可,依图写出B’坐标；⑵根据对称轴的性质直接写出M ′,注意对称轴为1.【详解】(1)解：画图略；B′(4,3)(2)解：因为M(a , b) 与M’关于l的对称, l=1M (2-a , b)【点睛】本题考查了利用对称轴的性质得出对应点的坐标及作图画出对称图形.四、解答题二(每小题7分,共21分)20．(2019·湖北初二期中)如图,△ABC中,AB＝BC,∠ABC＝45°,BE⊥AC于点E,AD⊥BC于点D,BE与AD 相交于F．(1)求证：BF＝AC；(2)若BF＝3,求CE的长度．【答案】(1)见解析；(2)CE＝3 2 .【解析】(1)由三角形的内角和定理,对顶角的性质计算出∠1=∠2,等腰直角三角形的性质得BD=AD,角边角(或角角边)证明△BDF≌△ADC,其性质得BF=AC；(2)等腰三角形的性质“三线合一”证明CE=12AC,计算出CE的长度为32．【详解】解:如图所示：(1)∵AD⊥BC,BE⊥AC,∴∠FDB＝∠FEA＝∠ADC＝90°, 又∵∠FDB+∠1+∠BFD＝180°, ∠FEA+∠2+AFE＝180°,∠BFD＝∠AFE,∴∠1＝∠2,又∠ABC＝45°,∴BD＝AD,在△BDF和△ADC中,12BD ADBDF ADC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩,∴△BDF≌△ADC(ASA) ∴BF＝AC；(2)∵BF＝3,∴AC＝3,又∵BE⊥AC,∴CE＝AE＝12AC＝32．【点睛】本题综合考查了全等三角形的判定与性质,等腰三角形的判定与性质,三角形的中线及三角形的内角和定理等相关知识,重点掌握全等三角形的判定与性质．21．(2019·湖北初二期中)如图,在△ABC中,AB＝AC,点D、E、F分别在AB、BC、AC边且BE＝CF,AD+EC ＝AB．(1)求证：△DEF是等腰三角形；(2)当∠A＝40°时,求∠DEF的度数．【答案】(1)见解析；(2)∠DEF＝70°．【解析】(1)求出EC=DB,∠B=∠C,根据SAS推出△BED≌△CFE,根据全等三角形的性质得出DE=EF即可；(2)根据三角形内角和定理求出∠B=∠C=70°,根据全等得出∠BDE=∠FEC,求出∠DEB+∠FEC=110°,即可得出答案；【详解】(1)证明：∵AB＝AC,∴∠B＝∠C,∵AB＝AD+BD,AB＝AD+EC,∴BD＝EC,在△DBE和△ECF中,BE CFB C BD EC=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩,∴△DBE≌△ECF(SAS) ∴DE＝EF,∴△DEF是等腰三角形；(2)∵∠A＝40°,∴∠B＝∠C＝1(18040)2-＝70°,∴∠BDE+∠DEB＝110°,又∵△DBE≌△ECF,∴∠BDE＝∠FEC,∴∠FEC+∠DEB＝110°,∴∠DEF＝70°．【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定,等腰三角形的性质,三角形内角和定理的应用,能灵活运用性质进行推理是解此题的关键．22．(2019·厦门市梧侣学校初二期中)如图,在ABC ∆中,AB AC =,点D 在AB 边上且点D 到点A 的距离与点D 到点C 的距离相等.(1)利用尺规作图作出点D ,不写作法但保留作图痕迹.(2)连接CD ,若CD CB =,求∠B 的度数.【答案】(1)见解析；(2)72°【解析】(1)作出线段AC 的垂直平分线即可；(2)根据等腰三角形性质得出∠CDB=∠B=∠ACB 以及∠A=∠ACD,然后利用等量代换进一步得出∠B=∠ACB =2∠A,最后根据三角形内角和为180°列方程求出∠A 的度数然后求出∠B 即可.【详解】(1)点D 如图所示：(2)∵CD=CB,AB=AC,∴∠CDB=∠B=∠ACB,又∵DA=DC,∴∠A=∠ACD,∴∠CDB=∠A+∠ACD=2∠A,∴∠B=∠ACB =2∠A,又∵∠B+∠A+∠ACB=180°, ∴2∠A+∠A+2∠A=180°,∴∠A=36°,∴∠B=72°.【点睛】本题主要考查了三角形内角和性质与等腰三角形性质的综合运用,熟练掌握相关概念是解题关键.五、解答题三(每小题9分,共27分)23．(2019·山东初二期中)如图,ABC ∆是等边三角形,BD 是中线,延长BC 至点E ,使CE CD =.(1)求证：DB DE =；(2)尺规作图：过点D 作DF 垂直于BE ,垂足为F ；(保留作图留痕迹,不写作法)(3)若3CF =,求ABC ∆的周长.【答案】(1)证明见解析；(2)作图见解析；(3)36.【解析】(1)根据等边三角形的性质得出∠DBC =30°,∠ACB =60°,根据等边对等角和三角形外角的性质得到∠E =30,根据等角对等边即可得出结论；(2)根据垂线的尺规作图方法,过点D 作DF ⊥BE ,垂足为F ；(3)根据直角三角形两锐角互余求出∠CDF =30°,根据30度角所对直角边等于斜边的一半得到CD 的长,进而得到AC 的长,即可得出结论．【详解】(1)∵ABC ∆是等边三角形,BD 是中线,∴60ABC ACB ∠=∠=︒,30DBC ∠=︒．∵CE CD =,∴CDE E ∠=∠．又∵BCD CDE E ∠=∠+∠,∴1302CDE E BCD ∠=∠=∠=︒． ∴DBC E ∠=∠．∴DB DE =．(2)如图所示．(3)∵DF BE ⊥,由(1)知,DB DE =,∴DF 垂直平分BE ．∴在Rt DFC ∆中,90906030CDF DCB ∠=︒-∠=︒-︒=︒．∴26DC CF ==．∵AD CD =,∴212AC CD ==．∴336ABC C AC ∆==．【点睛】本题考查了等边三角形的性质以及基本作图,解题时注意：等边三角形的三个内角都相等,且都等于60°,等边三角形是轴对称图形,它有三条对称轴；它的任意一角的平分线都垂直平分对边,三边的垂直平分线是对称轴．24．(2019·湖北初二期中)如图,A、B、C三点在同一直线上,分别以AB、BC为边,在直线AC的同侧作等边△ABD和等边△BCE,连接AE交BD于点M,连接CD交BE于点N,连接MN得△BMN．(1)求证：AE＝CD；(2)试判断△BMN的形状,并说明理由；(3)设CD、AE相交于点G,求∠AGC的度数．【答案】(1)见解析；(2)△BMN为等边三角形,理由见解析；(3)∠AGC＝120°．【解析】(1)由△ABD与△BCE都为等边三角形,利用等边三角形的性质得到两条边对应相等,两个角相等都为60°,利用SAS即可得到△ABE≌△DBC即可解决问题;(2)△BMN为等边三角形,理由为：由第一问△ABE≌△DBC,利用全等三角形的对应角相等得到一对角相等,再由∠ABD=∠EBC=60°,利用平角的定义得到∠MBE=∠NBC=60°,再由EB=CB,利用ASA可得出△EMB≌△CNB,利用全等三角形的对应边相等得到MB=NB,再由∠MBE=60°,利用有一个角为60°的等腰三角形为等边三角形可得出△BMN为等边三角形;(3)利用全等三角形的性质,证明∠DGM=∠ABM=60°即可．【详解】(1)证明：∵等边△ABD和等边△BCE,∴AB＝DB,BE＝BC,∠ABD＝∠EBC＝60°,∴∠ABE＝∠DBC＝120°,在△ABE和△DBC中,AB DBABE DBC BE BC=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩,∴△ABE≌△DBC(SAS)．∴AE＝CD．(2)解：△BMN为等边三角形,理由为：∵△ABE≌△DBC,∴∠AEB＝∠DCB,又∠ABD＝∠EBC＝60°,∴∠MBE＝180°﹣60°﹣60°＝60°, 即∠MBE＝∠NBC＝60°,在△MBE和△NBC中,AEB DCB EB CBMBE NBC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩,∴△MBE≌△NBC(ASA),∴BM＝BN,∠MBE＝60°,则△BMN为等边三角形．(3)解：∵△ABE≌△DBC,∴∠EAB＝∠BDC,∵∠AMB＝∠DMG,∴∠ABM＝∠DGM,∵△ABD是等边三角形,∴∠ABM＝60°,∴∠DGM＝∠ABM＝60°,∴∠AGC＝120°．【点睛】本题属于三角形综合题,考查了等边三角形的判定与性质,以及全等三角形的判定与性质等知识,解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题,属于中考常考题型．25．如图,在△ABC中,AB＝AC,点D在△ABC内,BD＝BC,∠DBC＝60°,点E在△ABC外,∠BCE＝150°,∠ABE=60°.(1)求∠ADB的度数.(2)判断△ABE的形状并证明.(3)连结DE,若DE⊥BD,DE＝6,求AD的长【答案】(1)150°；(2)△ABE是等边三角形,理由详见解析；(3)3.【解析】(1)首先证明△DBC是等边三角形,推出∠BDC＝60°,DB＝DC,再证明△ADB≌△ADC,推出∠ADB ＝∠ADC即可解决问题；(2)利用ASA证明△ABD≌△EBC得到AB＝BE,结合∠ABE＝60°可得△ABE是等边三角形；(3)首先证明△DEC是含有30度角的直角三角形,求出EC的长,利用全等三角形的性质即可解决问题．【详解】解：(1)∵BD＝BC,∠DBC＝60°,∴△DBC是等边三角形,∴DB＝DC,∠BDC＝60°,∵AB＝AC,AD＝AD,∴△ADB≌△ADC(SSS),∴∠ADB＝∠ADC,∴∠ADB＝12(360°−60°)＝150°；(2)△ABE是等边三角形．证明：∵∠ABE＝∠DBC＝60°,∴∠ABD＝∠CBE,∵∠ADB＝∠BCE＝150°,BD＝BC, ∴△ABD≌△EBC(ASA),∴AB＝BE,∵∠ABE＝60°,∴△ABE是等边三角形；(3)连接DE．∵∠BCE＝150°,∠DCB＝60°,∴∠DCE＝90°,∵∠EDB＝90°,∠BDC＝60°,∴∠EDC＝30°,∴EC＝12DE＝3,∵△ABD≌△EBC,∴AD＝EC＝3．【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质、30度角的直角三角形的性质等知识,解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定和性质,属于中考常考题型．。

2022-2023学年人教版八年级数学上册单元测试定心卷第十三章轴对称（能力提升）时间：100分钟总分：120分一、选择题（每题3分，共24分）1．在如图所示的三角形纸片中，AB＝8，BC＝6，AC＝5，沿过点B的直线折叠这个三角形，使点C落在AB边上的点E处，折痕为BD，则△AED的周长是（）A．7 B．8 C．11 D．14【解析】解：由折叠的性质可知，DC＝DE，BE＝BC＝6，∵AB＝8，∴AE＝AB﹣BE＝2，△AED的周长为：AD+AE+DE＝AC+AE＝7，答：△AED的周长为7．故选：A．【点睛】本题考查的是翻折变换的知识，掌握翻折变换的性质、理解对应关系是解题的关键．2．如图，将一张矩形纸片折叠，若128∠=︒，则2∠的度数是（）A．51°B．56°C．61°D．76°【解析】解：如图由平行可知∠3=∠1=28°，由折叠可知∠4=∠2．∵∠3+∠4+∠2=180°，∴18032762︒-∠∠=︒＝．故选：D．【点睛】本题考查平行线的性质，解题关键是结合图形利用平行线的性质进行角的转化和计算．3．已知等腰三角形的一个内角为40°，则这个等腰三角形的顶角为（）．A．100°B．40°C．40°或100°D．40°或70°【解析】当这个40°的角是顶角时，则这个等腰三角形的顶角为40°；当这个40°的角是底角时，则顶角度数为：180240︒︒-⨯=100°；综上所述，这个等腰三角形的顶角为40°或100°，故选C．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，分两种情况讨论，注意考虑问题要全面，体现了数学中的分类讨论思想．4．如图，在△ABC中，∠B＝74°，边AC的垂直平分线交BC于点D，交AC于点E，若AB＋BD ＝BC，则∠BAC的度数为（）A．74°B．69°C．65°D．60°【解析】解：如图，连接AD，∵边AC的垂直平分线交BC于点D，∴AD＝CD，∴∠DAC＝∠C，∵AB+BD＝BC，BD+CD＝BC，∴CD＝AB，∴AD＝AB，∴∠ABD＝∠ADB＝74°，∴∠C＝37°，∴∠BAC＝180°﹣74°﹣37°＝69°，故选：B．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，掌握等腰三角形的性质是本题的关键．5．如图，直线m，l相交于点O，P为这两直线外一点，且OP＝1.3．若点P关于直线l，m的对称点分别是点P1，P2，则P1，P2之间的距离可能是（）A．2 B．3 C．4 D．5【解析】连接OP1，OP2，P1P2，如图：∵点P关于直线l，m的对称点分别是点P1，P2，∴OP1＝OP＝1.3，OP＝OP2＝1.3，∵OP1＋OP2＞P1P2，∴0＜P1P2＜2.6，故选：A．【点睛】本题考查了轴对称的性质和三角形三边之间的关系，熟练掌握这两个性质是解题的关键．6．如图，已知ABC，OA OB OC==，则点O是ABC（）A．三条边垂直平分线的交点B．三条角平分线的交点C．三条中线的交点D．三条高的交点【解析】解：∵OA=OB，∴点O在线段AB的垂直平分线上，∵OB=OC，∴点O 在线段BC 的垂直平分线上，∴点O 为△ABC 的三条边的垂直平分线的交点， 故选：A ． 【点睛】此题考查了线段垂直平分线的性质．此题比较简单，注意熟记定理是解此题的关键．7．如图，在△ABC 中，ED BC ∥，∠ABC 和∠ACB 的角平分线分别交ED 于点F 、G ，若FG ＝2，ED ＝6，则DB +EC 的值为 （ ）A ．3B ．4C ．5D ．6 【解析】解：∵ED BC ∥，∴∠DFB =∠FBC ，∠EGC =∠GCB ，∵FB 是∠ABC 的平分线，CG 是∠ACB 的平分线， ∴∠DBF =∠FBC ，∠ECG =∠GCB ， ∴∠DFB =∠DBF ，∠ECG =∠EGC ， ∴BD =DF ，CE =GE ， ∵FG =2，ED =6，∴DB +EC =DF +GE =ED -FG =6-2=4． 故选：B ． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的判定和性质、角平分线的定义，平行线的性质等知识，解题的关键是等腰三角形的证明．8．如图，∠BOC ＝9°，点A 在OB 上，且OA ＝1，按下列要求画图：以A 为圆心，1为半径向右画弧交OC 于点1A ，得第1条线段1AA ；再以1A 为圆心，1为半径向右画弧交OB 于点2A ，得第2条线段12A A ；再以2A 为圆心，1为半径向右画弧交OC 于点3A ，得第3条线段23A A ；……；这样画下去，直到得第n 条线段，之后就不能再画出符合要求的线段了，则n 的值为( )A ．9B ．21C ．35D ．100【解析】解：由题意可知：AO = A 1A ，A 1A = A 2A 1, …； 则∠AOA 1=∠OA 1A ，∠A 1AA 2=∠A 1A 2A ，…； ∵∠BOC =9°，∴∠A 1AB =2∠BOC = 18°，同理可得∠A2A1C= 27°，∠A3A2B= 36°，∠A4A3C= 45°，∠A5A4B= 54°，∠A6A5C=63°，∠A7A6B= 72°，∠A8A7C=81°，∠A9A8B=90°，∴第10个三角形将有两个底角等于90°，不符合三角形的内角和定理，∴最多能画9条线段；故选：A．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质：等腰三角形的两个底角相等：三角形外角的性质：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和；准确地找到规律是解决本题的关键．二、填空题（每题3分，共24分）9．若一个等腰三角形的周长是20，一边长是4，则另一边长是______．【解析】解：若等腰三角形的腰为长为4，设底边长为x，则有x+4×2=20，解得：x=12，此时，三角形的三边长为4，4，12，∵4+4＜12，∴不可以组成三角形；若等腰三角形的底边为4，设腰长为x，则有2x+4=20，解得：x=8，∵4+8＞8，∴可以组成三角形；∴三角形的另一边的长分别为8，故答案为：8．【点睛】本题考查等腰三角形的定义和性质，利用分类讨论思想解题是关键．10．如图，在△ABC中，AB AC∠=︒，点D在BC边上，连接AD．若△ABD为直角BAC=，120∠的度数是____．三角形，则ADC【解析】∵在△ABC中，AB= AC，∠BAC=120°，∴∠B=∠C=(180°−∠BAC)÷2=30°，∵点D在BC边上，△ABD为直角三角形，如图1，当∠BAD=90°时，∵∠BAC=120°，∴∠CAD=∠BAC−∠BAD=120°-90°=30°，∵∠C =30°，∴∠ADC =180°−(∠CAD +∠C )=120°，如图2，当∠ADB =90°时，则∠ADC =90°，综上所述，∠ADC 的度数是120° 或90° ， 故答案为120°或90°． 【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质，解答本题的关键是明确题意，利用等腰三角形的性质和分类讨论的数学思想解答．11．如图，在等边△ABC 内，AD ＝BE ，BD ＝CE ，点D 在BE 上，若∠CBE ＝15°，则∠CAD 的度数为__________．【解析】解：∵△ABC 为等边三角形， ∴AB =BC ，60BAC ∠=︒，∵在△ABD 和△BCE 中，AB BC AD BE BD CE =⎧⎪=⎨⎪=⎩，∴()SSS ABD BCE ∆∆≌，∴∠BAD =∠CBE ＝15°，∴601545CAD BAC BAD ∠=∠-∠=︒-︒=︒． 故答案为：45°． 【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，三角形全等的判定和性质，根据题意证明ABD BCE ∆∆≌，是解题的关键．12．在△ABC 中，AB =AC ，∠BAC =140°，点D 在BC 上，△ABD 和△AFD 关于直线AD 对称，∠FAC 的平分线交BC 于点G ，连接FG 当∠BAD =________时，△DFG 为等腰三角形．【解析】解：∵AB=AC，∠BAC=140°，∴∠B=∠C=20°．∵△ABD和△AFD关于直线AD对称，∴△ADB≌△ADF，∴∠B=∠AFD=20°，AB=AF，∠BAD=∠FAD=θ，∴AF=AC．∵AG平分∠FAC，∴∠FAG=∠CAG．在△AGF和△AGC中，AF ACFAG CAGAG AG=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△AGF≌△AGC（SAS），∴∠AFG=∠C．∵∠DFG=∠AFD+∠AFG，∴∠DFG=∠B+∠C=20°+20°=40°．①当GD=GF时，∴∠GDF=∠GFD=40°．∵∠ADG=20°+θ，∴20°+40°+20°+θ+θ=180°，∴θ=50°；②当DF=GF时，∴∠FDG=∠FGD．∵∠DFG=40°，∴∠FDG=∠FGD=70°．∴20°+70°+20°+2θ=180°，∴θ=35°；③当DF=DG时，∴∠DFG=∠DGF=40°，∴∠GDF=100°，∴20°+100°+20°+2θ=180°，∴θ=20°．∴当θ=20°，35°或50°时，△DFG为等腰三角形．故答案为：20°或35°或50°．【点睛】本题考查了轴对称的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，等腰三角形的判定及性质的运用，解答时证明三角形的全等是关键．13．若正多边形的一个外角是72︒，则这个多边形对称轴的条数是________． 【解析】解：∵正多边形的一个外角是72︒， ∴正多边形的边数为36072︒︒＝5， ∴这个正多边形是正五边形，故其对称轴有5条． 故答案为：5． 【点睛】此题主要考查的是正多边形的外角和，掌握边数×一个外角＝360°是解题的关键．14．如图，在ABC 中，AB AC =，D 、E 、F 分别是边BC 、AB 、AC 上的点，EDF C ∠=∠，且DE DF =，8BE =，5CF =，则BC 边的长是______．【解析】解：∵AB AC =， ∴∠B =∠C ，∵∠CDF +∠EDF +∠BDE =180°，∠CDF +∠C +∠CFD =180°，EDF C ∠=∠， ∴∠BDE =∠CFD ， 在△EBD 和△DCF 中BDE CFD B CDE DF ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△EBD ≌△DCF （AAS ）， ∴CD =BE =8，BD =CF =5， ∴BC =BD +CD =5+8=13， 故答案为：13． 【点睛】此题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定及性质，此题难度不大，解题的关键是能证明△EBD ≌△DCF ．15．如图，在△ABC 中，∠ABC 的角平分线和∠ACB 相邻的外角平分线CD 交于点D ，过点D 作DE ∥BC 交AB 于E ，交AC 于G ，若EG =2，且GC =6，则BE 长为_________．【解析】解：CD平分ACF∠，BD平分∠ABC，∴∠=∠，∠ABD=∠CBD，ACD FCD∥，DE BC∴∠=∠，∠EDB=∠CBD，EDC FCD∴∠=∠，∠ABD=∠EDB，ACD EDC∴==，BE=DE，GD GC6EG=，2∴=+=，DE EG GD8BE∴=，8故答案为：8．【点睛】本题考查了角平分线、平行线的性质、等腰三角形的判定，熟练掌握等腰三角形的判定是解题关键．16．如图，四边形ABCD中，70A∠=︒，90△的B D∠=∠=︒，E、F分别是AD、AB上的动点，当CEF周长最小时，ECF∠的度数是______．【解析】作C关于BA和AD的对称点N，M，连接MN，交AD于E1，交AB于F1，则MN即为△CEF的周长最小值．∵70∠=︒，90A∠=∠=︒，B D∴∠DCB=110°，由对称可得：CF 1=F 1N ，E 1C =E 1M ， ∴11,M MCE N NCF ∠=∠∠=∠， ∵180M N DCB ∠+∠+∠=︒，∴1170M N NCF MCE ∠+∠=︒=∠+∠，∴1111()1107040E CF BCD NCF MCE ∠=∠-∠+∠=︒-︒=︒， 即当CEF △的周长最小时，ECF ∠的度数是40°， 故答案为：40°． 【点睛】本题考查的是轴对称-最短路线问题，涉及到平面内最短路线问题求法以及三角形的外角的性质、等边对等角等知识，根据已知得出CEF △的周长最小时，E ，F 的位置是解题关键． 三、解答题（每题8分，共72分）17．如图，两条公路OA ，OB 相交于点O ，在AOB ∠内部有两个村庄C ，D ．为方便群众接种新冠疫苗，该地决定在AOB ∠内部再启动一个方舱式接种点P ，要求同时满足：（1）到两条公路OA ，OB 的距离相等．（2）到两村庄C ，D 的距离相等．请你用直尺和圆规作出接种点P 的位置（保留作图痕迹）． 【解析】如图，作线段CD 的垂直平分线MN ，作∠AOB 的角平分线OF ，OF 交MN 于点P ，则点P 即为所求．【点睛】本题考查作图—作线段垂直平分线，作图—作角平分线，解题的关键是掌握线段垂直平分线、角平分线的性质并知道如何正确的作图．18．如图，AB AC =，AB 的垂直平分线交AC 于D ，交AB 于E ． （1）若40A ∠=︒，求DBC ∠的度数；（2）若5AE =，BCD △的周长17，求ABC 的周长．【解析】（1）∵AB＝AC，∴△ABC是等腰三角形，∵∠A＝40︒，∴∠ABC＝∠C＝12×（180︒−40︒）＝70︒，∵DE所在的直线是AB的垂直平分线∴△ABD是等腰三角形，∴∠ABD＝∠A＝40︒，∴∠DBC＝∠ABC−∠ABD＝70︒−40︒＝30︒；（2）∵△ABD是等腰三角形∴AD＝BD，∵C△CBD＝BC＋CD＋BD＝17，∴BC＋CD＋AD＝BC＋AC＝17，∵AE＝5∴AB＝2AE＝10，∴C△ABC＝AB＋BC＋AC＝10＋17＝27．【点睛】本题考查了线段的垂直平分线的性质及等腰三角形的判定与性质，相对比较简单，属于基础题．19．如图，OP是∠AOB的平分线，PC⊥OA，PD⊥OB，垂足分别为C，D．(1)求证：OC＝OD；(2)求证：OP是CD的垂直平分线．【解析】(1)证明：∵P是∠AOB平分线上的一点，PC⊥OA，PD⊥OB，∴PC＝PD，在Rt△POC与Rt△POD中，∵PC PD OP OP=⎧⎨=⎩，∴Rt△POC≌Rt△POD（HL），∴OC ＝OD ；(2)证明：∵P 是∠AOB 平分线上的一点，∴∠COP ＝∠DOP ， ∵由（1）知，OC ＝OD ， ∴在△COE 与△DOE 中，OC OD COP DOP OE OE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△COE ≌△DOE （SAS ）， ∴CE ＝DE ，∠CEO ＝∠DEO ， ∵∠CEO +∠DEO =180°， ∴∠CEO ＝∠DEO= 90°， ∴OE ⊥CD ，∴OP 是CD 的垂直平分线．【点睛】本题考查的是角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的判定，熟知角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解答此题的关键． 20．如图，AB AC ⊥，AD AE ⊥，AB AD =，BC DE =． (1)求证：AM AN =；(2)连接EC ，AO ，求证：AO 垂直平分EC ．【解析】(1)证明：在Rt ABC 和Rt ADE △中， ∵AB AD =，BC DE =， ∴()Rt ABC Rt ADE HL ≌△△，∴B D ∠=∠．∵AB AC ⊥，AD AE ⊥，∴90BAM EAC DAN ∠=︒-∠=∠， ∵AB AD =，∴()ABM ADN ASA ≌△△， ∴AM AN =； (2)证明∶如图，由（1）可知，AC AE =，ACB AED ∠=∠． ∴ACE AEC ∠=∠，∴ACE ACB AEC AED ∠-∠=∠-∠， 即BCE DEC ∠=∠， ∴OE OC =，∴点O 在EC 的垂直平分线上． 又∵AE AC =，∴点A 也在EC 的垂直平分线上， ∴AO 垂直平分EC ． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的判定，熟练掌握全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的判定是解题的关键． 21．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，AD ⊥BC 于D ，E 是AB 上的一点，EF ∥AD 交CA 的延长线于F ．求证：AF ＝AE ．【解析】证明：∵△ABC 中，AB ＝AC ，AD ⊥BC ，∴∠BAD＝∠CAD，∵EF AD，∴∠F＝∠CAD，∠AEF＝∠BAD，∴∠F＝∠AEF，∴AF＝AE．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质与判定，平行线的性质，掌握等腰三角形的性质与判定是解题的关键．22．已知：如图，在四边形ABCD中，BD平分∠ABC，∠A+∠C＝180°，BC＞BA．求证：点D 在线段AC的垂直平分线上．【解析】证：如图，在BC上截取BE＝BA，连接DE，∵BD＝BD，∠ABD＝∠CBD，∴△BAD≌△BED，∴∠A＝∠DEB，AD＝DE，∵∠A+∠C＝180°，∠BED+∠DEC＝180°，∴∠C＝∠DEC，∴DE＝DC，∴AD＝CD，∴点D在线段AC的垂直平分线上．【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，以及垂直平分线的判定等，学会做辅助线找出全等三角形是解题的关键．23．在△ABC中，点D是边BC上一点，点E在边AC上，且BD＝CE，∠BAD＝∠CDE，∠ADE＝∠C．(1)如图①，求证：△ADE 是等腰三角形；(2)如图②，若DE 平分∠ADC ，在不添加辅助线的情况下，请直接写出图中所有与∠CDE 相等的角（∠CDE 除外）． 【解析】(1)证明：ADC ∠是ABD △的一个外角， B BAD ADC ADE CDE ∴∠+∠=∠=∠+∠ 又BAD CDE ADE C ∠∠∠∠＝，＝， B C ∴∠=∠，在ABD △和DCE 中，BAD CDE B CBD CE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ()ABD DCE AAS ∴≅AD DE ∴=，∴ADE 是等腰三角形．(2)解：由（1）得，ABD DCE ≅， B C ∴∠=∠，DE 平分∠ADC ， ADE CDE ∴∠=∠， 又∠BAD ＝∠CDE ，2B BAD ADC CDE ∴∠+∠=∠=∠， B CDE ∴∠=∠， C CDE ∴∠=∠，所以图中与∠CDE 相等的角有∠B ，∠C ，∠ADE 和∠BAD ． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定及性质，全等三角形的判定及性质，角平分线的性质，解题关键在于熟练掌握其相关证明的判定及性质． 24．如图，在△ABC 中，点D 为直线BC 上一动点，以AD 为直角边在AD 的右侧作等腰Rt △ADE ，∠DAE ＝90°，AD ＝AE ．(1)如果∠BAC ＝90°，AB ＝AC ． ①如图1，当点D 在线段BC 上时，线段CE 与BD 的位置关系为 ，数量关系为 ； ②如图2，当点D 在线段BC 的延长线上时，①中的结论是否仍然成立？请说明理由；(2)如图3，若△ABC是锐角三角形，∠ACB＝45°，当点D在线段BC上运动时，证明：CE⊥BD．【解析】（1）解：①∵∠BAD＝90°﹣∠DAC，∠CAE＝90°﹣∠DAC，∴∠BAD＝∠CAE．又BA＝CA，AD ＝AE，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴∠ACE＝∠B，CE＝BD．∵∠BAC=90°，AB=AC，∴△ABC为等腰直角三角形，∴∠ACE=45°，∴∠B=∠ACB=45°，∴∠ECB＝45°+45°＝90°，即CE⊥BD．故答案为：CE⊥BD；CE＝BD．②当点D在BC的延长线上时，①的结论仍成立．∵∠DAE ＝90°，∠BAC＝90°，∴∠DAE＝∠BAC，∴∠DAB＝∠EAC，又AB＝AC，AD＝AE，∴△DAB≌△EAC（SAS），∴CE＝BD，∠ACE＝∠ABD．∵∠BAC＝90°，AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB=45°，∴∠ACE＝45°，∴∠BCE＝∠ACB+∠ACE＝90°，即CE⊥BD；（2）证明：过点A作AG⊥AC交BC于点G，∵∠ACB＝45°，∴∠AGC＝45°，∴AC＝AG，即△ACG是等腰直角三角形，∵∠GAD+∠DAC＝90°＝∠CAE+∠DAC，∴∠GAD＝∠CAE，又∵DA＝EA，∴△GAD≌△CAE（SAS），∴∠ACE＝∠AGD ＝45°，∴∠BCE＝∠ACB+∠ACE＝90°，即CE⊥BD．【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，利用类比思想解答是解题的关键．25．两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的顶角顶点，并将它们的底角顶点分别对应连接起来得到两个全等三角形，我们把这样的图形称为“手拉手”图形．如图1，在“手拉手”图形中，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE，连结BD，CE，则△ABD≌△ACE．(1)请证明图1的结论成立；(2)如图2，△ABC和△AED是等边三角形，连接BD，EC交于点O，求∠BOC的度数；(3)如图3，AB＝BC，∠ABC＝∠BDC＝60°，试探究∠A与∠C的数量关系．【解析】(1)解：证明：∵∠BAC=∠DAE，∴∠BAC+∠CAD=∠DAE+∠CAD，∴∠BAD=∠CAE，在△ABD和△ACE中，AB AC BAD CAE AD AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△ABD ≌△ACE （SAS ）； (2)如图2，∵△ABC 和△ADE 是等边三角形，∴AB =AC ，AD =AE ，∠BAC =∠DAE =60°， ∴∠BAD =∠CAE ， 在△ABD 和△ACE 中，AB AC BAD CAE AD AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△ABD ≌△ACE （SAS ）， ∴∠ADB =∠AEC ，令AD 与CE 交于点G ， ∵∠AGE =∠DGO ，∴180°-∠ADB -∠DGO =180°-∠AEC -∠AGE ， ∴∠DOE =∠DAE =60°， ∴∠BOC =60°；(3)∠A +∠BCD =180°．理由： 如图3，延长DC 至P ，使DP =DB ，∵∠BDC =60°，∴△BDP 是等边三角形， ∴BD =BP ，∠DBP =60°，∵∠ABC=60°=∠DBP，∴∠ABD=∠CBP，∵AB=CB，∴△ABD≌△CBP（SAS），∴∠BCP=∠A，∵∠BCD+∠BCP=180°，∴∠A+∠BCD=180°．【点睛】此题是三角形综合题，主要考查了等腰三角形的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，构造等边三角形是解本题的关键．。

人教版八年级数学上册《第十三章轴对称》单元测试卷(附带答案)学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________一、单选题 1．如图，ABC 与A B C '''关于直线l 对称，若78A ∠=︒，48C '∠=︒则B ∠的度数为（ ）A ．48︒B ．54︒C ．74︒D ．78︒2．如图，ABC 中36A ∠=︒，AB=AC ， BD 平分ABC ∠， DE BC ∥则图中等腰三角形有（ ）个A ．4个B ．5个C ．6个D ．7个3．如图，在ABC 中，AB=AC ，∠A=36°，AB 的垂直平分线DE 交AC 于D ，交AB 于点E ，下列结论错误的是（ ）A ．DB 平分CDE ∠ B ．DE 平分ADB ∠C ．AD BD BC == D ．BD 平分ABC ∠ 4．已知ABC 中6BC AB =，、AC 的垂直平分线分别交边BC 于点M 、N ，若2MN =，则AMN 的周长是（ ）A ．4B ．6C ．4或8D ．6或105．如图AB AC BD CD ==，，若70B ∠=︒，则DAC ∠=（ ）A ．15︒B ．20︒C ．25︒D ．30︒6．若点A 和点B ()2,3-关于y 轴对称，则点A 与点B 的距离为（ ）A ．4B ．5C ．6D ．107．若等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为20︒，则它的底角为（ ） A ．35︒ B ．55︒ C ．55︒或35︒ D ．70︒或35︒ 8．下列说法错误的有（ ）个①三角形的高不在三角形内就在三角形外；①多边形的内角和必小于它的外角和； ①周长和面积相等的两个三角形全等；①周长相等的两个等边三角形全等； ①两边和一角分别对应相等的两个三角形全等；①等腰三角形顶角的外角平分线平行于这个等腰三角形的底A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个二、填空题9．在ABC 中，AB=AC ，=60B ∠︒则A ∠的度数是 ．10．在ABC 中，AB=AC ，DE 垂直平分AB ，若10cm 6cm AB AC BC ===，，则BCE 的周长是 ．11．如图，在ABC 中90ACB ∠=︒与30B ∠=︒，CD 是AB 边上的中线，则ACD 是 三角形．12．如图ABC 中，AB AC DE AB D =⊥，，是AB 的中点，DE 交AC 于E 点，连接10BE BC =，，BEC 的周长是21，那么AB 的长是 ．13．如图，ABC 中70C ∠=︒，AC 边上有一点D ，使得A ABD ∠=∠，将ABC 沿BD 翻折得A BD '，此时∥A D BC '，则ABC ∠= 度．14．点()1,5P -关于x 轴的对称点P '的坐标是 ．15．把一张长方形纸条按如图所示的方式折叠，则1∠= ．16．如图，Rt ABC △中，906810ACB AC BC AB BD ∠=︒===，，，，平分①ABC ，如果点M ，N 分别为BD BC ，上的动点，那么CM MN ＋的最小值是 ．三、解答题17．如图，ABC 是等边三角形，BD 是中线，延长BC 至E ，使CE CD =，连接DE ．求证：DB DE =．18．如图，在所给网格图（每小格均为边长是1的正方形）中完成下列各题．(1)画出格点ABC （顶点均在格点上）关于直线l 对称的111A B C △；(2)在直线l 上画出点P ，使得PB PC +最短；19．若等腰三角形一腰上的中线分周长为9和12两部分，请你画出示意图，并结合图形，求这个等腰三角形的各边长20．如图，在直角坐标系中，ABC 的三个顶点坐标分别为()()()144235A B C ，，，，，，请回答下列问题．(1)作ABC 的关于y 轴的对称图形， A 、B 、C 对应点坐标分别为A B C '''、、．(2)分别写出A B C '''的坐标：A ' ；B ' ；C ' ；(3)求ABC 的面积．21．如图，BA AF ⊥于点A ，ED DC ⊥于点D ，点E 、F 在线段BC 上，DE 与AF 交于点O ，且AB DC =，BE=CF ．(1)求证：AF DE =；(2)若OP 平分EOF ∠，求证：OP 垂直平分EF ．22．在ABC 中，AB 边的垂直平分线1l 交BC 于D ，AC 边的垂直平分线2l 交BC 于E ，1l 与2l 相交于点O .ADE 的周长为12cm =110BAC ∠︒(1)求BC 的长和DAE ∠的度数；(2)分别连接OA 、OB 、OC ，若OBC △的周长为29cm ，求OA 的长.23．如图，在ABC 中，AB AC AB =，的垂直平分线交AB 于M ，交AC 于N(1)若70ABC ∠=︒，求MNA ∠的度数．(2)连接NB ，若8AB cm BC =，的长6cm ，求NBC 的周长．24．如图，在等腰ABC 中CA CB =，点D 是AB 边上一点，连接DC ，且DA DC =．(1)如图1，CH AB ⊥若78ACB ∠=︒，求HCD ∠的度数．(2)如图2，若点E 在BC 边上且DE DB =，连接AE ．点M 为线段CE 的中点，过M 点作MN DE ∥交AB 于点N ，求证：CD BN DN =+．第 1 页 共 7 页 参考答案： 1．B2．B3．A4．D5．B6．A7．C8．C9．60度10．16cm11．等边12．1113．82.514．()1,5--15．65︒16．4.819．这个等腰三角形的底为9或5，这个等腰三角形的腰为6或820． (2)()()()144235-，，-，，-，(3)7222．(1)12cm BC = 40︒(2)8.5cm OA =23．(1)50︒(2)14cm24．(1)12︒。

人教版数学八年级上学期《轴对称》单元测试满分120分时间100分钟一．选择题(每题3分,共计30分)1．(2020•泰兴市一模)如图,四个图标分别是剑桥大学、北京理工大学、浙江大学和北京大学的校徽的重要组成部分,其中是轴对称图形的是()A．B．C．D．2．(2020•大丰区期末)如图,∠A＝30°,∠C′＝60°,△ABC与△A′B′C′关于直线l对称,则∠B 度数为()A．30°B．60°C．90°D．120°3．(2020•顺德区四模)若点A(﹣3,2)与点B关于x轴对称,则点B的坐标是() A．(﹣3,2) B．(﹣3,﹣2) C．(3,2) D．(3,﹣2)4．(2020•忻州期末)如图,保持△ABC的三个顶点的横坐标不变,纵坐标都乘﹣1,画出坐标变化后的三角形,则所得三角形与原三角形的关系是()A．关于x轴对称B．关于y轴对称C．将原图形沿x轴的负方向平移了1个单位D．将原图形沿y轴的负方向平移了1个单位5．(2020•宿豫区期中)如图,在△ABC中,BC＝8,AB的垂直平分线分别交AB、AC于点D、E,△BCE的周长为18,则AC的长等于()A．12 B．10 C．8 D．66．(2020•碑林区模拟)如图,AB∥CD,点E在AD上,且CD＝DE,∠C＝75°,则∠A的大小为()A．35°B．30°C．28°D．26°7．(2020 •北镇市期中)如图,在Rt△ABC中,∠ACB＝90°,∠A＝60°,CD是斜边AB上的高,若AD＝3cm,则斜边AB的长为()A．3cm B．6cm C．9cm D．12cm8．(2020•上城区二模)若等腰三角形的一个外角度数为100°,则该等腰三角形顶角的度数为()A．80°B．100° C．20°或100°D．20°或80°9．(2020•方城县期末)如图,ABC是一钢架的一部分,为使钢架更加坚固,在其内部添加了一些钢管DE、EF、FG…添加的这些钢管的长度都与BD的长度相等．如果∠ABC＝10°,那么添加这样的钢管的根数最多是()A．7根 B．8根C．9根D．10根10．(2020•射阳县期末)如图,弹性小球从P(2,0)出发,沿所示方向运动,每当小球碰到正方形OABC的边时反弹,反弹时反射角等于入射角,当小球第一次碰到正方形的边时的点为P1,第二次碰到正方形的边时的点为P2…,第n次碰到正方形的边时的点为P n,则P2020的坐标是()A．(5,3) B．(3,5) C．(0,2) D．(2,0)二．填空题(每题3分,共计15分)11．(2020•萧山区期末)在平面直角坐标系xOy中,点(﹣3,2)与点(3,2)关于(填写x或y)轴对称．12．(2020•厦门模拟)如图,AB＝AC,AD∥BC,∠DAC＝50°,则∠B的度数是．13．(2020•台州)如图,等边三角形纸片ABC的边长为6,E,F是边BC上的三等分点．分别过点E,F沿着平行于BA,CA方向各剪一刀,则剪下的△DEF的周长是．14．(2020•宿豫区期中)如图,在△ABC中,AB＝10,AC＝8,∠ABC、∠ACB的平分线相交于点O,MN过点O,且MN∥BC,分别交AB、AC于点M、N．则△AMN的周长为．15．(2020•平潭县期末)已知A(0,2)和B(4,2),点P在x轴上,若要使PA+PB最小,则点P的坐标为．三．解答题(共75分)16．(8分)(2020 •南岗区期中)用一条长为18的绳子围成一个等腰三角形．(1)若等腰三角形有一条边长为4,它的其它两边是多少？(2)若等腰三角形的三边长都为整数,请直接写出所有能围成的等腰三角形的腰长．17．(9分)(2020•平谷区期末)如图,已知∠AOB,作∠AOB的平分线OC,将直角尺DEMN 如图所示摆放,使EM边与OB边重合,顶点D落在OA边上,DN边与OC交于点P．(1)猜想△DOP是三角形；(2)补全下面证明过程：∵OC平分∠AOB∴＝∵DN∥EM∴＝∴＝∴＝18．(9分)(2020•沙坪坝区自主招生)如图,在△ABC中,AB＝AC,∠A＝36°,BD平分∠ABC 交AC于点D,点E是AB的中点,连结DE．(1)求证：△ABD是等腰三角形；(2)求∠BDE的度数．19．(9分)(2020黑河期末)如图,在正方形网格中,△ABC的三个顶点都在格点上,A(2,3),B(1,1),C(4,2)．结合所给的平面直角坐标系解答下列问题：(1)直接写出△ABC的面积；(2)请在图中作出与△ABC关于x轴对称的△A'B'C'；(3)在(2)的条件下,若M(x,y)是△ABC内部任意一点,请直接写点M在△A'B'C'内部的对应点M'的坐标．20．(9分)(2020•兴化市期中)△ABC中,∠ABC与∠ACB的平分线相交于点O,过点O作EF∥BC分别交AB、AC于点E、F．(1)求证：EF＝BE+FC；(2)若△ABC的周长比△AEF的周长大10,试求出BC的长度．21．(10分)(2020•曹县期末)如图,已知△ABC,点B在直线a上,直线a,b相交于点O．(1)画△ABC关于直线a对称的△A1B1C1；(2)在直线b上画出点P,使BP+CP最小．22．(10分)(2020•永安市期末)已知,△ABC是等边三角形,D、E、F分别是AB、BC、AC 上一点,且∠DEF＝60°．(1)如图1,若∠1＝50°,求∠2；(2)如图2,连接DF,若∠1＝∠3,求证：DF∥BC．23．(11分)(2020•济源期末)如图,在等边△ABC中,AB＝AC＝BC＝10厘米,DC＝4厘米．如果点M以3厘米/秒的速度运动．(1)如果点M在线段CB上由点C向点B运动,点N在线段BA上由B点向A点运动．它们同时出发,若点N的运动速度与点M的运动速度相等．①经过2秒后,△BMN和△CDM是否全等？请说明理由．②当两点的运动时间为多少时,△BMN是一个直角三角形？(2)若点N的运动速度与点M的运动速度不相等,点N从点B出发,点M以原来的运动速度从点C同时出发,都顺时针沿△ABC三边运动,经过25秒点M与点N第一次相遇,则点N的运动速度是厘米/秒．(直接写出答案)参考答案一．选择题(每题3分,共计30分)1．(2020•泰兴市一模)如图,四个图标分别是剑桥大学、北京理工大学、浙江大学和北京大学的校徽的重要组成部分,其中是轴对称图形的是()A．B．C．D．【解析】D【解答】A、不是轴对称图形；B、不是轴对称图形；C、不是轴对称图形；D、是轴对称图形；故选：D．2．(2020•大丰区期末)如图,∠A＝30°,∠C′＝60°,△ABC与△A′B′C′关于直线l对称,则∠B 度数为()A．30°B．60°C．90°D．120°【解析】C【解答】∵△ABC与△A′B′C′关于直线l对称,∴△ABC≌△A′B′C′,∴∠C＝∠C′＝60°,∵∠A＝30°,∴∠B＝180°﹣∠A﹣∠C＝90°,故选：C．3．(2020•顺德区四模)若点A(﹣3,2)与点B关于x轴对称,则点B的坐标是() A．(﹣3,2) B．(﹣3,﹣2) C．(3,2) D．(3,﹣2)【解析】B【解答】∵点A(﹣3,2)与点B关于x轴对称,∴点B的坐标是(﹣3,﹣2)．故选：B．4．(2020•忻州期末)如图,保持△ABC的三个顶点的横坐标不变,纵坐标都乘﹣1,画出坐标变化后的三角形,则所得三角形与原三角形的关系是()A．关于x轴对称B．关于y轴对称C．将原图形沿x轴的负方向平移了1个单位D．将原图形沿y轴的负方向平移了1个单位【解析】A【解答】∵纵坐标乘以﹣1,∴变化前后纵坐标互为相反数,又∵横坐标不变,∴所得三角形与原三角形关于x轴对称．故选：A．5．(2020•宿豫区期中)如图,在△ABC中,BC＝8,AB的垂直平分线分别交AB、AC于点D、E,△BCE的周长为18,则AC的长等于()A．12 B．10 C．8 D．6【解析】B【解答】∵DE是AB的垂直平分线,∴EA＝EB,由题意得,BC+CE+BE＝18,则BC+CE+AE＝18,即BC+AC＝18,又BC＝8,∴AC＝10,故选：B．6．(2020•碑林区模拟)如图,AB∥CD,点E在AD上,且CD＝DE,∠C＝75°,则∠A的大小为()A．35°B．30°C．28°D．26°【解析】B【解答】∵CD＝DE,∴∠DEC＝∠C＝75°,∴∠D＝180°﹣∠C﹣∠DEC＝180°﹣75°﹣75°＝30°,∵AB∥CD,∴∠A＝∠D＝30°；故选：B．7．(2020 •北镇市期中)如图,在Rt△ABC中,∠ACB＝90°,∠A＝60°,CD是斜边AB上的高,若AD＝3cm,则斜边AB的长为()A．3cm B．6cm C．9cm D．12cm【解析】D【解答】∵CD是斜边AB上的高,∴∠ADC＝90°,∵∠A＝60°,∠ACB＝90°,∴∠B＝180°﹣∠ACB﹣∠A＝30°,∠ACD＝180°﹣∠ADC﹣∠A＝30°,∵AD＝3cm,∴AC＝2AD＝6cm,∴AB＝2AC＝12cm,故选：D．8．(2020•上城区二模)若等腰三角形的一个外角度数为100°,则该等腰三角形顶角的度数为()A．80°B．100° C．20°或100°D．20°或80°【解析】D【解答】当100°的角是顶角的外角时,顶角的度数为180°﹣100°＝80°；当100°的角是底角的外角时,底角的度数为180°﹣100°＝80°,所以顶角的度数为180°﹣2×80°＝20°；故顶角的度数为80°或20°．故选：D．9．(2020•方城县期末)如图,ABC是一钢架的一部分,为使钢架更加坚固,在其内部添加了一些钢管DE、EF、FG…添加的这些钢管的长度都与BD的长度相等．如果∠ABC＝10°,那么添加这样的钢管的根数最多是()A．7根 B．8根C．9根D．10根【解析】B【解答】∵添加的钢管长度都与BD相等,∠ABC＝10°,∴∠DBE＝∠DEB＝10°,∴∠EDF＝∠DBE+∠DEB＝20°,∵DE＝EF,∴∠EDF＝∠EFD＝20°,∴∠FEG＝∠ABC+∠EFD＝30°,…由此思路可知：第一个等腰三角形的底角是10°,第二个是20°,第三个是30°,第四个是40°,第五个是50°,第六个是60°,第七个是70°,第八个是80°,第九个是90°(与三角形内角和为180°相矛盾)就不存在了．所以一共有8个,∴添加这样的钢管的根数最多是8根．故选：B．10．(2020•射阳县期末)如图,弹性小球从P(2,0)出发,沿所示方向运动,每当小球碰到正方形OABC的边时反弹,反弹时反射角等于入射角,当小球第一次碰到正方形的边时的点为P1,第二次碰到正方形的边时的点为P2…,第n次碰到正方形的边时的点为P n,则P2020的坐标是()A．(5,3) B．(3,5) C．(0,2) D．(2,0)【解析】D【解答】由题意得,点P1的坐标为(5,3),点P2的坐标为(3,5),点P3的坐标为(0,2),点P4的坐标为(2,0),点P5的坐标为(5,3),2020÷4＝505,∴P2020的坐标为(2,0),故选：D．二．填空题(每题3分,共计15分)11．(2020•萧山区期末)在平面直角坐标系xOy中,点(﹣3,2)与点(3,2)关于(填写x或y)轴对称．【解析】y【解答】∵点(﹣3,2)与点(3,2)的横坐标互为相反数,纵坐标相同,∴点(﹣3,2)与点(3,2)关于y轴对称,故答案为y．12．(2020•厦门模拟)如图,AB＝AC,AD∥BC,∠DAC＝50°,则∠B的度数是．【解析】50°【解答】∵AD∥BC,∠DAC＝50°,∴∠C＝∠DAC＝50°,∵AB＝AC,∴∠B＝∠C＝50°,故答案为：50°．13．(2020•台州)如图,等边三角形纸片ABC的边长为6,E,F是边BC上的三等分点．分别过点E,F沿着平行于BA,CA方向各剪一刀,则剪下的△DEF的周长是．【解析】6【解答】∵等边三角形纸片ABC的边长为6,E,F是边BC上的三等分点,∴EF＝2,∵DE∥AB,DF∥AC,∴△DEF是等边三角形,∴剪下的△DEF的周长是2×3＝6．故答案为：6．14．(2020•宿豫区期中)如图,在△ABC中,AB＝10,AC＝8,∠ABC、∠ACB的平分线相交于点O,MN过点O,且MN∥BC,分别交AB、AC于点M、N．则△AMN的周长为．【解析】18【解答】∵在△ABC中,∠ABC、∠ACB的平分线相交于点O,∴∠ABO＝∠OBC,∵MN∥BC,∴∠MOB＝∠OBC,∴∠ABO＝∠MOB,∴BM＝OM,同理CN＝ON,∴△AMN的周长是：AM+NM+AN＝AM+OM+ON+AN＝AM+BM+CN+AN＝AB+AC＝10+8＝18．故答案为：18．15．(2020•平潭县期末)已知A(0,2)和B(4,2),点P在x轴上,若要使PA+PB最小,则点P的坐标为．【解析】(2,0)【解答】如图,∵A(0,2)∴点A关于x轴的对称点A′(0,﹣2),∵B(4,2),连接A′B交x轴于点P, ∵AB＝4,AB∥x轴,O是AA′中点,∴P是A′B的中点,∴OP是△A′AB的中位线,∴OP=12AB＝2,若要使PA+PB最小,则点P的坐标为(2,0)．故答案为(2,0)．三．解答题(共75分)16．(8分)(2020 •南岗区期中)用一条长为18的绳子围成一个等腰三角形．(1)若等腰三角形有一条边长为4,它的其它两边是多少？(2)若等腰三角形的三边长都为整数,请直接写出所有能围成的等腰三角形的腰长．解：(1)当等腰三角形的腰长为4,∴底边长为18﹣4×2＝10,∵4+4＜10,∴4、4、10不能组成三角形,当等腰三角形的底边长为4,∴腰长为(18﹣4)÷2＝7,∵4+7＞7,∴4、7、7能组成三角形,综上所述,其他两边分别为4和7．(2)设等腰三角形的三边长为x、x、y,由题意可知：2x+y＝18,且2x＞y,∴y＜9,∵x=18−y2=9−y2,x与y都是整数,∴y是2的倍数, ∴y＝2时,x＝8, y＝4时,x＝7,y＝8,x＝5．17．(9分)(2020•平谷区期末)如图,已知∠AOB,作∠AOB的平分线OC,将直角尺DEMN 如图所示摆放,使EM边与OB边重合,顶点D落在OA边上,DN边与OC交于点P．(1)猜想△DOP是等腰三角形；(2)补全下面证明过程：∵OC平分∠AOB∴∠DOP＝∠BOP∵DN∥EM∴∠DPO＝∠BOP∴∠DOP＝∠DPO∴OD＝PD解：(1)我们猜想△DOP是等腰三角形；(2)补全下面证明过程：∵OC平分∠AOB,∴∠DOP＝∠BOP,∵DN∥EM,∴∠DPO＝∠BOP,∴∠DOP＝∠DPO,∴OD＝PD．故答案为：等腰,∠DOP,∠BOP,∠DPO,∠BOP,∠DOP,∠DPO,OD,PD．18．(9分)(2020•沙坪坝区自主招生)如图,在△ABC中,AB＝AC,∠A＝36°,BD平分∠ABC 交AC于点D,点E是AB的中点,连结DE．(1)求证：△ABD是等腰三角形；(2)求∠BDE的度数．证明：(1)∵AB＝AC,∠A＝36°,∴∠ABC＝∠C＝72°,∵BD平分∠ABC,∴∠ABD＝∠DBC＝36°,∠A＝36°,∴BD＝AD,即△ABD是等腰三角形；(2)∵点E是AB的中点,∴AE＝EB,∴∠DEB＝90°,∴∠BDE＝90°﹣36°＝54°．19．(9分)(2020黑河期末)如图,在正方形网格中,△ABC的三个顶点都在格点上,A(2,3),B(1,1),C(4,2)．结合所给的平面直角坐标系解答下列问题：(1)直接写出△ABC的面积；(2)请在图中作出与△ABC关于x轴对称的△A'B'C'；(3)在(2)的条件下,若M(x,y)是△ABC内部任意一点,请直接写点M在△A'B'C'内部的对应点M'的坐标．解：(1)△ABC的面积为2×3−12×1×2−12×1×2−12×1×3=52；(2)如图所示,△A'B'C'即为所求．(3)点M在△A'B'C'内部的对应点M'的坐标为(x,﹣y)．20．(9分)(2020•兴化市期中)△ABC中,∠ABC与∠ACB的平分线相交于点O,过点O作EF∥BC分别交AB、AC于点E、F．(1)求证：EF＝BE+FC；(2)若△ABC的周长比△AEF的周长大10,试求出BC的长度．解：(1)∵EF∥BC,∴∠EOB＝∠OBC,∠FOC＝∠OCB,∵∠ABC和∠ACB的平分线交于点O,∴∠EBO＝∠OBC,∠OCB＝∠FCO,∴∠EBO＝∠EOB,∠FOC＝∠FCO,∴BE＝OE,OF＝FC；∴EF＝BE+FC；(2)由(1)证得BE＝OE,OF＝CF,∴△AEF的周长＝AE+EF+AF＝AE+EO+OF+AF＝AE+BE+FC+AF＝AB+AC,∵△ABC的周长比△AEF的周长大10,∴BC＝AB+AC+BC﹣AB+AC＝10．21．(10分)(2020•曹县期末)如图,已知△ABC,点B在直线a上,直线a,b相交于点O．(1)画△ABC关于直线a对称的△A1B1C1；(2)在直线b上画出点P,使BP+CP最小．解：(1)如图所示,△A1B1C1即为所求；(2)如图所示,点P即为所求．22．(10分)(2020•永安市期末)已知,△ABC是等边三角形,D、E、F分别是AB、BC、AC 上一点,且∠DEF＝60°．(1)如图1,若∠1＝50°,求∠2；(2)如图2,连接DF,若∠1＝∠3,求证：DF∥BC．解：(1)∵△ABC是等边三角形,∴∠B＝∠A＝∠C＝60°,∵∠B+∠1+∠DEB＝180°,∠DEB+∠DEF+∠2＝180°,∵∠DEF＝60°,∴∠1+∠DEB＝∠2+∠DEB,∴∠2＝∠1＝50°；(2)∵∠B+∠1+∠DEB＝180°,∠FDE+∠3+∠DEF＝180°,又∵∠B＝60°,∠DEF＝60°,∠1＝∠3,∴∠FDE＝∠DEB,∴DF∥BC．23．(11分)(2020•济源期末)如图,在等边△ABC中,AB＝AC＝BC＝10厘米,DC＝4厘米．如果点M以3厘米/秒的速度运动．(1)如果点M在线段CB上由点C向点B运动,点N在线段BA上由B点向A点运动．它们同时出发,若点N的运动速度与点M的运动速度相等．①经过2秒后,△BMN和△CDM是否全等？请说明理由．②当两点的运动时间为多少时,△BMN是一个直角三角形？(2)若点N的运动速度与点M的运动速度不相等,点N从点B出发,点M以原来的运动速度从点C同时出发,都顺时针沿△ABC三边运动,经过25秒点M与点N第一次相遇,则点N的运动速度是厘米/秒．(直接写出答案)解：(1)①△BMN≌△CDM．理由如下：∵V N＝V M＝3厘米/秒,且t＝2秒,∴CM＝2×3＝6(cm)BN＝2×3＝6(cm)BM＝BC﹣CM＝10﹣6＝4(cm)∴BN＝CM∵CD＝4(cm)∴BM＝CD∵∠B＝∠C＝60°,∴△BMN≌△CDM．(SAS)②设运动时间为t秒,△BMN是直角三角形有两种情况：Ⅰ．当∠NMB＝90°时,∵∠B＝60°,∴∠BNM＝90°﹣∠B＝90°﹣60°＝30°．∴BN＝2BM,∴3t＝2×(10﹣3t)∴t=209(秒)；Ⅱ．当∠BNM＝90°时,∵∠B＝60°,∴∠BMN＝90°﹣∠B＝90°﹣60°＝30°．∴BM＝2BN,∴10﹣3t＝2×3t∴t=109(秒)．∴当t=209秒或t=109秒时,△BMN是直角三角形；(2)分两种情况讨论：I．若点M运动速度快,则3×25﹣10＝25V N,解得V N＝2.6；Ⅱ．若点N运动速度快,则25V N﹣20＝3×25,解得V N＝3.8．故答案是3.8或2.6．。

2018年秋人教版八年级上册数学《第13章轴对称》单元测试题一．选择题（共10小题）1．下列图形中为轴对称图形的是（）A．B．C．D．2．如图，△ABC与△A′B′C′关于直线l对称，且∠A＝105°，∠C′＝30°，则∠B＝（）A．25°B．45°C．30°D．20°3．如图，在△ABC中，边AB的垂直平分线DE交AB于点E，交BC于点D，若BC ＝10，AC＝6，则△ACD的周长是（）A．14B．16C．18D．204．在平面直角坐标系中，点P（2，1）向右平移3个单位得到点P1，点P1关于x轴的对称点是点P2，则点P2的坐标是（）A．（5，1）B．（5，﹣1）C．（﹣5，1）D．（﹣5，﹣1）5．已知等腰三角形两边长分别为6cm、2cm，则这个三角形的周长是（）A．14cm B．10cm C．14cm或10cm D．12cm6．如图，已知△ABC中，AB＝3，AC＝5，BC＝7，在△ABC所在平面内一条直线，将△ABC分割成两个三角形，使其中有一个边长为3的等腰三角形，则这样的直线最多可画（）A．2条B．3条C．4条D．5条7．在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线交AB于点D，交直线AC于点E，∠AEB ＝80°，那么∠EBC等于（）A．15°B．25°C．15°或75°D．25°或85°8．如图，等边三角形ABC中，AD⊥BC，垂足为D，点E在线段AD上，∠EBC＝45°，则∠ACE等于（）A．15°B．30°C．45°D．60°9．下列三角形，不一定是等边三角形的是（）A．有两个角等于60°的三角形B．有一个外角等于120°的等腰三角形C．三个角都相等的三角形D．边上的高也是这边的中线的三角形10．如图：等腰△ABC的底边BC长为6，面积是18，腰AC的垂直平分线EF分别交AC，AB边于E，F点．若点D为BC边的中点，点M为线段EF上一动点，则△CDM周长的最小值为（）A．6B．8C．9D．10二．填空题（共8小题）11．如图，DE是△ABC边AC的垂直平分线，若BC＝9，AD＝4，则BD＝12．如图，△ABC中，∠C＝90°，DE是AB的垂直平分线，且BC＝8，AC＝6，则△ACD的周长为．13．已知点P关于y轴的对称点P1的坐标是（﹣1，2），则点P的坐标是．14．等腰三角形ABC中，∠A＝110°，则∠B＝°．15．等腰三角形的一个底角比顶角大30°，那么顶角度数为．16．如图：∠EAF＝15°，AB＝BC＝CD，则∠ECD等于°．17．如图，在△ABC中，AB＝AC，DE垂直平分AB．若BE⊥AC，AF⊥BC，垂足分别为点E，F，连接EF，则∠EFC＝．18．如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝12，AD＝8，AD是∠BAC的平分线．若P，Q分别是AD和AC上的动点，则PC+PQ的最小值是．三．解答题（共7小题）19．如图，直线MN和直线DE分别是线段AB，BC的垂直平分线，它们交于P点，请问PA和PC相等吗？请说明理由．20．如图，在△ABC中，∠C＝90，DE是AB的垂直平分线，∠CAE＝∠B+30°，求∠AEB的度数．21．如图，在直角坐标系中，A（﹣1，5），B（﹣3，0），C（﹣4，3）．（1）在图中作出△ABC关于y轴对称的图形△A1B1C1；（2）写出点C1的坐标；（3）求△ABC的面积．22．已知等腰三角形△ABC的一边长为5，周长为22．求△ABC另两边的长．23．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D，BF平分∠ABC交AD于点E，交AC于点F，求证：AE＝AF．24．如图，△ABC中，点O是∠BCA与∠ABC的平分线的交点，过O作与BC平行的直线分别交AB、AC于D、E．已知△ABC的周长为15，BC的长为6，求△ADE的周长．25．如图，在△ABC中，AB＝AC，CD垂直AB于D，P为BC上的任意一点，过P点分别作PE⊥AB，PF⊥CA，垂足分别为E，F．①若P为BC边中点，则PE，PF，CD三条线段有何数量关系（写出推理过程）？②若P为线段BC上任意一点，则①中关系还成立吗？③若P为直线BC上任意一点，则PE，PF，CD三条线段间有何数量关系（请直接写出）．2018年秋人教版八年级上册数学《第13章轴对称》单元测试题参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）1．下列图形中为轴对称图形的是（）A．B．C．D．【分析】根据轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．【解答】解：A、不是轴对称图形，故本选项错误；B、不是轴对称图形，故本选项错误；C、是轴对称图形，故本选项正确；D、不是轴对称图形，故本选项错误．故选：C．【点评】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．2．如图，△ABC与△A′B′C′关于直线l对称，且∠A＝105°，∠C′＝30°，则∠B＝（）A．25°B．45°C．30°D．20°【分析】首先根据对称的两个图形全等求得∠C的度数，然后在△ABC中利用三角形内角和求解．【解答】解：∠C＝∠C'＝30°，则△ABC中，∠B＝180°﹣105°﹣30°＝45°．故选：B．【点评】本题考查了轴对称的性质，理解轴对称的两个图形全等是关键．3．如图，在△ABC中，边AB的垂直平分线DE交AB于点E，交BC于点D，若BC ＝10，AC＝6，则△ACD的周长是（）A．14B．16C．18D．20【分析】由AB的垂直平分线DE交AB于E，交BC于D，根据线段垂直平分线的性质，可得AD＝BD，继而可得△ACD的周长为：AC+BC，则可求得答案．【解答】解：∵DE是AB的垂直平分线，∴AD＝BD，∵AC＝6，BC＝10，∴△ACD的周长为：AC+CD+AD＝AC+CD+BD＝AC+BC＝6+10＝16．故选：B．【点评】此题考查了线段垂直平分线的性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想与转化思想的应用．4．在平面直角坐标系中，点P（2，1）向右平移3个单位得到点P1，点P1关于x轴的对称点是点P2，则点P2的坐标是（）A．（5，1）B．（5，﹣1）C．（﹣5，1）D．（﹣5，﹣1）【分析】先根据向右平移3个单位，横坐标加3，纵坐标不变，求出点P1的坐标，再根据关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数解答．【解答】解：∵将点P（2，1）向右平移3个单位得到点P1，∴点P1的坐标是（5，1），∴点P1关于x轴的对称点P2的坐标是（5，﹣1）．故选：B．【点评】本题考查了坐标与图形变化﹣平移，以及关于x轴、y轴对称点的坐标的关系，熟练掌握并灵活运用是解题的关键．5．已知等腰三角形两边长分别为6cm、2cm，则这个三角形的周长是（）A．14cm B．10cm C．14cm或10cm D．12cm【分析】题目给出等腰三角形有两条边长为6cm和2cm，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形．【解答】解：①6cm为腰，2cm为底，此时周长为14cm；②6cm为底，2cm为腰，则两边和小于第三边无法构成三角形，故舍去．∴其周长是14cm．故选：A．【点评】此题主要考查学生对等腰三角形的性质及三角形的三边关系的掌握情况．已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键．6．如图，已知△ABC中，AB＝3，AC＝5，BC＝7，在△ABC所在平面内一条直线，将△ABC分割成两个三角形，使其中有一个边长为3的等腰三角形，则这样的直线最多可画（）A．2条B．3条C．4条D．5条【分析】根据等腰三角形的性质分别利用AB为底以及AB为腰得出符合题意的图形即可．【解答】解：如图所示，当AB＝AF＝3，BA＝BD＝3，AB＝AE＝3，BG＝AG时，都能得到符合题意的等腰三角形．故选：C．【点评】此题主要考查了等腰三角形的判定等知识，正确利用图形分类讨论得出等腰三角形是解题关键．7．在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线交AB于点D，交直线AC于点E，∠AEB ＝80°，那么∠EBC等于（）A．15°B．25°C．15°或75°D．25°或85°【分析】分两种情况：∠BAC为锐角，∠BAC为钝角，根据线段垂直平分线的性质可求出AE＝BE，然后根据三角形内角和定理即可解答．【解答】解：如图1，∵DE垂直平分AB，∴AE＝BE，∴∠BAC＝∠ABE，∵∠AEB＝80°，∴∠BAC＝∠ABE＝50°，∵AB＝AC，∴∠ABC＝＝65°，∴∠EBC＝∠ABC﹣∠ABE＝15°如图2，∵DE垂直平分AB，∴AE＝BE，∴∠BAE＝∠ABE，∵∠AEB＝80°，∴∠BAE＝∠EBA＝50°，∴∠BAC＝130°∵AB＝AC，∴∠ABC＝＝25°∴∠EBC＝∠EBA+∠ABC＝75°故选：C．【点评】此题主要考查线段的垂直平分线及等腰三角形的判定和性质．线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等．8．如图，等边三角形ABC中，AD⊥BC，垂足为D，点E在线段AD上，∠EBC＝45°，则∠ACE等于（）A．15°B．30°C．45°D．60°【分析】先判断出AD是BC的垂直平分线，进而求出∠ECB＝45°，即可得出结论．【解答】解：∵等边三角形ABC中，AD⊥BC，∴BD＝CD，即：AD是BC的垂直平分线，∵点E在AD上，∴BE＝CE，∴∠EBC＝∠ECB，∵∠EBC＝45°，∴∠ECB＝45°，∵△ABC是等边三角形，∴∠ACB＝60°，∴∠ACE＝∠ACB﹣∠ECB＝15°，故选：A．【点评】此题主要考查了等边三角形的性质，垂直平分线的判定和性质，等腰三角形的性质，求出∠ECB是解本题的关键．9．下列三角形，不一定是等边三角形的是（）A．有两个角等于60°的三角形B．有一个外角等于120°的等腰三角形C．三个角都相等的三角形D．边上的高也是这边的中线的三角形【分析】分别利用等边三角形的判定方法分析得出即可．【解答】解：A、根据有两个角等于60°的三角形是等边三角形，不合题意，故此选项错误；B、有一个外角等于120°的等腰三角形，则内角为60°的等腰三角形，此三角形是等边三角形，不合题意，故此选项错误；C、三个角都相等的三角形，内角一定为60°是等边三角形，不合题意，故此选项错误；D、边上的高也是这边的中线的三角形，也可能是等腰三角形，故此选项正确．故选：D．【点评】此题主要考查了等边三角形的判定，注意熟练掌握：由定义判定：三条边都相等的三角形是等边三角形．（2）判定定理1：三个角都相等的三角形是等边三角形．（3）判定定理2：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．10．如图：等腰△ABC的底边BC长为6，面积是18，腰AC的垂直平分线EF分别交AC，AB边于E，F点．若点D为BC边的中点，点M为线段EF上一动点，则△CDM周长的最小值为（）A．6B．8C．9D．10【分析】连接AD，AM，由于△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，故AD⊥BC，再根据三角形的面积公式求出AD的长，再根据EF是线段AC的垂直平分线可知，点A关于直线EF的对称点为点C，MA＝MC，推出MC+DM＝MA+DM≥AD，故AD的长为BM+MD的最小值，由此即可得出结论．【解答】解：连接AD，MA．∵△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，∴AD⊥BC，＝BC•AD＝×6×AD＝18，解得AD＝6，∴S△ABC∵EF是线段AC的垂直平分线，∴点A关于直线EF的对称点为点C，MA＝MC，∴MC+DM＝MA+DM≥AD，∴AD的长为CM+MD的最小值，∴△CDM的周长最短＝（CM+MD）+CD＝AD+BC＝6+×6＝6+3＝9．故选：C．【点评】本题考查的是轴对称﹣最短路线问题，熟知等腰三角形三线合一的性质是解答此题的关键．二．填空题（共8小题）11．如图，DE是△ABC边AC的垂直平分线，若BC＝9，AD＝4，则BD＝5【分析】根据垂直平分线的性质可得AD＝CD，进而求出BD的长度．【解答】解：∵DE是△ABC边AC的垂直平分线，∴AD＝CD，∵BC＝9，AD＝4，∴BD＝BC﹣CD＝BC﹣AD＝9﹣4＝5，故答案为：5．【点评】本题考查的是线段垂直平分线的性质，即线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等．12．如图，△ABC中，∠C＝90°，DE是AB的垂直平分线，且BC＝8，AC＝6，则△ACD的周长为14．【分析】根据线段的垂直平分线的性质得到DA＝DB，根据三角形的周长公式计算即可．【解答】解：∵DE是AB的垂直平分线，∴DA＝DB，∴△ACD的周长＝AC+CD+AD＝AC+CD+DB＝AC+BC＝14，故答案为：14．【点评】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．13．已知点P关于y轴的对称点P1的坐标是（﹣1，2），则点P的坐标是（1，2）．【分析】直接利用关于y轴对称点的性质得出点P坐标．【解答】解：∵P关于y轴的对称点P1的坐标是（﹣1，2），∴点P坐标是（1，2）．故答案是：（1，2）．【点评】此题主要．考查了关于y轴对称点的性质，正确记忆横纵坐标的关系是解题关键．14．等腰三角形ABC中，∠A＝110°，则∠B＝35°．【分析】根据钝角只能是顶角和等腰三角形的性质求得两个底角即可确定答案．【解答】解：∵等腰三角形中，∠A＝110°＞90°，∴∠B＝＝35°，故答案为：35．【点评】本题考查了等腰三角形的性质，解题的关键是了解钝角只能是等腰三角形的顶角．15．等腰三角形的一个底角比顶角大30°，那么顶角度数为40°．【分析】设顶角的度数为x，表示出底角的度数．根据三角形内角和定理列方程求解．【解答】解：设顶角的度数为x°，则底角的度数为（x+30）°．根据题意，得x+2（x+30）＝180，解得x＝40．故答案为：40°．【点评】此题考查等腰三角形性质和三角形内角和定理，属基础题．16．如图：∠EAF＝15°，AB＝BC＝CD，则∠ECD等于45°．【分析】根据等腰三角形的性质以及三角形的外角的性质即可解决问题；【解答】解：∵AB＝BC，∴∠BAC＝∠BCA＝15°，∴∠CBD＝∠A+∠BCA＝30°，∵CB＝CD，∴∠CBD＝∠CDB＝30°，∴∠ECD＝∠A+∠CDB＝15°+30°＝45°，故答案为45．【点评】本题考查等腰三角形的性质、三角形的外角的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．17．如图，在△ABC中，AB＝AC，DE垂直平分AB．若BE⊥AC，AF⊥BC，垂足分别为点E，F，连接EF，则∠EFC＝45°．【分析】先根据线段垂直平分线的性质及BE⊥AC得出△ABE是等腰直角三角形，再由等腰三角形的性质得出∠ABC的度数，由AB＝AC，AF⊥BC，可知BF＝CF，BF ＝EF；根据三角形外角的性质即可得出结论．【解答】解：∵DE垂直平分AB，∴AE＝BE，∵BE⊥AC，∴△ABE是等腰直角三角形，∴∠BAC＝∠ABE＝45°，又∵AB＝AC，∴∠ABC＝（180°﹣∠BAC）＝（180°﹣45°）＝67.5°，∴∠CBE＝∠ABC﹣∠ABE＝67.5°﹣45°＝22.5°，∵AB＝AC，AF⊥BC，∴BF＝CF，∴BF＝EF；∴∠BEF＝∠CBE＝22.5°，∴∠EFC＝∠BEF+∠CBE＝22.5°+22.5°＝45°．故答案为：45°．【点评】本题考查的是线段垂直平分线的性质，熟知垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等是解答此题的关键，同时要熟悉直角三角形中，斜边的中线等于斜边的一半．18．如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝12，AD＝8，AD是∠BAC的平分线．若P，Q分别是AD和AC上的动点，则PC+PQ的最小值是9.6．【分析】由等腰三角形的三线合一可得出AD垂直平分BC，过点B作BQ⊥AC于点Q，BQ交AD于点P，则此时PC+PQ取最小值，最小值为BQ的长，在△ABC中，利用面积法可求出BQ的长度，此题得解．【解答】解：∵AB＝AC，AD是∠BAC的平分线，∴AD垂直平分BC，∴BP＝CP．过点B作BQ⊥AC于点Q，BQ交AD于点P，则此时PC+PQ取最小值，最小值为BQ 的长，如图所示．＝BC•AD＝AC•BQ，∵S△ABC∴BQ＝＝＝9.6．故答案为：9.6．【点评】本题考查了轴对称﹣最短路线问题、等腰三角形的性质以及三角形的面积，利用点到直线垂直线段最短找出PC+PQ的最小值为BQ是解题的关键．三．解答题（共7小题）19．如图，直线MN和直线DE分别是线段AB，BC的垂直平分线，它们交于P点，请问PA和PC相等吗？请说明理由．【分析】连接PB，根据线段垂直平分线的性质即可得出结论．【解答】解：PA＝PC．理由：∵直线MN和直线DE分别是线段AB，BC的垂直平分线，∴PA＝PB，PC＝PB，∴PA＝PC．【点评】本题考查的是线段垂直平分线的性质，熟知线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等是解答此题的关键．20．如图，在△ABC中，∠C＝90，DE是AB的垂直平分线，∠CAE＝∠B+30°，求∠AEB的度数．【分析】利用线段垂直平分线的性质计算．【解答】解：已知DE垂直且平分AB⇒AE＝BE⇒∠EAB＝∠B又因为∠CAE＝∠B+30°故∠CAE＝∠B+30°＝90°﹣2∠B⇒∠B＝20°∴∠AEB＝180°﹣20°×2＝140°．【点评】本题考查的是线段垂直平分线的性质（垂直平分线上任意一点，和线段两端点的距离相等）有关知识，注意角与角之间的转换．21．如图，在直角坐标系中，A（﹣1，5），B（﹣3，0），C（﹣4，3）．（1）在图中作出△ABC关于y轴对称的图形△A1B1C1；（2）写出点C1的坐标；（3）求△ABC的面积．【分析】（1）、（2）利用关于y轴对称的点的坐标特征写出A1、B1、C1的坐标，然后描点即可；（3）用一个矩形的面积减去三个三角形的面积计算△ABC的面积．【解答】解：（1）如图，△A1B1C1为所作；（2）点C1的坐标为（4，3）；（3）△ABC的面积＝3×5﹣×3×1﹣×3×2﹣×5×2＝．【点评】本题考查了作图﹣对称性变换：在画一个图形的轴对称图形时，先从确定一些特殊的对称点开始的，一般的方法是：由已知点出发向所给直线作垂线，并确定垂足；直线的另一侧，以垂足为一端点，作一条线段使之等于已知点和垂足之间的线段的长，得到线段的另一端点，即为对称点；连接这些对称点，就得到原图形的轴对称图形．22．已知等腰三角形△ABC的一边长为5，周长为22．求△ABC另两边的长．【分析】分两种情况：①设AB＝AC＝5，②设BC＝5，根据等腰三角形的性质和三角形的三边关系即可得到结论．【解答】解：∵△ABC是等腰三角形，∴不妨设AB＝AC，又∵一边长为5，①设AB＝AC＝5，∵△ABC的周长为22，∴BC＝22﹣5﹣5＝12；∵5+5＜12，∴不成立（舍）；②设BC＝5，∵△ABC的周长为22，∴AB＝AC＝（22﹣5）÷2＝8.5，∵8.5+5＞8.5，符合题意，∴△ABC另两边长分别为8.5，8.5．【点评】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的三边关系，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．23．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D，BF平分∠ABC交AD于点E，交AC于点F，求证：AE＝AF．【分析】根据角平分线的定义和余角的性质即可得到结论．【解答】解：∵BF平分∠ABC，∴∠ABF＝∠CBF，∵∠BAC＝90°，AD⊥BC，∴∠ABF+∠AFB＝∠CBF+∠BED＝90°，∴∠AFB＝∠BED，∵∠AEF＝∠BED，∴∠AFE＝∠AEF，∴AE＝AF．【点评】此题考查了等腰三角形的判定、直角三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．24．如图，△ABC中，点O是∠BCA与∠ABC的平分线的交点，过O作与BC平行的直线分别交AB、AC于D、E．已知△ABC的周长为15，BC的长为6，求△ADE的周长．【分析】先利用角平分线的定义和平行线的性质得到∠1＝∠2，所以DB＝DO，同理可得EO＝CE，利用等线段代换得到△ADE的周长＝AB+AC，然后利用△ABC的周长为15得到AB+AC＝9，从而得到△ADE的周长．【解答】解：∵点O是∠BCA与∠ABC的平分线的交点，∴∠1＝∠3，∵DE∥BC，∴∠2＝∠3，∴∠1＝∠2，∴DB＝DO，同理可得EO＝CE，∴△ADE的周长＝AD+AE+DE＝AD+DO+AE+OE＝AD+BD+AE+CE＝AB+AC，∵△ABC的周长为15，∴AB+AC+BC＝15，而BC的长为6，∴AB+AC＝9，∴△ADE的周长为9．【点评】本题考查了等腰三角形的判定与性质：等腰三角形提供了好多相等的线段和相等的角，判定三角形是等腰三角形是证明线段相等、角相等的重要手段．也考查了平行线的性质．25．如图，在△ABC中，AB＝AC，CD垂直AB于D，P为BC上的任意一点，过P点分别作PE⊥AB，PF⊥CA，垂足分别为E，F．①若P为BC边中点，则PE，PF，CD三条线段有何数量关系（写出推理过程）？②若P为线段BC上任意一点，则①中关系还成立吗？③若P为直线BC上任意一点，则PE，PF，CD三条线段间有何数量关系（请直接写出）．【分析】①如图1，连接PA，根据三角形的面积公式列方程即可得到结论；②连接PA ，根据三角形的面积公式即可得到结论；（3）如图2，连接PA ，根据三角形的面积列方程即可得到结论；如图3，过点C 作CG ⊥PE 于G ，根据矩形的性质和全等三角形的性质即可得到结论．【解答】解：（1）CD ＝PE +PF ，理由：如图1，连接PA ，∵CD ⊥AB 于D ，PE ⊥AB 于E ，PF ⊥AC 于F∵S △ABC ＝AB ×CD ，S △PAB ＝AB ×PE ，S △PAC ＝AC ×PF ，又∵S △ABC ＝S △PAB +S △PAC∴AB ×CD ＝AB ×PE +AC ×PF ，∵AB ＝AC∴CD ＝PE +PF ；（2）①中关系还成立，理由：连接PA ，∵CD ⊥AB 于D ，PE ⊥AB 于E ，PF ⊥AC 于F∵S △ABC ＝AB ×CD ，S △PAB ＝AB ×PE ，S △PAC ＝AC ×PF ，又∵S △ABC ＝S △PAB +S △PAC∴AB ×CD ＝AB ×PE +AC ×PF ，∵AB ＝AC∴CD ＝PE +PF ；（3）结论：PE ﹣PF ＝CD 或PF ﹣PE ＝CD ，如图2，连接PA ，∵CD ⊥AB 于D ，PE ⊥AB 于E ，PF ⊥AC 于F∵S △ABC ＝AB ×CD ，S △PAB ＝AB ×PE ，S △PAC ＝AC ×PF ，又∵S △ABC ＝S △PAC ﹣S △PAB∴AB ×CD ＝AC ×PF +AB ×PE ，∵AB ＝AC ，∴CD ＝PF ﹣PE ；如图3，过点C 作CG ⊥PE 于G ，∵PE ⊥AB ，CD ⊥AB ，∴∠CDE＝∠DEG＝∠EGC＝90°．∴四边形CGED为矩形．∴CD＝GE，GC∥AB．∴∠GCP＝∠B．∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACB．∴∠FCP＝∠ACB＝∠B＝∠GCP．在△PFC和△PGC中，，∴△PFC≌△PGC（AAS），∴PF＝PG．∴PE﹣PF＝PE﹣PG＝GE＝CD；【点评】本题考查了等腰三角形的性质；在解决一题多变的时候，基本思路是相同的；注意通过不同的方法计算同一个图形的面积，来进行证明结论的方法，是非常独特的，也是一种很好的方法，注意掌握应用．。

第十三章　轴对称时间:60分钟　满分:100分一、选择题(本大题共10小题,每小题3分,满分30分.每小题有四个选项,其中只有一个选项符合题意)1.(2022·辽宁盘锦双台子区期末)下列由黑白棋子摆成的图案中,是轴对称图形的是( )　A B C D2.(2022·福建福州鼓楼区期中改编)在平面直角坐标系中,若点(2,m)与点(n,3)关于x 轴对称,则(m+n)2 023的值为( )A.0B.-1C.1D.32 0233.如图是3×3的正方形网格,其中已有2个小方格被涂成了黑色.现在要从编号为①—④的小方格中选出1个也涂成黑色,使黑色部分依然是轴对称图形,不能选择的是( )A.①B.②C.③D.④4.(2022·四川遂宁期末)若等腰三角形的一个外角等于70°,则它的底角的度数为( ) A.35° B.70° C.110° D.55°5.(2022·河南周口期末)元旦联欢会上,同学们玩抢凳子游戏,在与A,B,C三名同学距离相等的位置放一个凳子,谁先抢到凳子谁获胜.如果将A,B,C三名同学所在位置看作△ABC的三个顶点,那么凳子应该放在△ABC的( )A.三边中线的交点处B.三边垂直平分线的交点处C.三边上高的交点处D.三条角平分线的交点处6.(2022·山东菏泽期中)如图,在△ABC中,AB=AC,AD,BE分别是△ABC的中线和角平分线.若∠CAD=20°,则∠ABE的度数为( ) A.20° B.35° C.40° D.70°(第6题) (第7题)7.如图,直线a,b相交形成的夹角中,锐角为52°,交点为O,点A在直线a上,直线b 上存在点B,使以点O,A,B为顶点的三角形是等腰三角形,这样的点B有( )A.4个B.3个C.2个D.1个8.(2022·广东广州天河区期末)在△ABC中,AB=AC,∠A=36°,若按如图所示的尺规作图方法作出线段BD,则下列结论错误的是( )A.AD=BDB.∠BDC=72°C.S△ABD∶S△BCD=BC∶ACD.△BCD的周长=AB+BC9.(2022·山东烟台期末)如图,∠AOB=60°,点P在射线OA上,OP=22,点M,N在射线OB上(点M在点N的左侧),且PM=PN.若MN=4,则OM的长为( ) A.7 B.8 C.9 D.11(第9题) (第10题)　10.(2022·辽宁大连期末)如图,∠ABC=30°,点D是∠ABC内部的一点,连接BD.若BD=1m,点E,F分别是边BA,BC上的动点,则△DEF的周长的最小值为( )A.0.5mB.1mC.1.5mD.2m二、填空题(本大题共6小题,每小题3分,共18分)11.新风向开放性试题汉字是世界上最古老的文字之一,字形结构体现人类追求均衡对称、和谐稳定的天性,黑体的汉字“王”“中”“田”等都是轴对称图形,请再写出两个这样的汉字: .12.(2022·安徽合肥庐阳区期末改编)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A=30°,线段AB的垂直平分线交AB于点D,交AC于点E,连接BE.若CE=3,则AE= .(第12题) (第13题)13.如图,在△ABC中,AB=AD=DC,若∠BAD=24°,则∠C的度数为 .14.新风向新定义试题(2021·江苏苏州期末)定义:等腰三角形的一个底角与其顶角的度数的比值k(k>1)称为这个等腰三角形的优美比.若在等腰三角形ABC中,∠A=36°,则它的优美比为 .15.(2022·河南济期末)在平面直角坐标系中,对△ABC进行如图所示的轴对称变换.若原来点A的坐标是(a,b),则经过第2 023次变换后,点A所对应的坐标是 .16.(2021·北京西城区期末)如图,△ABC是等边三角形,AD⊥BC于点D,DE⊥AC于三、解答题(共6小题,共52分)17.(6分)(2022·湖北十堰期末节选)如图,△ABC的顶点A,B,C都在小正方形的格点上,利用网格线按下列要求画图.(1)画出△A1B1C1,使它与△ABC关于直线l成轴对称;(2)在直线l上找一点P,使点P到点A,B的距离之和最短.(要求:不写作法,保留作图痕迹)18.(8分)(2022·湖北十堰郧阳区期中改编)某市发生地震后,为了抢救伤员,一架救援直升机从该市A地起飞,运送一批地震伤员沿正北方向到机场N,如图.上午8时,直升机从A地出发,以200 km/h的速度向正北方向飞行,9时到达B地,此时,机场的导航站传来信息:在C处有一座高山,因受天气影响,高山周围80 km内能见度低,飞行时会遇到危险.经测量得∠NAC=15°,∠NBC=30°.问该直升机继续向机场N飞行是否有危险,请说明理由.19.(8分)新风向开放性试题(2022·江苏南京鼓楼区期中)证明:有两个角相等的三角形是等腰三角形.已知:如图,在△ABC中, .求证: .证明:20.(8分)如图,在等边三角形ABC的外侧作直线AP,点C关于直线AP的对称点为点D,连接AD,BD,其中BD交直线AP于点E.(1)依题意补全图形;(2)若∠PAC=15°,求∠AEB的度数;21.(10分)新风向探究性试题(2022·河北石家庄裕华区期末)【问题】如图,在△ABC中,点D为BC边上一点,BD=BA.EF垂直平分AC,交AC 于点E,交BC于点F,连接AD,AF.若∠B=30°,∠BAF=90°,求∠DAC的度数.【探究】如果把【问题】中的条件“∠B=30°”去掉,其他条件不变,那么∠DAC的度数会变吗?请说明理由.22.(12分)如图,在△ABC中,AB=BC=AC=12 cm,现有两点M,N分别从点A,B同时出发,沿三角形的边运动,已知点M的速度为1 cm/s,点N的速度为2 cm/s.当点N 第一次到达点B时,M,N同时停止运动.(1)当点M,N运动几秒时,M,N两点重合?(2)当点M,N运动几秒时,可得到等边三角形AMN?(3)当点M,N在BC边上运动时,能否得到以MN为底边的等腰三角形AMN?如果能,请求出此时M,N运动的时间.第十三章　轴对称选择填空题答案速查12345678910D B D A B B A C C B11.甲,本(答案不唯一)12.613.39°14.215.(-a,b)16.181.D高分锦囊判断一个图形是不是轴对称图形,关键看能否找到这样一条直线,使这个图形沿这条直线折叠,直线两旁的部分能够互相重合.2.B　∵点(2,m)与点(n,3)关于x轴对称,∴m=-3,n=2,∴(m+n)2 023=(2-3)2 023=-1.3.D　图示速解如图,将编号为④的小方格涂成黑色,黑色部分不是轴对称图形.4.A　由题意可得,与等腰三角形的这个外角相邻的内角等于110°.∵三角形的内×(180°-110°)=35°.角和为180°,∴底角不可能等于110°,∴底角度数为125.B　∵三角形的三边垂直平分线的交点到三角形三个顶点的距离相等,∴凳子应放在△ABC的三边垂直平分线的交点处.6.B　∵AD是△ABC的中线,AB=AC,∠CAD=20°,【关键】等腰三角形的“三线合一”∴∠CAB=2∠CAD=40°,∴∠ABC=1×(180°-40°)=70°.∵BE是△ABC的角平分线,2∴∠ABE=1∠ABC=35°.2一题多解∵AD是△ABC的中线,AB=AC,∠CAD=20°,∴AD⊥BC,∴∠C=90°-20°=70°,∴∠ABC=∠C=70°.又BE是△ABC的角平分线,∴∠ABE=1∠ABC=35°.27.A　图示速解如图,要使△OAB为等腰三角形,应分三种情况讨论:①当OB=AB时,作线段OA的垂直平分线,与直线b的交点为B1;②当OA=AB时,以点A为圆心,OA 的长为半径作圆,与直线b交于点B2;③当OA=OB时,以点O为圆心,OA的长为半径作圆,与直线b交于点B3,B4.故选A.8.C　∵AB=AC,∠A=36°,∴∠ABC=∠C=72°.由作图痕迹可知BD平分∠ABC∴∠DBC=∠ABD=∠A=36°,【关键】由尺规作图可以得出BD平分∠ABC∴AD=BD,∠BDC=72°.故A,B选项不符合题意.由以上可知∠C=∠BDC,∴BD=BC,∴AD=BC.∵S△ABD∶S△BCD=AD∶CD,∴S△ABD∶S△BCD=BC∶CD.【关键】两三角形同高不同底故C选项符合题意.∵BD=AD,△BCD的周长=BC+CD+BD,∴△BCD的周长=BC+CD+AD=BC+AC=AB+BC.故D选项不符合题意.7.C　如图,过点P作PC⊥OB于点C,∵∠AOB=60°,∴∠OPC=90°-∠AOB=30°.∵OP=22,∴OC=1OP=11.∵2MN=2,∴OM=OC-MC=11-2=9.PM=PN,MN=4,∴MC=1210.B　(转化思想)如图,作点D关于AB的对称点G,作点D关于BC的对称点H,连接GH交AB于点E,交BC于点F,此时△DEF的周长有最小值,连接GB,BH.由线段垂直平分线的性质可得,GE=ED,DF=FH,由轴对称的性质得BG=BD,BD=BH,∴ED+DF+EF=GE+EF+FH=GH,此时△DEF的周长最小值为GH.∵∠GBA=∠ABD,∠DBC=∠CBH,BD=m,∴∠GBH=2∠ABC=2×30°=60°,∴△GBH是等边三角形,∴GH=BG=BD=m,∴△DEF的周长的最小值为m.【关键】发现△GBH是等边三角形11.甲,本(答案不唯一,只要是轴对称图形即可)12.6　∵∠C=90°,∠A=30°,∴∠CBA=60°.∵DE是线段AB的垂直平分线,∴BE=AE,∴∠ABE=∠A=30°,∴∠CBE=60°-30°=30°.∵∠C=90°,CE=3,∴BE=2CE=2×3=6,∴AE=6.13.39°　∵AB=AD,∠BAD=24°,∴∠B=∠ADB=1×(180°-24°)=78°.2又AD=DC ,∴∠C=∠CAD=12∠ADB=12×78°=39°.14.2　(分类讨论思想)当∠A 为顶角时,则底角∠B=∠C=72°,此时,优美比=72°36°=2;当∠A 为底角时,则顶角为108°,此时,优美比=36°108°=13(不合题意,舍去).15.(-a ,b )　第1次变换后,点A 在第四象限;第2次变换后,点A 在第三象限;第3次变换后,点A 在第二象限;第4次变换后,点A 在第一象限,回到原始位置,…,以此类推,每4次变换为一组循环.因为2 023÷4=505……3,所以第2 023次变换后,点A 在第二象限,坐标为(-a ,b ).16.18　∵△ABC 是等边三角形,∴∠C=∠BAC=60°.∵AD ⊥BC ,∴BD=CD ,∠DAC=12∠BAC=30°.∵AD=12,∴DE=12AD=6.∵DE ⊥AC ,∴∠EDC=90°-∠C=90°-60°=30°,∴EC=12DC ,∴BC=4EC.∵S △EDC =12ED ·EC=12×6×EC=3EC ,S △ABC =12AD×BC=12×12×BC=6BC=24EC ,∴S △EDCS △ABC =3EC24EC =18.17.【参考答案】(1)如图,△A 1B 1C 1即为所求作.(3分)(2)如图,点P 即为所求作.(6分)18.【参考答案】该直升机继续向机场N 飞行无危险.(1分)理由:如图,过点C 作CD ⊥AN 于点D ,∵∠NAC=15°, ∠NBC=30°,∴∠ACB=15°,CD=12BC ,∴∠ACB=∠NAC ,∴BC=AB.(5分)由题意可得,AB=200 km,∴BC=200 km,∴CD=100 km.∵100>80,∴该直升机继续向机场N飞行无危险.(8分)19.【参考答案】已知:如图,在△ABC中,∠B=∠C.(2分)求证:△ABC是等腰三角形.(4分)证明:如图,过点A作AD⊥BC,垂足为点D.∵AD⊥BC,∴∠ADB=∠ADC=90°.在△ABD和△ACD中,∠B=∠C,∠ADB=∠ADC,AD=AD,∴△ABD≌△ACD(AAS),∴AB=AC,∴△ABC是等腰三角形.(8分)20.【参考答案】(1)补全图形如图所示. (3分) (2)在等边三角形ABC中,AC=AB ,∠BAC=60°.由对称可知AD=AC ,∠PAD=∠PAC=15°,∴∠BAD=90°,AB=AD ,∴∠ABD=∠D=45°,∴∠AEB=∠D+∠PAD=60°.(8分)21.思路导图【参考答案】【问题】∵AB=BD ,∠B=30°,∴∠BAD=∠ADB=180°―30°2=75°.∵∠BAF=90°,∴∠AFB=90°-30°=60°.∵EF 垂直平分AC ,∴∠CAF=∠C.∵∠AFB=∠C+∠CAF=2∠C ,∴∠C=∠CAF=12∠AFB=30°,∴∠CAD=∠ADB-∠C=75°-30°=45°.(5分)【探究】不变.(6分)理由:∵AB=BD ,∴∠BAD=∠ADB=180°―∠B 2=90°-12∠B.∵∠BAF=90°,∴∠AFB=90°-∠B.∵EF 垂直平分AC ,∴∠CAF=∠C.∵∠AFB=∠C+∠CAF=2∠C ,∴∠C=∠CAF=12∠AFB=45°-12∠B ,∴∠CAD=∠ADB-∠C=90°-12∠B-(45°-12∠B )=45°.(10分)22.【参考答案】(1)设当点M ,N 运动x s 时,M ,N 两点重合,由题意,可得x×1+12=2x ,解得x=12.故当点M ,N 运动12 s 时,M ,N 两点重合.(2分)(2)设当点M ,N 运动t s 时,可得到等边三角形AMN ,此时AM=t ,AN=AB-BN=12-2t ,∴t=12-2t ,解得t=4.(4分)故当点M ,N 运动4 s 时,可得到等边三角形AMN.(5分)(3)当点M ,N 在BC 边上运动时,能得到以MN 为底边的等腰三角形.(6分)若△AMN 是以MN 为底边的等腰三角形,则AN=AM ,∴∠AMN=∠ANM ,∴∠AMC=∠ANB.∵在△ABC 中,AB=BC=AC ,∴△ACB 是等边三角形,∴∠C=∠B=60°.(8分)在△ACM 和△ABN 中,∠AMC =∠ANB ,∠C =∠B ,AC =AB ,∴△ACM ≌△ABN ,∴CM=BN.(10分)设当点M ,N 运动时间为y s 时,△AMN 是以MN 为底边的等腰三角形,∴CM=y-12,NB=36-2y ,∴y-12=36-2y ,解得y=16.故能得到以MN 为底边的等腰三角形AMN ,此时M ,N 运动的时间为16 s .(12分)。