专题九 解析几何第二十七讲 双曲线

高中双曲线知识点总结引言在高中数学中，双曲线是一个非常重要的概念。

它作为解析几何的一个分支，在许多问题中都有着广泛的应用。

本文将总结高中双曲线的基本概念、性质以及相关的解题方法，帮助读者更加深入地理解和掌握这一知识点。

一、双曲线的定义双曲线是一种平面上的曲线，其定义可以通过以下方法得到：1.定义一条直线（称为准线）和一个点（称为焦点）；2.焦点至准线距离与焦点至双曲线上任意点距离之差的绝对值等于一个常数。

二、双曲线的方程在解析几何中，双曲线通常用点到焦点和焦准距离的关系方程表示。

根据焦准距离的不同符号，双曲线可分为以下两种情况：1.椭圆型双曲线：焦准距离之差的绝对值为正数。

其方程通常为：x^2/ a^2 - y^2 / b^2 = 1，其中a和b为正实数。

2.双曲线型双曲线：焦准距离之差的绝对值为负数。

其方程通常为：x^2 / a^2 - y^2 / b^2 = -1，其中a和b为正实数。

三、双曲线的基本性质双曲线具有以下几个基本性质：1.焦距公式：对于椭圆型双曲线，焦距c满足c²=a²+b²。

对于双曲线型双曲线，焦距c满足c²=a²+b²。

2.离心率：对于椭圆型双曲线，离心率ε满足ε=c/a。

对于双曲线型双曲线，离心率ε满足ε=c/a。

3.对称轴：对于椭圆型双曲线，对称轴是与准线垂直且通过双曲线的中心。

对于双曲线型双曲线，对称轴是与准线垂直且通过双曲线的中心。

4.渐近线：对于椭圆型双曲线，有两条渐近线，其方程分别为y=±b/a* x。

对于双曲线型双曲线，有两条渐近线，其方程分别为y=±b/a * x。

5.顶点：对于椭圆型双曲线，顶点为与对称轴的交点。

对于双曲线型双曲线，顶点为与对称轴的交点。

四、双曲线的画法与性质绘制双曲线的一种常见方法是使用焦点和准线进行绘制。

根据准线的不同位置可以得到不同形状的双曲线，如下所示：1.当准线与焦点重合时，得到的是一条垂直于x轴的对称双曲线。

解析几何【6】双曲线1、双曲线的定义（1）平面内到两个定点1F 、2F 的距离之差的绝对值等于常数2a （122a F F ）的点的轨迹称为双曲线，这两个定点1F 、2F 称为双曲线的焦点，两个焦点的距离12F F 称为焦距．为空集．2、在x a 和x a 两条平行线的外侧，向左、右两旁无限伸展y a 和y a 两条平行线的外侧，向上、下两方无限伸展关于x 、y 轴均对称，关于原点中心对称1,0A a ， 2,0A a 10,A a ， 20,A a ,0F c ，,0F c 0,F c ，0,F c3、等轴双曲线实轴和虚轴等长的双曲线称为等轴双曲线．焦点在x 轴上，标准方程为222x y a （0a ）；焦点在y 轴上，标准方程为222y x a （0a ）．渐近线方程为y x ．以坐标轴为渐近线的双曲线方程为xy m （0m ）．4、共轭双曲线以已知双曲线的虚轴为实轴、实轴为虚轴的双曲线称为原双曲线的共轭双曲线．互为共轭的两双曲线22221x y a b 和22221y x （0a ，0b ）有相同的渐近线，它们的四个焦点共圆．5、设直线kx m （0k ），双曲线22221x y a b （a 221my b，消去y 得222222220ba x a mkx a m ab ．（1）220a k ，即bk a，直线与双曲线渐近线平行，直线与双曲线相交于一点．（2）若2220b a k ，即b k a， 22222222224a mk b a k a m a b ．①0 直线与双曲线相交，有两个交点；若相交于同侧（两个交点在一支上）的条件为120x x，若相交于异侧（两个交点在不同支上）的条件为120x x ．②0 直线与双曲线相切，有一个交点；注意：直线与双曲线有一个公共点是直线与双曲线相切的必要不充分条件．③0 直线与双曲线相离，无交点．【温馨点睛】1、求双曲线的标准方程的两种方法：（1）定义法：由题目条件判断出动点轨迹是双曲线，由双曲线定义，确定2a 、2b 或2c ，从而求出2a 、2b ，写出双曲线方程．（2）待定系数法：先确定焦点是在x 轴上还是在y 轴上，设出标准方程，再由条件确定2a 、2b 的值，即“先定型，再定量”；如果焦点位置不好确定，可将双曲线方程设为2222x y m n（0 ），根据条件求 的值．2、【例（1）（2）【同类变式】设直线l 的方程为210x By ，倾斜角为 ．（1）试将 表示为B 的函数；（2）若263，求B 的取值范围：（3）若 ,21,B ，求 的取值范围．【例（1）（2）（3）【同类变式】求适合下列条件的直线方程．（1）经过点 0,2A ，它的倾斜角的正弦值是35；（2）经过点 5,2B ，且在x 轴上的截距等于在y 轴上截距的2倍；（3）经过点 5,4C ，与两坐标轴围成的三角形面积为5．【考点三】直线过定点问题【例3】已知直线 :2311l a y a x ．（1）求证；无论a 为何值，直线l 总经过第一象限；（2）直线l 是否有可能不经过第二象限？若有可能，求出a 的范围；若不可能，说明理由．【同类变式】已知直线方程为 22140m x m y ．（1）该直线是否经过定点？若经过，求出该点坐标；若不经过，说明你的理由；（2）当m 为何值时，点 3,4Q 到直线的距离最大，最大值为多少？（3）当m 在什么范围时，该直线与两坐标轴负半轴均相交？【例轴的正半轴分别交于A 、B 两点，求ABO 的面积的最小（1）（2）【真题自测】1.现有下列四个命题：①经过定点 000,P x y 的直线都可以用方程 00y y k x x ；②经过任意两个不同的点 111,P x y 、 222,P x y 的直线都可以用方程121121x x y y y y x x 表示；③不经过原点的直线都可以用方程1x ya b表示：④经过定点 0,A b 的直线都可以用方程y kx b 表示．其中真命题的个数是（）.A 0；.B 1；.C 2；.D 3．2..A .B .C .D3.直线:tan105l x y 的倾斜角．4.已知点 2,3A 、 1,4B ，则直线AB 的点法式方程为．5.已知点 3,4A 、 2,2B ，直线20mx y m 与线段AB 相交，则实数m 的取值范围是．6.1212x y y ．k ，0k。

双曲线【考点梳理】1．双曲线的定义(1)平面内与两个定点F1，F2(|F1F2|＝2c>0)的距离之差的绝对值为非零常数2a(2a <2c )的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点．(2)集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c为常数且a>0，c>0.①当2a<|F1F2|时，M点的轨迹是双曲线；②当2a＝|F1F2|时，M点的轨迹是两条射线；③当2a>|F1F2|时，M点不存在．2．双曲线的标准方程和几何性质标准方程x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)y2a2－x2b2＝1(a>0，b>0)图形性质范围x≥a或x≤－a，y∈R x∈R，y≤－a或y≥a 对称性对称轴：坐标轴，对称中心：原点顶点A1(－a,0)，A2(a,0)A1(0，－a)，A2(0，a) 渐近线y＝±ba x y＝±ab x离心率e＝ca，e∈(1，＋∞)，其中c＝a2＋b2a，b，c的关系c2＝a2＋b2(c>a>0，c>b>0)实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线，其渐近线方程为y＝±x，离心率为e＝ 2.【考点突破】考点一、双曲线的定义及应用【例1】已知双曲线x2－y224＝1的两个焦点为F1，F2，P为双曲线右支上一点．若|PF1|＝43|PF2|，则△F1PF2的面积为()A．48B．24 C．12 D．6 [答案] B[解析] 由双曲线的定义可得|PF1|－|PF2|＝13|PF2|＝2a＝2，解得|PF2|＝6，故|PF1|＝8，又|F1F2|＝10，由勾股定理可知三角形PF1F2为直角三角形，因此S△PF1F2＝12|PF1|×|PF2|＝24.【类题通法】1.应用双曲线的定义需注意的问题：在双曲线的定义中，要注意双曲线上的点(动点)具备的几何条件，即“到两定点(焦点)的距离之差的绝对值为一常数，且该常数必须小于两定点间的距离”．若定义中的“绝对值”去掉，点的轨迹是双曲线的一支．同时需注意定义的转化应用．2．在焦点三角形中，注意定义、余弦定理的活用，常将||PF1|－|PF2||＝2a平方，建立|PF1|·|PF2|间的联系．【对点训练】1. 已知双曲线C的离心率为2，焦点为F1，F2，点A在C上．若|F1A|＝2|F2A|，则cos∠AF2F1＝()A.14 B.13C.24D.23[答案] A[解析] 由e ＝ca ＝2得c ＝2a ，如图，由双曲线的定义得|F 1A |－|F 2A |＝2a . 又|F 1A |＝2|F 2A |，故|F 1A |＝4a ， |F 2A |＝2a ，∴cos ∠AF 2F 1＝(4a )2＋(2a )2－(4a )22×4a ×2a＝14.考点二、双曲线的标准方程【例2】 (1)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1的离心率e ＝54，且其右焦点为F 2(5,0)，则双曲线C 的方程为( )A.x 24－y 23＝1 B.x 29－y 216＝1 C.x 216－y 29＝1D.x 23－y 24＝1(2)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的焦距为25，且双曲线的一条渐近线与直线2x ＋y ＝0垂直，则双曲线的方程为( )A.x 24－y 2＝1 B ．x 2－y 24＝1C.3x 220－3y 25＝1 D.3x 25－3y 220＝1[答案] (1)C (2)A[解析] (1)由焦点F 2(5,0)知c ＝5.又e ＝c a ＝54，得a ＝4，b 2＝c 2－a 2＝9. ∴双曲线C 的标准方程为x 216－y 29＝1.(2)由焦距为25得c ＝ 5.因为双曲线的一条渐近线与直线2x ＋y ＝0垂直，所以b a ＝12.又c 2＝a 2＋b 2，解得a ＝2，b ＝1， 所以双曲线的方程为x 24－y 2＝1. 【类题通法】1.确定双曲线的标准方程也需要一个“定位”条件，两个“定量”条件．“定位”是指确定焦点在哪条坐标轴上，“定量”是指确定a ，b 的值，常用待定系数法．若双曲线的焦点不能确定时，可设其方程为Ax 2＋By 2＝1(AB <0)．2．对于共焦点、共渐近线的双曲线方程，可灵活设出恰当的形式求解．若已知渐近线方程为mx ＋ny ＝0，则双曲线方程可设为m 2x 2－n 2y 2＝λ(λ≠0)．【对点训练】2．已知双曲线过点(4，3)，且渐近线方程为y ＝±12x ，则该双曲线的标准方程为________________．3．设椭圆C 1的离心率为513，焦点在x 轴上且长轴长为26，若曲线C 2上的点到椭圆C 1的两个焦点的距离的差的绝对值等于8，则曲线C 2的标准方程为__________．[答案] 2．x 24－y 2＝1 3．x 216－y 29＝1 [解析] 2．∵双曲线的渐近线方程为y ＝±12x ，∴可设双曲线的方程为x 2－4y 2＝λ(λ≠0)． ∵双曲线过点(4，3)， ∴λ＝16－4×(3)2＝4， ∴双曲线的标准方程为x 24－y 2＝1.3．由题意知椭圆C 1的焦点坐标为F 1(－5,0)，F 2(5,0)，设曲线C 2上的一点P ，则||PF 1|－|PF 2||＝8.由双曲线的定义知：a ＝4，b ＝3.故曲线C 2的标准方程为x 242－y 232＝1，即x 216－y 29＝1.考点三、双曲线的简单几何性质【例3】 (1)已知F 1，F 2是双曲线E ：x 2a 2－y 2b 2＝1的左、右焦点，点M 在E 上，MF 1与x 轴垂直，sin ∠MF 2F 1＝13，则E 的离心率为( )A.2B.32C. 3D ．2(2)设双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的右焦点是F ，左、右顶点分别是A 1，A 2，过F 作A 1A 2的垂线与双曲线交于B ，C 两点．若A 1B ⊥A 2C ，则该双曲线的渐近线为__________.[答案] (1) A (2) x ±y ＝0[解析] (1)如图，因为MF 1⊥x 轴，所以|MF 1|＝b 2a . 在Rt △MF 1F 2中，由sin ∠MF 2F 1＝13得 tan ∠MF 2F 1＝24.所以|MF 1|2c ＝24，即b 22ac ＝24，即c 2－a 22ac ＝24， 整理得c 2－22ac －a 2＝0， 两边同除以a 2得e 2－22e －1＝0. 解得e ＝2(负值舍去)．(2)由题设易知A 1(－a,0)，A 2(a,0)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫c ，b 2a ，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫c ，－b 2a .因为A 1B ⊥A 2C ，所以b 2a c ＋a ·－b 2a c －a＝－1，整理得a ＝b .因此该双曲线的渐近线为y ＝±ba x ，即x ±y ＝0.【类题通法】1.(1)求双曲线的渐近线，要注意双曲线焦点位置的影响；(2)求离心率的关键是确定含a ，b ，c 的齐次方程，但一定注意e >1这一条件．2．双曲线中c 2＝a 2＋b 2，可得双曲线渐近线的斜率与离心率的关系ba ＝e 2－1⎝ ⎛⎭⎪⎫e ＝c a .抓住双曲线中“六点”、“四线”、“两三角形”，研究a ，b ，c ，e 间相互关系及转化，简化解题过程．【对点训练】4．已知A ，B 为双曲线E 的左，右顶点，点M 在E 上，△ABM 为等腰三角形，且顶角为120°，则E的离心率为()A. 5 B．2C. 3D. 2[答案] D[解析]不妨取点M在第一象限，如图所示，设双曲线方程为x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)，则|BM|＝|AB|＝2a，∠MBx＝180°－120°＝60°，∴M点的坐标为()2a，3a.∵M点在双曲线上，∴4a2a2－3a2b2＝1，a＝b，∴c＝2a，e＝ca＝ 2.故选D.。

专题九 解析几何第二十七讲 双曲线答案部分2019年1. 解析 双曲线22:142x y C -=的右焦点为F ，渐近线方程为：y x =，不妨设点P 在第一象限，可得tan POF ∠=P ，所以PFO △的面积为：1224=．故选A ． 2. 解析 因为双曲线2221(0)y x b b-=>经过点(3,4)，所以221631b-=，解得22b =，即b =又1a =，所以该双曲线的渐近线方程是y =．3.解析 如图所示，因为1F A AB=uuu r uu u r,所以A 为1F B 的中点. 又O 为12F F 的中点，所以212AO BF P，212AO BF =. 因为120F B F B ⋅=uuu r uuu r ，所以1290F BF ∠=︒， 且O 为12F F 的中点，所以12212OB F F OF c ===. 由212AO BF P得2121BOF AOF BF F ∠=∠=∠，所以2OB BF =，因此2OPF △为等边三角形，260BOF ∠=︒，也即ba=所以2e ==.4．A 解析：解法一：由题意，把2c x =代入222x y a +=，得PQ =，再由PQ OF =，得c =，即222a c =，所以222c a=，解得c e a ==故选A ．解法二：如图所示，由PQ OF =可知PQ 为以OF 为直径圆的另一条直径，所以,22c c P ⎛⎫± ⎪⎝⎭，代入222x y a +=得222a c =，所以222c a=，解得c e a ==故选A ．解法三：由PQ OF =可知PQ 为以OF 为直径圆的另一条直径，则122OP a OF ===，c e a ==故选A ．5．解析 根据渐进线方程为0x y ±=的双曲线，可得a b =，所以c =，则该双曲线的离心率为ce a==C ． 6.解析 因为抛物线24y x =的焦点为F ，准线为l ，所以()1,0F ，准线l 的方程为1x =-.因为()2210,0y a b b=>>的两条渐近线分别交于点A 和点B ，且4AB OF ==4=，即2b a =，所以c =故选D ．2010-2018年1．B 【解析】由题可知双曲线的焦点在x 轴上，因为222314c a b =+=+=，所以2c =，故焦点坐标为(2,0)-，(2,0)．故选B ．2．B 【解析】因为双曲线2213-=x y的渐近线方程为3=±y x ，所以60∠=MON ．不妨设过点F的直线与直线=y 交于点M ，由∆OMN 为直角三角形，不妨设90∠=OMN ，则60∠=MFO ，又直线MN 过点(2,0)F ，所以直线MN的方程为2)=-y x ，由2)3⎧=-⎪⎨=⎪⎩y x y x，得32⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩x y3(2M ，所以||==OM所以|||3==MN OM ．故选B ． 3．A 【解析】解法一由题意知，==ce a，所以=c，所以=b ，所以=b a=±=by x a，故选A ．解法二由===c e a，得=ba，所以该双曲线的渐近线方程为=±=by x a．故选A ． 4．C 【解析】不妨设一条渐近线的方程为by x a=， 则2F 到by x a =的距离d b ==， 在2Rt F PO ∆中，2||F O c =，所以||PO a =，所以1||PF =，又1||F O c =，所以在1F PO ∆与2Rt F PO ∆中，根据余弦定理得12cos cos aPOF POF c∠==-∠=-，即2223)0a c +-=，得223a c =．所以ce a==．故选C ． 5．C 【解析】通解 因为直线AB 经过双曲线的右焦点，所以不妨取2(,)b A c a，2(,)b B c a -，取双曲线的一条渐近线为直线0bx ay -=，由点到直线的距离公式可得221bc b d c -==，222bc b d c +==， 因为126d d +=，所以226bc b bc b c c-++=，所以26b =，得3b =． 因为双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的离心率为2，所以2ca=，所以2224a b a+=，所以2294a a +=，解得23a =， 所以双曲线的方程为22139x y -=，故选C ． 优解 由126d d +=，得双曲线的右焦点到渐近线的距离为3，所以3b =．因为双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的离心率为2，所以2ca=，所以2224a b a+=，所以2294a a +=，解得23a =， 所以双曲线的方程为22139x y -=，故选C ． 6．A 【解析】双曲线C 的渐近线方程为0bx ay ±=，圆心(2,0)到渐近线的距离为2bd c==，圆心(2,0)到弦的距离也为d ==所以2b c =222c a b =+，所以得2c a =，所以离心率2ce a==，选A ．7．B 【解析】由题意可得：b a =，3c =，又222a b c +=，解得24a =，25b =，则C 的方程为2145x y 2-=．选B ． 8．B 【解析】设(,0)F c -，双曲线的渐近线方程为b y x a =±，由44PF k c c-==-，由题意有4bc a=，又c a =222c a b =+，得b =，a =．选B ．9．D 【解析】不妨设A 在第一象限，(,)A x y ，所以2242x y by x ⎧+=⎪⎨=⎪⎩，解得x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， 故四边形ABCD的面积为2324424bxy b b===+， 解得212b =．故所求的双曲线方程为2224=11x y -，选D ． 10．A 【解析】由题意得22()(3)0m n m n +->，解得223m n m -<<，又由该双曲线两焦点间的距离为4，得M 2234m n m n ++-=，即21m =，所以13n -<<．11．A 【解析】设1(,0)F c -，将x c =-代入双曲线方程，得22221c y a b -=，化简得2by a=±，因为211sin 3MF F ∠=，所以222212112||tan ||222b MF b c a a MF F F F c ac ac -∠=====，12222c a e a c e -=-=210e --=，所以e =A ． 12．D 【解析】由双曲线的标准方程2213y x -=得，右焦点(2,0)F ，两条渐近线方程为y =，直线AB ：2x =，所以不妨设取(2,A，(2,B -，则||AB =，选D ．13．B 【解析】由双曲线定义得1226PF PF a -==，即236PF -=，解得29PF =，故选B ．14．D【解析】由题意1e ==2e ==∵()()b b m m b a a a m a a m +--=++，由于0m >，0a >，0b >， 所以当a b >时，01b a <<，01b m a m +<<+，b b m a a m +<+，22()()b b m a a m+<+，所以12e e <；当a b <时，1ba>，1b m a m +>+，而b b m a a m +>+，22()()b b m a a m +>+， 所以12e e >．所以当a b >时，12e e <；当a b <时，12e e >．15．C 【解析】由题意，选项,A B 的焦点在x 轴，故排除,A B ，C 项的渐近线方程为2204y x -=，即2y x =±，故选C ． 16．A 【解析】由题意知22a =，21b =，所以23c =，不妨设1(F，2F ，所以100(,)=-MF x y ，200(3,)=-MF x y ，又∵00(,)M x y 在双曲线上，所以220012x y -=，即220022x y =+，222120003310MF MF x y y ⋅=-+=-<，所以0<<y ，故选A ． 17．A 【解析】 由题意22(,0),(,),(,)b b A a B c C c a a-，由双曲线的对称性知D 在x 轴上，设(,0)D x ，由BD AC ⊥得2201b b a a c x a c-⋅=---，解得42()bc x a c a -=-，所以42()b c x a a c a c a -=<=+-，所以42222b c a b a <-=221b a⇒<01b a ⇒<<，而双曲线的渐近性斜率为b a±，所以双曲线的渐近线的斜率取值范围是(1,0)(0,1)-，选A ．18．A 【解析】双曲线方程为22133x y m -=，焦点F 到一条渐近线的距离为b =A ．19．A 【解析】∵09k <<，∴90,250k k ->->，本题两条曲线都是双曲线，又25(9)(25)9k k +-=-+，∴两双曲线的焦距相等，选A ．20．A 【解析】 依题意得22225b ac c a bìï=ïïï=íïïï=+ïî，所以25a =，220b =，双曲线的方程为 221520x y -=．21．B 【解析】由双曲线的定义得12||||||2PF PF a -=，又12||||3PF PF b +=，所以22221212(||||)(||||)94PF PF PF PF b a +--=-，即124||||9PF PF ab =，因此22949b a ab -=，即299()40b b aa --=，则（31b a +）（34ba-）=0，解得41(33b b a a ==-舍去），则双曲线的离心率53e ==． 22．C【解析】由题知，c a =54=22c a =222a b a +，∴22b a =14，∴b a =12±，∴C 的渐近线方程为12y x =±，故选C ． 23．D 【解析】双曲线1C 的离心率是11cos e θ=，双曲线2C 的离心率是21cos e θ==，故选D ． 24．A 【解析】设双曲线的焦点在x 轴上，则由作图易知双曲线的渐近线的离心率ba必须满b a <，所以21()33b a <≤，241()43b a<+≤，2<，又双曲线的离心率为c e a==23e <≤． 25．C 【解析】∵双曲线22215x y a -=的右焦点为（3，0），∴2a +5=9，∴2a =4，∴a =2∵c =3，∴32c e a ==，故选C ． 26．A 【解析】设双曲线C ：22x a -22y b=1的半焦距为c ，则210,5c c ==．又C 的渐近线为b y x a =±，点P(2,1)在C 的渐近线上，12ba∴=，即2a b =． 又222c a b =+，a ∴==，∴C 的方程为220x -25y =1．27．C 【解析】x y 222-=8可变形为22148x y -=，则24a =，2a =，24a =.故选C ． 28．A 【解析】圆22:(3)4C x y -+=，3,c =而32bc =，则22,5b a ==，应选A ． 29．C 【解析】由双曲线方程可知渐近线方程为3y x a=±，故可知2a =．30．B 【解析】双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的渐近线为by x a=±，由双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为（－2，－1）得22p-=-，即4p =， 又∵42p a +=，∴2a =，将（－2，－1）代入by x a=得1b =，∴c ==2c =31．B 【解析】由双曲线E 的中心为原点，(3,0)P 是E 的焦点可设双曲线的方程为2222221(9)x y a b a b -=+=，设1122(,),(,)A x y B x y ，即 2222112222221,1x y x y a b a b -=-= 则22121222121212015115312y y x x b b x x a y y a -+-+=⋅=⋅==-+-+，则22225,5,44b b a a ===，故E 的方程式为22145x y -=.应选B ． 32．D 【解析】设双曲线的方程为22221(0,0)x y a b a b -=>>，其渐近线为x aby ±=，∵点(4,2)-在渐近线上，所以12b a =，由2e ==． 33．C 【解析】由题意，F （－1，0），设点P 00(,)x y ，则有2200143x y +=, 解得22003(1)4x y =-，因为00(1,)FP x y =+，00(,)OP x y =，所以2000(1)OP FP x x y ⋅=++=00(1)OP FP x x ⋅=++203(1)4x -=20034x x ++， 此二次函数对应的抛物线的对称轴为02x =-，因为022x -≤≤，所以当02x =时，OP FP ⋅取得最大值222364++=，选C ． 34．12y x =±【解析】由题意2a =，1b =，∴12b y x x a =±=±． 35．2【解析】不妨设双曲线的一条渐近线方程为b y x a =b ==，所以222234b c a c =-=，得2c a =，所以双曲线的离心率2ce a==． 36．232a x c ==，渐近线的方程为y x =，设3(2P，则3(,2Q ，1(2,0)F -，2(2,0)F ， 所以四边形12F PF Q的面积为1211||||422F F PQ =⨯=． 37【解析】如图所示，AH MN ⊥，AM AN b ==，MAN ∠=60°， x所以30HAN ∠=，又MN 所在直线的方程为by x a=， (,0)A a 到MN的距离AH =，在Rt HAN ∆中，有cos HA HAN NA ==，即2=因为222c a b =+，得2a c =，所以3c e a ==． 38．2y x =±【解析】设11(,)A x y ，22(,)B x y ，由抛物线的定义有1212||||22p p AF BF y y y y p +=+++=++，而||2p OF =， 所以1242py y p ++=⨯，即12y y p +=，由2222212x y a b x py⎧-=⎪⎨⎪=⎩得2222220a y pb y a b -+=，所以21222pb y y a +=， 所以222pb p a=，即a =，所以渐近性方程为y x =． 39．2【解析】221,a b m ==，所以c a ==，解得2m =． 40．2【解析】不妨令B 为双曲线的右焦点，A 在第一象限，则双曲线图象如图∵OABC 为正方形，2=OA∴==c OB ，π4∠=AOB ∵直线OA 是渐近线，方程为=b y x a ，∴tan 1=∠=bAOB a又∵2228+==a b c ∴2=a41．2【解析】由题意||2BC c =，所以||3AB c =，于是点3(,)2cc 在双曲线E 上，代入方程，得2222914c c a b -=，在由222a b c +=得E 的离心率为2ce a==，应填2. 42()22210x y a a -=>的一条渐近线为y =，所以1a=故3a =． 43．2(,),(1)P x y x ≥，因为直线10x y -+=平行于渐近线0x y -=，所以c 的最大值为直线10x y -+=与渐近线0x y -== 44．32【解析】22122:1(0,0)x y C a b a b -=>>的渐近线为b y x a =±，则2222(,)pb pb A a a ，2222(,)pb pb B a a -，22:2(0)C x py p =>的焦点(0,)2p F ， 则22222AFpb pa a k pb b a-==，即2254b a =，2222294c a b a a +==，32c e a ==． 45．y x =±【解析】抛物线的准线2p y =-，与双曲线的方程联立得2222(1)4p x a b =+，根据已知得2222(1)4p a c b+= ①，由||AF c =得2224p a c += ②，由①②得22a b =，即a b =，所以所求双曲线的渐近线方程为y x =±．46by x a=±可解得交点为(,)33am bm A b a b a --，(,)33am bm B b a b a -++，而13AB k =，由||||PA PB =，可得AB 的中点3333(,)22am am bm bmb a b a b a b a -+-+-+与点)0,(m P 连线的斜率为-3，可得224b a =，所以e =47．221312x y -= 2y x =±【解析】设与2214y x -=具有相同渐近线的双曲线C 的方程为224y x k -=，将点()2,2代入C 的方程中，得3k =-．∴双曲线的方程为221312x y -=，渐近线方程为2y x =±．48．45【解析】。

高中数学双曲线知识点总结一、双曲线的定义双曲线是由平面上距离不变的所有点的轨迹组成的曲线。

具体地说，双曲线是平面上的一条曲线，其上的每一点到两个给定的不同点F1和F2的距离之差是一个常数。

在平面直角坐标系中，双曲线的定义可以表示为：一个点到两个不同点F1和F2的距离之差是一个常数e，即PF1-PF2=e。

二、双曲线的性质1. 双曲线包括两条分支，它们分别靠近两个焦点。

对于双曲线的每个分支来说，离焦点越远，离另一个分支越近。

2. 双曲线的两个焦点之间的距离称为焦距，是双曲线的重要参量，通常用2c表示。

3. 双曲线的渐近线是双曲线的一条特殊的直线，与双曲线有两个不同的交点。

双曲线的两条分支在渐近线上无限趋近。

4. 双曲线具有对称性，关于两个坐标轴都具有对称性，即当双曲线与一个坐标轴相交时，在另一个坐标轴上也有交点。

5. 双曲线有一个中心，它是两个焦点的中点，也是双曲线的对称中心。

6. 双曲线的方程通常可以表示为x^2/a^2-y^2/b^2=1或者y^2/b^2-x^2/a^2=1，其中a 和b分别是椭圆的轴长。

三、双曲线的方程在平面直角坐标系中，双曲线的一般方程可以表示为：1. 若横轴为实轴，纵轴为虚轴，则双曲线的方程为x^2/a^2-y^2/b^2=1；2. 若横轴为虚轴，纵轴为实轴，则双曲线的方程为y^2/b^2-x^2/a^2=1。

在双曲线的方程中，a和b分别代表横轴和纵轴方向的轴长，e为离心率。

四、双曲线的图像1. 当a>b时，双曲线的中心在x轴上，两分支朝向y轴；2. 当a<b时，双曲线的中心在y轴上，两分支朝向x轴。

双曲线的图像可以通过手工绘图或者计算机绘图软件来绘制，使学生更好地理解双曲线的性质和特点。

双曲线的图像在实际生活中也有许多应用，比如在光学中的抛物面镜和双曲面镜、在通信中的双曲线天线和成像原理等。

五、双曲线的相关定理和定律1. 双曲线的面积定理：双曲线的面积等于焦距的一半与两个辅助椭圆的面积之和。

双曲线相关知识点总结一、双曲线的定义双曲线是平面上一组点的集合，满足到两个定点的距离之差等于一个常数的性质。

具体来说，设F1(-c,0)和F2(c,0)是平面上的两个定点，c是正实数，点P(x,y)在双曲线上当且仅当PF1-PF2=2a(a>0)。

双曲线分为左右两支，由F1和F2确定的两支双曲线分别称为向左开口和向右开口的双曲线，分别称为左双曲线和右双曲线。

二、双曲线的基本性质1. 定义域和值域：双曲线的定义域是实数集R，值域是实数集R。

2. 对称性：关于坐标轴和原点对称。

3. 渐近线：y=±a/x(斜渐近线)。

4. 渐近线性质：双曲线与其渐近线的交点趋于无穷，且渐近线是双曲线的渐近线。

5. 单调性：双曲线在x轴的两侧都是单调递增或单调递减。

6. 拐点：双曲线的两支在原点都有拐点，拐点的坐标为(0,±a)。

7. 渐近线与曲线的位置关系：当a为正数时，双曲线的两支位于渐近线的两侧；当a为负数时，双曲线的两支位于渐近线的同一侧。

三、双曲线的方程1. 标准方程：双曲线的标准方程分别为x^2/a^2-y^2/b^2=1(右双曲线)和y^2/b^2-x^2/a^2=1（左双曲线），其中a和b分别为双曲线两支离心率的绝对值。

2. 中心点、顶点和焦点：双曲线的中心点为坐标原点，顶点为(±a,0)，焦点为(±c,0)。

3. 离心率：双曲线的离心率为e=c/a。

4. 参数方程：双曲线的参数方程分别为x=acosh(t)，y=bsinh(t)（右双曲线）和x=asinh(t)，y=bcosh(t)（左双曲线），其中t为参数。

四、双曲线的图像1. 双曲线的图像具有对称性，关于x轴和y轴对称，同时关于原点对称。

2. 双曲线与其渐近线之间的位置关系决定了双曲线的图像形状。

3. 当a和b的取值变化时，双曲线的形状也随之变化。

五、双曲线的应用1. 物理学中，双曲线常用于描述波的传播和衰减，尤其是在光学和声学中有着广泛的应用。