高中数学第2章平面解析几何初步第1课时直线的斜率教学案(无答案)苏教版必修2

第2章平面解析几何初步2.1 直线与方程单元规划我们在初中学习几何时，常常依据几何图形的直观性来研究说明问题.从本单元起，我们采用另外一种研究方法:坐标法.坐标法是以坐标系为桥梁，把几何问题转化为代数问题，通过代数运算研究几何性质的方法，它是解析几何中最基本的方法.本单元先在平面直角坐标系中建立直线方程，然后通过方程研究直线的有关性质，如平行、垂直、两条直线的交点、点到直线的距离等.解析几何是17世纪法国数学家笛卡儿和费马创立的.解析几何的创立是数学发展史上的一个里程碑，数学从此由常量数学进入变量数学时期，解析几何由此成为近代数学的基础之一.内容组成本单元内容由六部分组成：1.《直线的斜率》确定直线的几何要素可以是直线上点和直线的方向即倾斜程度.教材在处理的过程中，直接通过问题的形式推出“直线的倾斜程度如何刻画呢？”揭开解析几何研究的序幕.通过分析“坡度”这一学生熟悉的概念，得到研究直线倾斜程度的量——斜率.由于在初中阶段研究一次函数图象的时候已经作过分析,教学中注意直线方程与一次函数的关系，对比研究，增加学生对它们的认识.2.《直线的方程》在直角坐标系中，给定一个点和斜率或给定两个点，就能唯一确定一条直线，如何表示确定直线上点的坐标的一般关系呢？这就是本课研究的内容，直线方程的几种形式在正常情况下可以相互转化，但有条件限制，本课要注意各种直线方程的条件限制和优缺点.3.《两条直线的平行与垂直》平面几何里我们已研究了两直线平行和垂直的判定和性质.通过解析几何坐标法研究将会用数字化研究两直线的位置关系，为后面研究直线与圆、直线与圆锥曲线打下基础.4.《两条直线的交点》这是解析几何研究两直线之间关系的一个典型，平面几何上研究问题是通过看来完成的，现在是通过算来处理的.教学中要注意两条直线的交点与二元一次方程组的解之间关系的建立.5.《平面上两点间的距离》教材是按照从特殊到一般的过程来研究两点间的距离的，本课是后继学习解析几何的基础，以弄懂公式的来历，掌握公式为第一目标.6.《点到直线的距离》本节在研究了两条直线的位置关系的判定方法的基础上，研究两条平行线间距离的一个重要公式.推导此公式不仅完善了两条直线的位置关系这一知识体系，而且也为将来用代数方法研究曲线的几何性质奠定了基础.而更为重要的是:通过认真设计这一节教学，能使学生在探索过程中深刻地领悟到蕴涵于公式推导中的重要的数学思想和方法，学会利用化归思想和分类方法，由浅入深，由特殊到一般地研究数学问题，同时培养学生浓厚的数学兴趣和良好的学习品质.教学重点掌握用数形结合法处理有关问题.教学难点直线的倾斜角的正切值与斜率相等、直线方程的表示及直线之间的关系相互转化.课时安排共计11课时.从容说课本节课是本章第一节的第一课时，是研究直线方程的基础，也是由“形”往“数”的过渡，如何从学生的认知背景出发来引入描述直线方向是教学中的难点.新教材从生活中的“坡度”的引入来描绘直线的倾斜程度，从而引入斜率.笔者认为角度是学生更加熟悉的概念，先引入倾斜角比起先引入斜率更容易让学生接受.本课各自独立引入倾斜角、斜率，目的是引导学生刻画直线的方向可以有几种方法，下一节课研究斜率与直线倾斜角正切值之间的关系.在教学设计中采取层层推进的手段.注意到三角函数内容学生还没有学习，所以应在概念的理解上多下功夫，在应用上以简单应用为主，教学中注意选题难度的控制.教学重点直线的倾斜角和斜率的概念；直线斜率存在与不存在的分类讨论.教学难点斜率公式的推导.教具准备多媒体、三角板课时安排1课时三维目标一、知识与技能1.理解直线的斜率，掌握经过两点的直线的斜率公式.2.理解直线的倾斜角的定义，知道直线倾斜角的范围.3.感受直线的方向与斜率之间的对应关系，体会研究直线的方向的变化规律只需研究直线的斜率的变化规律.二、过程与方法1.由生活背景认知来研究直线的方向.2.体会形与数之间的对应关系.3.刻画形的特征即直线的倾斜程度可以用数来完成.三、情感态度与价值观培养和提高学生联系、对应、转化等辩证思维能力.教学过程导入新课多媒体投影:飞逝的流星、雨后的彩虹、古代石拱桥、现代立交桥……师现实世界中，到处都有美妙的曲线，大家能否再举一些曲线的例子？生甲股市走势.生乙蜗牛行走的路程.生丙平抛问题的运动轨迹.……师人们在看到这些美妙的曲线后就要研究这些曲线是如何形成的,它有着什么样的方程.行星围绕太阳运行，人们要认识行星的运行规律，首先要建立起行星的运行轨道方程.在建造桥梁时，我们首先要确定拱桥的方程，然后才能进一步设计和施工.师直线是一种特殊的曲线，如果放在直角坐标系中，那么它也有方程，你能否举一些直线方程的例子？生丁y＝x，y＝1－x.师对，我们可以画出图象观察.(画图)师我们在学习时，知道一次函数表示的图象是直线，那么确定一条直线需要哪些因素？生戊两点.生己一点和直线的方向.师对！下面我们重点研究直线的方向.(投影)如右图，让直线l绕着原点逆时针方向慢慢“行走”时，形成一组直线.推进新课师直线l绕着原点逆时针方向慢慢“行走”时，形成一组直线.这些直线有一个什么样的共同点？生都过同一点——原点.师这些直线有一个什么不同点？生方向不同.师对！如何刻画方向？直线放在直角坐标系中如何刻画其方向呢？师刻画方向就要用角.用什么样的角来刻画？生用直线与x轴间的夹角.师直线与x轴在正常情况下可以形成4个角，(作图演示)我们仅用一个角就可以了.通常我们用x轴正方向与直线向上的方向形成的角来确定直线的方向，把这个角称为直线的倾斜角(如右图).我们还可以动态描绘出直线的倾斜角,即在平面直角坐标系中，对于一条与x轴相交的直线，把x轴所在直线绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转过的最小正角称为这条直线的倾斜角.多媒体演示:直线l绕着原点逆时针方向慢慢“行走”时，形成的一组直线的倾斜角会变得越来越大.(板书)倾斜角通常用字母α来表示师当直线绕着原点旋转时，开始与x轴重合时规定倾斜角为0°，那么当直线l绕着原点逆时针方向慢慢“行走”时(同时演示),直线l旋转到一定程度后与前面的直线重合了，不重合的直线形成的倾斜角的范围是什么？生甲0°<α<180°.生乙不对，应为0°≤α≤180°.师大家一起观察，直线倾斜角在180°时的状态与0°状态时是否重合?生重合！师所以直线形成的倾斜角的范围是0°≤α<180°.当直线不过原点时直线的方向如何刻画?能否像刚才那样图示?举例:师大家能否选择一个角,像刚才那样刻画直线的方向?生可以把这些直线平移到原点，再转化为刚才过原点的直线方向问题.师这位同学说得很好，他用了化归思想，即将所要解决的问题转化为已经解决好的问题.反过来我们可以把前面的倾斜角平移过来形成下面的图象(在上图中板演).同样可以定义这些角为给出直线的倾斜角.这些图对应的角的大小总结如下:(板书)直线倾斜角的定义,即在平面直角坐标系中，对于一条与x轴相交的直线，把x 轴所在直线绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转过的最小正角称为这条直线的倾斜角.与x轴平行或重合的直线的倾斜角为0°.(在上面相应的图下表示)倾斜角为锐角倾斜角为钝角倾斜角为直角倾斜角为0°以上图形中直线的倾斜角分别为锐角、钝角、直角以及0°角，结合定义可知:任意的一条直线的倾斜角α的范围是0°≤α<180°.要注意定义中“按逆时针方向旋转”及“所转过的最小正角”两个关键点，确定倾斜角时要严格按照定义，另外，要注意:与x轴平行或重合的直线的倾斜角为0°.【例1】直线y＝x的倾斜角是多少？生45°.师你是怎么算出来的？生作图观察出来的.师(同时作图)我们在y ＝x 上取一点(1，1)观察即可求出.用倾斜角来刻画直线的方向我们先暂时学到这儿.大家一起来看一看.(多媒体投影) 给出各种类型的斜坡.师这些斜坡倾斜程度不同，谁斜得厉害？ 生讨论发言,各抒己见.师有不同看法是正常的，因为我们没有刻画倾斜程度的标准，有没有刻画斜坡倾斜程度的标准？生我们初中曾经学过“坡度”的概念.多媒体投影:把前面投影的斜坡逐一抽象成直线，再排放在一起.师从图形可以看出，描述斜坡倾斜程度，可以处理成直线的倾斜程度. 在初中里，我们学习的“坡度”(斜坡的倾斜程度)是这样的.(投影)“升高量与前进量的比”，用公式表示为 坡度(比)=前进量升高量例如“进1升3”与“进1升2”比较，前者更陡一些，因为坡度(比)13>12，由此我们可以用“坡度”来刻画出直线的倾斜程度，那么在直角坐标系中如何刻画直线的斜率呢？这就是下面研究的内容:师两点确定一直线，已知两点P (x 1,y 1)、Q (x 2,y 2)，如果x 1≠x 2，那么刻画直线的“坡度”是什么呢？(见右图)生1212x x y y --师我们把这个量称为直线的斜率. (板演)直线的斜率那么直线PQ 的斜率公式为:k=1212x x y y --(x 1≠x 2).如果x 1=x 2，那么直线PQ 的斜率不存在.（如图1） 对于与x 轴不垂直的直线PQ ，它的斜率也可以看作是 k=1212x x y y --=xy∆∆＝横坐标的增量纵坐标的增量.(如图2)(1)(2)对照直线,当P 点固定时，Q 点在直线l 上运动到Q 1时,利用三角形相似得到k=1212x x y y --＝xy∆∆值没有变化;当Q 点在直线l 上运动到Q 2时,同样也可以利用三角形相似得到k=1212x x y y --=xy∆∆值也没有变化.由此可见,对一条与x 轴不垂直的定直线而言，它的斜率是一个定值，由该直线上任意两点确定的斜率总是相等的.【例2】如右图，直线l 1、l 2、l 3都经过点P (3，2)，又l 1、l 2、l 3分别经过点Q 1(－2，－1)、Q 2(4，－2)、Q 3(－3，2)，试计算直线l 1、l 2、l 3的斜率.解:设k 1、k 2、k 3分别表示直线l 1、l 2、l 3的斜率， 则k 1=533221=----，k 2=3422---=-4，k 3=3322---=0，由图可以看出:(1)当直线的斜率为正时，直线从左下方向右上方倾斜(l 1); (2)当直线的斜率为负时，直线从左上方向右下方倾斜(l 2); (3)当直线的斜率为0时，直线与x 轴平行(l 3).【例3】经过点(3，2)画直线，且使直线的斜率分别为: (1)43;(2)-54.要画出直线，只需再确定直线上另外一个点的位置. (1)根据k=x y ∆∆，斜率为43表示直线上的任一点沿x 轴方向向右平移4个单位，再沿y 轴方向向上平移3个单位后仍在此直线上.如果我们从点(3，2)开始，向右平移4个单位，再向上平移3个单位就得到点(7，5)，因此，通过点(7，5)和点(3，2)画直线，即得所求.(2)-54＝54-，因此，将点(3，2)向右平移5个单位，再向下平移4个单位，得到点(8，－2)，通过点(8，－2)和点(3，2)画直线，即得所求.师如果将-54写成54-，你有什么启发？ 生向左平移5个单位，再向上平移4个单位，得到点(－2，6)，通过点(－2，6)和点(3，2)画直线，即为所求.师对！这有一种殊途同归的感觉.由此我们可以看出已知直线上一点和斜率画直线的方法并非唯一方法，当然画出的直线是唯一的.【例4】证明三点A(-2,12)、B(1,3)、C(4,-6)在同一条直线上.师如果两条直线过同一点，且方向相同，那么这两条直线间的关系如何？ 生重合.师对！利用这个特征，我们可以解决上面的问题.分析:∵k AC =-3，k BC =-3，又∵两直线AC 、BC 都过同一点C ， ∴A 、B 、C 三点在同一直线上. 课堂小结今天我们在直角坐标系中研究了表示直线方向的两种方法:倾斜角和斜率.这两个概念关系着我们下一节课时内容的学习.几何问题代数化处理是人类认识问题的一大进步，从某种意义上讲是一次革命.我们今天打好基础,可以更好地研究曲线的形状和性质.布置作业课本第72页练习1、2. 板书设计2.1.1 直线的斜率(1) 直线的倾斜角:定义 讲解分析 图示:四种类型的直线 课堂小结 斜率的定义 布置作业例1 例2活动与探究直线的方向可以用倾斜角表示，也可以用斜率表示，那么这两个量之间有何关系？直线的斜率都是正的吗？斜率的范围是什么？备课资料备选练习或例题1.在坐标平面上，画出下列方程的直线: (1)y =x ; (2)2x +3y =6; (3)2x +3y +6=0; (4)2x -3y +6=0.作图要点:利用两点确定一条直线，找出方程的两个特解，以这两个特解为坐标描点连线即可.2.已知a 、b 、c 是两两不相等的实数，求经过下列两点直线的倾斜角:(1)A (a ，c )，B (b ，c )；(2)C (a ，b )，D (a ，c )；(3)P (b ，b +c )，Q (a ，c +a ). 解:(1)α=0°；(2)α=90°；(3)α=45°.3.已知三点A (a ，2)、B (3，7)、C (-2，-9a )在一条直线上，求实数a 的值.解:k AB =a a -=--35327，k BC =5972397aa +=++. ∵A 、B 、C 三点在一条直线上， ∴k AB =k AC .59735a a +=-，解之得a ＝2或a =92.。

苏教版数学2《直线的斜率》说课教案列位专家：你们好！我叫赵丽宏，来自江苏省宿迁中学。

今天我说课的课题是“直线的斜率”。

下面我从教材分析、目标分析、教法学法、学情分析、教学流程、评价分析等几个方面向列位专家论述我对本节课的构思与假想。

一、教材分析一、地位及作用与以往高中数学课程中的解析几何内容相较，新教材中解析几何的内容突出了用代数方式解决几何问题的进程，同时也强调了代数关系的几何意义。

它的内容是分层次设计的：在必修课程中，主如果直线方程、圆与方程；在选修系列1和系列2 中主如果圆锥曲线与方程。

“直线与方程”是苏教版数学必修2的第二章的内容，是解析几何的开篇之作。

而“2.1.1 直线的斜率”是这一章的第一节，是用斜率与倾斜角来刻画直线方向的。

它学习的内容是基础的，学习方式是重要的，是为此后学习用代数的方式研究几何问题奠定基础，起到了启下的作用。

二、重点难点按照教学内容的地位和作用及学生已有的认知基础，我将本课的教学重点、难点肯定为：（1）使学生明确直线的斜率的概念，熟练掌握已知两点坐标求这两点所在直线的斜率公式。

（2）使学生清楚直线的方向的转变规律，并培育学生自觉应用数形结合思想考虑和解决问题。

二、目标分析遵循新课标,本节课的教学目标肯定如下：1．认知目标：（1）理解直线的斜率，掌握过两点的直线的斜率公式。

（2）使学生初步感受直线的方向与直线的斜率之间的对应关系，从而体会到要研究直线的方向的转变规律，只要研究直线的斜率的转变规律。

2．能力目标：使学生清楚直线的方向的转变规律，并培育学生自觉应用“数形结合”思想考虑和解决问题。

3．情感目标：激发学生对数学研究的热情和自主探讨问题的兴趣，培育学生勇于发觉、擅长探索的精神，实现一路探讨、教学相长的教学情境。

4．德育目标：（1）让学生体会到学习数学的进程是人生的一种经历和体验。

（2）通过课堂教学培育学生的数形结合的美感与严谨治学的生活态度三、教法学法在教法上，主要采用启发和探讨式教学法。

2．1.1 直线的斜率1．理解直线的倾斜角和斜率的概念及它们之间的关系．(难点) 2．掌握过两点的直线斜率计算公式．(重点)3．了解直线的倾斜角的范围，能根据直线的倾斜角求出直线的斜率．(易错点)[基础·初探]教材整理1 直线的斜率阅读教材P 77～P 78例1，完成下列问题．已知两点P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，如果x 1≠x 2，那么直线PQ 的斜率为k ＝y 2－y 1x 2－x 1(x 1≠x 2)，如果x 1＝x 2，那么直线PQ 的斜率不存在．1．若直线过点(1,2)，(4,2＋3)，则此直线的斜率是________． 【解析】 过点(1,2)，(4,2＋3)的斜率k ＝＋3－24－1＝33.【答案】332．若直线AB 的斜率为－2，其中A (－2，－3)，B (a,5)，则a 的值是__________. 【解析】 ∵－3－5－2－a ＝－2，∴a ＝－6.【答案】 －6教材整理2 直线的倾斜角 阅读教材P 78～P 79，完成下列问题． 1．直线的倾斜角在平面直角坐标系中，对于一条与x 轴相交的直线，把x 轴所在的直线绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转过的最小正角称为这条直线的倾斜角，并规定：与x 轴平行或重合的直线的倾斜角为0°.倾斜角α的范围为0°≤α<180°.2．直线的斜率与倾斜角的关系(1)从关系式上看：若直线l 的倾斜角为α(α≠90°)，则直线l 的斜率k ＝tan_α. (2)从几何图形上看：1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)任意一条直线都有倾斜角，也都有斜率．(×) (2)平行于x 轴的直线的倾斜角是0°或180°.(×) (3)若两条直线的倾斜角相等，则它们的斜率也相等．(×) (4)若k 是直线的斜率，则k ∈R .(√)2．直线l 的倾斜角α＝120°，则其斜率为________． 【解析】 直线的斜率为tan 120°＝－tan 60°＝－ 3. 【答案】 － 3[小组合作型]求直线的斜率经过下列两点的直线的斜率是否存在？如果存在，求其斜率．(1)A (－1,0)，B (0，－2)； (2)A (－3，2)，B (2，－3)； (3)A (a ，a ＋b )，B (c ，b ＋c )； (4)A (2，－1)，B (m ，－2)． 【精彩点拨】 当x 1≠x 2时，利用y 1－y 2x 1－x 2求解直线的斜率，否则斜率不存在．【自主解答】 (1)∵－1≠0， ∴斜率存在，且k ＝－2－00－－＝－2.(2)∵－3≠2， ∴斜率存在，且k ＝2－－3－3－2＝2＋3－2－3＝－1. (3)∵a ≠c (否则A ，B 两点重合为一点)， ∴斜率存在，且k ＝a ＋b －b ＋ca －c＝1.(4)当m ＝2时，斜率不存在． 当m ≠2时，斜率k ＝－2－－m －2＝12－m.已知直线上两点(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，表示直线的斜率时，要注意直线斜率存在的前提，即只有x 1≠x 2时才能用斜率公式求解．当x 1＝x 2时，直线斜率不存在，此时直线的倾斜角为90°.当点的坐标中含有参数时，要注意对参数的讨论．[再练一题]1．过点P (－2，m )，Q (m,4)的直线的斜率为1，则m ＝________. 【解析】m －4－2－m＝1，m ＝1. 【答案】 12．若斜率为2的直线经过A (3,5)，B (a,7)，C (－1，b )三点，则a ，b 的值分别为________． 【解析】7－5a －3＝2，∴a ＝4，7－ba ＋1＝2，∴b ＝－3. 【答案】 4，－3直线的倾斜角与斜率的综合应用已知直线l 经过点P (1,1)，且与线段MN 相交，且点M ，N 的坐标分别是(2，－3)，(－3，－2)．(1)求直线PM 与PN 的斜率； (2)求直线l 的斜率k 的取值范围．【精彩点拨】 (1)代入斜率公式，(2)数形结合求k 的范围．【自主解答】 (1)由题意与斜率公式可知，直线PM 与PN 的斜率分别为：k PM ＝－3－12－1＝－4，k PN ＝－2－1－3－1＝34. (2)如图所示，直线l 相当于绕着点P 在直线PM 与PN 间旋转，l ′是过P 点且与x 轴垂直的直线，当l 由PN 位置旋转到l ′位置时，倾斜角增大到90°，又k PN ＝34，∴k ≥34.又当l 从l ′位置旋转到PM 位置时，倾斜角大于90°，又k PM ＝－4，∴k ≤－4.综上所述，k ∈(－∞，－4]∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫34，＋∞.1．当直线l 的倾斜角是锐角时，斜率k >0，反之也成立；当直线l 的倾斜角是钝角时，斜率k <0，反之也成立．2．当直线绕定点由与x 轴平行(或重合)的位置按逆时针方向旋转到与y 轴平行(或重合)的位置时，斜率由零逐渐增大到＋∞，按顺时针方向旋转到与y 轴平行(或重合)的位置时，斜率由零逐渐减小到－∞.[再练一题]3．(1)若过点P (1,1)，Q (3,2a )的直线的倾斜角为钝角，则实数a 的取值范围是__________．(2)已知两点A (－3,4)，B (3,2)，过点P (1,0)的直线l 与线段AB 有公共点，则直线l 的倾斜角α的取值范围是__________.【解析】 (1)∵直线PQ 的倾斜角为钝角，∴k PQ <0， 即2a －13－1＝2a －12<0，∴a <12，即实数a 的取值 范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，12.(2)如图所示，由题意可知k PA ＝4－0－3－1＝－1， k PB ＝2－03－1＝1. 则直线AP 的倾斜角为135°，直线BP 的倾斜角是45°.要使直线l 与线段AB 有公共点，需有45°≤α≤135°，即α的取值范围是45°≤α≤135°.【答案】 (1)⎝⎛⎭⎪⎫－∞，12 (2)45°≤α≤135° [探究共研型]三点共线问题探究1 A (0,0)，B (1,2)，C (3,6)，三点是否在同一条直线上？【提示】 三点在同一直线上，因为k AB ＝2，k AC ＝2，k AB ＝k AC .直线AB ，AC 斜率相等，又过同一点，所以AB 与AC 重合．∴A ，B ，C 三点共线．探究2 若三点A (a,2)，B (3,7)，C (－2，－9a )在同一条直线上，则实数a 的值为多少？ 【提示】 ∵k AB ＝k BC ，∴7－23－a ＝7＋9a3＋2，解得a ＝2或a ＝29.(1)已知某直线l 的倾斜角α＝45°，又P 1(2，y 1)，P 2(x 2,5)，P 3(3,1)是此直线上的三点，则x 2＝________，y 1＝__________.(2)若三点A (2,2)，B (a,0)，C (0，b )(ab ≠0)共线，则1a ＋1b＝__________.【精彩点拨】【自主解答】 (1)由α＝45°，故直线l 的斜率k ＝tan 45°＝1， 又P 1，P 2，P 3都在此直线上，故kP 1P 2＝kP 2P 3＝k l ， 即5－y 1x 2－2＝1－53－x 2＝1，解得x 2＝7，y 1＝0.(2)显然，直线斜率存在．由三点共线，得k AB ＝k AC ，即22－a ＝2－b2，整理得2a ＋2b ＝ab .∴1a ＋1b ＝a ＋b ab ＝a ＋b 2a ＋2b ＝12. 【答案】 (1)7 0 (2)12已知A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (x 3，y 3)，若有x 1＝x 2＝x 3或k AB ＝k AC ，则有A ，B ，C 三点共线．利用斜率判断三点共线应注意以下三点：(1)用斜率公式解决三点共线问题时，首先要估测三点中是否有两点连线垂直于x 轴，即斜率不存在的情况；(2)当三点中任意两点所确定的直线的斜率相等，且过同一点时，三点才共线； (3)由斜率相等可以推出三点共线，但三点共线不一定推出任两点连线的斜率相等，还可能任两点连线的斜率都不存在．[再练一题]4．已知A (1,1)，B (3,5)，C (a,7)，D (－1，b )四点在同一条直线上，求直线的斜率k 及a ，b 的值．【解】 由题意可知k AB ＝5－13－1＝2，k AC ＝7－1a －1＝6a －1，k AD ＝b －1－1－1＝b －1－2，所以k ＝2＝6a －1＝b －1－2，解得a ＝4，b ＝－3， 所以直线的斜率k ＝2，a ＝4，b ＝－3.1．已知直线l 的倾斜角为30°，则直线l 的斜率为________． 【解析】 k ＝tan 30°＝33. 【答案】332．若过两点A (4，y )，B (2，－3)的直线的倾斜角为45°，则y ＝________.【解析】 k AB ＝tan 45°＝1＝y ＋34－2，∴y ＝－1. 【答案】 －13．直线l 过点(－1,1)，(0,1)，则l 的倾斜角为______． 【解析】 k ＝1－1－1－0＝0，tan α＝0，∴α＝0°.【答案】 0°4．如图2－1－1所示，直线l 1，l 2，l 3的斜率分别为k 1，k 2，k 3，则k 1，k 2，k 3之间的大小关系为________．图2－1－1【解析】 设l 1，l 2，l 3的倾斜角分别为α1，α2，α3，则由题图可知0<α3<α2<90°<α1<180°，所以tan α2>tan α3>0，tan α1<0，故k 1<k 3<k 2. 【答案】 k 1<k 3<k 25．已知直线l 上两点A (－2,3)，B (3，－2)，求其斜率．若点C (a ，b )在直线l 上，求a ，b 间应满足的关系，并求当a ＝12时，b 的值.【解】 由斜率公式得k AB ＝－2－33＋2＝－1. ∵C 在直线l 上，∴k AC ＝－1，即b －3a ＋2＝－1，∴a ＋b －1＝0. 当a ＝12时，b ＝1－a ＝12.。

直线的斜率
一、教学目标
（1）在平面直角坐标系中，结合图形，探索确定直线位置的要素
（2）理解直线斜率的概念，经历用代数方法刻画直线斜率的过程，了解坐标法的思想
（3）掌握过两点的直线斜率的计算公式，会计算直线的斜率
（4）感受数形结合和分类讨论的思想方法，学会用代数法研究几何问题二、重、难点
（1）学习重点：理解斜率的概念和斜率公式
（2）学习难点：如何用代数法来刻画直线的倾斜程度
三、教学过程
问题1 直线是最简单的几何图形，确定一条直线的要素有哪些？
问题2 生活中有袭及倾斜程度的例子吗？如有，请你列举一些？
问题3 这两个楼梯有什么不同？
问题4 你能类比坡度的定义，来定义过A,B两点直线倾斜程度吗？
,试用点的坐标表示直线的斜率
问题5 直线都经过点,直线分别经过点分别计算直线的斜率。

变题1 假设直线经过点，求直线的斜率
变题2 你能很快说出下面两条直线的斜率吗？
问题6 经过点和直线重合，求直线的斜率
回忆与反思
（1）
知识层面：斜率的概念与斜率公式 （2） 数学思想方法层面：数形结合与分类讨论。

直线的斜率一、教学目标1．认识目标：（1）理解直线的斜率，掌握过两点的直线的斜率公式．（2）使学生初步感受直线的方向与直线的斜率之间的对应关系，从而体会到要研究直线的方向的变化规律，只要研究直线的斜率的变化规律．2．能力目标：使学生清楚直线的方向的变化规律，并培养学生自觉应用“数形结合”思想考虑和解决问题．3．情感目标：培养学生勇于探索、善于研究的精神，挖掘其非智力因素资源，培养其良好的数学学习品质．4．德育目标：（1）让学生体会到学习数学的过程是人生的一种经历和体验．（2）渗透辩证唯物主义的方法论和认识教育．二、教学重点难点：1．使学生明确直线的斜率的概念，熟练掌握已知两点坐标求这两点所在直线的斜率公式．2．使学生清楚直线的方向的变化规律，并培养学生自觉应用数形结合思想考虑和解决问题．三、教学方法与教学手段：1．遵循“数学学习的本质是主体（学生）在头脑中建构和发展数学认知结构的过程，是主体的一种再创造行为”的理论，采取以“学生为主体”启发式教学和问题探究式教学．2．采用多媒体教学手段，有效提高教学效率和教学质量．3．以反馈调控为手段，力求反馈的全而性（优、中、差生）与时效性（及时、中肯）．四、教学过程：（一）创设情境师：初中时我们学过一次函数，知道一次函数的图像是一条直线．请画出下列函数图像，并观察它们的异同．1y x =+，21y x =+，1y x =-+．生：画图并回答过定点方向不同．师：如何确定一条直线？生：两点确定一条直线．师：如果只给出一点，要确定一条直线，还应增加什么条件？生：思考．回答“直线的方向或倾斜程度”师：一点和直线的方向（直线的倾斜程度）可以确定一条直线．通过建立直角坐标系，点可以用坐标来刻画，那么直线的倾斜程度如何刻画？我们来看一下生活中与此相关的实例．（放深港湾大桥的动画和大型水滑梯图片．）师：该如何刻画它们的倾斜程度．我们以这两个楼梯为例（二）学生活动与师生互动师：如何刻画楼梯的倾斜程度．生：利用坡度．师：如何计算坡度？生：坡度=高度：宽度．师：坡度越大，楼梯越陡．师：下面看来如何刻画直线的倾斜程度．研究直线首先必须建立直角坐标系．楼梯的坡度我们可以用每一级台阶的高度比上台阶的宽度．类似的，我们可以直线上取两点P Q ，，坐标分别为11()x y ，，22()x y ，，那么级高和级宽分别等于什么？生：21y y -，21x x - ． 师：这样我们得到比值2121y y x x --．用这个比值来刻画直线的倾斜程度，是否合理呢．问题：对于一条与x 轴不垂直的定直线，2121x x -的值与P Q ，两点的位置有关吗？ 得出用2121y y x x --来刻画直线的倾斜程度的合理性． （三）建构数学已知两点11()P x y ，，22()Q x y ，，如果12x x ≠，则直线PQ 的斜率是2121y y y k x x x-∆==-∆．如果12x x =，则直线的斜率不存在． 如果12y y =，那么直线PQ 的斜率为0，直线平行于x 轴或与x 轴重合．对于一条与x 轴不垂直的定直线而言，它的斜率是一个定值．（四）数学运用例1：如图直线1l ，2l ，3l 都经过点(23)P ，又123l l l ，，分别经过点1(21)Q --，，2(41)Q ，，3(53)Q ，，试计算直线123l l l ，，的斜率．由例1的3条直线归纳直线的方向与直线斜率有何对应关系？变题1：已知直线l 经过点(2)A m ，，2(12)B m +，，试求直线l 的斜率． 例2：经过点(32)A ，画直线，使直线的斜率分别为①0，②不存在，③2，④23-． ①，②两题由学生口答．分析③由21y k x ∆==∆表示(32)，中3增加了1，2增加了2得到另一个点(44)，．④引导学生得出3322y k x ∆-===∆-的出另一个点分别为(60)，，(04)，． 进一步问(32)A ，，(60)B ，，(04)C ，三点共线吗？再问AB AC k k =与A B C ，，三点共线有必然联系吗？得出斜率可用来判断三点共线．练习：判断下列三点是否共线（1）(02)A ，，(25)B ，，(37)C ，（2）(14)A -，，(21)B ，，(25)C -，．（五）回顾小结1．一个概念：直线的斜率：2．两个问题：（1）已知直线上两点如何求斜率；（2）已知一点和斜率如何画出直线．3．数形结合的思想方法．（六）作业教科书：P70 1，2，3，4教学设计说明“直线与方程”是苏教版数学必修2第二章的内容，是解析几何的开篇之作．而“直线的斜率”是这一章的第一节，是用斜率来刻画直线的方向的．它学习的内容是基础的，学习方法是重要的，为今后用代数的方法研究几何问题的学习奠定基础，起到启下的作用．在本节课的教学中以如何刻画直线的倾斜程度为主线，通过师生共同探索、归纳、矫正实现师生交流、师生互动、生生互动．教师在倾听学生对问题的阐述、理解和观察学生动手操作中实现课堂教学的动态生成．在直线斜率教学过程中，不是把概念直接捧给学生，而是通过师生互动、生生互动反复探究、反复矫正实现概念的逐渐形成．本节教学的重点是对直线的斜率是本质认识与斜率公式．直线的斜率是用来刻画直线的倾斜程度的，在教学中，通过生活中的实例楼梯的倾斜程度的刻画，类比得出直线倾斜程度的刻画；另一方面，斜率是通过直线上两点的纵坐标的差与横坐标的差的比来计算的，反映了用代数的方法来研究几何问题的核心思想．在教学中注重培养学生自觉应用数形结合思想考虑和解决问题．本节课教学中，教师的角色始终是数学活动的组织者，参与并引导学生从事有效的学习活动，并在学习需要时给予适当的帮助，让学生体会到学习数学的过程是人生的一种经历和体验．。

教学目标（1）进一步理解直线倾斜角和斜率的概念； （2）掌握直线的斜率和倾斜角之间的关系． 教学重点、难点直线的斜率和倾斜角之间的关系． 教学过程 一、问题情境 1．复习：（1）直线的倾斜角的概念及倾斜角的范围； （2）直线的斜率的概念． 2．问题：直线的倾斜角和斜率都是刻画直线倾斜程度的量，它们之间的关系如何呢？ 二、学生活动通过画图探求直线的倾斜角和斜率之间的关系． 三、建构数学1．直线的倾斜角和斜率之间的关系（1）当直线的斜率为正时，直线的倾斜角为锐角，此时，tan y BNk x AN α∆===∆．当直线的斜率为负时，直线的倾斜角为钝角，此时，tan tan(180)y BNk x AN θα∆===-=--∆-．规定：当α为钝角时，我们规定tan tan(180)αα=--．因此，当直线与x 轴不垂直时，直线的斜率k 与倾斜角α之间满足tan k α=．（2）计算机演示直线斜率与倾斜角之间的变化关系 当倾斜角0α=时，斜率0k =；当090α<<时，斜率0k >，α增大时k 随之增大； 当90180α<<时，斜率0k <，α增大时k 也是随之增大． （3）特殊角与斜率的对应关系3303↔；451↔；603↔；1203↔-；1351↔-；31503↔-．四、数学运用1．例题：例1．直线123,,l l l 如图所示，则123,,l l l 的斜率123,,k k k 的大小关系为 ，倾斜角123,,ααα的大小关系为 ．答案：123l l l >>，312ααα>>．例2．（1）经过两点(2,3),(1,4)A B 的直线的斜率为 ，倾斜角为 ； （2）经过两点(4,21),(2,3)A y B +-的直线的倾斜角为120，则y = ． 答案：（1）1-，135；（2）23--．例3．已知直线1l 的倾斜角115α=，直线1l 和2l 的交点A ，直线1l 绕点A 按顺时针方向旋转到与直线2l 重合时所转的最小正角为60，求直线2l 的斜率k ．答案：直线2l 倾斜角为135，∴斜率为1-． 例4．已知(23,),(2,1)M m m N m +-，（1）当m 为何值时，直线MN 的倾斜角为锐角？（2）当m 为何值时，直线MN 的倾斜角为钝角？ （3）当m 为何值时，直线MN 的倾斜角为直角？1l 2l3l答案：（1）1m >或5m <-；（2）51m -<<；（3）5m =-．例5．若过原点的直线l与连结(2,2),(6,P Q 的线段相交，求直线l 的斜率和倾斜角的取值范围．答案：斜率范围，倾斜角范围[30,45]．五、回顾小结：1．直线的倾斜角和斜率之间的关系； 2．特殊角与直线斜率的对应关系．六、课外作业： 补充：1．已知直线PQ的斜率为，将直线绕点P 顺时针旋转60所得直线的斜率是 ． 2．已知直线过点(2,3),(2,1)A m B -，根据下列条件，求实数m 的值． （1）直线倾斜角为135； （2）直线倾斜角为90； （3）直线倾斜角为锐角； （4）点(3,)C m 也在直线上．3．若过点(1,1),(3,2)P a a Q a -+的直线的倾斜角为钝角，求实数a 的取值范围．4．已知经过点(,2),(,21)A m B m m --(0)m ≠的直线的倾斜角为4560α<<，试求实数m 的取值范围．。

教学设计：直线的斜率[教学目的]1、了解解析几何这门学科及其研究方法；2、理解直线的斜率，经历用代数方法刻画直线斜率的过程，掌握过两点的直线的斜率的计算公式；3、理解直线的倾斜角的概念，知道直线的倾斜角的范围；4、掌握直线的斜率和直线的倾斜角之间的关系；5、使学生感受直线的方向与直线的斜率之间的对应关系，从而体会研究直线的方向的变化规律，只要研究其斜率的变化规律。

[教学重点]直线的斜率[教学难点]直线的斜率公式的理解[教学方法]讲解法、发现法、讨论法[教具准备]木板[课程内容分析]⒈本节课是在学生学习了函数，对一些基本初等函数的图象和性质已掌握的前提下，解析几何的第一节课，教师应向学生展示在平面直角坐标系下，数和形的关系，从而揭示解析几何的研究方法和解决的问题，为今后的学习奠定基础。

⒉建议在教学过程中从学生熟悉的一次函数的图象着手，导出解析几何这门学科，从解析几何的研究方法和平面内确定一条直线的条件，启发学生探索和发现刻画直线倾斜程度的量。

⒊本节课的重点是直线的斜率，由两点确定一条直线联想能否用两点的坐标来表示，结合学生熟悉的坡度的定义，揭示如何用两点的坐标表示，以及表示的合理性。

对直线斜率公式的应用，要注意公式成立的条件和公式的正用、逆用，特别要说明斜率不存在时，直线存在（让学生体验此时直线的位置，以加深印象），在逆用时强调斜率是一比值，由它能知道直线在坐标系中的位置（体现数和形的结合，让学生利用图象发现并归纳），若再有一点即知直线上另一点的坐标（启发学生利用斜率公式进行求解，提醒注意不唯一）。

⒋直线的倾斜角是从几何的角度来刻画直线在坐标系中的倾斜度，如何定义直线的倾斜角？对特殊的直线倾斜角又怎样规定？对照图形予以说明，进而明确直线的倾斜角的范围。

关于直线的倾斜角和斜率的关系，要渗透分类讨论的数学方法。

考虑到学生对诱导公式和正切函数的单调性还不知道，故应附以说明和借助计算机或计算器的定量计算，让学生有所了解。

2.1.1 直线的斜率教学目标：1．理解直线的斜率，掌握过两点的直线的斜率公式；2．理解直线倾斜角的定义，知道直线的倾斜角的范围；3．掌握直线的斜率与倾斜角之间的关系；4．使学生初步感受直线的方向与直线的斜率之间的对应关系，从而体会到要研究直线的方向的变化规律，只要研究直线斜率的变化规律．教材分析及教材内容的定位：本节课是平面解析几何的入门课，应该让学生知道解析几何的本质；斜率和倾斜角是刻画直线的两个基本量，要让学生理解两个量的定义及两个量之间的关系，应该明确斜率的两种计算方法；要让学生体会斜率变化规律和直线变化规律的关系．教学重点：过两点的直线的斜率公式的运用．教学难点：斜率的引入及倾斜角与斜率之间的关系．教学方法：合作交流法．教学过程：一、问题情境1．本章研究的问题是——对于基本的几何图形——直线与圆．——如何建立它们的方程？——如何通过方程来研究它们的性质？——位置关系（平行、相交、…）．2．本节课研究的问题是：——如何确定直线？——两个要素（两点、点与方向）——通过建立直角坐标系，点可以用坐标来表示．——如何用一个代数的量来刻画直线的方向（倾斜程度）？二、学生活动1．探究1：在同一坐标系中作出下列函数的图象：（1）y ＝x +1；（2）y ＝2x +1；（3）y ＝－x +1．2．探究2：上图为环法自行车赛某日路线图的一部分，OA ，AB 两段哪段路程更“陡峭”？为什么？用什么来刻画山坡的倾斜程度？怎样将“直观”量化？三、建构数学1．直线的斜率．已知两点P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，如果x 1≠x 2，那么直线PQ 的斜率（slope ）为：)(211212x x x x y y k ≠--= 说明：（1）如果x 1＝x 2，那么直线PQ ⊥x 轴，此时k 不存在（斜率不存在）；（2）k ＝y 2－y 1x 2－x 1＝纵坐标的增量横坐标的增量＝∆y ∆x； （3）对于一条（与x 轴不垂直的）直线而言，它的斜率是一个定值，由该直线上任意两点确定的直线的斜率总是相等的．2．直线的倾斜角．在平面直角坐标系中，对于一条与x 轴相交的直线，把x 轴所在的直线绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转过的最小正角称为这条直线的倾斜角（inclination ），并规定：与x 轴平行或者重合的直线的倾斜角为0o ．说明：（1）由定义可知，直线的倾斜角α的取值范围是1800<≤α；（2）与斜率比较，直线的倾斜角和直线的斜率都是刻画直线的倾斜程度的一个量，其中所有直线都有倾斜角，但不是所有直线都有斜率；（3）通过研究发现：当直线与x 轴不垂直时，直线的斜率k 与倾斜角α之间满足k ＝tan α．四、数学运用例1 已知直线l 1，l 2，l 3，l 4都经过点P (3，2)，又l 1，l 2，l 3，l 4分别经过点Q 1(3，7)，Q 2(－3，2)，Q 3(－2，－1)，Q 4(4，－2)，讨论l 1，l 2，l 3，l 4的斜率是否存在，如存在，求出直线的斜率．例2 经过点(3，2)画直线，使直线的斜率分别为：（1）34 ； （2）− 45； （3）0； （4）斜率不存 例3 根据下列条件，分别画出经过点P ，且斜率为k 的直线，并写出倾斜角α：（1）P (1，2)，k ＝1； （2）P (－1，3)，k ＝0；（3）P (0，－2)，k ＝33-； （4）P (1，2)，斜率不存在．五、要点归纳与方法小结1．如何确定直线？直线的方向（倾斜程度）用什么量来刻画？——斜率是刻画直线方向（倾斜程度）的代数量，它可以由直线的方程直接地体现．2．斜率的取值范围是什么？倾斜角的取值范围是什么？斜率与倾斜角有什么关系？——斜率k∈R，倾斜角α∈[0，π)，k＝tanα，一般地，斜率k随着倾斜角α的增大而增大，但是，[0，π)不是其单调区间（分隔成两个单调区间）．。

《直线的斜率》说课稿---苏教版必修2第二章2.1.1一、教材分析1、教材所处的地位及作用我说课的内容是苏教版必修2第二章《平面解析几何初步》的第一节《直线的斜率》，这是解析几何的开篇之作。

俗话说:好的开端是成功的一半；因此，这节内容不管是从知识点，还是从思想方法上来说都是很重要的。

本节课涉及到两个知识点：直线的斜率和倾斜角，它是直线的基本要素，是研究直线方程，直线的位置关系等的思维起点；本节课也为后面进一步学习直线方程及直线的平行与垂直提供了知识保障。

另外，本节课是在学生对原有的直线的简单几何知识了解的基础上，重新以坐标化的方式来研究直线的倾斜程度等相关性质。

这也是初步向学生渗入解析几何的基本思想:用代数方法解决几何问题。

这个思想方法的渗入对学生以后进一步学习解析几何是很有帮助的。

因此，本节课有着开启全篇，奠定基础，承前启后的重要作用。

2、目标分析（1）知识目标理解直线的斜率，掌握用代数方法刻画直线斜率的过程及过两点的直线的斜率的计算公式；理解直线倾斜角的定义，知道直线倾斜角的范围。

（2）能力目标引导学生观察探索发现，培养学生的探索归纳能力（3）情感目标通过学生之间、师生之间的交流合作，实现共同探究的目标。

并体验认识事物的一般规律：从特殊到一般的过程3、教学重点与难点分析教学重点：直线的斜率和倾斜角的概念，过两点的斜率公式教学难点：斜率和倾斜角的确定关键：借助演示实验和多媒体课件展示斜率公式的形成过程，从而突破难点二、教学方法和手段分析（1）教学方法课堂讲授应有利于学生的数学素质的形成与发展，即在课堂讲授过程当中，要善于创设问题的情境，激发学生积极的发现问题解决问题，充分调动学生学习的主动性、积极性；有效地渗入数学思想方法。

根据这样的原则及所要完成的教学目标，我采用观察发现、启发引导、探索交流相结合的教学方法。

（2）教学手段本节课采用多媒体课件及实物演示相结合的教学手段，使抽象的知识直观化、形象化。

江苏省泰兴中学高一数学教学案(98)必修2 直线的斜率班级 姓名目标要求:一、理解直线的斜率，掌握过两点的直线的斜率公式 二、理解直线的倾斜角的概念，知道直线的倾斜角的范围 3、掌握直线的斜率和倾斜角之间的关系 重点难点:重点：直线的斜率和倾斜角概念难点：对直线的斜率的概念理解与斜率公式 典例剖析:例一、如图，直线123,,l l l 都通过点P （3，2），又1,l l 别离通过点，，3(3,2)Q -，试别离计算123,,l l l 的斜率.例二、已知点(1,2),(2,1)A m B m m -+（1）若直线AB 的倾斜角为锐角，求m 的取值范围； （2）若直线AB 的倾斜角为直角，求m 的取值范围； （3）若直线AB 的倾斜角为钝角，求m 的取值范围.例3、证明()()()1,5,3,3,7,11A B C --三点共线.例4、设点()()2,3,3,2A B ---，直线l 通过点P （1，2），且与线段AB 相交，求直线l 的斜率的取值范围.学习反思：一、过两点1122(,),(,)P x y Q x y 的直线的斜率为k = _______________ ;二、注意直线的倾斜角和斜率之间的对应关系：当直线的斜率k = 0 时，倾斜角α= _____；当直线的斜率k > 0 时，倾斜角α为_____角；当直线的斜率k < 0 时，倾斜角α为_____角；特别地，直线的斜率不存在时，直线的倾斜角为_____角. 课堂练习：一、别离求通过下列两点的直线的斜率：（1）（2，3），（4，5）； （2）（—1，3），二、已知直线的倾斜角α的范围为（30°，120°），则斜率的范围为_______________. 3、判断下列命题的真假：（1） 若直线的斜率存在，则必有倾斜角与它对应； （2） 若直线倾斜角存在，则必有斜率与它对应； （3） 直角坐标系中所有的直线都有倾斜角； （4） 直角坐标系中所有的直线都有斜率.4、若三点A （3，1），B （—2，b ），C （8，11）在同一直线上，求实数b 的值.江苏省泰兴中学高一数学作业(98)班级 姓名 得分一、过两点(2,),(,4)A n B n -的直线的斜率为1，则n 的值为 ____________.二、设直线l 的倾斜角为α（α≠0°），则它关于y 轴对称的直线的倾斜角是___________.3、已知直线l 的斜率是229372aa a -+-，其倾斜角是4π，则a =_____________. 4、直线l 通过第二、三、四象限，则直线l 的倾斜角α的取值范围为___________; 斜率k 的取值范围为_____________. 五、别离判断下列三点是不是在同一直线上：（1）（0，2），（2，5），（3，7）：_________；（2）（—1，4），（2，1），（—2，5）：_________ 六、已知直线的斜率k 的范围为333<<-k ，则倾斜角α的范围是_____________. 7、过原点引直线l ，使l 与连接点A （1，1）和B （1，－1）两点的线段相交，则直线l 的倾斜角的取值范围是______________.八、△ABC 的三个极点为A （3，2），B （—4，1），C （0，—1），写出△ABC 三边所在直线的斜率：AB k =__________；BC k =__________；AC k =__________. 九、如图中的直线l 1、l 2、l 3的斜率别离是k 1、k 2、k 3，则k 1、k 2、k 3的大小关系为________________.10、若是直线沿x 轴负方向平移3个单位，再沿y 轴正方向平移一个单位后，又回到原来位置，求这条直线的斜率1一、若过点)2,3(),1,1(a Q a a P +-的直线的倾斜角为钝角,求实数a 的取值范围.1二、已知过点(A 及点（0，b ）的直线的倾斜角25[,]36ππθ∈，求实数b 的取 值范围.。