不等式3知识梳理： 基本不等式：1、和积不等式：,a b R ∈⇒222a b ab +≥(当且仅当a b =时取到“=”)．【变形】：①222()22a b a b ab ++≤≤（当a = b 时，222()22a b a b ab ++==） 【注意】：(,)2a ba b R ++∈，2()(,)2a b ab a b R +∈≤2、均值不等式：两个正数b a 、的调和平均数、几何平均数、算术平均数、均方根之间的关系，即“平方平均≥算术平均≥几何平均≥调和平均”22“”112ab a b a b a b a b+===++时取）*.若0x >，则12x x +≥ (当且仅当1x =时取“=”）;若0x <，则12x x+≤- (当且仅当1x =-时取“=”）若0x ≠，则11122-2x x x xxx+≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”）*.若0>ab ，则2≥+ab ba (当且仅当b a =时取“=”）若0ab ≠，则22-2a b a b a bb a b a b a+≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”） 3、含立方的几个重要不等式（a 、b 、c 为正数）：3333a b c abc ++≥（0a b c ++>等式即可成立，时取等或0=++==c b a c b a ）；3a b c ++ ⇒3()3a b c abc ++≤3333a b c ++≤*不等式的变形在证明过程中或求最值时，有广泛应用，如：当0>ab 时，变式： ①222b a ab +≤ ； ②2)2(b a ab +≤； ③2)2(222b a b a +≤+ ④)(222b a b a +≤+；最值定理（积定和最小）①,0,x y x y >+≥由()xy P =定值，则当x y =时和x y +有最小值（和定积最大）②,0,x y x y >+≥由()x y S +=定值，则当x y =是积xy 有最大值1. (1) 已知x,y 为正数，且1,________.2yx +=(2)下列最小值是2的 （ ）A ．1xx+ B.C.2 D. 3x +2. 制作一个面积为1 m 2，形状为直角三角形的铁架框，有下列四种长度的铁管供选择， 较经济的(够用，又耗材最少)是( ) A ．4.6 m B ．4.8 m C ．5 m D ．5.2 m3. 已知x >0，y >0，lg2x ＋lg8y ＝lg2，则1x ＋1y 的最小值是________.4. 已知x >0，y >0，x ＋2y ＋2xy ＝8，则x ＋2y 的最小值是________.5. 已知x>0，y>0，且2x ＋1y ＝1，若x ＋2y>m 2＋2m 恒成立，则实数m 的取值范围是____.6. 若实数x ，y 满足x 2＋y 2＋xy ＝1，则x ＋y 的最大值为________．7. 已知c 是椭圆x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的半焦距，则b ＋ca 的取值范围是________.8. 已知正项等比数列{an}满足：a 7＝a 6＋2a 5，若存在两项am ，an 使得aman ＝4a 1，则1m ＋4n 的最小值为__________.9. 设正实数x ，y ，z 满足x 2－3xy ＋4y 2－z ＝0，则当xy z 取得最大值时，2x ＋1y －2z 的最大值为____________10. 求函数y ＝x 2＋7x ＋10x ＋1(x >－1)的最小值__________.11. 若实数,,,m n x y 满足2222,m n a x y b+=+=()a b ≠，则m x n y +的最大值是__________.12. 已知函数f (x )＝x 2＋ax ＋11x ＋1(a ∈R )，若对于任意x ∈N *，f (x )≥3恒成立，则a 的取值范围是________.13. 已知两正数x ，y 满足x ＋y ＝1，则z =11()()x y xy++的最小值为 ．14. 为了竖一块广告牌，要制造三角形支架.三角形支架如图，要求∠ACB=60°，BC长度大于1米，且AC比AB长0.5米.为了广告牌稳固，要求AC的长度越短越好，求AC最短为多少米？且当AC最短时，BC长度为多少米？15. 如图所示，校园内计划修建一个矩形花坛并在花坛内装置两个相同的喷水器。
高三数学第二轮复习专题3不等式专题3 不等式江苏省震泽中学 王利平一、填空题例1 已知集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，1，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫a 2，2a ，其中a ∈R.定义A ×B ＝{x |x ＝x 1＋x 2，x 1∈A ，x 2∈B }，若集合A ×B 中的最大元素为2a ＋1，则a 的取值范围是________． 解析 A ×B ＝{a 2,2a ，a 2＋1,2a ＋1}．由题意，得2a ＋1＞a 2＋1，解得0＜a ＜2. 答案 (0,2)例2 ．设123log2,ln 2,5a b c -===则c b a ,,三者的大小关系解析 a=3log 2=21log 3, b=In2=21log e,而22log3log 1e >>,所以a<b, c=125-=5,而2252log 4log 3>=>,所以c<a,综上c<a<b.答案c a b <<例3 ．对于问题：“已知关于x 的不等式ax 2＋bx ＋c ＞0的解集为(－1,2)，解关于x 的不等式ax 2－bx ＋c ＞0”．给出如下一种解法：解 由ax 2＋bx ＋c ＞0的解集为(－1,2)，得a (－x )2＋b (－x )＋c ＞0的解集为(－2,1)， 即关于x 的不等式ax 2－bx ＋c ＞0的解集为(－2,1)．参考上述解法，若关于x 的不等式kx ＋a＋x ＋b x ＋c ＜0的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－1，－13∪⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12，1，则关于x 的不等式kxax ＋1＋bx ＋1cx ＋1＜0的解集为________．解析 不等式kx ax ＋1＋bx ＋1cx ＋1＜0可化为k1x＋a ＋1x ＋b 1x ＋c＜0，所以有1x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－1，－13∪⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12，1， 即x ∈(－3，－1)∪(1,2)，从而不等式kx ax ＋1＋bx ＋1cx ＋1＜0的解集为(－3，－1)∪(1,2)． 答案 (－3，－1)∪(1,2) 例4 ．设不等式组x 1x-2y+30y x ≥⎧⎪≥⎨⎪≥⎩所表示的平面区域是1Ω,平面区域是2Ω与1Ω关于直线3490x y --=对称,对于1Ω中的任意一点A 与2Ω中的任意一点B, ||AB 的最小值等于解析 由题意知，所求的||AB 的最小值，即为区域1Ω中的点到直线3490x y --=的距离的最小值的两倍，画出已知不等式表示的平面区域，如图所示，可看出点（1，1）到直线3490x y --=的距离最小，故||AB 的最小值为|31419|245⨯-⨯-⨯=。
三次不等式公式定义：a<b<c或者a>b>c其中a、b和c是三个实数。
性质：1、对于任何三个实数a、b和c，以下三个命题是等价的：a<b<ca<c∧c<bb>a∧b>c2、对于任何三个实数a、b和c，以下三个命题是等价的：a>b>ca>c∧c>bb<a∧b<c3、对于任何三个实数a、b和c，如果a<b，那么必有a+c<b+c，如果b<c，那么必有a+b<a+c。
4、对于任何三个实数a、b和c，如果a>b，那么必有a+c>b+c，如果b>c，那么必有a+b>a+c。
5、如果 a、b 和 c 是三个非负实数，那么a^2 + b^2 + c^2 ≥ ab + ac + bc。
应用：1、三角函数的不等式：对于所有的实数某，有 -1 ≤ sin 某≤ 1 和 -1 ≤ cos 某≤ 1。
2、勾股定理的不等式形式：对于所有的三角形，有a^2+b^2≥c^2，其中a、b和c分别是三角形的三边。
3、平均数不等式：对于所有的非负实数 a1、a2、..、an，有(a1 +a2 + ... + an)/n ≥ (a1a2...an)^(1/n)。
4、柯西-施瓦茨不等式：对于所有的实向量某和y，有，某·y，≤，某，，y，其中某·y是向量某和y的内积，某，和，y，分别是向量某和y的模长。
5、熵不等式：对于所有的概率分布p和q，有熵H(p)≤H(q)+D(p，q)，其中H(p)和H(q)分别是分布p和q的熵，D(p，q)是分布p相对于分布q的KL散度。
以上是三次不等式公式的定义、性质和应用的简要介绍。
作为一种基本的数学工具，三次不等式公式在各类问题中都有重要的地位和作用。
对于学习数学的人来说，掌握三次不等式公式的应用将有助于他们更好地理解数学和应用数学知识。
