随机过程--剩余寿命与年龄的极限分布

随机过程的极限定理随机过程是对随机现象进行数学建模的工具，它在概率论与统计学中扮演着重要的角色。

随机过程的极限定理是指当随机过程中的一些条件满足时，该随机过程在某种意义下趋于某个确定的极限。

1. 简介随机过程是一组随机变量的集合，它与时间或其它参数有关。

在随机过程中，每一个随机变量代表了随机现象在特定时刻的取值。

随机过程可以是离散的或连续的，在不同的时间段内呈现出不同的性质。

2. 极限定理的定义随机过程的极限定理描述了当随机过程被无限次重复时，其统计特征会趋于某个确定的极限。

极限定理分为强大数定律和中心极限定理两类。

2.1 强大数定律强大数定律是指当随机变量的个数趋于无穷大时，它们的均值会收敛至某个确定的常数。

强大数定律是随机过程的一种极限定理，它揭示了重复试验的结果与试验次数的关系。

2.2 中心极限定理中心极限定理是指当随机变量的个数趋于无穷大时，它们的和的分布会趋于正态分布。

中心极限定理是随机过程的另一种极限定理，它描述了随机现象在大样本条件下的行为。

3. 应用举例随机过程的极限定理在实际问题中具有广泛的应用。

以下是一些典型的应用举例：3.1 泊松过程的极限定理泊松过程是一种常见的随机过程，它用于描述单位时间内事件发生的次数。

泊松过程的极限定理揭示了当单位时间内事件发生的次数趋于无穷大时，事件发生的时间间隔服从指数分布。

3.2 马尔可夫链的极限定理马尔可夫链是一类具有无后效性的随机过程，它在模拟复杂的随机现象方面具有重要的应用。

马尔可夫链的极限定理描述了当一步一步地进行随机转移时，随机过程会逐渐收敛于一个稳定的分布。

4. 总结随机过程的极限定理是概率论与统计学中的重要理论基础，它揭示了随机现象在无限重复试验中的行为规律。

通过强大数定律和中心极限定理，我们可以更好地理解和分析随机过程的性质，为实际问题的建模与分析提供有力支持。

总之，随机过程的极限定理为我们研究随机现象提供了有效的方法和工具，它在概率论与统计学领域具有重要的理论和实践意义。

一、1.1设二维随机变量(,)的联合概率密度函数为：试求:在时,求。

解：当时，＝＝1.2 设离散型随机变量X服从几何分布：试求的特征函数，并以此求其期望与方差。

解：所以：2.1 袋中红球，每隔单位时间从袋中有一个白球，两个任取一球后放回，对每 对应随机变量一个确定的t⎪⎩⎪⎨⎧=时取得白球如果对时取得红球如果对t e t tt X t 3)(.维分布函数族试求这个随机过程的一2.2 设随机过程，其中是常数，与是相互独立的随机变量，服从区间上的均匀分布，服从瑞利分布，其概率密度为试证明为宽平稳过程。

解：（1）与无关（2），所以（3）只与时间间隔有关，所以为宽平稳过程。

2.3是随机变量，且，其中设随机过程U t U t X 2cos )(=求：，.5)(5)(==U D U E.321）方差函数）协方差函数；（）均值函数；（（2.4是其中，设有两个随机过程U Ut t Y Ut t X ,)()(32==.5)(=U D 随机变量，且数。

试求它们的互协方差函2.5，试求随机过程是两个随机变量设B At t X B A 3)(,,+=的均值),(+∞-∞=∈T t 相互独若函数和自相关函数B A ,.),()(),2,0(~),4,1(~,21t t R t m U B N A X X 及则且立为多少？3.1一队学生顺次等候体检。

设每人体检所需的时间服从均值为2分钟的指数分布并且与其他人所需时间相互独立，则1小时内平均有多少学生接受过体检？在这1小时内最多有40名学生接受过体检的概率是多少（设学生非常多，医生不会空闲）解：令()N t 表示(0,)t 时间内的体检人数，则()N t 为参数为30的poisson 过程。

以小时为单位。

则((1))30E N =。

40300(30)((1)40)!k k P N e k -=≤=∑。

3.2在某公共汽车起点站有两路公共汽车。

乘客乘坐1,2路公共汽车的强度分别为1λ，2λ，当1路公共汽车有1N 人乘坐后出发；2路公共汽车在有2N 人乘坐后出发。

第一章 随机过程的基本概念一、随机过程的定义例1：医院登记新生儿性别，0表示男，1表示女，X n 表示第n 次登记的数字，得到一个序列X 1 ， X 2 ， ···，记为{X n ，n=1,2, ···}，则X n 是随机变量，而{X n ，n=1,2, ···}是随机过程。

例2：在地震预报中，若每半年统计一次发生在某区域的地震的最大震级。

令X n 表示第n 次统计所得的值，则X n 是随机变量。

为了预测该区域未来地震的强度，我们就要研究随机过程{X n ，n=1,2, ···}的统计规律性。

例3：一个醉汉在路上行走，以概率p 前进一步，以概率1-p 后退一步（假设步长相同）。

以X(t)记他t 时刻在路上的位置，则{X(t), t ≥0}就是（直线上的）随机游动。

例4：乘客到火车站买票，当所有售票窗口都在忙碌时，来到的乘客就要排队等候。

乘客的到来和每个乘客所需的服务时间都是随机的，所以如果用X(t)表示t 时刻的队长，用Y(t)表示t 时刻到来的顾客所需等待的时间，则{X(t), t ∈T}和{Y(t), t ∈T}都是随机过程。

定义：设给定参数集合T ，若对每个t ∈T, X(t)是概率空间),,(P ℑΩ上的随机变量，则称{X(t), t ∈T}为随机过程，其中T 为指标集或参数集。

E X t →Ω:)(ω，E 称为状态空间，即X(t)的所有可能状态构成的集合。

例1：E 为{0,1} 例2：E 为[0, 10]例3：E 为},2,2,1,1,0{ -- 例4：E 都为),0[∞+注：（1）根据状态空间E 的不同，过程可分为连续状态和离散状态，例1，例3为离散状态，其他为连续状态。

（2）参数集T 通常代表时间，当T 取R, R +, [a,b]时，称{X(t), t ∈T}为连续参数的随机过程；当T 取Z, Z +时，称{X(t), t ∈T}为离散参数的随机过程。

复旦大学博士学位论文随机过程样本轨道的一些极限定理姓名：***申请学位级别：博士专业：概率论与数理统计指导教师：***2001.4.1摘要ｒ《Ｄ口８《‘／知＂２－ｌｊ、‘也是概率统计学科中极为重要的理论基础，随研究中的最重要的热门方向之一．Ｌ∈ｖ，连续挟定理和不可微模定理描述了Ｗｉｅｎｅｒ过程样本轨道精确的局部性质，ＣｓＳｒ９６．Ｒ∈ｖ∈ｓｚ建立了Ｗｉｅｎｅｒ过程样本轨道精确的整体性质（最大振动模等）．这些基本结果出现在２０世纪７０年代，都已被收录在ＣｓＳｒｇ／ｊ和Ｒｄｖ｛ｓｚ的著名的专著＜＜ＳｔｒｏｎｇＡｐｐｒｏｘｉｍａｔｉｏｎｓｉｎＰｒｏｂａｂｉｌｉｔｙａｎｄＳｔａｔｉｓｔｉｃｓ＞＞（１９８１）一书中．２０世纪８０年代后期，一些学者在将上述理论进一步完善的同时开始研究其它类型的Ｇａｕｓｓ过程的样本轨道的上述性质，其中的主要的成果都已被收录在林正炎和陆传荣的专著《强极限定理》（１９９２）及林正炎，陆传荣和张立新的专著《商斯过程的样本轨道性质》（２００１）中．在上述提及的各专著中，人们主要研究的是随机过程轨遭的上极限性质和下板狠性质，但相应的泛函型的极限性质以及与之相关的分形性质都因其难度大而较少被研究．泛函型的极限结果往往蕴涵了经典的“ｖ，连续模定理，最大撮动模定理等，因此这种类型的极限性质能更为精细地刻触随机过程的样本轨道性质．与之相关的分形性质除了更为精细的刻划随机过程的样本轨道性质外，同时能将极限性质与分形性质联系起来．因此对这些性质的研究都是非常有意义的．，…。

最近几年来，这些方面的研究有了一些新的进展，但一直来只限于Ｗｉｅｎｅｒ过程，本文的目的是深入地研究与Ｗｉｅｎｅｒ过程相关的其它若于类重要的量囱。

过程榉本轨遭的～些经典而精细的极限性质，致力于研究学者们普遍认为具有较大难度的泛函型极限性质及相关的分形性质．值得指出的是尽管我们研究的是特殊的过程靠事实上在第四章第二节中研究的是一般的Ｇａｕｓｓ过程）ｊ但其中的某些方法可以应用于研究一般的Ｇａｕｓｓ过程．全文分为五章．侄不同的章节用不同的方法讨论各种随机过程轨道的极限性质．厂、’’第一章．研究布朗局部时过程增量的泛函型极限性凰（周知，布朗局部时过程是非Ｇａｕｓｓ的，并且其增量是不平稳的不独立的，因此难以建立精细的关于增量的大偏差不等式，本章通过利用著名的布朗局部时过程的Ｌ∈ｖｙ表示定理解决了这些难点，得到了布阙局部时过程增量的一个精细的大偏差不等式，并利用此不等式得到了布朗局部时过程的泛函连续模和瑟函大增量定理．借助于局部时过程的强逼近，也得到了关于随机游动的泛函大增量定理．所得的结果加强了Ｈａｗｋｅｓ（１９７１）和Ｃｓｄｋｉ等（１９８３Ｊ的结果夕４第二章．研究坌夔壶朗运勤和ｍ重煎皇墅塑至曼坌的极限性蹿龟效布朗运动，ｍ重布朗运动积分以及第四章中要研究的Ｏｒｕｓｔｅｉｎ．Ｕｈｌｅｎｂｅｃｋ过程都是具有重要的物理背景的Ｇａｕｓｓ过程，一直来倍受国内外学者的关注，研究成果层出不穷．分敬布朗运动是布朗运动前推广，它也能表示成关于布朗运动的随机积分．ｍ重布朗运动积分是关于布朗运动的ｍ重的随机积分．第二章第一节，研究分数布朗运动泛函型对效律的分形性质．找到了一个集合和分致布朗运动的蓖函型对效律成立的时间点集相交非空的临界值，抬出这一临界值是由这～集合的ｐａｃｋｉｎｇ维数所决定的．前人只对Ｗｉｅｎｅｒ过程取得一些进展．本节中得到了如下关于分数布朗运动的一个不等式：／——＋—，．．．．，．．．．．．．．．．．．．一Ｐｌｓｕｐｌ（ｘ０＋ｈｚ）一ｘ（ｔ））Ａ／２ｈ２。

生存分布理论（寿险精算课程I ）学习重点：掌握生存函数及其相互关系、了解三种常用非整数年存活函数估计方法和几个死亡时间的解析分布、掌握生命表基本函数及其相互关系“如果算命先生能算出人的寿命，那么还要精算师干什么？”“既然‘天有不测风云、人有旦夕祸福’，那么精算师能算出人的寿命吗？” “算一个人的寿命‘不可能’，算一群人的寿命‘可能’”人寿保险是以人的生命为保险标的，以被保险人在指定时期的生存或死亡作为保险金给付条件。

因此，被保险人的寿命分布状况，也就是被保险人能存活多久，他在各年龄段上的死亡率有多大的是保险人所关心的问题。

寿险公司的承保对象是数以万计的保险人，如此众多的人的生存（死亡）率，必定存在着某种统计规律，这就是所谓“大数法则”。

寿险精算就是要利用这种大数法则，从概率论和数理统计的角度来研究和揭示这些统计规律性，用以解决寿险精算中的实际问题。

一、寿命的分布函数、生存函数和密度函数 1、寿命的分布函数一个人的寿命是从出生到死亡的时间长度，它是无法事先确定的，这在概率论中称为随机变量，记为)0(>X X 。

人的寿命总是有限的，假设人的寿命极限为ω，则ω<<X 0。

寿命随机变量X 的分布函数为：)()(x X P x F r ≤=，0≥x)(x F 在统计中称为累积分布函数，它的概率意义是随机变量X 小于等于一个给定值x 的概率。

在此，X 表示一个0岁的人将来的寿命，)(x F 可以理解为0岁的人在x 之前死亡的概率。

显然有：0)0(=F ，1)(=ωF 。

2、寿命的生存函数寿命随机变量X 的生存函数为：)()(x X P x S r >=，0≥x在此，X 表示一个0岁的人将来的寿命，)(x S 可以理解为0岁的人能活过x 岁的概率。

或者说一个人寿命大于x 岁的概率。

生存函数与分布函数具有如下补函数关系：)(1)(1)()(x F x X P x X P x S r r -=≤-=>= 显然有：1)0(=S ，0)(=ωS 。

第三节 更新过程的极限性质和更新定理一、更新过程的极限性质 （1）.()1, a e N t t t μ−−→→∞，其中()n E X μ=。

证明与泊松过程类似。

（2）{()}1P N t <∞=证明与泊松过程类似。

例：假设某人有一个收音机。

收音机只需一个电池就可以工作。

假设电池的使用寿命服从区间（30，60）上的均匀分布。

(1) 当一个电池用完了，立即更换新的电池。

请问大约每隔多少个小时此人需要更换电池。

解：由性质（1）知，此人更换电池的频率是()11lim45t N t t μ→∞== 大约每隔45个小时此人需要更换电池。

(2)若电池用完后，此人立刻去买新电池。

买电池的时间服从（0,1）上的均匀分布，大约每隔多少个小时此人更换新电池。

μ=+450.5例：假设某银行的ATM机的顾客来到服从参数为λ泊松分布，且当ATM 正在被使用时，到来的新顾客马上离去。

假设每位顾客使用ATM的时间的分布为G, 求（1）ATM被使用的速率（2）到来的顾客真正使用ATM的比例解：假设在时刻0，一位顾客刚刚开始使用ATM机。

由上例知，ATM 被使用的时间间隔的数学期望为1G μμλ=+ATM 被使用的速率为11Gλμλμ=+（3） 到来的顾客真正使用ATM 的比例1/11G Gλλλμλμ=++二、Feller 初等更新定理：()1M t t μ→， 若μ=∞，则()0M t t→。

证明：首先假设μ<∞，显然()1N t T t +>两边取期望，利用wald 等式()112()1()()[()1]N t N t E T E X X X E N t μ++=+++=+有[()1]M t t μ+>即()11M t t tμ>- 从而推出()1liminfx M t t μ→∞≥。

另一方面，固定常数M ，令,,n n c nn X X M X M X M≤⎧=⎨>⎩以,1,2,3...cnX n =确定一个新的更新过程 1ncc ni i T X ==∑()sup{:}c c n N t n T t =≤由于c n X M ≤，因此()1cc N t T t M +≤+。

习题一1．设随机变量X 服从几何分布，即：(),0,1,2,...k P X k pq k ===。

求X 的特征函数、EX 及DX 。

其中01,1p q p <<=-是已知参数。

2．（1）求参数为（p,b ）的Γ分布的特征函数，其概率密度函数为（2）求其期望和方差；（3）证明对具有相同的参数b 的Γ分布，关于参数p 具有可加性。

3．设X 是一随机变量，F （x ）是其分布函数，且是严格单调的，求以下随机变量的特征函数。

（1）(),(0,)Y aF X b a b =+≠是常数； （2）Z=ln F()X ，并求()k E Z （k 为自然数）。

4．设12,,...,n X X X 相互独立，具有相同的几何分布，试求 的分布。

5．试证函数 为一特征函数，并求它所对应的随机变量的分布。

6．试证函数 为一特征函数，并求它所对应的随机变量的分布。

7．设12,,...,n X X X 相互独立同服从正态分布2(,)N a σ，试求n 维随机向量12,,...,n X X X 的分布，并求出其均值向量和协方差矩阵，再求 的概率密度函数。

8．设X 、Y 相互独立，且（1）分别具有参数为(m, p)及(n, p)的二项分布；（2）分别服从参数为12(,),(,)p b p b 的Γ分布。

求X+Y 的分布。

9．已知随机向量（X, Y ）的概率密度函数为试求其特征函数。

10．已知四维随机向量X ,X ,X ,X 1234（）服从正态分布，均值向量为0，协方差矩阵为B σ⨯kl 44=()，求(X ,X ,X ,X E 1234)。

11．设X 1，X 2 和X 3相互独立，且都服从(0,1)N ，试求随机变量112Y X X =+和213Y X X =+组成的随机向量(Y 1, Y 2)的特征函数。

12．设X 1，X 2 和X 3相互独立，且都服从2(0,)N σ，试求：1,0()0,0()p p bxb x e x p x p x --⎧>⎪Γ⎨⎪≤⎩=0,0b p >>1nkk X =∑(1)()(1)jt jnt jt e e f t n e -=-21()1f t t=+11ni i X X n ==∑221[1()],1,1(,)40,xy x y x y p x y ⎧+--<<⎪=⎨⎪⎩其他（1）随机向量(X 1, X 2, X 3)的特征函数；（2）设112123123,,S X S X X S X X X ==+=++，求随机向量(S 1, S 2, S 3)的特征函数；（3）121Y X X =-和232Y X X =-组成的随机向量(Y 1, Y 2)的特征函数。

第三节 更新过程的极限性质和更新定理一、更新过程的极限性质 （1）.()1, a e N t t t μ−−→→∞，其中()n E X μ=。

证明与泊松过程类似。

（2）{()}1P N t <∞=证明与泊松过程类似。

例：假设某人有一个收音机。

收音机只需一个电池就可以工作。

假设电池的使用寿命服从区间（30，60）上的均匀分布。

(1) 当一个电池用完了，立即更换新的电池。

请问大约每隔多少个小时此人需要更换电池。

解：由性质（1）知，此人更换电池的频率是()11lim45t N t t μ→∞== 大约每隔45个小时此人需要更换电池。

(2)若电池用完后，此人立刻去买新电池。

买电池的时间服从（0,1）上的均匀分布，大约每隔多少个小时此人更换新电池。

μ=+450.5例：假设某银行的ATM机的顾客来到服从参数为λ泊松分布，且当ATM 正在被使用时，到来的新顾客马上离去。

假设每位顾客使用ATM的时间的分布为G, 求（1）ATM被使用的速率（2）到来的顾客真正使用ATM的比例解：假设在时刻0，一位顾客刚刚开始使用ATM机。

由上例知，ATM 被使用的时间间隔的数学期望为1G μμλ=+ATM 被使用的速率为11Gλμλμ=+（3） 到来的顾客真正使用ATM 的比例1/11G Gλλλμλμ=++二、Feller 初等更新定理：()1M t t μ→， 若μ=∞，则()0M t t→。

证明：首先假设μ<∞，显然()1N t T t +>两边取期望，利用wald 等式()112()1()()[()1]N t N t E T E X X X E N t μ++=+++=+有[()1]M t t μ+>即()11M t t tμ>- 从而推出()1liminfx M t t μ→∞≥。

另一方面，固定常数M ，令,,n n c nn X X M X M X M≤⎧=⎨>⎩以,1,2,3...cnX n =确定一个新的更新过程 1ncc ni i T X ==∑()sup{:}c c n N t n T t =≤由于c n X M ≤，因此()1cc N t T t M +≤+。

一、1.1设二维随机变量(,)的联合概率密度函数为：试求:在时,求。

解：当时，＝＝1.2 设离散型随机变量X服从几何分布：试求的特征函数，并以此求其期望与方差。

解：所以：2.1 袋中红球，每隔单位时间从袋中有一个白球，两个任取一球后放回，对每 对应随机变量一个确定的t⎪⎩⎪⎨⎧=时取得白球如果对时取得红球如果对t e t tt X t 3)(.维分布函数族试求这个随机过程的一2.2 设随机过程，其中是常数，与是相互独立的随机变量，服从区间上的均匀分布，服从瑞利分布，其概率密度为试证明为宽平稳过程。

解：（1）与无关（2），所以（3）只与时间间隔有关，所以为宽平稳过程。

2.3是随机变量，且，其中设随机过程U t U t X 2cos )(=求：，.5)(5)(==U D U E.321）方差函数）协方差函数；（）均值函数；（（2.4是其中，设有两个随机过程U Ut t Y Ut t X ,)()(32==.5)(=U D 随机变量，且数。

试求它们的互协方差函2.5，试求随机过程是两个随机变量设B At t X B A 3)(,,+=的均值),(+∞-∞=∈T t 相互独若函数和自相关函数B A ,.),()(),2,0(~),4,1(~,21t t R t m U B N A X X 及则且立为多少？3.1一队学生顺次等候体检。

设每人体检所需的时间服从均值为2分钟的指数分布并且与其他人所需时间相互独立，则1小时内平均有多少学生接受过体检？在这1小时内最多有40名学生接受过体检的概率是多少（设学生非常多，医生不会空闲）解：令()N t 表示(0,)t 时间内的体检人数，则()N t 为参数为30的poisson 过程。

以小时为单位。

则((1))30E N =。

40300(30)((1)40)!k k P N e k -=≤=∑。

3.2在某公共汽车起点站有两路公共汽车。

乘客乘坐1,2路公共汽车的强度分别为1λ，2λ，当1路公共汽车有1N 人乘坐后出发；2路公共汽车在有2N 人乘坐后出发。