第九章 地下水向完整井的非稳定运动
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6水文地质学-地下水运动规律
H
rx
y x
M
0
x
承压水完整井公式
MHh
Q2.73K
lgRlgr
Q
2.73K
Ms lg R
r
k 0 .3Q 6 l6 g M R lg rs 0 .3Q 6 M l6 g R H lh g r
公式适用条件：缓变流动，Q－s 或△h2之间呈线性关系。△h2＝H2 －h2。
承压水完整井公式的应用 计算含水层的渗透系数k。Q、H、R、M、s、r由抽
水试验测出。 预测含水层的抽水量Q。k、H、R、M、s、r由设计
给出。
潜水完整井公式Q 1.36K 2H ss
lg R
r
承压水完整井公式 Q
2.73K
Ms lg R
r
0
Q
潜水井
承压井
s
Q－s 关系曲线
裘布依公式的若干讨论
不同深度的水头降均相同。 井附近的水力坡度不大于1/4。
为了简化问题，抽水时，采用流线倾角的正切 代替正弦，tgα≈sinα，α≤150。
a－实际流线。 b－简化流线。
裘布依公式推导
基于达西定律Q=kiω，推导
裘布依公式。
s
由于渗透系数k对于各向同 性均质体是一个定常数，因 h
r
R
P Hy
x
P[x，y]
裘布依公式推导假设简化条件
抽水前，含水层天然水力坡度为 零。
含水层为各向同性的均质体。 含水层底板为隔水层。 影响半径范围内，无渗入、无蒸
发，各过水断面上流量不变。 影响半径范围外，流量为零。 影响半径圆周上为定水头。 井内及其附近为二维流，即井内
《地下水动力学》复习要点
内容主要有：（1）渗流理论基础；（2）地下水向河渠的稳定运动；（3）地下水向完整井的稳定运动；（4）地下水向完整井的非稳定运动；（5）地下水向边界附近井的稳定和非稳定运动。
重点考核地下水运动的基本概念、基本原理和方法。
题目类型有名词解释、判断题、作图题和计算题等，其中计算题占试题总分数的65%。
《地下水动力学》复习要点第一章 渗流理论基础一、基本内容1、基本概念：多孔介质、贮水率、贮水系数（弹性给水度）、渗流、渗流速度及与实际速度关系、水头（位置水头、测压管水头）、水力坡度、渗透系数、渗透率、导水系数、各向异性介质、各向同性介质、均质与非均质、水流折射原理、流网、dupuit 假设、第一类边界条件、第二类边界条件等2、基本定律：达西定律及适用范围3、描述地下水运动的方程：渗流连续性方程、承压水运动的基本微分方程、潜水运动的基本微分方程、越流含水层地下水非稳定流运动方程4、定解条件（初始条件、边界条件），数值方法基本思想二、要求1、理解并掌握上述概念和理论2、用达西定律分析水头线的变化或根据流网分析水文地质条件变化；3、给定水文地质条件，能正确画出反映地下水运动特点的流网图；4、给定水文地质模型和水文地质条件，写出反映地下水运动的基本方程（给定假设条件，建立数学模型，包括初始条件、边界条件）第二章 河间地块地下水的稳定运动一、基本内容有入渗时河间地块潜水的稳定运动问题（水文地质模型、假设条件、数学模型、流网、任意过水断面流量、分水岭移动规律、水头线）、无入渗时潜水的稳定运动、承压水的稳定运动，水在承压—无压含水层中的运动，非均质含水层中水的运动问题。
二、学习要求根据给定问题的水文地质条件，用相关公式计算过水断面流量或水位。
三、常用公式 1、承压含水层（达西定律） l H H m m kq 21212++= x lH H H H 211--= 2、无入渗潜水含水层（达西定律）l h h h h k q 21212-+= x lh h h h 2122212-+= 3、有入渗时潜水 wx wl l h h k q +--=2122221 )(22122212x lx kw x l h h h h -+-+= 4、分水岭位置 l h h w k l a 222221--= 5、其它流动问题（水平层状含水层、非均质含水层、承压—无压含水层、厚度或水流厚度沿流向变化等）第三章 地下水向完整井的稳定运动一、 基本概念：完整井、不完整井、水井及周围水位（水头）、稳定井流条件（定水头边界、越流、入渗补给）、井损与水跃、影响半径与引用影响半径、叠加原理、均匀流及平面或剖面流网二、学习要求1、掌握地下水向承压水井和潜水井运动问题的假设条件、数学模型、平面或剖面流网特征2、利用有关公式计算抽水量、降深或利用抽水试验资料（已知降深或水位），求含水层参数（导水系数或渗透系数）3、应用叠加原理地下水向完整井群的稳定运动问题。
《地下水动力学》课程总结
应用
求水文地质参数
K、T、μ、μ*、B…
计算运动要素
Q、q、H、s、t….
模型识别
判断水文地质条件 如边界性质
1、介质（为描述介质特性提出的一些概念）
连续介质模型-典型单元体 渗透性：
渗透系数（K）、等效渗透系数 均质、非均质 各向同性、各向异性
2、渗流场
渗流特征 运动要素：实际流速、渗透流速、质点流速、单个孔隙
5、水文地质参数及获取方法
渗透系数K 入渗强度W 导水系数T=KM 弹性释水系数μ* 给水度μ 阻越流系数B 压力传导系数a =T/ μ*
配线法 直线图解法 水位恢复资料法
1、达西定律
dH Q = -KA
ds
dH v = -K
ds
适用条件：1<Re<10的层流
2、 Dupuit假定，Dupuit微分方程
Kz
∂ ∂z
s(r, H 0 ,t )
=
-μ
∂ ∂t
s(r, H 0 ,t )
方程解析解
s(r, z, t) Q
4 T
1
0
4
yJ 0
(
y
2
)[ 0
(
y)
n ( y)]dy
n 1
• 纽曼解的特点
5、地下水向不完整井的运动
• 不完整井流特点（三点）
• 地下水向不完整井的稳定运动
井底进水的承压水不完整井（空间汇点法）
井壁进水的承压水不完整井（空间汇线法）
∫ Q
s = 4πK(z2 - z1)
[z2
1
+
z1 (z - η）2 +r 2
1
]dη
(z + η）2 +r 2
求水文地质参数
K、T、μ、μ*、B…
计算运动要素
Q、q、H、s、t….
模型识别
判断水文地质条件 如边界性质
1、介质（为描述介质特性提出的一些概念）
连续介质模型-典型单元体 渗透性：
渗透系数（K）、等效渗透系数 均质、非均质 各向同性、各向异性
2、渗流场
渗流特征 运动要素：实际流速、渗透流速、质点流速、单个孔隙
5、水文地质参数及获取方法
渗透系数K 入渗强度W 导水系数T=KM 弹性释水系数μ* 给水度μ 阻越流系数B 压力传导系数a =T/ μ*
配线法 直线图解法 水位恢复资料法
1、达西定律
dH Q = -KA
ds
dH v = -K
ds
适用条件：1<Re<10的层流
2、 Dupuit假定，Dupuit微分方程
Kz
∂ ∂z
s(r, H 0 ,t )
=
-μ
∂ ∂t
s(r, H 0 ,t )
方程解析解
s(r, z, t) Q
4 T
1
0
4
yJ 0
(
y
2
)[ 0
(
y)
n ( y)]dy
n 1
• 纽曼解的特点
5、地下水向不完整井的运动
• 不完整井流特点（三点）
• 地下水向不完整井的稳定运动
井底进水的承压水不完整井（空间汇点法）
井壁进水的承压水不完整井（空间汇线法）
∫ Q
s = 4πK(z2 - z1)
[z2
1
+
z1 (z - η）2 +r 2
1
]dη
(z + η）2 +r 2
地下水向完整井的运动
一、承压水井的Dupuit 公式：
假设（水文地质概念模型）
(1)含水层为均质、各向同性，产状水平、厚度不变 （等厚），分布面积很大，可视为无限延伸； (2)抽水前地下水面是水平的，并视为稳定的；含水层 中的水流服从Darcy’s Law，并在水头下降的瞬间将水释 放出来，可忽略弱透水层的弹性释水； (3)完整井，定流量抽水，在距井一定距离上有圆形补 给边界，水位降落漏斗为圆域，半径为影响半径；经过 较长时间抽水，地下水运动出现稳定状态； (4)水流为平面径向流，流线为指向井轴的径向直线， 等水头面为以井为共轴的圆柱面，并和过水断面一致； 通过各过水断面的流量处处相等，并等于抽水井的流量。
K=25. 32m/d
Q=899. 48m/d
重点知识回顾
承压水井的稳定运动
1、假设（水文地质概念模型） 2、Dupuit公式：
3、Thiem公式：
4、水头分布 （降落曲线）方程：
重点知识回顾
潜水井的稳定运动
1、假设（水文地质概念模型） 2、Dupuit公式：
3、Thiem公式：
4、潜水位分布方程：
（3）注水井或补给井。当进行地下水人工补给有需要向井中 注水。另外在某些情况下，为求得含水层参数，也需要进行注 水试验。注水井的工作情况正好和抽水井相反。井水位最高， 周围水位逐ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ降低，成锥体状。地下水的运动为发散的径向流。 如作粗略的估算，只要把前面几节公式中的水位降深换成水位 升高，便适用于注水井。 对承压水注水井：
在供水和排水的实践中（eg:矿坑排水、建筑 物基坑排水、土壤的改良排水等），我们水文地 质工作者要提出取水、排水建筑物布局的水文地 质论证，同时还要预测井的涌水量和渗流区的水 头分布及其变化规律。
地下水向完整井的非稳定流运动
地下水向完整井的非稳定流运动研究有助 于深入了解地下水系统的动态变化，为地 下水资源的管理和保护提供科学依据。
它涉及到地下水在土壤、岩石等介质 中的流动规律，以及与地下水开采、 污染、自然流动等相关的实际问题。
研究目的和意义
研究目的
探讨地下水向完整井的非稳定流运动 规律，建立相应的数学模型，并开展 数值模拟和分析。
特点
完整井的边界条件简单，便于数学建模和数值模拟。在地下 水动力学中，完整井模型广泛应用于研究地下水向井的非稳 定流运动。
完整井的模型建立过程
01 确定研究区域和井的位置，明确研究目标。
02
根据实际地质和水文条件，选择合适的数学 模型和方程。
03
根据边界条件和初始条件，建立数学方程的 定解问题。
04
研究展望
需要进一步深入研究地下水向完整井 的非稳定流运动的机理和影响因素， 提高对其本质的认识。
需要加强地下水与地表水、土壤水等 水体的相互关系研究，以全面了解水 资源的循环和利用过程。
针对不同地区和不同条件的地下水系统，需 要开展更为细致和深入的实验和数值模拟研 究，以揭示其非稳定流运动的规律和特点。
07 结论与展望
研究结论
地下水向完整井的非稳定流运 动是一个复杂的过程，涉及到
多个物理和化学因素。
通过实验和数值模拟，我们发 现地下水位、渗透性、孔隙度 等因素对非稳定流运动有显著
影响。
在特定条件下，非稳定流运动 可能导致地下水污染或资源枯 竭等问题，需要引起重视。
针对不同地区和不同条件的地 下水系统，需要采取相应的管 理和保护措施，以保障地下水 资源的安全和可持续利用。
污染程度评估
评估地下水污染程度，了解污染物在地下水中的扩散和迁移情况。
供水水文地质整理
供水水文地质整理供水水文地质整理By Guo Xinzhang绪论1、地下水：埋藏在地表以下岩石空隙中的水称之为地下水。
2、与地表水相比地下水供水水源具有优势：P11）地下水在地层中渗透经过天然过滤，水质良好，一般不需净化处理2）地下水（特别是深层地下水）因有上部岩层作为天然保障，一般不易受到污染，卫生条件较好3）地下水水温较低，常年变化不大，特别适宜于冷却和空调用水4）地下水取水构筑物可适当地靠近用水户，输水管道较短，构筑物较简单，基建费用较低，占地面积也小5）水量、水质受气候影响较小，一般能保持较稳定的供水能力，因此在很多缺少地表水的地区（如干旱半干旱的山前地区、沙漠、岩溶山地），地下水常常是唯一的供水水源6）可以利用含水层调蓄多余的地表水，增加有效水资源总量，工业上还可以利用含水层的保温盒隔热效应，开展地面水的回灌循环，达到节能、储水、节水的目的3、我国总人口的75%引用地下水第一章地质基础知识一、地球的构造与形态1、地球赤道半径6378.16km，极半径6356.755km，两者相差约21.4km2、地球内圈特征：地壳（莫霍面）地幔（古登堡面）地核P33、外圈特征：大气圈、水圈、生物圈P44、地壳表面特征：最高：喜马拉雅山的珠穆朗玛峰，海拔8844.43m最深：太平洋的马里亚纳海沟，海平面以下11034m5、陆地地形：山地，丘陵，平原，高原，盆地，洼地P56、海底地形：大陆架，大陆坡，大陆基，海沟，岛弧，深海（大洋）盆地，洋中脊等7、地壳中的主要成分的硅、铝的氧化物二、矿物与岩石1、矿物的主要物理性质：晶形、颜色、光泽、条痕、硬度、解理和断口、相对密度等详见P8表格2、岩石的分类：P9岩石是在各种地质条件下由一种或几种矿物组成的集合体。
1）岩浆岩：P9岩浆沿着地壳岩石的裂隙上升到地壳范围内或喷出地表，热量逐渐散失，最后冷却凝固而成的岩石就叫岩浆岩，又称火成岩。
岩浆上升侵入周围岩层中所形成的岩石称为侵入岩，侵入岩又可分为深成岩和浅成岩两大类。
3地下水向完整井的稳定运动
Q r2 H 2 H1 s1 s2 ln 2KM r1
地下水动力学
安徽理工大学 地球与环境学院 水资源与规划系
Ch3 地下水向完整井的稳定运动
6、承压水头分布方程（降落曲线方程）：
Q R ln 联立求解方程： H 0 hw 2KM rw
安徽理工大学 地球与环境学院 水资源与规划系
Ch3 地下水向完整井的稳定运动
三、Dupuit公式的推广
1、巨厚含水层中的潜水井
H 0 hw
2 2
Q R ln K rw
Q R H 0 hw ln K ( H 0 hw ) rw
当井中降深H0-hw＜＜H0时，H0=hw，H0+hw=2H0，于是得近似式：
安徽理工大学 地球与环境学院 水资源与规划系
Ch3 地下水向完整井的稳定运动
3、潜水井Dupuit公式的推导过程
d dh2 r 0 dr dr h rR H 0 h r r hw
w
① 积分：
dh r C1 dr
2
② 通过任一断面的流量相等，并等于 抽水井的流量Q，由Darcy定律：
地下水动力学
安徽理工大学 地球与环境学院 水资源与规划系
Ch3 地下水向完整井的稳定运动
4、有一个观测孔时：
距抽水井中心r处有一个观测孔，水位为H，在rw和r两断面间积分得：
Q r H hw sw s ln 2KM rw
5、有两个观测孔时（承压水井的Thiem公式）：
有两个观测孔距抽水井中心的距离分别为r1和r2，水位分别为H1和H2， 在r1和r2两断面间积分得：
Q 1 dr 2KM r H0 R1 Q hw dH 2KM rw r dr Q R H 0 hw ln 2KM rw sw Q R ln 2KM rw
地下水向完整井的非稳定运动PPT文档共38页
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❖ 知就是财富 ❖ 丰富你的人生
71、既然我已经踏上这条道路，那么，任何东西都不应妨碍我沿着这条路走下去。——康德 72、家庭成为快乐的种子在外也不致成为障碍物但在旅行之际却是夜间的伴侣。——西塞罗 73、坚持意志伟大的事业需要始终不渝的精神。——伏尔泰 74、路漫漫其修道远，吾将上下而求索。——屈原 75、内外相应，言行相称。——韩非
地下水向完整井的非稳定运动
16、人民应该为法律而战斗，就像为 了城墙 而战斗 一样。 ——赫 拉克利 特 17、人类对于不公正的行为加以指责 ，并非 因为他 们愿意 做出这 种行为 ，而是 惟恐自 己会成 为这种 行为的 牺牲者 。—— 柏拉图 18、制定法律法令，就是为了不让强 者做什 么事都 横行霸 道。— —奥维 德 19、法律是社会的习惯和思想的结晶 。—— 托·伍·威尔逊 20、人们嘴上挂着的法律，其真实含 义是财 富。— —爱献 生
地下水动力学
地下水动力学地下水动力学主要是研究地下水在孔隙含水层，裂隙含水层及喀斯特含水层中运动规律的科学。
地下水动力学着重研究地下水向井的稳定运动和非稳定运动理论及地下水在含水层中的稳定运动和非稳定运动。
地下水运动特征及规律的研究是以数学，物理学及水力学等学科的成就为基础，应用数学分析和模拟试验等一系列的研究方法进行的。
地下水运动的实际速度总是大于其渗流速度渗透：地下水在空隙介质的空隙中运动，空隙介质是指由固体骨架和相互沟通的孔隙或裂隙（包括溶蚀裂隙等）两部分组成的整体。
地下水受重力作用在空隙介质中的运动称为渗透。
渗流：不考虑骨架，认为空隙及骨架所占的空间全都可为水流所充满；不考虑地下水实际运动途径的迂回曲折，运动方向多变，只考虑运动的总体方向，把这种概化了的假想水流称为渗流。
渗流量：单位时间通过过水断面的水量渗流速度：通过单位过水断面的流量流速水头：由液体的运动速度产生的水头高度。
研究地下水运动时，可略而不计水力坡度：J=—dLdH 渗流通过该点单位渗流途径长度上的水头损失。
（随着渗流途径增加，水头值减小，则水头值增量dH 沿渗流运动方向为负值）流线：在给定时刻，于渗流场中绘制的一些曲线，曲线上各点处的渗流速度向量均与该点处的曲线相切等水头线：渗流场中水头值相等的各点联成的面称为等水头面，在剖面上表现为等水头线 流网：在渗流场中，由流线和等水头线组成的网格称为流网一维流：在流线相互平行的渗流场中，可选择坐标系中任一坐标轴与渗流速度向量一致，此种情形下的渗流为一维流；二维流：各点的速度向量均与某一平面平行；三维流：又称空间流，各点的速度向量相互之间不平行渗透系数：表征含水介质透水性能的重要水文参数，是与空隙介质的结构特点（n 和d ）及水的性质（γ和μ）相关的量K=n 322d μγ 渗透率：反应空隙介质本身的透水性能322nd渗透主方向：通常将渗透性能最强的方向与渗透性能最弱的方向称为渗透的主方向均质各向异性运动特征：在均质各向异性介质中任一点的流线相对于等水头线的法向要产生偏转，且偏向主渗透系数大的主方向。
地下水动力学填空
习题1-11.地下水动力学是研究地下水在孔隙岩石、裂隙岩石和裂隙-岩溶岩石中运动规律的科学。
通常把具有连通性的含水岩石称为多孔介质，而其中的岩石颗粒称为骨架。
多孔介质的特点是多相性、孔隙性、连通性和压缩性。
2.地下水在多孔介质中存在的主要形式有吸着水、薄膜水、毛管水和重力水，而地下水动力学主要研究重力水的运动规律。
3.在多孔介质中，不连通的或一端封闭的孔隙对地下水运动来说是无效的，但对贮水来说却是有效的。
4.假想水流的密度、粘滞性、运动时在含水层中所受阻力以及流量和水头都与真实水流相通，假想水流充满整个含水层空间。
5.地下水过水断面包括空隙和岩石颗粒所占据的面积。
渗透速度是过水断面上的平均速度，而实际速度是空隙面积上的平均速度。
6.在渗流中，水头一般是指测压水头，不同数值的等水头面（线）永远不会相交。
7.在渗流场中，把大小等于水头梯度值，方向沿着等水头面的法线并指向水头降低方向的矢量，称为水力坡度。
水力坡度在空间直角坐标系中的3个分量分别为zH y H x H ∂∂-∂∂-∂∂-和、。
8.渗流运动要素包括流量Q 、渗流速度v 、压强p 和水头H 等。
9.根据地下水渗流速度矢量方向与空间坐标轴的关系，将地下水运动分为一维、二维和三维运动。
习题2-21.粘滞力占优势时液体运动服从达西定律，随着运动速度加快惯性力相应增大，当惯性力占优势时，达西定律就不适用了。
2.达西定律反应了渗流场中的能量守恒与转换。
3.渗流率只取决于多孔介质的性质，而与液体的性质无关，渗流率的单位为cm 2或da 。
4.当液体的动力粘滞系数为s pa 103-∙，压强差为101325pa 的情况下，通过面积为cm 21，长度为1cm ，岩样的流量为s 1cm 3时，岩样的渗流率为1da 。
1da 等于109-8697.9⨯cm 2。
5.渗流率是表征岩石渗透性能的参数，而渗透系数是表征岩层透水能力的参数，影响渗透系数大小的主要是岩层颗粒大小以及水的物理性质，随着地下水温度的升高，渗透系数增大。
地下水向完整井的稳定运动
地下水动力学习题主讲：肖长来教授卞建民博士3 地下水向完整井的稳定运动要点：本章是全书的重点之一，主要介绍地下水向完整井的稳定运动理论及相应计算公式，包括裘布依（Dupuit）公式、蒂姆（Thiem）公式、非线性层流井流公式、井流量与降深间的随机关系式以及均匀流中的井流公式。
通过本章习题的练习，要求学生在掌握稳定井流理论的基础上，能熟练利用计算公式确定相应条件下的水井涌水量（或水头）和含水层的渗透系数（或导水系数），提高分析和解决实际问题的能力。
表3—1给出了用稳定流抽水试验资料求渗透系数的公式。
3.1 井流习题3-l一、填空题1．根据揭露含水层的程度和进水条件，抽水井可分为和两类。
2．承压水井和潜水井是根据来划分的。
3．从井中抽水时，水位降深在处最大，而在处最小。
4．对于潜水井，抽出的水量主要来自含水层的疏干，它等于。
而对于承压水井，抽出的水量则主要来自含水层的弹性释水，它等于。
5．对承压完整井来说，水位降深s是的函数。
而对承压不完整井，井流附近的水位降深s是的函数。
6．对潜水井来说，测压管进水口处的水头测压管所在位置的潜水位。
7．填砾的承压完整抽水井，其井管外面的测压水头要井管里面的测压水头。
8. 有效井半径是指。
二、判断题9．在下有过滤器的承压含水层中抽水时，井壁内外水位不同的主要原因是由于存在井损的缘故。
（）10．凡是存在井损的抽水井也就必定存在水跃。
（）11．在无限含水层中，当含水层的导水系数相同时，开采同样多的水在承压含水层中形成的降落漏斗体积要比潜水含水层大。
（）12．抽水井附近渗透性的增大会导致井中及其附近的水位降深也随之增大。
（）13．在过滤器周围填砾的抽水井中，其水位降深要小于相同条件下未填砾抽水井的水位降深。
（）三、分析题14．在潜水流中某一断面的不同深度设置三根测压管（图3-1）。
管a的进水口位于潜水面附近，管b的进水口位于含水层中部，管c则位于隔水底板附近。
试问各测压管水位是否相同？若不同，哪根测压管水位最高，哪根最低？为什么？图3—13.2 含水层中的完整井流例题3-1：在承压含水层中进行抽水试验。
完整井附近地下水非稳定运动的一种通解
水 井是 最 常见 的集水 建筑 物 。在地 下水 开发 利 用 中 ，无论 是水 井 的结构 设计 和合 理布 局 ，还 是 含 水 层水 文地 质参 数 的确定 等方 面 ，都 需要 分析 在不 同的开采 条 件下水 井 附近含水 层 中地 下水运 动 的状
况 ，即需 要进 行地 下水 动力 学计 算 。一 般来 说 ，定
出现 。实 际上很 多 生 产 井 的 流量 是 季 节 性 变化 的 。
定 流量 抽水 引起 的水 井 附近地 下水 位 降深值 ，可用 以下修 改后 的 Ｔ ｅ 公 式 来计 算 。 ｈｉ ｓ
ｓｒ （， ＝ ｖ ） Ｉ（ （） ２
如 农用 水井 在 每 年 的灌 溉季 节 （ ３—６月 ）抽 水 量 大 ，非 灌溉 季节 的抽水 量 小 。工业上 抽水 也有 类似 情 况 ，抽 水 量常 随实 际需水 量 而变化 。在 这种 水井 流 量随 时间变 化 的情况 下 ，按传 统 的方法 ，首 先用 阶梯 形折 线近 似代 替水 井原来 的流量过 程线 ，然 后
始厚度 。
把其中每一 阶梯视为定流量 ，使用 Ｔ ｉ 公式通过 ｈｓ ｅ
叠加来 计 算抽水 流 量变 化时水 井 附近 区域地 下水 位
降深值 ¨ ０ 。这种传统方法 ，由于事先需要对水井 Ｊ 流量过 程线 进行 转化 ，因此不 仅操作 过程 中的人 为
性 较大 ，而且计算 结 果也有 一定 的误 差 。在此 以上 述 情况为 背 景 ，利 用 定 流量 抽 水 时 的 Ｔ ｅ ｈｉ 式 ， ｓ公 推导 出 了变 流量抽 水 时水 井 附近地 下水 非稳 定 流计
井附近含水层 中地下水非稳定运 动的一种通解 。并 通过两个算例 ，验证 了该通解的可靠性和实用性 。
地下水向完整井的非稳定运动
4 地下水向完整井的非稳定运动要点：本章主要介绍地下水非稳定井流的有关公式及应用。
非稳定井流公式主要包括承压井流泰斯（Theis ）公式、雅柯布（Jacob ）公式、流量呈阶梯状变化时计算公式、恢复水位公式、定降深公式、不同条件下的越流公式以及无外界补给的潜水井流的博尔顿（ Boulton ）及纽曼（Neuman ）公式。
上述可以用于相应条件下的动态预报，以及利用抽水试验资料求含水层的水文地质参数等。
本章是全书重点之一。
要求学生掌握各公式及其适用条件，并能用来分析解决实际问题；掌握如何用抽水试验资料确定水文地质参数的方法。
4.1 无限分布的承压完整井流本节主要介绍泰斯公式及其求参数方法，如表4—1所示。
此外介绍均质各向异性岩层式中：y x T T T *称为等效导水系数；y x T T ,—分别为长、短轴主渗透方向上的导水系数；)(n u W —泰斯井函数；)4/(2*t T r u n n ，式中的T n 为与x （长）轴成)(n 夹角方向上的导水系数，其值为： )(sin )(cos 22n n xn T T（4-2） 式中：θ—第一条观测线（即第一观测孔与抽水井的联线）与x 轴（长轴方向）的夹角。
注：表中（W（u））、〔u〕、（s）、（t）等为配合点的坐标值;t0，P0，（t/r2）0为直线在相应横轴上的截距；t s、r s、、（t/r2）为直线在纵轴上截距为s0时的对应横坐标值，i为直线的斜率，s A、t A为曲线上任一点坐标值。
如图4-1(b)所示：a n —第n 条观测线与第一观测线的夹角；22222*sin )(sin )(cos cos )(n n n n v y x b b T T T T (4-3) n n T T b 1;由212T T b 和313T Tb 联立求解有： 3222233222232sin )1(2sin )1(sin )1(sin )1(22 b b b b tg （4-4） *2**T b a r T T a b T T b a T ss n n s s y s s x ；；s s b a 、—分别为椭圆长短主轴的长度。
10-第六章第三节--地下水向完整井的非稳定流运动.ppt
右式中： t—自抽水开始到计算时刻的时间；
s'
Q
4T
[lg
2.25at
r2*
lg
2.25at '
r2*
]
—停泵的时间；
Q
4T
lg
t t'
0.183Q T
lg
tp t' t'
—停泵后的时间。
这样在半对数坐标纸上s与
就呈直线关系。只要在半
对数坐标纸上绘制出二者之间的关系线，按时间轴的一个周期
配线法的缺点：（1）抽水初期实际曲线常与标准曲线不符； （2）当抽水后期曲线比较平缓时，同标准曲线不容 易拟合准确，常带有人为误差。
结论：拟合时尽可能使用中部弯曲的线段。
2. Jacob直线图解法
当u≤0.05时，可以用Jacob公式求参数
s 2.3Q lg 2.25at 0.183Q (lg 2.25a lg t)
弹性储存---在承压含水层中抽水，所抽出的水量主要是水头降低， 含水层弹性压缩和承压水的弹性膨胀而释放出的部分地下水。而当 水头升高，承压含水层则会储存这部分地下水，这一现象就称为--
越流—如果含水层的顶、底板均为隔水层，表面该含水层与其相 邻的含水层之间无水力联系。但在大多数情况下，抽水含水层的 顶、底板为弱透水层，在抽水含水层抽水的情况下，由于水头降 低，和相邻含水层之间抽水水头差，相邻含水层通过弱透水层与 抽水含水层发生水力联系，这种现象叫越流。
（1）当t不变时（同一时刻），径向距离r增大（1/u减小， W(u)减小），降深s变少，当r→∞时，s→0。
2）当r不变时（同一断面），s随t增大而增大，当t=0时，s=0； 当t→∞时，1/u→∞，u→无穷小，由图和表知，W（u）数值 比较大，但不趋于∞，说明随t增加，降落漏斗在逐渐扩大。
水动9-非完整井2014
第九章地下水向不完整井运动Groundwater flow to partially penetrated well9.1地下水向不完整井运动的特点9.2地下水向不完整井的稳定运动9.3地下水向承压不完整井的非稳定运动地下水动力学-非完整井流29.1地下水向不完整井运动的特点井底进水井壁进水井底井壁同时进水地下水动力学-非完整井流3不完整井流特点（1）地下水流向不完整井的流网特征与完整井不同。
如地下水流向承压完整井的水流为平面径向流，流线是对称井轴的径向直线；而流向承压不完整井的流线在井附近有很大弯曲，垂向分速度不可忽略，流向不完整井的地下水流为三维流。
在比值r/M<1.5~2.0范围内，流线有明显弯曲，离不完整井愈近，弯曲愈厉害，形成三维流区。
在r/M>1.5~ 2.0范围，流线趋于平行层面，垂向分速度很小，由三维流逐渐过渡为平面径向流。
地下水动力学-非完整井流4地下水动力学-非完整井流5在其它条件相同时，不完整井流量小于完整井的流量 设l 为不完整井过滤器长度，M 为含水层厚度。
试验表明，不完整井流量随比值l/M 的增大而增大，随l/M 值的减小而减小。
当l/M =1时，变成完整井，流量达到该情况下的最大值。
不完整井流特点（2）地下水动力学-非完整井流6不完整井流特点（3）过滤器在含水层中的位置和顶底板对水流状态有明显影响。
如果含水层很厚，则可近似地忽略隔水底板对水流的影响，按半无限厚含水层来处理；否则，应当同时考虑顶、底板的影响，作有限含水层处理。
地下水动力学-非完整井流7地下水动力学-非完整井流89.2地下水向不完整井的稳定运动9.2.1 井底进水的承压水不完整井井底形状为半球形，则流线为径向直线，等水头面是半个同心球面。
在球坐标系中则为一维流。
这种不完整井流可用空间汇点来求解。
地下水动力学-非完整井流9源汇在均质含水层中，如果渗流以一定强度从各个方面沿径向流向一点，则称该点为汇点。
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选择如图4-2所示。概化原则是矩形面积等于曲线于横坐标 所围成的面积。其中，每一个阶梯都可视为定流量，应用 Theis公式。把各阶梯流量产生的降深，按叠加原理叠加起 来，即得流量变化时水位降深的计算公式。
当0<t<t1时，水T
W
⎛ ⎜ ⎝
r 2u ∗ 4T t
⎞ ⎟ ⎠
图4-2 流量概化呈阶梯状变化图
泰斯公式讨论
2、承压含水层中任意点水头下降速度（一）
∂s ∂t
=
Q 4πT
dW (u) ∂u
du ∂t
=
Q 4πT
⎜⎜⎝⎛
−
e− u
u
⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛
r2 4a
⋅
−1 t2
⎟⎟⎠⎞
=
Q
− r2
1 e 4at
4πT t
①由此可以看出：对同一时间而言，近处水头下降快，远处慢。
②对于同一距离、不同时间的下降速率，需要将上式左端再对t求导：
情况通常只有在抽水试验时才能做到。实际上，很多生产井
的流量是季节性变化的。如农用井在灌溉季节抽水量大，非
灌溉季节抽水量小。工业用水也有类似情况，常随需水量而
变化。在这种情况下，怎样应用Theis公式?
首先需要绘出生产井的Q=f（t）关系曲线，即流量过程 线。
然后将流量过程线概化，用阶梯形折线代替原曲线，坐标
（4-8）
为计算方便，对（4-8）式进行变量代换，令：
y
=
r2
, dτ
4 a (t − τ )
=
r2 4ay 2
dy
同时更换积分上下限，当τ=0 时，y
=
r2 4 at
当τ=t时，
y= ∞ 于是，
∫ ∫ s
=
Q 4π T
∞ r2 4 at
e− y r2
r2 dy = Q
4ay2
4π T
∞ u
e− y y
设导压系数 a
=
T ，则有：
μ*
∫ ∫ a
∞ 0
1 r
∂ ∂r
⎛ ⎜⎝
r
∂s ∂t
⎞ ⎟⎠
r
J
0
(
β
r)dr
=
∞ 0
∂ ∂
s t
r
J
0
(
β
r )dr
方程式右端
∫ ∫ ∞ 0
∂s ∂t
rJ
0
(β
r
)dr
=
∂ ∂t
∞ 0
srJ
0
(β
r
)dr
=
ds dt
方程式左端，利用分部积分，同时注意到边界条件式
（4-3）与式(4-4)，有：
∂ 2s + 1 ∂s = u* ∂s ∂r 2 r ∂r T ∂t
t>0，0<r>∞
(4-1)
s(r，0)=0
s(∞，t)=0，
∂s ∂r
r→∞ = 0
lim r ∂s = − Q
r→0 ∂r
2π T
0<r<∞ t>0
（4-2） （4-3） （4-4）
此，式利中用，Hsa=nHke0-l变H。换，下将边方研程究式如(何4-1求)两降端深同函乘数以s (rrJ,0(t)β。r为)， 并在(0,∞)内对r积分。
⎜⎛
B
:W
⎜ ⎜
r2 T
⎟⎞ ⎟ ⎟
⎜ ⎝
4
μe
t
⎟ ⎠
T ↑ → s↑
理解为任一由r至r＋△r围成的均衡段内其下游断面流量Qr大于上游断面流 量Qr+△r必由均衡段内含水层释水量来均衡，从而导致水头降在漏斗一定且 μe一定时，若T大，则s亦大；若T小，则s亦小。
泰斯公式讨论
1、各因素对降深的影响（三）
(4-9)式为无补给的承压水完整井定流量非稳定流计算公
式，也就是著名的Theis公式。
为了计算方便，通常将W(u)展开成级数形式：
∫ ∑ W (u) = ∞ 1 e− ydy = −0.577216 − ln u + u − ∞ (−1)n u n
uy
n=2
n⋅n
并制成数值表（表4-1），只要求出u值，从表4-1中就可查
∫ ∫ a
∞ 0
1 r
∂ ∂r
(r
∂s ∂t
)
r
J
0
(
β
r
)
d
r
=
aQ 2π T
− aβ
∞ 0
sd
[rJ1
(
β
r
)]
按Bessel函数的性质，有：
∫ ∫ ∞ 0
sd
[r J 1 ( β
r
)] =
∞ 0
sβ
rJ
0
(β
r
)dr
1
因此，有：
∫a
∞ 0
1 r
∂ ∂r
⎛ ⎜⎝
r
∂s ∂r
⎞ ⎟⎠
r
J
0
(
β
r)dr
dr
F (r)
2 a (t − τ )
两边积分得：ln
F
(r)
=
−
r 4 a (t
2
−
τ
)
+令C1
C，1 =则ln 有C ：
ln F (r ) = − r 2 故：
C
4a(t −τ )
− r2
F (r ) = Ce 4a(t −τ )
（4-7）
利用r=0时的F（r）值，由（4-6）可以确定C值：
∫ F (0) =
•当u ≤0.01(即 t ≥ 2 5 r 2 u ∗ )井函数用级数前两项代替时，其相对 误差不超过0.25%； T
•当u≤0.05时(即 t ≥ 5 r 2 u ∗ )，相对误差不超过2%；
•当u ≤0.1时（即
t
≥
T r
2
u
∗
2.5
），相对误差不超过5%。
T
一般生产上允许相对误差在2%左右。因此，当u≤0.01或u ≤
第9章 地下水向完整井的非稳定运动
MULTIPLE AQUIFERS
Distorted scale!!
1
9.1 承压含水层中的完整井流
（一）泰斯模型水文地质条件（八个假设）
① 承压含水层均质、各向同性，等厚且水平分布，水和 含水层均假定为弹性体；
② 无垂向补给、排泄，即W＝0； ③ 渗流满足达西定律； ④ 完整井，假定流量沿井壁均匀进水； ⑤ 水头下降引起地下水从储量中的释放是瞬时完成的； ⑥ 抽水前水头面是水平的； ⑦ 井径无限小且定流量抽水； ⑧ 含水层侧向无限延伸。
当 ti−1 < t < ti 时，水位降深为：
s
=
Q1 4πT
⎛ W⎜
⎝
r2μ∗ 4Tt
⎞ ⎟ ⎠
+
Q2 −Q1 4πT
W
⎡ r2μ∗ ⎤ ⎢⎣4T(t −t1)⎥⎦
+⋅⋅⋅
+
Qi −Qi−1 4πT
W
⎡ r2μ∗ ⎢⎣4T(t −ti−1)
⎤ ⎥ ⎦
t时刻经历若干个阶梯流量后所产生的总水位降 深为：
∑ s = 1
4π T
n i =1
(Qi
− Qi−1 )W
⎡ r2μ∗ ⎤
⎢ ⎣
4T
(t
−
ti −1
)
⎥ ⎦
ti−1 < t < ti（4-12）
式中，设t0=0，相应的Q0=0。
(4-12)式为流量变化时，经概化呈阶梯状变化后 的计算公式。
3 . Theis公式的近似表达式 如前述，Theis公式中的井函数，可以展开成无穷级数形式，即：
在某些条件下，表征地下水趋向稳定流动或拟稳定流动（水头H随时间 变化，但水力坡度J不随时间变化的一种不稳定流动）的速度。
泰斯公式讨论
1、各因素对降深的影响（四）
⑦ t趋向无穷大时，s也趋向于无穷大。
s(r,t) = Q W(u)
4πT
这似乎不太合理。但要注意公式的应用条件，承压井流保 持承压状态，即s不得大于（H0－M），否则将转化为承压－ 无压井流，破坏了基本条件。对于无压井流，s不得大于h0。 因为在s=h0以后，流量将变小，破坏了定流量的基本条件，那 时，就转变为定降深变流量的条件了。
∫ s =
∞ 0
sβ
J
0
(β
r
)d
β
∫ ∫ = a Q
2π T
t⎡ 0 ⎢⎣
∞ 0
e β − a β 2 ( t −τ )
J 0 (β
r )d
β
⎤ ⎥⎦
d
τ
（4-5）
先计算方括号内的积分，为此设：
∫ F ( r ) =
∞ 0
e β − a β 2 ( t − τ )
J 0 (β
r )d
β
（4-6）
将(4-6)式对r求导数，有：
0.05时，井函数可用级数的前两项代替，即：
W (u)
−0.577216
−
ln
u
=
ln
2.25Tt r2μ∗
3
于是，Theis公式可以近似地表示为下列形式：
s
=
Q 4π T
ln
2 .2 5T t r2μ*
=
0.183Q T
lg
2 .2 5T t r 2u ∗
(4-13)
(4-13)式称为Jacob公式(1946)。
∞ 0
e−
aβ
2
(t
−τ
)
当0<t<t1时，水T
W
⎛ ⎜ ⎝
r 2u ∗ 4T t
⎞ ⎟ ⎠
图4-2 流量概化呈阶梯状变化图
泰斯公式讨论
2、承压含水层中任意点水头下降速度（一）
∂s ∂t
=
Q 4πT
dW (u) ∂u
du ∂t
=
Q 4πT
⎜⎜⎝⎛
−
e− u
u
⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛
r2 4a
⋅
−1 t2
⎟⎟⎠⎞
=
Q
− r2
1 e 4at
4πT t
①由此可以看出：对同一时间而言，近处水头下降快，远处慢。
②对于同一距离、不同时间的下降速率，需要将上式左端再对t求导：
情况通常只有在抽水试验时才能做到。实际上，很多生产井
的流量是季节性变化的。如农用井在灌溉季节抽水量大，非
灌溉季节抽水量小。工业用水也有类似情况，常随需水量而
变化。在这种情况下，怎样应用Theis公式?
首先需要绘出生产井的Q=f（t）关系曲线，即流量过程 线。
然后将流量过程线概化，用阶梯形折线代替原曲线，坐标
（4-8）
为计算方便，对（4-8）式进行变量代换，令：
y
=
r2
, dτ
4 a (t − τ )
=
r2 4ay 2
dy
同时更换积分上下限，当τ=0 时，y
=
r2 4 at
当τ=t时，
y= ∞ 于是，
∫ ∫ s
=
Q 4π T
∞ r2 4 at
e− y r2
r2 dy = Q
4ay2
4π T
∞ u
e− y y
设导压系数 a
=
T ，则有：
μ*
∫ ∫ a
∞ 0
1 r
∂ ∂r
⎛ ⎜⎝
r
∂s ∂t
⎞ ⎟⎠
r
J
0
(
β
r)dr
=
∞ 0
∂ ∂
s t
r
J
0
(
β
r )dr
方程式右端
∫ ∫ ∞ 0
∂s ∂t
rJ
0
(β
r
)dr
=
∂ ∂t
∞ 0
srJ
0
(β
r
)dr
=
ds dt
方程式左端，利用分部积分，同时注意到边界条件式
（4-3）与式(4-4)，有：
∂ 2s + 1 ∂s = u* ∂s ∂r 2 r ∂r T ∂t
t>0，0<r>∞
(4-1)
s(r，0)=0
s(∞，t)=0，
∂s ∂r
r→∞ = 0
lim r ∂s = − Q
r→0 ∂r
2π T
0<r<∞ t>0
（4-2） （4-3） （4-4）
此，式利中用，Hsa=nHke0-l变H。换，下将边方研程究式如(何4-1求)两降端深同函乘数以s (rrJ,0(t)β。r为)， 并在(0,∞)内对r积分。
⎜⎛
B
:W
⎜ ⎜
r2 T
⎟⎞ ⎟ ⎟
⎜ ⎝
4
μe
t
⎟ ⎠
T ↑ → s↑
理解为任一由r至r＋△r围成的均衡段内其下游断面流量Qr大于上游断面流 量Qr+△r必由均衡段内含水层释水量来均衡，从而导致水头降在漏斗一定且 μe一定时，若T大，则s亦大；若T小，则s亦小。
泰斯公式讨论
1、各因素对降深的影响（三）
(4-9)式为无补给的承压水完整井定流量非稳定流计算公
式，也就是著名的Theis公式。
为了计算方便，通常将W(u)展开成级数形式：
∫ ∑ W (u) = ∞ 1 e− ydy = −0.577216 − ln u + u − ∞ (−1)n u n
uy
n=2
n⋅n
并制成数值表（表4-1），只要求出u值，从表4-1中就可查
∫ ∫ a
∞ 0
1 r
∂ ∂r
(r
∂s ∂t
)
r
J
0
(
β
r
)
d
r
=
aQ 2π T
− aβ
∞ 0
sd
[rJ1
(
β
r
)]
按Bessel函数的性质，有：
∫ ∫ ∞ 0
sd
[r J 1 ( β
r
)] =
∞ 0
sβ
rJ
0
(β
r
)dr
1
因此，有：
∫a
∞ 0
1 r
∂ ∂r
⎛ ⎜⎝
r
∂s ∂r
⎞ ⎟⎠
r
J
0
(
β
r)dr
dr
F (r)
2 a (t − τ )
两边积分得：ln
F
(r)
=
−
r 4 a (t
2
−
τ
)
+令C1
C，1 =则ln 有C ：
ln F (r ) = − r 2 故：
C
4a(t −τ )
− r2
F (r ) = Ce 4a(t −τ )
（4-7）
利用r=0时的F（r）值，由（4-6）可以确定C值：
∫ F (0) =
•当u ≤0.01(即 t ≥ 2 5 r 2 u ∗ )井函数用级数前两项代替时，其相对 误差不超过0.25%； T
•当u≤0.05时(即 t ≥ 5 r 2 u ∗ )，相对误差不超过2%；
•当u ≤0.1时（即
t
≥
T r
2
u
∗
2.5
），相对误差不超过5%。
T
一般生产上允许相对误差在2%左右。因此，当u≤0.01或u ≤
第9章 地下水向完整井的非稳定运动
MULTIPLE AQUIFERS
Distorted scale!!
1
9.1 承压含水层中的完整井流
（一）泰斯模型水文地质条件（八个假设）
① 承压含水层均质、各向同性，等厚且水平分布，水和 含水层均假定为弹性体；
② 无垂向补给、排泄，即W＝0； ③ 渗流满足达西定律； ④ 完整井，假定流量沿井壁均匀进水； ⑤ 水头下降引起地下水从储量中的释放是瞬时完成的； ⑥ 抽水前水头面是水平的； ⑦ 井径无限小且定流量抽水； ⑧ 含水层侧向无限延伸。
当 ti−1 < t < ti 时，水位降深为：
s
=
Q1 4πT
⎛ W⎜
⎝
r2μ∗ 4Tt
⎞ ⎟ ⎠
+
Q2 −Q1 4πT
W
⎡ r2μ∗ ⎤ ⎢⎣4T(t −t1)⎥⎦
+⋅⋅⋅
+
Qi −Qi−1 4πT
W
⎡ r2μ∗ ⎢⎣4T(t −ti−1)
⎤ ⎥ ⎦
t时刻经历若干个阶梯流量后所产生的总水位降 深为：
∑ s = 1
4π T
n i =1
(Qi
− Qi−1 )W
⎡ r2μ∗ ⎤
⎢ ⎣
4T
(t
−
ti −1
)
⎥ ⎦
ti−1 < t < ti（4-12）
式中，设t0=0，相应的Q0=0。
(4-12)式为流量变化时，经概化呈阶梯状变化后 的计算公式。
3 . Theis公式的近似表达式 如前述，Theis公式中的井函数，可以展开成无穷级数形式，即：
在某些条件下，表征地下水趋向稳定流动或拟稳定流动（水头H随时间 变化，但水力坡度J不随时间变化的一种不稳定流动）的速度。
泰斯公式讨论
1、各因素对降深的影响（四）
⑦ t趋向无穷大时，s也趋向于无穷大。
s(r,t) = Q W(u)
4πT
这似乎不太合理。但要注意公式的应用条件，承压井流保 持承压状态，即s不得大于（H0－M），否则将转化为承压－ 无压井流，破坏了基本条件。对于无压井流，s不得大于h0。 因为在s=h0以后，流量将变小，破坏了定流量的基本条件，那 时，就转变为定降深变流量的条件了。
∫ s =
∞ 0
sβ
J
0
(β
r
)d
β
∫ ∫ = a Q
2π T
t⎡ 0 ⎢⎣
∞ 0
e β − a β 2 ( t −τ )
J 0 (β
r )d
β
⎤ ⎥⎦
d
τ
（4-5）
先计算方括号内的积分，为此设：
∫ F ( r ) =
∞ 0
e β − a β 2 ( t − τ )
J 0 (β
r )d
β
（4-6）
将(4-6)式对r求导数，有：
0.05时，井函数可用级数的前两项代替，即：
W (u)
−0.577216
−
ln
u
=
ln
2.25Tt r2μ∗
3
于是，Theis公式可以近似地表示为下列形式：
s
=
Q 4π T
ln
2 .2 5T t r2μ*
=
0.183Q T
lg
2 .2 5T t r 2u ∗
(4-13)
(4-13)式称为Jacob公式(1946)。
∞ 0
e−
aβ
2
(t
−τ
)