(完整版)09三年级奥数班第九讲——差倍问题(二)

1. 掌握差倍问题的基本解法以及相关的年龄等应用题.2. 熟练应用通过图示来表示数量关系．差倍问题就是已知大小两数的差，以及大小两数的倍数关系，求大小两数的问题．差倍问题的特点与和倍问题类似。

解答差倍问题的关键是要确定两个数量的差及相对应的倍数差，一般情况下，在题目中不直接给出，需要经过调整和计算才能得到。

解题思路：首先要在题目中找到1倍量，然后画图确定解题方法.被除数的数量和除数的倍数关系要相对应，相除后得到的结果是一倍量差倍问题的基本关系式：差÷(倍数－1)=1倍数(较小数)1倍数×几倍=几倍数(较大数)或较小数+差=较大数 解决差倍问题，关键是学会画线段图，这样可以帮助我们更好的弄清各数量之间的关系．年龄问题的和差问题主要利用的年龄差不变。

【例 1】 为了过冬，小白兔和小黑兔都储藏了一些胡萝卜。

已知小白兔储藏的胡萝卜数量是小黑兔储藏数量的3倍。

它们各吃了5个胡萝卜后，小白兔剩下的胡萝卜数量是小黑兔剩下数量的4倍。

那么它们剩下的胡萝卜共有 个。

【考点】差倍问题 【难度】3星 【题型】填空【关键词】希望杯，4年级，1试【解析】 小黑兔剩下胡萝卜的数量是3×5-5=10个，它们剩下的胡萝卜共有10+10×4=50个。

【答案】50个【例 2】 某养鸡场的母鸡只数是公鸡只数的6倍，后来公鸡、母鸡各增加60只，母鸡的只数变为公鸡只数的4倍，则养鸡场原来一共养了___________只鸡。

【考点】差倍问题 【难度】3星 【题型】填空【关键词】希望杯，4年级，1试【解析】 要保持母鸡是公鸡的6倍，母鸡增加60，公鸡就要增加360，所以360－60＝300就是差的2倍，现在有150只母鸡，原来有90只母鸡，一共养了630只鸡。

【答案】630【例 3】 兄妹俩人去买文具，哥哥带的钱是妹妹的两倍，哥哥用去180元，妹妹用去30元，这时兄妹俩人剩下的钱正好相等，哥哥带了________元钱，妹妹带了________元钱．【考点】差倍问题 【难度】3星 【题型】填空【关键词】2008年，第八届，春蕾杯，初赛【解析】 由题目的条件“哥哥带的钱是妹妹的两倍”知：哥哥的钱比妹妹的钱多一倍，又由“哥哥用去180元，妹妹用去30元，这时兄妹俩人剩下的钱正好相等，知：哥哥比妹妹多18030150-=（元），则知妹妹带了150元，哥哥带了300元．【答案】哥哥带300元，妹妹带150元【巩固】 兄妹俩人去买文具，哥哥带的钱是妹妹的两倍，哥哥用去300元，妹妹用去40元，这时兄妹俩人剩下的钱正好相等．哥哥带了 元钱，妹妹带了 元钱．【考点】差倍问题 【难度】3星 【题型】填空 例题精讲知识精讲教学目标6-1-6.差倍问题（二）【关键词】学而思杯，2年级，第11题【解析】哥哥用去300元，妹妹用去40元，这时兄妹俩人剩下的钱正好相等．可以得到妹妹带了30040260-=元）钱，那么哥哥带了260260520+=（元）钱．【答案】哥哥带了520元，妹妹带了260元【例4】菜站运来的白菜是萝卜的3倍，卖出白菜1800千克，萝卜300千克，剩下的两种蔬菜的重量相等，菜站运来的白菜和萝卜各是多少千克？【考点】差倍问题【难度】3星【题型】解答【解析】这样想：根据“菜站运来的白莱是萝卜的3倍”应把运来的萝卜的重量看作1倍；“卖出白菜1800千克，萝卜300千克后，剩下两种蔬菜的重量正好相等”，说明运来的白菜比萝卜多180********-=(千克).这个重量相当于萝卜重量的312-=(倍)，这样就可以先求出运来的萝卜是多少千克，再求运来的白菜是多少千克.所以运来萝卜：(1800300)(31)750-÷-=(千克)，运来白菜：75032250⨯=(千克)．【答案】白菜2250千克，萝卜750千克。

小学三年级奥数专题二十五：差倍问题〔二〕专题简析：较复杂的差倍应用题，数量关系比拟隐蔽。

先依题意画出线段图，然后借助线段图找出两个数的差以及所对应的倍数，再利用公式进展解答。

例题1：有两袋玉米，大袋比小袋多56千克，如果将小袋的玉米吃掉4千克，这时大袋的玉米重量是小袋的4倍。

两袋玉米原来各重量多少千克？思路：根据题意，画出线段图。

小袋玉米减少4千克，两袋就相差4+56=60千克；把小袋现有的玉米重量看作1倍数，大袋比小袋多4－1=3 倍。

小袋现有：〔4+56〕÷〔4－1〕=20千克小袋原有：20+4=24千克大袋原有：20×4=80千克试一试1：一个书架上放着一些书，第二层比第一层多12本。

如果从第一层中拿走6本，这时第二层的本数是第一层的4倍。

求第一、第二层原来各有多少本书？例题2：有甲、乙两桶色拉油，如果向甲桶中倒入8千克，那么两桶色拉油就一样重；如果向乙桶中倒入12 千克，乙桶的色拉油就是甲桶的5倍。

甲、乙两桶原来各有色拉油多少千克？思路：根据题意，画出线段图。

从图上可以看出：乙桶油就比甲桶油多8+12=20千克，与20千克相对应的倍数差是5－1=4倍。

所以，甲桶原有：〔8+12〕÷〔5－1〕=5千克，乙桶原有：5+8=13千克。

试一试2：三〔1〕班同学参加英语比赛，如果男生少去1人，男、女参赛人数相等；如果女生少去1人，男生参赛人数是女生的2倍。

三〔1〕班参加英语比赛的男、女生各几人？例题3：学校里白粉笔的盒数是彩色粉笔的4倍，如果白粉笔和彩色粉笔各购进12盒，那么白粉笔的盒数是彩色粉笔的3倍。

原来白粉笔和彩色粉笔各有多少盒？思路：根据题意，如果彩色粉笔购进12盒，而白粉笔购进12×4=48盒，那么现在白粉笔的盒数仍是彩色粉笔的4倍，可见48－12=36盒就是彩色粉笔现有盒数的4－3=1倍，所以彩色粉笔现有36÷1=36盒，原来有36－12=24盒，白粉笔原有24×4=96盒。

九、差倍问题（A卷）年级班得分一、填空题1.小明、小红两人集邮,小明的邮票比小红多15,小明的数是小红的4倍,小明集邮,小红集邮 .2.妈妈的年龄比小刚大24岁,今年妈妈的年龄正好是小刚年龄的3倍,今年妈妈岁,小刚岁.3.学农基地种的花生是白薯的16倍,现在已经知道种的花生比白薯多105棵,种花生棵,白薯棵.4.小利的科技书比故事书少16本,故事书是科技书的3倍,小利有科技书本,故事书本.5.甲、乙两个数,如果甲数加上50,就等于乙数,如果乙数加上350就等于甲数的3倍,问甲,乙 .6.小明、小丽做题,如果小明再做4道就和小丽做的一样多,如果小丽再做6道就是小明的3倍,小明做道题,小丽做道题.7.仓库存有面粉和大米,已知面粉比大米多4500千克,面粉的斤数比大米的3倍多700千克,大米千克,面粉千克.8.两筐重量相等的苹果,从甲筐取出7千克,乙筐加上19千克,这时乙筐的重量是甲筐重量的3倍,原来两筐各有苹果千克、千克.9.AB两人所存的钱数相等,A要买一件商品,向B借了120元,这时A的钱数正好是B的4倍,A有元,B有元.10.某班原有男生比女生多10人,如果女生转走5人,那么男生人数正好是女生人数的2倍,原有男生人.二、解答题11.一车间原有男工人数比女工多55人,如果调走男工5人,那么男工人数正好是女工的3倍,原有男工多少人?12.某校有排球的个数比足球多50个,如果再买40个排球,排球的个数就是足球的3倍,足球、排球各有多少个?13.小明和小丽数学作业本上的红花,小丽比小明多7朵,如果小明少得2朵,小丽再得3朵,小丽的红花数就是小明的3倍,小明小丽各得多少朵?14.甲有36本课外书,乙有24本课外书,两人捐出同样多的本数后,甲剩下的数是乙剩下本数的3倍,两人各捐出多少本书?———————————————答案——————————————————————一、填空题“1”1.小红:由上图可以明显地看出,小明比小红多的15,实际上就是小红的4-1=3(倍),这样就可以求出小红集邮的数,小明的也就相应可以求出来了.15÷(4-1)=5()5×4=20()答:小红有5,小明有20.2.这道题的思考方法和前一题是完全相同的,24相当于小刚年龄的3-1=2(倍),3倍? 岁 24岁? 岁 小刚: 妈妈: “1”所以可以求出小刚的年龄,再根据相关条件求出妈妈的年龄.24÷(3-1)=12(岁)12×3=36(岁)答:小刚今年12岁,妈妈今年36岁.3.根据前两题的解题思路,请你自己完成这道题.105÷(16-1)=7(棵)7×16=112(棵)答:有花生112棵,白薯7棵.4. 要想求共有多少本,必须分别知道科技书,故事书各有多少本,这样,又回到老问题上去了.请看下图:科技书比故事书少16本,也就是故事书比科技书多16本.从图上很容易看出这16本实际就相当于科技书的2倍,先求出科技书的本数,再根据相应的条件求出故事书的本数.3倍 故事书: ? 本16本 科技书:“1”? 本16÷(3-1)=8(本)8×3=24(本)答:小利有科技书8本;故事书有24本.5.“如果甲数加上50就等于乙数”,实际就是甲比乙小50,乙比甲大50,乙再加上350,就比甲大50+350=400,而这时乙是甲的3倍,即400是甲的2倍,这样就可以先求出甲,再求乙,问题就解决了.50+350=400400÷(3-1)=200200+50=250答:甲数是200,乙数是250.6.3倍 50 ? 甲: 乙: “1”? 350 3倍 4道? 道小明: 小丽: “1”? 道 6 道由上图可以看出,小丽比小明多做4道,如果再多做6道,就比小明多做4+6=10(道),是小明的3倍,那么多做的10道就相当于小明的2倍,可以先求出小明做了几道题.再求小丽做的题数.4+6=10(道)10÷(3-1)=5(道)5+4=9(道)答:小明做了5道题;小丽做了9道题.7.由上图可以看出,面粉比大米多的4500公斤中,包含着大米的2倍还多700公斤,根据这个关系,我们可以求出大米的2倍是多少:4500-700=3800(公斤),相应可求出大米的公斤数,也就可以知道面粉的公斤数了. 3倍 700? 公斤 大米: 面粉: “1”? 公斤 4500公斤4500-700=3800(公斤)3800÷2=1900(公斤)1900+4500=6400(公斤)答:大米有1900公斤,面粉有6400公斤.8.原来两筐重量相同,从甲筐取出7公斤,乙筐就比甲筐多了7公斤,乙筐再加入19公斤,乙筐就比甲筐重7+19=26(公斤),这时乙筐重量是甲筐重量的3倍,也就是多的26公斤是甲筐的2倍,这样就可以求出甲筐苹果的重量,可以相应求出乙筐苹果的重量.7+19=26(公斤)26÷(3-1)=13(公斤)13+7=20(公斤)答:原来两筐各有20公斤苹果. 3倍7公斤? 公斤甲筐: 乙筐:“1”? 公斤 19公斤9.由上图可以看出,当A 向B 借了120元后,AB 两人相差120+120=240(元).而这时A 又是B 的4倍,即相差的240元是B 的3倍,这样可以先求出B 被借走120元后所剩的钱数,也就能求出AB 两人原来各有多少钱了.120+120=240(元)240÷(4-1)=80(元)80+120=200(元)答:AB 原来各有200元.10.4倍 120元? 元B : A :“1”? 元 120元 2倍5人女生: 男生:“1”10人原来男生比女生多10人,如女生转走5人,男生就比女生多10+5=15(人).而这时男生是女生的2倍,即多出的15人正好是女生人数的1倍,也就是女生人数就是15人,再根据相应条件求出男生的人数.10+5=15(人)15×2=30(人)答:男生有30人.二、解答题11.3倍5人 女工: 男工:“1”? 人55人由上图可看出如不调走5人,男工就是女工的3倍多5人,而男工比女工多的55人就是女工的2倍多5人,有了这样的关系,我们就可以求出女工的2倍是多少:55-5=50(人),紧接着可求出女工人数,根据题目中的条件,男工人数很快就能求出来了.55-5=50(人)50÷2=25(人)25+55=80(人)答:有男工80人.12.从图上可清楚看出当排球的个数是足球的3倍时,排球比足球多50+40=90(个),即多的90个是足球的2倍,这样就能求出足球的个数,再根据相应条件求出排球的个数.50+40=90(个) 3倍? 个足球: 排球:“1”? 个 40个 50个90÷(3-1)=45(个)45+50=95(个)答:足球有45个,排球有95个.13.图中可看出,小丽原比小明多7朵,如小明少得2朵,小丽多得3朵,小明和小丽就相差7+2+3=12(朵).而这时小丽的朵数是小明的3倍,即多出的12朵相当于小明的2倍,可以根据这样的对应关系求出小明红花的朵数,再根据题目中相关条件求出小丽红花的朵数.7+2+3=12(朵)12÷(3-1)=6(朵)6+2=8(朵)8+7=15(朵) 3倍 ? 朵 小明: 小丽: “1”? 朵 3朵 7朵 2朵答:小明得了8朵,小丽得了15朵.14.由上图可知,当捐出相同的本数后,甲比乙多出的36-24=12(本),相当于乙剩下的2倍,可以求出乙捐出后剩下的多少本,也就知道了甲乙各捐出多少本.36-24=12(本)12÷(3-1)=6(本)24-6=18(本)答:两人各捐18本.3倍? 本乙: 甲:“1”? 本36本 24本。

加油站和差倍问题(二) 【例1】(★★)
被除数除以除数商4余3，被除数、除数、商、余
数的和是110。

那么被
除数是多少？
佳佳和海海共有50块糖，如果佳佳给海海4块，两人的糖数就相等了。

那么佳佳和海海各有几块糖？
言言和海海比赛吃葡萄。

海海吃的是言言的3倍多5个。

海海和言言共吃85个葡萄，那么海海吃几个葡萄？
言言和海海比赛吃栗子。

海海吃的是言言的3倍少5个。

海海比言言多吃15个栗子，那么言言吃几个栗子？【例2】(★★★)
用杯子往一个空瓶里倒水，如果倒进6杯水，连瓶共重680克，如果倒
进9杯水，连瓶共重920克，求空瓶的重量是多少？
【例3】(★★★★)
甲、乙、丙共有钱92元，甲的钱比乙的钱的2倍多1元，乙的钱比丙的
钱的3倍少3元。

甲有多少钱？
从×5 (打一字)【例4】(★★★★)
有红、白球若干个。

若每次拿出1个红球和1个白球，则拿到没有红球
时，还剩下50个白球；若每次拿走1个红球和3个白球，则拿到没有白
球时，红球还剩下50个。

那么这堆红球、白球共有多少个？
1。

第九讲差倍问题二【专题简析】解答较复杂的差倍问题，它们往往不会直接告诉我们差倍的对应关系，这就需要我们从整体上把握住问题的本质根据题目的具体特点将它们求出。

一般来说复杂的差倍问题中，倍数关系已知，但差相对要隐蔽，只有将题目中的条件进行合理的转化，从而将较复杂的问题转化为一般差倍应用题来解决，解答差倍问题时，关键的还是先要求出两个数的差以及它所对应的倍数差。

【例题精讲】例1、某小学原来参加室外活动的人数比参加室内活动的人数多480人，现在把室内活动的50人改为室外活动，这样室外活动的人数正好是室内人数的5倍，则参加室内、室外活动的共有多少人?思路点拨：原来室外、室内活动人数相差480人，现把室内的50人改为室外活动，这样室外活动人数比室内人数多480+50×2=580(人)，这时室外活动人数正好是室内人数的5倍，580人相当于现在室内活动人数的5-1=4(倍)。

现在室内活动人数为580÷（5-1）=145（人）室内、外人数之和：145+145×5=870（人）【试一试】京华小学一年级上学期少先队员比非少先队员多100人，下学期末又有20名同学光荣的加入了少先队组织，这时少先队员的人数是非少先队员人数的6倍，则京华小学一年级共有学生多少人？例2、两块同样长的花布，第一块卖出31米，第二块卖出19米后，第二块是第一块的4倍，求每块花布原有多少米？思路点拨：已知两块花布同样长，由于第一块卖出的多，第二块卖出的少，因此第一块剩下的少，第二块剩下的多.所剩的布第二块比第一块多31-19=12（米）.又知第二块所剩下的布是第一块的4倍，那么第二块比第一块多出的12米正好相当于所剩布的（4-1）倍，这样，第一块所剩布的长度即可求出。

31-19＝12（米）第一块布剩下的米数：12÷（4-1）=4（米）第一块布原有的米数：4+31=35（米）（两块布原有长度相等）【试一试】两根绳子同样长，第一根剪去40米，第二根剪去10米，这时第一根剩下的长度是第二根剩下的6倍，那么原来两根绳子各长多少米？例3、有两根铁丝，第一根长18米，第二根长10米，两根铁丝用去同样长的一段后，第一根剩下的长度是第二根剩下长度的3倍，两根铁丝各剩下多少米？思路点拨：用去同样长的一段后，两段长度差仍为：18—10=8（米），且第一根比第二根多：3-1=2（倍），则有：18—10=8（米）第二根剩下：8÷（3-1）=4（米）第一根剩下：4×3=12（米）【试一试】有两条纸带，一条长21厘米，一条长13厘米，两条纸带都剪下同样的一段后，长纸带剩下的长度是短纸带剩下的3倍，问剪下的一段有多长？例4、有两根同样长的绳子，第一根截去12米，第二根接上14米，这时第二根长度是第一根长的3倍，两根绳子原来各长多少米？思路点拨：两根绳子原来的长度一样长，但是从第一根截去12米，第二根绳子又接上14米后，这时两根绳子长度的差为12+14=26（米），且第二根的长度是第一根的3倍.应该把变化后的第一根长度看作1倍量，而12+14=26（米），正好相当于第一根绳子剩下的长度的2倍。

第九讲差倍问题（二）知识要点已知两数的差和它们之间的倍数关系,要求出这两个数各是多少的应用题叫差倍问题。

“差倍问题”和“和倍问题”相似，解答时先要弄清什么是差、倍数、大数、小数，然后利用线段图找准与“差”所对应的倍数，即（倍数－1），从而先求出1倍数（小数），再求出几倍数（大数）。

差倍应用题的数量关系是：小数=差÷（倍数－1）；大数=小数×倍数或大数=小数+差。

典型例题例1 甲、乙两筐各有苹果若干千克，甲筐苹果的重量是乙筐的3倍，如果从甲筐中取出35千克放入乙筐，则两筐苹果重量相等，甲、乙两筐原来各有苹果多少千克？例2 小军和小明去书店买了同样多的书，后来小明捐出了4本书，小军又买了两本书，这时小军的书正好是小明的4倍，小明、小军现在各有多少本书？例3 甲的钱是乙的钱的3倍，甲买一套180元的《百科大全》，乙买一套30元的故事书后，两个人余下的钱一样多，甲原来有多少钱？巩固练习1．两筐梨，第一筐的重量是第二筐的3倍，如果从第一筐取出15千克放入第二筐，则两筐的重量相等，两筐梨共重多少千克？2．甲、乙两筐苹果重量相等，从甲筐取出10千克，乙筐放入16千克，此时，乙筐重量是甲筐重量的3倍，甲、乙两筐苹果原来各重多少千克？3．甲、乙二人存款相等，如果甲取出1000元，乙存入2000元，那么乙的钱数是甲的钱数的3倍，甲、乙原来各存款多少元？4．学校买来的彩色粉笔是白色粉笔的5倍，后来白色粉笔用掉5盒，彩色粉笔用掉25盒，则两种粉笔剩下的盒数一样多，学校买来白色粉笔和彩色粉笔各多少盒？5．甲、乙两人各有存款若干元，甲的存款是乙的4倍，如果乙取出100元，甲取出400元，则两人的存款数正好相等，甲、乙两人原来各存款多少元？6．甲、乙两人的存款数额不等，甲的钱是乙的4倍，如果甲取出1500元，乙取出300元，则甲和乙的存款数就相等了，求甲、乙两人各有存款多少元？小课堂Array瑞士著名数学家欧拉在数学的每一个分支中都取得了辉煌的成就，他在双眼失明的情况下仍坚持研究和写作。

第九讲；差倍应用题与和倍应用题相似的是差倍应用题。

它的“基本数学格式”是：已知大、小二数之“差”，又知大数是小数的几倍，求大、小二数各是多少。

上面的问题中，有“差”、有“倍数”，所以叫做差倍应用题。

差倍问题中大、小二数的数量关系可以用下面的线段图表示：从线段图知，“差”是小数(即“1倍”数)的(倍数-1)倍，所以，小数=差÷(倍数-1)。

上式称为差倍公式。

由此得到大数=小数+差，或；大数=小数×倍数。

例如，大、小数之差是152，大数是小数的5倍，则小数=152÷(5-1)=38，大数=38＋152=190或38×5＝190。

例1 王师傅一天生产的零件比他的徒弟一天生产的零件多128个，且是徒弟的3倍。

师徒二人一天各生产多少个零件？分析：师徒二人一天生产的零件的“差”是128个。

小数(即“1倍”数)是徒弟一天生产的零件数，“倍数”为3。

由差倍公式可以求解。

解：徒弟一天生产零件128÷(3-1)=64(个)，师傅一天生产零件128＋64＝192(个)或64×3＝192(个)。

答：徒弟、师傅一天分别生产零件64个和192个。

例2 两根电线的长相差30米，长的那根的长是短的那根的长的4倍。

这两根电线各长多少米？解：“差”＝30，倍数=4，由差倍公式得短的电线长30÷(4-1)＝10(米)，长的电线长10＋30＝40(米)或10×4＝40(米)。

答：短的电线长10米，长的电线长40米。

解差倍应用题的关键是确定“1倍”数是谁，“差”是什么。

上两例中，“1倍”数及“差”都极明显地直接给出。

下面讲两个稍有变化，不直接给出“差”和“1倍”数的例子。

例3 甲、乙二工程队，甲队有56人，乙队有34人。

两队调走同样多人后，甲队人数是乙队人数的3倍。

问：调动后两队各还有多少人？分析：画线段图如下：由上图可知，“1倍”数是乙队调动后剩下的人数。