二次函数和指数对数函数

数值函数、参数函数、通用函数数学中的函数是一种特殊的关系，它将一个或多个输入值映射到唯一的输出值。

函数是数学建模和问题求解的基础，在各个领域都有广泛的应用。

本文将介绍数值函数、参数函数和通用函数的概念及其在实际问题中的应用。

一、数值函数数值函数是指将一个或多个实数作为输入，返回一个实数作为输出的函数。

它可以用一个数学式子来表示，也可以用一张表格或图像来表示。

数值函数的定义域是实数集，值域是实数集。

常见的数值函数包括线性函数、二次函数、指数函数、对数函数等。

线性函数是最简单的数值函数之一，其表达式为f(x) = ax + b，其中a和b为常数。

线性函数的图像是一条直线，斜率a决定了直线的倾斜程度，常数b决定了直线与y轴的交点。

二次函数是一种重要的数值函数，其表达式为f(x) = ax^2 + bx + c，其中a、b和c为常数，且a ≠ 0。

二次函数的图像是一个抛物线，开口方向由二次项系数a的正负决定，常数c决定了抛物线与y轴的交点。

指数函数是以指数为变量的函数，其表达式为f(x) = a^x，其中a 为常数。

指数函数的图像是一条逐渐增加或逐渐减小的曲线，常数a决定了曲线的增长速度。

对数函数是指数函数的反函数，其表达式为f(x) = loga(x)，其中a 为常数且a > 0，且a ≠ 1。

对数函数的图像是一条逐渐平缓或逐渐陡峭的曲线，常数a决定了曲线的陡峭程度。

数值函数在实际问题中有着广泛的应用。

例如，在经济学中，利润函数、成本函数和供需函数都属于数值函数，用于分析和预测市场行为。

在物理学中，速度函数、加速度函数和力函数都是数值函数，用于描述物体的运动规律。

在生物学中，生长函数和衰减函数也是数值函数，用于研究生物体的生长和衰老过程。

二、参数函数参数函数是指函数中含有一个或多个参数的函数。

参数是函数中可变的量，通过改变参数的值，可以得到不同的函数。

参数函数可以用一个数学式子来表示，也可以用一张表格或图像来表示。

一次函数、二次函数、指数函数、对数函数一、一次函数函数(0)y ax b a =+≠叫做一次函数，当a>0时，该函数是增函数，当a<0时，该函数是减函数。

由于函数是单调函数，故其在闭区间上的最大、小值一定在端点取得。

故若函数f(x)=ax+b 在[,]x p q ∈时恒为正（负），则在p 、q 处的函数值满足:f(p)、f(q)恒为正（负）；若函数f(x)=ax+b 在[,]x p q ∈上与x 轴有交点，则在p 、q 出的函数值满足f(p)、f(q)一正一负。

二、二次函数1、 一元二次函数的定义:形如2(0)y ax bx c a =++≠的函数叫做一元二次函数。

2、二次函数的三种表示形式：（1） 一般式：2(0)y ax bx c a =++≠ （2） 顶点式: 2()y a x k h =++ （3） 零点式: 12()()y a x x x x h =+++ 3、 一元二次函数2()(0)f x ax bx c a =++≠的性质（1） 定义域为R ，当a>0时，值域为 244(,)a c ba-+∞； 当a<0是，值域为 244(,)a c ba--∞ （2） 图像为抛物线，其对称轴方程为2b a -，顶点为：2424(,)b ac ba a --；（3） 当a>0时，开口向上，当a<0时，开口向下； （4） 当a>0时，在区间 上是增函数，在区间 上是减函数，当a<0时，在区间 上是增函数，在区间 上是减函数（5） 当 时，该函数是偶函数，当 时，该函数是非奇非偶函数。

4、 一元二次函数2()(0)f x ax bx c a =++≠在闭区间[p,q]（p<q ）上的最值问题（以a>0为例）（1）若2b a q ≤-, 则该函数的最大值为 最小值为 （2）若22p q b a q +≤- ， 则该函数的最大值为 最小值为（3）若22p q b a p +≤-，则该函数的最大值为 最小值为（4）若2b a p - ， 则该函数的最大值为 最小值为 解决这种问题不能死记，应利用数形结合的方法来记忆，也就是抓住“三点一轴”（三点是指区间的端点和区间的中点，一轴是指对称轴。

高考数学中的二次函数与相关题型分析高考数学是考生们最为担心的科目之一，而其中涉及到的二次函数和相关题型更是让人头疼。

二次函数是高中数学的重点和难点，因此在备战高考时务必要重视和复习。

本文将着重分析高考数学中的二次函数和相关题型，并介绍备考中的一些技巧和方法。

一、二次函数的基本概念二次函数是形如 y = ax^2 + bx + c 的一类函数，其中 a、b、c都是实数，且a ≠ 0。

二次函数的图像为一个开口向上或向下的抛物线。

二次函数的一些基本概念包括：1. 零点：指函数图象与 x 轴的交点，也就是方程 ax^2 + bx + c= 0 的解。

2. 判别式：指二次方程 ax^2 + bx + c = 0 的 b^2-4ac 部分，用于判断此方程的解的数量和类型。

3. 对称轴：指函数图象中抛物线的对称轴，其方程为x = -b/2a。

4. 单调性和极值：指函数图象的凹凸性和最值点。

二、高考中的二次函数题型在高考数学中，二次函数的考察主要分为以下几个方面：1. 二次函数的图像及性质该题型主要考查二次函数的开口方向、顶点坐标、对称轴等性质，需要通过化式子、配方法、求导等方法计算。

例如：已知二次函数 f(x) = 2x^2 - 4x + 1，求出它的零点、对称轴和顶点坐标。

2. 二次函数的解析式以及单调性和极值该题型主要考查对二次函数解析式的把握和对单调性和极值的理解，需要通过求导、解方程等方法计算。

例如：已知二次函数 f(x) = x^2 - 2x + 3，求出它的解析式和单调性和极值。

3. 二次函数与其他函数的关系该题型主要考查二次函数与指数函数、对数函数、三角函数等其他函数的关系，需要掌握函数的基本性质和变换。

例如：已知二次函数 y = x^2 + 2x + 1 和指数函数 y = e^x，求出它们的交点坐标。

4. 实际问题中的二次函数该题型主要考查将二次函数应用于实际问题中的能力，需要理解问题背景和建立模型。

函数知识点总结高中一、函数的定义1. 函数的定义函数是自变量和因变量之间的一种映射关系。

一般地，如果对于集合A中的每一个元素x，在集合B中有唯一确定的元素y与之对应，则称y是x的函数值，称这种对应关系为函数，记作y=f(x)。

2. 函数的定义域和值域函数的定义域是自变量的取值范围，值域是因变量的取值范围。

在定义函数的时候，需要确定函数的定义域和值域。

3. 函数的性质函数的性质包括奇偶性、周期性、单调性等，这些性质可以通过函数的图像来判断。

二、函数的图像1. 函数的图像函数的图像是函数在平面直角坐标系上的表示，对于一元函数y=f(x)，可以通过画出函数的图像来直观地理解函数的性质和规律。

2. 基本初等函数的图像常见的初等函数包括线性函数、二次函数、指数函数、对数函数、幂函数、三角函数等，它们都有各自的特点和图像特征。

三、函数的性质1. 奇偶性函数的奇偶性是指函数的图像是否关于原点对称。

如果对于任意x∈D，有f(-x)=f(x)，则函数f(x)是偶函数；如果对于任意x∈D，有f(-x)=-f(x)，则函数f(x)是奇函数。

2. 周期性周期函数的函数值随自变量的变化而重复出现。

周期函数可以用来描述一些具有规律性变化的现象，如正弦函数、余弦函数等。

3. 单调性函数的单调性是指函数在定义域上的增减性。

如果对于任意x1<x2，有f(x1)<f(x2)，则函数f(x)是单调增加的；如果对于任意x1<x2，有f(x1)>f(x2)，则函数f(x)是单调减少的。

4. 极限和连续性函数的极限和连续性是函数的重要性质，它们可以用来描述函数在某一点的趋势和变化规律。

四、常见函数1. 线性函数线性函数是最简单的一种函数，它的图像是一条直线，表示为y=kx+b，其中k是斜率，b是截距。

2. 二次函数二次函数是一种常见的函数，它的图像是一个抛物线，表示为y=ax^2+bx+c，其中a、b、c为常数且a≠0。

考点02 二次函数及指、对数函数问题的探究【知识框图】【自主热身，归纳提炼】1、(2019南京、盐城一模）已知y ＝f(x)为定义在R 上的奇函数，且当x >0时，f (x )＝e x ＋1，则f (－ln2)的值为________．【答案】－3【解析】因为f(x)为奇函数，所以f(－ln 2)＝－f(ln 2)＝－(e ln 2＋1)＝－(2＋1)＝－3.2、(2016常州期末） 函数f (x )＝log 2(－x 2＋22)的值域为________． 【答案】. ⎝⎛⎦⎤－∞，32 【解析】由题意可得－x 2＋22>0，即－x 2＋22∈(0,22]，故所求函数的值域为⎝⎛⎦⎤－∞，32. 3、(2018南京、盐城、连云港二模）函数f(x)＝lg (2－x)的定义域为________．【答案】. (－∞，2)【解析】由题意得2－x>0，即x<2，所以函数f(x)＝lg (2－x)的定义域为(－∞，2)．4、(2018苏州期末）已知4a ＝2，log a x ＝2a ，则正实数x 的值为________． 【答案】 12【解析】由4a ＝2，得22a ＝21，所以2a ＝1，即a ＝12.由log 12x ＝1，得x ＝⎝⎛⎭⎫121＝12.5、(2015南京调研）设函数f (x )＝x 2－3x ＋a .若函数f (x )在区间(1,3)内有零点，则实数a 的取值范围为________． 【答案】⎝⎛⎦⎤0，94 解法 1 由f (x )＝0得a ＝－x 2＋3x ＝－⎝⎛⎭⎫x －322＋94.因为x ∈(1,3)，所以－⎝⎛⎭⎫x －322＋94∈⎝⎛⎦⎤0，94，所以a ∈⎝⎛⎦⎤0，94.解法 2 因为f (x )＝x 2－3x ＋a ＝⎝⎛⎭⎫x －322－94＋a ，所以要使函数f (x )在区间(1,3)内有零点，则需f ⎝⎛⎭⎫32≤0且f (3)>0，解得0<a ≤94.解后反思 解法1将函数有零点的问题转化为方程后，再分离出参数a ，从而转化为求函数的值域来加以解决，这体现了函数与方程之间的相互转化关系的应用；解法2则是借助于函数的图像，通过数形结合的方法来解决的．6、(2015苏州期末） 已知函数f (x )＝lg ⎝⎛⎭⎫1－a 2x 的定义域是⎝⎛⎭⎫12，＋∞，则实数a 的值为________． 【答案】 2【解析】解法1 由1－a 2x >0，得2x >a .显然a >0，所以x >log 2a .由题意，得log 2a ＝12，即a ＝ 2.解法2 (秒杀解法)当x ＝12时，必有1－a2x ＝0，解得a ＝ 2.7、 (2018苏北四市、苏中三市三调）已知函数f (x )＝x 2＋ax ＋b (a ，b ∈R )的图像与x 轴相切，若直线y ＝c 与y ＝c ＋5分别交f (x )的图像于A ，B ，C ，D 四点，且四边形ABCD 的面积为25，则正实数c 的值为________．【答案】4【解析】：由题意得a 2＝4b .又由x 2＋ax ＋b ＝c 得AB ＝|x 1－x 2|＝a 2－4(b －c )＝2c .同理CD ＝2c ＋5.因为四边形ABCD 为梯形，所以25＝12(2c ＋5＋2c )×5，解得c ＝4.8、(2017徐州、连云港、宿迁三检）如图，已知正方形ABCD 的边长为2，BC 平行于x 轴，顶点A ，B 和C 分别在函数13log a y x =，22log a y x =和3log a y x =(1a >)的图象上，则实数a 的值为 ____ ．【答案】2【解析】设)log 3,(t t A a （0>t ），因为正方形ABCD 的边长为2，所以)log 2,(t t B a ，)log 2,(2t t C a ，则⎩⎨⎧=-=-2log 2log 322t t t t a a ，即⎩⎨⎧==--2log 022t t t a ，解之得⎩⎨⎧==22a t ，即所求的实数a 的值为2．9、(2017徐州、连云港、宿迁三检）已知对于任意的(,1)(5,)x ∈-∞+∞U ，都有22(2)0x a x a --+>，则实数a 的取值范围是 ▲ ．【答案】 ]5,1(【解析】 当04)2(42<--=∆a a ，即0452<+-a a ，41<<a 时，满足题意；当04)2(42≥--=∆a a ，即0452≥+-a a ，1≤a 或4≥a 时，则⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥+--≥+--<---<0)2(1050)2(2152)2(2122a a a a a ，解之得⎪⎩⎪⎨⎧≤≤<<5573a a a ，所以53≤<a ，又因为1≤a 或4≥a ，所以54≤≤a ，综上所述，实数a 的取值范围为]5,1(。

比较不同类型函数的单调性在数学中，函数的单调性是一个重要的性质，它可以帮助我们了解函数在不同区间上的变化规律。

接下来，我们将比较不同类型函数的单调性，包括一次函数、二次函数、指数函数、对数函数和反比例函数。

1.一次函数：一次函数的一般形式为y = kx + b，其中k 和 b 为常数，且k≠0。

一次函数的单调性取决于k 的正负。

当k >0 时，函数在R 上为增函数；当k <0 时，函数在R 上为减函数。

2.二次函数：二次函数的一般形式为y = ax²+ bx + c（a≠0）。

二次函数的单调性取决于 a 的正负。

当 a >0 时，函数在R 上开口向上，对称轴为x = -b/2a，此时函数在对称轴两侧分别为增函数和减函数；当 a <0 时，函数在R 上开口向下，对称轴同样为x = -b/2a，此时函数在对称轴两侧分别为减函数和增函数。

3.指数函数：指数函数的一般形式为y = a^x（a >0，且a≠1）。

当a >1 时，函数在R 上为增函数；当0 < a <1 时，函数在R 上为减函数。

4. 对数函数：对数函数的一般形式为y = log_a(x）（a >0，且a≠1）。

当 a >1 时，函数在(0, +∞) 上为增函数；当0 < a <1 时，函数在(0, +∞) 上为减函数。

5.反比例函数：反比例函数的一般形式为y = k/x（k 为常数，且k≠0）。

反比例函数在第一象限和第三象限为增函数，在第二象限和第四象限为减函数。

综上所述，不同类型函数的单调性具有不同的特点。

了解这些性质有助于我们在实际问题中更好地分析和解决相关问题。

在后续的学习中，我们还将探讨更多类型的函数及其性质，以丰富我们的数学知识体系。

高考要求 ……二次函数、指数函数和对数函数……………………… 1掌握二次函数的图像性质； 2掌握指数、对数的运算性质 3掌握指数函数和对数函数的概念、图像和性质，并能解决相关问题。

知识点归纳 1（1）二次函数的图象及性质:二次函数c bx ax y ++=2的图象的对称轴方程是a b x 2-=，顶点坐标是⎭⎝⎛--a b ac a b 4422，（2）最值问题：二次函数f(x)=ax 2+bx+c 在区间[α,β]上的最值一般分为三种情况讨论，即：(1)对称轴-b/(2a)在区间左边，函数在此区间上具有单调性；;(2)对称轴-b/(2a)在区间之内;(3)对称轴在区间右边 要注意系数a 的符号对抛物线开口的影响以及对称轴与区间的相对位置（3）理解好二次函数、一元二次方程及一元二次不等式之间的关系：2分数指数幂的运算性质： )()(),()(),(Q n b a ab Q n m a a Q n m a a a n n n mn n m n m n m ∈⋅=∈=∈=⋅+ s r s r a a a += r r r ab b a )(=3 )10(≠>=a a a y x 且的图象和性质4指数式与对数式的互化：log ba a N Nb =⇔= 5重要公式： 01log =a ，log =a a 对数恒等式N a N a =log6对数的运算法则 （其中0,1,0,0a a N M >≠>>）log ()log log a a a MN M N =+ log log log a a a M M N N=-log log n m a a m M M n= 7对数换底公式：aN a N N m m a log log lg lg log == ( a > 0 ,a ≠ 1 ，m > 0 ,m ≠ 1,N>0) 8两个常用的推论:①1log log =⋅a b b a ， 1log log log =⋅⋅a c b c b a② b mn b a n a m log log =（ a, b > 0且均不为1） 9对数函数的性质：10同底的指数函数xy a =与对数函数log a y x =互为反函数 [速练速改]:1．已知二次函数0)(2=++=c bx ax x f ，0)0(=f ，则=c ；2．函数42)(2-+=x x x f 的对称轴为 ，它有最 值为 ；3．画出函数12)(2--=x x x f 的图像，并由图写出函数的单调性，最值。

指对幂函数知识点总结在数学的世界里，函数是一个非常重要的概念，而指对幂函数更是函数家族中的重要成员。

掌握指对幂函数的相关知识，对于我们理解数学的奥秘、解决实际问题都有着至关重要的作用。

接下来，就让我们一起深入了解指对幂函数的知识点吧。

一、指数函数指数函数的一般形式为$y ＝ a^x$（＄a ＞ 0$且$a ≠ 1$）。

1、定义域指数函数的定义域为$R$，即全体实数。

2、值域当$a ＞ 1$时，函数的值域为$（0, ＋＼infty)＄；当$0 ＜ a ＜ 1$时，函数的值域同样为$（0, ＋＼infty)＄。

3、单调性当$a ＞ 1$时，指数函数在$R$上单调递增；当$0 ＜ a ＜ 1$时，指数函数在$R$上单调递减。

4、图像特点（1）指数函数的图像恒过定点$（0, 1)＄。

（2）当$a ＞ 1$时，图像在$x$轴上方，且从左往右逐渐上升；当$0 ＜ a ＜ 1$时，图像在$x$轴上方，且从左往右逐渐下降。

5、指数运算性质（1）＄a^m × a^n ＝ a^｛m ＋ n}＄（2）＄（a^m)＾n ＝ a^｛mn}＄（3）＄（ab)＾n ＝ a^n b^n$二、对数函数对数函数是指数函数的反函数，一般形式为$y ＝＼log_a x$（＄a ＞ 0$且$a ≠ 1$）。

1、定义域当$a ＞ 1$时，定义域为$（0, ＋＼infty)＄；当$0 ＜ a ＜ 1$时，定义域同样为$（0, ＋＼infty)＄。

2、值域对数函数的值域为$R$，即全体实数。

3、单调性当$a ＞ 1$时，对数函数在$（0, ＋＼infty)＄上单调递增；当$0 ＜ a ＜ 1$时，对数函数在$（0, ＋＼infty)＄上单调递减。

4、图像特点（1）对数函数的图像恒过定点$（1, 0)＄。

（2）当$a ＞ 1$时，图像在$y$轴右侧，从左往右逐渐上升；当$0 ＜ a ＜ 1$时，图像在$y$轴右侧，从左往右逐渐下降。

5、对数运算性质（1）＄＼log_a （MN) ＝＼log_a M ＋＼log_a N$（2）＄＼log_a ＼frac{M}｛N} ＝＼log_a M ＼log_a N$（3）＄＼log_a M^n ＝ n ＼log_a M$6、指对数互化若$a^b ＝ N$，则$＼log_a N ＝ b$。

一次函数一、定义与定义式：自变量x和因变量y有如下关系：y=kx+b则此时称y是x的一次函数。

特别地，当b=0时，y是x的正比例函数。

即：y=kx （k为常数，k≠0）二、一次函数的性质：1.y的变化值与对应的x的变化值成正比例，比值为k 即：y=kx+b （k为任意不为零的实数b取任何实数）2.当x=0时，b为函数在y轴上的截距。

三、一次函数的图像及性质：1．作法与图形：通过如下3个步骤（1）列表；（2）描点；（3）连线，可以作出一次函数的图像——一条直线。

因此，作一次函数的图像只需知道2点，并连成直线即可。

（通常找函数图像与x轴和y轴的交点）2．性质：（1）在一次函数上的任意一点P（x，y），都满足等式：y=kx+b。

（2）一次函数与y轴交点的坐标总是（0，b)，与x轴总是交于（-b/k，0）正比例函数的图像总是过原点。

3．k，b与函数图像所在象限：当k＞0时，直线必通过一、三象限，y随x的增大而增大；当k＜0时，直线必通过二、四象限，y随x的增大而减小。

当b＞0时，直线必通过一、二象限；当b=0时，直线通过原点当b＜0时，直线必通过三、四象限。

特别地，当b=O时，直线通过原点O（0，0）表示的是正比例函数的图像。

这时，当k＞0时，直线只通过一、三象限；当k＜0时，直线只通过二、四象限。

四、确定一次函数的表达式：已知点A（x1，y1）；B（x2，y2），请确定过点A、B的一次函数的表达式。

（1）设一次函数的表达式（也叫解析式）为y=kx+b。

（2）因为在一次函数上的任意一点P（x，y），都满足等式y=kx+b。

所以可以列出2个方程：y1=kx1+b …… ①和y2=kx2+b …… ②（3）解这个二元一次方程，得到k，b的值。

（4）最后得到一次函数的表达式。

五、一次函数在生活中的应用：1.当时间t一定，距离s是速度v的一次函数。

s=vt。

2.当水池抽水速度f一定，水池中水量g是抽水时间t的一次函数。

二次函数的所有知识点二次函数是高中数学中重要的内容之一，它涉及到许多重要的知识点。

下面我将分享一些关于二次函数的重要知识点。

1. 二次函数的定义：二次函数是具有形式f(x) = ax^2 + bx + c的函数，其中a、b、c为常数且a ≠ 0。

其中，a决定了二次函数的开口方向，正值会使函数开口向上，负值会使函数开口向下；b决定了二次函数的位置，正值会使函数向左移动，负值会使函数向右移动；c是二次函数的常数项，它决定了二次函数与y轴的交点。

2. 顶点和对称轴：二次函数的顶点是函数图像的最高点（如果开口向上）或最低点（如果开口向下），顶点的坐标可以通过公式x = -b/(2a)和y = f(-b/(2a))计算得到。

对称轴是过顶点且垂直于x轴的直线，它可以通过公式x = -b/(2a)获得。

3. 零点和因式分解：二次函数的零点是函数图像与x轴的交点，也就是方程f(x) = 0的解。

我们可以使用求根公式x = (-b ± √(b^2-4ac))/(2a)来求解二次函数的零点。

另外，二次函数也可以通过因式分解的方式求解零点，即将二次函数表示为两个一次函数的乘积形式。

4. 判别式与函数图像的性质：在求解二次函数的零点时，判别式D = b^2 - 4ac起到了重要的作用。

当判别式为正时，二次函数有两个不同的实根，图像与x轴有两个交点；当判别式为零时，二次函数有一个实根，图像与x轴有一个交点；当判别式为负时，二次函数没有实根，图像与x轴没有交点。

通过判别式可以判断二次函数的零点个数和函数图像的性质。

5. 最值与增减性：二次函数的最值可以通过顶点坐标得到，如果二次函数开口向上，则最小值为顶点的纵坐标；如果开口向下，则最大值为顶点的纵坐标。

关于函数的增减性，二次函数的增减性取决于a的正负性，当a > 0时，二次函数是上升的，当a < 0时，二次函数是下降的。

6. 对称性与轴对称图形：二次函数具有轴对称性，即关于对称轴对称。