小学数学三年级思维训练 学会倒着想(通用)

学会倒着想学会倒着想〔复原问题〕教学内容：复原问题教学目标：1、通过教学，让学生学会在解决问题时能根据题目的特点，从问题出发，一步一步倒着想，把结果复原成开始状态，从而到达解决问题的目的。

像这类问题叫复原问题，又叫逆运算问题。

2、体会像这种从结果出发，倒着算，也是一种解决问题的常用方法。

教学重点、难点：对于变化复杂的复原问题，会借助列表和画图来帮助解决问题。

例1：一个数减16加上240，再除以7得40，求这个数是多少？分析与解答：我们先理清题中的顺序：如下：÷ 7 －16 ＋240 40用倒着想的方法思考，就是从原来运算的逆运算一步一步地推想。

最后是除以7得40，如果不除以7，那应该是40×7=280；如果不加上240，那应该是280－240=40；如果不减去16，那应该是16＋40=56。

40×7－240＋16 ＝280－240＋16 ＝40＋16 ＝56答：这个数是。

试一试：1、一个数如果加上5，乘5，减去5，再除以5，结果还是5。

这个数是多少？分析：＋5×5－55列式：〔5×5+5〕÷5－5 ＝〔25+5〕÷5－5 ＝30÷5－5 ＝6－5 ＝12、爸爸今年的年龄减去6后，乘3，再加上10后，除以2，正好等于50，爸爸今年多少岁？3、一个数的5倍加上6减去10再除以9，得4。

这个数是多少？例1：一条毛毛虫由幼虫长到成虫，每天长一倍，16天能长到16厘米。

问长到4厘米时要用多少天？分析与解答：由题中条件可知：每天毛毛虫的长度长一倍，也就是每天毛毛虫的长度都是前一天的2倍，倒着想，就是前一天的长度是后一天的一半。

我们就从第16天长到16厘米一天一天往前推算：〔1〕第15天长到多少厘米？ 16÷2＝8〔厘米〕〔2〕第14天长到多少厘米？ 8÷2＝4〔厘米〕答：长到4厘米时要用 14 天。

÷5试一试：1、一条小青虫由幼虫长到成虫，每天长一倍，20天能长到20厘米。

小学生数学问题的逆向思维训练在小学数学的学习中，培养学生的逆向思维能力是一项重要且具有挑战性的任务。

逆向思维，简单来说，就是从问题的相反方向去思考，通过反向推理来解决问题。

这种思维方式不仅能够帮助学生更灵活地应对数学难题，还能锻炼他们的逻辑思维和创新能力，为日后的学习和生活打下坚实的基础。

一、逆向思维在小学数学中的重要性1、拓宽解题思路当学生习惯于正向思考问题时，往往容易陷入固定的思维模式。

而逆向思维能够为他们提供全新的视角，让他们发现更多解决问题的途径。

例如，在计算“一个数加上7 等于15，这个数是多少？”这道题时，正向思维是从已知的加数和和去求另一个加数，而逆向思维则是从和减去已知的加数来得到答案，即 15 7 ＝ 8。

通过这样的训练，学生在面对类似问题时，就能迅速地从不同角度思考，找到最简便的解题方法。

2、增强逻辑推理能力逆向思维要求学生对问题进行反向分析和推理，这有助于培养他们严谨的逻辑思维。

比如，在解决几何图形的面积或周长问题时，通过逆向推导，可以让学生更深入地理解图形的性质和计算公式之间的关系。

3、激发创新意识当学生能够打破常规，从相反的方向思考问题时，往往能够产生独特的想法和创新的解决方案。

这种创新意识在数学学习以及未来的工作和生活中都具有重要的价值。

二、小学生逆向思维能力的现状在当前的小学数学教学中，我们发现部分学生在逆向思维方面存在一些不足。

1、思维定式的束缚由于长期接受正向思维的训练，学生在遇到问题时，第一反应往往是按照常规的方法去思考，难以迅速转换思维方向。

2、对数学概念和公式的理解不够深入如果学生只是机械地记忆数学概念和公式，而没有真正理解其内涵和推导过程，那么在运用逆向思维解决问题时就会感到困难。

3、缺乏逆向思维的训练和引导在教学过程中，教师可能没有给予逆向思维足够的重视，导致学生缺乏相关的训练和实践机会。

三、培养小学生逆向思维的方法1、利用数学游戏和谜题数学游戏和谜题是激发学生兴趣、培养逆向思维的有效手段。

三年级学会倒着想例一浮萍在池塘里所占水面面积每天增加1倍，经过62天整个池塘长满浮萍，浮萍长到半个池塘水面时，用了几天的时间？分析：倒着想，由于“浮萍在池塘里所占水面面积每天增加一倍”，所以第62天池塘浮萍的面积就应该是第61天的两倍，这样不难发现，第61天池塘浮萍的面积就是池塘水面的一半。

练习：往蓄水池里注水，每小时都要比原来的体积增加1倍，如果照这样计算，注入64立方米水用了6个小时，那么注入16立方米水用了几小时？例2小华问数学张老师：“您今年多少岁？”张老师回答说：“用我的年龄数减去8，乘以3，除以11，在加上3，就正好等于你现在的岁数9”。

请你算一算，张老师今年多少岁？分析：从结果倒着想。

由于加上3，结果等于是9，说明没加3之前是9－3=6；同样的，没除以11之前是11×6=66，没乘3之前是66÷3=22，没减去8之前是22+8=30练习一个数加上4，乘4，再减去4，最后除以4，结果还是4，这个数是几？例3在抄写某两个数相乘的习题时，小华将其中一个数45误写成54，结果他所得到的答案比正确答案大198。

这个乘法习题的正确答案是多少？分析：把45误写成54，即比原来的数大9，那个不变的数的9倍正好等于198，因此不变的数是198÷9=22练习小彬在做一道加法题目时，把个位上的4看成了2，把十位上的7看成了8，结果得到的和是251，正确的结果应是多少？一个数减去248，聪聪不小心错把被减数百位和十位的数交换了，结果得429，正确的结果是多少？例4李老师拿着一批书送给36位同学，每到一位同学家里，李老师就将手里所有的书的一半给他，每位同学也都还她一本，最后李老师手里还剩下2本书，那么李老师原来拿了多少本书？分析：从最后一个同学开始逆推，李老师收回最后那位同学给她的1本后还剩2本，当然，给最后那个同学之前有2本；同样的道理，给第35个同学之前是2盒子里有若干个球，小明每次拿出盒中的一半再放回一个球，这样共操作了7次，盒中还有3个球，盒子里原来有多少个球？例5一条彩带，第一次用去一半，第二次又用去剩下的一半，还剩下9米，这条彩带原来长多少米？分析：从下面的线段图上可以看出：剩下的9米和余下的一半同样多，那么可以先求出原来的一半，再求出彩带的全长。

第8讲学会倒着想同学们玩迷宫游戏时，往往会发现，根据要求从里面往外找出路，常常走入死路。

如果倒着想，从外面的出口朝里面走，却能很快到出发点。

例1、一条毛毛虫从幼虫长到成虫，每天长一倍，16天能长到16厘米。

问长到4厘米时要几天？试一试1、一条小青虫从幼虫长到成虫，每天长一倍，20天能长到20厘米。

问长到5厘米时要几天？例2、一个数减16加上240，再除以7得40，求这个数。

试一试2、一个数如果加上5，乘5，减去5，再除以5，结果还是5，那么这个数是多少？例3、小丽在做一道加法计算题时，由于粗心，把个位上的4看做7，十位上的8看做2，结果和是306.正确答案是多少？试一试3、小明在做一道加法计算题时，由于粗心，把个位上的5看做9，十位上的8看做3，结果和是123.正确答案是多少？例4、一根铁丝减去一半，再减去余下的一半，还剩14分米，这根铁丝原来长多少分米？试一试4、小华用压岁钱的一半买了一个新书包，又用余下的一半买了几本文艺书，还剩15元，小华的压岁钱一共多少元？例5、小红、小丽、小华三人分苹果，小红得的比总数的一半多1个，小丽得的比剩下的一半多一个，小华得10个，问原来有多少个苹果？试一试5、小颖看一本故事书，第一天看了这本故事书的一半又10页，第二天看了余下的一半又10页，还剩15页没看，这本书一共多少页?例6、三只笼里共养24只兔子，如果从第一只笼里取出4只放到第二只笼里，再从第二只笼里取出3只放到第三只笼里，那么三只笼里的兔子一样多。

求这三只笼里原来各养了多少只兔子？试一试6、小青、小白、小华都喜爱画片，如果小青给小白11张画片，小白给小华20张画片，小华给小青5张画片后，那么他们三人画片张数一样多。

已知他们三人共有画片150张，他们三人原来各有画片多少张？课后练习：1、有种水草每天能长一倍，8天能张满一池塘，问长满半池塘要多少天？2、一个数的5倍加上6减去10再除以9，得4，求这个数。

学会倒着想在左边这个数字迷宫中，有5个入口和1个出口。

只有相邻的两个数字之和是3的倍数时，才能从它们中间通过。

如果你是游戏中的小朋友，你会选择从哪个入口进去，走怎样的路线顺刹通过迷宫呢?显然，上面这个问题如果顺着去想，就会很麻烦——要尝试很多次。

倒不如反过来想．既然选择一定的路线可以通过迷宫，那么反过来按照同样的路线，也一定可以回到出发点。

因此，不妨把出口当作入口，按照游戏中的规则反过来走（如图1），一次就可以找到问题的答案（如图2）。

像这样从所求问题出发，倒着想，回到已知条件思考问题的方法，就叫作“逆推法”。

其实，不仅在游戏中，更多的也可以用在同学们的数学学习中。

很多题目如果运用逆推法去思考，可以起到化难为易、化繁为简的效果!利用逆推法解题，必要时借助线段图、表格的帮助，可使思路更加清晰、简便!【例1】浮萍在池塘里所占水面面积每天增加1倍，经过62天整个池塘长满了浮萍。

浮萍长到半个池塘水面时，用了几天的时间?分析倒着想。

由于“浮萍在池塘里所占水面面积每天增加1倍”，所以笫62天池塘浮萍的面积就应该是第61天的两倍。

这样不难发现，第61天池塘浮萍的面积就是池塘水面的一半。

〖即学即练1〗往贮水池里注水，每小时都要比原来的体积增加1倍。

如果照这样计算，注入64立方米水用了6小时，那么注入16立方米水用了几小时?【例2】小华问数学张老师：“您今年多少岁了?”张老师回答说：“用我的年龄数减去8，乘以3，除以11，再加上3，就正好等于你现在的岁数9。

”请你算一算，张老师今年多少岁? 分析从结果倒着想。

由于加上3，结果等于是9。

说明没加3之前是9–3 = 6；同样的，没除以11之前是11×6 = 66，没乘3之前是66 ÷ 3 = 22，没减去8之前是22 + 8 = 30。

〖即学即练2〗一个数加上4，乘以4，再减去4，最后除以4，结果还是4。

这个数是几?【例3】在抄写某两个数相乘的习题时，小华将其中一个数45误写成54，结果他所得到的答案比正确答案大198。

第七讲学会倒着想基础夯实1、一个数的4倍减去12得20，求这个数？2、有一种昆虫，由幼虫长到成虫，体长每天增长1倍，20天后正好长到16厘米，请问长到4厘米时用了几天？3、机灵狗在做一道加法题目时，把个位上的4看成了2，把十位上的7看成了8，结果得到的和是251 0问：正确的结果应是多少？新知解答例1、有一位阿姨，她的年龄乘2，减去16后，再除以2加上8，结果恰好是38岁。

这位阿姨今年多少岁？例2、小明妈妈给家里买了一些桃子，第一天他们一家三口吃了全部的一半，第二天吃了剩下的一半，到了第三天他们吃了剩下的一半，这时只剩下3个桃子。

问：小明妈妈买了多少个桃子？例3、甲、乙、丙三人各有连环画书若干本，如果甲给乙9本，乙给丙11本，丙给甲16本，那么三人各有连环画25本。

他们原来每人各有连环画多少本？数学思想与方法：实战演练1、有一位老奶奶，把她今年的年龄加上16，用5除，再减去10，最后用10乘，恰好得100岁。

这位老人今年多少岁？2、用小明爸爸的年龄乘2，再减去20，然后除以6，最后加上2刚好是小明今年的年龄12岁。

小明爸爸今年多少岁？3、一个数的2倍减去31，然后再加上26之后平均分成9份，每份是7。

原来这个数是多少？4、一桶油，第一次倒出了整桶的一半，第二次又倒出了剩下的一半，第三次又倒出了这时剩下的一半，这时桶中还有15干克的油。

这桶油原有少千克？5、李奶奶卖鸡蛋，第一次卖了全部的一半，第二次卖了剩下的一半还多7个，这时篮子中剩下25个鸡蛋。

李奶奶原来带了多少个鸡蛋？6、小梅吃樱桃，第一次吃了一盘的一半，第二次吃了剩下的三分之二，这时盘中剩下1 7个樱桃。

盘子中原来有多少个樱桃？7、甲、乙、丙三辆载重量不一样的货车拉运一批货物，如果甲车拉的货物给乙车6吨，乙车拉的货物给丙车11吨，丙车拉的货物给甲车7吨，则三辆车所拉货物都是20吨。

问：三辆车的载重量各是多少吨？挑战新高1、甲、乙、丙、丁四个同学采集树叶标本，如果甲把自己采集的树叶标本给乙3种，乙给丙5种，丙给丁1种，丁给甲6种，则4个人都采集了10种。

小学数学教学中逆向思维的训练江津区长冲小学张川什么是逆向思维? 逆向思维也叫求异思维，是指由果索因，知本求源，从原问题的相反方向着手的一种思维方式。

也就是我们通常所说的“反过来想一想”。

逆向思维新颖独特，与其他思维方式相辅相成，是创新思维不可或缺的组成部分。

逆向思维，在“逆”字上做文章，摒弃常规的顺向思路，从对立的方向寻求解决问题的策略，是创新思维训练的一大好方法，是小学数学教学的一个目标。

小学阶段，学生的思维已具有了可逆性，重视对学生进行逆向思维的训练，有利于加速学生思维能力的提高，有利于学生数学素质的提高，有利于创新能力的培养。

教学中，可以从以下几方面进行训练：1．逆用概念法则，培养逆向思维的意识概念法则的教学是小学数学教学中的一个重要环节，对数学概念的正确理解，对运算法则的熟练应用，仅靠正向思维是远远不够的。

因此，数学教学中可以通过逆向思维方面的训练来加深理解基础知识。

数学中的许多概念法则来源于问题或问题本身存在着的互逆关系，这些都是培养学生逆向思维的极好素材。

例如：在学习“倍的认识”之后，（1）、3的4倍是（），2的6倍是（）；（正向思维）一个数的3倍是12，这个数是（）；（逆向思维） 12是（）的（）倍；（逆向思维） 2．注重公式的逆运用，激发逆向思维的兴趣在数学上不少公式是由已知知识逆向思维，通过猜测并验证而得到的，解题中，一些所谓技巧和灵活性也是由此而来的。

而学生往往只习惯于从左往右地运用公式，缺乏逆向思维的自觉性和基本功。

显然，这对于学生数学能力的提高是相当不利的。

在教学中注重对公式的逆运用，往往能达到出奇制胜的效果。

3．重视非常规的解题方法，努力追求思维的独创性对于一些数学问题，在运用正向思维去解答时，教师也可以注意启发学生运用逆向思维去求解，由此寻找解决问题的方法，这将产生意想不到的效果。

正难则反，往往取得成功。

如解答分数计算题：1/6+1/12+1/20+1/30+1/42 分析：此题若按常规解法，即先通分再计算，显然很繁琐，学生往往感到困难，教师若引导学生联想，则可给学生提供一种新的解题思路。

2008年秋三年级奥数精英班讲义 姓名学会倒着想 家长一、学习要点在小学数学中，有些问题的解答，就象走迷宫一样，如果从已知条件向所求问题推想会比较困难，倒着想反而容易的多。

此类问题的解决，首先要理解数量运算的顺序，从所给的结果出发，按它变化的相反方向，用与原来相反的运算方法，一步一步倒着算，直到问题解决为止。

同时也可以用线段、表格等方式帮助理解题意。

二、例题讲解1、一条小青虫从幼虫长到成虫，每天长一倍，20天长到了20厘米，它长到5厘米的时候用了几天？2、一个数如果加上5，乘5，减5，再除以5，结果还是5，那么这个数是多少？3、小明在做一道加法计算时，不小心将个位上的5看成9，把十位上的8看成3，结果所得到的和是123，正确的答案应该是？4、小华用压岁钱的一半买了一只新书包，有用余下的一半买了几本文艺书，还剩15元，小华一共有多少压岁钱？5、小力看一本故事书，第一天看了这本书的一半又10页，第二天看了剩余的一半又10页，还剩15页没有看，这本书一共有多少页？6、小青、小白和小画都爱看画片，如果小青给小白11张画片，小白给小华20张画片，小华给小青5张后，那么他们三人的画片的张数就同样多了，已知他们三人一共有画片150张，他们三人原来各有几张画片？三、巩固练习1、有一种水草每天能长一倍，8天能长满一池塘。

问长满半池塘要用多少天？2、一个数的5倍加6减10，再除以9，最后得4，求这个数。

3、小虎做一道减法题时，把减数十位上的8错看成了5，个位上的7看成了1，结果求出的数是236，正确的差应该是几？4、妈妈买回一些苹果。

第一天吃掉一半又半个，第二天吃了余下的一半又半个，第三天又吃了余下的一半又半个，恰好吃完，妈妈一共买了几个苹果？5、某人乘车从甲地到乙地，行了一半时开始睡觉，当他醒来时发现火车又行了睡觉时剩下路程的一半，这时离乙地还有100千米，问两地之间有多少千米？6、兄弟二人各有一些橘子。

哥哥给弟弟一些后，弟弟的橘子是原来的2倍，弟弟再拿出与哥哥剩余的同样多的橘子给哥哥，这时两人都有8个橘子。

●课程目标：逆推法的应用●课程重点：利用逆推法解题●教学过程：典型例题讲解【例1】有一种昆虫，由幼虫长到成虫，体长每天增长1倍，20天后正好长到20厘米，请问长到5厘米时用了几天？✓训练快餐1⑴往一个篮子里放鸡蛋，假定篮子里的鸡蛋数目每分钟增加1倍，这样放下去，10分钟时，篮子放满了。

那么，几分钟时恰好放入半篮子鸡蛋？⑵往贮水池里注水，每小时都要比原来的体积增加一倍。

如果照这样计算，注入64立方米水用了6小时，那么注入16立方米水用了几小时？【例2】小华问数学张老师：“你今年多少岁了？”张老师回答说：“用我的年龄数减去8，乘以3，除以11，再加上3，就正好等于你现在的岁数9.”请你算一算，张老师今年多少岁？✓训练快餐2⑴一个数的4倍减去12得20，求这个数？⑵一个数加上4，乘以4，再减去4，最后除以4，结果还是4.这个数是几？【例3】小马虎在做一道加法题目时，把个位上的5看成了9，把十位上的8看成了3，结果得到的和是123。

问：正确的结果应是多少？✓训练快餐3⑴机灵狗在做一道加法题目时，把个位上的4看成了2，把十位上的7看成了8，结果得到的和是251.问：正确的结果应是多少？⑵一个数减去248，聪聪不小心错把被减数百位和十位上的数变换了，结果得439.问正确的结果是多少？【例4】李老师拿着一批数送给36位同学，每到一位同学家里，李老师就将所有的书的一半给他，每位同学也都还她一本，最后李老师还剩下2本书，那么李老师原来拿了多少本书？✓训练快餐4⑴袋里有若干个球，小明每次拿出其中的一半再放回1个球，这样共操作了5次，袋中还有3个球。

问：袋中原有多少个球？⑵猪八戒总想发财，一天悟空对猪八戒说：“你把你的钱放在一个树洞中，我吹一口仙气，你的钱就会增长一倍。

不过，你要付32元给我作为给我的报酬。

”八戒一听，连忙赞成。

可是，四次之后，八戒大喊上当。

原来，四次之后，八戒一分钱都没有了。

同学们，你们知道八戒原来有多少钱吗？【例5】一条彩带，第一次用去一半，第二次又用去剩下的一半，还剩下9米。