函数对称性、周期性和奇偶性规律总结

函数的对称性、周期性、奇偶性的规律探究在学习函数这一章中，许多同学被函数的若干性质弄的头昏脑涨，事实上，只要把握其中的规律，也就不困难了。

现把规律总结如下：规律（一） 定义在R 上的函数y=f(x)满足f(x+a)=f(-x+a),则函数y=f(x)的图象关于直线x=a 对称.证明：设点P （)0,0y x 是函数y=f(x)图象上的任意一点坐标，则关于直线x=a 对称点坐标P '为（2a-),00y x ,用a-0x 替换f(x+a)=f(-x+a)中的x 可得f(2a-)0x =f()0x =0y ,故点P '满足函数y=f(x)的解析式，所以点P '在函数y=f(x)的图象上，故函数y=f(x)的图象关于直线x=a 对称推论（一） 定义在R 上的函数y=f(x)满足f(x+a)=f(-x+b), 则函数y=f(x)的图象关于直线x=2b a +对称(提示：用b-0x 替换f(x+a)=f(-x+b)中的x).总结：x 的系数一个为1，一个为-1，相加除以2，可得对称轴方程规律（二）定义在R 上的函数y=f(x)满足f(x+a)=f(x-a),则2a 是函数y=f(x)的一个周期。

证明：用x+a 替换f(x+a)=f(x-a)中的x ，得f(x+2a)=f(x)由周期函数的定义可得2a 是它的一个周期。

推论（二）定义在R 上的函数y=f(x)满足f(x+a)=f(x-b),则a+b 是函数y=f(x)的一个周期。

（提示：用x+b 替换f(x+a)=f(x-b)中的x 即得）总结：x 的系数均为1，相减不除以2.规律（三） 定义在R 上的函数y=f(x)满足f(x+a)=f(-x+a)，且是一个奇函数，则4a 是它的一个周期。

证明：由f(x+a)=f(-x+a)可得f(-x)=f(x+2a),由奇函数的性质可得-f(x) =f(x+2a),用x+2a 替换x 得-f(x+2a)=f(x+4a),所以f(x)=f(x+4a),故 4a 是它的一个周期。

抽象函数的对称性、奇偶性与周期性常用结论一.概念:抽象函数是指没有给出具体的函数解析式或图像,只给出一些函数符号及其满足的条件的函数,如函数的定义域,解析递推式,特定点的函数值,特定的运算性质等,它是高中函数部分的难点,也是大学高等数学函数部分的一个衔接点,由于抽象函数没有具体的解析表达式作为载体,因此理解研究起来比较困难，所以做抽象函数的题目需要有严谨的逻辑思维能力、丰富的想象力以及函数知识灵活运用的能力1、周期函数的定义：对于定义域内的每一个，都存在非零常数，使得()f x x T ()()f x T f x +=恒成立，则称函数具有周期性，叫做的一个周期，则（()f x T ()f x kT ）也是的周期，所有周期中的最小正数叫的最小正周期。

,0k Z k ∈≠()f x ()f x 分段函数的周期：设是周期函数，在任意一个周期内的图像为C:)(x f y =),(x f y =。

把个单位即按向量[]a b T b a x -=∈,,)()(a b K KT x x f y -==轴平移沿在其他周期的图像：)()0,(x f y kT a ==平移，即得。

[]b kT a kT x kT x f y ++∈-=,),(2、奇偶函数：设[][][]b a a b x b a x x f y ,,,),( --∈∈=或①若为奇函数；则称)(),()(x f y x f x f =-=-②若。

为偶函数则称)()()(x f y x f x f ==-分段函数的奇偶性3、函数的对称性：（1）中心对称即点对称：①点对称；关于点与),()2,2(),(b a y b x a B y x A --②对称；关于与点),(),(),(b a y b x a B y b x a A ++--③成中心对称；关于点与函数),()2(2)(b a x a f y b x f y -=-=④成中心对称；关于点与函数),()()(b a x a f y b x a f y b +=+-=-⑤成中心对称。

函数奇偶性、对称性与周期性奇偶性、对称性和周期性是函数的重要性质，下面总结关于它们的一些重要结论及运用它们解决抽象型函数的有关习题。

一、几个重要的结论（一）函数)(x f y =图象本身的对称性（自身对称）2、)2()(x a f x f -=⇔)(x f y =的图象关于直线a x =对称。

3、)2()(x a f x f +=-⇔)(x f y =的图象关于直线a x =对称。

4、)()(x b f x a f -=+⇔)(x f y =的图象关于直线22)()(b a x b x a x +=-++=对称。

5、b x a f x a f 2)()(=-++⇔)(x f y =的图象关于点),(b a 对称。

6、b x a f x f 2)2()(=-+⇔)(x f y =的图象关于点),(b a 对称。

7、b x a f x f 2)2()(=++-⇔)(x f y =的图象关于点),(b a 对称。

8、c x b f x a f 2)()(=-++⇔)(x f y =的图象关于点),2(c b a +对称。

（二）两个函数的图象对称性（相互对称）（利用解析几何中的对称曲线轨迹方程理解）1、函数)(x a f y +=与)(x a f y -=图象关于直线0=x 对称。

2、函数)(x f y =与)2(x a f y -=图象关于直线a x =对称3、函数)(x f y -=与)2(x a f y +=图象关于直线a x -=对称4、函数)(x a f y +=与)(x b f y -=图象关于直线0)()(=--+x b x a 对称 即直线2a b x -=对称 5、函数)(x f y =与)(x f y -=图象关于X 轴对称。

6、函数)(x f y =与)(x f y -=图象关于Y 轴对称。

7、函数)(x f y =与)(x f y --=图象关于原点对称（三）函数的周期性1、)()(x f T x f =+⇔)(x f y =的周期为T2、)()(b x b f a x f ++=+)(b a <⇔)(x f y =的周期为a b T -=3、)()(x f a x f -=+⇔)(x f y =的周期为a T 2=4、)(1)(x f a x f =+⇔)(x f y =的周期为a T 2= 5、)(1)(x f a x f -=+⇔)(x f y =的周期为a T 2= 6、)(1)(1)(x f x f a x f +-=+⇔)(x f y =的周期为a T 3= 7、1)(1)(+-=+x f a x f ⇔)(x f y =的周期为a T 3= 8、)(1)(1)(x f x f a x f -+=+⇔)(x f y =的周期为a T 4= 9、)()()2(x f a x f a x f -+=+⇔)(x f y =的周期为a T 6=10、)(x f y =有两条对称轴a x =和b x =（)b a <⇔)(x f y =周期)(2a b T -=11、)(x f y =有两个对称中心)0,(a 和)0,(b ⇔)(x f y =周期)(2a b T -=12、)(x f y =有一条对称轴a x =和一个对称中心)0,(b ⇔)(x f y =周期)(4a b T -=13、奇函数)(x f y =满足)()(x a f x a f -=+⇔)(x f y =周期a T 4=。

2020届高中数学：函数的奇偶性与周期性、对称性知识点总结1．奇、偶函数的概念(1)偶函数一般地，如果对于函数f (x )的定义域内任意一个x ，都有 ，那么函数f (x )就叫做偶函数．(2)奇函数一般地，如果对于函数f (x )的定义域内任意一个x ，都有 ，那么函数f (x )就叫做奇函数．2．奇、偶函数的图象特征偶函数的图象关于 对称；奇函数的图象关于 对称．3．具有奇偶性函数的定义域的特点具有奇偶性函数的定义域关于 ，即“定义域关于 ”是“一个函数具有奇偶性”的 条件．4．周期函数的概念(1)周期、周期函数对于函数f (x )，如果存在一个 T ，使得当x 取定义域内的 值时，都有 ，那么函数f (x )就叫做周期函数．T 叫做这个函数的周期．(2)最小正周期如果在周期函数f (x )的所有周期中存在一个___的正数，那么这个最小正数就叫做f (x )的最小正周期．5．函数奇偶性与单调性之间的关系(1)若函数f (x )为奇函数，且在[a ，b ]上为增(减)函数，则f (x )在[－b ，－a ]上为 ；(2)若函数f (x )为偶函数，且在[a ，b ]上为增(减)函数，则f (x )在[－b ，－a ]上为 ．6．奇、偶函数的“运算”(共同定义域上)奇±奇＝ ，偶±偶＝ ，奇×奇＝ ，偶×偶＝ ，奇×偶＝ .7．函数的对称性如果函数f (x )，x ∈D ，满足∀x ∈D ，恒有f (a ＋x )＝f (b －x )，那么函数的图象有对称轴x ＝a ＋b 2；如果函数f (x )，x ∈D ，满足∀x ∈D ，恒有f (a －x )＝－f (b ＋x )，那么函数的图象有对称中心⎝⎛⎭⎫a ＋b 2，0.8．函数的对称性与周期性的关系(1)如果函数f (x )(x ∈D )在定义域内有两条对称轴x ＝a ，x ＝b (a <b )，则函数f (x )是周期函数，且周期T ＝2(b －a )(不一定是最小正周期，下同)．(2)如果函数f(x)(x∈D)在定义域内有两个对称中心A(a，0)，B(b，0)(a<b)，那么函数f(x)是周期函数，且周期T＝2(b－a)．(3)如果函数f(x)，x∈D在定义域内有一条对称轴x＝a和一个对称中心B(b，0)(a≠b)，那么函数f(x)是周期函数，且周期T＝4|b－a|.答案1．(1)f(－x)＝f(x)(2)f(－x)＝－f(x)2．y轴原点3．原点对称原点对称必要不充分4．(1)非零常数每一个f(x＋T)＝f(x)(2)最小5．(1)增(减)函数(2)减(增)函数6．奇偶偶偶奇。

函数的奇偶性、周期性、对称性【知识梳理】一、函数的奇偶性1．函数奇偶性的定义：函数f (x) 的定义域必须关于原点对称，对定义域内的任意一个x 都满足① f ( x) f (x) 函数f (x) 为偶函数；② f( x) f(x) f( x) f(x) 0 函数f(x)为奇函数.2．奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y 轴对称；反过来如果一个函数的图像关于原点对称，则该函数为奇函数，若该函数的图像关于y 轴对称，该函数为偶函数.3．函数奇偶性的性质①既是奇函数又是偶函数的函数只有一种类型，即f(x) 0，x D ，其中定义域D是关于原点对称的非空数集.②奇函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性完全相同.即奇函数f(x) 在区间[a,b](0 a b)上单调递增(减) ，则f(x)在区间[ b, a]上也是单调递增(减) ；③偶函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性恰恰相反.即偶函数f(x) 在区间[a,b](0 a b)上单调递增(减) ，则f(x)在区间[ b, a]上也是单调递减(增) ；注意：1)若函数f ( x), g( x)都为奇函数或都为偶函数，则函数F(x) f (x)g(x)为偶函数；2)若函数f (x), g( x)其中一个为奇函数，另一个为偶函数，则函数F(x) f(x)g(x) 为奇函数；3)若函数f (x), g( x)都为奇函数，则函数F(x) f (x) g( x)为奇函数；4)若函数f (x), g(x)都为偶函数，则函数F(x) f(x) g( x)为偶函数.二、函数的对称性1、对定义域的要求：无论是轴对称还是中心对称，均要求函数的定义域要关于对称轴(或对称中心)对称2、轴对称的等价描述：1)f a x f a x f x 关于x a 轴对称(当a0时，就是偶函数)2)f a x f b x f x 关于x ab轴对称23)f x a是偶函数，则 f x a f x a ，可得到：fx关于x a 轴对称。

函数奇偶性对称性周期性知识点总结函数的奇偶性、对称性和周期性是数学中经常研究的重要性质。

它们描述了函数的特征和性质，对于理解函数的行为和解决问题都具有重要意义。

下面将分别对这三个概念进行总结。

一、函数的奇偶性1.奇函数：如果对于函数f(x)，对任意的x，都有f(-x)=-f(x)，那么称该函数为奇函数。

即函数在原点关于y轴对称。

奇函数的特点：-奇函数的图像关于原点(0,0)对称。

-当函数的定义域包括0时，即使x等于0，函数值仍然等于0。

常见的奇函数有：- 正弦函数sin(x)。

-奇数次幂的多项式函数，如x^3、x^5等。

2.偶函数：如果对于函数f(x)，对任意的x，都有f(-x)=f(x)，那么称该函数为偶函数。

即函数在原点关于x轴对称。

偶函数的特点：-偶函数的图像关于x轴对称。

-当函数的定义域包括0时，对于任意的x，f(0)=f(-x)=f(x)。

常见的偶函数有：- 余弦函数cos(x)。

-偶数次幂的多项式函数，如x^2、x^4等。

3.奇偶性的判断方法：-对于已知函数，可以通过代数运算证明是否满足奇偶性的定义。

-函数图像的轴对称性可以直接判断奇偶性。

-对于周期函数，可以利用周期性的性质判断奇偶性。

二、函数的对称性1.关于y轴对称：如果对于函数f(x)，对任意的x，都有f(-x)=f(x)，那么称该函数关于y轴对称。

即函数的图像左右对称。

2.关于x轴对称：如果对于函数f(x)，对任意的x，都有f(-x)=-f(x)，那么称该函数关于x轴对称。

即函数的图像上下对称。

3.关于原点对称：如果对于函数f(x)，对任意的x，都有f(-x)=-f(x)，那么称该函数关于原点对称。

即函数的图像关于原点对称。

三、函数的周期性1.周期函数：如果存在一个正实数T，对于函数f(x)，对于任意的x，都有f(x+T)=f(x)，那么称该函数为周期函数，T为函数的周期。

周期函数的特点：-周期函数在一个周期内的函数值是相同的。

函数对称性、周期性和奇偶性规律一、 同一函数的周期性、对称性问题(即函数自身)1、 周期性：对于函数)(x f y =，如果存在一个不为零的常数T ，使得当x 取定义域的每一个值时，都有)()(x f T x f =+都成立，那么就把函数)(x f y =叫做周期函数，不为零的常数T 叫做这个函数的周期。

如果所有的周期中存在着一个最小的正数，就把这个最小的正数叫做最小正周期。

2、 对称性定义（略），请用图形来理解。

3、 对称性：我们知道：偶函数关于y （即x=0）轴对称，偶函数有关系式)()(x f x f =-奇函数关于（0，0）对称，奇函数有关系式0)()(=-+x f x f上述关系式是否可以进行拓展？答案是肯定的 探讨：（1）函数)(x f y =关于a x =对称⇔)()(x a f x a f -=+)()(x a f x a f -=+也可以写成)2()(x a f x f -= 或 )2()(x a f x f +=-简证：设点),(11y x 在)(x f y =上，通过)2()(x a f x f -=可知，)2()(111x a f x f y -==，即点)(),2(11x f y y x a =-也在上，而点),(11y x 与点),2(11y x a -关于x=a 对称。

得证。

若写成：)()(x b f x a f -=+，函数)(x f y =关于直线22)()(ba xb x a x +=-++=对称 （2）函数)(x f y =关于点),(b a 对称⇔b x a f x a f 2)()(=-++b x f x a f 2)()2(=-++上述关系也可以写成 或 b x f x a f 2)()2(=+-简证：设点),(11y x 在)(x f y =上，即)(11x f y =，通过b x f x a f 2)()2(=+-可知，b x f x a f 2)()2(11=+-，所以1112)(2)2(y b x f b x a f -=-=-，所以点)2,2(11y b x a --也在)(x f y =上，而点)2,2(11y b x a --与),(11y x 关于),(b a 对称。

函数的奇偶性、对称性与周期性常用结论，史上最全函数是高中数学的重点与难点，在高考数学中占分比重巨大。

高考中对函数的考查灵活，相关的结论众多，有奇偶性，对称性，还有周期性，这些结论及变形能否掌握，都影响着学生的最终成绩。

本篇将函数的奇偶性、对称性与周期性常用的结论进行总结，希望对同学们有帮助。

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1.奇偶函数：设[][][]b a a b x b a x x f y ,,,),( --∈∈=或奇偶函数的定义域关于原点对称。

①若为奇函数；则称)(),()(x f y x f x f =-=-()()()0,1()f x f x f x f x +-==-- ②若为偶函数则称)()()(x f y x f x f ==-。

()()-()0,1()f x f x f x f x -==- 2.周期函数的定义：对于()f x 定义域内的每一个x ，都存在非零常数T ，使得()()f x T f x +=恒成立，则称函数()f x 具有周期性，T 叫做()f x 的一个周期，则kT （,0k Z k ∈≠）也是()f x 的周期，所有周期中的最小正数叫()f x 的最小正周期。

分段函数的周期：设)(x f y =是周期函数，在任意一个周期内的图像为C:),(x f y =[]a b T b a x -=∈,,。

把)()(a b K KT x x f y -==轴平移沿个单位即按向量)()0,(x f y kT a ==平移，即得在其他周期的图像：[]b kT a kT x kT x f y ++∈-=,),(。

[][]⎩⎨⎧++∈-∈=b kT a,kT x )(b a, x)()(kT x f x f x f函数周期性的几个重要结论2、()()f x a f x b +=+ ⇔)(x f y =的周期为a b T -=3、)()(x f a x f -=+ ⇔)(x f y =的周期为a T 2=4、)(1)(x f a x f =+⇔)(x f y =的周期为a T 2= 5、)(1)(x f a x f -=+⇔)(x f y =的周期为a T 2=6、)(1)(1)(x f x f a x f +-=+ ⇔)(x f y =的周期为a T 3=7、 1)(1)(+-=+x f a x f ⇔)(x f y =的周期为a T 2= 8、)(1)(1)(x f x f a x f -+=+ ⇔)(x f y =的周期为a T 4=9、)()()2(x f a x f a x f -+=+ ⇔)(x f y =的周期为a T 6= 10、若.2, )2()(,0p T p px f px f p =-=>则推论：偶函数)(x f y =满足)()(x a f x a f -=+⇔)(x f y = 周期a T 2=推论：奇函数)(x f y =满足)()(x a f x a f -=+⇔)(x f y = 周期a T 4=函数的对称性：（1）中心对称即点对称：①点对称；关于点与),()2,2(),(b a y b x a B y x A -- ②对称；关于与点),(),(),(b a y b x a B y b x a A ++--③成中心对称；关于点与函数),()2(2)(b a x a f y b x f y -=-= ④成中心对称；关于点与函数),()()(b a x a f y b x a f y b +=+-=- ⑤成中心对称。

函数的奇偶性对称性与周期性总结史上最全1.函数的奇偶性在介绍函数的奇偶性之前，我们先来回顾一下函数的定义。

函数是一种映射关系，它将一个集合的元素映射到另一个集合的元素上。

在数学中，常用的函数表示方法是y=f(x)，其中x表示自变量，y表示因变量。

一个函数被称为奇函数，当且仅当对于任意x，f(-x)=-f(x)成立。

换句话说，奇函数关于y轴对称。

例如，y=x^3就是一个奇函数，因为f(-x)=(-x)^3=-x^3=-f(x)。

一个函数被称为偶函数，当且仅当对于任意x，f(-x)=f(x)成立。

换句话说，偶函数关于y轴对称。

例如，y=x^2就是一个偶函数，因为f(-x)=(-x)^2=x^2=f(x)。

有些函数既不是奇函数也不是偶函数，它们被称为非奇非偶函数。

例如，y=x是一个非奇非偶函数，因为f(-x)=-x=-f(x)不成立，f(-x)也不等于f(x)。

2.函数的对称性函数的对称性是指函数图像在其中一种变换下保持不变。

常见的对称性有关于y轴对称、关于x轴对称和关于原点对称。

关于y轴对称是指函数图像关于y轴对称，即对于任意的x，f(-x)=f(x)。

这时函数的奇偶性可以被判断出来，如果f(-x)=f(x)，则函数是一个偶函数；如果f(-x)=-f(x)，则函数是一个奇函数。

关于x轴对称是指函数图像关于x轴对称，即对于任意的x，f(x)=f(-x)。

这时函数可以被看作是一个非奇非偶函数。

关于原点对称是指函数图像关于原点对称，即对于任意的x，f(x)=-f(-x)。

这时函数可以被看作是一个非奇非偶函数。

3.函数的周期性一个函数被称为周期函数，当且仅当存在一个正数T，对于任意的x，f(x+T)=f(x)成立。

换句话说，函数的值在周期T内不发生变化。

周期函数的最小正周期被称为函数的周期。

周期函数是一类特殊的函数，它在一些范围内不断重复。

我们可以通过观察函数的图像来判断函数是否具有周期性。

如果函数的图像在一个范围内不断重复，则函数是一个周期函数；如果函数的图像没有重复的部分，则函数是一个非周期函数。

抽象函数的奇偶性、周期性和对称性一、奇偶性1、奇函数的定义：一般地，如果对于函数()f x 的定义域内任意一个x ，都有)()(x f x f -=-，那么 函数()f x 就叫做奇函数。

（1）定义域必须关于原点对称；（2）对定义中的任意一个x ，都有)()(x f x f -=-；（3）图象特征：奇函数图象关于原点对称。

（这是判断奇函数的直观方法）2、偶函数定义：一般地，如果对于函数()f x 的定义域内任意一个x ，都有)()(x f x f =-，那么函数 ()f x 就叫做偶函数。

（1）定义域必须关于原点对称；（2）对定义中的任意一个x ，都有)()(x f x f =-； （3）图象特征：偶函数图象关于y 轴对称。

（这是判断偶函数的直观方法） 二、周期性周期函数的定义：对于()f x 定义域内的每一个x ，都存在非零常数T ，使得()()f x T f x +=恒成立，则称函数()f x 具有周期性，T 叫做()f x 的一个周期，则kT （,0k Z k ∈≠）也是()f x 的周期，所有周期中的最小正数叫()f x 的最小正周期，并不是所有周期函数都存在最小正周期。

例如，狄利克雷函数，当x 为有理数时，()f x 取1；当x 为非有理数时，()f x 取0。

（1）如果函数)(x f y =满足)()(11x T f x T f -=+且)()(22x T f x T f -=+，（1T 和2T 是不相等的常数），则)(x f y =是以为)(212T T -为周期的周期函数。

（2）如果奇函数)(x f y =满足)()(x T f x T f -=+（0≠T ），则函数)(x f y =是以T 4为周期的周期函数。

（3）如果偶函数)(x f y =满足)()(x T f x T f -=+（0≠T ），则函数)(x f y =是以T 2为周期的三、对称性1、函数图象本身的对称性（自身对称）题设：函数)(x f y =对定义域内一切x 来说，其中a 为常数，函数)(x f y =满足： （1）)()(x a f x a f -=+⇔函数)(x f y =图象关于直线a x =成轴对称； （2）)()2(x f x a f =-⇔函数)(x f y =的图象关于直线a x =成轴对称；（3）)()(x b f x a f -=+⇔函数)(x f y =图象关于直线22)()(b a x b x a x +=-++=成轴对称； （4）)(x f -=)(x f ⇔函数)(x f y =图象关于y 轴对称（偶函数）； （5）)(2)2(x f b x a f -=-⇔函数)(x f y =图象关于),(b a 成中心对称； （6）)(x f -=—)(x f ⇔函数)(x f y =图象关于原点成中心对称（奇函数）；（7）如果函数)(x f y=满足)()(11x T f x T f -=+且)()(22x T f x T f -=+，（1T 和2T 是不相等的 常数），则)(x f y =是以为)(212T T -为周期的周期函数；（8）如果奇函数)(x f y =满足)()(x T f x T f -=+（0≠T ），则函数)(x f y =是以T 4为周期（9）如果偶函数)(x f y =满足)()(x T f x T f -=+（0≠T ），则函数)(x f y =是以T 2为周期 的周期函数。

函数奇偶性、对称性、周期性知识点总结推论3、)2()(x a f x f +=- ⇔)(x f y =的图象关于直线a x =对称推论1、b x a f x a f 2)()(=-++ ⇔)(x f y =的图象关于点),(b a 对称推论2、b x a f x f 2)2()(=-+ ⇔)(x f y =的图象关于点),(b a 对称推论3、b x a f x f 2)2()(=++- ⇔)(x f y =的图象关于点),(b a 对称（二）两个函数的图象对称性（相互对称）（利用解析几何中的对称曲线轨迹方程理解）1、偶函数)(x f y =与)(x f y -=图象关于Y 轴对称2、奇函数)(x f y =与)(x f y --=图象关于原点对称函数3、函数)(x f y =与()y f x =-图象关于X 轴对称4、互为反函数)(x f y =与函数1()y f x -=图象关于直线y x =对称推论1:函数)(x a f y +=与)(x a f y -=图象关于直线0=x 对称推论2:函数)(x fy-=图象关于直线afay=与)2(xx=对称推论3:函数)fy+=图象关于直线aa2(xf(xy-=与)=x-对称（三）抽象函数的对称性与周期性1、抽象函数的对称性性质1 若函数y＝f(x)关于直线x＝a轴对称，则以下三个式子成立且等价：（1）f(a＋x)＝f(a－x) （2）f(2a－x)＝f(x) （3）f(2a＋x)＝f(－x)性质2 若函数y＝f(x)关于点（a，0）中心对称，则以下三个式子成立且等价：（1）f(a＋x)＝－f(a－x)（2）f(2a－x)＝－f(x)（3）f(2a＋x)＝－f(－x)易知，y＝f(x)为偶（或奇）函数分别为性质1（或2）当a＝0时的特例。

2、复合函数的奇偶性定义1、若对于定义域内的任一变量x，均有f[g(－x)]＝f[g(x)]，则复数函数y＝f[g(x)]为偶函数。

函数奇偶性、对称性与周期性结论汇总奇偶性、对称性和周期性是函数的重要性质，下面总结关于它们的一些重要结论及运用它们解决抽象型函数的有关习题。

一、几个重要的结论（一）函数)(x f y =图象本身的对称性（自身对称）1、)()(x a f x a f -=+ ⇔)(x f y =的图象关于直线a x =对称。

2、)2()(x a f x f -= ⇔)(x f y =的图象关于直线a x =对称。

3、)2()(x a f x f +=- ⇔)(x f y =的图象关于直线a x =对称。

4、)()(x b f x a f -=+ ⇔)(x f y =的图象关于直线22)()(b a x b x a x +=-++=对称。

5、b x a f x a f 2)()(=-++ ⇔)(x f y =的图象关于点),(b a 对称。

6、b x a f x f 2)2()(=-+ ⇔)(x f y =的图象关于点),(b a 对称。

7、b x a f x f 2)2()(=++- ⇔)(x f y =的图象关于点),(b a 对称。

8、c x b f x a f 2)()(=-++ ⇔)(x f y =的图象关于点),2(c b a +对称。

（二）两个函数的图象对称性（相互对称）（利用解析几何中的对称曲线轨迹方程理解）1、函数)(x a f y +=与)(x a f y -=图象关于直线0=x 对称。

2、函数)(x f y =与)2(x a f y -=图象关于直线a x =对称3、函数)(x f y -=与)2(x a f y +=图象关于直线a x -=对称4、函数)(x a f y +=与)(x b f y -=图象关于直线0)()(=--+x b x a 对称，即直线2a b x -=对称 5、函数)(x f y =与)(x f y -=图象关于X 轴对称。

6、函数)(x f y =与)(x f y -=图象关于Y 轴对称。

函数周期性、对称性与奇偶性的关系一、函数图象的对称性(一)一个函数图象自身的对称性性质1：对于函数，若存在常数使得函数定义域内的任意，都有的图象关于直线对称.【注】： 亦然.【特例】当时，的图象关于直线对称.【注】亦然.性质2：对于函数，若存在常数使得函数定义域内的任意，都有的图象关于点对称.【特例】当时，的图象关于点对称.【注】 亦然.事实上，上述结论是广义奇(偶)函数的性质. 性质3：设函数，如果对于定义域内任意的，都有，则的图象关于直线对称.(这实际上是偶函数的一般情形)广义偶函数.性质4：设函数，如果对于定义域内任意的，都有，则的图象关于点对称.(实际上是奇函数的一般情形)广义奇函数.【小结】函数对称性的充要条件()y f x =,,a b x 2a bx +=()()(0)f a mx f b mx m +=-≠a b =()()()f a x f a x f x +=-⇔x a =()(2)f x f a x =-()y f x =,,a b x ()()f a x f b x +=-()f x ⇔(,0)2a b+a b =()()()f a x f a x f x +=--⇔(,0)a ()(2)f x f a x =--()y f x =x ()()f a mx f b mx +=-(,,,0)a b m R m ∈≠且()y f x =2a bx +=()y f x =x ()()f a mx f b mx +=--(,,,0)a b m R m ∈≠且()y f x =(2a b+,0)【注】：这里代数关系式中两个“”（对应法则）内的“”（变量）前的正负号相异，如果把两个“”放在“”的两边，则“”前的正负号也相异.因为对称性关乎翻转.(二)两个函数图象之间的对称性1.函数与的图象关于直线对称.2.函数与的图象关于直线对称.3.函数与的图象关于原点对称.4.函数与它的反函数的图象关于直线对称.5.函数与的图象关于直线对称. 特别地，函数与的图象关于直线对称.二、几个函数方程的周期 1.若，或，则的周期； f x f =f ()y f x =()y f x =-0y =()y f x =()y f x =-0x =()y f x =()y f x =--(0,0)()y f x =1()y f x -=y x =()y f a mx =+()y f b mx =-,,,0a b m R m ∈≠()2b a x m -=()y f a x =+()y f b x =-2b ax -=()()f x f x a =+()()22a f x f x a +=-()f x T a =2.若，或，或 ，或，或，或，或， 或，或，则的周期；3.若，则的周期；4.若，或，或，或，或，或且，则的周期；5.若，则的周期；6.若，则的周期.【说明】函数满足对定义域内任一实数（其中为常数）,都有等式成立.上述结论可以通过反复运用已知条件来证明.三、对称性与周期性的关系定理1：若定义在上的函数的图象关于直线和对称，则是周期函数，且是它的一个周期.推论1：若函数满足及，则是()()0f x f x a ++=1()()1()f x f x a f x -+=+()()22f f a a x x =-+-()()f x a f x a +=-()()1f x a f x +=±(()0)f x ≠()()()f a x f a x f x +=-⎧⎨⎩为偶函数()()()f a x f a x f x +=--⎧⎨⎩为奇函数()()()f a x f a x f x +=-⎧⎨⎩为偶函数[]1(),(()0,1)2f x a f x =+∈()f x 2T a =1()1(()0)()f x f x f x a =-≠+()f x 3T a =()()()f a x f a x f x +=--⎧⎨⎩为偶函数()()()f a x f a x f x +=-⎧⎨⎩为奇函数()()f x a f x a +=--1()()1()f x f x a f x -+=-+1()()1()f x f x a f x ++=-121212()()()1()()f x f x f x x f x f x ++=-⋅1212()1(()()1,0||2)f a f x f x x x a =⋅≠<-<()f x 4T a =()()(2)(3)(4)f x f x a f x a f x a f x a ⋅+++++++()()(2)(3)(4)f x f x a f x a f x a f x a ⋅⋅⋅⋅=++++()f x 5T a =()()()f x a f x f x a +=-+()f x 6T a =()y f x =x a R ()f x x a =x b =()a b ≠()f x 2a b -()f x ()()f a x f a x +=-()()f b x f b x +=-()a b ≠()f x以为周期的周期函数.定理2：若定义在上的函数的图象关于点和直线对称，则是周期函数，且是它的一个周期.推论2：若函数满足及，则是以为周期的周期函数.定理3：若定义在上的函数的图象关于点和对称，是周期函数，且是它的一个周期.推论3：若函数满足及，则是以为周期的周期函数.四、函数图象的对称轴和对称中心举例2a b -R ()f x (,0)a x b =()a b ≠()f x 4a b -()f x ()()f a x f a x +=--()()f b x f b x +=--()a b ≠()f x 4a b -R ()f x 0(,)a y 0(,)b y ()a b ≠()f x 2a b -()f x 0()()2f a x f a x y -++=0()()2f b x f b x y -++=()a b ≠()f x 2a b -五、函数周期性、对称性与奇偶性的关系 1、定义在上的函数,若同时关于直线和对称,即对于任意的实数,函数同时满足，，则函数是以为周期的周期函数，且是偶函数.2、定义在上的函数,若同时关于直线和点对称,即对于任意的实数,函数同时满足，，则函数是以为周期的周期函数，且是奇函数.3、定义在上的函数,若同时关于点和直线对称,即对于任意的实数,函数同时满足，，则函数是以为周期的周期函数，且是偶函数.4、定义在上的函数,若同时关于点和点对称,即对于任意的实数,函数同时满足，，则函数是以为周期的周期函数，且是奇函数.5、若偶函数关于直线对称，即对于任意的实数,函数满足，则是以为周期的周期函数.6、若偶函数关于点对称，即对于任意的实数,函数满足，则是以为周期的周期函数.7、若奇函数关于直线对称，即对于任意的实数,函数满足R ()f x x a =2x a =x ()f x ()()f a x f a x -=+(2)(2)f a x f a x -=+()f x 2T a =R ()f x x a =(2,0)a x ()f x ()()f a x f a x -=+(2)(2)f a x f a x -=-+()f x 4T a =R ()f x (,0)a 2x a =x ()f x ()()f a x f a x -=-+(2)(2)f a x f a x -=+()f x 4T a =R ()f x (,0)a (2,0)a x ()f x ()()f a x f a x -=-+(2)(2)f a x f a x -=-+()f x 2T a =()f x x a =x ()f x ()()f a x f a x -=+()f x 2T a =()f x (,0)a x ()f x ()()f a x f a x -=-+()f x 4T a =()f x x a =x ()f x，则是以为周期的周期函数.8、若奇函数关于点对称，即对于任意的实数,函数满足，则是以为周期的周期函数.【拓展】：1、若函数为偶函数，则函数的图象关于直线对称.2、若函数为奇函数，则函数的图象关于点对称.3、定义在上的函数满足，且方程恰有个实根，则这个实根的和为.4、定义在上的函数满足，则函数的图象关于点对称. ()()f a x f a x -=+()f x 4T a =()f x (,0)a x ()f x ()()f a x f a x -=-+()f x 2T a =()y f x a =+)(x f y =x a =()y f x a =+)(x f y =(,0)a R ()f x ()()f a x f a x -=+()0f x =2n 2n 2na R )(x f y =()()(,,)f a x f b x c a b c ++-=为常数)(x f y =(,)22a b c +。

函数奇偶性、对称性与周期性奇偶性、对称性和周期性是函数的重要性质,下面总结关于它们的一些重要结论及运用它们解决抽象型函数的有关习题;一、几个重要的结论一函数)(x f y =图象本身的对称性自身对称2、)2()(x a f x f -= ⇔)(x f y =的图象关于直线a x =对称;3、)2()(x a f x f +=- ⇔)(x f y =的图象关于直线a x =对称;4、)()(x b f x a f -=+ ⇔)(x f y =的图象关于直线22)()(b a x b x a x +=-++=对称;5、b x a f x a f 2)()(=-++ ⇔)(x f y =的图象关于点),(b a 对称;6、b x a f x f 2)2()(=-+ ⇔)(x f y =的图象关于点),(b a 对称;7、b x a f x f 2)2()(=++- ⇔)(x f y =的图象关于点),(b a 对称;8、c x b f x a f 2)()(=-++ ⇔)(x f y =的图象关于点),2(c b a +对称; 二两个函数的图象对称性相互对称利用解析几何中的对称曲线轨迹方程理解1、函数)(x a f y +=与)(x a f y -=图象关于直线0=x 对称;2、函数)(x f y =与)2(x a f y -=图象关于直线a x =对称3、函数)(x f y -=与)2(x a f y +=图象关于直线a x -=对称4、函数)(x a f y +=与)(x b f y -=图象关于直线0)()(=--+x b x a 对称 即直线2a b x -=对称 5、函数)(x f y =与)(x f y -=图象关于X 轴对称;6、函数)(x f y =与)(x f y -=图象关于Y 轴对称;7、函数)(x f y =与)(x f y --=图象关于原点对称三函数的周期性1、)()(x f T x f =+ ⇔)(x f y =的周期为T2、)()(b x b f a x f ++=+ )(b a < ⇔)(x f y =的周期为a b T -=3、)()(x f a x f -=+ ⇔)(x f y =的周期为a T 2=4、)(1)(x f a x f =+ ⇔)(x f y =的周期为a T 2= 5、)(1)(x f a x f -=+ ⇔)(x f y =的周期为a T 2= 6、)(1)(1)(x f x f a x f +-=+ ⇔)(x f y =的周期为a T 3= 7、 1)(1)(+-=+x f a x f ⇔)(x f y =的周期为a T 3= 8、)(1)(1)(x f x f a x f -+=+ ⇔)(x f y =的周期为a T 4= 9、)()()2(x f a x f a x f -+=+ ⇔)(x f y =的周期为a T 6=10、)(x f y =有两条对称轴a x =和b x =)b a < ⇔)(x f y = 周期)(2a b T -=11、)(x f y =有两个对称中心)0,(a 和)0,(b ⇔)(x f y = 周期)(2a b T -=12、)(x f y =有一条对称轴a x =和一个对称中心)0,(b ⇔)(x f y = 周期)(4a b T -=13、奇函数)(x f y =满足)()(x a f x a f -=+ ⇔)(x f y = 周期a T 4=;14、偶函数)(x f y =满足)()(x a f x a f -=+ ⇔)(x f y = 周期a T 2=;二、例题讲授例题11已知)(x f y =是定义在实数集R 上奇函数,0<x 时,12)(+=x x f ,求)(x f y =的解析式; 2已知)(x f y =满足)1()1(x f x f -=+,1<x 时,12)(+=x x f ,求)(x f y =的解析式; 3已知奇函数)(x f y =满足)1()1(x f x f -=+,02<<-x 时,12)(+=x x f ,求)18(log 2f4已知)(x f y =满足0)1()1(=-++x f x f ,1<x 时,12)(+=xx f ,求)(x f y =的解析式;例题21已知2sin )(++=x b ax x f ,1)2(=f 求)2(-f2已知偶函数)(x f y =定义域为R,且恒满足)2()2(x f x f -=+,若方程0)(=x f 在[]4,0上只有三个实根,且一个根是4,求方程在区间(]10,8-中的根．3已知122)(+=x xx f ,求)6()5()4()5(f f f f +++-+- 的值 例题3１设函数)(x f y =的定义域为R,若)(x f y =的图象关于1=x 对称,则函数满足A 、)1()(x f x f +=B 、0)2()(=-+x f x fC 、)1()1(x f x f -=-D 、)1()1(x f x f -=+２函数)1(-=x f y 与函数)1(x f y -=的图象关于关于__________对称３函数)1(+=x f y 和函数)1(x f y -=的图象关于关于__________对称４设函数)(x f y =的定义域为R,且满足)1()1(x f x f -=+,则)1(+=x f y 的图象关于__________对称;)2(x f y =的图象关于__________对称;５设函数)(x f y =的定义域为R,则下列命题中,①若)(x f y =是偶函数,则)2(+=x f y 图象关于y 轴对称；②若)2(+=x f y 是偶函数,则)(x f y =图象关于直线2=x 对称；③若)2()2(x f x f -=-,则函数)(x f y =图象关于直线2=x 对称；④)2(-=x f y 与)2(x f y -=图象关于直线2=x 对称,其中正确命题序号为_______;例题５2、 设fx 是定义在R 上的偶函数,其图像关于直线x=1对称,对任意x 1,x 2∈0,21,都有fx 1+x 2=fx 1·fx 2,且f1=a>0;1求 f 21 及f 41 2证明fx 是周期函数3记a n =f2n+n21,求证：a n =a n 21三、自我检测1、如果函数fx ＝x 2＋bx ＋c 对任意实数t 都有f2＋t ＝f2－t,那么2＜f1＜f41＜f2＜f4 2＜f4＜f1 4＜f2＜f1 3、 如果奇函数fx 在区间3,7上是增函数且最小值为5,那么fx 在区间－7,－3上是A.增函数且最小值为－5B.增函数且最大值为－5C.减函数且最小值为－5D.减函数且最大值为－54、 Fx ＝1＋122-x fx,x ≠0是偶函数,且fx 不恒等于0,则fx5、 A.是奇函数 B.是偶函数 C.可能是奇函数也可能是偶函数 D.不是奇函数也不是偶函数6、 设fx 是－∞,∞上的奇函数,fx ＋2＝－fx,当0≤x ≤1,fx ＝x,则f ＝A.0.5B.－0.5 D.－7、 设fx 是定义在－∞,+∞上的函数,对一切x ∈R 均有fx+fx+3=0,且当－1<x ≤1时,fx=2x －3,求当2<x ≤4时,fx 的解析式;8、 定义在上的偶函数满足且当时,.求的单调区间提示： ===)4()2()(42xf xf x f , f 21=fn ·n 21=f n 21+n －1·n 21=f n 21·fn －1·。

归纳抽象函数的三性：对称性、奇偶性与周期性一、抽象函数的对称性。

性质1、若函数y＝f(x)关于直线x＝a轴对称，则以下三式成立且等价：（1）f(a＋x)＝f(a－x)。

（2）f(2a－x)＝f(x)。

（3）f(2a＋x)＝f(－x)。

性质2、若函数y＝f(x)关于点(a,0)中心对称，则以下三式成立且等价：（1）f(a＋x)＝－f(a－x)。

（2）f(2a－x)＝－f(x)。

（3）f(2a＋x)＝－f(－x)。

注：y＝f(x)为偶函数是性质1当a＝0时的特例，f(－x)＝f(x)。

y＝f(x)为奇函数是性质2当a＝0时的特例，f(－x)＝-f(x)。

二、复合函数的奇偶性。

性质1、复数函数y＝f[g(x)]为偶函数，则f[g(－x)]＝f[g(x)]。

复合函数y＝f[g(x)]为奇函数，则f[g(－x)]＝－f[g(x)]。

性质2、复合函数y＝f(x＋a)为偶函数，则f(x＋a)＝f(－x＋a)；复合函数y＝f(x＋a)为奇函数，则f(－x＋a)＝－f(a＋x)。

性质3、复合函数y＝f(x＋a)为偶函数，则y＝f(x)关于直线x＝a轴对称。

复合函数y＝f(x＋a)为奇函数，则y＝f(x)关于点(a,0)中心对称。

三、函数的周期性。

性质、若a是非零常数，若对于函数y＝f(x)定义域内的任一变量x点，有下列条件之一成立，则函数y＝f(x)是周期函数，且2|a|是它的一个周期。

①f(x＋a)＝f(x－a)，②f(x＋a)＝－f(x)，③f(x＋a)＝1/f(x)，④f(x＋a)＝－1/f(x)。

四、函数的对称性与周期性。

性质1、若函数y＝f(x)同时关于直线x＝a与x＝b轴对称，则函数f(x)必为周期函数，且T＝2|a－b|。

性质2、若函数y＝f(x)同时关于点（a，0）与点（b，0）中心对称，则函数f(x)必为周期函数，且T＝2|a－b|。

性质3、若函数y＝f(x)既关于点（a，0）中心对称，又关于直线x＝b轴对称，则函数f(x)必为周期函数，且T＝4|a－b|。