生物统计学 拟合优度检验与列联表卡方检验共30页文档

9 16
,
p1

3 16
,
p2

3 16
,
p3

1 16
å c2 = 4 (Oi -Ti )2 = (96-100.69)2 ++ (15-11.19)2 = 2.0651
i=1
Ti
100.69
11.19
df = 4-1 = 3
c2
=
2.0651 C<.3
c2 1-0.05
(3)
=
7.8147
P = P(c2(3) > 2.0651) = 0.556
红米非糯
9
白米糯
pi P( X i)
10
红米非糯
11
红米非糯
X为分类变量
12
红米非糯
13
红米糯
14
红米非糯
…
…
例1（3.25）
17
•频数分析
属性（X） 株数
百分比
红米非糯 红米糯 白米非糯 白米糯 合计
96
37
31
15 179
0.536 0.207 0.173 0.084
•点估计 •条形图
Ti = npi = 179 pi
å c2 = 4 (Oi -Ti )2
i=1
Ti
= (96-100.69)2 + (37- 33.56)2 + (31- 33.56)2 + (15-11.19)2
100.69
33.56
33.56
11.19
= 2.0651
• 例1 计算Ti 、 χ2
26
H0
:
p0

表7-4
有效 口服 O1=58 T1=(98)(122)/193=61.95 注射 O3=64 T3=(95)(122)/193=60.05 总数
2014-8-4
2×2列联表理论数的计算
无效 O2=40 T2=(98)(71)/193=36.05 O4=31 T4=(95)(71)/193=34.95 71 193 95 总数 98
2014-8-4
6.3.2
2×2列联表的精确检验法
P= （a+b)!(c+d)!(a+c)!(b+d)!/(N!a!b!c!d!)
(7.5）
• 若a、b、c、d中的任何一个出现0时，可 直接用该概率值作为判断的标准；(例 7.5) • 若a、b、c、d中的任何一个都不出现0时， 还应当将这种组合的概率以及最接近于0 的那个观测值至0的各种组合的概率都计 入作为判断的标准； (例7.6) 2014-8-4
2014-8-4
例题解答
(2) 矫正
正常翅 残翅
O-T-0.5 (O-T-0.5)2 (O-T-0.5)2/T
16.5 16.5 272.25 272.25 0.926 2.778 2=0.926+2.778=3.704 H0: O-T=0, α=0.05, df=1, 20.05=3.841, 2< 20.05 结论：正常翅与残翅的分离比符合3：1
2014-8-4
6.3.2
2×2列联表的精确检验法
例7.6 观测性别对药物的反应如下，问男女对该 药是否有区别？ 有 无 男 4 1 5 女 3 6 9 7 7 14 解：根据式(7.5)，计算得P1=0.122 由于每一格的实际观测数均未再现0，这 时还应将四格中最小的那个数再逐个降低到 0。 并保证在行列及总数均不变的情况下，计算每 一种情况的概率。本例中只有一种：

H0 : 0.3 H1 : 0.3
第三节 拟合优度检验
3. 几个拟合优度检验例题 • 其次，确定临界值：
0.05, k 2
2 0.05
2
1
3.84146
第三节 拟合优度检验
3. 几个拟合优度检验例题 • 最后，计算并做出结论：
2 38 302 62 702
30
70
3.0476 3.84146
2. 拟合优度检验的基本过程 • 提出假设：
H0 :总体服从于某种分布 H1 :总体不服从该种分布
第三节 拟合优度检验
2. 拟合优度检验的基本过程 • 计算检验统计量：
2
oi ei 2
ei
oi： 观 测 频 数 ；ei： 期 望 频 数
当 所 有 类 的 期 望 频 数 均大 于 等 于5时,
• 交叉列表分析的主要目的，在于分析两变量 间的相互关系，即是否相互关联（相互独立） 以及关联的强度。
第一节 列联表
2.列联表的基本形式 • 列联表所展示的是至少两个变量的交叉频数。
表中的每个频数 均由两个变量的 值交互决定
第一节 列联表
2.列联表的基本形式
观察表中的频数，
• 列联表所展示的是至少两个变可量以的大交致叉判频断数出。 两个变量是否相
• 描述等级相关强度的系数主要是斯皮尔曼相 关系数和肯达尔的一致性系数，它们均依据 数据的“秩”即排序来计算：
斯 皮 尔 曼 相 关 系 数 ( 或rs )
( Ri R )( Si S ) ( Ri R )2 ( Si S )2
式 中 ：Ri :第 i 个 x 值 的 秩 ；
Si :第i 个 y 值的秩。
3. 几个拟合优度检验例题 • 最后，计算并得出结论：

黑色无角牛的理论次数T1：360×9/16=202.5；
黑色有角牛的理论次数T2：360×3/16=67.5； 红色无角牛的理论次数T3：360×3/16=67.5；
红色有角牛的理论次数T4：360×1/16=22.5。
或 T4=360-202.5-67.5-67.5=22.5
（四）列表计算2
表 2计算表
～ 2 (n)；

2
若用样本平均数
量
n
x 代替总体平均数μ，则随机变
2 i
x
2
(x x)
i 1

2

(n 1) S 2
2
服从自由度为n-1的2分布，记为
(n 1) S
2
～

2

2
( n 1)
显 然 ，2≥0 ， 即 2 的 取 值 范 围 是[0,+∞；2 分布密度曲线是随自由度不同而改变的一组曲线。随 自由度的增大， 曲线由偏斜渐趋于对称；df≥30时， 接近正态分布。下面给出了几个不同自由度的2概率 分布密度曲线。
比例发生了实质性的变化?
要回答这个问题： ①首先需要确定一个统计量用以表示实际观察次数与 理论次数偏离的程度； ②然后判断这一偏离程度是否属于抽样误差，即进行 显著性检验。
为了度量实际观察次数与理论次数偏离程度：
A：最简单的办法是求出实际观察次数与理论次数的 差数。如上表：O1-T1 =-10，O2-T2=10，由于这两个 差数之和为0，显然此方法不可行； B：计算∑(O-T)2，其值越大，实际观察次数与理论次 数相差亦越大，反之则越小。但尚有不足。例如某一 组 实 际 观 察 次 数为505、理论次数为500，相差5； 而另一组实际观察次数为26、 理论次数为21，相差亦 为 5。

k
此统计量在n充分大时近 似服从2分布，要求每一 组内的理论数不得小于5。
表
实际观察次数Oi
犊牛性别实际观察次数与理论次数
理论次数Ti
Oi - Ti
4
（ Oi - Ti ）2/
Ti
38（O1） 34（T1） 0.4706
30（O2） 68
34（T2） 68
-4 0
0.4706 0.9412
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间无差异。即认为有效或无效与给药方式无关联。
2）求理论值：根据事件的概率法则，若事件A和事件B
是相互独立的，则有
P( AB) P( A) P( B)
98 122 P( BA) P( B) P( A) ( )( ) 193 193
在零假设的基础上，有：
其理论数T1可由理论频数乘以总数得出：同样可求出 其它理论数。

共获得n个独立的观测值，第i类观测值的数目为Oi，
O
i 1

k
i
n
k
O
i 1
k
i
38 30 68
第i类的概率为pi 。
p
i 1
i
1
p1=1/2, p2=1/2.

第i类的理论数为Ti，Ti=npi.则T1=T2=34。 于机会造成的
i 1 Oi与Ti进行比较，判断Oi与Ti之间总的不符合程度有否由
对二项分布的检验- p 未知

表中理论概率由二项分布概率计算公式：计算，如 10! 0 0 10 C10 p q 0.21750 0.782510 0.0861 10!0!
10! C pq 0.21751 0.78259 0.2392 9!1!

问该厂生产的钟的误差是否服从正态分布？
再如，某工厂制造一批骰子， 声称它是均匀的.
也就是说，在投掷中，出 现1点，2点，…，6点的概 率都应是1/6.
为检验骰子是否均匀，要把骰子实地投掷 若干次，统计各点出现的频率与1/6的差距.
问题是：得到的数据能否说明“骰子均匀” 的假设是可信的？
解决这类问题的工具是英国统计学家
皮尔逊引进如下统计量表示经验分布
与理论分布之间的差异:
2 k ( fi npi )2
i 1
npi
在理论分布 已知的条件下,
npi是常量
统计量 2 的分布是什么?
皮尔逊证明了如下定理:
若原假设中的理论分布F(x)已经完全给
定，那么当n 时，统计量
2 k ( fi npi )2i 1ຫໍສະໝຸດ 得拒绝域:22
(k
1)
(不需估计参数)
2 2 (k r 1) (估计r 个参数)
如果根据所给的样本值 X1,X2, …,Xn算得
统计量 2的实测值落入拒绝域，则拒绝原假
设，否则就认为差异不显著而接受原假设.
皮尔逊定理是在n无限增大时推导出来 的，因而在使用时要注意n要足够大，以及 npi 不太小这两个条件.
卡方分布拟合检验
在前面的课程中，我们已经了解了假 设检验的基本思想，并讨论了当总体分布 为正态时，关于其中未知参数的假设检验 问题 .
然而可能遇到这样的情形，总体服从何 种理论分布并不知道，要求我们直接对总体 分布提出一个假设 .
如，某钟表厂对生产的钟进行精确性检查， 抽取100个钟作试验，拨准后隔24小时以后 进行检查，将每个钟的误差（快或慢）按 秒记录下来.
X
的分布函数的估计为
Fˆ ( x)

程度。
03
拟合优度检验的应用场景
拟合优度检验的应用场景
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04
拟合优度检验的局限性
数据分布假设
拟合优度检验通常基于一定的数据分 布假设，如正态分布、卡方分布等。 如果数据不符合这些假设，检验结果 的可靠性将受到影响。
为了确保检验结果的准确性，需要对 数据进行适当的分布检验或变换，以 使其满足检验方法的假设。
详细描述
卡方检验通过计算观测频数与期望频数的平方差的加和，得到卡方统计量。该统 计量用于衡量实际观测频数与期望频数之间的不一致程度。如果卡方统计量较小 ，说明实际观测频数与期望频数较为接近，模型的拟合优度较高。
斯皮尔曼秩检验
总结词
斯皮尔曼秩检验是一种非参数拟合优度检验方法，基于观测数据的秩次进行比 较。
拟合优度检验是评估模型质量的指标之一，建议研究者综 合使用其他评估指标，如预测误差、解释性等，以全面评 估模型性能。
考虑数据特点
在进行拟合优度检验时，应充分考虑数据的特点和分布情 况，选择合适的检验方法和参数设置，以保证检验结果的 准确性和可靠性。
06
参考文献
参考文献
参考文献1
该文献对拟合优度检验的基本原理进行了阐述，详细介绍了各种检验方法的数学推导和适用场景，为后续的实证 分析提供了理论指导。
多重比较问题
拟合优度检验在进行多个样本或参数的比较时，可能会出现 多重比较问题，导致第一类错误（假阳性）的概率增加。
为解决多重比较问题，可以采用适当的统计方法进行校正， 如Bonferroni校正或FDR校正，以控制第一类错误的概率。
模型复杂度
拟合优度检验在处理复杂模型时可能 会遇到困难，特别是当模型包含多个 交互项、非线性关系或高阶项时。

生物统计学·卡方检验与列联表
适合性检验
1. 零假设与备择假设 H0：实际观察次数之比符合9:3:3:1的理论比例。 HA：实际观察次数之比不符合9:3:3:1的理论比例。
2. 选择计算公式 由于本例的属性类别分类数 k=4， 自由 度df = k-1 = 4-1 = 3 > 1，故利用(1)式计算X2。
生物统计学 第10讲 卡方检验与列联表
2012.10
生物统计学·卡方检验与列联表
内容
卡方检验(Chi Squared Test, 2 Test) •2检验基本概念
• 适合性检验 • 独立性检验
- 列联表 (Contingency Table) - 2×2列联表 - R×C列联表
*总体 2检验 * 两两比较 2检验

n 1 S2
2
n 1 S 2
2
~
2 n 1
生物统计学·卡方检验与列联表
2分布
随自由度的增大， 曲线由偏斜渐趋于对称。df≥30
时， 2分布近似正态分布
生物统计学·卡方检验与列联表
2检验基本概念
计数资料2 检验的基本思想： 首先假设观察频数(O)与期望频数(E)没有差别，而X2 值表 示观察值与理论值的偏差程度。当n较大时，X2 统计量近似服 从n-1个自由度的2 分布。
多个因子属性类别数的不同而构成R×C列联表. 而适合性检验 只按某一因子的属性类别将如性别、表现型等次数资料归组。 2. 适合性检验按已知的属性分类理论或学说计算理论次数。独立 性检验在计算理论次数时没有现成的理论或学说可资利用，理 论次数是在两因子相互独立的假设下进行计算。 3. 在适合性检验中确定自由度时，只有一个约束条件：各理论次 数之和等于各实际次数之和，自由度为属性类别数减1; 独立性 检验的自由度为(R-1)(C-1)

二、测验的目的：
通过实测值判断试验结果是否与某总体分布、某理论、模型或 假说等相吻合。
三、自由度的确定： df = k-1，其中 k 为属性性状的分组数，在例1中， 按花色将大豆分成两组，则 k = 2，df = 1。 四、应用实例：
例3：以紫花大豆和白花大豆品种杂交，在 F2 代共得到 289株，其中紫花208 株，白花81株，如果花色受一对等 位基因控制，则根据遗传学理论， F2 代紫花与白花植株 的分离比应为3：1，问现在的试验结果是否符合一对等 位基因的遗传规律？ 分析：①属性性状：紫花、白花，
例4：黄圆豌豆与绿皱豌豆杂交，第二代分离数目如下：
Y-R黄圆 315 Y-rr 黄皱 101 yyR绿圆 108 yyrr 绿皱 32 总数 556
问试验结果是否符合自由组合律？
解：若性状间相互独立，根据孟德尔的自由组合律，则可以
有：
Y R : Y rr : yyR : yyrr 9 : 3 : 3 : 1
这一类数据的特点是都属于离散型数据，是通过数 数的办法获得的原始数据，它们不再符合基于正态 分布的 u分布、t分布和 F分布等，因此也就不能再 用基于正态分布的u检验、t检验、F检验等对数据进 行统计推断，而必须引入新的检验方法，这就是我 们即将给大家介绍的新内容：
拟和优度检验
第六章
一、什么是拟合优度检验 1、概念
208 216.75
216.75
2
81 72.25
72.25
2
1.4129
查表，df = k-1 = 2-1 =1 时， ∵

2 1, 0.05
3.841

2
2 1, 0.05
∴接受 H0：O =T，

拟合优度检验的两种类型 （1）检验观测数与理论值之间的一致性 （2）检验观测数与理论数之间的一致性判断事件之 间的独立性
7.1.2 拟合优度检验的统计量
• 拟合优度检验一般方法是： （1）将观测值分为k种不同的类别。 （2）共获得n个独立观测值，第i类观测值的数目为
Oi， （3）求第i类的概率Pi （4）第i类的期望数即理论数为Ti，Ti=nPi （5）Oi与Ti进行比较，判断二者之间总的不符合程
例7.3 表7-3是不同给药方式与给药效果表。
解：因为零假设是给药方式与给药效果之间无
关联，则口服与有效同时出现的理论频率应为
口服的频率与有效的频率的乘积， P(BA)=P(B)P(A)=（98/193）（122/193）。其理 论数 由理T论i 频率乘以总数得出，
Ti
( 98 )(122 )193 193 193
7.2.2 对二项分布的检验
1．总体参数已知 【例7.1】纯合的黄圆豌豆与绿皱豌豆杂交，F1代自交，第
二代分离数目如下，问是否符合自由组合律？
1. 分组，根据孟德尔独立分配规律，YyRr×YyRr＝ Y_R_ ：Y_rr ：yyR_ ：yyrr=9/16：3/16：3/16： 1/16，因此可分4组。
度是否由于机会所造成的。
2 k (Oi Ti )2
i 1
Ti
若理论数小于5 时应将相邻组 合并，直到大
于5为止。
当df＝1时
2 k | oi Ti |2 0.5
i 1
Ti
Χ2的自由度：df=k-1-a
a为需要由样本估计的参数个数
7.2 拟合优度检验
7.2.1一般程序 （1）对数据进行分组（离散型数据组间距通常是1） （2）根据总体分布类型和样本含量n 计算理论数Ti。 （3）有时需用样本数据估计总体参数。记所估计的参数的个 数为a。 （4）分别合并两个尾区的理论数，使之不小于5，合并后的 组数计为k。 （5）相应于2的自由度为k-1, 相应于3的自由度为k-1-a。 （6）零假设：因为拟合优度检验不是针对总体参数做检验的， 因而零假设不需提出具体参数值，只需判断观测数是否符合理 论数或某一理论分布。它的零假设是观测数与理论数相符合， 可以形象化地记为H0：O-T=0。 （7）计算χ2值。

第七章 拟合优度检验——x2-检验
解：假设该试验结果二符、合自一由致组性合律检。验
（一）总体参数φ已知——适合度检
因在为遗本传例学为与两育对种等试位验基中因对验的杂自交由后组代合进，行故统理计论分分析离，比发为现：
有15:许1Y,多-R质6-:3量Y:1-性r,r:状y1y表:R2:-型1:y,比yr值r9=:为3:13：96:1:1等1:361。,: 13用62:x:1126对, 这3些:1,试验9:进7,行检13验:3，,
CC计、、a算+ac判判c的断断xP2假假>b0设设+bdi.n0d1；；2(5Oxx切，22i <>T记a接cxiTN+x+2双i2受dαb)α，2，侧假即即检设PdP验P；>f<0。0计..0注0((5行a算5，：，的b接a拒1)P)b!(受(绝c<列cd0假N假中.0!d1设a2设最))!5!b；(，。小!ac(!r拒值dc!绝1需)!)((假b调c 设整1d)。)为! 0
判断：计算的P=0.015 < P=0.025 拒绝假设。
第七章 拟合优度检验——x2-检验
三、独立性检验——列联表x2检验
（无重复试验x2检验）
例题分析 精确列联表x2检验对于2×2列联表
例7.6 观测性别对药物的
性别 有
无 小计
之反所应以见将右这侧种表组：合的概率以及最小值变男为0组4合的概1率都计5入，
0
判断： x2=29.2 > x27,0.05=14.067 ，拒1绝假设。
4270
a=2
第七章 拟合优度检验——x2-检验
三、独立性检验——列联表x2检验
（无重复试验x2检验）
1、列联表 x2检验的类型 2、列列联联表表x(c2检on验tin的ge程nc序y table) x2检验是另一类的x2检验，可 用注（（A、12它意））假为检：普精设验列此通确理事联，列列论件表列联联值间中联表表与的的表的的观独任x检检2测立何检验验值性一验程程之或格可序序间检的分没验理为有处论普差理数通异之都和；间不精的得确差<两5异。种显列著联性表。x2检 验BA、。计假一算设般统理地计论，量值观；与测观值测数由值量于之级P间(>A没1B0)有的差话P(异，A)；基P(本B)上都属普通列联 表B、；直观接测计值算数组量合级概< 所1率0以的；，话理，论基值本T上都N属[P精(A确)(列P(联B)]表。

TYPE I / II ERROR
点击Analyze——Nonparametric Tests非参数 检验——Chi-Square检验（卡方检验）
正态分布、二项式分布
学习小组任务
自学例7.1（p129），讲解该例题。
自学例7.3（p134），讲解该例题。
自学例7.5和例7.6（p136），讲解该例
生物统计学
Biostatistics
第七章 拟合优度检验与列 联表卡方检验
Goodness of Fit Test & Contingency Table χ2 Test
2013.4
§7.1 一般原理

拟合优度检验（goodness of fit test） 一致性 实际观测数 理论数
判断事件之间 的独立性
自学例7.3（p134），讲解该例题。
自学例7.5和例7.6（p1பைடு நூலகம்6），讲解该例
题。
作业
P139
7.11，7.12， 7.16
请翻译以下术语/Try
to translate these terms
please： 拟合优度检验，Contingency Table χ2 Test， 2×2列联表
学习小组任务
自学例7.1（p129），讲解该例题。
自学例7.3（p134），讲解该例题。
自学例7.5和例7.6（p136），讲解该例
题。
没有理论数可言
独立事件
非独立事件
1、理论数是否小于5？
2、自由度是否为1？
P>0.05
P<0.05
学习小组任务
自学例7.1（p129），讲解该例题。
题。
二项分布的拟合优度检验

CVij
a2
pi (1 pi ) pj(1 pj)
ni
nj
其中：

2 a
为显著性水平a，自由度k-1的卡方分布统计量值
pi pj 分别为总体i和总体j的样本比例
ni n j 分别为总体i和总体j的样本容量
21
5.多重比较（ Marascuilo procedure ）
通过查卡方分布表或者软件运算，我们可以求出自由度为2，a=0.05的卡方 分布统计量值：
2 7.89
12
1.期望频数eij
这是一个单侧检验，Why?
上侧面积 = a
2
0

2 a
Reject H0
13
3.查表求P值
2 7.89
Degrees of Freedom
.10
.05
.025
.01
.005
1
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
2
4.605
5.991
Not significant
23
7.378
9.210
10.597
3
6.251
7.815
9.348
11.345
12.838
4
7.779
9.488
11.143
13.277
14.860
5
9.236
11.070
12.832
15.086
16.750
6
10.645
12.592
14.449
16.812
18.548
7
12.017
14.067