数学中的函数图像与变换

三角函数的图像及其变换规律

三角函数是高中数学中的重要内容之一，也是大学数学和物理的基础。其中，三角函数与图像变换规律是我们需要深入了解的。

一、初步认识三角函数的图像

三角函数是由单位圆上的点的坐标表示的函数，我们称这些点的坐标为正弦和余弦，正弦函数的图像和余弦函数的图像可以通过下面的方式作出：

1. 画一个以原点 O 为圆心、1 为半径的单位圆；

2. 以非负 x 轴正半轴为起始线，从原点开始按逆时针方向旋转一定角度 θ，记作点 A (1,0)，A 点纵坐标就是正弦值 sinθ；

3. 以非负 y 轴正半轴为起始线，从原点开始按逆时针方向旋转一定角度 θ，记作点 B (0,1)，B 点横坐标就是余弦值 cosθ。

4. 相邻两个峰值之间的水平距离称为周期，即正弦函数和余弦函数的周期都是 2π。

这样我们就可以画出正弦函数 y = sin x 和余弦函数 y = cos x 的图像了。在这个图像中，横轴表示角度，纵轴表示函数值。 另外，三角函数中还有一种常见的函数，即 y = tan x（正切函数）和 y = cot x（余切函数），它们的图像可以通过画出正弦函数和余弦函数的图像来得到。

二、三角函数的图像变换规律

我们还可以通过对函数公式的系数进行变换，来改变函数图像的期数、振幅、图像的左右平移及上下平移等。具体变换规律如下：

1. 函数 y = A sin(Bx - C) + D，其中 A 为振幅，B 为周期，C 为左右平移，D 为上下平移。当 A 和 B 变化时，函数图像的振幅和期数也随之发生变化。其中，若 A > 1，则函数图像沿 y 轴方向压缩；若 A < 1，则函数图像沿 y 轴方向伸长。当 B > 1 时，函数图像变窄了，其左右的振动次数增多，周期减小；当 B < 1 时，函数图像变宽了，左右振动次数减少，周期增加。当 C > 0 时，函数图像向右移动；当 C < 0 时，函数图像向左移动。当 D > 0 时，函数图像向上移动；当 D < 0 时，函数图像向下移动。

高考数学中的三角函数图像的映象变换

三角函数作为高中数学的基础知识，其图像映象变换是数学考试中必须掌握的知识点。在高考考试中，从题目的大量出现可以看出，对于学生来说，了解清楚三角函数图像的映象变化是取得高分的要点之一。本文将从三角函数的基础知识开始，讲解其图像映象变化的演变过程以及对数学计算的影响。

一、三角函数的基础知识

三角函数是学习高中数学的基础知识，包括正弦函数sin(x)、余弦函数cos(x)、正切函数tan(x)。其中，正弦函数 sin(x) 的周期为2π，其函数图像在 2π 区间内是一个周期性区间之内的波浪线；余弦函数 cos(x) 的周期为2π，其函数图像在 2π 区间内是一个周期性区间之外的波浪线；正切函数 tan(x) 是一个不断向两侧无限延伸的函数。

二、三角函数图像的映象变换

1. 垂直方向的拉伸和压缩变换

垂直方向的拉伸和压缩变换是指通过改变三角函数图像的振幅，使其映射为一张更高或更矮的图像。具体来说，若三角函数的振幅从原先的 A 拉伸为 2A，则会使三角函数的波浪线在垂直方向拉伸；反之，若三角函数的振幅从原先的 A 压缩为 A/2，则会使三角函数的波浪线在垂直方向压缩。

2. 水平方向的平移变换

水平方向的平移变换是指通过移动三角函数图像的水平坐标轴，使其波峰和波谷发生横向位移。具体来说，若将 sin(x) 函数向右平移 h 个单位，则对应的函数为 sin(x-h)；反之，若将 sin(x) 函数向左平移 h 个单位，则对应的函数为sin(x+h)。

3. 镜像对称变换

镜像对称变换是指通过对 x 轴或者 y 轴进行镜像反转，使函数图像在经过镜像后，出现左右位置颠倒的情况。具体来说，若将

sin(x) 函数关于 y 轴进行镜像对称，则对应的函数为 sin(-x)；若将

sin(x) 函数关于 x 轴进行镜像对称，则对应的函数为 -sin(x)。

三、三角函数图像的变换对数学计算的影响

- 1 - 高考数学《图像变换在三角函数中的应用》基础知识与

典型例题分析

在高考中涉及到的三角函数图像变换主要指的是形如()

sinyAx=+

的函数，通过横

纵坐标的平移与放缩，得到另一个三角函数解析式的过程。要求学生熟练掌握函数图像变换，

尤其是多次变换时，图像变化与解析式变化之间的对应联系。

一、基础知识：

（一）图像变换规律：设函数为()

yfx=

（所涉及参数均为正数）

1、函数图像的平移变换：

（1）()

fxa+

：()

fx

的图像向左平移a

个单位

（2）()

fxa−

：()

fx

的图像向右平移a

个单位

（3）()

fxb+

：()

fx

的图像向上平移b

个单位

（4）()

fxb−

：()

fx

的图像向下平移b

个单位

2、函数图像的放缩变换：

（1）()

fkx

：()

fx的图像横坐标变为原来的1

k（图像表现为横向的伸缩）

（2）()

kfx

：()

fx

的图像纵坐标变为原来的k

倍（图像表现为纵向的伸缩）

3、函数图象的翻折变换：

（1

）()

fx

：()

fx

在x

轴正半轴的图像不变，负半轴的图像替换为与正半轴图像关于y

轴

对称的图像

（2）()

fx

：()

fx

在x

轴上方的图像不变，x

轴下方的部分沿x

轴向上翻折即可（与原x

轴

下方图像关于x

轴对称）

（二）图像变换中要注意的几点：

1、如何判定是纵坐标变换还是横坐标变换？

在寻找到联系后可根据函数的形式了解变换所需要的步骤，其规律如下：

① 若变换发生在“括号”内部，则属于横坐标的变换

② 若变换发生在“括号”外部，则属于纵坐标的变换

例如：()

31yfx=+

：可判断出属于横坐标的变换：有放缩与平移两个步骤

()

2yfx=−+

：可判断出横纵坐标均需变换，其中横坐标的为对称变换，纵坐标的为

平移变换

2、解析式变化与图像变换之间存在怎样的对应？由前面总结的规律不难发现：

（1）加“常数”

平移变换

- 2 - （2）添“系数”

放缩变换

（3）加“绝对值”

翻折变换

3、多个步骤的顺序问题：在判断了需要几步变换以及属于横坐标还是纵坐标的变换后，在安

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1 / 5 函数图像与变换

教学目标：掌握常见函数图像及其性质〔高考要求B〕，熟悉常见的函数图像〔平移、对称、翻折〕变换〔高考要求B〕.

教学重难点：掌握常见函数图像及其性质，会用“平移、对称、翻折〞等手段进行函数图像变换。

教学过程：

一.知识要点：

1.常见函数图像及其性质：

〔1〕平移变换：

①y=f(x) →y＝f(x±a)(a>0)图象横向 平移a个单位，〔左+右—〕.

②y=f(x) →y＝f(x)±b(b>0)图象纵向 平移b个单位，(上+下—)

③假设将函数)(xfy的图象右移a、上移b个单位，得到函数baxfy)(的图象；

④假设将曲线0),(yxf的图象右移a、上移b个单位，得到曲线0),(byaxf的图象.

〔2〕对称变换：

①y=f(x) →y=f(－x)图象关于y轴对称; 假设f(－x)=f(x),那么函数自身的图象关于y轴对称.

②y=f(x) →y=－f(x)图象关于x轴对称.

③y=f(x) →y=－f(－x)图象关于原点对称; 假设f(－x)=－f(x),那么函数自身的图象关于原点对称.

④y=f(x) →y=f－1(x)图象关于直线y=x对称.

⑤y=f(x) →y=－f－1(－x)图象关于直线y=－x对称.

⑥y=f(x) →y=f(2a－x)图象关于直线x=a对称；

⑦y=f(x) →y=2b－f(x)图象关于直线y=b对称.

⑧y=f(x) →y=2b－f(2a－x)图象关于点(a,b)对称.

假设f(x)=f(2a－x)(或f(a＋x)=f(a－x))那么函数自身的图象关于直线x=a对称.

假设函数()yfx的图象关于直线2abx对称()()famxfbmx

()()fabmxfmx

〔3〕翻折变换主要有

①y=f(x) →y＝f(|x|)的图象在y轴右侧(x>0)的部分与y＝f(x)的图象相同，在y轴左侧部分与其右侧部分关于y轴对称.