2020届宁夏六盘山高级中学高三下学期第一次模拟考试数学(文)试题解析

的部分图象大致是（ ）
A．
B．
C．
D．
6．（5 分）双曲线
的两条渐近线将平面划分为“上、下、左、右”
四个区域（不含边界），若点（2，1）在“右”区域内，则双曲线离心率 e 的取值范围是 （）
A．
B．
C．
D．
7．（5 分）在四边形 ABCD 中，∠D＝2∠B，且 AD＝1，CD＝3，cos∠B＝ ，则边 AC 的长
线 PB 与平面 PAC 所成角为（ ）
A．
B．
C．
D．
10．（5 分）定义行列式运算
＝a1b2﹣a2b1，已知函数 f（x）＝
（ω＞0），
满足：f（x1）＝0，f（x2）＝﹣2，且|x1﹣x2|的最小值为 ，则 ω 的值为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
11．（5 分）如图，若 C 是
椭圆上位于第一象限内的点，A，B 分别
是椭圆的左顶点和上顶点，F 是椭圆的右焦点，且 OC＝OF，AB∥OC 则该椭圆的离心率为 （）
A．
B．
C．
D．
12．（5 分）定义在 R 上的奇函数 f（x）满足 f（x+2）＝﹣
＝3x，则 f（log354）＝（ ）
A．
B．
C．﹣
，且在（0，1）上 f（x） D．﹣
二、填空题：（每小题 5 分，共 20 分）
2020 届宁夏六盘山高中高考文科数学模拟试题一
一.选择题：（每题 5 分，共 60 分，每题只有一个答案是正确的）
1．（5 分）若复数 z 满足（1+2i）z＝3﹣4i，则 z 的实部为（ ）
A．1
B．﹣1
C．2
D．﹣2

宁夏六盘山高级中学2021届高三数学下学期第一次模拟考试试题理〔含解析〕一、选择题.1.a R ∈，i 是虚数单位，假设1z ai =+，4z z ⋅=，那么a =〔 〕A. 1或者-1 C.者【答案】D 【解析】 【分析】根据复数1z ai =+，得到1z ai =-，再根据4z z ⋅=，利用乘法求解. 【详解】因为复数1z ai =+， 所以1z ai =-，214z z a ⋅=+=，所以a =应选：D【点睛】此题主要考察复数的运算和概念，还考察了运算求解的才能，属于根底题. 2.集合(){22020|log 103M x y x x ==--，{}|20201xN y y ==+，那么M N =〔 〕A. ()1,2-B. [)1,2-C. ()1,2D. [)1,2【答案】C 【解析】 【分析】先根据对数函数的定义域求法和指数函数值域的求法，化简集合M ，N ，然后求解. 【详解】因(){}22020|log 103{|52}M x y x xx x ==--=-<<，{}|20201{|1}x N y y y y ==+=>，所以{|12}M N x x =<<.应选：C【点睛】此题主要考察集合的根本运算以及指数函数和对数函数的性质，还考察了运算求解的才能，属于根底题.3.函数()21lg ||x f x x -=的图象大致为〔 〕A. B.C. D.【答案】B 【解析】 【分析】结合函数奇偶性特征先排除A ，再找特殊点，当0x →时，分析分子和分母的变化，可确定B 项正确【详解】由表达式()21lg ||x f x x -=可知，函数为偶函数，排除A ，当0x →211x -→，为正，lg ||x →-∞，所以()210xf x --=→，B 正确应选：B【点睛】此题考察应用奇偶性和特殊值法识别函数图像，属于根底题 4.设向量a ，b 满足2=a ，3b a b =-=，那么2a b +=〔 〕 A. 6 B. 32 C. 10D. 43【答案】D【分析】根据2=a ，3b a b =-=，求得a b ⋅，再由()222a b a b+=+求解.【详解】因为2=a ，3b a b =-=， 所以()24929a ba b -=+-⋅=，解得2a b ⋅=，所以()222436a b a b+=+=++=应选：D【点睛】此题主要考察平面向量的数量积运算，还考察了运算求解的才能，属于根底题.22221x y a b-=，那么其渐近线方程为〔 〕A. y=±2xB. y=C. 12y x =±D.y x = 【答案】B 【解析】=b y x a =±，计算得b a =，故渐进性方程为y =.【考点定位】本小题考察了离心率和渐近线等双曲线的性质.6.ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，假设2sin sin 5B bA =，且()()40a c b a b c +---+=，那么ABC 的面积S =〔 〕B. 2C. 4【解析】 【分析】根据2sin sin 5B b A =，由正弦定理得到ab ，再根据()()40a c b a b c +---+=，结合余弦定理解得cos C ，然后代入in 12s S ab C =求解. 【详解】因为2sin sin 5B b A =，所以由正弦定理得5ab =，又因为()()40a c b a b c +---+=， 所以222246a b c ab +-=-=，由余弦定理得3cos 5C =，所以1sin 22S ab C ==. 应选：B .【点睛】此题主要考察正弦定理和余弦定理的应用，还考察了运算求解的才能，属于中档题. 7.?算法统宗?是我国古代数学名著，有明代数学家程大位所著.该著作完善了珠算口诀，确立了算盘用法，完成了有筹算到珠算的转变，对我国民间普及珠算起到了重要的作用.如下图的程序框图的算法思路源于该著作中的“李白沽酒〞问题.执行该程序框图，假设输入的a 的值是4，那么输出的m 的值是〔 〕A. 11B. 19C. 35D. 25【答案】C 【解析】按照循环构造的功能，一一循环，找到规律，直至3i >终止循环，输出结果. 【详解】第一次循环1,7i m ==， 第二次循环2,11i m ==， 第三次循环3,19i m ==， 第四次循环4,35i m ==， 终止循环，输出. 应选：C【点睛】此题主要考察程序框图中的循环构造，还考察了逻辑推理的才能，属于根底题. 8.琴、棋、书、画、诗、酒、花、茶被称为中国传统八雅.为弘国传统文化，某校在周末学生业余兴趣活动中开展了“八雅〞知识讲座，每排一节，连排八节.那么“琴〞“棋〞“书〞“画〞互不相邻的概率为〔 〕 A.170B.235C.114D.18【答案】C 【解析】 【分析】先对八雅进展全排列，得到方法总数，再利用插空法得到“琴〞“棋〞“书〞“画〞互不相邻的方法数，然后代入古典概型的概率公式求解. 【详解】对八雅进展全排列，方法总数为88A 种，满足“琴〞“棋〞“书〞“画〞互不相邻的方法书为4445A A 种，那么所求概率为444588314214A A P A ===. 应选：C .【点睛】此题主要考察古典概型的规律，还考察了运算求解的才能，属于根底题. 9.底面为长方形的四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，24BC PA ==，3AB =，E 为PD 中点，那么异面直线AE 与BD 所成角的余弦值为〔 〕A.35B.25C.65D.8525【答案】D 【解析】 【分析】取PB 中点F ，E 为PD 中点，由中位线定理得到EFBD ，从而AEF ∠〔或者补角〕为异面直线AE 与BD 所成角，然后再利用余弦定理求解. 【详解】如下图：取PB 中点F ，连接AF ，EF ， 因为E 为PD 中点，所以EFBD ，所以AEF ∠〔或者补角〕为异面直线AE 与BD 所成角. 由得，152AE PD ==，1132AF PB ==1522EF BD ==， 所以22285cos 2AE EF AF AEF AE EF +-∠==⋅应选：D .【点睛】此题主要考察异面直线所成的角的求法，还考察了空间想象和运算求解的才能，属于中档题.10.函数()()()2sin 0f x x b ωϕω=++>，88f x f x ππ+=-（）（），且58f π=（），那么b =〔 〕A. 3B. 3或者7C. 5D. 5或者8【答案】B 【解析】根据函数的对称轴8x π=以及函数值，可得结果.【详解】函数()()()2sin 0f x x b ωϕω=++>，假设88f x f x ππ+=-（）（），那么()f x 的图象关于8x π=对称，又58f π=（），所以25b +=或者25b -+=， 所以b 的值是7或者3. 应选：B.【点睛】此题考察的是三角函数的概念及性质和函数的对称性问题，属根底题11.()g x 为偶函数，()h x 为奇函数，且满足()()2xg x h x -=.假设存在[]1,1x ∈-，使得不等式()()0m g x h x ⋅+≤有解，那么实数m 的最大值为〔 〕 A.35B.35C. 1D. -1【答案】A 【解析】 【分析】由题意得出()g x 、()h x 的解析式，不等式恒成立，采用别离参数法，可得2141x m ≤-+转化为求函数的最值，求出函数2141xy =-+的最大值即可. 【详解】()g x 为偶函数，()h x 为奇函数，且()()2x g x h x -=①()()()()2x g x h x g x h x -∴---=+=②①②两式联立可得()222x x g x -+=，()222x xh x --=.由()()0m g x h x ⋅+≤得224121224141x x x x x x xm ----≤==-+++， ∵2141xy =-+在[]1,1x ∈-为增函数， ∴max 231415x ⎛⎫-= ⎪+⎝⎭，【点睛】此题主要考察函数奇偶性的应用、考察了不等式存在有解问题以及函数的单调性求最值，注意别离参数法的应用，此题属于中档题.12.1F，2F是椭圆C ：22221(0) xya ba b+=>>的左、右焦点，过2F的直线交椭圆于,P Q两点.假设2211||,||,||,||QF PF PF QF依次构成等差数列，且1||PQ PF=，那么椭圆C的离心率为〔〕A.23B.34C.155D.105【答案】D【解析】【分析】设2211||,||,||,||QF PF PF QF依次构成等差数列{}n a，其公差为d，可得12344a a a a a+++=，及123a a a+=，进而可求得1234,,,a a a a的表达式，然后在12PF F△和1PFQ中，利用余弦定理得到12cos F PF∠的表达式，进而可求出离心率的值.【详解】如下图，设2211||,||,||,||QF PF PF QF依次构成等差数列{}n a，其公差为d.根据椭圆定义得12344a a a a a+++=，又123a a a+=，那么1111111()(2)(3)4()2a a d a d a d aa a d a d++++++=⎧⎨++=+⎩，解得25d a=，12342468,,,5555a a a a a a a a====.所以18||5QF a=，16||5PF a=，24||5PF a=，6||5PQ a=.在12PF F△和1PFQ中，由余弦定理得2222221246668()()(2)()()()55555cos 4666225555a a c a a a F PF a a a a +-+-∠==⨯⨯⨯⨯， 整理得22715a c =,那么c e a ==. 应选：D.【点睛】此题考察椭圆离心率的求法，考察椭圆定义的应用，考察等差数列的性质，考察学生的计算求解才能，属于中档题. 二、填空题.13.曲线sin y x x =在点(),0π处的切线方程为___________.【答案】2y x ππ=-+ 【解析】 【分析】根据导数的几何意义,先求得在点(),0π处的切线的斜率.进而结合点斜式即可求得切线方程.【详解】曲线sin y x x =那么()()''sin sin 'sin cos y x x x x x x x =+=+ 所以在点(),0π处的切线的斜率为sin cos k ππππ=+=-由点斜式可得()2y x x ππππ=--=-+ 故答案为: 2y x ππ=-+【点睛】此题考察了导数的几何意义,直线方程的点斜式应用,属于根底题.14.假设,x y 满足约束条件036020x y x y x y -≥⎧⎪--≤⎨⎪+-≥⎩，那么2z x y =-的最大值为_________.【答案】4 【解析】 【分析】根据可行域，将2z x y =-变为2y x z =-，那么z 的最大值即为在y 轴截距最小值，通过图像得到结果.【详解】由约束条件可知可行域如下列图：将2z x y =-变为2y x z =-，那么z 的最大值即为在y 轴截距最小值 通过下列图可知：当2y x z =-过点()2,0A 时，截距最小，那么z 最大max 2204z ∴=⨯-=此题正确结果：4【点睛】此题考察线性规划中z ax by =+型的最值问题的求解，属于根底题.15.假设()3sin 5πα+=，α是第三象限角，那么cossin22cos sin 22αααα+-______. 【答案】12- 【解析】 【分析】利用平方关系和二倍角公式化简cos sin22cos sin 22αααα+-为1sin cos αα+，再利用()3sin 5πα+=，得到sin ,cos αα代入求解.【详解】因为2cos sin cos sin 1sin 2222=cos cos sin cos sin cos sin 222222αααααααααααα⎛⎫++ ⎪+⎝⎭=⎛⎫⎛⎫--+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， 又()3sin sin 5παα+=-=， 3sin 5α∴=- ，α为第三象限角，4cos 5α∴=-，1sin 1cos 2αα+∴=-.故答案为：12-【点睛】此题主要考察同角三角函数根本关系式，诱导公式以及二倍角公式，还考察了运算求解的才能，属于中档题.16.在矩形ABCD 中，4BC ＝，M 为BC 的中点，将ABM 和DCM △分别沿AM ，DM 翻折，使点B 与C 重合于点P .假设150APD ∠︒＝，那么三棱锥M PAD ﹣的外接球的外表积为_____. 【答案】68π. 【解析】 【分析】计算ADP △外接圆的半径r ，并假设外接球的半径为R ，可得球心在过外接圆圆心且垂直圆面的垂线上，然后根据PM ⊥面PAD ，222PM 2R r ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭即可得解.【详解】由题意可知，MP PA MP PD PD PA P ⊥⊥⋂，，＝， 所以可得PM ⊥面PAD ，设ADP △外接圆的半径为r ， 由正弦定理可得AD 2sin APDr =∠，即42sin150r =︒，4r =， 设三棱锥M PAD ﹣外接球的半径R ，因为外接球的球心为过底面圆心垂直于底面的直线与中截面的交点，那么222PM 116172R r ⎛⎫=+=+= ⎪⎝⎭， 所以外接球的外表积为2468S R ππ＝＝. 故答案为：68π.【点睛】此题考察三棱锥的外接球的应用，属于中档题.三、解答题：解容许写出文字说明、证明过程或者演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须答题.第22、23为选考题，考生根据要求答题. 〔一〕必考题.17.数列{}n a 满足12a =，1(1)2(1)n n na n a n n +-+=+，设nn a b n=. 〔1〕证明数列{}n b 是等差数列，并求其通项公式；〔2〕假设2n bn c n =-，求数列{}n c 的前n 项和.【答案】〔1〕证明见解析；2n b n =〔2〕1244323n n n ++-- 【解析】 【分析】〔1〕根据()()1121a n n n a n n +-+=+，两边同除以()1n n +，得到121n na a n n+-=+，再利用等差数列的定义求解.〔2〕由〔1〕得到224n n n c n n =-=-，再利用分组求和的方法求解. 【详解】〔1〕因为nn a b n=且()()1121a n n n a n n +-+=+， 所以1121n nn n a a b b n n++-=-=+， 又因为112b a ==，所以{}n b 是以2为首项，以2为公差的等差数列. 所以()2212n b n n =+-=.〔2〕由〔1〕及题设得，224n n n c n n =-=-，所以数列{}n c 的前n 项和()()()1241424nn S n =-+-+⋅⋅⋅+-()()12=4+4++412n n ⋅⋅⋅-++⋅⋅⋅+()1444=142n n n +-⨯-- 1244=323n n n ++--. 【点睛】此题主要考察等差数列的定义以及分组求和的方法，还考察了运算求解的才能，属于中档题.18.在某企业中随机抽取了5名员工测试他们的艺术爱好指数()010x x ≤≤和创新灵感指数()010y y ≤≤，统计结果如下表〔注：指数值越高素质越优秀〕：〔1〕求创新灵感指数y 关于艺术爱好指数x 的线性回归方程；〔2〕企业为进步员工的艺术爱好指数，要求员工选择音乐和绘画中的一种进展培训，培训音乐次数t 对艺术爱好指数x 的进步量为()200101tx e -⎛⎫-- ⎪⎝⎭，培训绘画次数t 对艺术爱好指数x 的进步量为()01010110x t ⎛⎫-- ⎪+⎝⎭，其中0x 为参加培训的某员工已到达的艺术爱好指数.艺术爱好指数已到达3的员工甲选择参加音乐培训，艺术爱好指数已到达4的员工乙选择参加绘画培训，在他们都培训了20次后，估计谁的创新灵感指数更高？参考公式：回归方程ˆˆˆybx a =+中，1221ˆni ii nii x y nxyb xnx ==-=-∑∑，ˆˆay bx =-.参考数据：185ni ii x y==∑，2190ni i x ==∑【答案】〔1〕1ˆ22yx =+〔2〕培训后乙的创新灵感指数更高 【解析】 【分析】〔1〕先求得,x y ，再根据提供的数据，求得ˆˆ,ba ，写出回归直线方程.〔2〕根据培训音乐次数t 对艺术爱好指数x 的进步量为()200101tx e -⎛⎫-- ⎪⎝⎭，培训绘画次数t 对艺术爱好指数x 的进步量为()01010110x t ⎛⎫-- ⎪+⎝⎭，分别得到员工甲经过20次的培训后，他们的艺术爱好指数，再估计他们的创新灵感指数，比拟即可.【详解】〔1〕设ˆˆˆybx a =+，有5511114,455i i i i x x y y ======∑∑， 1221511,4421ˆ022ˆˆni ii nii x y nxyba y bx xnx ==-∴====-=-⨯=-∑∑， 1ˆ22yx ∴=+. 〔2〕员工甲经过20次的培训后，估计他的艺术爱好指数将到达()2012031031107x e e --⎛⎫=+--=- ⎪⎝⎭，因此估计他的创新灵感指数为()11121077122y e e -⎛⎫=+⨯-=- ⎪⎝⎭. 员工乙经过20次的培训后，估计他的艺术爱好指数将到达()104104182010x ⎛⎫=+--= ⎪+⎝⎭，因此估计他的创新灵感指数为12862y =+⨯=.由于17162e ⎛⎫-< ⎪⎝⎭，故培训后乙的创新灵感指数更高. 【点睛】此题主要考察线性回归方程的求法以及应用，还考察了运算求解的才能，属于中档题.19.抛物线()2:20C x py p =>与圆22:12O x y +=相交于A ，B 两点，且点A 的横坐标为F 是抛物线C 的焦点，过焦点的直线l 与抛物线C 相交于不同的两点M ，N . 〔1〕求抛物线C 的方程.〔2〕过点M ，N 作抛物线C 的切线1l ，2l ，()00,P x y 是1l ，2l 的交点，求证：点P 在定直线上.【答案】〔1〕24x y =〔2〕证明见解析 【解析】 【分析】〔1〕根据点A 的横坐标为A 的坐标，代入抛物线方程求解.〔2〕由〔1〕得到抛物线2:4x C y =，求导'2x y =，设()()1122,,,M x y N x y ，利用导数的几何意义，得到切线PM ，PN 的方程，联立解得点P 的坐标，再设出直线MN 的方程与抛物线方程联立，结合韦达定理求解.【详解】〔1〕点A 的横坐标为A 的坐标为()2A ，代入22x py =解得2p =，所以抛物线的方程为24x y =.〔2〕抛物线2:4x C y =，那么'2x y =，设()()1122,,,M x y N x y ，所以切线PM 的方程为()1112x y y x x -=-，即21124x x y x =-，同理切线PN 的方程为22224x x y x =-，联立解得点1212,24x x x x P +⎛⎫⎪⎝⎭， 设直线MN 的方程为1y kx =+，代入24x y =， 得2440x kx --=，所以124x x =-， 所以点P 在1y =-上，结论得证.【点睛】此题主要考察抛物线的方程和几何性质以及直线过定点问题，还考察了运算求解的才能，属于中档题.20.如图，在四棱锥P ABCD -中， PB ⊥平面PAC ，四边形ABCD 为平行四边形，且24AD AB ==，135BAD ∠=︒.〔1〕证明： AC ⊥平面PAB〔2〕当直线PC 与平面PAB 2时，求锐二面角A PC D --的余弦值. 【答案】〔1〕证明见解析〔2〕105【解析】 【分析】〔1〕在四边形ABCD 中，由平面几何知识，易证AB AC ⊥，再由PB ⊥平面PAC ，得到PB AC ⊥，根据线面垂直的断定定理证明AC ⊥平面PAB .〔2〕根据〔1〕知AC ⊥平面PAB ，得到APC ∠是直线PC 与平面PAB 所成角，由直线PC 与平面PAB 2，得到2AP =，从而2PB PA PB PA ⊥==，，然后以A 为原点，分别以AB ，AC ，在平面PAB 中，过A 垂直于AB 的直线为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，PB 是平面PAC 的一个法向量，再求得平面PCD 的一个法向量，利用二面角的向量公式求解.【详解】〔1〕∵四边形ABCD 为平行四边形，24,135AD AB BAD ==∠=︒∴4,22AD BC AB CD ====，45ABC ∠=︒，∴在△ABC 中，由余弦定理得2222cos 4AC AB BC AB BC ABC =+-⋅⋅∠=， ∴22AC =.∴222AB AC BC +=，即AB AC ⊥， 又∵PB ⊥平面PAC ，∴PB AC ⊥， 又∵,,AB PB B AB PB PAB ⋂=⊂平面 ∴AC ⊥平面PAB〔2〕由〔1〕知，APC ∠是直线PC 与平面PAB 所成角，22tan 2AC APC AP AP∠===，∴2AP =，又∵PB ⊥平面PAC ， ∴2PB PA PB PA ⊥==，∴△PAB 是等腰直角三角形，如图建立空间直角坐标系：那么有：()()()()(0,0,0,22,0,0,0,22,0,22,22,0,2,0,2A B C D P -，由(22PB =，是平面PAC 的一个法向量，设平面PCD 的一个法向量为(),,n x y z =，()22,0,0CD =-，(2,22,2CP =-，n CP n CD ⎧⋅=⎨⋅=⎩，220y x ⎧=⎪∴⎨=⎪⎩，()0,1,2n =∴22cos ,25PB n PB n PB n⋅∴===⋅∴锐二面角A PC D --的 【点睛】此题主要考察线面垂直，二面角的向量求法，还考察了转化化归的思想和空间想象和运算求解的才能，属于中档题. 21.函数1()ln f x x x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭，()k g x x x=-. 〔1〕证明：当[)1,x ∈+∞时，()0f x ≥.〔2〕假设函数()()y f x g x =-在[)1,+∞有两个零点，证明：1718k <≤. 【答案】〔1〕证明见解析〔2〕证明见解析 【解析】 【分析】〔1〕求导2211()1ln 1f x x x x ⎛⎫⎛⎫=++- ⎪' ⎪⎝⎭⎝⎭，要证当[)1,x ∈+∞时，()0f x ≥，只需()min 0f x ≥即可.〔2〕将函数()()y f x g x =-在[)1,+∞有两个零点，转化为方程()221ln x x x k --=-在区间[)1+∞，上有两解，令()22()1ln h x x x x =--，用导数法研究其值域，再用数形结合的思想求解即可. 【详解】〔1〕2211()1ln 1f x x x x ⎛⎫⎛⎫=++- ⎪' ⎪⎝⎭⎝⎭，当[)1x ∈+∞，时，2211()1ln 10f x x x x ⎛⎫⎛⎫=++-≥ ⎭⎝'⎪⎪⎝⎭， ()f x ∴在区间[)1x ∈+∞，上单调递增， ()(1)0f x f ∴≥=，不等式成立.〔2〕函数()()y f x g x =-在[)1,+∞有两个零点，即方程()221ln x x x k --=-在区间[)1+∞，上有两解， 令()22()1ln h x x x x =--，那么1()2ln h x x x x x=--' 令1()()2ln 1x h x x x x x xφ'==--≥，，21()2ln 10x x xφ='∴++>， ()h x '∴在区间[)1+∞，单调递增又5(1)20,(2)4ln 202h h ∴=-<=-'>'， 故存在唯一的实数()1,2m ∈，使得1()2ln 0h m m m m m=--='， 即211ln 22m m =+ 所以()h x 在()1,m 上单调递减，在区间(),m +∞上单调递增， 且()()11h h e ==-，所以22222min 221111h()()(1)ln (1)222x h m m m m m m m m m ⎛⎫⎛⎫==--=-+-=-+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 又因为()1,2m ∈，所以()min 178h x >-， 因为方程关于x 的方程()221ln x x x k --=-在[)1+∞，上有两个零点， 所以()()min 17118h x k h -<<-≤=-， 即171k 8≤<.【点睛】此题主要考察导数与不等式证明，导数与函数的零点，还考察了转化化归，数形结合的思想和运算求解的才能，属于难题.〔二〕选考题：请考生在第22、23题中任选一题答题.假如多做，那么按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22.在平面直角坐标系xOy 中，曲线C的参数方程为：2cos x y αα=⎧⎪⎨=⎪⎩〔α为参数〕.在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线l的极坐标方程为sin 14πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭.〔Ⅰ〕求曲线C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程；〔Ⅱ〕设点P 的直角坐标为()1,0，假设直线l 与曲线C 分别相交于A ，B 两点，求11PA PB+的值.【答案】〔Ⅰ〕22142x y +=，10x y +-=；【解析】 【分析】〔Ⅰ〕根据参数方程与普通方程的转化即可得曲线C 的普通方程；由极坐标与直角坐标的转化可得直线l 的直角坐标方程；〔Ⅱ〕将直线l 的直角坐标方程化为HY 参数方程，联立椭圆方程，结合参数方程的几何意义即可求解.【详解】〔Ⅰ〕曲线C的参数方程为：2cos x y αα=⎧⎪⎨=⎪⎩〔α为参数〕.变形为cos 2sin xαα⎧=⎪⎪⎨=,平方相加后可转化为直角坐标方程得22142x y +=.直线lsin 14πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭.sin cos sin cos 144ππρθρθ⎫+=⎪⎭,122y x ⎫+=⎪⎪⎭化简可得直角坐标方程为10x y +-=.〔Ⅱ〕把直线10x y +-=的方程为转换为HY参数方程可得12x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩〔t 为参数〕.把直线的HY 参数方程代入曲线C 的直角坐标方程22142x y +=，可得2360t --=，所以123t t +=，122t t =-， 所以由参数方程的几何意义可知121211t t PA PB t t -+====【点睛】此题考察了参数方程、极坐标方程与直角坐标方程的转化，参数方程几何意义求线段关系，属于中档题.[选修4-5：不等式选讲]23.选修4-5：不等式选讲设函数()|2||1|f x x x =-++.〔1〕求()f x 的最小值及获得最小值时x 的取值范围；〔2〕假设集合{|()10}x f x ax +->=R ，务实数a 的取值范围.【答案】〔1〕min ()3f x =，此时x ∈[]1,2-〔2〕()1,2-【解析】【分析】〔1〕利用绝对值不等式公式进展求解；〔2〕集合(){}10x f x ax R +-=表示x R ∀∈，()1f x ax >-+，令()1g x ax =-+， 根据几何意义可得()y f x =的图像恒在()y g x =图像上方，数形结合解决问题.【详解】解〔1〕因为()()21213x x x x -++≥--+=，当且仅当()()210x x -+≤，即12x -≤≤时，上式“=〞成立，故函数()21f x x x =++-的最小值为3，且()f x 取最小值时x 的取值范围是[]1,2-.〔2〕因为(){}10x f x ax R +-=，所以x R ∀∈，()1f x ax >-+. 函数()21f x x x =-++化为()21,13,1221,2x x f x x x x -+<-⎧⎪=-≤≤⎨⎪->⎩.令()1g x ax =-+，其图像为过点()0,1P ，斜率为a -的一条直线.如图，()2,3A ，()1,3B -.那么直线PA 的斜率131120k -==-， 直线PB 的斜率231210k -==---. 因为()()f x g x >，所以21a -<-<，即12a -<<，所以a 的范围为()1,2-.【点睛】此题考察了绝对值不等式问题与不等式恒成立问题，不等式恒成立问题往往可以借助函数的图像来研究，数形结合可以将抽象的问题变得更为直观，解题时应灵敏运用.励志赠言经典语录精选句；挥动**，放飞梦想。

2020年宁夏六盘山高中高考数学三模试卷(文科)一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合A={x|x−1≥0}，B={0,1,2}，则A∩B=()A. {0}B. {1}C. {1,2}D. {0,1,2}2.已知i为虚数单位，设z=1+2+ii，则复数z在复平面内对应的点位于()A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限3.若将函数y=2sin2x的图象向左平移π12个单位长度，则平移后的图象的对称轴为()A. x=kπ2−π6(k∈Z) B. x=kπ2+π6(k∈Z)C. x=kπ2−π12(k∈Z) D. x=kπ2+π12(k∈Z)4.若双曲线x2a2−y2=1(a>0)的实轴长为2，则其渐近线方程为()A. y=±xB. y=±√2xC. y=±12x D. y=±2x5.已知圆C：(x−a)2+y2=1，直线l：x=1；则：“12≤a≤32”是“C上恰有不同四点到l的距离为12”的()A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件6.与球心距离为1的截球平面，所得的截面圆的面积为2π，则球的体积为()A. 8√3πB. 4√3πC. 4πD. 8π7.已知a=logπ3,b=log13π,c=π13，则a，b，c的大小关系是()A. a>c>bB. a>b>cC. c>a>bD. c>b>a8.甲在微信群中发布6元“拼手气”红包一个，被乙、丙、丁三人抢完，若三人均领到整数元，且每人至少领到1元，则乙获得“最佳手气”(即乙领到的钱数不少于其他任何人)的概率是()A. 13B. 310C. 25D. 349.执行如图所示的程序框图，输出的结果为A. 22019−1B. 22019−2C. 22020−2D. 22020−110.奇函数f(x)的定义域R，若f(x+2)为偶函数，且f(1)=1，则f(2016)+f(2017)=()．A. 1B. 0C. −1D. 211.已知α满足tan(α+π4)=13，则tanα=()A. −12B. 12C. 2D. −212.已知函数f(x)=x2+ax，若函数f(x)在x∈[2,+∞)上是单调递增的，则实数a的取值范围为()A. (−∞,8)B. (−∞,16]C. (−∞,−8)∪(8,+∞)D. (−∞,−16]∪[16,+∞)二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知向量a⃗=(1,−2),b⃗ =(m,3)，若(a⃗+b⃗ )⋅a⃗=6，则m=______．14.设实数x，y满足{x⩾0,y⩾0,x+y⩽3,2x+y⩽5,则z=4x+y的最大值是____．15.如图，在平面四边形ABCD中，AD=1，BD=√5，AB⊥AC，AC=2AB，则CD的最小值为______．16. 甲、乙、丙三个同学同时做标号为A 、B 、C 的三个题，甲做对了两个题，乙做对了两个题，丙做对了两个题，则下列说法正确的有________(填序号)。

2020年宁夏六盘山高中高考数学三模试卷（文科）一、单项选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.若集合A={x||x|≤1,x∈R}，B={y|y=x2,x∈R}，则A∩B=()A. {x|−1≤x≤1}B. {x|x≥0}C. {x|0≤x≤1}D. ⌀2.若复数z满足z(1+i)=|1−i|2(i为虚数单位)，则复数z在复平面内对应的点位于()A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限3.若将函数f(x)=sin2x的图象向左平移π6个单位长度，则平移后图象的一个对称中心可以为()A. (π3,0) B. (π6,0) C. (π12,0) D. (π2,0)4.若双曲线x2a2−y2=1(a>0)的渐近线为y=±14x，则其实轴长为()A. 4B. 12C. 8 D. 145.已知圆C：x2+y2=r2(r>0)，直线l：x=1，则“12<r≤1”是“C上恰有不同的两点到l的距离为12”的()A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件6.若求O的半径为4，且球心O到平面α的距离为√3，则平面α截球O所得截面圆的面积为()A. πB. 10πC. 13πD. 52π7.已知a=20.5，b=sin2π5，c=log2sin2π5，则a，b，c的大小关系是()A. a>c>bB. a>b>cC. c>b>aD. c>a>b8.甲在微信群中发布5元“拼手气”红包一个，被乙、丙、丁三人依次抢完．若三人均领到整数元，且每人至少领到1元，则乙获得“手气最佳”(即乙领取的钱数不少于丙、丁)的概率是()A. 12B. 13C. 14D. 169.执行如图所示的程序框图，输出的结果为()A. 22019−1B. 22019−2C. 22020−2D. 22020−110. 奇函数f(x)的定义域为R ，若f(x +1)为偶函数，且f(−1)=−1，则f(2018)+f(2019)=( )A. −2B. −1C. 0D. 111. 若tan(α+80°)=4sin420°，则tan(α+20°)的值为( )A. −√35B. 3√35C. √319D. √3712. 已知实数a >0，a ≠1，函数f(x)={a x ,x <1x 2+4x +alnx,x ≥1在R 上单调递增，则实数a 的取值范围是( )A. 2≤a ≤5B. a <5C. 3<a <5D. 1<a ≤2二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 已知向量AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(m,1)，BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,4)，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ >11，则m 的取值范围为______． 14. 已知实数x ，y 满足{x ≥−1y ≤3x −y +1≤0，则z =x 2+y 2的最大值为______．15. 四边形ABCD 中，AB =1，BC =5，CD =5，DA =7，且∠DAB =∠BCD =90°，则对角线AC 长为______．16. 甲、乙、丙三个同学同时做标号为A 、B 、C 的三个题，甲做对了两个题，乙做对了两个题，丙做对了两个题，则下列说法正确的是______ ①三个题都有人做对； ②至少有一个题三个人都做对； ③至少有两个题有两个人都做对． 三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17. 在等差数列{a n }中，已知a 3+a 4=84−a 5，a 8=36．(Ⅰ)求数列{a n }的通项公式a n ；(Ⅱ)记S n为数列{a n}的前n项和，求S n+20n的最小值．18.已知某企业的近3年的前7个月的月利润(单位：百万元)如下面的折线图所示：(1)试问这3年的前7个月中哪个月的月平均利润较高？(2)通过计算判断这3年的前7个月的总利润的发展趋势；(3)试以第3年的前4个月的数据(如下表)，用线性回归的拟合模式估测第3年8月份的利润．月份x1234利润y(单位：百万元)4466相关公式：b̂=ni=1i−x)(y i−y)∑(n x−x)2=ini=1i−nxy∑x2n−n(x)2，â=ŷ−b̂x.19.如图，三棱锥B−ACD的三条侧棱两两垂直，BC=BD=2，E，F，G分别是棱CD，AD，AB的中点．(1)证明：平面ABE⊥平面ACD；(2)若四面体BEFG的体积为1，且F在平面ABE内的正投影为M，求线段CM的长．220.设抛物线C：y2=2px(p>0)的焦点为F，准线为l，AB为过焦点F且垂直于x轴的抛物线C的弦，已知以AB为直径的圆经过点(−1,0)．(1)求p的值及该圆的方程；(2)设M为l上任意一点，过点M作C的切线，切点为N，证明：MF⊥NF．21.已知函数f(x)=e x−a(x−1)．(1)证明：当a=1时，f(x)≥2恒成立；(2)若函数f(x)在R上只有一个零点，求a的取值范围．22. 在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为{x =1+cosβy =sinβ(β为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ=4cosθ(1)将C 1的方程化为普通方程，将C 2的方程化为直角坐标方程；(2)已知直线l 的参数方程为{x =tcosαy =tsinα(π2<α<π,t 为参数，且t ≠0)，l 与C 1交于点A ，l 与C 2交于点B ，且|AB|=√3，求α的值．23. 设函数f(x)=|x +1a |+|x −a|，(a >0)．(1)若f(2)<a +1，求a 的取值范围；(2)若对∀a ∈(0,+∞)，f(x)≥m 恒成立，求实数m 的取值范围．答案和解析1.【答案】C【解析】解：由题得：A={x|−1≤x≤1}，B={y|y≥0}，∴A∩B={x|0≤x≤1}．故选：C．考查集合的性质与交集以及绝对值不等式运算．常见的解法为计算出集合A、B的最简单形式再运算．在应试中可采用特值检验完成．2.【答案】D【解析】解：∵复数z满足z(1+i)=|1−i|2=2，∴z=21+i =2(1−i)(1+i)(1−i)=1−i，∴复数z在复平面内对应的点的坐标为：(1.−1)，∴复数z在复平面内对应的点位于第四象限，故选：D．直接由已知的复数得到其在复平面内对应点的坐标得答案．本题考查了复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．3.【答案】A【解析】解：函数f(x)=sin2x图象向左平移π6个单位得到：g(x)=sin[2(x+π6)]=sin(2x+π3)，令：2x+π3=kπ，(k∈Z)，解得：x=12kπ−π6，(k∈Z)，当k=1时，x=π3，可得平移后图象的一个对称中心可以为(π3,0)．故选：A．由函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律，正弦函数的图象和性质即可得解对称中心．本题主要考查了函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律，正弦函数的图象和性质的应用，属于基础题．4.【答案】C【解析】解：由双曲线x2a2−y2=1(a>0)，得其渐近线方程为y=±1ax，又双曲线的渐近线为y=±14x，得1a=14，则a=4．∴双曲线的实轴长为2a =8． 故选：C ．由双曲线方程求得渐近线方程，结合已知求得a ，则实轴长可求． 本题考查双曲线的简单性质，考查双曲线的渐近线方程，是基础题．5.【答案】D【解析】解：圆C ：x 2+y 2=r 2(r >0)，直线l ：x =1，由C 上恰有不同的两点到l 的距离为12， 则12<r <32，且r ≠1．∴则“12<r ≤1”是“C 上恰有不同的两点到l 的距离为12”的既不充分也不必要条件． 故选：D ．圆C ：x 2+y 2=r 2(r >0)，直线l ：x =1，由C 上恰有不同的两点到l 的距离为12，可得12<r <32，且r ≠1.即可判断出结论．本题考查了直线与圆的位置关系、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．6.【答案】C【解析】解：作出对应的截面图∵球的半径R =4，由球心距d =√3 故截面圆半径r =√42−3=√13=1 故截面圆面积S =πr 2=13π 故选：C ．根据球的半径R 、球心距，求出截面圆半径，可得截面面积． 本题考查球性质，点到平面的距离，是基础题．7.【答案】B【解析】解：由于b =sin 2π5∈(0,1)，可得c =log 2sin2π5<0又a =20.5>1∴a >b >c故选：B ．由题意，可依次判断出三个代数的取值范围，由中间量法比较三数的大小，选出正确选项本题考点是比较法，考查了三角函数式的取值范围的判断，对数式的取值范围的判断及指数式的取值范围的判断，解题的关键是理解中间量法，本题中三个代数式涉及三个函数，不能用单调性比较大小，此类题一般选择用中间量法比较，其特点是先判断每个数的取值范围，再比较每个范围的端点从而得出三数的大小关系，其理论依据是不等式的传递性，本题考查了判断推理的能力8.【答案】A【解析】解：如下图，利用隔板法，得到共计有n=C42=6种领法，乙领2元获得“最佳手气”的情况有2种，乙领3元获得“最佳手气”的情况有1种，乙获得“最佳手气”的情况总数m=3，∴乙获得“最佳手气”的概率p=mn =36=12．故选：A．利用隔板法得到共计有n=C42=6种领法，乙获得“最佳手气”的情况总数m=3，由此能求出乙获得“最佳手气”的概率．本题考查概率的求法，考查隔板法等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．9.【答案】C【解析】【分析】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S=2+22+23+⋯+22019的值，利用等比数列的求和公式即可计算得解．【解答】解：模拟程序的运行，可得该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S=2+22+23+⋯+22019的值，由于S=2+22+23+⋯+22019=2(1−22019)1−2=22020−2．故选：C．10.【答案】B【解析】【解答】解：奇函数f(x)的定义域为R，若f(x+1)为偶函数，则f(−x+1)=f(x+1)=−f(x−1)，即f(x+2)=−f(x)，则f(x+4)=−f(x+2)=f(x)，即f(x)是周期为4的周期函数，f(2018)=f(504×4+2)=f(2)=−f(0)=0，f(2019)=f(504×5−1)=f(−1)=−1，则f(2018)+f(2019)=0−1=−1，故选：B．【分析】根据函数奇偶性的定义得到f(x)是周期为4的周期函数，利用函数的周期性和奇偶性进行转化求解即可．本题主要考查函数值的计算，结合条件判断函数的周期性是解决本题的关键．属于基础题．11.【答案】D【解析】解：由tan(α+80°)=4sin420°=4sin60°=2√3，那么：tan(α+20°)=tan[(α+80°)−60°]=tan(α+80°)−tan60°1+tan(α+80)tan60=√3−√31+2√3×√3=√37．故选D．由tan(α+80°)=4sin420°=4sin60°=2√3，利用构造的思想，tan(α+20°)=tan[(α+80°)−60°]利用正切的和与差的公式打开可得答案．本题主要考查正切的和与差公式和诱导公式的化简，利用了构造的思想．12.【答案】A【解析】解：∵函数f(x)在R上单调递增，∴当x<1时，有a>1；当x≥1时，f′(x)=2x−4x2+ax=2x3−4+axx2≥0恒成立，令g(x)=2x3+ax−4，x∈[1,+∞)，则g′(x)=6x2+a，∵a>0，∴g′(x)>0，即g(x)在[1,+∞)上单调递增，∴g(x)≥g(1)=2+a−4=a−2，要使当x≥1时，f′(x)≥0恒成立，则a−2≥0，解得a≥2．∵函数f(x)在R上单调递增，∴还需要满足a1≤1+41+aln1，即a≤5，综上，a的取值范围是2≤a≤5．故选：A．因为函数f(x)在R上单调递增，所以当x<1时，有a>1；当x≥1时，f′(x)=2x−4x2+ax=2x3−4+axx2≥0恒成立．令g(x)=2x3+ax−4，接下来需要求当x∈[1,+∞)时，函数g(x)≥0的a的取值范围，于是求导得g′(x)=6x2+a，因为a >0，所以g′(x)>0，即g(x)在[1,+∞)上单调递增，所以g(x)≥g(1)=2+a −4=a −2≥0.除此以外，还需要满足在x =1处，有a 1≤1+41+aln1.综上即可得a 的取值范围．本题考查分段函数的单调性，还利用了导数研究函数的单调性，考查学生灵活运用知识的能力和运算能力，属于中档题．13.【答案】(7,+∞)【解析】解：向量AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(m,1)，BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,4)， ∴AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(m,1)(1,4)=m +4>11， 解得m >7；∴m 的取值范围是(7,+∞)． 故答案为：(7,+∞)．根据平面向量的坐标运算与数量积运算，列出不等式求出m 的取值范围． 本题考查了平面向量是坐标表示与数量积运算问题，是基础题．14.【答案】13【解析】解：根据实数x ，y 满足{x ≥−1y ≤3x −y +1≤0，画出可行域如图：z =x 2+y 2表示O(0,0)到可行域的距离的平方，由{y =3x −y +1=0解得A(2,3)，当点A 与点原点连线时，OA 距离最大， 则z =x 2+y 2的最大值是A(2,3)到(0,0) 的距离的平方为：√22+32=13， 故答案为：13．先根据约束条件画出可行域，再利用z =x 2+y 2的几何意义表示点(0,0)到可行域的点的距离的平方，求最值，即可． 本题主要考查了简单的线性规划，以及利用几何意义求最值，属于基础题．15.【答案】4√2【解析】解：设|AC⃗⃗⃗⃗⃗ |=x,∠B =θ， 由∠DAB =∠BCD =90°，则∠D =180°−θ， △ABC 中，|AB|⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =1,|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=5，|AC|⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x ， 则cosθ=12+52−x 22×1×5=26−x 210；△ACD 中，|CD|⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =5,|DA|⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =7，|AC|⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x ，则； ∵cos(180°−θ)=−cosθ，∴74−x 270=−26−x 210⇒x =√32=4√2．故答案为：4√2设所求向量的模为x ，角B =θ，由∠DAB =∠BCD =90°，根据四边形的内角和表示出角D =π−θ，在三角形ABC 中，利用余弦定理表示出cosθ，同理在三角形ACD 中，利用余弦定理表示出cos(π−θ)，根据诱导公式得到cosθ=−cos(π−θ)，列出关于x 的方程，求出方程的解即可得到x 的值，进而所求向量的模．此题考查了余弦定理，以及四边形的内角和，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．16.【答案】③【解析】解：若甲做对A ，B ，乙做对A ，B ，丙做对A ，B ，则C 无人做对，所以①错误；若甲做对A ，B ，乙做对A ，C ，丙做对B ，C ，则没有一个题被三个人都做对，所以②错误；做对的情况可分为三种情况：三个人做对的都相同；三个人中有两个人做对的相同；三个人每个人做对的都不完全相同，分类可知三种情况都满足③的说法．故答案为：③．运用题目所给条件，进行合情推理，即可得出结论．本题考查学生合情推理的能力，属于中档题．17.【答案】解：(Ⅰ)由已知a 3+a 4=84−a 5，a 8=36．所以：a 4=28，由{a 1+3d =28a 1+7d =36，得{a 1=22d =2， 即数列数列{a n }的通项公式a n =22+2(n −1)=2n +20．(Ⅱ)由(1)得，S n =22n +n(n−1)2×2=n 2+21n ， 所以：S n +20n =n +20n +21， 令f(n)=n +20n +21，则f(n)在(0,2√5)上单调递减，在(2√5,+∞)上单调递增，所以当n =4或5时，f(n)取到最小值30，即S n +20n 的最小值为30．【解析】(Ⅰ)直接利用递推关系式求出数列的通项公式．(Ⅱ)利用(Ⅰ)的结论，进一步利用函数的单调性求出最小值．本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，函数的单调性的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．18.【答案】解：(1)由折线图可知5月和6月的平均利润最高．…(2分)(2)第1年前7个月的总利润为1+2+3+5+6+7+4=28(百万元)，…(3分)第2年前7个月的总利润为2+5+5+4+5+5+5=31(百万元)，…(4分)第3年前7个月的总利润为4+4+6+6+7+6+8=41百万元)，…(5分)所以这3年的前7个月的总利润呈上升趋势．…(7分)(3)∵x=2.5，y=5,12+22+32+42=30，1×4+2×4+3×6+4×6=54，∴b̂=54−4×2.5×530−4×2.52=0.8，…(9分)∴â=5−2.5×8=3，…(10分)∴ŷ=0.8x+3，…(11分)当x=8时，ŷ=0.8×8+3=9.4(百万元)，∴估计8月份的利润为940万元．…(12分)【解析】(1)结合图象读出结论即可；(2)根据图象累加判断结论即可；(3)分别求出对应的系数â，b̂的值，代入回归方程即可．本题考查了回归方程问题，考查折线图以及计算能力，是一道中档题．19.【答案】(1)证明：∵BC=BD，E是CD的中点，∴BE⊥CD，∵三棱锥B−ACD的三条侧棱两两垂直，BC∩BD=B，∴AB⊥平面BCD，又CD⊂平面BCD，∴AB⊥CD，又AB∩BE=B，∴CD⊥平面ABE，又CD⊂平面ACD，∴平面ABE⊥平面ACD．(2)解：由(1)知CD⊥平面ABE，又FM⊥平面ABE，∴FM//CD，又F是AD的中点，∴M是AE的中点，∵BE=√2，MF=12DE=√22，∴V F−BEG=13×12×√2×BG×√22=12，∴BG =3，∴AB =2BG =6，AE =√AB 2+BE 2=√38，∴ME =12AE =√382， ∴CM =√CE 2+ME 2=√462．【解析】(1)根据CD ⊥BE ，CD ⊥AB 可得CD ⊥平面ABE ，故而平面ABE ⊥平面ACD ；(2)M 为AE 的中点，根据四面体BEFG 的体积计算BG ，利用勾股定理计算CM ．本题考查了面面垂直的判定，棱锥的体积计算，属于中档题．20.【答案】解：(1)易知A 点的坐标为(p 2,±p)，所以p =p 2−(−1)，解得p =2，又圆的圆心为F(1,0)，所以圆的方程为(x −1)2+y =4；(2)证明：易知直线MN 的斜率存在且不为0，设M(−1,y 0)，MN 的方程为y =k(x +1)+y 0，代入C 的方程得ky 2−4y +4(y 0+k)=0，令△=16−16k(y 0+k)=0.得y 0+k =1k ，所以ky 2−4y +4(y 0+k)=k 2y 2−4ky+4k =0，解得y =2k ， 将y =2k 代入C 的方程，得x =1k ，即N 点的坐标为(1k ,2k )，所以FM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2,y 0)，FN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1k 2−1,2k)， 所以FM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅FN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2−2k 2+y 0⋅2k =2−2k 2+(1k −k)⋅2k=0 故MF ⊥NF ．【解析】(1)易知A(p 2,±p)，所以p =p 2−(−1)，即可解得p 的值，得到圆心坐标为(1,0)，半径为2，从而求出改圆的方程；(2)设M(−1,y 0)，MN 的方程为y =k(x +1)+y 0，与抛物线方程联立，由△=0可得令△=0可得y 0+k =1k ，所以y =2k ，与抛物线方程联立可求出N 点的坐标，从而得到FM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅FN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，故MF ⊥NF ． 本题主要考查了抛物线的方程，以及直线与抛物线的位置关系，考查了平面向量的基本知识，是中档题． 21.【答案】(1)证明：f′(x)=e x −1．令f′(x)=e x −1=0.可得x =0，当x <0时，f′(x)<0，f(x)单调递减．当x >0时，f′(x)>0，f(x)单调递增．∴f(x)在x =0处取得最小值f(0)=2．∴f(x)≥f(0)=2………………………………………………………………(4分)(2)解：当a =0时，f′(x)=e x >0恒成立，无零点，与题意不符．当a <0时，f′(x)=e x −a >0，f(x)在R 上单调递增．x =1a 时f(1a )=e 1a −a(1a −1)=e 1a −1+a <1−1+a <0． x =1时f(1)=e >0．根据零点存在性定理，f(x)在R 上有唯一零点．当a >0时，f′(x)=e x −a ，令f′(x)=0，x =lna ．x ∈(−∞,lna)，f′(x)<0，f(x)单减，x ∈(lna,+∞)f′(x)>0，f(x)单增，f(x)在x =lna 处取得最小值，f(lna)=a −a(lna −1)=a(2−lna)=0，lna =2，a =e 2，∴当a <0或a =e 2时，f(x)在R 上有唯一的零点…………………………………………(12分)【解析】(1)求得a =1时f(x)的导数，可得f(x)在x =0处取得最小值f(0)=2即可；(2)由题意可得f(x)=0有且只有一个正实数根，当a =0时，f′(x)=e x >0恒成立，无零点，当a >0时，f′(x)=e x −a ，可得f(x)在x =lna 处取得最小值，只需f(lna)=a −a(lna −1)=a(2−lna)=0即可．本题考查导数的运用：求单调性、极值和最值，考查分类讨论思想，化简整理的运算能力，属于中档题． 22.【答案】解：(1)曲线C 1的参数方程为{x =1+cosβy =sinβ(β为参数)，可得普通方程为：(x −1)2+y 2=1， 以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ=4cosθ，可得：x 2+y 2=4x ．(2)曲线l 的参数方程为{x =tcosαy =tsinα(π2<α<π,t 为参数，且t ≠0)，化为y =xtanα． 由题意可得：|OA|=ρ1=2cosα，|OB|=ρ2=4cosα，∵|AB|=√3，∴|OA|−|OB|=−2cosα=√3，即cosα=−√32． 又π2<α<π，∴α=5π6．【解析】(1)利用参数方程与极坐标方程化简为普通方程即可．(2)曲线l 的参数方程为{x =tcosαy =tsinα(π2<α<π,t 为参数，且t ≠0)，化为y =xtanα.由题意可得：|OA|=ρ1=2cosα，|OB|=ρ2=4cosα，利用|AB|=√3，即可得出．本题考查了直角坐标与极坐标的互化、参数方程化为普通方程、两点之间的距离、圆的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．23.【答案】解：(1)f(2)=|2+1a |+|2−a|<a +1，∴2+1a +|2−a|<a +1，等价于{a ≥22+1a −2+a <a +1或{0<a <22+1a +2−a <a +1，解得a ≥2或3+√174<a <2，故a 的取值范围为(3+√174,+∞) (2)a >0，f(x)=|x +1a |+|x −a|≥||≥|(x +1a )−(x −a)|=|1a +a|=1a +a∵a >0时，a +1a ≥2√a ⋅1a=2，当且仅当a =1时取等号， ∴∀a ∈(0,+∞)，f(x)≥m 恒成立，∴m ≤2．【解析】(1)原不等式等价于等价于{a ≥22+1a −2+a <a +1或{0<a <22+1a +2−a <a +1，解得即可．(2)由条件利用绝对值三角不等式求得f(x)≥|a|+|1a |，再利用基本不等式证得a +1a ≥2，从而证得结论．本题主要考查绝对值三角不等式，绝对值不等式的解法，基本不等式的应用，体现了转化、分类讨论的数学思想，属于中档题．。