2006—数二真题、标准答案及解析D间断点,则0()x f t dt⎰是(A )连续的奇函数. (B )连续的偶函数 (C )在0x =间断的奇函数 (D )在0x =间断的偶函数. 【 】 (9)设函数()g x 可微,1()(),(1)1,(1)2g x h x e h g +''===,则(1)g 等于(A )ln31-. (B )ln3 1.--(C )ln 2 1.-- (D )ln 2 1.- 【 】(10)函数212xx xy C eC e xe -=++满足一个微分方程是(A )23.xy y y xe '''--= (B )23.x y y y e '''--=(C )23.xy y y xe '''+-= (D )23.xy y y e '''+-=(11)设(,)f x y 为连续函数,则140(cos ,sin )d f r r rdrπθθθ⎰⎰等于(A )0(,).xf x y dy ⎰⎰ (B )0(,).f x y dy ⎰⎰(C )0(,).yf x y dx ⎰⎰(D )0(,).f x y dx ⎰⎰【 】(12)设(,)f x y 与(,)x y ϕ均为可微函数,且1(,)0yx y ϕ≠. 已知0(,)x y 是(,)f x y 在约束条件(,)0x y ϕ=下的一个极值点,下列选项正确的是(A )若0(,)0xf x y '=,则0(,)0yf x y '=.(B )若0(,)0xf x y '=,则0(,)0yf x y '≠.(C )若0(,)0xf x y '≠,则0(,)0yf x y '=.(D )若0(,)0xf x y '≠,则0(,)0yf x y '≠.【 】 (13)设12,,,,a a a 均为n 维列向量,A 是m n ⨯矩阵,下列选项正确的是 (A )若12,,,,a a a 线性相关,则12,,,,Aa Aa Aa 线性相关. (B )若12,,,,a a a 线性相关,则12,,,,Aa Aa Aa 线性无关. (C )若12,,,,a a a 线性无关,则12,,,,Aa Aa Aa 线性相关.(D )若12,,,,a a a 线性无关,则12,,,,Aa Aa Aa 线性无关.【 】(14)设A 为3阶矩阵,将A 的第2行加到第1行得B ,再将B 的第1列的-1倍加到第2列得C ,记110010001P ⎛⎫ ⎪= ⎪⎪⎝⎭,则(A )1.C PAP -= (B )1.C PAP -=(C ).TC P AP = (D ).TC PAP =三 解答题15.试确定A ,B ,C 的常数值,使得23(1)1()xe Bx Cx Ax o x ++=++,其中3()o x 是当30x x →时比的高阶无穷小.16.arcsin xxe dx e⎰求.17.{}22(,)1,0D x y xy x =+≤≥设区域,221.1DxyI dxdy x y+=++⎰⎰计算二重积分18.{}110,sin (0,1,2,)nn n x x xx n π+<<==设数列满足1lim n x x +→∞证明: (1) 存在,并求极限;211(2)lim()nx n x nx x +→∞计算.19.sin 2cos sin cos .<a <b b b b b a a a a a πππ<++>++证明: 当0时,20 设函数()()0,,f u +∞在内具有二阶导数且z f =满足等式22220z zx y ∂∂+=∂∂.(Ⅰ)验证()()0f u f u u'''+=;(Ⅱ)若()()()10,11,f f f u '==求函数的表达式.21 已知曲线L 的方程为221,(0),4x l t y l t ⎧=+≥⎨=-⎩(Ⅰ)讨论L 的凹凸性;(Ⅱ)过点(-1,0)引L 的切线,求切点0(,)x y ,并写出切线的方程;(Ⅲ)求此切线与L (对应于0x x ≤的部分)及x 轴所围成的平面图形的面积.22 已知非齐次线性方程组12341234123414351331x x x x x x x x ax x x bx +++=-⎧⎪++-=-⎨⎪++-=⎩有个线性无关的解Ⅰ证明方程组系数矩阵A 的秩()2r A =; Ⅱ求,a b 的值及方程组的通解.23 设3阶实对称矩阵A 的各行元素之和均为3,向量()()121,2,1,0,1,1TTαα=--=-是线性方程组A x =0的两个解, (Ⅰ)求A的特征值与特征向量(Ⅱ)求正交矩阵Q和对角矩阵A,使得T Q AQ A .2006年全国硕士研究生入学考试数学(二)真题解析一、填空题(1)曲线4sin 52cos x xy x x+=-的水平渐近线方程为15y =4sin 11lim lim2cos 55x x x x y x x→∞→∞+==-(2)设函数2301sin ,0(),0xt dt x f x x a x ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩⎰ 在x =0处连续,则a =132200()1lim ()lim 33x x sm x f x x →→==(3)广义积分22(1)xdx x +∞=+⎰1222222201(1)11110(1)2(1)2(1)22xdx d x x x x +∞+∞+∞+==-⋅=+=+++⎰⎰(4)微分方程(1)y x y x -'=的通解是xy cxe -=)0(≠x (5)设函数()y y x =由方程1yy xe =-确定,则0x dydx ==e-当x =0时,y =1,又把方程每一项对x 求导,yy y e xe y ''=--01(1)1x x y yyyye y xe ey exe ===''+=-=-=-+(6) 设 A = 2 1 ,2阶矩阵B 满足BA =B +2E ,则|B |= .-1 2解:由BA =B +2E 化得B (A -E )=2E ,两边取行列式,得|B ||A -E |=|2E |=4, 计算出|A -E |=2,因此|B |=2.二、选择题(7)设函数()y f x =具有二阶导数,且()0,()0,f x f x x'''>>∆为自变量x在点x 0处的增量,0()y dy f x x ∆与分别为在点处对应增量与微分,若0x ∆>,则[A](A )0dy y <<∆ (B )0y dy <∆< (C )0y dy ∆<< (D )0dy y <∆< 由()0()f x f x '>可知严格单调增加()0()f x f x ''>可知是凹的即知(8)设()f x 是奇函数,除0x =外处处连续,0x =是其第一类间断点,则 0()xf t dt ⎰是[B](A )连续的奇函数 (B )连续的偶函数 (C )在x =0间断的奇函数 (D )在x =0间断的偶函数(9)设函数()g x 可微,1()(),(1)1,(1)2,g x h x eh g +''===则g (1)等于[C](A )ln31- (B )ln31-- (C )ln 21-- (D )ln21- ∵ 1()()()g x h x g x e+''=,1(1)12g e+= g (1)=ln 21--(10)函数212xx xy c ec xe -=++满足的一个微分方程是[D](A )23xy y y xe '''--= (B )23x y y y e '''--= (C )23xy y y xe '''+-= (D )23xy y y e '''+-=将函数212xx xy c ec xe -=++代入答案中验证即可.(11)设(,)f x y 为连续函数,则14(cos ,sin )d f r r rd πθθθγ⎰⎰等于[C] (A)0(,)xf x y dy⎰ (B)0(,)f x y dy⎰ (C)0(,)yf x y dx⎰ (D)0(,)f x y dx⎰(12)设(,)(,)f x y x y ϕ与均为可微函数,且(,)0,yx y ϕ'≠已知0(,)(,)x y f x y 是在约束条件(,)0x y ϕ=下的一个极值点,下列选项正确的是[D](A )若0(,)0,(,)0xyf x y f x y ''==则(B )若0(,)0,(,)0xyf x y f x y ''=≠则(C )若0(,)0,(,)0xyf x y f x y ''≠=则(D )若0(,)0,(,)0xyf x y f x y ''≠≠则(,)(,)(,)(,)0(1)(,)(,)0(2)(,)0x x xy y y F f x y x y F f x y x y F f x y x y F x y λλϕλϕλϕϕ=+'''=+=⎧⎪'''=+=⎨⎪'==⎩令今 00000(,)(,)0,(,)y yy f x y x y x y ϕλϕ''≠∴=-'代入(1) 得00000000(,)(,)(,)(,)y xx y f x y x y f x y x y ϕϕ'''='今00000000(,)0,(,)(,)0(,)0x y xy f x y f x y x y f x y ϕ''''≠∴≠≠则 故选[D](13)设α1,α2,…,αs 都是n 维向量,A 是m ⨯n 矩阵,则( )成立.(A) 若α1,α2,…,αs 线性相关,则A α1,A α2,…,A αs 线性相关.(B) 若α1,α2,…,αs 线性相关,则A α1,A α2,…,A αs 线性无关.(C) 若α1,α2,…,αs 线性无关,则A α1,A α2,…,A αs 线性相关.(D) 若α1,α2,…,αs 线性无关,则A α1,A α2,…,A αs 线性无关.解: (A)本题考的是线性相关性的判断问题,可以用定义解. 若α1,α2,…,αs 线性相关,则存在不全为0的数c 1,c 2,…,c s 使得c 1α1+c 2α2+…+c s αs =0,用A 左乘等式两边,得c 1A α1+c 2A α2+…+c s A αs =0,于是A α1,A α2,…,A αs 线性相关.如果用秩来解,则更加简单明了.只要熟悉两个基本性质,它们是:1. α1,α2,…,αs ↵∍◊σ⇔ r(α1,α2,…,αs )=s.2. r(AB )≤ r(B ).矩阵(A α1,A α2,…,A αs )=A ( α1, α2,…,αs ),因此r(A α1,A α2,…,A αs )≤ r(α1, α2,…,αs ).由此马上可判断答案应该为(A).(14)设A 是3阶矩阵,将A 的第2列加到第1列上得B ,将B 的第1列的-1倍加到第2列上得C .记 1 1 0P = 0 1 0 ,则 0 0 1(A) C =P -1AP . (B) C =PAP -1. (C) C =P TAP . (D) C =PAP T. 解: (B)用初等矩阵在乘法中的作用得出B =PA ,1 -1 0C =B 0 1 0 =BP -1= PAP -1.0 0 1三、解答题(15)试确定A ,B ,C 的常数值,使23(1)1()xe Bx Cx Ax o x ++=++其中3()o x 是当30x x →时比的高阶无穷小.解:泰勒公式2331()26xx x e x o x =++++代入已知等式得23323[1()][1]1()26x x x o x Bx Cx Ax o x ++++++=++整理得233111(1)()()1()226BB xC B x C o x Ax o x ⎛⎫+++++++++=++ ⎪⎝⎭比较两边同次幂函数得 B +1=A ① C +B +12=0 ② 1026B C ++= ③式②-③得120233B B +==-则代入①得 13A = 代入②得 16C = (16)求arcsin xx e dxe ⎰.解:原式=22arcsin arcsin ()x x xx e t de e t dte t =⎰⎰令1arcsin arcsin ()t td t t =-=-+⎰2arcsin arcsin 1(2)2(1)t t udu t t u u -=-+=-+-⎰2arcsin 1t du t u =-+-⎰arcsin 11ln 21t u C t u -=-+++arcsin arcsin 1ln 2x x x x e e dx C e e ∴=-++⎰.(17)设区域22{(,)||,0}D x y xy x =+≤≥, 计算二重积分2211DxyI dxdy x y+=++⎰⎰.解:用极坐标系2201Dxydxdy x y ⎛⎫= ⎪++⎝⎭⎰⎰11222002ln(1)ln 2122r I d dr r r ππππθ-==+=+⎰⎰.(18)设数列{}nx 满足10x π<<,1sin (1,2,3,)n nx x n +==证明:(1)1lim n n x +→∞存在,并求极限;(2)计算211lim n x n n n x x +→∞⎛⎫ ⎪⎝⎭.证:(1)212sin ,01,2x x x n =∴<≤≥因此1sin ,{}n nnnx x x x +=≤单调减少有下界()0n x ≥根据准则1,lim nn x A →∞=存在在1sin n nx x +=两边取极限得sin 0A A A =∴=因此1lim 0n n x +→∞=(2)原式21sin lim "1"n x nn n x x ∞→∞⎛⎫= ⎪⎝⎭为型离散型不能直接用洛必达法则先考虑22011sin lim lnsin lim t t t t t t t e t →⎡⎤⎢⎥⎣⎦→⎛⎫= ⎪⎝⎭用洛必达法则2011(cos sin )limsin 2t t t t t t t te→-=23233310()0()26cos sin limlim22t t t t t t t t t t tt t e e →→⎡⎤⎡⎤-+--+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦==3330110()261lim26t t t t ee→⎛⎫-++ ⎪⎝⎭-==.(19)证明:当0a b π<<<时,1sin 2cos sin 2cos b b b b a a a a ππ++>++. 证:令()sin 2cos f x x x x x π=++只需证明0a x π<<<时,()f x 严格单调增加 ()sin cos 2sin f x x x x x π'=+-+ cos sin x x x π=-+()cos sin cos sin 0f x x x x x x x ''=--=-<()f x '∴严格单调减少又()cos 0f ππππ'=+= 故0()0()a x f x f x π'<<<>时则单调增加(严格)()()b a f b f a >>由则 得证(20)设函数()(0,)f u +∞在内具有二阶导数,且Z f =满足等式22220z zx y∂∂+=∂∂.(I )验证()()0f u f u u'''+=;(II )若(1)0,(1)1f f '== 求函数()f u 的表达式.证:(I)zzf f xy∂∂''==∂∂()()2223222222zx y f f xx y x y ∂'''=+∂++()()2223222222zy x f f yx y x y ∂'''=+∂++22220()()0z zf x y f u f u u∂∂''+==∂∂'''∴+=代入方程得成立(II )令(),;,dp p dp du c f u p c p duu p u u'==-=-+=⎰⎰则22(1)1,1,()ln ||,(1)0,0()ln ||f c f u u c f c f u u '===+==∴=由(21)已知曲线L 的方程221(0)4x t t y t t⎧=+≥⎨=-⎩(I )讨论L 的凹凸性;(II )过点(1,0)-引L 的切线,求切点0(,)x y ,并写出切线的方程;(III )求此切线与L (对应0x x ≤部分)及x 轴所围的平面图形的面积.解:(I )4222,42,12dx dy dy t t t dt dt dx t t-==-==- 222312110(0)2dy d d y dx t dx dx dt t t t dt ⎛⎫⎪⎛⎫⎝⎭=⋅=-⋅=-<> ⎪⎝⎭处(0L t ∴>曲线在处)是凸(II )切线方程为201(1)y x t⎛⎫-=-+ ⎪⎝⎭,设2001xt =+,2004yt t =-,则2223200000000241(2),4(2)(2)t t t t t t t t ⎛⎫-=-+-=-+ ⎪⎝⎭得200000020,(1)(2)001tt t t t t +-=-+=>∴=点为(2,3),切线方程为1y x =+ (III )设L 的方程()x g y =则()30()(1)S g y y dy =--⎡⎤⎣⎦⎰(2240221t t y x -+==±=±+解出t 得由于(2,3)在L 上,由(23221()y x x g y ===+=得可知(309(1)S y y d y⎡⎤=----⎣⎦⎰33(102)4y dy y=--⎰333322002(10)4(4)214(4)3y y y y =-+-=+⨯⨯-8642213333=+-=-(22)已知非齐次线性方程组 x 1+x 2+x 3+x 4=-1, 4x 1+3x 2+5x 3-x 4=-1, a x 1+x 2+3x 3+bx 4=1 有3个线性无关的解.① 证明此方程组的系数矩阵A 的秩为2. ② 求a,b 的值和方程组的通解.解:① 设α1,α2,α3是方程组的3个线性无关的解,则α2-α1,α3-α1是AX =0的两个线性无关的解.于是AX =0的基础解系中解的个数不少于2,即4-r(A )≥2,从而r(A )≤2.又因为A的行向量是两两线性无关的,所以r(A)≥2.两个不等式说明r(A)=2.②对方程组的增广矩阵作初等行变换:1 1 1 1 -1 1 1 1 1 -1(A|β)= 4 3 5 -1 -1 → 0 –1 1 –5 3 ,a 1 3b 1 0 0 4-2a4a+b-5 4-2a由r(A)=2,得出a=2,b=-3.代入后继续作初等行变换:1 02 -4 2→ 0 1 -1 5 -3 .0 0 0 0 0得同解方程组x1=2-2x3+4x4,x2=-3+x3-5x4,求出一个特解(2,-3,0,0)T和AX=0的基础解系(-2,1,1,0)T,(4,-5,0,1)T.得到方程组的通解:(2,-3,0,0)T+c1(-2,1,1,0)T+c2(4,-5,0,1)T, c1,c2任意.(23) 设3阶实对称矩阵A的各行元素之和都为3,向量α1=(-1,2,-1)T, α2=(0,-1,1)T都是齐次线性方程组AX=0的解.①求A的特征值和特征向量.② 求作正交矩阵Q 和对角矩阵Λ,使得 Q TAQ =Λ.解:① 条件说明A (1,1,1)T =(3,3,3)T,即α0=(1,1,1)T 是A 的特征向量,特征值为3.又α1,α2都是AX =0的解说明它们也都是A 的特征向量,特征值为0.由于α1,α2线性无关, 特征值0的重数大于1.于是A 的特征值为3,0,0.属于3的特征向量:c α0, c ≠0.属于0的特征向量:c 1α1+c 2α2, c 1,c 2不都为0. ② 将α0单位化,得η0=(33,33,33)T.对α1,α2作施密特正交化,的η1=(0,-22,22)T, η2=(-36,66,66)T.作Q =(η0,η1,η2),则Q 是正交矩阵,并且 3 0 0 Q TAQ =Q -1AQ = 0 0 0 . 0 0 0。