向量的应用举例

2.7 向量应用举例典题精讲例1用向量法证明平行四边形两对角线的平方和等于四条边的平方和。

思路分析：把平行四边形的边和对角线的长看成向量的长度，转化为证明向量长度之间的关系.基向量法和坐标法均可解决.答案：已知：四边形ABCD是平行四边形，求证：|AC｜2＋|BD|2=2|AB｜2＋2|AD|2。

证法一：如图2—7—1所示，设AB=a, AD=b，∴AC=AB＋AD=a＋b，BD=AD-AB=b-a。

图2-7—1∴｜AC｜2=(a+b）2=a2+2a·b+b2，｜BD｜2=（b—a)2=a2-2a·b＋b2。

∴｜AC|2＋|BD|2=2a2+2b2.又∵2|AB|2＋2|AD|2=2｜OB|2＋2|OD|2=2a2+2b2，∴｜AC｜2＋|BD|2=2|AB|2＋2｜AD｜2,即平行四边形两对角线的平方和等于四条边的平方和.证法二:如图2—7-2所示，以A为原点,以AB所在直线为x轴，建立直角坐标系.设A（0，0）、D（a,b）、B（c，0），∴AC=AB＋AD图2—7-2=OB＋OD=(c，0）+（a，b)=(a+c,b），BD=AD—AB=OD—OB=（a，b)-(c,0）=（a-c,b)。

∴|AC｜2=（c+a）2+b2，|BD｜2=（a-c）2+b2.∴｜AC|2＋|BD｜2=2a2+2c2+2b2。

又∵2｜AB｜2＋2|AD｜2=2|OB｜2＋2｜OD｜2=2a2+2c2+2b2,∴|AC|2＋|BD｜2=2|AB｜2＋2｜AD｜2,即平行四边形两对角线的平方和等于四条边的平方和。

绿色通道：1。

向量法解决几何问题的步骤:①建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题;②通过向量运算（有基向量法和坐标法两种),研究几何元素之间的关系；③把运算结果“翻译”成几何关系。

这是用向量法解决平面几何问题的“三步曲”.又简称为：一建二算三译；也可说成为：捡便宜（建算译)。

一、教学分析向量与物理学天然相联.向量概念的原型就是物理中的力、速度、位以及几何中的有向线段等概念;向量是既有大小、又有方向的量;它与物理学中的力学、运动学等有着天然的联系;将向量这一工具应用到物理中;可以使物理题解答更简捷、更清晰.并且向量知识不仅是解决物理许多问题的有利工具;而且用数学的思想方法去审视相关物理现象;研究相关物理问题;可使我们对物理问题的认识更深刻.物理中有许多量;比如力、速度、加速度、位移等都是向量;这些物理现象都可以用向量来研究.用向量研究物理问题的相关知识.1力、速度、加速度、位移等既然都是向量;那么它们的合成与分解就是向量的加、减法;运动的叠加亦用到向量的合成;2动量是数乘向量;3功即是力与所产生位移的数量积.用向量知识研究物理问题的基本思路和方法.①通过抽象、概括;把物理现象转化为与之相关的向量问题;②认真分析物理现象;深刻把握物理量之间的相互关系;③利用向量知识解决这个向量问题;并获得这个向量的解;④利用这个结果;对原物理现象作出合理解释;即用向量知识圆满解决物理问题.教学中要善于引导学生通过对现实原型的观察、分析和比较;得出抽象的数学模型.例如;物理中力的合成与分解是向量的加法运算与向量分解的原型.同时;注重向量模型的运用;引导解决现实中的一些物理和几何问题.这样可以充分发挥现实原型对抽象的数学概念的支撑作用.二、教学目标1．知识与技能：通过力的合成与分解的物理模型;速度的合成与分解的物理模型;掌握利用向量方法研究物理中相关问题的步骤..2．过程与方法：明了向量在物理中应用的基本题型;进一步加深对所学向量的概念和向量运算的认识.3．情感态度与价值观：通过对具体问题的探究解决;进一步培养学生的数学应用意识;提高应用数学的能力.体会数学在现实生活中的重要作用.养成善于发现生活中的数学;善于发现物理及其他科目中的数学及思考领悟各学科之间的内在联系的良好习惯.三、重点难点教学重点:1.运用向量的有关知识对物理中力的作用、速度的分解进行相关分析和计算.2.归纳利用向量方法解决物理问题的基本方法.教学难点:将物理中有关矢量的问题转化为数学中向量的问题.四、教学设想一导入新课思路1.章头图引入章头图中;道路、路标体现了向量与位移、速度、力等物理量之间的密切联系.章引言说明了向量的研究对象及研究方法.那么向量究竟是怎样应用于物理的呢它就像章头图中的高速公路一样;是一条解决物理问题的高速公路.在学生渴望了解的企盼中;教师展示物理模型;由此展开新课.思路2.问题引入你能举出物理中的哪些向量比如力、位移、速度、加速度等;既有大小又有方向;都是向量;学生很容易就举出来.进一步;你能举出应用向量来分析和解决物理问题的例子吗你是怎样解决的教师由此引导:向量是有广泛应用的数学工具;对向量在物理中的研究;有助于进一步加深对这方面问题的认识.我们可以通过对下面若干问题的研究;体会向量在物理中的重要作用.由此自然地引入新课.二应用示例例1在日常生活中;你是否有这样的经验:两个人共提一个旅行包;夹角越大越费力;在单杠上做引体向上运动;两臂的夹角越小越省力.你能从数学的角度解释这种现象吗活动:这个日常生活问题可以抽象为如图1所示的数学模型;引导学生由向量的平行四边形法则;力的平衡及解直角三角形等知识来思考探究这个数学问题.这样物理中力的现象就转化为数学中的向量问题.只要分析清楚F、G、θ三者之间的关系其中F为F 1、F 2的合力;就得到了问题的数学解释.图1在教学中要尽可能地采用多媒体;在信息技术的帮助下让学生来动态地观察|F |、|G |、θ之间在变化过程中所产生的相互影响.由学生独立完成本例后;与学生共同探究归纳出向量在物理中的应用的解题步骤;也可以由学生自己完成;还可以用信息技术来验证. 用向量解决物理问题的一般步骤是:①问题的转化;即把物理问题转化为数学问题;②模型的建立;即建立以向量为主体的数学模型;③参数的获得;即求出数学模型的有关解——理论参数值;④问题的答案;即回到问题的初始状态;解释相关的物理现象.解:不妨设|F 1|=|F 2|;由向量的平行四边形法则、力的平衡以及直角三角形的知识;可以知道通过上面的式子;我们发现:当θ由0°到180°逐渐变大时;2θ由0°到90°逐渐变大;cos 2θ的值由大逐渐变小;因此|F 1|由小逐渐变大;即F 1;F 2之间的夹角越大越费力;夹角越小越省力.点评:本例是日常生活中经常遇到的问题;学生也会有两人共提一个旅行包以及在单杠上做引体向上运动的经验.本例的关键是作出简单的受力分析图;启发学生将物理现象转化成模型;从数学角度进行解释;这就是本例活动中所完成的事情.教学中要充分利用好这个模型;为解决其他物理问题打下基础.得到模型后就可以发现;这是一个很简单的向量问题;这也是向量工具优越性的具体体现.变式训练某人骑摩托车以20km/h 的速度向西行驶;感到风从正南方向吹来;而当其速度变为40km/h 时;他又感到风从西南方向吹来;求实际的风向和风速.图2解:如图2所示.设v 1表示20km/h 的速度;在无风时;此人感到的风速为-v 1;实际的风速为v ;那么此人所感到的风速为v +-v 1=v -v 1. 令AB =-v 1;AC =-2v 1;实际风速为v .∵DA +AB =DB ; ∴DB =v -v 1;这就是骑车人感受到的从正南方向吹来的风的速度.∵DA +AC =DC ;∴DC =v -2v 1;这就是当车的速度为40km/h 时;骑车人感受到的风速.由题意得∠DCA=45°;DB ⊥AB;AB=BC;∴△DCA 为等腰三角形;DA=DC;∠DAC=∠DCA=45°.∴DA=DC=2BC=202.∴|v |=202km/h. 答:实际的风速v 的大小是202km/h;方向是东南方向.例2如图3所示;利用这个装置冲击摆可测定子弹的速度;设有一砂箱悬挂在两线下端;子弹击中砂箱后;陷入箱内;使砂箱摆至某一高度h.设子弹和砂箱的质量分别为m 和M;求子弹的速度v 的大小.图3解:设v 0为子弹和砂箱相对静止后开始一起运动的速度;由于水平方向上动量守恒;所以m|v |=M+m|v 0|.①由于机械能守恒;所以21M+m v 02=M+mgh.②联立①②解得|v |=.2gh m m M 又因为m 相对于M 很小;所以|v |≈gh m M 2;即子弹的速度大小约为gh m M 2. 三知能训练 1.一艘船以4km/h 的速度沿着与水流方向成120°的方向航行;已知河水流速为2km/h;则经过3小时;该船实际航程为A.215kmB.6kmC.84kmD.8km图4 2.如图4;已知两个力的大小和方向;则合力的大小为N;若在图示坐标系中;用坐标表示合力F ;则F =___________. 3.一艘船以5km/h 的速度向垂直于对岸的方向行驶;而该船实际航行的方向与水流方向成30°角;求水流速度与船的实际速度.解答: 1.B点评:由于学生还没有学习正弦定理和余弦定理;所以要通过作高来求.2.415;4图53.如图5所示;设OA 表示水流速度;OB 表示船垂直于对岸的速度;OC 表示船的实际速度;∠AOC=30°;|OB |=5km/h.因为OACB 为矩形;所以|OA |=|AC |·cot30°=|OB |·cot30°=53≈8.66km/h;|OC |= 30cos ||OA =2335=10km/h. 答:水流速度为8.66km/h;船的实际速度为10km/h.点评:转化为数学模型;画出向量图;在直角三角形中解出.四课堂小结1.与学生共同归纳总结利用向量解决物理问题的步骤.①问题的转化;即把物理问题转化为数学问题;②模型的建立;即建立以向量为主体的数学模型;③参数的获得;即求出数学模型的有关解——理论参数值;④问题的答案;即回到问题的初始状态;解释相关的物理现象.2.与学生共同归纳总结向量在物理中应用的基本题型.①力、速度、加速度、位移都是向量;②力、速度、加速度、位移的合成与分解对应相应向量的加减;③动量mv是数乘向量;冲量Δt F也是数乘向量;④功是力F与位移s的数量积;即W=F·s.五作业。

向量在物理中的应用举例高中数学　会用向量方法解决简单的力学问题及其他实际问题，体会向量在解决物理和实际问题中的作用．导语　向量概念的原型就是物理中的力、速度、位移以及几何中的有向线段等概念，向量是既有大小、又有方向的量，它与物理学中的力学、运动学等有着天然的联系，将向量这一工具应用到物理中，可以使物理题解答更简捷、更清晰．一、向量与力2例1　如图，用两根分别长5m和10 m的绳子，将100 N的物体吊在水平屋顶AB上，平衡后，G点距屋顶距离恰好为5 m，求A处所受力的大小(绳子的重量忽略不计)．解　如图，由已知条件可知AG与铅垂方向成45°角，BG与铅垂方向成60°角．设A处所受力为F a，B处所受力为F b，物体的重力为G.因为∠EGC＝60°，∠EGD＝45°，则有|F a|cos 45°＋|F b|cos 60°＝|G|＝100，①且|F a|sin 45°＝|F b|sin 60°，②26由①②得|F a|＝150－50，26所以A处所受力的大小为(150－50)N.反思感悟　用向量解决物理问题的一般步骤(1)问题的转化，即把物理问题转化为数学问题．(2)模型的建立，即建立以向量为主体的数学模型．(3)参数的获得，即求出数学模型的有关解——理论参数值．(4)问题的答案，即回到问题的初始状态，解释相关的物理现象．跟踪训练1　用两条成120°角的等长的绳子悬挂一个灯具，如图所示，已知灯具重10 N，则每根绳子的拉力大小为________ N.答案　10解析　设重力为G ，每根绳的拉力分别为F 1，F 2，则由题意得F 1，F 2与－G 都成60°角，且|F 1|＝|F 2|，F 1＋F 2＋G ＝0．∴|F 1|＝|F 2|＝|G |＝10 N ，∴每根绳子的拉力都为10 N.二、向量与速度、加速度、位移例2　(教材P41例4改编)一条宽为 km 的河，水流速度为2 km/h ，在河两岸有两个码头3A ，B ，已知AB ＝ km ，船在水中的最大航速为4 km/h ，问该船怎样安排航行速度可使它3从A 码头最快到达彼岸B 码头？用时多少？解　如图所示，设为水流速度，为航行速度，以AC 和AD 为邻边作▱ACED ，且当AE 与AB 重合时能AC → AD → 最快到达彼岸，根据题意知AC ⊥AE ，在Rt △ADE 和▱ACED 中，||＝||＝2，||＝4，∠AED ＝90°，∴||＝＝2，又AB ＝，∴用时DE → AC → AD → AE → |AD →|2－|DE → |2330.5 h ，易知sin ∠EAD ＝， ∴∠EAD ＝30°.12∴该船航行速度大小为4 km/h ，与水流方向成120°角时能最快到达B 码头，用时0.5 h.反思感悟　速度、加速度、位移的合成与分解，实质上就是向量的加、减运算．用向量解决速度、加速度、位移等问题，用的知识主要是向量的线性运算，有时也借助于坐标来运算．跟踪训练2　某人从点O 向正东走30 m 到达点A ，再向正北走30 m 到达点B ，则此人的3位移的大小是______ m ，方向是北偏东________．答案　60　30°解析　如图所示，此人的位移是＝＋，且⊥，OB → OA → AB → OA → AB →则||＝＝60(m)，OB → |OA →|2＋|AB → |2tan ∠BOA ＝＝，|AB →||OA → |3所以∠BOA ＝60°.所以的方向为北偏东30°.OB → 三、向量与功例3　已知力F (斜向上)与水平方向的夹角为30°，大小为50 N ，一个质量为8 kg 的木块受力F 的作用在动摩擦因数μ＝0.02的水平面上运动了20 m ．问力F 和摩擦力f 所做的功分别为多少？(g ＝10 m/s 2)解　如图所示，设木块的位移为s ，则W F ＝F·s ＝|F||s|cos 30°＝50×20×＝500(J)．323将力F 分解，它在铅垂方向上的分力F 1的大小为|F 1|＝|F|sin 30°＝50×＝25(N)，12所以摩擦力f 的大小为|f |＝|μ(G －F 1)|＝(80－25)×0.02＝1.1(N)，因此W f ＝f·s ＝|f||s|cos 180°＝1.1×20×(－1)＝－22(J)．即F 和f 所做的功分别为500 J 和－22 J.3反思感悟　力所做的功是力在物体前进方向上的分力与物体位移的乘积，它的实质是力和位移两个向量的数量积，即W ＝F·s ＝|F||s|cos θ(θ为F 和s 的夹角)．跟踪训练3　一物体在力F 1＝(3，－4)，F 2＝(2，－5)，F 3＝(3,1)的共同作用下从点A (1,1)移动到点B (0,5)．则在这个过程中三个力的合力所做的功为________．答案　－40解析　∵F 1＝(3，－4)，F 2＝(2，－5)，F 3＝(3,1)，∴合力F ＝F 1＋F 2＋F 3＝(8，－8)．又∵＝(－1,4)，AB → ∴F ·＝8×(－1)＋(－8)×4＝－40，AB → 即三个力的合力做的功等于－40.1．知识清单：(1)利用向量的加、减、数乘运算解决力、位移、速度、加速度的合成与分解．(2)利用向量的数量积解决力所做的功的问题．2．方法归纳：转化法．3．常见误区：不能将物理问题转化为向量问题．1．人骑自行车的速度是v 1，风速为v 2，则逆风行驶的速度大小为( )A ．v 1－v 2B ．v 1＋v 2C ．|v 1|－|v 2|D.|v 1v 2|答案　C 解析　由向量的加法法则可得逆风行驶的速度为v 1＋v 2.人的速度和风速方向相反，故选C.2．一物体受到相互垂直的两个力F 1，F 2的作用，两力大小都为5 N ，则两个力的合力的3大小为( )A ．5 NB ．5 N 2C ．5 ND ．5 N36答案　D解析　两个力的合力的大小为|F 1＋F 2|＝＝5(N)．F 21＋F 2＋2F 1·F 263．已知力F 的大小|F |＝10，在F 的作用下产生的位移s 的大小为|s |＝14，F 与s 的夹角为60°，则F 做的功为( )A ．7B ．10C ．14D ．70答案　D 解析　F 做的功为F·s ＝|F ||s |cos 60°＝10×14×＝70.124．当两人提起重量为|G |的旅行包时，两人用力方向的夹角为θ，用力大小都为|F |，若|F |＝|G |，则θ的值为( )A ．30°B ．60°C ．90°D ．120°答案　D解析　作＝F 1，＝F 2，＝－G (图略)，OA → OB → OC → 则＝＋，OC → OA → OB → 当|F 1|＝|F 2|＝|G |时，△OAC 为正三角形，所以∠AOC ＝60°，从而∠AOB ＝120°.课时对点练1．如果一架飞机向东飞行200 km ，再向南飞行300 km ，记飞机飞行的路程为s ，位移为a ，那么( )A ．s >|a |B ．s <|a |C ．s ＝|a |D ．s 与|a |不能比较大小答案　A解析　在△ABC 中，两边之和大于第三边，即s ＝||＋||>||＝|a |，故选A.AB → BC → AC → 2．共点力F 1＝(lg 2，lg 2)，F 2＝(lg 5，lg 2)作用在物体M 上，产生位移s ＝(2lg 5,1)，则共点力对物体做的功W 为( )A ．lg 2B ．lg 5C ．1D ．2答案　D解析　因为F 1＋F 2＝(1,2lg 2)，所以W ＝(F 1＋F 2)·s＝(1,2lg 2)·(2lg 5,1)＝2lg 5＋2lg 2＝2.3．已知三个力F 1＝(－2，－1)，F 2＝(－3,2)，F 3＝(4，－3)同时作用于某物体上一点，为使物体保持平衡，再加上一个力F 4，则F 4等于( )A ．(－1，－2)B ．(1，－2)C ．(－1,2)D ．(1,2)答案　D解析　为使物体平衡，则合力为0，即F 4＝(0－(－2)－(－3)－4,0－(－1)－2－(－3))＝(1,2)．4．河水的流速为2 m/s ，一艘小船以垂直于河岸方向10 m/s 的速度驶向对岸，则小船在静水中的速度大小为( )A ．10 m/sB ．2 m/s 26C ．4 m/sD ．12 m/s 6答案　B解析　由题意知|v 水|＝2m/s ，|v 船|＝10 m/s ，作出示意图如图．∴|v |＝＝＝2(m/s)．102＋22104265．一个物体受到同一平面内三个力F 1，F 2，F 3的作用，沿北偏东45°方向移动了8 m ，已知|F 1|＝2 N ，方向为北偏东30°，|F 2|＝4 N ，方向为北偏东60°，|F 3|＝6 N ，方向为北偏西30°，则这三个力的合力所做的功为( )A ．24 JB ．24 J 2C ．24 JD ．24 J 36答案　D解析　如图，建立直角坐标系，则F 1＝(1，)，F 2＝(2，2)，F 3＝(－3,3)，则合力F ＝F 1＋F 2＋F 3＝(2－2,2＋4)．33333又位移s ＝(4，4)，所以合力F 所做的功W ＝F ·s ＝(2－2)×4＋(2＋4)×4＝24223232 J.66．(多选)关于船从两平行河岸的一岸驶向另一岸所用的时间，正确的是( )A ．船垂直到达对岸所用时间最少B ．当船速v 的方向与河岸垂直时用时最少C ．沿任意直线运动到达对岸的时间都一样D ．船垂直到达对岸时航行的距离最短答案　BD解析　根据向量将船速v 分解，当v 垂直河岸时，用时最少．船垂直到达对岸时航行的距离最短．7．一个物体在大小为10 N 的力F 的作用下产生的位移s 的大小为50 m ，且力F 所做的功W ＝250 J ，则F 与s 的夹角等于________．2答案　π4解析　设F 与s 的夹角为θ，由W ＝F·s ，得250＝10×50×cosθ，∴cos θ＝.又222θ∈[0，π]，∴θ＝.π48．一条河宽为8 000 m ，一船从A 处出发垂直航行到达河正对岸的B 处，船速为20 km/h ，水速为12 km/h ，则船到达B 处所需时间为________ h.答案　0.5解析　如图，v 实际＝v 船＋v 水＝v 1＋v 2，|v 1|＝20，|v 2|＝12，∴|v 实际|＝|v 1|2－|v 2|2＝＝16(km/h)．202－122∴所需时间t ＝＝0.5(h)．816∴该船到达B 处所需的时间为0.5 h.9．已知两恒力F 1＝(3,4)，F 2＝(6，－5)作用于同一质点，使之由点A (20,15)移动到点B (7,0)．(1)求F 1，F 2分别对质点所做的功；(2)求F 1，F 2的合力F 对质点所做的功．解　(1)＝(7,0)－(20,15)＝(－13，－15)，AB → W 1＝F 1·＝(3,4)·(－13，－15)AB → ＝3×(－13)＋4×(－15)＝－99(J)，W 2＝F 2·＝(6，－5)·(－13，－15)AB → ＝6×(－13)＋(－5)×(－15)＝－3(J)．∴力F 1，F 2对质点所做的功分别为－99 J 和－3 J.(2)W ＝F ·＝(F 1＋F 2)·AB → AB →＝[(3,4)＋(6，－5)]·(－13，－15)＝(9，－1)·(－13，－15)＝9×(－13)＋(－1)×(－15)＝－117＋15＝－102(J)．∴合力F 对质点所做的功为－102 J.10．在长江南岸某渡口处，江水以12.5 km/h 的速度向东流，渡船在静水中的速度为25 km/h.渡船要垂直地渡过长江，其航向应如何确定？解　如图所示，设表示水流的速度，表示渡船在静水中的速度，表示渡船实际垂直AB → AD → AC →过江的速度．因为＋＝，AB →AD →AC →所以四边形ABCD 为平行四边形．在Rt △ACD 中，∠ACD ＝90°，||＝||＝12.5，DC →AB →||＝25，所以∠CAD ＝30°，AD →即渡船要垂直地渡过长江，其航向应为北偏西30°.11．两个大小相等的共点力F 1，F 2，当它们的夹角为90°时，合力的大小为20 N ，则当它们的夹角为120°时，合力的大小为( )A ．40 NB ．10 N2C ．20 N D. N210答案　B解析　对于两个大小相等的共点力F 1，F 2，当它们的夹角为90°，合力的大小为20 N 时，可知这两个力的大小都是10 N ；当它们的夹角为120°时，可知力的合成构成一个等边三2角形，因此合力的大小为10 N.212．长江某地南北两岸平行，一艘游船从南岸码头A 出发航行到北岸．假设游船在静水中的航行速度v 1的大小为|v 1|＝10 km/h ，水流的速度v 2的大小为|v 2|＝4 km/h.设v 1和v 2的夹角为θ(0°<θ<180°)，北岸的点A ′在A 的正北方向，则游船正好到达A ′处时，cos θ等于( )A. B ．－ C. D ．－2152152525答案　D解析　设船的实际速度为v ，v 1与南岸上游的夹角为α，如图所示．要使得游船正好到达A ′处，则|v 1|cos α＝|v 2|，即cos α＝＝，|v 2||v 1|25又θ＝π－α，所以cos θ＝cos(π－α)＝－cos α＝－.2513．一个物体受到平面上的三个力F 1，F 2，F 3的作用处于平衡状态，已知F 1，F 2成60°角，且|F 1|＝3 N ，|F 2|＝4 N ，则F 1与F 3夹角的余弦值是________．答案　－53737解析　因为物体处于平衡状态，所以F 1＋F 2＋F 3＝0．因此F 3＝－(F 1＋F 2)，于是|F 3|＝(F 1＋F 2)2＝|F 1|2＋|F 2|2＋2F 1·F 2＝＝，32＋42＋2×3×4·cos 60°37设F 1与F 3的夹角是θ.又F 2＝－(F 1＋F 3)，所以|F 2|＝(F 1＋F 3)2＝|F 1|2＋|F 3|2＋2F 1·F 3＝＝4，32＋37＋2×3×37·cos θ解得cos θ＝－.5373714.如图所示，在倾斜角为37°(sin 37°＝0.6)，高为2 m 的斜面上，质量为5 kg 的物体m 沿斜面下滑，物体m 受到的摩擦力是它对斜面压力的0.5倍，则斜面对物体m 的支持力所做的功为________J ，重力所做的功为________J(g ＝9.8 m/s 2)．答案　0　98解析　物体m 的位移大小为|s |＝＝(m)，则支持力对物体m 所做的功为2sin 37°103W 1＝F·s ＝|F||s|cos90°＝0(J)；重力对物体m 所做的功为W 2＝G·s ＝|G||s|cos 53°＝5×9.8××0.6＝98(J). 10315.(多选)如图所示，小船被绳索拉向岸边，船在水中运动时设水的阻力大小不变，那么小船匀速靠岸过程中，下列四个选项中，其中正确的是( )A ．绳子的拉力不断增大B ．绳子的拉力不断变小C ．船的浮力不断变小D ．船的浮力保持不变答案　AC 解析　设水的阻力为f ，绳的拉力为F ，绳AB 与水平方向的夹角为θ，(0<θ<π2)则|F |cos θ＝|f |，∴|F |＝.|f |cos θ∵θ增大，cos θ减小，∴|F |增大．∵|F |sin θ增大，∴船的浮力减小．16.如图所示，在某海滨城市O 附近海面有一台风，据监测，当前台风中心位于城市O 的东偏南θ 方向，距点O 300 km 的海面P 处，并以20 km/h 的速度向西(cos θ＝210，θ∈(0，π2))偏北45°方向移动．台风侵袭的范围为圆形区域，当前半径为60 km ，并以10 km/h 的速度不断增大．问几小时后该城市开始受到台风的侵袭？参考数据：cos(θ－45°)＝.45解　设t h 后，台风中心移动到Q 处，此时城市开始受到台风的侵袭，∠OPQ ＝θ－45°.∵＝＋，OQ → OP → PQ → ∴2＝(＋)2OQ → OP → PQ → ＝2＋2＋2·OP → PQ → OP → PQ →＝2＋2－2||||cos(θ－45°)OP → PQ → OP → PQ → ＝3002＋(20t )2－2×300×20t ×45＝100(4t 2－96t ＋900)．依题意得2≤(60＋10t )2，OQ → 解得12≤t ≤24.从而12 h 后该城市开始受到台风的侵袭．。

高中数学向量的运算技巧及应用举例向量是高中数学中的重要概念，它不仅在几何中有广泛的应用，还在物理学、工程学等领域中发挥着重要作用。

掌握向量的运算技巧和应用，对于高中学生来说至关重要。

本文将以具体的题目为例，详细介绍向量的运算技巧及其应用。

一、向量的加法和减法向量的加法和减法是向量运算中最基础的部分。

在进行向量的加减运算时，需要注意向量的方向和大小。

例题1：已知向量a = (2, 3)和向量b = (-1, 4)，求向量c = a + b。

解析：根据向量的加法定义，向量c的横坐标等于向量a和向量b的横坐标之和，纵坐标等于向量a和向量b的纵坐标之和。

因此，向量c = (2 + (-1), 3 + 4) = (1, 7)。

例题2：已知向量a = (3, 5)和向量b = (2, -4)，求向量c = a - b。

解析：根据向量的减法定义，向量c的横坐标等于向量a和向量b的横坐标之差，纵坐标等于向量a和向量b的纵坐标之差。

因此，向量c = (3 - 2, 5 - (-4)) = (1, 9)。

通过以上两个例题，我们可以看出向量的加法和减法运算实际上就是对应坐标的加减运算。

掌握了这一点，我们就能够轻松地进行向量的加减运算。

二、向量的数量积和向量积向量的数量积和向量积是向量运算中的两个重要概念。

数量积表示两个向量的乘积，向量积表示两个向量的叉乘。

例题3：已知向量a = (3, 4)和向量b = (2, -1)，求向量a和向量b的数量积。

解析：向量a和向量b的数量积等于向量a的横坐标乘以向量b的横坐标之和，再加上向量a的纵坐标乘以向量b的纵坐标之和。

因此，向量a和向量b的数量积为3 * 2 + 4 * (-1) = 6 - 4 = 2。

例题4：已知向量a = (3, 4)和向量b = (2, -1)，求向量a和向量b的向量积。

解析：向量a和向量b的向量积等于向量a的横坐标乘以向量b的纵坐标减去向量a的纵坐标乘以向量b的横坐标。

向量的定义是一种具有大小（长度）和方向的量。

向通常用箭头或字母加上箭头来表示，如A→或AB→。

在数学中，向量可以表示为n维空间中的一个点或从原点指向该点的有向线段。

举例说明向量：
1.平面向量：在二维平面上，可以用x轴和y轴上的分量表示向量。

例如，向
量AB→可以表示为(3, 4)，即向右移动3个单位，向上移动4个单位。

2.三维向量：在三维空间中，可以用x轴、y轴和z轴上的分量表示向量。

例
如，向量AB→可以表示为(2, -1, 5)，即向右移动2个单位，向下移动1个单位，向上移动5个单位。

3.物理中的向量：速度和加速度是物理中常见的向量。

例如，一个物体以每秒
20米的速度向东移动，其速度向量可以表示为(20, 0)。

4.几何向量：在几何学中，向量可以表示为一个起点和终点之间的线段。

例如，
向量AB→表示从点A到点B的方向和长度。

这些例子展示了向量的不同应用领域和表示方式。

向量在数学、物理、计算机图形学等领域具有广泛的应用。

正交向量的应用举例
在数学和物理学中，正交向量是指两个向量相互垂直或成为直角的向量。

正交向量的应用非常广泛，以下是一些具体的举例：
1. 三维图形计算
正交向量在计算三维图形中起着重要的作用。

例如，在计算机图形学中，我们经常需要计算光线与三维物体表面的交点。

而正交向量可以帮助我们确定光线的方向和反射等相关属性，从而实现逼真的渲染效果。

2. 声音处理
在声音处理中，正交向量可以用来表示音频信号的频域特征。

通过对音频信号进行傅里叶变换，我们可以将其表示为正交向量的线性组合。

这种表示方式可以方便地进行音频压缩、降噪和特征提取等操作。

3. 数据压缩
正交向量也被广泛应用于数据压缩领域。

通过将数据表示为正交向量的线性组合，可以减少数据的维度，从而达到数据压缩的目的。

这种方法在图像和视频压缩以及无损压缩等领域都有广泛的应用。

4. 信号处理
正交向量在信号处理中也有着重要的应用。

例如，在无线通信中，正交向量被用来表示不同的信道，从而实现多路复用和分组传输。

此外，正交向量还可以用于信号恢复和解调等处理过程。

这些只是正交向量应用的一些具体举例，实际上，正交向量在各个领域都有着广泛的应用，包括机器研究、优化问题和无线电通信等。

通过充分理解和应用正交向量的特性，我们可以更好地解决实际问题，并推动相关领域的发展。