用导数证明函数不等式的四种常用方法
本文将介绍用导数证明函数不等式的四种常用方法.
例1 证明不等式：)0)1ln(>+>x x x （.
证明 设)0)(1ln()(>+-=x x x x f ，可得欲证结论即()(0)(0)f x f x >>，所以只需证明函数()f x 是增函数.
而这用导数易证：
1()10(0)1
f x x x '=-
>>+ 所以欲证结论成立. 注 欲证函数不等式()()()f x g x x a >>(或()()()f x g x x a ≥≥)，只需证明()()0()f x g x x a ->>(或()()0()f x g x x a -≥≥).
设()()()()h x f x g x x a =->(或()()()()h x f x g x x a =-≥)，即证()0()h x x a >>(或()0()h x x a ≥≥).
若()0h a =，则即证()()()h x h a x a >>(或()()()h x h a x a ≥≥).
接下来，若能证得函数()h x 是增函数即可，这往往用导数容易解决.
例2 证明不等式：)1ln(+≥x x .
证明 设()ln(1)(1)f x x x x =-+>-，可得欲证结论即()0(1)f x x >>-.
显然，本题不能用例1的单调性法来证，但可以这样证明：即证)1)(1ln()(->+-=x x x x f 的最小值是0，而这用导数易证：
1()1(1)11
x f x x x x '=-=>-++ 所以函数()f x 在(1,0],[0,)-+∞上分别是减函数、增函数，进而可得
min ()(1)0(1)f x f x =-=>-
所以欲证结论成立.
注 欲证函数不等式()()()(,f x g x x I I >≥∈是区间)，只需证明()()()0()f x g x x I ->≥∈.
设()()()()h x f x g x x I =-∈，即证()()0()h x x I >≥∈，也即证min ()()0()h x x I >≥∈(若min ()h x 不存在，则须求函数()h x 的下确界)，而这用导数往往容易解决.
例3 (2014年高考课标全国卷I 理科第21题)设函数1
e ()e ln x x
b f x a x x -=+，曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线为e(1)2y x =-+．
(1)求,a b ；
(2)证明：()1f x >．
解 (1)112()e ln e e e x x x x a b b f x a x x x x
--'=+-+． 题设即(1)2,(1)e f f '==，可求得1,2a b ==．
(2)即证2ln e (0)e
x x x x x ->->，而这用导数可证(请注意11e ≠)： 设()ln (0)g x x x x =>，得min 11()e e g x g ⎛⎫==- ⎪⎝⎭． 设2()e (0)e
x h x x x -=->，得max 1()(1)e h x h ==-． 注 i)欲证函数不等式()()(,f x g x x I I ≥∈是区间)，只需证明min max ()()()f x g x x I ≥∈，而这用导数往往可以解决.
欲证函数不等式()()(,f x g x x I I >∈是区间)，只需证明min max ()()()f x g x x I >∈，或证明min max ()()()f x g x x I ≥∈且两个最值点不相等，而这用导数往往也可以解决.
ii)例3第(2)问与《2009年曲靖一中高考冲刺卷理科数学（一）》压轴题第(3)问完全一样，这道压轴题(即第22题)是：
已知函数2()ln ,()3f x x x g x x ax ==-+-．
(1)求函数()f x 在[,2](0)t t t +>上的最小值；
(2)对一切(0,),2()()x f x g x ∈+∞≥恒成立，求实数a 的取值范围；
(3)证明：对一切(0,)x ∈+∞，都有12ln e e x x x
>-成立．
例4 (2013年高考北京卷理科第18题)设L 为曲线C ：y ＝ln x x
在点(1，0)处的切线． (1)求L 的方程；
(2)证明：除切点(1，0)之外，曲线C 在直线L 的下方．
解 (1)(过程略)L 的方程为y ＝x －1.
(2)即证
1ln -≤x x
x (当且仅当1=x 时取等号). 设x x x x g ln 1)(--=，得g ′(x )＝x 2－1＋ln x x 2)0(>x . 当01时，x 2－1>0，ln x >0，所以g ′(x )>0，得g (x )单调递增．
所以0)1()(min ==g x g ，得欲证结论成立.
(2)的另解 即证
1ln -≤x x x (当且仅当1=x 时取等号)，也即证0ln 2≥--x x x (当且仅当1=x 时取等号).
设x x x x g ln )(2--=，可得)0)(1(12)(>-+='x x x
x x g . 进而可得0)1()(min ==g x g ，所以欲证结论成立.
(2)的再解 即证1ln -≤x x
x (当且仅当1=x 时取等号)，也即证x x x -≤2ln (当且仅当1=x 时取等号). 如图1所示，可求得曲线x y ln =与)0(2>-=x x x y 在公共点(1,0)处的切线是
1-=x y ，所以接下来只需证明
)0(1,1ln 2>-≤--≤x x x x x x (均当且仅当1=x 时取等号)
前者用导数易证，后者移项配方后显然成立.所以欲证结论成立.
